第五章概念、命题教学
第五章 数学概念、命题与问题解决教学
第五章 数学概念、命题与问题解决教学[教学目标] 了解数学概念的意义和结构，概念的定义和分类；理解数学概念之间的关系、定义方式、定义的规则以及分类的基本方法和规则，使学生明确数学概念教学的重要性、基本要求，并对概念教学进行若干教法探讨。
[学时] 8[教学方法] 课堂讲解；课外阅读[重点、难点] 数学概念的意义、定义方式和分类的基本方法；定义的规则，分类的规则，概念的限制与概括[教学过程]§5.1 数学概念及其教学一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联系的。
人们必须先具有关于某事物的概念。
然后才能作出关于某事物的判断、推理。
概念是判断推理的基础。
另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识，又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。
科学史表明：“科学是与概念并肩成长起来的”。
概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的理解和掌握。
1、数学概念的意义[引题]师问：“等式12)1(22++=+x x x 是不是方程？”生答：“不是。
”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x 取什么数，等式都成立，可以这个等式不是方程。
”师问：“什么叫方程？”生答：“含有未知数的等式叫做方程。
”师问：“等式12)1(22++=+x x x 含有未知数吗？”生答：“含有未知数x ，这是方程。
原来我认为含有未知数的恒等式不是方程，这是不对的。
”师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?”生答：“有无穷多解。
”师问：“对。
有的方程有有限个解，例如：x +1=0只有一个解；有的方程无解，例如: 012=+x 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程12)1(22++=+x x x 就是一例。
”——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。
什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。
初中数学：5.3.2 命题、定理、证明(人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线)
5．3平行线的性质5．3.2命题、定理、证明1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；(重点)2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例．(难点)一、情境导入2015年10月，屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖．屠呦呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科学家．青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基团的倍半萜内酯药物．其对鼠疟原虫红内期超微结构的影响，主要是疟原虫膜系结构的改变，该药首先作用于食物泡膜、表膜、线粒体、内质网，此外对核内染色质也有一定的影响．青蒿素的作用方式主要是干扰表膜－线粒体的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，从而阻断了营养摄取的最早阶段，使疟原虫较快出现氨基酸饥饿，迅速形成自噬泡，并不断排出虫体外，使疟原虫损失大量胞浆而死亡．要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？二、合作探究探究点一：命题的定义与结构【类型一】命题的判断下列语句中，不是命题的是()A．两点之间线段最短B．对顶角相等C．不是对顶角不相等D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．【类型二】把命题写成“如果……那么……”的形式把下列命题写成“如果……那么……”的形式．(1)内错角相等，两直线平行；(2)等角的余角相等．解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．【类型三】命题的条件和结论写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论．解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．探究点二：真命题与假命题下列命题中，是真命题的是()A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．探究点三：证明与举反例 【类型一】 命题的证明求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．解：如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被直线MN 所截，交点分别为P ，Q ，PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP ，求证：PG ∥HQ .证明：∵AB ∥CD (已知)，∴∠BPQ ＝∠CQP (两直线平行，内错角相等)．又∵PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP (已知)，∴∠GPQ ＝12∠BPQ ，∠HQP ＝12∠CQP (角平分线的定义)， ∴∠GPQ ＝∠HQP (等量代换)，∴PG ∥HQ (内错角相等，两直线平行)．方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．【类型二】 举反例举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab ＝0，则a ＋b ＝0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可．解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)当a ＝5，b ＝0时，ab ＝0，但a ＋b ≠0.方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧概念结构真、假命题证明与举反例本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.。
人教版七年级下册数学教学课件 第五章 相交线与平行线 命题、定理、证明
课程讲授
2 真命题与假命题
归纳： 1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以
论证； 2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，
说明该命题不成立.
课程讲授
3 定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证明过程.
课程讲授
3 定理与证明
例 已知直线b∥c， a⊥b ．求证：
a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
1
2
a
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换）， ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
课程讲授
3 定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2. 证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)，
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是 ⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a，b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明； 不是 ⑹玫瑰花是动物； 是 ⑺若a2＝4，求a的值； 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b. 是
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义引入命题的概念，让学生理解命题是由题设和结论组成的陈述句。
举例说明命题的正确性和错误性。
1.2 命题的分类分类介绍简单命题和复合命题，包括并列命题、蕴含命题和条件命题。
引导学生理解命题的逻辑关系，如且、或、非等。
第二章：定理与证明2.1 定理的定义与特点解释定理的概念，强调定理是经过证明的命题。
引导学生了解定理的重要性和应用价值。
2.2 证明的方法与要求介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
强调证明的逻辑严密性和步骤完整性。
第三章：几何定理与证明3.1 几何定理的分类分类介绍几何定理，如三角形的性质定理、四边形的性质定理等。
强调几何定理在几何学中的基础性作用。
3.2 几何证明的基本步骤与技巧引导学生掌握几何证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍几何证明中常用的技巧，如相似三角形的性质、平行线的性质等。
第四章：代数定理与证明4.1 代数定理的分类分类介绍代数定理，如多项式的性质定理、方程的解的定理等。
强调代数定理在代数学中的基础性作用。
4.2 代数证明的基本步骤与技巧引导学生掌握代数证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍代数证明中常用的技巧，如因式分解、恒等式的性质等。
第五章：命题、定理与证明的应用5.1 命题、定理与证明在数学中的应用通过实际问题引入命题、定理与证明的应用，让学生理解其在数学问题解决中的重要性。
引导学生运用命题、定理与证明的方法解决实际问题。
5.2 命题、定理与证明在其他学科中的应用引导学生思考命题、定理与证明在其他学科中的应用，如物理学、化学等。
鼓励学生探索命题、定理与证明在生活中的应用。
第六章：逻辑推理与命题、定理6.1 逻辑推理的基本概念引入逻辑推理的概念，让学生理解逻辑推理是推理的一种，是思维的基本形式。
解释演绎推理、归纳推理和类比推理等逻辑推理的基本类型。
七年级下册第5章5.3.2命题、定理、证明(1)
【选做1】
3.如图，已知A,B,C在一条直线上
请从三个论断：①AD∥BE，②∠2=∠2，③∠A=∠E，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题.
