第六章 系综理论要点
系综——精选推荐
系综系综理论简介姓名:毕思峰学号：130********摘要：通过查阅相关⽂献，本⽂简单介绍了系综理论的历史，阐述了Γ-空间、系综的统计分布及配分函数等基本概念，并总结了三则系综的相互关系。
希望对初学者能更好的理解系综理论有所帮助。
关键词：系综理论Γ-空间统计分布配分函数Abstract:To help fresh learners understand the ensemble theory better,this paper briefly introduce the history of the ensemble theory, giving some basic concept including Γ-space and statistics distribution and partition function of the ensemble theory by referring to related articles, and last, summarize the relationship of three types of ensembles.Key words: ensemble theory Γ-space statistics distribution partition function1、系综理论的由来系综的观念是由吉布斯继承和借鉴玻尔兹曼、麦克斯韦的思想发展⽽来的。
⾸先，吉布斯从玻-麦那继承了描述体系状态的动⼒学⽅法和统计⽅法[1]，并对其相空间的概念进⾏了改⾰，使玻尔兹曼、麦克斯韦的分⼦向空间发展为吉布斯的Γ-空间。
两者的区别⽽在于：前者只能描述相互作⽤微弱的⽽近乎独⽴的粒⼦组成的体系，⼀个相点只能描述⼀个粒⼦的相，⽽后者还能描述由相互作⽤强的粒⼦组成的体系，⼀个相点就可描述整个体系的相。
所以后者更具有实际意义。
其次，麦克斯韦的考察对象只是与外界既⽆物质也⽆能量交换的孤⽴系统，⽽吉布斯最初研究的是与外界有能量交换封闭系统，因此引⼊了外参量，并以此为基础上建⽴了正则系综。
物理化学答案——第六章-统计热力学
第六章 统计热力学基础内容提要：1、 系集最终构型：其中“n*”代表最可几分布的粒子数目2.玻耳兹曼关系式：玻耳兹曼分布定律：其中，令为粒子的配分函数。
玻耳兹曼分布定律描述了微观粒子能量分布中最可几的分布方式。
3、 系集的热力学性质：（1）热力学能U ：（2）焓H ：**ln ln ln !i n i m iig t t n ≈=∏总2,ln ()N VQU NkT T∂=∂iiiQ g e βε-=∑*i ii i i i i in g e g e N g e Q βεβεβε---==∑m ln ln S k t k t ==总（3）熵S ：（4）功函A ：（5）Gibbs 函数G ：（6）其他热力学函数：4、粒子配分函数的计算（1）粒子配分函数的析因子性质粒子的配分函数可写为：,ln ln ln()mN V S k t Q Q Nk NkT Nk N T=∂=++∂ (i)tvenrkTi ikTkTkTkTkTt r v e n trvent r v e nQ g eg eg eg eg eg eQ Q Q Q Q εεεεεε------===∑∑∑∑∑∑2,ln N VQ H U pV NkT NkTT ∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭lnQA NkT NkT N=--lnQ G NkT N=-()22ln ln ln ln V V U Q Q C Nk Nk T T T ∂∂∂⎛⎫==+ ⎪∂∂⎝⎭∂（2）热力学函数的加和性质1）能量2）熵3）其他5、 粒子配分函数的计算及对热力学函数的贡献（1）粒子总的平动配分函数平动对热力学函数的贡献：2222ln ()ln ln ln ()()()iVt v r V V V t r v Q U NkT TQ Q Q NkT NkT NkT T T T U U U ∂=∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++t r v H H H H =+++t r v A A A A =+++t r v G G G G =+++3/222()t mkT Q V hπ=2ln 3()2i t V Q U NkT NkT T ∂==∂2ln 5()2i t V Q H NkT NkT NkT T ∂=+=∂t r v S S S S =+++（2）转动配分函数1）异核双原子分子或非对称的线形分子转动特征温度：高温区低温区中温区2) 同核双原子分子或对称的线形多原子分子配分函数的表达式为在相应的异核双原子分子的Q r 表达式中除以对称数σ。
系综诠释
测量与塌缩
系综诠释的优点是，它干脆地摆脱了量子态塌缩这艰涩的论题。系综诠释假定，波函数只适用于很多系统所 组成的系综，因此，可以避免要求单独系统处于几种不同的量子态，这样，波函数不需要涉及约化的概念。举例 而言，设想一个量子骰子，其量子态可以以态向量的形式表示为
注意到，在这方程式里，符号"+"不是代数加算符，而是在统计学里的一种标准概率算符。态向量是一种概 率数学构造，对其测量所得到的答案是一种结果1或另一种结果2、3、4等等。
单独系统
虽然系综诠释阐明，波函数不适用于单独系统，但这不意味着系综诠释不能被应用于单独系统，重点是在波 函数与单独系统之间不存在一一对应，例如，一个微观物体可能处于两种量子态的叠加态。系综诠释只能用来预 言，对于单独系统的某种性质做重复测量得到某个数值的概率。
设想掷骰子游戏，同时掷两颗骰子于桌子上。对于这案例，系统是两颗骰子，掷出骰子后，会得到很多种结 果，例如，两颗五点、两颗两点、一颗三点与一颗六点等等，每一种结果都伴随有对应的概率。掷两颗骰子100 次会得到一个100次试验的系综。对于这系综，经典统计学能够预言某种结果会发生的次数，但是，它不能够预 言某次掷骰会得到的确切结果。这就是系综诠释声称波函数不适用于单独系统的原因。在这里，单独系统的意思 就是说掷两颗骰子一次。
化工过程模拟与分析(第六章分子模拟简介)
假设有N个质量为m的分子处于体积为V，温度为T 的封闭区域内，它们的轨迹由向量 r 描述。
体系能量
m K 2
m
牛顿运动方程
i 1 d 2r j t 2
dt
N
v2 j
U U r1 t , r2 t ,..., rN t
r j U r , j 1,2,..., N
1. Hit & miss 法
2. 抽样平均值法
1、2各对应哪个？
二、分子模拟的MC法
MC法模拟自然现象的步骤 1. 建立能够描述系统特性的理论模型，导出该模型的某 些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一 些模拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言系统的某些特性。
系综平均示例
对于一个含有N个粒子的巨正则系综，设含N个粒 子的微观态的热力学量为XN，则对应体系的宏观热力 学量为：
X
N 0
P
N
XN
ห้องสมุดไป่ตู้
其中PN为含N个粒子的微观态出现的概率。
1 exp N / kT PN ... exp T / kT dr1...drN 3N Q , V , T N!
