解析几何竞赛题求解的几种常见策略
(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
浅析高考解析几何压轴题解答策略
探究是 否存在 的问题 是 ２０ 年 高考解析 几何 的一个 ０９
涉 及位 置关 系 的判 定 、 长问题 、 弦 最值 问题 、 称 问题 、 对 轨 重点 考查 内容 ， 很多 省市也 加强 了对 这种半开放 性试题 的
迹问题等， 突出考查数形结合 、 分类讨论 、 函数与方程、 等 考查力度。 这类问题主要就是假设存在然后求解。 湖北卷 、 价转化等数学思想方法， 因此直线与圆锥曲线的问题往往
｜
ｉ； ｜ 高 ０ ｜专 考２１ 建 ０
全 文理解 的生 词 ， 可以放过去 ， 务求理解 。 不必 碰到 阅读 理 解 的难 题时 ， 千万不 要钻牛角 尖 ， 误太多时 间。 耽 一时做 不 出的 阅读 理解 的题 ， 果断 舍弃 ， 要 以免影 响解别 的较有 把 握 的阅读理解题 。待全部 阅读理解题 解完后 ， 有剩余 时 如
都有 ２到 ３个 问组成 ， 中的第 一个 问 比较基 础 ， 值在 体 ， 轨迹 方程 ， 合考 查平 面 向量的 加法 与减法 及其 几 其 分 求 综
６ 以 内， 分 主要考察 曲线方程 。后一个 问难度 大 ， ４ ６ 何 意义 、 面 向量的数 量积 及其 几何 意义 、 有 到 平 圆锥 曲线 的定 分 较难 部分 ， 常是最 值或 取值 范 围问题 ， 题 时通 常用 通 解
分 。学生不 联系语文 阅读理解 问题 的要 求来 回答 ， 我们称 之为乱答 题 ， 本质上 是与学生 不答 题一 样 ， 乱答 没有成 绩 。 我 们在语 文阅读理解训 练 中强调学生要 答满线格 ， 并不 但
பைடு நூலகம்
浅析高考解析几何压轴题解答 策略
■ 通 化市 实验 中学 杨 睿
解析几何大题的解题步骤和策略
解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。
2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。
选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。
3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。
可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。
4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。
可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。
5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。
可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。
6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。
最后，回答问题，给出相应的解释和结论。
在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。
同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。
根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。
数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料
数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学容易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要熟练掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的重要工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以熟练运用向量知识在解这类题中至关重要
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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攻克解析几何综合题的几种策略
（ ） ｃ 与 Ｙ轴 的交 点为 ，过 坐标原 点 ０的直线 ｚ Ｃ ２设 ２ 与
相 交 于 点 Ａ、日，直 线 Ｍ Ａ、ＭＢ 分别 与 Ｃ 相 交 于 点 Ｄ、Ｅ 。 ．
① 证 明 ：ＭＤ上ＭＥ ．
② 记 ＡＭＡ Ｂ、ＡＭＤ Ｅ的面 积分 别是 Ｓ 、Ｓ，问 ：是否存 在 ：
直线 ｌ ，使得 １＝— ？请说 明理 由． ５
考研 究专 家，主要从 事 中学数 学教 育与高考研 究．
３７
又直线 ＭＢ的斜率为一 １ 一 ｋ ｌ
，
例 ２ （０ １ 浙江卷 ‘ ２） 如 图 ２ ２１年 理 １ ， 已知抛物线 Ｃ ： ｚ ， ： ， Ｃ： ： （ 一 ）：１ ，圆 ２ ＋ ｙ ４
）ｉ
同理可得 点Ｂ的 坐标为 １， 一 １— ） １．
一
直线 ｚ Ｃ相交问题． １问易得 Ｃ、Ｃ 的方程分别为莩 ＋ 与 ： 第（） 。 ：
＝
１， Ｙ ＝
１ ．
、
全面审题 ，分部转化
第 （） ２ 问② ，通过审 图形 、审条件 ，抓住问题 的本质是 直线