条件：__________
结论：__________（填序号）
【选做2】
4.能说明“锐角α，锐角β的和小于90°”是假命题的例证图是（）
A.
B.
C.
D. D
考查知识：举反例
设计意图：把今天所学知识
应用在图中，既起到了复习
的效果，又能提高学生的看
图能力.
题目来源：【高效课堂宝典
训练期末必考题 P12 T4】
改编
完成时长：3分钟
能力创新
阅读下列问题后作出相应的
解答
“同位角相等，两直线平行”
和“两直线平行，同位角相等”这
两个命题的题设和结论在命题中
的位置恰好对调，我们把其中一个
逆命题：在角
的内部距离相等的
点在这个角的平分
线上.
题设：在角的
内部到角两边的距
离相等的点.
考查知识：逆命题的改编
设计意图：通过阅读来激发
学生的思考能力，通过改编
原题句子的形式来学习和
掌握逆命题.
题目来源：原创
完成时长：3分钟。
程元冰《逻辑学》(5-6)第五章 第四节假言
(p←q) ∧(q←r) ∧(r←s) →(s→p) ③混合：前提是不同条件
当且仅当年满18岁，才是成年人；如果一个人是成年人，他要为自己的言 行负责；所以如果一个人年满18岁，他要为自己的言行负责。
规则：肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件 否定前件不能否定后件，肯定后件不能肯定前件
有效式： ①肯定前件式-如果P则q,p 所以 q.( p→q) ∧ p→q
如果摩擦，就能生热；我的双手摩擦了，所以，双手就生热了。 如果谁骄傲自满，那么他就要落后；小张骄傲自满，所以，小张必定落后。
②否定后件式-如果P则q, ﹁q 所以﹁p.( p→q) ∧﹁q→﹁p
肯定前件不能肯定后件，否定后件不能否定前件 有效式：①否定前件式-只有P才q, ﹁p 所以﹁q.( p←q) ∧﹁p→﹁q
只有努力学习，才能取得好成绩，小李没有努力学习，所以，他一定不会 取得好成绩。 只有年满十八岁，才有选举权；小周不到十八岁，所以，小周没有选举权。
②肯定后件式-只有P才q, q 所以p.( p←q) ∧q→p
否定前件就要否定后件，否定后件就要否定前件
法院判决离婚的唯一条件是夫妻感情破裂。 三角形等边，三角形等角。 整理课件
2、纯假言推理：前提和结论都是假言命题。依据为假言
命题之间和前后件之间的关系。分为两种：易位、联锁。 （1）假言易位推理：变换前后件推出新假言命题。 ①充分
如果摩擦，就会生热；所以，如果没有生热，就没有摩擦。 如果天下雨，地上就会湿；所以，如果地上没有湿，天就没有下雨。 如果p，则q；所以，如果﹁q，则﹁p。( p→q) →（﹁ q →﹁ p ）
人教版七年级下册数学《命题、定理、证明》相交线与平行线培优说课教学复习课件
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
许多数学命题常可以写成 “如果……，那么……”的形式 ．“ 如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分就 是结论．
例题
下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成 “ 如果……，
那么……” 的形式 . （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
B
3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还
是假命题？
（1）一条狗有四只脚；是
（2）内错角相等； 是 （3）画一条直线； 否 （4）四边形是正方形；是
真命题 假命题
假命题
（5）你的黑板报做完了吗？否
（6）内错角相等，两直线平行； 是 真命题
（7）平行于同一直线的两直线平行； 是 （8）过点P画线段MN的垂线； 否 （9）x<3. 否
1、基本事实 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出 来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做基本事实.
直线的基本事实： 两点确定一条直线. 线段的基本事实： 两点间线段最短. 平行线的基本事实：经过直线外的一点有且仅有一条直线
与已知直线平行.
2、定理的概念 有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经 过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也 可以作为继续推理的依据.
是假命题 ，可以举出如下反例：
A
如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角. O
））12
C
B
确定一个命题是假命题的方法：
只要举出一个例子（反例）：它符合命题
的题设，但不满足结论即可.
随堂训练
1.下列命题是假命题的是( A ) A.同位角相等 B.对顶角相等 C.钝角三角形有两个锐角 D.两直线平行，内错角相等
人教版数学初一下册第五章 相交线与平行线 5.3.2：命题、定理、证明(1)课件
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（5）对顶角相等．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
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知识点一：命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论，
①、内错角相等； ②、两条平行线被第三直线所截，同位角相等； ③、同角的余角相等； ④、同平行于一直线的两直线平行； ⑤、直角三角形的两个锐角互余； ⑥、等角的补角相等； ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补，那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角．
1
2
1 2
20
知识点二：真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念，会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一：命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定，这些语句都对某 一件事情作出判断，如：同位角相等，两条直线平行．
（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”；
（3）题设是“两个角是邻补角”，结论是“这两个角互补”.
