泰州市2016-2017学年高二下期末联考数学试卷(文)含答案

泰州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：张圣官 吴春胜 审核人：杨鹤云 唐咸胜注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合}{1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B =U ▲． 2．函数()f x =的定义域为 ▲． 3．命题“x ∀∈R ，21x ≥”的否定是 ▲．4．已知幂函数()f x 的图象过点(2,4)，则(3)f 的值是 ▲．5．用系统抽样的方法从某校600名高二学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编 号为1～600，按编号顺序平均分为20个组（1～30号，31～60号，……，571～600号）， 若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号 码为 ▲．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 ▲．7．已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.2，0.3，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲．8．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若(2)(0)(3)2f f f -++=，则(2)(3)f f -的值是 ▲． 9．为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50 名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[155,185]上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180 cm 以上的男生人数为 ▲． 10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28 C ︒，29 C ︒，25 C ︒，25 C ︒，28 C ︒，那么这5天最高气温的方差为 ▲．（单位：2(C)︒） 11．已知定义在R 上的函数3()21f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 ▲．12．已知0a >，函数322114, 1,323()1(1)ln , 1,2a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩若()f x 在区间(,2)a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲．二、解答题（本大题共8小题，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分）已知集合}{13A x x =≤≤，}{1B x =. （1）求A B I ；（2）若A B I 是集合{}x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围．14．（本小题满分12分）一根直木棍长为6 m ，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2 m 的概率； （2）求锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率．15．（本小题满分12分）已知:p 11x -≤≤， :q e x a b ≤≤，其中a ，b 为实数． （1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若1a =，2e b =，且p ，q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围．16．（本小题满分12分） （1）求lg4lg50lg2+-的值；（2）若实数a ，b 满足2361log 2log log ()a b a b +=+=+，求11a b+的值．17．（本小题满分12分）已知1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值．18．（本小题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x 是否符合奖励方案，并说明理由； （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．19.（本题满分14分）已知函数2()f x x ax =-，x ∈R ，其中0a >． （1）若函数()f x 在R 上的最小值是1-，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点(,)m n ，(,)n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e ln x f x a x b =-+，0x >，其中0a >，b ∈R ． （1）若1a b ==，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围．2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）答案一、填空题1．}{1,0,1,2- 2．[1,1]- 3．x ∃∈R ，21x < 4．9 5．92 6．35 7．0.8 8．2- 9．30 10．14511．51,4⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 12．10(0,]9二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．解：（1）∵{ 1 }B x =≥，∴{ 2 }B x x =≥， …………3分 ∵{ 1 3 }A x x =≤≤，∴{ 2 3 }A B x x =≤≤I ． …………7分 （2）由（１）得：{ 2 3 }A B x x =≤≤I ， ∴集合{ 2 3 }x x ≤≤是集合{}x x a ≥的子集，∴2a ≤． …………12分 14．解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数，∴两段木棍的长度分别为1 m 和5 m ，2 m 和4 m ，3 m 和3 m ，4 m 和2 m ，5 m 和1 m ，共计5种可能的情况， …………2分 其中恰有一段长度为2 m 的情况共计2种， …………4分 记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m ”为事件A ， ∴2()5P A =， …………6分 答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m 的概率为25． …………7分 （2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2 m ”为事件B ， ∴21()63P B ==， …………11分 答：锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率为13． …………12分15．