与 ２ 由于解析几 何综合 题具有 信息量 大 、字母 符号 多 、图形 复 ｚ ｃ 相交于点 Ａ、曰，实施 如下转化 即可使 问题获得解决 ：
可 以 说 ，这 几 乎 是 所 有 学 生 的 一 个 难 点 ，很 多 学 生 对 其 有 惧 怕
图 １ 椭圆 ｃ： ＋善 ＝ ＞ ＞ ） ， １ ｂ０
０一
Ｅ
二＝ 二
．
的离心率为
：
一
， 轴被曲线 Ｃ ：Ｙ ： ＝
Ｍ
／／ ； ／
图
ｂ截得 的线段长等于 Ｃ 的长半轴长． （ ） Ｃ 、Ｃ 的方程 ； １求 。 ｚ
数学竞赛中解析几何问题的解法(一)-最新教育资料
数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学简易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要烂熟掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的严重工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以烂熟运用向量知识在解这类题中至关严重
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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高考数学如何应对解析几何的难题
高考数学如何应对解析几何的难题解析几何是高考数学中一个相对较为复杂和困难的知识点，无论是平面解析几何还是空间解析几何，都需要同学们具备较高的数学思维和分析能力，才能够顺利解决问题。
在高考中，解析几何常常是一道能够考察学生综合运用多种数学知识与技巧的题目，因此，如何应对解析几何的难题成为学生备战高考的重要环节。
本文将从几个方面为同学们介绍高考数学解析几何题目的解题技巧与策略。
一、充分理解题意在解析几何的难题中，题目通常会给出一定的几何条件或图形描述，并要求求解一些未知的几何性质或者计算一些几何量。
因此，同学们首先要做的就是充分理解题目中给出的条件和要求，举一反三，将所学知识与题目相结合，形成自己的解题思路。
二、熟练掌握基本几何定理与公式解析几何的难题往往需要建立几何模型，运用几何定理和公式来求解。
因此，同学们需要熟练掌握基本的几何定理与公式，例如平面解析几何中的点与直线的关系、直线与直线的关系、平面与平面的关系等，还有空间解析几何中的点与直线的关系、直线与平面的关系、平面与平面的关系等。
只有当我们熟练掌握了这些基本的几何定理与公式，才能在解析几何的题目中游刃有余。
三、灵活应用坐标系在解析几何的题目中，坐标系是一种非常重要的工具。
通过建立适当的坐标系，可以把几何问题转化为代数问题，更加方便理解和计算。
同学们需要熟练掌握直角坐标系和参数方程两种坐标系的应用，能够根据题目的要求选择适当的坐标系，简化问题的求解过程。
四、细心分析图形性质在解析几何的题目中，图形性质的分析是非常重要的一步。
同学们需要根据题目给出的条件和要求，利用已知信息推导出更多的图形性质，从而为问题的解决提供更多线索。
同时，同学们还需要判断出哪些性质是关键性质，哪些是次要性质，避免陷入无用的计算中。
五、多做题，总结经验解析几何需要一定的练习积累，通过多做题目，可以更加熟悉各种典型的解题方法和技巧。
在解题过程中，同学们要注意总结分析，归纳各种解题的模式，形成自己的解题经验。
(完整版)解析几何的解题思路、方法与策略分析
解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的. 一方面是回顾已学过的数学知识. 进一步巩固基础知识. 另一方面. 随着学生学习能力的不断提高. 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复. 而是有对所学知识进一步理解的需求. 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等. 所以高三数学复习既要“温故” . 更要“知新” . 既能引起学生的兴趣. 启发学生的思维. 又能促使学生不断提出问题. 有新的发现和创造. 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容. 也是高考考查的重点．每年的高考卷中.一般有两道选择或填空题以及一道解答题. 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用. 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查.重视对圆锥曲线定义的应用. 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位.是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体.与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合.结合数学思想方法.并与高等数学基础知识融为一体.考查学生的数学思维能力及创新能力.其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位.这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路.方法与策略.重视一题多解.一题多变.多题一解这样三位一体的拓展型变式教学.是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中.