13
知识点一：命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2，再同桌相互交流， 最后小组交流；
第五章命题的判断及方法
• （9）只有鱼可得，熊掌才不可得。（10）只有熊掌不可 得，鱼才可得
• （二）真值树法 • 不要列表，直接在判断下赋值。
• 1.用真值树法判断下列推理是否为正确推理 式：
• （P → Q）∧ ┑ Q → ┑P（P ← Q）←→ ┑ P ∧ Q
P→Q、P∧Q
• 重言式具有特别重要的意义，是逻 辑真理的表现形式，是关于真值联 结词的逻辑规律。现代逻辑中的一 切正确推理形式均可表示为重言式。
二．命题的真值判断方法
• 命题的真值判断方法很多，如： • 真值表法、归谬赋值法、真值树法、演绎
证明法、范式法等。
• （一）真值表法
• 真值表在逻辑思维中发挥着巨大的作用， 其基本作用是以简单列表计算代替复杂的 思考。用真值表可以解决多种类型的问题。
晚才回来（表明被告有作案时间） • （2）死者是被枪杀的，在现场发现一枚六五式手
枪的子弹壳，而张某是保安人员，所带的也是六 五式手枪。 • （3）张某携带的枪上有血迹。 • 根据上面提供的理由，是否能合乎逻辑地推出被 告人一定是杀人犯？ • （要求用假言直言推理或三段论推理做分析）
• 4.下列各题中的议论是否违背了逻辑的基本规则，或其它逻辑要求？ 为什么？
• （3）一学生打坏了教室玻璃，老师说：“玻璃是国家财产，你损坏 了玻璃，应照价赔偿。”学生说：“国家财产是人民财产，我是人民 一员，人民财产有我的一份，我那一份不要了，用不着赔偿。”
• 5.逻辑老师出了道题问学生：“有一个正确的三 段论，它的小前提是肯定的，试问这个三段论属 于哪一格？”
• 学生甲答：“属于第一格，因为如果它是第一格， 那么小前提必然是肯定的，而这个正确的三段论 的小前提是肯定的。所以它是属于第一格。”
第五章__逻辑学的基本规律
一 同一律
（一）主要内容
1. 在同一思维过程中，所有的概念和命题都必须 与自身保持同一。
2. 公式：A=A，或者
3. 作用：保证思维的确定A性。A
（二）基本要求：
1. 所使用概念的内涵和外延必须保持同一； 2. 所使用命题的意义和真值必须保持同一。
（三）逻辑错误：
（二）逻辑错误：自相矛盾（“两可”）
第一组： 我花了近一年多的时间，才写完这本书。 中国园林建筑始于汉唐宫室。 他是很多死难者中幸免的一个。
第二组： 我国劳动人民修建的万里长城是一道天然屏障。 实践固然是检验真理的唯一标准，但马列主义
也是检验真理的标准。 我是有信心做好此事的，只是感到没有把握。
3. 有人说：“经验主义不能一概反对，例如，工作经验、生产 经验等，就不应该反对”。
4. 小李和小王下了两局祺。小张遇到小李： ──“你赢了吗？” ──“没赢。” ──“那么你输了？” ──“也没有输。”
5. 这次试验一定会成功，当然，也有失败的可能。
6. 要说物质是永恒不灭的，这不符合事实，因为世界上的植物 物、动物，甚至恒星等物质都是有生有灭的。
7. 我不认为一切金属都是固体，也不认为一切金属都不是固体 。
8. 对于是否有外星人的问题，在科学未证实之前，我的态度是 既不肯定，也不否定。
9. 这次考试我一定能通过，因为我这次信心十足，家里人也很 鼓励我，支持我。
10. 病人：我的记忆已经完全丧失了，我现在记不得任何东西。
医生：什么时候开始的？
病人：今年春节晚会结束时，我记得那时一阵兴奋，接着脑 子里便是一片空白，什么都不记得了。
3. 作用：保证思维的明确性。
第五章概念、命题教学
他在报告中讲了四个故事。
第一个故事是：7岁时，因为有些原因他要离开班级，当时班主任非常浪漫
，做出一个非常重要的举动，紧紧地抱住他，老师说真舍不得他离开，当 时他幼小的心灵，深深地被感动了，他体会到教育实际上就是一种关爱。 四年级的时候，小小徐南平因为调皮，有一度成为全班最差的学生，父母 准备不让他继续读书了，老师比他还着急，一次一次地家访，告诉他的父 母这个孩子将来肯定有出息，一定要让他读书，老师说他一定会变好，他 不是差生。在老师苦口婆心的劝说下他回到了渴望已久的课堂继续他的学 习，他体会到教育实际上就是一种期待和宽容。 在初一的时候，有一天课上他津津有味看着《三国演义》，那个时代得到 一本《三国演义》是非常难的，他正全神贯注的看着，却被老师发现随即 把书收走了，他当时非常着急，生怕老师把书撕掉，因为书是借来的。结 果上完课以后，老师说还有一点时间，我们一起来鉴赏《三国演义》最精 彩的篇章，老师讲关云长单刀赴会的故事。徐南平说那简直就是他一生听 到的最优美的诗篇，下课后，老师把书还给了他并且说了一句“读书很好 ，但不要上课的时候看，否则的话就捡了芝麻丢了西瓜。”他认识到教育 实际上就是一种激励。 高三的时候，他每天晚上都学习到12点钟，老师陪伴着学生，他看到老师 一头青丝已经变成白发，他体会到教育是一种付出。
论证方法： ①举例论证 列举确凿、充分，有代表性的事例证明论点。 ②道理论证 古今中外名人的名言警句以及人们公认的定理公式等来证明论点。 ③对比论证 拿正反两方面的论点或论据作对比，在对比中证明论点。 ④比喻论证 用人们熟知的事物作比喻来证明论点。此外，在驳论中，往往还采用 “以子之矛，攻子之盾”的批驳方法和“归谬法”。在多数议论文中往往是 综合运用的。 ⑤归纳论证 也就叫“事实论证”。它是用列举具体事例来论证一般结论的方法。 ⑥演绎论证 也叫“理论论证”，它是根据一般原理或结论来论证个别事例的方法， 即用普遍性的论据来证明特殊性的论点。 ⑦类比论证 是从已知的事物中推出同类事例子方法，即从一般到特殊的论证方法。 ⑧因果论证 它通过分析事理，揭示论点和论据之间的因果关系来证明论点。 因果论 证可以用因证果，或以果证因，还可以因果互证。
七年级数学下册第五章知识点整理
