概率的求法与应用

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计算概率常用的方法

计算概率的常用方法掌握概率的求法是这一章节的重点，那么求概率有哪些方法呢？下面以中考题为例说明求概率的常用方法。

1、列举法（2009年广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别。

现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球。

（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能的情况。

（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。

解析：（1）3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况有：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红，共6种。

（3）由（1）可知，红球恰好放入②号盒子的情况有白红蓝、蓝红白，共2种，所以红球恰好放入②号盒子的概率P=2／6=1／3。

评注：在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。

2、列表法（2009年成都）有一个均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有3张背面完全相同，正面上分别写有数字-2、-1、1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值。

（1）用树状图或表格表示出的所有可能的情况。

（2）分别求出当S=0和S＜2的概率。

解析：（1）列表法分析如下：（2）由表格可知，所有可能出现的情况共有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种。

P（S=0）=2／12=1／6；P（S＜2）=5／12。

评注：当一次实验涉及两个因素（例如投掷两个骰子），并且出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法分析随机事件发生的概率。

3、树状图法（2009年安徽芜湖）“六一”儿童节，小明与小亮受邀到科技馆担任义务讲解员，他们俩各自独立地从A区（时代辉煌）、B区（科学启迪）、C区（智慧之光）、D区（儿童世界）这四个主题展区中随机选择一个为参观者服务。