在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - .若直线l 交x 轴负半轴于A.交y 轴正半轴于B.O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S .求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴.y 轴正半轴.设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>.∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B . （1）∴422122)12(2≥++=+=kk k k S , ∴当1)22=k （时.即412=k .即 21=k 时取等号.∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA .当且仅当22k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k k k k k k MB MA . 当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x .∵过点(2,1)M -.∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121. ∴822≥-⇒≥-ab ab .∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+ba ab b a b a b a b a OB OA ； （3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=ab b a ． （3）方法三： θsin 1=MA .θcos 2=MB . ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA .当且仅当12sin =θ时最小.∴4πθ=．变式1：原题条件不变.（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y .且(,0)A a .(0,)B b .则3a x =.3b y =.又∵112=+-ba .∴13132=+-y x . ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y .该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ.则20πθ<<.又(2,1)M -.过M 分别作x 轴和y 轴的垂线.垂足为,E F , 则θsin 1=MA . θcos 2=MB .θtan 1=AE .θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=. 令12cot-=θt . 则t>0. ∴周长10)2(213≥++++=t t t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。
解析几何的常见题型解题方法
解析几何的常见题型解题方法几何学是数学的一个分支，研究与形状、大小、位置等相关的问题。
在解析几何中，常见的题型包括直线方程、平面方程、距离公式、中点公式、向量运算等。
本文将从这些常见题型出发，介绍解析几何的解题方法。
1. 直线方程直线方程是解析几何中常见的题型之一。
一条直线可以用斜率截距法、两点法或点斜式等多种方式表示。
例如，已知直线过点A(2,3)且斜率为2，求直线的方程。
解法如下：首先，利用点斜式可以得到直线的方程为y-3=2(x-2)。
进一步化简，得到直线方程为y=2x-1。
2. 平面方程平面方程是解析几何中另一个常见的题型。
平面可以用点法、法向量法或截距法表示。
例如，已知平面过点A(2,3,4)、B(1,2,3)和C(3,4,5)，求平面的方程。
解法如下：首先，利用两个向量来确定平面的法向量。
设AB和AC两向量，则平面的法向量可以通过叉积运算得到。
即AB×AC=(-1,1,1)。
进一步，利用点法可得平面的方程为-1(x-2)+1(y-3)+1(z-4)=0。
化简可得-x+y+z-5=0，即平面的方程为x-y-z+5=0。
3. 距离公式在解析几何中，我们常需要计算两点之间的距离。
两点间的距离可以通过距离公式来计算。
例如，已知点A(2,3)和点B(4,5)，求AB两点间的距离。
解法如下：根据距离公式，AB的距离可以表示为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
带入坐标可得√[(4-2)²+(5-3)²]，化简后得√8。
因此，点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离为√8。
4. 中点公式中点公式是解析几何中常见的一个定理，用来求线段的中点坐标。
例如，已知线段AB的两个端点A(2,3)和B(4,5)，求线段AB的中点坐标。
解法如下：根据中点公式，线段AB的中点坐标可以表示为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
带入坐标可得[(2+4)/2, (3+5)/2]，化简后得(3,4)。
解析几何解答题的答题策略和技巧
解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。
要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。