七年级数学下册第五章知识点整理在平凡的学习生活中，大家都背过各种知识点吧？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
还在为没有系统的知识点而发愁吗？以下是店铺收集整理的七年级数学人教版下册第五章知识点整理，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
七年级数学下册第五章知识点整理 1第五章相交线与平行线知识要点1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交;如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
如图1所示，与互为邻补角，与互为邻补角。
+ = 180°; + = 180°; + = 180°;+ = 180°。
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
如图1所示，与互为对顶角。
= ;= 。
5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示，当= 90°时，⊥ 。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质3：如图2所示，当a ⊥ b 时，= = = = 90°。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样的两个角叫同位角。
图3中，共有对同位角：与是同位角;与是同位角; 与是同位角; 与是同位角。
②在两条直线(被截线) 之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。
第五章相交线与平行线教材分析
第五章相交线与平行线教材分析一、教材所处地位分析：本单元处于人教版七年级下册得第5章，本章主要研究平面内两条直线得位置关系，重点就是垂直与平行关系，以及有关平移变换得内容．这时在学生认识了点与线段，以及射线、直线得基础上安排得，也就是进一步学习空间与图形得重要基础之一二、教材得内容分析1、本章得课时安排：本章共安排了四个小节以及三个选学内容，教学时间约需13课时，具体分配如下：5、1 相交线3课时5、2 平行线3课时5、3 平行线得性质3课时5、4 平移2课时数学活动小结2课时2、本章知识结构如下图所示：3．考试对本章得要求考试水平A层次：能对所学知识有初步得认识，能举例说明对象得有关特征，并能在具体情境中进行辨认，或能描述对象得特征，并能指出与有关对象得区别或联系；B层次：能在理解得基础上，把知识与技能运用到新得情景中，解决有关得数学问题与简单得实际问题；C层次：能通过观察、实验、推理与运算等思维活动，发现对象得某些特征或与其她对象得区别与联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关得方法，实现对特定得数学问题或实际问题得分析与解决。
4、教材得知识呈现方式分析本章首先通过台球桌面上得角，创设有利于学习补角、余角、对顶角等得问题情景，展开相交线得有关几何事实，使学生在直观得、现实得情景中，认识相交线所成得角及基本结论；然后，通过设置一些探索性活动，按照“先探索直线平行得条件，再探索平行线得特征”得顺序呈现有关内容，并试图在探索活动与解决问题中，加深对平行得理解，进一步发展学生得空间观念、与老人教版得教材处理方式相比，本章教材在呈现具体内容时，教材为学生提供了生动有趣得现实情景，并穿插安排了观察、操作、交流等活动；在探索直线平行条件之前自然引入了“三线八角”，而不就是孤立地处理有关内容。
这种编排方式，一就是为了发展学生得合情推理能力，二就是在直观得基础上进行简单得说理与初步得推理，充分体现直观与简单推理（仅限一步推理）相结合。
人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》学案 (2)
新人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》学案学习目标：1、了解命题、真命题、假命题、定理的含义。
2、会区分命题的题设和结论，能识别真假命题。
3、了解证明的必要性，知道推理要有依据。
重点：会区分命题的题设与结论，真命题的证明推理过程。
难点：找出命题的题设和结论。
学习过程一、知识准备1、思考：下列语句能判断正确与错误吗?哪些是正确的?哪些是错误的?(1)对顶角相等 (2)内错角相等(3)如果两直线被第三直线所截,那么同位角相等 (4)3＜2(5)三角形的内角和等于1800 (6)x=2(7)画AB∥CD二、自主学习1、结合上述问题阅读20页课本给出下面问题的答案（1）命题的概念：（2）命题的组成：（3）命题的形式：（4）命题的分类：（5）定理：2、自主检测判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示。
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( )2）两条直线相交，有且只有一个交点（）3）一个平角的度数是180度（）4）相等的两个角是对顶角（）5）明天下雨吗？（）例2、哪些是真命题，哪些是假命题？1）一个角的补角大于这个角2）两点之间线段最短3）两点可以确定一条直线4）若A=B，则2A=2B5）锐角和钝角互为补角三、合作探究例1、指出下面的命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。
1、两直线平行，同旁内角互补。
2、邻补角是互补的角。
3、相等的角是对顶角4、等角的补角相等。
5、平行于同一条直线的两条直线平行。
6、对顶角相等。
例2.已知直线b∥c，a⊥b，请画出图形并证明a⊥ c。