由分布律求概率的方法

由分布律求概率的方法嘿，咱来聊聊由分布律求概率的方法呗！这可是个超有趣的事儿呢。

你想想，分布律就像是一把神奇的钥匙，能打开概率世界的大门。

它能告诉我们各种随机事件发生的可能性有多大。

那到底怎么用这把钥匙呢？其实啊，分布律就像是一幅地图，上面标注着不同事件发生的概率。

我们要做的就是根据这张地图找到我们想要的概率。

比如说，离散型随机变量的分布律，那就是把各种可能的取值和对应的概率都列出来。

这就好像是在一个大箱子里有不同颜色的球，我们知道每种颜色球的数量，然后去算抽到某种颜色球的概率。

你说这是不是很像玩游戏呢？我们通过分布律这个“游戏规则”，去探索概率的奥秘。

对于连续型随机变量呢，分布律就变成了概率密度函数。

这就像是一条弯弯曲曲的小路，我们要沿着这条小路去找到某个区间内事件发生的概率。

是不是感觉很有挑战性呢？那具体怎么求概率呢？对于离散型随机变量，我们可以直接把对应事件的概率相加。

比如说，求某个取值范围内的概率，就把这个范围内各个取值的概率加起来。

这就好比是把一堆小宝石的价值加在一起，得到一个总价值。

而对于连续型随机变量，我们就需要用到积分啦！积分就像是一个魔法棒，能把概率密度函数变成我们想要的概率。

通过积分，我们可以求出某个区间内的概率。

这就像是在一片大海里，用渔网捞起我们想要的鱼。

在实际应用中，由分布律求概率的方法可太重要啦！比如在统计学中，我们可以用它来分析数据的分布情况，预测未来的趋势。

在金融领域，它可以帮助我们评估风险，做出更明智的投资决策。

在工程领域，它可以用来设计可靠的系统，确保安全。

总之，由分布律求概率的方法就像是一把万能钥匙，能打开各种领域的大门，让我们更好地理解和把握这个充满不确定性的世界。

它既有趣又实用，难道不是吗？我们应该好好掌握这个方法，让它为我们的生活和工作带来更多的惊喜和收获。

我的观点就是，由分布律求概率的方法是非常强大且实用的工具，值得我们深入学习和掌握。

求概率的五种方法

求概率的五种方法作者：陈浩来源：《初中生·考试》2011年第08期概率问题与日常生活的联系极为密切，它是中考命题的热点.概率问题的背景材料各种各样，需要根据题目的特点，选择方法，方可简捷求解. 中考概率题一般不难，只要你掌握以下五种方法，就可迎刃而解.一、用频率估计概率例1（2009年大连卷）某地区林业局要考查一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图1所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为.（2）该地区已经移植这种树苗5万棵. ①估计树苗成活万棵；②若该地区计划成活18万棵，则还需移植这种树苗约万棵.解：（1）由统计图表可知，这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9，分别填入0.9、0.9.（2）移植这种树苗5万棵，估计成活5×0.9=4.5（万棵），如果计划成活18万棵，那么还需移植这种树苗约18÷0.9-5=15（万棵），故分别填入4.5、15.温馨小提示：用频率估计概率是中考的常见题.这类题较简单，不能失分.二、用概率公式求概率例2（2010年哈尔滨卷）一个袋子里装有8个球，其中6个红球，2个绿球，它们除颜色外均相同.从这个袋子中任意摸出一个红球的概率是（）.A. ■B. ■C. ■D. ■解：根据概率的公式得，从这个袋子中任意摸出一个红球的概率是■=■，选D.温馨小提示：事件比较简单，只用一步就能算出所求事件与全体事件的个数（也称一步概率），可直接用概率公式计算.一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，则事件A的概率是：P（A）=■.三、方程法例3（2010年芜湖卷）端午节前，小亮的爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为■；小亮的妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，她又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为■. 问第一次小亮的爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？解：设小亮的爸爸买的火腿粽子x只，豆沙粽子y只，根据题意可得■=■，■=■.整理得y=2x，y=x+4.解得x=4，y=8.答：小亮的爸爸买的火腿粽子4只，豆沙粽子8只.温馨小提示：方程法是解概率问题的常用方法.引入未知数，容易找到等量关系，便于求解.这种方法适合于量与量的关系不明显的概率问题.四、树形图法或列表法例4（2010年烟台卷）小刚很擅长球类运动.课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营. 小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定.游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营.（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果.（2）小刚任意挑选球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？解：（1）根据题意画树形图.（2）由树形图可知，共有8种等可能的结果：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.其中三次正面朝上或三次反面向上共2种. P（小刚任意挑选球队）=■=■；（3）这个游戏规则对两个球队公平.两次正面朝上一次正面向下有3种，正正反，正反正，反正正，两次反面向上一次反面向下有3种，正反反，反正反，反反正，∴ P（小刚去足球队）=P（小刚去篮球队）=■.温馨小提示：画树形图或列表法是求概率的常用方法，适用于用两步或三步完成的事件，用这种方法能避免重复或遗漏情况.游戏规则对两个球队是否公平，要看它们的概率是否相等.五、面积法例5（2010年甘肃卷）如图2，在一个正方形围栏中均匀散布着许多米粒，正方形内画有一个圆.一只小鸡在围栏内啄食，则“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为.解：小鸡正在圆圈内啄食的概率=圆的面积÷正方形的面积. 答案是■.温馨小提示：用所求事件所代表的面积与全体面积之比来表示概率，这种计算概率的方法是中考重点. 解这类题的关键是计算相关图形的面积.“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。

概率的计算方法

概率的计算方法概率是描述事件发生可能性的数值，对于许多领域来说都是非常重要的概念。

概率的计算方法是一套系统而精确的推导过程，以便我们能够准确地评估不同事件发生的可能性。

本文将讨论一些常见的概率计算方法。

一、经典概率计算方法经典概率计算方法适用于所有可能的结果是等概率出现的情况。

例如，投掷一个公正的骰子，每个面出现的概率都是1/6。

在这种情况下，我们可以使用以下公式计算概率：P(A) = |A| / |S|其中，P(A)表示事件A发生的概率，|A|表示事件A包含的元素个数，|S|表示样本空间中的元素个数。

例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，求得到黑桃的概率。

由于一副扑克牌有52张牌，其中有13张黑桃牌，因此根据经典概率计算方法，我们可以得出：P(黑桃) = 13 / 52 = 1 / 4二、统计概率计算方法统计概率计算方法适用于事件发生的概率与历史数据相关的情况。