确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。
选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。
笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。
建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。
这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。
求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。
这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。
验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。
几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。
这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。
技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。
利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。
利用这些对称性可以简化问题。
使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。
保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。
复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。
特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。
圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。
双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。
抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。
椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。
通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。
记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。
高中数学解析几何题解策略
高中数学解析几何题解策略解析几何是高中数学中的一大重点，也是学生们普遍认为比较难的部分。
在解析几何题目中，我们需要运用坐标系、向量、直线和曲线等概念来进行分析和解答。
本文将介绍一些解析几何题目的解题策略，帮助高中学生更好地应对这一考点。
一、直线方程的求解在解析几何中，直线是最基本的图形之一，因此直线方程的求解是解析几何题目中的常见考点。
对于一般形式的直线方程ax + by + c = 0，我们可以通过以下几种方法求解：1. 通过斜率和截距求解：如果直线已知斜率k和截距b，我们可以直接写出直线方程为y = kx + b。
如果直线已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过斜率公式k = (y2 - y1) / (x2 - x1)和截距公式b = y - kx来求解。
2. 通过两点式求解：如果直线已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过两点式公式(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)来求解。
3. 通过点斜式求解：如果直线已知斜率k和一个点A(x1, y1)，我们可以通过点斜式公式(y - y1) = k(x - x1)来求解。
二、直线与曲线的求交点在解析几何中，直线与曲线的交点是另一个常见的考点。
求解直线与曲线的交点可以通过以下几种方法：1. 代入法求解：将直线方程代入曲线方程，得到一个关于x的方程，然后解方程求解x的值，再代入直线方程求解y的值。
2. 消元法求解：将直线方程和曲线方程联立，通过消元法求解x和y的值。
3. 向量法求解：将直线方程和曲线方程转化为向量形式，通过向量的运算求解交点坐标。
三、平移、旋转和缩放在解析几何中，平移、旋转和缩放是解题时常用的策略。
通过平移、旋转和缩放可以改变图形的位置、方向和大小，从而简化题目的分析和解答。
1. 平移：通过将图形沿着x轴或y轴方向平移，我们可以改变图形的位置，从而使题目的分析更加简单。
【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc
高考解析几何解答题题型分析及解答策略。
©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。
数学竞赛精品课解析几何的高效解题方法
数学竞赛精品课解析几何的高效解题方法解析几何是数学竞赛中的重要内容之一，也是相对较难的部分。
为了提高在解析几何题目上的解题效率，我们需要掌握一些高效的解题方法和技巧。
本文将介绍一些数学竞赛精品课中教授的解析几何的高效解题方法。
一、题目分析与几何性质的归纳在解析几何的题目中，首先我们需要仔细分析题目，理解题目的要求和条件。