4证明：如图∵b∥c（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）又有a⊥b,即∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2=90°（等量代换）于是a⊥c（垂直的定义）四、课堂小结：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？五、达标测试1、命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m 不是正数，则m 一定小于零；③若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除。
高中数学命题理解教案
高中数学命题理解教案
教学内容：数学命题的理解
教学目标：通过本课教学，使学生能够理解数学命题的概念、特点以及解题方法，提高其解题能力和思维能力。
教学重点：数学命题的概念和特点
教学难点：数学命题的解题方法
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生提出一个简单的问题：“什么是数学命题？”引导学生思考并回答问题。
二、概念讲解（10分钟）
1. 数学命题的定义：命题是陈述性句子，可以判断真假的陈述句称为命题。
2. 数学命题的特点：具有唯一真值（真或假）。
三、示例分析（15分钟）
1. 教师给出几个数学命题的例子，让学生分析其真值，并解释为什么是命题。
2. 学生互相讨论，共同分析这些命题的特点。
四、练习和讨论（15分钟）
1. 学生完成一些关于数学命题的练习题，通过实际操作加深理解。
2. 学生将自己的答案与同学讨论，让学生感受思维碰撞的乐趣。
五、课堂小结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并提出下节课的学习安排。
六、课后作业（5分钟）
布置相关的课后作业，包括练习题或阅读材料。
教学反思：通过本节课的教学，学生对数学命题的概念和特点有了深入的了解，提高了解题能力和思维能力。
但在教学过程中，应重视引导学生自主探究，培养其自主学习和分析问题的能力。
5.1负命题及等值式详解
• 唯有喝某种营养口服液，才能考取名牌 大学。 • 没有喝某种营养口服液，也考取了名牌 大学。 • 喝了某种营养口服液，未能考取名牌大 学。
例题： 张三并非既懂英语又懂法语
• 如果上项为真，下述哪项也必定为真？
• A张三懂英文但不懂法语 B张三懂法语但不懂英文 C张三既不懂法语也不懂英文 D如果张三懂法语，那他一定不懂英文
• 所有S都是P－不是所有S都是P－有的S不是P
• 所有的人都是好人SAP • 并非所有的人都是好人－（SAP） • 有的人不是好人SOP
E命题
• SEP：－（SEP）→SIP
• 所有S都不是P－不是所有S都不是P－有的S是P
• （洪洞县没好人）
• 所有洪洞县的人都不是好人 • 并非所有洪洞县的人都不是好人 • 洪洞县也有好人
• 我们总是可以从一个负命题推得一与它等值的新命题，这就是等值推理。
（一）直言命题的负命题
• 直言命题的负命题及其等值推理
• 否定一直言命题即得到该直言命题的负 命题。 • 由负命题可推出一与被否定的直言命题 相矛盾的新命题。
• 四种直言命题负命题的等值推理：
A命题
• SAP：－（SAP）→SOP
• SIP： －（SIP）→SEP
• 有的S是P－不是有的S是P－所有的S都不是P
• 有的人是好人SIP • 并非有的人是好人－（SIP） • 所有的人都不是好人SEP
• SOP：－（SOP）→SAP
• 有的S不是P－不是有的S不是P－所有的S都是P
• 有的人不是好人SOP • 并非有的人不是好人－（SOP） • 所有的人是好人SAP
（二）复合命题的负命题 及其等值式
• 否定一个复合命题即得到该复合命题的 负命题。
SX-7-011第五章5.3.2命题、定理导学案附教学反思
A
B
D
E
F
1
2
∴==90°（）
∵∠1=∠2（已知）
∴=（等式性质）
A
D
B
C
E
F
1
2
3
4
∴BE∥CF（）
7、已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，
∠BCD是∠B的余角。
求证：∠ACD=∠B。
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（）
∴∠BCD是∠ACD的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（）
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等。
5、如图,已知直线a、b被直线c所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据:
(1)∵a∥b,∴∠1=∠3(_________________);
(2)∵∠1=∠3,∴a∥b(_________________);
(3)∵a∥b,∴∠1=∠2(__________________);
D、锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
3、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c
（2）同旁内角互补，两直线平行。
4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断
2、定义：的语句,叫做命题
3、练习：下列语句,哪些是命题?哪些不是?
(1)过直线AB外一点P,作AB的平行线.
(2)过直线AB外一点P,可以作一条直线与AB平行吗?