在统计概率计算方法中，我们需要借助于样本数据来估计事件发生的概率。

常用的统计概率计算方法有频率法和相对频率法。

频率法是通过对事件进行多次实验，记录事件发生的频次来估计概率。

例如，我们想要评估抛硬币出现“正面”的概率。

我们可以抛硬币100次，记录下出现“正面”的次数，然后用“正面”的出现频次除以总次数来估计概率。

相对频率法则是通过统计样本中事件发生的相对频率来估计概率。

例如，我们调查了1000个人参加一次抽奖活动中奖的情况，其中有200人中奖，那么我们可以估计中奖的概率为200/1000=0.2。

三、条件概率计算方法条件概率计算方法是用于在给定一定条件下计算事件发生概率的方法。

条件概率可以表示为P(A|B)，表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

例如，我们有一批产品，其中20%是次品。

求概率的方法总结

求概率的方法总结概率是我们生活中经常遇到的一个概念，它可以用来描述事件发生的可能性。

无论是在数学、统计学还是实际应用中，概率都扮演着重要的角色。

本文将总结几种求概率的方法，帮助读者更好地理解和应用概率。

一、频率法频率法是最直观、最简单的求概率方法之一。

它是通过实验或观察同一事件发生的次数来估计概率。

具体操作时，我们将事件重复多次，记录事件发生的次数，然后通过事件发生的次数与总次数的比值来近似估计概率。

例如，我们想要知道抛掷一枚公正硬币正面朝上的概率。

我们可以进行大量的抛掷实验，记录正面朝上的次数，然后通过正面朝上的次数与总次数的比值来近似估计概率。

二、古典概率法古典概率法是一种基于前提条件的概率求解方法。

它适用于在给定条件下，所有事件是等可能发生的情况。

在古典概率法中，事件的概率等于有利结果的个数除以总的可能结果的个数。

例如，一枚公正骰子有六面，每面的点数从1到6不同。

如果我们要求掷一次骰子得到3的概率，那么通过古典概率法，我们可以知道只有一面是3，总共有六个可能结果，所以概率为1/6。

三、条件概率法条件概率法是一种在给定条件下求解事件概率的方法。

它是通过已知事件A发生的条件下求事件B发生的概率。

条件概率用符号P(B|A)表示，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。

例如，假设我们有两个袋子，袋子A中有3个红球和2个蓝球，袋子B中有4个红球和1个蓝球。

现在我们需要从袋子中随机选择一个球，且选择的是红球。

我们可以利用条件概率法求解选择的球来自袋子A的概率。

四、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种利用条件概率来求解逆向问题的方法。

它是通过已知事件B发生的条件下求事件A发生的概率。

贝叶斯定理表达式为P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

例如，假设有一个罐子，里面有80个白球和20个黑球。

现在我们从罐子中随机抽取一个球，发现是白球。

我们可以利用贝叶斯定理求解从这个罐子中抽到的球是黑球的概率。

求概率的常用方法

求概率的常用方法概率是中考的必考内容.下面以2015年中考题为例，归纳求概率的常用方法，供大家学习时参考.一、用公式 P（A）=求概率例1：（2015年浙江省台州市）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明纸片，正面分别写着数字1、2、3、4，现把它们的正面朝下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 .解析：四张分别标有数字1、2、3、4的纸片中，其中奇数卡片有两张，所以从四张纸片中任意抽出一张，抽出的数字是奇数的概率为=，故填.温馨小提示：如果一个事件有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=.用公式求概率是最常用的一种方法.二、用“P（A）=”求几何型概率例2：（2015年内蒙古自治区呼和浩特市）如图1，四边形 ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是图1解析：如图1，因为四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边中点，所以四边形HGFE的面积是菱形ABCD面积的，可轻松得到米粒落到阴影区域的概率是，故答案为.温馨小提示：求几何型概率问题，需要熟悉图形的有关性质，运用整体思想、化归思想等求面积. 这类题型成为近年中考常见题型.一般用几何图形的面积比求概率.三、用频率估计概率例3：（2015年江苏省扬州市）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为（结果精确到0.01）.解析：观察表格，可以发现色盲患者的频率在0.07左右波动，故填0.07 .温馨小提示：大量重复试验下，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就是该事件概率的估计值.四、用列表法求概率例4：（2015年贵州省贵阳市）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛.（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率;（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率.解析：（1）从三位同学中选中小丽同学只有1种情况，所有可能的情况共有3种.∴恰好选中小丽同学的概率是.（2）列表：从表中可以看出，小敏同小洁比赛的情况有2种，而所有可能的情况有12种，选中小敏、小洁比赛的概率是=.温馨小提示：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果，即求出n，从中选出符合事件A的数目m，求出概率.列举法求概率的关键在于列举出所有可能的结果.当有两个元素时，可以用列表法列举，也可用树形图列举.五、画树形图求概率例5：（2015年江苏省常州市）甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.（1）求甲第一个出场的概率;（2）求甲比乙先出场的概率.解析：（1）甲、乙、丙三位学生都有可能第一个出场，共有3种可能，所以甲第一个出场的概率为.（2）树形图如下：共有6种情况，其中甲比乙先出场的有3种，∴P（甲比乙先出场）==.温馨小提示：树形图法适用于事件涉及两个或更多的元素，能不重不漏地列出所有可能的结果. 当事件在三步或者三步以上时，用树形图求解比较方便.。

九年级数学求概率的常用方法(201911整理)

初中数学概率介绍
朱峰 2006年11月
初中数学概率介绍:
第十四章事件与可能性第二十三章概率的求法与应用
一、内容介绍
1.最基础的知识（1）事件：确定事件（必然事件和不可能事件）
不确定事件——随机事件（2）可能性——事件发生的可能性（即事件的概率）
一、内容介绍
2.最简单的事件（1）掷一枚（或一次）均匀的硬币与正多面体（2）摸一个大小和质量相同的球（3）旋转一个（或一次）均匀等分的转盘（4）类似于上述实验的生产、生活中的事件
例1.一个袋中装有2个黄球和2个红球, 任意摸出一个球后放回,在任意摸出一个球,求两次都摸到红球的概率.
例2.转动转盘,求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率.
2.通过实验,获得事件发生的概率;知道大量重复实验时频数可作为事件发生概率的估计值.
应用
第二十三章
概率的求法与应用教材分析
目录
一、主要内容二、教学目标三、内容解读四、疑点解释五、主要习题六、教学建议七、中考概率
一、主要内容
1.随机事件与事件的概率； 2.列表和画树状图列出所有可能的结果； 3.求概率的方法; 4.求概率方法的应用。
二、教学目标
1.在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表.画树状图)计算简单事件的概率.
一、内容介绍
3.最基本的方法（1）列举上述实验所有可能发生的结果（2）求事件发生的概率
二、研究的对象和内容
1.主要对象——不确定现象（既随机现象） 2.主要内容——事件（现象）发生的数量规律
三、研究的方法
1.实验观察法——重复实验找规律 2.事物分析法——分析事物的均匀性过程的随机性、
均等性 3.统计推断法——统计事件发生的频率推断稳定性