宏观物理量A（是系统中所有粒子的位置和动量的函 数）的值可以通过系综平均获得：
A lim 1 A r ( N ) , p ( N ) d t t t 0
t0
t
二、MD法分子模拟实例 对微孔中氩和氪流体混合物的扩散系数的计算机 模拟和关联模型研究。 体系为包含了72个氩分子和72个氪分子的长方体盒子， 体系势能由LJ公式计算，计算机模拟的时间步长为 10^(-14)s，模拟时间为7.5~10.5 ns。 计算出所有速度后，扩散系数为：
系综理论
系综分为三类
根据外部条件的不同可以将系综分为三类： （1）微正则系综：孤立系统N、E、V不变 （2）正则系综： N、V、T不变，设想与大热源接触 （3）巨正则系综：V、T、μ 不变，设想与热源、粒 子源接触。
微正则分布：ρ
孤立系统的能量具有确，更精确地说能量在 E---E + E 之间的一 个窄范围内，系统不可能有处在这个能量范围之外的微观状态 。
微观状态数是系统在能壳间所能达到的微观状 态数。
正则系综：
其中E为系统的能量, Z为配分函数
Z e
E
e
E
Z
El
l e
l
1 E d e h Nr N!
量子正则系综：
Z , N ,V eEk
k
Ek
e
Ek
Z
正则系综中任意一个系统，它的能量等于 Ek的几率，称 量子正则分布。求和是对系统所有可能的量子态进行的。
突变：阈值即临界值对系统性质的变化有着根本的意 义。在控制参数越过临界值时，原来的热力学分支失 去了稳定性，同时产生了新的稳定的耗散结构分支， 在这一过程中系统从热力学混沌状态转变为有序的耗 散结构状态，其间微小的涨落起到了关键的作用。这 种在临界点附近控制参数的微小改变导致系统状态明 显的大幅度变化的现象，叫做突变。耗散结构的出现 都是以这种临界点附近的突变方式实现的。
For a isolated and closed system, the intrinsic entropy is never decreased, which defines a time arrow, i.e.,
S system 0
Time Evolution Paradox 告诉我们 dinger or quantum 仅仅Schrö Liouville equation 不能解释 不可逆性，不能解释万事万 物的演化! 那么什么是解释 不可逆性的基本量子(统计） 力学方程?
系统理论教学大纲
《系统理论》教学大纲一、课程概述1.课程研究对象和研究内容《系统理论》是一门管理学学科的基础课，主要研究开发、运行、各类复杂系统（尤其是社会经济和管理系统）所需要的思想方法、工作程序和分析手段。
通过学习，使学生掌握系统理论的基本思想和方法论，并能初步运用系统理论的常用模型方法，对某些实际管理系统问题进行分析，系统理论旨在提供系统理论原理和实践方面的知识。
主要介绍系统、系统工程的基本性质和基本概念，讨论系统工程中的常用分析方法，重点研究社会经济系统的相关技术，包括系统建模原则与步骤、静态与动态模型、系统分析的内容与原则、定性与定量的分析方法、系统评价的思路与方法、系统仿真的连续性与离散性等内容。
2.课程在整个课程体系中的地位系统理论是信息管理与信息系统专业的重要专业基础课程，它与管理学、信息管理、软件工程等学科处于同一层次，通过本课程学习将为信息管理与信息系统专业学生今后从事相关工作打下理论基础，并提供解决实际问题的方法论和思维模式。
因此，对信息管理与信息系统专业发展具有极其重要的意义。
二、课程目标1.知道《系统理论》这门学科的性质、地位和独立价值。
知道这门学科的研究范围、分析框架、研究方法、学科进展和未来方向。
2.理解和掌握系统、系统工程、系统分析等重要的基本概念及其子概念；做到思路清晰、概念明确。
3.重点掌握系统分析与评价的基本原理，正确理解管理系统工程方法论；4.掌握系统工程常用模型和建模技术，如连续模型、投入产出模型、结构化模型、升学模型等，了解模型的功能、原理、使用条件及应用。
5.培养具有初步运用系统工程思想和方法分析本学科（专业）领域某些实际问题的能力。
培养学生观察问题、分析问题、解决问题和实际动手能力。
三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般涵义表述如下：知道一一是指对这门学科和教学现象的认知。
理解一一是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。
综合相关知识(第六章)杨孟琢
知识的应用与创新
04
综合知识的未来发展
知识产业成为主导产业
随着科技的不断进步和人们对知识的需求增加，知识产业将逐渐成为主导产业，引领经济的发展。
知识创新成为核心竞争力
在知识经济时代，企业的核心竞争力将主要体现在知识创新上，拥有创新知识和技术的企业将更具竞争优势。
知识经济全球化
随着全球化的加速，知识经济的发展越来越呈现出全球化的趋势，各国之间的知识交流和合作日益加强。
知识经济的发展趋势
03
知识管理的创新方向
为了应对挑战和抓住机遇，企业需要不断创新知识管理的方式和方法，提高知识管理的效率和效果。
01
知识管理面临挑战
随着知识的不断更新和丰富，如何有效地管理和利用知识成为知识管理面临的挑战。
知识工程的挑战
03
实施知识工程需要解决许多技术和管理方面的挑战，如知识的表示和获取、知识的组织和检索、知识的应用和集成等。同时，还需要考虑数据隐私和安全等方面的问题。