高中数学必修一第五章讲义
5.1 任意角和弧度制知识点一 任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ． 2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB ”，始边： ，终边： ，顶点 .3．角的分类：名称 定义图示正角一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角零角一条射线 做任何旋转形成的角设α，β是任意两个角， 为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的 旋转角β. (2)α－β：α－β＝ ．知识点三 象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点四 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∠Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五 度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角 1度的角等于周角的1360弧度制定义 以 作为单位来度量角的单位制 1弧度的角长度等于 的圆弧所对的圆心角知识点六 弧度数的计算 （1）弧度数正角的弧度数是一个 数. 负角的弧度数是一个 数. （2）零角的弧度数是 （3）弧度数的计算 公式：rl =α知识点七 角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad ＝ 180°＝ rad π rad ＝ 1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.1．与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒ 2．135-的角化为弧度制的结果为（ ） A ．32π-B ．35π-C ．34π-D ．34π 3．下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角相等 B ．相等的角终边相同 C ．小于90︒的角是锐角 D ．第一象限的角是正角4．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为(0).ααπ<≤则α=（ ）A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈3 1.73≈）A ．0.01B ．0.05C ．0.13D ．0.536．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-7．角76π所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知一扇形的周长为6(0)a a >，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．1 D ．2二、多选题9．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角10．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ） A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定11．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点()(),0m m m >的角的集合是2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角； D ．{}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈，{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈，则M N ⊆12．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B A C =⋂ B ．C C =B ∪ C ．B A B = D ．A B C ==三、填空题13．写出两个与6π终边相同的角______．14．半径为2cm ，中心角为30的扇形的弧长为______cm ．15．如图，扇环ABCD 中，弧4AD =，弧2BC =，1AB CD ==，则扇环ABCD 的面积S =__________．16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43___________.四、解答题17．已知1690α=．(1)把α表示成2k πβ+的形式，其中k ∈Z ，[)0,2βπ∈； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且[)4,2θππ∈--．18．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．19．已知1570α=-︒，2750α=︒，135rad πβ=，23rad πβ=-．(1)将1α，2α用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1β，2β用角度制表示出来，并在{}720180ββ-︒≤≤-︒内找出与它们终边相同的所有角．5.2 三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∠R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝余弦点P的叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝三角函数正弦函数y＝sin x，x∠R余弦函数y＝cos x，x∠R正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∠Z知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一终边相同的角的同一三角函数的值．即=+)2sin(παk=+)2cos(παk=+)2tan(παk其中Zk∈知识点四 同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin 2α＋cos 2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于 商数关系sin αcos α＝ ⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∠Z同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的一、单选题1．已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．122．已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．523．已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22B ．225C ．434D 4344．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-5．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4α=-，则cos α=（ ）A ．35B ．35C ．45-D ．456．已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α<B ．tan 0α>C ．cos 0α<D ．sin cos 0αα>7．已知P 是半径为3cm 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为πrad/s 2.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy ，若0π3P Ox ∠=，则点P 到x轴的距离d 关于时间t （单位：s ）的函数关系为（ ）A ．π3sin 43d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．π3sin 43d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是6πB ．若角2rad α=，则α角为第二象限角C ．若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角 D ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数tan y x =与sin y x =的图象有3个交点10．已知角α的终边与单位圆交于点3,55m P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值可能是（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．3511．已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin 7θ=- B ．α为钝角C ．27cos 7α=-D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ） A ．tan 2α B ．5cos 5α=C ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα>三、填空题13．已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________．14．已知角2022α= ， 则sin cos tan sin cos tan αααααα++= _______________________． 15．若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为_________．16．已知1sin cos 52παααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则11sin cos αα-的值为___________.四、解答题17．已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()1P m m +,，且3cos 5α=． (1)求m 及tan α的值； (2)求()sin sin cos ααα+的值．18．已知tan 2α=，求下列各式的值. (1)1sin cos αα； (2)111sin 1sin αα+-+. 19．