第1章 矢量分析与场论PPT课件
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第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
《矢量分析与场论》PPT课件
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
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电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
矢量分析与场论okPPT课件
P 尾
①矢量的表示： ②矢量的大小：
E 、 E 或 OP
模或绝对值
E O首
（|E| 、E、 |E|或 |OP|）
③矢量的方向： 单位长度矢量： E 0 ，|E 0| =1
E= |E| E0
3
（一）矢量分析
三、矢量的坐标表示：
①直角坐标系：
z
A A x e x A y e y A z e z
②分配律： A ( B C ) A B A C
③与数量叉积：
(k A ) B k (A B )
④ 特殊的叉积：
平行： AB0 正交：|AB|A10 B
（一）矢量分析
五、矢量的乘法： （二）矢量积、叉积：
⑤ 不服从交换律： A B (B A )
⑥在坐标系内计算叉积：
ex ey ez
复习
矢量分析 场论
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
（一）矢量分析
一、标量：
只有大小而没有方向的量
(长度、时间、电压、体积、温度、电量等）
既有大小又有方向的量
二、矢量： (力、速度、电场强度、磁感应强度等）
v(x,y,z)
,力场
F(x,y,z)
空间任一点都有一矢量 A ， A是空间坐标(、时间)的函数。
动态场：场量与时间有关 （时变场）
f( x ,y ,z ,t),A ( x ,y ,z ,t)
静态场：场量与时间无关 （恒定场）
f(x ,y ,z ),A (x ,y ,z )
12
（二）场 论
④ 特殊的点积： 同向、反向、正交
矢量分析与场论基础课件
A yˆ = Ay
A zˆ = Az
直角坐标分量的求法
A的 方 向 与xˆ、yˆ、zˆ的 夹 角 分 别 为、、
Az
A
Ax
A cos
Ay
A cos
o Ay
Ax
Az A cos
y
、、
称
为A的
方向角
cos、cos 、cos
称
为A的
方向余弦
x
直角坐标系中 A矢量的模值计算公式：
A =A=
• 矢量（vector） （又称向量）：
既有大小又有方向的量，如力、速度、动量。 电磁理论中的矢量：电场强度、磁场强度等。
二、矢量的表示方法： • 图示法：一定长短的有向箭头
矢量的方向
矢量的大小（称为模值、模）
• 写法上：手写带箭头上标的字母，如 A、 a
印刷黑体（仅印刷品中采用）
• 矢量的模值表示为：A 或 A
第一章 矢量分析与场论基础
主要内容：
1.1 矢量的基本运算 1.2 矢量函数 1.3 场论基础 1.4 常用正交曲线坐标系
1.1 矢量的基本运算
1.1.1 矢量的概念
一、标量和矢量：
• 标量（scalar）：
只有大小没有方向的量， 用数值表示，如温度、 质量、体积。电磁理论中的标量：电量、电位、 电阻等等
B
A
二、矢量与标量的乘法和除法
• 模值： pA = p A
• 方向：
p>0 p <0
A pA pA
例子： F=ma
• 规则：
设 p , q均为实数
pqA pqA
p
qA
pA
qA
p A B pA pB
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紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
6
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
7
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
A
们夹角的余弦之乘积，如图
图1-2 标量积
1-2所示， 记为
A·B=AB cosθ 14
例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系 式：
ax·ay=ay·az= ax·az=0 ax·ax=ay·ay=az·az=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表 示为
A·B=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即
位移电流时变电场产生磁场— 麦氏方程组 1887年德国——赫兹(1857~1894)
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
5
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
A×B= -B×A A×(B+C)=A×B+A×C
18
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az= 0
在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为
ay
ax ay az
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)
A·B=B·A
A·(B+C)=A·B+A·C
15
2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product） 是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大 小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢 量A与B组成的平面， 如图1-3所示，记为 C=A×B=anAB sinθ an=aA×aB （右手螺旋）
11
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三 个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个 分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、 ay、 az 可以将矢量A表示成：
A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A：
A=(A2x+A2y+A2z)1/2
力 应用广泛
4
电磁场理论的发展史
1785年法国——库仑(1736~1806)定律 1820年丹麦——奥斯特(1777~1851)发现电流的磁场 1820年法国——安培(1775~1836)电流回路间作用力 1831年英国——法拉第—电磁感应定律
变化的磁场产生电场 1873年英国——麦克斯韦(1831~1879)
A=aA 其中， A是矢量A的大小; பைடு நூலகம்代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。
9
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、 az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。
空间任一点P的位置 可以用圆柱坐标系
中的三个变量
来表示。
21
圆柱坐标系中也有三个相互 垂直的坐标面。
平面 x2 y2
表示一个以z轴为轴线的半径 为 的圆柱面。 平面 arctan( y )
x 表示一个以z为界的半平面。
平面z=常数 表示一个平行于
xy平面的平面。
0 0 2 z
12
1.1.2矢量的加法和减法
矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐 标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的 结果仍是矢量
13
1.1.3矢量的乘积
矢量的乘积包括标量积和矢量
B
积。
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它
Bcos
电磁场与电磁波
1
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前言
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2
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
电磁场源与场 电磁波在空间 的关系 传播的基本规律
产生、辐射、
传播、接收 电磁干扰
各方面的应用
电磁兼容 3
课程特点
抽象—看不见、摸不着 复杂—时域、频域、空域、极化 要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像
22
圆柱坐标系中的三个单位矢量为 a ρ , a , a z ,分别指 向 增加的方向。三者始终保持正交关系。 （课本P4）
空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线 上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向 点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角 坐标系中表示为