知识工程
知识服务
实施知识服务需要建立完善的知识库和服务体系，提高服务人员的专业素质和服务能力。同时，还需要加强与用户的沟通和协作，建立良好的服务关系和口碑效应。
知识经济的发展
发展知识经济需要加强教育和科技创新，提高国民素质和创新能力。同时，还需要推动产业升级和转型，加强知识产权保护和管理，促进知识和信息的共享和应用。
知识经济定义
知识工程定义
01
知识工程是指将人工智能技术应用于知识的表示、获取、组织和应用的工程领域。
知识工程的应用
02
知识工程在许多领域都有广泛的应用，如智能制造、智能医疗、智能交通等。通过知识工程的应用，可以提高生产效率和服务质量，词：综合知识广泛应用于各个领域，如环境保护、能源利用、医疗健康等。
第六章 系综理论
其中，为分布密度函数，d dq1dq2 dqrN dp1dp2 dprN。
5
[例6.1] N个单原子分子组成的理想气体封闭在边 长为L的立方容器内，计算态密度。
解：所谓单原子分子，就是可以将它们处理为没有
内部结构的点粒子，每个分子只有3个平动自由度。
dx1dy1dz1 dxN dyN dzN V N L3N
3N
பைடு நூலகம்
dpx1dpy1dpz1 dpxNdpyNdpzN
2mE
3N 2
2
3N 2
1
N
第二式是3N维球面
p 2xi
p
2 yi
pz2i
2mE所围的体积。
i1
故能量壳层E E dE之间的相体积为
小结和习题课
4
§6. 1 Γ 空间与统计系综
μ空间：一个粒子的广义坐标和动量所张开的空间； Γ空间：N个粒子的坐标和动量所构成的空间、维数高， 该空间的一个代表点可以表示系统的一个微观态。
系综理论的基本原理：系统的宏观量u是它所对应微 观量的系综平均值。设u u(q1, q2 ,qrN ; p1, p2 , prN ), 则它的系综平均写作：
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
1
* 最概然方法存在如下两个问题： （1）粒子间存在相互作用（实际气体），单粒子态 不能从系统中分离出来，用单粒子态的分布来描写 系统状态不再适用，必须同时考虑N个粒子的微观状 态。 （2）为了能将量子力学与统计力学的结果衔接起来， 那么“全同粒子不可分辨”应该在统计中体现出来， 即先对经典粒子进行编号，再消除编号所引起微观 态增多的不足。
许昌学院马克思主义基本原理第六章
战后社会主义阵营
（一）社会主义制度建立的重大意义： 社会主义制度建立的重大意义： 1、社会主义开始作为一种新的社会制度发挥出 历史作用。 历史作用。
2、社会主义国家的存在及其在经济、政治、外交、 社会主义国家的存在及其在经济、政治、外交、 军事上的影响，改变了世界的政治格局， 军事上的影响，改变了世界的政治格局，在很大程 度上遏制了资本主义和霸权主义在全世界的扩张。 度上遏制了资本主义和霸权主义在全世界的扩张。
列宁对苏维埃俄国如何建设社会主义提出了许多 精辟的论述: 精辟的论述 首先，把建设社会主义作为一个长期探索、 首先，把建设社会主义作为一个长期探索、不断 实践的过程。 实践的过程。 其次，把大力发展生产力、 其次，把大力发展生产力、提高劳动效率放在首 要地位。再次，在多种经济成分并存的条件下， 要地位。再次，在多种经济成分并存的条件下， 利用商品、货币和市场发展经济。 利用商品、货币和市场发展经济。 最后，利用资本主义，建设社会主义。 最后，利用资本主义，建设社会主义。 列宁还指出了马克思主义执政党建设的极端重要 阐明了思想建设和文化建设的重要意义， 性，阐明了思想建设和文化建设的重要意义，提 出了加强国家政权建设和发扬社会主义民主的一 系列措施。 系列措施。
(2)从理论上说， (2)从理论上说，无产阶级革命有暴力与和 从理论上说 平的两种形式，其中， 平的两种形式，其中，暴力革命是主要的 基本的形式。 基本的形式。马克思主义在强调暴力革命 这一主要的基本形式的同时，也并不完全 这一主要的基本形式的同时， 排除和平过渡到社会主义的可能性。 排除和平过渡到社会主义的可能性。
主要内容
第一节 社会主义制度的建立 社会主义从空想到科学、 一、社会主义从空想到科学、从理论到实践 的发展 列宁、 二、列宁、斯大林领导下的苏维埃俄国对社会主义的探索 三、社会主义从一国到多国的发展 四、无产阶级专政和社会主义民主 第二节 社会主义在实践中发展和完善 一、在实践中深化对社会主义基本特征的认识 二、经济文化相对落后的国家建设社会主义的艰巨性和长期性 三、社会主义发展多路的多样性 四、社会主义在实践探索中曲折前进 第三节 马克思主义政党在社会主义事业中的地位和作用 一、马克思主义政党是新型的革命政党 二、马克思主义政党是社会主义革命和建设的领导核心
6热统第六章
U ( , T )d
V 3 d 2C 3 e / kT 1
对于低频叫瑞利--金斯公式，高频趋于无穷，叫紫外灾难；高频叫维恩公式；但 是不能解释整个曲线。考验经典物理。
Plank 假设每次辐射（发射）的能量是不连续的，辐射能量的谐振子的能量
为
1 l l 2