同时，我们需要总结几何图形的性质和定理，将题目中的几何要素和已知条件归纳整理。
这样不仅可以帮助我们更好地理解题目，还能够为后续解题过程中的思路提供指导。
二、构建辅助线与辅助图形在解析几何的题目中，合理地构建辅助线与辅助图形是提高解题效率的重要一环。
通过构建辅助线和辅助图形，我们可以产生新的几何关系，简化原题的解决过程。
在构建辅助图形时，我们可以根据题目中的几何要素和已知条件来选择合适的辅助线和辅助图形，以减少问题的复杂性。
三、利用相似性与对称性在解析几何的题目中，相似性和对称性是经常使用的思想和方法。
通过观察几何图形的相似性和对称性，我们可以得到一些有用的信息，简化题目的解决过程。
当题目中的几何图形具有相似性或对称性时，我们可以利用相似性定理、对称轴等性质来推导和求解题目。
四、利用三角函数和向量方法解析几何中常常涉及到角度、距离和方向等概念，因此利用三角函数和向量方法可以帮助我们更快地解决问题。
通过运用三角函数的性质和向量的运算法则，我们可以得到一些有用的结论，从而更好地解析几何的题目。
五、利用面积和体积的性质在解析几何中，面积和体积的性质经常用于推导和求解题目。
通过利用面积和体积的性质，我们可以得到一些有关几何图形的关键信息，帮助我们更快地解决问题。
在解析几何的题目中，常用的面积和体积的性质包括三角形的面积公式、平行四边形的面积公式、立体图形的体积公式等。
六、几何题目的综合解题方法除了以上介绍的一些高效解题方法和技巧外，还有一些综合解题方法可以帮助我们更好地解决解析几何题目。
比如运用直线的垂直性与平行性、利用圆的切线与弦的性质、通过解析几何与代数几何的结合等等。
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略份
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略(一)份解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略 1解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略一、“数”“形”结合解题法的理论概述（一）方法释义首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。
其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。
其次，关于数形结合的.释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。
（二）解题思路在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。
事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。
因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。
二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析（一）解析几何中圆类问题实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。
比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。
这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。
解析几何小题方法总结
解析几何小题方法总结解析几何小题的方法总结如下：1. 将题目中的几何图形转化为代数表达式进行求解。
这种方法适用于熟悉几何图形的性质，并能将其转化为代数表达式求解的情况。
例如，将直角三角形的边长表示为变量，然后利用勾股定理进行联立方程求解。
2. 利用几何图形的对称性质进行推导。
这种方法适用于几何图形具有对称性的情况。
例如，求一个多边形的对角线个数，可以根据图形的对称性质进行推导，而不需要具体计算。
3. 利用相似三角形进行比较和推导。
这种方法适用于几何图形中存在相似三角形的情况。
例如，利用相似三角形的边长比例关系求解未知边长。
4. 利用等腰三角形或等边三角形的性质进行推导。
这种方法适用于利用等腰三角形或等边三角形的性质求解问题的情况。
例如，利用等腰三角形的底角相等的性质进行推导。
5. 利用圆的性质进行推导。
这种方法适用于利用圆的性质进行求解的问题。
例如，利用圆的弧度定义和圆心角的性质进行推导。
6. 利用平行线与等角线的性质进行推导。
这种方法适用于利用平行线和等角线的性质进行推导的情况。
例如，利用平行线的性质推导出两个角相等或对应角相等。
7. 利用向量的性质进行推导。
这种方法适用于利用向量的性质进行推导的情况。
例如，利用向量的加减法和数量积的定义进行推导。
总之，解析几何小题的求解方法主要依靠几何图形的性质和代数表达式的推导，需要熟练掌握各种几何图形的性质和定理，以及代数运算和方程的求解技巧。
同时，灵活运用不同方法结合题目的特点进行求解，可以更有效地解决问题。