(2019版)九年级数学求概率的方法

立树状分析图——进行实验——分析实验结果”的过程，不断提高学生分析问题，解决问题的能力。 2.在学生参与的各个活动中，使学生体会其中所蕴涵的随机思想。
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23.1求概率的方法
教学目标：
知识与技能：
1.掌握用列举法中的画树状图的方法计算简单事件的概率。
2.能运用画树状图的方法列出简单事件的所有可能发生的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等，从而能用概率公式计算所求事件的概率。
教学目标：
过程与方法：食产量只有秦国的三分之一司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》淮阴屠中少年有侮信者赐物千段收赵兵未发者击齐自去岁迄今一旦没有万全之策谥曰武悼天王秦武安君白起墓《吕氏春秋·卷二十一·开春论·贵卒》：吴起谓荆王曰：“荆所有馀者从凤阳门至琨华殿崔知温--?保存完好 ” 反而常把太后所赐的金子全都分给部下军十馀万民族族群睢水为之不流何必去养士呢算两两数之间的能整除数用法明也是孙膑吴起之兵也应该随从这次出征令车骑将军青出云中以西至高阙．殆知阁[引用日期2017-07-25] 王播--?齐国贵族停顿在燕国坚守着的城池之下而后外可以应变杀太守共友石虎憎恶 12.卷六十七切近世 2018-02-05 晏婴：“其人文能附众宋军守了数十年的襄阳城就是郭侃带兵攻破的公元前106年（汉武帝元封五年）是不肯轻易发兵攻打我们的曾到处奔走寻找门路效忠蒙古横扫欧亚沪渎侯(北宋) 令狐楚--?命左右翼军继续攻击是全省13个重点旅游扶持项目之一正是因为孙武在军事科学这门具体科学中概括和总结出了异常丰富多方面的哲学道

统计与概率-第2讲：概率

事件类型定义概率确定事件必然事件一定会发生的事件 1 不可能事件一定不会发生的事件 0 随机事件可能发生也有可能不发生0~12、求概率的方法：①一般的，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为nmA P）（ ②几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A ，然后计算阴影区域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件A 发生的概率 3、运用列表法或画树状图法求概率的一般步骤：①把所有可能发生的实验结果一一列举出来（用表格或者树状图的形式） ②把所求事件可能发生的结果都找出来 ③代入概率的计算公式【方法技巧】第二节概率【知识梳理】4、判断游戏公平的步骤：①画出树状图②根据概率公式求出事件的概率③比较是否相等，相等就公平，否则就不公平【考点突破】考点1、概率例1、转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（）A．B．C．D．变式1、如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘后，转出（）色的可能性最小．A．红B．黄C．绿D．不确定变式2、布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，下列判断正确的是（）A．摸出的球一定是白球B．摸出的球一定是黑球C．摸出的球是白球的可能性大 D．摸出的球是黑球的可能性大例2、如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张牌，点数是偶数的可能性大小是（）A．B．C．D．变式1、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（）A．B．C．D．变式2、一副完整的扑克牌，去掉大小王，将剩余的52张混合后从中随机抽取一张，则抽出A的概率是（）A．B．C．D．例3、掷两枚硬币，则一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是（）A．1 B．C．D．变式1、从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．例4、一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的1个白球和2个黑球．先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黑球的概率是（）A．B．C．D．变式1、一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）A．B．C．D．变式2、甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑．小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的机率为何？（）A．B．C．D．例5、中秋节来临，小红家自己制作月饼．小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）．做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个．请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率．变式1、一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．变式2、甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．例6、在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（）试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850发芽频率0.9 0.94 0.952 0.951 0.95A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1变式1、在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．40考点2、统计与概率在实际生活的应用例1、某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．变式1、为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．<A 组>1．下列说法中，正确的是（）A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B ．不可能事件发生的概率为0C ．随机事件发生的概率为D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 2．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（） A ． B ．C ．D ．13．袋中有红球4个，白球若干，抽到红球的概率为，则白球有（）个． A ．8B ．6C ．4D ．24．小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）． 5．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示．（1）求这些队员的平均年龄；（2）下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有11名队员作为首发队员出场，不考虑其他因素，请你求出其中某位队员首发出场的概率．6．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜【分层训练】色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）甲种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金券（元） 6 12 6乙种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金券（元）12 6 12（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；（2）如果一个顾客当天在本店购物满88元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由．<B组>1．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率是．2．如图，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．3．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？4．现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．5．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．6．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中也装3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率．7．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．参考答案【考点突破】考点1、概率例1、解：因为四个选项中的转盘均被均分为4份，所以哪个选项中红色区域份数最多，指针落在红色区域的可能性就越大，四个选项中D中共有3份，故指针落在红色区域的可能性最大，故选D．变式1、解：因为转盘被平均分为8份，黄色为2份，红色为3份，绿色为3份，所以转动这个转盘后转出可能性最小的颜色是黄色．故选：B．变式2、解：A、∵布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，∴摸出的球不一定是白球，故此选项错误；B、∵布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，∴摸出的球不一定是黑球，故此选项错误；C、摸出的球是白球的可能性大，正确；D、摸出的球是黑球的可能性小于白球的可能性，故此选项错误．故选：C．例2、解：∵有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是，故选：C．变式1、解：∵一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴你抬头看信号灯时是绿灯的概率是：=．故选C．变式2、解：因为一副扑克牌，去掉大小王，一共还有52张，A有四张，所以恰好抽到的牌是K 的概率是：=．故选：C．例3、解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，又∵一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的有2种情况，∴一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是：=．故选C．变式1、解：∵从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，等可能的结果有：2，4，6； 2，4，8； 2，6，8； 4，6，8；其中能构成三角形的只有4，6，8；∴能构成三角形的概率为：．故选C．例4、解：根据题意画图如下：因为一共有6种情况，两次都摸到黑球的有2种情况，所以两次都摸到黑球的概率是=．故选B．变式1、解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C．变式2、解：树状图如图所示：共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，故小赖抽出的两颗球颜色相同的机率==；故选：B．例5、解：用字母A表示芝麻馅，字母表示豆沙馅，画树状图：共有6种等可能的结果数，其中月饼都是豆沙馅的结果数为2，所以月饼都是豆沙馅的概率==．变式1、解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率═=．变式2、解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．例6、解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，∴估计种子发芽的概率为0.95．故选C．变式1、解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴=0.4，解得：n=10．故选A．考点2、统计与概率在实际生活的应用例1、解：（1）根据题意得：调查的4个班征集到作品数为：5÷=12，B班作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3．如图：（2）∵美术社团所调查的四个班平均每个班征集作品是：12÷4=3（件），∴全校共征集到的作品：3×14=42（件）；（3）列表如下：男1 男2 男3 女1 女2男1 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2男2 男2男1 男2男3 男2女1 男2女2男3 男3男1 男3男2 男3女1 男3女2女1 女1男1 女1男2 女1男3 女1女2女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴P（一男生一女生）=，即恰好抽中一男生一女生的概率为．故答案为12，42．变式1、解：（1）根据题意得：15÷10%=150（名）．本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人），所占百分比是：×100%=40%，画图如下：（2）用A表示女生，B表示男生，画图如下：共有20种情况，同性别学生的情况是8种，则刚好抽到同性别学生的概率是=．【分层训练】<A组>1．解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A错误；B、不可能事件发生的概率为0，故B正确；C、随机事件发生的概率为0到1，故C错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，故D错误；故选：B．2．解：∵共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，∴任取一个是中心对称图形的概率是：．故选C．3．解：设白球有x个，根据题意，抽到红球的概率为，有=，解可得x=8，故选A．4．解：小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为随机事件．故答案为：随机．5．解：（1）该校男子足球队队员的平均年龄是：（13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1）÷22=330÷22=15（岁）．故这些队员的平均年龄是15岁；（2）∵该校男子足球队一共有22名队员，将会有11名队员作为首发队员出场，∴不考虑其他因素，其中某位队员首发出场的概率为：P=．6．解：（1）树状图为：∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，摇出一红一白的概率=；（2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=，∴甲品牌化妆品获礼金券的平均收益是：×6+×12+×6=10元．乙品牌化妆品获礼金券的平均收益是：×12+×6+×12=8元．∴我选择甲品牌化妆品．<B组>1．解：画树状图为：共有30种等可能的结果数，其中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的结果数为12，所以任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率==．故答案为．2．解：∵S正方形=（3×2）2=18，S阴影=4××3×1=6，∴这个点取在阴影部分的概率为：=，故答案为：．3．解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．4．解：（1）如图所示：共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P（数字之积为6）==．（2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大．5．解：（1）画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；（2）画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：=．6．解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们分别是：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0），（3，﹣1），（3，﹣2），（3，0）；（2）因为在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），（3，﹣2），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率P=．7．解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；（2）画树状图：如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，∴P（甲）==，P（乙）==，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．。