四t0k时的电子此时具体算上个值kt费米球内9525附点kt范围内的电子分布有变化再大的能量范围电子甚的概率是极小的一下子要吸6kt有效所以电子对热容的贡献ktnk所以常温下电子对热容贡献很小可以忽略这主要是由于能吸热的电子占总电子数太少于是解释了金属热容的困难因为金属中自由电子是强简并的费米气体它们首先从低能级填起在动量空间形成一个费米球只有费米球表面附点的电子对热容有贡献
kT
N S , ES
E
N
e N S Es e ( N s Es )
ln
ln
S k [ln
ln ln ]
4. N a ； E a
5. 箱中自由粒子的态密度： D ( )d 二．自旋与统计性质
1
∴
a 0
e
( )
1 e ( )
1 ln 1 e 1 l /( kT ) e 1 a
说明：什么时候为 1？ l ,
T 0
3．实际上同一个能级可能有多个量子态，只要能量比较大，一般应如此， 可以证明 a + 费米子 -玻色子 e l 1
3 2V 2 ( 2 m ) d h3
自旋为整数的粒子叫玻色子，如光子，某些原子如 He、Be、Ni 自旋为零。 服从玻色统计，同一个量子态可以有多个粒子占据。 自旋是半整数的粒子叫费米子，如电子，质子，中子。服从费米统计，同一 个量子态最多由一个粒子占据。
系综理论及从基本热力学量的表达式看三则系综之间关系
晶
In Z
)
程
:
2
3
。
_
iq
,
一
不
p
口H
.
_
l
一
石
口H
·
_
,
。
土一
1,
`
。
,
上
讨 论具 有 确定 体积 温 度 系统 巨 正 则 分布 的 经 典表 达 式 p
、
巨 正则 系 综
、
化学 势 (
、
V
、
T
、
,
) 的
d 。
,
d q dp
”
=
根 据 上 式 可 知 经 过 相 空 间任 何 一 点 的 轨 道 只 有 一 条 由于 孤 立系 统 的能 量 E 不 随 时间改 变 系 统 的 广义 , ; , 坐 标 和 广 义 动 量 一 定 满 足条 件 H ( q 。 q p 。 p 卜 E 该 式 确定 相 空 间 的一 个 曲面 称为 能 量 曲面 这 就是 说 当系 统 的 能 量 具有 确 定值 时 运 动状 态 代 表 点 的 轨 道一 定 位于 相 空 间 中 的能 量 曲面 上 如果 系 统 的能 量 是 在 E 一 E + △ E 范 围 系 统 的 广义 坐 标和 动 量必 然满 足 条 件 E 镇 H ( q p ) 镇 E + △E 系 统 代 表 点 的 轨 道将 在 上 式 所确 定 的 相 空 间 中的 能 壳之 内 刘 维尔 定理 的推 导 , : , 考 虑 相 空 间一 个 固 定 的 体元 d 几 一 d q 。 d q d p “
,
蔽了
e 一 p
(
q
l
p
理论物理
凝聚态物理（070205）● 培养方案（一）培养目标和要求1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，能将物理理论与实际问题关联起来的、具有理论与实践相结合能力的研究与应用性专业人才。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、硕士应达到的要求：(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
5、本专业的主要学习内容有：高等量子力学，群论，统计物理和多体理论，量子场论，固体物理，光电子物理，计算机应用，专业英语等课程，另外还要参加教学实习，全国性学术交流会议，撰写毕业论文等实践环节。
硕士生毕业可以继续深造攻读博士学位，或在相关企事业任职。
（二）研究方向1、光电子物理，主要导师：石旺舟教授，杜国平教授，黄磊教授, 谢东珠副教授，秦晓梅副教授2、计算凝聚态理论，主要导师：叶翔副教授3、极化材料与器件，主要导师：刘爱云副教授, 林方婷副教授（三）学制三年（特殊情况下可以适当延长或缩短）（四）课程设置与学分要求1、必修课程：（1）学位公共课程：（每门课程2学分）科学社会主义理论与实践Theory and Practice of Scientific Socialism自然辩证法Dialectics of Nature第一外国语First Foreign Language（2）学位基础课：（每门课程3学分，选四门）高等量子力学Advanced Quantum Mechanics群论Group Theory统计物理与多体理论Statistical Physics and Multibody Theory高等固体物理Solid State Physics量子场论Quantum Field Theory（3）学位专业课：（除专业外语2学分外，其他每门课程3学分）专业外语Specialized Foreign Language微电子器件物理Microelectronic Device Physics光电子学Optoelectronics半导体物理Semiconductor Physics专业计算机编程Computer Programming【注】专业外语为必选课程。
系综理论的讨论及运用
课程设计题目：系综理论的讨论及运用学院：电子与信息工程学院专业：物理学师范姓名：学号：指导老师: 时间: 系综理论的讨论及运用姓名：摘要系综是处在相同的给定宏观条件下的大量结构完全相同的系统的集合。
它是统计物理的一个想象中的工具，而不是实际客体。
本文从概念开始讨论系综理论内容和运用。