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略注意到A∈[÷,2],可得所求为[2,÷].JJ点评:求参数的取值范围,一直是数学中的经典问题.解题的关键是如何构造出关于参数的表达式或不等式,转化为求函数的值域或解不等式问题.本例是直接利用题设的A的范围,求出值域,属简单题.而一些较复杂的题,往往要用以下一些条件和方法:圆锥曲线的范围,几何图形的性质,变量的取值范围(如sinO,cosO●徐素琴舒林军''的范围),判别式法,基本不等式法,分离参数法等.以上五类问题是解析几何中的重点题型,一定要掌握求解的通法,在解题实践中不断对各种解法加以比较,总结,提高自己择优解题的能力,使解析几何解答题成为你的得分点,从而在高考中获得数学卷的高分0-动中求定"的八大策略探索解析几何中求解定点,定值,定向,定线等问题的策略在解析几何中常常出现求定点,定值,定向,定线等问题,它已经成为当前各省高考试题中的热点.本文对此类问题加以探究,得出一些行之有效的方法策略,供以参考.策略一:提取参数对于某些含参数的曲线方程,如果可以把参数与x,y分离,则提出参数后,再根据恒等式的性质,即可以解得x,y的值,得到定点的坐标.例?1已知动直线(2+k)x一(1+k)一2(3+2k)=0,求证:点P(一2,2)到该动直线的距离d≤4.证明:把直线方程化为.i}(一),一4)+(2x—Y一6)=0,知J.一),一4=o,L2x一),一6=0.解得=2,Y=一2,即动直线过定点(2,一2).连,则点P(一2,2)到该动直线的距离d≤lPI=~/(一2—2)+(2+2)=4.'策略二:观察巧代?2O?充分利用已知式的结构特征,经过观察分析,只要找出满足条件的,y的值,就是定点的坐标.例2(1)已知实数17/.,n满足三+=l,则动直线羔+上:l必过定点的坐标为——;(2)已知实数p,g满足p+2q—l=0,则动直线+3y+q=0恒过定点M的坐标为略解:(1)只要令=2,,,=l,即得定点(2,1);(2)已知式化为号一下1+q=0,只要令=寺一IM(1,一吉).策略三:设参分离根据题意,设立参数,建立方程,分离参数,即可以求得定点.例3已知抛物线C:y=8x,焦点为F,定点P(2,4),动点A,B是抛物线C上的两个点, 且满足后?keB=8,试问AB所在的直线是否过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理由.解:设A(8t;,8t1),B(8t,8t2)(t1≠t2),则】.1PA,kpB'fl+一2f2+一2因为J}?后雎=8,所以8t1t2=一1—4(tl+t2).①因为Ij}仙,所以A曰的方程:),一8tt:(一8￡;)?再利用①化简即得(一1)一(t1+t2)(),+4)=0.可见直线AB过定点(1,一4).策略四:巧"特"结论有两种情形:一种利用特殊值探求结论,再验证其充分性;另一种是也先用特殊值探求结论,后作一般性探求...2.2.例4已知椭圆等+=1,过左焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于A,两点,AB的垂直平分线交轴于点,则IFI:IABl的值为()(A1(B1(c了2(D)}解:本题为选择题,即知此比值为定值,故可用特殊值法.设AB与轴重合时,就是原点,则AB长为6,MF的长为2,故IMFl:IABI =1,答案为(B).如果不用特殊法解,本题就是一个较难的解答题,同学们不妨一试.若用极坐标方程解较方便一些.可见在解选择题时,用特殊值法来判断和寻找答案尤为重要.2例5已知椭圆方程+=1,过点s(o,一÷)的动直线f交该椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以AB为直径的圆恒过定点,若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设满足条件的定点存在.当直线Z与轴平行时,以AB为直径的圆方程为2+-y')=;当直线Z与),轴重合时,以AB为直径的圆方程为+),=1.以上两圆方程联立解得』=o,即r(0,1)ty=1,是满足条件的必要条件.下面证明其充分性: 若存在v(o,1),对过点S不与坐标轴平行的直线设为y=kx一÷(Il}≠0),把它代人椭圆方程得到(1+2)2一一=o.设A(,y.),B(,y),则有『+=吾_,116【la;:一'因为H=(l,y1—1),TB=(2,y2一1),7?TB=X12+(),1—1)(,,2—1)=(1):一争(+一16(1+)4,12k16——18k9一一一3—}8k9+一9++=0.所以上船,即以AB为直径的圆恒过定点其定点的坐标为(O,1).例6已知椭圆+:1(n>b>o)上任意一点,B,B:是椭圆短轴的两个端点,作直线MB1,MB2分别交轴于P,()两点,求证: lOP1.IDQI为定值,并求出定值.分析:当动点在长轴的端点时,则P,Q重合于长轴的端点,因此IOPI?loQI=a.?2l?再作一般证明即可得IOP1.IOQI为定值为0.策略五:设参消参为了求得定值,往往需要设立一个或两个参数,如直线的斜率,动点的坐标等,然后根据条件,寻找所求的定值,最后经过消参得到所求的定值.例6已知A(1,1)是椭圆x+=1(口>b>0)上的一点,F,F2是椭圆的两个焦点, 且满足lAFI+IAF,I=4.(1)求椭圆的方程;(2)设点B,C是椭圆上的两个动点,且直线AB,AC的倾斜角互补,试判断直线BC的斜率是否为定值?并说明理由.解:(1)易知口=2.再把点A坐标代人椭圆方程得b.=÷,所以椭圆方程为等2+等(2)由条件可以得到直线AB,AC的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为Y=(一1)+1,代人椭圆方程得(1+3k)+6(1一k)kx+3一6k一1=0.因为XA=1,XAXB=所以.①又设直线AC的方程为Y=一k(一1)+1,同理得到.②因此得到,口一YcJ}(B+Xc)一2k%c■'把①②代人得k.=下1,所以直线BC的斜率为定值.策略六:巧用定义结合圆锥曲线的定义,在运动变化中寻求?22?