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-． (1)求tan α的值； (2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值．20．已知第二象限角α满足sin ,cos αα是关于x 的方程2255120x x --=的两个实根. (1)求1tan tan αα+的值； (2)求()22sin cos sin 2cos sin ααααα+-的值.5.3 诱导公式知识点一 公式二～四终边关系 图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于 对称sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ 公式三角－α与角α的终边关于 轴对称sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ 公式四角π－α与角α的终边关于 轴对称sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝知识点二 诱导公式五、六 （1）公式五=-)2sin(απ=-)2cos(απ（2）公式六=+)2sin(απ=+)2cos(απ一、单选题1．cos210︒的值等于（ ） A ．12 B ．32C ．32-D ．22-2．已知5sin 5α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．55B ．55-C ．255-D ．2553．3cos()sin 2x x ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（ ） A ．2cos x -B ．0C ．2sin x -D ．cos sin x x -4．已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（ ） A ．22B 2C ．2D ．22-5．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（ ） A ．52B ．52-C ．14-D ．146．若()1sin 2π3α+=，tan 0α<，则cos α=（ ）A ．22B ．13-C ．13D 227．已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ） A ．2110 B ．32C 3D ．28．若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列转化结果正确的有（ ） A ．171sin62π= B ．113tan 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成度是15 10．在∠ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ） A ．()sin sin A B C += B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin sin απβ+= B ．()sin sin απβ-= C ．()sin 2sin παβ-=- D ．()sin 2sin παβ+=12．下列说法正确的有（ ） A ．3sin 600tan 240︒+︒=B ．若已知cos31m ︒=，则2sin 239tan1491m =-︒︒C ．已知()1cos 753α︒+=，且18090α-︒<<-︒，则()22cos 15α︒-=D ．函数()1f x ax =+在区间()1,1-上存在一个零点的充分必要条件是1a <-或1a > 三、填空题13．172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．14．()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒__________． 15．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．16．若tan()2πα-=-，则3cos(2)2cos 2sin()sin 2ππααππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭__________.四、解答题17．已知()4cos 5πα+=，且tan 0α>. (1)求tan α的值； (2)()()()2sin sin 22ππααπ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'的值.18．已知角α终边上一点()43P ,-，求下列各式的值．(1)sin cos sin cos αααα+- (2)()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知正弦三倍角公式：3sin 33sin 4sin x x x =-∠（1）试用公式∠推导余弦三倍角公式（仅用cos x 表示cos3x ）； （2）若角α满足sin 33sin 2αα=，求cos3cos αα的值.5.4 三角函数的图象与性质知识点一正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点，⎝⎛⎭⎫π2，1，，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的叫做正(余)弦曲线知识点二函数的周期性1．函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∠D都有x＋T∠D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．知识点三正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R周期2kπ(k∠Z且k≠0)2kπ(k∠Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性知识点四正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数 余弦函数图象定义域 RR值域单调性在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∠Z )上都单调递减在每一个闭区间[2k π－π，2k π](k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间[2k π，2k π＋π] (k ∠Z )上都单调递减最值x ＝π2＋2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∠Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∠Z )时，y min ＝－1知识点五 正切函数的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∠Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数单调性 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∠Z )上都单调递增 对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∠Z )一、单选题1．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．图像关于直线12x π=-成轴对称2．与图中曲线对应的函数可能是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-3．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（ ）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈ B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈ C ．37[2,2],(Z)88k k k ππππ++∈ D ．37[,],(Z)88k k k ππππ++∈ 4．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（ ） A ．π2-B ．πC ．π3D ．05．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）∠函数()f x 最小正周期为2π； ∠定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭∠()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ∠函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．函数()()sin 2,0,6f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若方程()2f x =的解为()1212,0x x x x π<<<，则()12sin x x -=（ ）A ．23-B ．33-C ．73-D ．26-7．记函数()sin()f x x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若2()2f T =，3π4x =为()f x 的零点，则T的最大值为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π8．已知函数π()cos 22cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，给出下列结论：∠()f x 的最小正周期为2π： ∠()f x 是奇函数：∠()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ∠()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ．∠∠∠ D ．∠∠∠二、多选题9．下列函数以π02⎛⎫⎪⎝⎭,为对称中心的有（ ） A ．sin y x = B ．tan y x = C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x =10．函数()π3sin 334g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()g x 的最小正周期为6πB ．()g x 的图像关于直线π4x =对称 C ．()g x 的图像关于点5π,312⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称；C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．该图象向右平移3π个单位可得2sin2y x =的图象. 12．