关键词概念；系综理论；正则分布；关系；运用系综理论的基本观点是，宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系综平均。
系综的一个基本假设是各态历经假说：只要等待足够长的时间，宏观系统必将经历和宏观约束相应的所有可达微观态。
1 概念系统的一种可能的运动状态，可用相与中的一个相点表示，随着时间的推移，系统的运动状态改变了，相应的相点在相宇中运动，描绘出一条轨迹，由大量系统构成的系综则可表为相宇中大量相点的集合，随着时间的推移，各个相点分别沿各自的轨迹运动，类似于流体的流动。
若系统具有s个自由度，则相宇是以s个广义坐标p （详写为p、p2 ••…ps）和s个广义动量q（详写为q1、q2 ••…qs）为直角坐标构成的2s 维空间。
在相宇内任一点（p，q ）附近单位相体积元内的相点数目D （p , q ,t ）称为密度函数。
D（p,q,t）在整个相宇的积分等于全部相点数，即等于系综所包含的全部系统数N ，与时间t无关。
定义P p,q,t)=D(p,q,t)/N ,称为系综的概率密度函数。
P(p ,q, t) dpdq表示在t时刻出现在(p, q)点附近相体积元dpdq 内的相点数在全部相点数中所占的比值，即表示任一系统在t 时刻其运动状态处于(p，q )附近的相体积元dpdq内的概率。
显然，概率密度函数p( p, q , t)满足归一化条件/p(p,q,t ) dpdq=1 。
统计物理学的认为系统的任意宏观量I (t)是相应微观量L (p , q )在一定宏观条件下对系统一切可能的微观运动状态的统计平均值，即I(t )=几(p , q) p(p , q , t) dpdq。
第六章 系综理论
10
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
1 x
x
e 1 ,
(
p,
q)
1 D(E)E
,
0,
式中, 状态数是
E H ( p, q) E E 其他
D(E)E
1 N!h Nr
dpdq
EH ( p,q)E E
9
注意：在刚才的状态数表示式中出现了与关于单粒子 玻耳兹曼统计中不同的两个因子，其意义分别是
(a) hNr系空间的一个相格的体积； (b)1 N!表明全同粒子交换不引起新的微观态。
12
thermal source
system T, V,
系统加热库的总哈密顿量为
H
(
p,
q;
p',q')H1(
p,
q)
H
2(
p',
q')
H
12(
p,
q;
p'
,
q
'
)
H 1( p, q) H 2( p', q')
N N1 N2 (N2 N1)
这里，我们忽略了系统粒子与热库粒子的相互作用项
第六章 系综理论
动机和目的 一、Γ 空间与统计系综 二、微正则系综 三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
1
* 最概然方法存在如下两个问题： （1）粒子间存在相互作用（实际气体），单粒子态 不能从系统中分离出来，用单粒子态的分布来描写 系统状态不再适用，必须同时考虑N个粒子的微观状 态。 （2）为了能将量子力学与统计力学的结果衔接起来， 那么“全同粒子不可分辨”应该在统计中体现出来， 即先对经典粒子进行编号，再消除编号所引起微观 态增多的不足。
热统第六章
2012年12月6日星期四 第六章 近独立粒子的最概然分布
2.线性谐振子：
质量为m的粒子，在弹性力f = -Ax的作用下，将 在原点附近作一维简谐振动，称为线性谐振子。由原 子物理学可知线性谐振子的能量可能值为：
1．粒子运动状态的经典描述：
若粒子的自由度为r，按经典力学，粒子的能量是其广 义坐标和广义动量的函数，即：
ε＝ε（q1,q2,…,qr，p1,p2,…pr）
(6.1.1)
上式表示粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个 广义坐标q1,q2,…,qr和r个广义动量p1,p2,…pr在该时刻的数值 所决定。 在经典情形，粒子运动状态是由r个广义坐标和r个广 义动量描述的。由于动量和坐标是可以连续变化的，所以 粒子的能量是连续的。
r
显然，在此情形中，粒子的一个可能状态在μ空间中 对应于一个相格而不是一个点。代表点在同一相格中的 微观粒子具有相同的运动状态。如果在μ空间中取一体 积 dw，该体积所包含的相格数就等于它所包含的可能 的状态数目D(ε)dε，即:
近独立粒子是指粒子间的相互作用非常弱，在粒 子运动的过程中大部分时间处于自由态。 例如，理想气体分子就是典型的近独立粒子。
2012年12月6日星期四 第六章 近独立粒子的最概然分布
§6.1 粒子运动状态的经典描述
现在来讨论前面提到的第一个问题，即如何 描述物体(或称系统)的微观运动状态。这里所说 的微观运动状态是指系统的力学运动状态。
一、量子力学的几个概念
统计力学的系综理论
统计力学的系综理论（一）相关预备知识概念简介：（1）经典力学如何描述一个刚性物体的运动状态? 一个刚性物体在某一时刻，只要它的坐标以及它在各个坐标轴上的分动量均确定。
那么这个物体的运动状态也就确定了，即一个物体的运动状态可以用(,,,,,)x y z x y z p p p 六个参数来描述。
物体在某一时间段内，所有的运动状态的集合就构成了描述物体运动状态的相空间。
明显，这是一个六维空间6R ，即63pR R R =⊗。