解：（1）∵:p 11x -≤≤，且p 是q 的充要条件，∴q 等价于11e e e x -≤≤， …………3分 ∴1e a -=，1e b =，∴1ab =． …………6分 （2）由题意得:q 21e e x ≤≤，即:q 02x ≤≤，∵p ，q 中恰有一个为真命题， …………7分 当p 真，q 假时，∴11, 02,x x x -≤≤⎧⎨<>⎩或 即10x -≤<， …………9分当p 假，q 真时，∴11, 02, x x x <->⎧⎨≤≤⎩或即12x <≤， …………11分综上所述：实数x 的范围为[1,0)(1,2]-U ． …………12分 16．解：（1）原式=2lg2lg51lg22++-=， …………6分 （2）设2361log 2log log ()a b a b k +=+=+=， ∴122,3,6k k k a b a b --==+=，∴121161823k k k a b a b ab --++===⋅． …………12分 17．解：（1）∵3()3f x ax x =-，∴2()33f x ax '=-， …………2分 ∵1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，∴(1)0f '=， …………3分 ∴330a -=，∴1a =， …………5分 当1a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，满足题意． …………6分 （2）由（1）得：2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+， 令()0f x '=，∴11x =-，21x =， …………8分…………10分∵(1)2f -=，(2)2f =，∴()f x 在区间[2,2]-上的最大值是2． …………12分18．解：（1）∵()f x =， ∴()0f x '>，∴函数()f x =是区间[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分当[1,4)x ∈时，1()2f x x x >，不满足标准②，综上所述：()f x = …………4分 （2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈， ∴21ln ()xg x x -'=， 令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1ek ≥， …………10分 又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①， ∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e． …………12分19．解：（1）∵22()()24a a f x x ax x =-=--，x ∈R ，∴当2ax =时，2min ()14a f x =-=-， …………2分∵0a >，∴2a =． …………4分 （2）∵(,)m n ，(,)n m 同时在函数()f x 的图象上，∴22,,m am n n an m ⎧-=⎨-=⎩ …………6分 ∴22()()m n a m n n m ---=-， …………7分∵m n ≠，∴1m n a +-=-，且12a m -≠， ∴1n a m =--， …………9分 ∴21m am a m -=--，∴方程2(1)10m a m a +-+-=有解，12a m -≠， …………11分 ∴2(1)4(1)0a a ---≥，且211()(1)()1022a a a a --+-+-≠ ∴14a -≥或10a -≤，且3,1a ≠-， …………13分 ∵0a >，∴1a >． …………14分 （注：若没有考虑12a m -≠，得到1a ≥，扣2分） 20．解：∵()e ln x f x a x b =-+， ∴()e x a f x x'=-， （1）∵1a b ==，∴()e ln 1x f x x =-+，1()e x f x x'=-， …………2分 ∴切点为(1,(1))f ，即(1,e 1)+，切线的斜率为(1)f '，即切线的斜率为e 1-， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． …………4分 （2）令()0f x '=，得e 0x x a -=， 设()e x h x x a =-，0x >，∴()(1)e 0x h x x '=+>，∴()h x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∵(0)0h a =-<，()(e 1)0a h a a =->，∴(0)()0h h a <，且()h x 在区间(0,)+∞上的图象不间断，∴存在唯一的0(0,)x a ∈，使0()0h x =， …………6分∴存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使函数()f x 在0x x =处取得极小值． …………8分（3）∵0a b +=，∴()e ln xf x a x a =--，0x >， ∴e ()e x xa x af x x x-'=-=，由（2）可得：函数()f x 的极小值为0()f x ，且00e 0x x a -=， ∴0000000()e ln e (1ln )x x f x a x a x x x =--=--， 设()1ln r x x x x =--，0x >，∴()ln 2r x x '=--，∴当20e x -<<时，()0r x '>，当2e x ->时，()0r x '<， …………10分 由（2）可得：函数()e x h x x a =-在区间(0,)+∞上单调递增， （ⅰ）当0e a <≤时，∵00e x a x e =≤，∴0()(1)h x h ≤，∴001x <≤， ∴00000()e [(1)(ln )]0x f x x x x =-->，∴当0x >，()0f x >，无零点， …………12分 （ⅱ）当e a >时，∵00e e x a x =>，∴0()(1)h x h >，∴01x >， ∵()1ln r x x x x =--在区间(1,)+∞上单调递减， ∴0()(1)0r x r <=， ∴000()e ()0x f x r x =<，∵1111()e ln e (ln 1)0a a f a a a a a a =--=+->，其中010x a <<，∴01()()0f f x a<，且函数()f x 在区间上0(0,)x 单调递减，图象不间断，∴()f x 在区间上0(0,)x 上有唯一的零点， 又∵()e ln a f a a a a =--，e a >，设()e ln a t a a a a =--，e a >，∴()e ln 2a t a a '=--，∵e 11(e ln 2)e e 0ea a a a '--=->->，∴()e ln 2at a a '=--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 30t a t ''>=->，∴()e ln a t a a a a =--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 20t a t e >=->，即()0f a >， 又∵000e x a x x =>，∵0()()0f x f a <，且函数()f x 在区间上0(,)x +∞单调递增，图象不间断， ∴()f x 在区间上0(,)x +∞上有唯一的零点，综上所述：函数()f x 有2个互不相同的零点时，实数a 的取值范围为(e,)+∞．……16分。