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x 2在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题13．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____________14．已知函数()(25sin π,0,4f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，设方程(),(01)f x m m =<<的根从小到大依次为123,,x x x ，且2132x x x =，则m =___________.15．设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是__________．16．设函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______________.四、解答题17．已知函数()sin 62f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.18．已知函数()sin()(R,0,0,0)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><<的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()1f x >的解集.19．已知函数2π()sin(2)3f x x =+. (1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,]2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，π<ϕ），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．∠函数()f x 向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称且()00f <．∠函数()f x 的一条对称轴为π3x =-且()π16f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭；(1)求函数()f x 的解析式；(2)若π17π,212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()()()2430f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．勉，学习需坚持。
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第五讲 概念、命题教学
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本章结构
原始 概念
人的思维离不开概念； 人的语言也离不开概念的运用。
概念理解准确、深刻而全面，有助于命 题理解准确、全面而深入.
概念教学
命题教学
概念教学影响教学质量——理论性较强的课程
问题教学
论证教学
第一节
概念教学
一、概念及其理解 概念是反映客观事物的最本质的特征和联系的东西， 相关的字词或语句表达。 概念理解从内涵（本质）和外延（涵盖范围）两方面展开
教育的概念具有多义性； （自然课程中的概念具有一义性）
教育教学技能是什么？——活动方式、行为、知识 或结构 教育是什么？——多义性
教育的本质——育人
概念教学中需要注意些什么问题？ 三、概念教学的三个基本问题
1、所熟悉的是偏重外延或内涵的理解 2、了解学生对相关概念的种属层次中最熟悉哪一层次P116
遗传是素质形成的生物学前提； 良好环境是素质形成的根本条件。 （狼孩、猪孩、鸡孩）
第三节
问题教学/如何学问
一、问题、问题教学
问题是指个人在有目的追求而尚未找到适当手 段时所感到的心理困境。 问题教学：教学始于问题，并一直由问题串连着， 最后自然地形成结论。P121——评„自以为是‟
二、问题教学要求： 1、培养学生的问题意识 2、学会提问以培养学生的创造力P123
回忆“教育教学技能”概念是什么？如何理解的？
教学设 计技能 课堂教 学技能 作业批改 课后辅导 教学评 价技能 教学研 究技能
通过练习运用教育教学理论知识和规则达成某种教学目标的能力。
第一节
概念教学
二、人文课程和社会课程中的概念具有多义性； 自然课程中的概念具有一义性 教育是什么？——多义性，仁者见仁，智者见智
外延相对较宽的概念——属概念，内涵越少，外延越宽； 内涵相对较少的概念——种概念；内涵越多，外延越小。
教育？
3、确立教学的步骤，设计必要的程序。
由属概念向种概念演绎，或由种概念向属概念归纳。
“教育教学技能” 概念如何教学？
技能 教学技能 教育教学技能 高校教师教育教学技能
活动方式 行为 结构 知识 能力
教学设计技能 课堂教学技能 作业批改和课后辅导技能 教学评价技能 教学研究技能
高校教师通过练习运用教育教学理论知 识和规则达成某种教育教学目标的能力。
第二节 命题教学
（命题可以分为几类？结合教学，你认为应该如何进行命题教学？）
一、命题及其种类P119
命题： 就是一句句话。依句子的结构不同分成不同的命题。 命题种类： 实然性命题：连接主宾语词有“是”“为”“有”“无”等。 广泛存在，命题的基础，学习的根本与重点，教学的重点。 理论性较强的课程中大量存在。 应然性命题：连接主宾语词 “应当” “必须”“要”“不该”等，实 用性、技术性较强的科目中突出。解决“如何做” “做什么” “应当怎样做” 或然性命题：连接主宾语词有“吗”“呢” “？” 人是教育和环境的产物。 人是教育和环境的产物吗？ 人应当是教育和环境的产物。
他在报告中讲了四个故事。
第一个故事是：7岁时，因为有些原因他要离开班级，当时班主任非常浪漫
，做出一个非常重要的举动，紧紧地抱住他，老师说真舍不得他离开，当 时他幼小的心灵，深深地被感动了，他体会到教育实际上就是一种关爱。 四年级的时候，小小徐南平因为调皮，有一度成为全班最差的学生，父母 准备不让他继续读书了，老师比他还着急，一次一次地家访，告诉他的父 母这个孩子将来肯定有出息，一定要让他读书，老师说他一定会变好，他 不是差生。在老师苦口婆心的劝说下他回到了渴望已久的课堂继续他的学 习，他体会到教育实际上就是一种期待和宽容。 在初一的时候，有一天课上他津津有味看着《三国演义》，那个时代得到 一本《三国演义》是非常难的，他正全神贯注的看着，却被老师发现随即 把书收走了，他当时非常着急，生怕老师把书撕掉，因为书是借来的。结 果上完课以后，老师说还有一点时间，我们一起来鉴赏《三国演义》最精 彩的篇章，老师讲关云长单刀赴会的故事。徐南平说那简直就是他一生听 到的最优美的诗篇，下课后，老师把书还给了他并且说了一句“读书很好 ，但不要上课的时候看，否则的话就捡了芝麻丢了西瓜。”他认识到教育 实际上就是一种激励。 高三的时候，他每天晚上都学习到12点钟，老师陪伴着学生，他看到老师 一头青丝已经变成白发，他体会到教育是一种付出。
教育是什么？
徐南平先生，中国工程院院士，现在担任南京工业大学副校
长、苏州市挂职副市长，是我们国家某领域的首席科学家。 他在科学界是一位既年轻又有影响力的专家。 前不久在安庆市召开的安徽省首届中小学校长论坛上，他作 为安庆籍名人应邀在会上作报告。收到邀请后，徐南平先生 好几天都没睡着觉，他在思考，因为来到家乡，并且面对着 故乡的教师，他说他是怀着一颗感恩的心回到家乡的，感谢 故乡的教育，感谢故乡的教师，没有昨天的教育就没有他的 今天，教育成就了他的今天和他的未来。
论证方法： ①举例论证 列举确凿、充分，有代表性的事例证明论点。 ②道理论证 古今中外名人的名言警句以及人们公认的定理公式等来证明论点。 ③对比论证 拿正反两方面的论点或论据作对比，在对比中证明论点。 ④比喻论证 用人们熟知的事物作比喻来证明论点。此外，在驳论中，往往还采用 “以子之矛，攻子之盾”的批驳方法和“归谬法”。在多数议论文中往往是 综合运用的。 ⑤归纳论证 也就叫“事实论证”。它是用列举具体事例来论证一般结论的方法。 ⑥演绎论证 也叫“理论论证”，它是根据一般原理或结论来论证个别事例的方法， 即用普遍性的论据来证明特殊性的论点。 ⑦类比论证 是从已知的事物中推出同类事例子方法，即从一般到特殊的论证方法。 ⑧因果论证 它通过分析事理，揭示论点和论据之间的因果关系来证明论点。 因果论 证可以用因证果，或以果证因，还可以因果互证。
中国的传统观点： 教，从文从孝；教者，上行下效也。育， 养子使作善也。 西方的观点：education, edu-引出，强调引导，引出人内在 的潜能。 教育使人成为人。——康德 词典的界定：是一种培养人的社会实践。 大教育观的观点 ：教育是以教育者和受教育者双方共为主体 、以教育资源为客体所进行的主体际间和主客体之间的、 以成为一个完整的人为目标的社会实践。
第四节
如何学问与学习类别P125
一、如何学问？
针对主语提问：谁？ 针对谓语及相关副词的提问： 提问的三个层次： 针对宾语的提问？ 第一层次（事实）谁，什么，哪里，何时 其它相关问题？ 第二层次（推论）为什么，怎么做，总结，比较 第三层次（批判、评价）同意与否的原因， 如，学会关心P123 批评，假如…… 怎样……
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第一节 概念教学 一、概念及其理解 二、人文课程和社会课程中的概念具有多义性 三、概念教学的三个基本问题 第二节 命题教学 一、命题及其种类 二、如何进行命题教学 第三节 问题教学/如何学问 一、问题、问题教学 二、问题教学的要求 第四节 如何学问与学习类别 第五节 论证教学
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教育是一种关爱，教育是一种激励，教育是一种宽容，教育 是一种无私付出-----它深沉而久远，是一种崇高的感情。
教育不是升学，是达成幸福 。 教育不是训练，是生活，是创新 。 教育不是管束，是唤醒，是发现
教育以文化育人，使人终身追求真、善、美，知、情、意， 智、仁、勇，情感、理性、灵性，知识、能力、素质和谐 发展；使人通情达理，身心健康，潜能得到充分发挥。
高校教师教育教学技能指高校教师 通过练习运用教育教学理论知识和 规则达成某种教育教学目标的能力。
第二节 命题教学
（命题可以分为几类？结合教学，你认为应该如何进行命题教学？）
一、命题及其种类P119
实然性命题; 应然性命题; 或然性命题.
二、如何进行命题教学？
明确命题； 论证命题； 不同命题类别在教学中的侧重点不同； 重点是激发学生的兴趣，给学生更大的思考空间。 人是教育和环境的产物。
二、学习类别
知识学习； 元学习（学习思考 、发问、反思）； 心理学习（学习品质的改善）
第五节 论证教学
应然性命题——若干实然性命题来说明；即证明，证明的过程 即论证。 三角形的面积？ 或然性命题——实然性命题或应然性命题来作答，这种证明是 否正确，尚需进一步论证。需要假设或假说 缺爱还是缺钱？友情还是恋情？ 实然性命题——需要加以论证。“生命在于运动” 论证途径与方式：实证；逻辑 论证方法：