符合定义的不变量.'2,2例7已知P是双曲线一号=1(口>0,b>0)右支上不同于顶点的任意一点,,是双曲线的左右两个焦点,试问:三角形PFF2 的内心,是否在一定直线上,若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.解:设三角形PFF2的内切圆与轴的切点为,则由双曲线的定义及切线长定理可知: IPF1I—IPF2l=IMF1I-IMF2I=2a,所以也在双曲线上,即M为双曲线右顶点.又IM上轴,所以三角形PF的内心,在一定直线=口上.例8以抛物线(Y+1)=g(一2)上任意一点P为圆心,作与Y轴相切的圆,则这些动圆必经过定点的坐标为一解:不难求得Y轴是抛物线的准线.由抛物线的定义可知,这些圆必经过抛物线的焦点可以求得F(4,一1),所以这些动圆必经过定点的坐标为(4,一1).策略七:结合平面几何有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合,可以达到事半功倍的效果,如上面的例7就是运用了切线长定理.例9已知圆(一3)+(Y+4)=4,过原点0的动直线2:y=kx交圆于P,Q两点,则IoPIlOQl的值为一解:设OB切圆于点,则JOPIIOQI=IDBl=10I一r2:25—4=21.,22例10已知是双曲线一各=1(口>0,b>0)过焦点F1的任意一条弦,以AB为直径的圆被与相应的准线截得圆,求证:MN的度数为定值.解:设AB的中点为P,P,A,B到相应的准线距离分别为d,d,d,则.:,',d1+d2IF1AI+IF1BIlABId—一——■～=(r为以AB为直径的圆的半径),所以c.sPⅣ::,二,e即删的度数为定值,其定值为2arccos.策略八:极坐标法关于长度计算的某些问题,用极坐标法会来得很方便.先要根据条件建立恰当的极坐标系,然后给动点设出极坐标,极角之间的关系往往是解决问题的关键.例11椭圆x+=1(口>b>o)上有aD两个动点A,B满足OA上OB(0为坐标原点), 求证:+广为定值?解:设以原点为极点,轴为极轴,建立极坐标系.则有lpcosO,代人椭圆方程得到椭ty:psin0.圆的极坐标方程●赵小龙r+r?设椭圆上动点A(p,),因为上OB,则动点B(p:,0+),因此1COS0sin—丁十—一,PlnD1c.s(+詈).sin2(+詈)2一口2.bP2口sin20cos0r+.两式相加得P+=+,l111ap2D即击+=1+古为定值.以上的八大策略,提供同学们在解决此类问题的方法.对求定点,定值等问题往往先用特殊值法探求出结论,这样解题的方向就明确了, 然后在运算过程中心中有数,达到事半功倍的效果.1l.洙高毒中的五粪热燕题型思维能力是数学能力的核心,新课标的高考是通过数学基本能力与数学综合能力来考查数学思维的.针对高考对能力的考查,笔者认为临近高考时要努力达到下述目标:如果一个问题有多种数学思维方法,那么通过自身的思维应尽力发现其中大多数通法,并能靠自己丰富的解题实践择其优者实施.为此,只有平时对如下五类热点题型有思维模式的积淀,才能在应试中形成灵活的解题思维一,立体几何中的条件探索题此类题型是高考命题改革的先进成果,已被各省市的高考命题所大量采用,对考查新课标规定的数学基本能力中的空间想象能力,推理论证能力均大有裨益.抓住结论采到逆向探索,灵活转移,直观想象等思维方式,常可发现或猜出条件,进而给出充分性的证明.这是此类题型的一般思维模式.例1如图1,四棱锥P—ABCD中,M是棱船的中点;在底面四边形ABCD中,AB//CD, AB=4DC.在棱PC上找一点Ⅳ,使DⅣ∥平面?23?。
优化解析几何运算的几个策略
２０ 年 第 ２ ０６ 期
河北理科教 学研 究
问题讨论
优化解 析几何运算 的几个策 略
山 东省 胜利 油 田一 中 李 加军 ２ ７２ ５０ ７
解析几何的优点在于数形结合 ，对问题 动态地进行 处理 ，解题思 路有很 强 的程序 性 ；但是 ，盲 目地操作会带来烦琐的讨论或
例 ４ （９ ５年全 国高考 题 ） １９ 已知椭 圆
分有向线段 Ａ 所成 的 Ｃ 比为 ，双 曲线过 Ｇ 、 Ｄ、Ｅ三点 ，且 以 、
Ａ
０Ｉ Ｂ ｊ Ｆ
＋ １ 线ｆ 专 １ 是 上 彘＝， ： ＝， ｆ 一 直 ＋ Ｐ
点， 射线 Ｏ Ｐ交椭 圆于点 ， 又点 ｑ在 Ｏ Ｐ 上， 且满足 ｌ ｑ１１ Ｐｌ Ｒｌ， ．Ｏ ＝ｌ 当点 Ｐ在 ｏ Ｏ ｆ 上移动时， 求点 ｑ的轨迹方程 ， 并说明轨迹 是什么曲线．
定Ａ 一， ）已 点Ｂ 椭 ＋ １ （２ ２ 知 为 圆 彘＝ ，
上的动点， 是左焦点，当ＪＢＪ ＋昔Ｊ Ｊ Ａ
取最小值时 ，求点 日的坐标 ． 分析： 由标 准
方程 知， ｃ＝３ ｅ＝ ，
：ｊ ＝ ＝ ： ＝ ＝
中， 由于 Ｐ ｅ 的对称性 给求 解带来极 大的 、
＋
＝ ② ；
①；
＋
又ｏ。 一， ・ ＝等 ｋ ＝等即 一， ｐＱ ￣
从 ： ③① ② ＋ 而 ≥ 一２；＋ 得 ± ｂ
： ④， １ 由③ 、 ④消去 ｍ， ， ｎ 得
２ｘ２
＋
人 准 程 求 横 标 一 ， 当 标 方 可 得 坐 ： 要 故
Ｉ Ｉ ｛ＩＦ取最小时， Ｂ的坐标为 ＋ Ａ Ｉ 点
（ 一— ，） ２．
漫谈解析几何大题的四大优化策略
解题篇经典题突破方法高考数学2021年4月壇琰鉛料JT灯天販曲回兀尤连英咯V-■浙江省湖州中学盛耀建解析几何大题，是每年高考的必考大题，虽然常考，且题型也较为固定，但其依然是挡在考生面前的几座大山之一，得分率较低。
那么如何破解这一难题，推翻这座大山呢？笔者认为，除了需要我们同学总结一些常见的题型，还需要掌握一些特殊的技巧，笔者就此整理了解析几何大题解题时的四大常见优化策略，供同学们复习备考时参考。
策略一：同构式“同构式”侧重于“同构”二字，顾名思义，结构相同。