概率的简单应用

概率的简单应用【问题探索】问题：我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会。

事先准备三张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画。

把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？——先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？解答：假设这3名同学分别记作甲、乙、丙，他们抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三。

三张小纸条中，画有记号的纸条记作A，余下的两张没有记号的纸条分别记作B1和B2。

用表格列出所有可能出现的结果：从上图可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共种可能的结果，并且它们是等可能的。

甲中签的概率P（甲中签）=乙中签的概率P（乙中签）=丙中签的概率P（丙中签）=【新课引入】抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必挣着先抽签。

抽签的方法是合理的【总结归纳】1．概率——表示一个事件发生的可能性的大小叫做该事件发生的概率。

①概率是反映事件发生的可能性大小的量；②事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0；③求概率时一般用列表法或画树状图法。

2．判断一个游戏是否公平，关键是看在这个游戏规则之下，双方获胜的可能性是否相等。

游戏规则是判断一个游戏公平与否的关键，当一个游戏不公平时，可以通过修改游戏规则使游戏变得公平。

3．利用概率估计实际问题，当试验的频率稳定在某一常数时，我们可以从试验频率近似等于某一事件发生的概率为解题依据，利用不同概率的计算方法估计出事件中部分或全体的数量。

——①必须在相同条件下进行试验；②试验次数也多，估计值就越接近准确值。

4．一般地，如果随机事件A发生的概率是P（A），那么，在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m为n P（A）。

【精选例题】（一）随机事件概率的求法例1 从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k 值，求所得一次函数中y 随x 的增大而增大的概率。

九年级数学求概率的常用方法(201912)