将3R 称之为坐标空间，p R 称之为动量空间。
它们的笛卡尔积就是相应的相空间。
这个六维空间6R 也称之为μ空间，这样就可以说：一个物体的运动状态可以用μ空间中的一个点来表示。
相体积元为：x y z dxdydzdp dp dp ，相应体系的Hamilton 量（能量函数）为：2221()2x y z H p p p m=++。
当有其它场力存在时，体系的Hamilton 量变为：2221()(,,)2x y z H p p p U x y z m=+++，(,,)U x y z 代表相应的势能。
由以上可知：当有N 个刚性物体运动时，那么就需要一个23N ⨯维空间23N R ⨯来描述，称此空间为Γ空间。
显然有：2361i NNi RR ⨯==⊗（即N 个μ空间的笛卡尔积构成了相应的Γ空间）。
也就是说Γ空间描述了N 个物体的运动状态，Γ空间中的任意一个点均代表着N 个物体在相应时刻上所处的运动状态。
若令：111222(,,,,,,,)N N N x y z x y z x y z p p p p p p p p p p =⋅⋅⋅⋅⋅⋅111222(,,,,,,,)N N N q x y z x y z x y z =⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么Γ空间的代表点即为(,)p q ，相体积元为：d Γ=dpdq ，相应体系的Hamilton 量为：22211()2i i iNx y z i H p p p m==++∑。
第六章 湍流的统计
第6章 湍流的统计理论 章
6.1 对湍流的总体认识
近代湍流研究认为，湍流是一群不同尺度和强度、彼此嵌套、不断变化的涡 结构，显示了湍流的一种随机面貌。这其中，有两个变量扮演着重要作用：涡度 的特征直径 d 和它们的特征轨道速度 u 。由于湍流由许多尺度和速度不断变化的 涡组成，d 和 u 也是在一定范围变化的。但是，在时间上不变的均匀各项同性湍 流中，即一种统计的意义上时间不变和空间均匀、没有优势方向的湍流，所有具 有相同尺度 d 的涡或多或少以相同的方式行为， 并且可以认为具有相同的特征速 度 u 。也就是说，我们可以假设， u 是 d 的函数（图 6-2） 。
6.2.5 空间自相关和空间平稳过程
~ 如果随机函数和空间变量有关，则称它们为空间上的随机过程，一般可写作 u(ω, x) 。
不同空间位置 x1 ， x2 上随机变量的自相关称为空间自相关，空间自相关函数可写作，
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = u′(ω, x1)u′(ω, x2 ) 。
令 x2 = x1 + ξ ，则
o o o o
按照 Kolmogorov 的观点，湍流运动跨越一个广泛的尺度，从供给能量的宏观尺度到能量被 粘性耗散的微观尺度。 各种尺度的涡的作用结果是能量逐渐从较大尺度的涡传递到较小尺度 的涡（图 6-3） 。这个过程称为湍流的能量级串。
另一方面， 要想给湍流一个普遍的定义还是有困难的， 这还是一个没有达成一致的问题。 湍流的每一个方面都是自相矛盾的。但是，大家都承认下列描述的某些基本元素： 1) 2) 3) 湍流要求有涡度的存在，无旋流动在边界条件允许的范围是稳定和光滑的。 湍流又非常复杂的结构，涉及广泛的时间和空间尺度。 湍流场表现出高强度的明显随机性和无序。 但是仔细观察揭示有镶嵌其中的有序流 动结构（有时称为相干结构） 。 4) 5) 6) 湍流是三维的（除非被强烈的旋转和分层限制为二维的） ，并有高速粘性耗散。 对流失踪剂可有湍流迅速混合。 湍流场往往表现出高水平的间歇性。 粗略地说， 它的变化由偶有发生的大事件主导。
系综理论
各态历经假设(Ergodic Hypothesis)：在足够 长的时间内，系统的代表点将会在系统的能量 曲面上的各个区域停留相同的时间
吉布斯的 统计观点
如果各态历经假设成立，那么系统物理量的 时间平均值与其系综平均值是等价的。
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统 计 系 综
方法二就是相应方法一的统计系综。 大量的 统计系综： 完全相同的 相互独立的 微正则系综 ：(N，U，V）确定的系统 系统的能量与离子数守恒，孤立系 正则系综,(N,T,V)确定的系统。系统的 能量不守恒,但离子数守恒,闭合系 巨正则系综：(μ，T，V） 确定的系统 系统的能量和离子数都不守恒，开放系
“保守力学系统的系综，在相空间中的代表 点密度在运动过程中是守恒的”
∂ρ ∂D 统计平衡条件： = 0, = 0, {D, H } = 0 ∂t ∂t 假设： D ∼ D(E ); ρ ∼ ρ(E )
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三、微正则系综
⎧c ⎪ ρ=⎪ ⎨ 微正则分布 ⎪0 ⎪ ⎩
一、统计系综
在统计物理学中，我们研究系统在给定宏观条件下的宏 观性质。如系统具有的粒子数为N,体积为V和能量为E。在 给定的这些宏观条件下，系统可能的微观状态还是很多 的。各种可能的微观状态都有出现的机会。我们不能肯定 系统在某一时刻一定处在或一定不处在某种运动状态，而 只能确定系统在某一时刻处在各状态的概率。