r=axX+ayY+azZ
10
z
Z
P (X , Y, Z) r az
ax O
X
Y ay y
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
16
C
an O aB
aA
B
A
C＝A×B B
A
(a)
(b)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积
(b) 右手螺旋
17
矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不 为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相 互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定 等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配 律，即
19
结论
矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边 形法则
任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢 量的叉积是一个矢量
如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两 个矢量必然互相垂直
如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两 个矢量必然互相平行
20
1.2 圆柱坐标系和球坐标系
1.2.1 圆柱坐标系
8
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
6
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在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
7
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
A
们夹角的余弦之乘积，如图
图1-2 标量积
1-2所示， 记为
A·B=AB cosθ 14
例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系 式：
ax·ay=ay·az= ax·az=0 ax·ax=ay·ay=az·az=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表 示为
A·B=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即
位移电流时变电场产生磁场— 麦氏方程组 1887年德国——赫兹(1857~1894)
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
5
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
A×B= -B×A A×(B+C)=A×B+A×C
18
直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az= 0
在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为
ay
ax ay az
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)
A·B=B·A
A·(B+C)=A·B+A·C
15
2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product） 是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大 小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢 量A与B组成的平面， 如图1-3所示，记为 C=A×B=anAB sinθ an=aA×aB （右手螺旋）
11
X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三 个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个 分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、 ay、 az 可以将矢量A表示成：
A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A：
A=(A2x+A2y+A2z)1/2
力 应用广泛
4
电磁场理论的发展史
1785年法国——库仑(1736~1806)定律 1820年丹麦——奥斯特(1777~1851)发现电流的磁场 1820年法国——安培(1775~1836)电流回路间作用力 1831年英国——法拉第—电磁感应定律
变化的磁场产生电场 1873年英国——麦克斯韦(1831~1879)
A=aA 其中， A是矢量A的大小; பைடு நூலகம்代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。
9
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢 （Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量 （Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、 az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。
空间任一点P的位置 可以用圆柱坐标系
中的三个变量
来表示。
21
圆柱坐标系中也有三个相互 垂直的坐标面。
平面 x2 y2
表示一个以z轴为轴线的半径 为 的圆柱面。 平面 arctan( y )
x 表示一个以z为界的半平面。
平面z=常数 表示一个平行于
xy平面的平面。
0 0 2 z
12
1.1.2矢量的加法和减法
矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐 标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的 结果仍是矢量
13
1.1.3矢量的乘积
矢量的乘积包括标量积和矢量
B
积。
1） 标量积
任意两个矢量A与B的标量积
(Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它
Bcos
电磁场与电磁波
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电磁基本理论
电磁工程
电磁场源与场 电磁波在空间 的关系 传播的基本规律
产生、辐射、
传播、接收 电磁干扰
各方面的应用
电磁兼容 3
课程特点
抽象—看不见、摸不着 复杂—时域、频域、空域、极化 要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像
22
圆柱坐标系中的三个单位矢量为 a ρ , a , a z ,分别指 向 增加的方向。三者始终保持正交关系。 （课本P4）
空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线 上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向 点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角 坐标系中表示为
r=axX+ayY+azZ
10
z
Z
P (X , Y, Z) r az
ax O
X
Y ay y
x
图1-1 直角坐标系中一点的投影
16
C
an O aB
aA
B
A
C＝A×B B
A
(a)
(b)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋
(a) 矢量积
(b) 右手螺旋
17
矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不 为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相 互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定 等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配 律，即
19
结论
矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边 形法则
任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢 量的叉积是一个矢量
如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两 个矢量必然互相垂直
如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两 个矢量必然互相平行
20
1.2 圆柱坐标系和球坐标系
1.2.1 圆柱坐标系
8
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成