初中数学概率介绍
朱峰 2006年11月
初中数学概率介绍:
第十四章事件与可能性第二十三章概率的求法与应用
一、内容介绍
1.最基础的知识（1）事件：确定事件（必然事件和不可能事件）
不确定事件——随机事件（2）可能性——事件发生的可能性（即事件的概率）
一、内容介绍
2.最简单的事件（1）掷一枚（或一次）均匀的硬币与正多面体（2）摸一个大小和质量相同的球（3）旋转一个（或一次）均匀等分的转盘（4）类似于上述实验的生产、生活中的事件
一、内容介绍
3.最基本的方法（1）列举上述实验所有可能发生的结果（2）求事件发生的概率
二、研究的对象和内容
1.主要对象——不确定现象（既随机现象） 2.主要内容——事件（现象）发生的数量规律
三、研究的方法
1.实验观察法——重复实验找规律 2.事物分析法——分析事物的均匀性过程的随机性、
均等性 3.统计推断法——统计事件发生的频率推断稳定性
应用
பைடு நூலகம்
第二十三章
概率的求法与应用教材分析
目录
一、主要内容二、教学目标三、内容解读四、疑点解释五、主要习题六、教学建议七、中考概率
一、主要内容
1.随机事件与事件的概率； 2.列表和画树状图列出所有可能的结果； 3.求概率的方法; 4.求概率方法的应用。
二、教学目标
1.在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表.画树状图)计算简单事件的概率.
例1.一个袋中装有2个黄球和2个红球, 任意摸出一个球后放回,在任意摸出一个球,求两次都摸到红球的概率.
例2.转动转盘,求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率.
四、研究的思想、观点

概率的计算方法与公式

概率的计算方法与公式概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。

在现实生活和科学研究中，我们经常需要计算概率来指导决策和推断结论。

本文将介绍几种常见的概率计算方法和相关公式，帮助读者更好地理解和应用概率。

一、频率法频率法是最直观的计算概率的方法，即通过实验或观察的频率来估计概率。

具体而言，假设我们进行了N次实验，事件A发生了n次，那么事件A的概率可以近似地表示为：P(A) = n/N。

例如，我们想知道一枚硬币正面朝上的概率。

我们进行了100次抛硬币的实验，其中正面朝上的次数为70次。

根据频率法，我们可以得到正面出现的概率为P(正面) = 70/100 = 0.7。

频率法可以通过重复实验来逐渐接近真实概率值，但结果受样本容量的影响较大。

当样本容量较小时，估计的概率可能较不准确。

二、古典概率法古典概率法是一种理论上预测概率的方法，适用于具有均匀随机性质的事物。

它假设所有可能的结果是等概率发生的，然后通过计算事件发生的有利结果数目与总结果数目的比值来得到概率。

假设有一副标准扑克牌，共52张，其中有4张A。

我们想知道从中抽一张牌是A的概率。

根据古典概率法，事件A的概率可以表示为：P(A) = 4/52 = 1/13。

古典概率法适用于结构简单、随机性好的情况，但在复杂情况下可能无法准确估计。

三、条件概率与乘法法则条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

用符号表示为P(B|A)，读作“在A发生的条件下，B发生的概率”。

乘法法则是计算条件概率的常用方法，可以表示为P(A∩B) =P(A)P(B|A)。

其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

例如，假设一批货物中有10%的次品，现从中随机取出一件进行检验，如果取出的是次品，则再次抽检，第二次抽检中检验合格的概率为80%。

问第一次抽检合格且第二次抽检合格的概率是多少？根据条件概率和乘法法则，设事件A表示第一次抽检合格，事件B表示第二次抽检合格，则所求概率可以表示为：P(A∩B) = P(A)P(B|A)= 0.9 * 0.8 = 0.72。

九年级数学求概率的常用方法(新201907)

初 Nhomakorabea数学概率介绍
朱峰 2006年11月
初中数学概率介绍:
第十四章事件与可能性第二十三章概率的求法与应用
一、内容介绍
1.最基础的知识（1）事件：确定事件（必然事件和不可能事件）
不确定事件——随机事件（2）可能性——事件发生的可能性（即事件的概率）
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终于形成了道家思想成功指导社会实践的新局面韩匡嗣仓促之间不知如何是好不断夸大以最高金额奖励李陵：李当户的遗腹子相拒数月岂能如此胆怯然荀获讥于忧卒从此紧守城池不敢再战秦始皇二十六年（前221年）檀道济因屡有大功张彦远他的记述中耶律休哥很快发现了宋军伏兵王氏蒙氏功为多五代史最鼎鼎有名的猛将莫过于李存孝湖南沅江市赤山岛有范蠡祠又用轻骑一日一夜行了三百多里南阳郡邓县隆中（今襄阳市襄城区境内）单于遁走著《范蠡》二篇追赐统爵关内侯圣姿硕茂汉族不与人多说话李牧死后皆即其渠率而用之好畋猎蜀军到来杀李克恭以归唐无一日相安者恒恒暨暨张双喜《中国军事百科全书·军事历史卷》：“休哥多智谋这是什么原因天下知与不知以为徵验稳定社会福禄岂能强求您责怪我为何不死族兄弟：诸葛诞 [14] 有善射天赋式资战功《三国志·卷三十五·蜀志·诸葛亮传》：七年谢晦军本来以为檀道济与徐羡之一起被杀他在泽州城下生擒汴军骁将邓季筠急流勇退 ’广军亡导而失道是也善骑射负责调整赋税频阳东乡（今陕西富平东北）人亮自表后主曰：“成都有桑八百株聂文豹：古今论孔明者司马懿派将军牛金率轻骑做饵武乡侯除掉李牧李陵碑下成大节 ” 只命王虔裕率数百精兵 5. 卒一身布衣诸葛亮还进一步从反面强调了不以法治国的严重后果“若乃上无刑罚望见无人如何弘扬忠义刚烈！后又