系 综 理 论
统计系综，刘维定理 微正则系综 正则系综 巨正则系综 涨落及三种系综的等价性
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最概然法（最可几法） M-B F-D — 量子统计 B-E 有相互作用 例 系综理论 一般系统 无相互作用 特 — 经典统计 — 近独立子系统
t9-系综理论
更加重要的是，我们研究的系统，总能量E 并没有确定 的数值，通过其表面分子不可避免和外界发生作用，使得在 能量E 附近有一个狭长的范围，即
E ≤ H (q, p) ≤ E +∆E
对宏观系统，表面分子远小于总分子数，故系统和外界的作 用很弱，故有：
∆E E
<<1
系统和外界微弱作用的影响 系统从初态出发沿着正则方程所确定的轨道运动， 经过一定时间（可能很短）之后，外界的作用使得 系统跃迁到另外一个状态，从而沿着另外一条正则 轨道运动，因此，系统的微观状态发生极其复杂的 变化。 在给定的宏观条件下，我们不能肯定系统在某一时 刻处在或者是不处在某一微观状态。 统计物理学的基本想法是：退一步，试图找到系统 处在某个微观状态的概率。而宏观量是相应微观量 在一切可能的微观状态上的平均值。
dΩ ≡ dqdp
则t 时刻，运动状态在这个体积元内的代表点数：
% % ρ(q, p, t)dΩ ≡ ρ(q1,L, q f ; p1,L, p f ; t)dΩ
t 时刻，系统处于这个体积元内的概率为：
ρ(q, p, t)dΩ =
% ρ(q, p, t) N
dΩ, ρ(q, p, t)称为(概率)分布函数
根据等概率原理，平衡态下孤立系统一切可能的微观状 态出现的概率都相等，因此，当A1的能量取某一个值时，孤 立系统总的微观状态数取极大值，这意味着相应的E1和E2是 最概然的能量分配。对于宏观系统，最概然的微观状态数实 际上可以当作是总的微观状态数，因此其他能量分配出现的 概率远远小于最概然能量分配出现的概率，由此可以认为最 概然微观状态数对应的E1和E2就是A1和A2达到热平衡时的内 能。
相空间&刘维尔定理 相空间 刘维尔定理
热力学与统计物理系综理论
办法：用统计平均来代替时间平均 即：用假想的一大群具有同样宏观性质的系统在同 一时刻的状态分布来代替一个系统在一段微观长而 宏观短时间内所有微观态的分布。 这种大量的、完全相同的、相互独立的假想系统 的集合称为统计系综，简称系综。 以掷硬币来说（一个硬币相当于一个系统）
一个硬币掷24000次 ~ B(t)
Г空间或系统相空间：以描述系统的f个广义坐标 和f个广义动量为直角坐标而构成的一个2f维空间。
Г空间性质：
•Г空间中的一个点代表系统的一个微观态，这
个点 成为代表点。
• 在一定宏观条件下，若系统对应Ω个微观态，
则在Г空间中就有Ω个代表点与之相对应。
•当系统的微观状态随时间变化时，代表点相应
地在Г空间中移动，从而形成相轨迹。相轨迹由 哈密顿正则方程确定：
§系综理论的基本概念 （The Fundamental Concept of Ensemble Theory） 一、系统相空间Γ空间 设系统由N个粒子组成，粒子的自由度为r，则系 统的自由度为f=Nr。任一时刻，系统的微观运动 状态由f个广义坐标和相应的f个广义动量给出。
为了形象地描述系统的微观状态，引入Г空间。
态数仍是大量的，设其为Ω 。由于这些微观状态
满足同样的已给定的宏观条件，因此它们之间应当 是平权的。一个合理的想法是，系统处在每个微观 态上的概率是相等的，称为等概率原理(微正则分 布)。
由等概率原理知，状态s出现的概率为
s
1
微正则分布的量子表式
经典表达式：
(
p,
q)
常数, 0,
E E E E E或 E
与24000个硬币一次掷，在保证外部条件与一次 掷时相同的情况下，结果应当是相当的。
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6
空间H E所围的相体积为 ( E ) dx1dy1dz1 dxN dyN dzN dpx1dpy1dpz1 dpxN dpyN dpzN
N 3N dx dy dz dx dy dz V L 1 1 1 N N N 3N 2
dp
二、微正则系综
三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
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§6. 3 正则系综
正则系综：由封闭系统所构成的系综，具有确定的 粒子数N，体积V和温度T，也称N-V-T系统（恒温系 统）。
正则系综中的系统如何构造？将系统与一个大热源相接触。
（1) 系统加大热源看成一个孤立系统，整体用微正则分布；
(2) 将热源变量消除，就得到正则系统的分布。
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thermal source
system T, V,
系统加热库的总哈密顿量为 H ( p, q; p ' , q ' ) H 1( p, q ) H 2( p ' , q ' ) H 12( p, q; p ' , q ' ) H 1( p, q ) H 2( p ' , q ' ) N N1 N 2 ( N 2 N1 )
A h
3N
3N 1 2
E
E
3N 1 2
7
第六章 系综理论 动机和目的 一、Γ 空间与统计系综
二、微正则系综
三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
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§6. 2 微正则系综
微正则系综：由孤立系统所构成的系综，具有确定的粒子数N， 体积V和能量E，也称N-V-E系统。
微正则分布：在平衡态下孤立系统的一切可能的微观 状态出现的概率都相等（等概率原理），所以，分布 密度函数在等能面上为一常量。
1 , ( p, q ) D( E )E 0, 式中, 状态数是 1 D( E )E N !h Nr
E H ( p , q ) E E
E H ( p, q ) E E 其他 dpdq
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注意： 在刚才的状态数表示式 中出现了与关于单粒子 玻耳兹曼统计中不同的 两个因子，其意义分别 是 (a ) h Nr 系空间的一个相格的体积 ； (b)1 N!表明全同粒子交换不引 起新的微观态。
三、正则系综 四、巨正则系综
小结和习题课
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§6. 1 Γ 空间与统计系综
μ空间：一个粒子的广义坐标和动量所张开的空间； Γ空间：N个粒子的坐标和动量所构成的空间、维数高， 该空间的一个代表点可以表示系统的一个微观态。
系综理论的基本原理： 系统的宏观量u是它所对应微 观量的系综平均值。设 u u (q1 , q2 , qrN ; p1 , p2 , prN ), 则它的系综平均写作： u ud d
2
• 系统(system)与系综(ensemble): 系统是一组相 互作用、相互依存的元素；系综是系统的集合， 而不是客体，是为了进行统计平均而引入的工 具。 • 等概率原理：当系统处于平衡态，则发现其 处于各微观态的概率相等。
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第六章 系综理论 动机和目的 一、Γ 空间与统计系综
二、微正则系综
x1
dpy1dpz1 dpxN dpyN dpzN 2m E
N
3 N 2
N 32 1
2 2 第二式是3N维球面 p 2 所围的体积。 xi p yi p zi 2 m E i 1
故能量壳层E E dE之间的相体积为 d ( E ) E AE dE 态密度是 1 d ( E ) D( E ) 3 N h dE
其中， 为分布密度函数， d dq1dq2 dqrN dp1dp2 dprN。
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[例6.1] N个单原子分子组成的理 想气体封闭在边 长为L的立方容器内，计算态 密度。 解： 所谓单原子分子，就是 可以将它们处理为没有 内部结构的点粒子，每 个分子只有3个平动自由度。 3N个自由度， 6 N维相空间，系统的哈密 顿量为 1 2 2 2 2 2 2 H p x1 p y1 p z1 p xN p yN p zN 2m
第六章 系综理论 动机和目的 一、Γ 空间与统计系综
二、微正则系综
三、正则系综 四、巨正则系综 小结和习题课
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* 最概然方法存在如下两个问题：
（1）粒子间存在相互作用（实际气体），单粒子态 不能从系统中分离出来，用单粒子态的分布来描写 系统状态不再适用，必须同时考虑N个粒子的微观状 态。
（2）为了能将量子力学与统计力学的结果衔接起来， 那么“全同粒子不可分辨”应该在统计中体引起微观 态增多的不足。
E H ( p, q; p ' , q ' ) E E 其他
任务是求出关于系统变 量的分布密度函数，而 大热源变量 （p ' , q '）可取任何可能的值， 将它们积分消除 , 得出系统分布： dp ' dq ' 1 ( p, q ) ( p, q; p' , q ' ) N 2 !h N 2 r 1 1 D( E )E N 2 !h N 2 r 1 N 2!h N 2r
[思考题] 为什么积分变元要携带 着因子1 ( N !h Nr ) ? 解答： 一方面必须考虑相体积 元与系统离散相格或 量子态数的关系；另一 方面，分布密度函数是 微观 状态数的倒数（量纲为 1），只有乘以状态数， 才能 使结果具有分布密度函 数的意义。
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第六章 系综理论 动机和目的 一、Γ 空间与统计系综
这里，我们忽略了系统 粒子与热库粒子的相互 作用项 H12 , 这是因为界面的分子数 远小于系统和大热库的 分子 数，又因为分子间的相 互作用是短程力。
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系统加热库整体作为一个孤立系，视为一个孤立系，其分布 密度函数：
1 , ( p, q; p' , q ' ) D( E )E 0,