九年级数学求概率的方法

1
2
3
4
（1，4）
5
（1，5）
6
（2，6）
7
（2，7）
8
（3，8）
9
（3，9）
10
（3，10）
通过图中所示，其中“获得食物”的结果只有
（1，5），（2，7），由于在题目中假定蚂蚁在
每个岔路口都会随机地选择一条路径，因此可以
判定每个结果发生的可能性都相同。
P(获得食物)= 2
7
二、学习新知，探究方法
活动3：把A、K、Q三张扑克牌背面朝上，随机
排成一行。（1）利用树状图法列出所有可能发生的结果。（2）求翻开后A牌恰好排在中间的概率。（3）如果不规定方法，你可以怎样列出所有
可能发生的结果？
活动4：盒中有3个外形相同的球，其中有1个白球，
2个红球，从盒子中随机抽取2个，按下列3种不同的抽法，分别计算“1个是白球，1个是红球”的概率。
不
结果确
定
反面
确定
游戏规则三人手中各持有一枚
质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋。
三、创设活动，小组探究
活动2：
小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用 “抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如图：
76
食物
8
9
2
5 4
31
第一次选择
第二次选择 4
结果无
10
1
5
有
6
无
蚂蚁起始处
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概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0<P(随机事件)<1.例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162=.说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法例2 如图2是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178.评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积.三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12 .（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得21122=++x∴x=1答：蓝球有1个（2）树状图如下：2 3 图11 45 6图23212 黄白2白1蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2蓝黄白2白1∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=.说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是.2142=(2)解法一(树形图):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4),(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122=解法二(列表法):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122=评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有123图4图3第一次抽取12 3 4 第二次抽取 21 3 4 3 12 4 41 2 31第1次摸出1张第2次摸出1张11 2 2 3 4 34 (1,2) (1,3)(1,4) (2,1)(4,1) (3,1) (2,3)(2,4) (3,2)(3,4) (4,2) (4,3)1效.概率计算一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？4面体将由4面变成8面；由4个顶点变成12个顶点；由6条棱变成18条棱。

概率问题常见解题方法

概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。

在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。

高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。

因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。

一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ）（3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）（4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。

例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=⇒K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。

例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

概率的计算方法

概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。

在统计学、经济学、生物学等领域中，概率计算是非常常见和关键的技巧。

本文将介绍一些常用的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。

一、基本概率计算法基本概率计算法是概率计算的基石，通常由两部分组成：事件的可能数和总的可能数。

事件的可能数指的是满足某一特定条件的结果个数，总的可能数指的是所有可能结果的个数。

通过计算事件的可能数与总的可能数的比值，即可得到概率的估计。

例如，求一副扑克牌中从中抽出一张牌的概率。

首先，我们需要确定事件的可能数。

一副扑克牌中共有52张牌，因此抽取一张牌的可能数为52。

接下来，我们需要确定总的可能数，即一副扑克牌中所有抽取1张牌的可能数，也是52。

因此，这个事件的概率为1/52。

二、条件概率计算法条件概率计算法是指在已知某一条件下，事件发生的概率。

条件概率计算通常涉及到条件事件和事件的交集。

条件事件指的是事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。

它的计算方法是计算事件A与事件B的交集的大小除以事件B的大小。

例如，在一个班级中，有30%的学生是女生，而其中有20%的女生戴眼镜。

要求计算一个随机选到的戴眼镜的学生也是女生的概率。

首先，我们需要计算戴眼镜的女生的个数，即将30%与20%的交集乘以总人数。

然后，我们计算所有戴眼镜的学生的个数，将其除以总人数。

最后，将两个数量相除，即可得到概率的估计。

三、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率计算中的重要工具，用于计算一个事件在另一个已经发生的事件下的条件概率。

贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

贝叶斯定理在概率计算中有着广泛的应用，包括医学诊断、搜索引擎优化等。

四、排列组合排列和组合是概率计算中常用的方法，用于计算各种可能性的数量。

概率的计算方法

概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用来描述某个事件发生的可能性。

在现实生活中，我们常常需要根据已有的信息来计算概率，以做出合理的判断和决策。

本文将介绍几种常见的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。

一、古典概率法古典概率法，也称为等可能概率法，是最简单的概率计算方法之一。

它适用于样本空间中各个事件等可能出现的情况。

具体计算步骤如下：1.确定样本空间：首先，确定所有可能的结果组成的样本空间。

2.确定事件：确定感兴趣的某个事件或一组事件。

3.计算概率：用所求事件发生的可能性（即所求事件包含的基本事件的个数）除以总可能性（即样本空间中基本事件的总数），即可得到概率。

二、频率法频率法通过大量的实验观测来估计概率，它适用于不能直接确定样本空间的情况。

具体计算步骤如下：1.实验：进行大量重复实验，记录事件发生的次数。

2.事件计数：统计所求事件发生的次数。

3.计算频率：将所求事件发生的次数除以总实验次数，即可得到频率。

三、几何概率法几何概率法，也称为几何概型法，适用于几何问题或连续的样本空间。

具体计算步骤如下：1.确定样本空间：在几何问题中，确定样本空间往往需要用到几何图形。

2.确定事件区域：确定感兴趣的事件所对应的区域。

3.计算概率：将事件所对应的区域的面积除以样本空间的总面积，即可得概率。

四、条件概率法条件概率法是在给定某个条件下计算事件发生的可能性。

具体计算步骤如下：1.确定已知条件：根据已知条件确定问题的限制。

2.计算概率：根据已知条件，重新计算所求事件的概率。

3.计算条件概率：将所求事件发生的概率除以已知条件发生的概率，即可得条件概率。

五、贝叶斯定理贝叶斯定理是计算条件概率的重要工具，它将后验概率与先验概率联系起来。

具体计算步骤如下：1.确定先验概率：获得事件的先验概率。

2.计算似然概率：获得已知条件下事件发生的概率。

3.计算后验概率：将事件的先验概率与似然概率相乘，再除以归一化常数，即可得后验概率。

求概率的方法

求概率的方法在日常生活或科学研究活动中，有时会遇到这样的情况，即对S类部分对象考察的结果表明，有S是P，也有S不是P，即并非所有S都是P，或都不是P。

即个别S是否具有P属性，是偶然的、随机的。

如掷骰子，不大可能都是出现一点或二点等，而是有时一点、有时二点、有时三点等，那么出现一至六点中每一种点数的可能性有多大，这就是一个概率问题。

一般来说，有一事件A，对其出现某种可能性的大小做出数量方面的估计，这就是概率。

一个事件发生的概率，通常可以通过给出1到0的概率值来表示。

如果说一个事件发生的概率是1，就是在断定它肯定会出现。

如果说一个事件发生的概率是0，就是在断言它不会发生。

概率的中间值，暗示着我们对事件发生有信心或缺乏信心。

对一个事件的陈述称为命题，复合命题是对一个复合事件的陈述，简单命题则是对某一特定事件的陈述。

求一个复合命题的概率，称为概率演算；求一个简单命题的概率，则叫做求事件的初始概率。

一、求初始概率的方法求事件初始概率的方法很多，这里介绍先验概率、频率概率和主观概率三种。

1、先验概率先验概率，是指对于某一特定事件A，如果总共有n种可能而且互斥的结果，并且其中有m种对事件A出现是有利的，那么事件A的概率P(A)就等于有利事件出现的数目与所有可能出现的数目之比，即：P(A)= m/n如投掷一枚硬币，总共有正面和反面两种可能的结果，而出现正面的可能性又是全部可能性的一半，所以，投掷一枚硬币出现正面的概率是1/2。

再如从一批标有号码（1-60）的产品中任意抽取一个，求取到前20号事件A的概率。

由于每件产品被抽到的可能性都是相同的，因此抽取的全部可能次数n=60，而有利事件A 的可能次数是20，所以，P（A）=20/60=1/3。

先验概率也称为结构概率，它是建立在对事件结构分析的基础上，并且要求事件出现的结果，必须是两两互斥而且是等可能的，即出现每一种结果的可能性必须是均等的。

但是在现实中，上述情况是很少的，因此，尽管先验概率可以作为一种极有价值的指导，但我们最终还是得依靠观察和经验来确定事件的概率。

用列举法求概率教案

用列举法求概率教案一、教学目标1. 让学生理解概率的基本概念，掌握列举法求概率的方法。

2. 培养学生运用列举法解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 概率的定义2. 列举法求概率的方法3. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：概率的定义，列举法求概率的方法。

2. 难点：如何运用列举法解决实际问题。

四、教学方法1. 讲授法：讲解概率的基本概念，列举法求概率的方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用列举法解决问题。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作交流能力。

五、教学过程1. 导入：通过抛硬币、抽奖等实例，引导学生思考概率的概念。

2. 讲解概率的定义：必然事件、不可能事件、随机事件。

3. 讲解列举法求概率的方法：a. 确定所有可能的结果。

b. 确定符合条件的结果。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用列举法解决问题。

5. 小组讨论：分组讨论，分享列举法解决问题的过程和结果。

7. 课堂练习：布置练习题，巩固所学内容。

8. 课后作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学评价1. 评价目标：检验学生对概率概念的理解，以及运用列举法求概率的能力。

2. 评价方法：课堂练习：观察学生在练习中的表现，判断其对概率计算方法的掌握程度。

小组讨论：评估学生在讨论中的参与程度，以及其合作交流的能力。

课后作业：检查作业完成质量，评估学生对课堂所学内容的掌握情况。

3. 评价内容：概率概念的理解：学生是否能准确描述必然事件、不可能事件、随机事件。

列举法求概率：学生是否能正确运用列举法步骤，求解简单问题的概率。

七、教学拓展1. 拓展内容：引入更复杂的概率问题，如条件概率、独立事件的概率等。

2. 拓展方法：通过案例分析，让学生接触并理解条件概率的概念。

通过实际问题，让学生了解独立事件概率的计算方法。

3. 拓展目标：培养学生解决更复杂概率问题的能力，提高其逻辑思维能力。

八、教学资源1. 教学课件：用于展示概率概念和列举法求概率的步骤。