具体举例如下：捌（如图1,已知抛物线E：；/=2的:（力＞0）过点Q（1,2）,F为其焦点，过F且不垂直于工轴的直线I交抛物线E于A,B两点，动点P满足图1AFAB的垂心为原点O。
（¥，%），又因为。
为厶PAB的垂心，从而B（rr2，夕2），联立｛,消去工整理得==4jc,y2—4：ty—4=0,则<》1+%=4左,设P（鼻。
，13》2=—4。
%）,则PA=yi\——■>y0—yi），ub—PA•06=0,代入化简得+3^03^2+3= 0,同理亍'式+》0夕1+3=0,所以J/19y2是方程亍夕2+30的两根，由韦达定理知4y必+兀―土j,夕0=—gS=—312皿2=厂=_43^o3i?所以动点P在定直线皿口=—3上。
S=—3,（1）求抛物线E的标准方程；（2）求证：动点P在定直线勿上，并求的最小值。
~2I AB I d、d.s”==生=13严+4| SgB^\AB\d2込|2d解析：（1）由题意，将Q（l,2）代入b= 2”:，得22=20*0=2,所以抛物线E的标准方程为b=4sQ#9y+y N2◎，当且仅当t=±号。
其中d19d2分别为点P和点Q到直线AB的距离。
攀时取等（2）设Z：H=£jy-|-l（£HO）,A（rci，;yi）,评注：第（2）问的解答关键在于“％,；2Vi—V?所以k AB=yl y2,将①②代入得k AB=工1—S/2今，即直线AB的斜率为定值今。
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解析几何竞赛题求解的几种常见策略解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。
解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。
在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。
下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。
一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。
抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题，这就是解决问题的函数观点。
在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。
【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把∆ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。
【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：12122212121206366--====-+-yy y y k y y x x y y y线段AB 的中垂线方程：00(2)3-=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C直线AB 的方程：003(2)-=-y yx y ，联立抛物线方程消去x 可得：220022120-+-=yy y y （1）， 由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所以2200044(212)0∆=-->⇒-<<y y y弦长12|||=-==AB y y 点C(5，0)到直线AB的距离：||==h CM则1||2∆=⋅==ABC S AB h≤=当且仅当22009242+=-y y ，即0=y ，点A B 或A B 时等号成立，所以∆ABC 面【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S 表示为中点坐标0y 的函数，同时注意0y 的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设209,[9,21)+=∈y t t ，转化为一个t 的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。
【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,k m ,所以其余各量均可用,k m ，所以我们这里可用一个二元函数(,)f k m 来表示+u u u r u u u r AC BD ，本题就转化为解二元方程(,)0=f k m .【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得:()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k +=-+,()()()222184344480km k m ∆=-+-> ①由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得:()22232120k x kmx m ----= 设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=-,()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② 因为0AC BD +=u u u r u u u r ，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=． 由1234x x x x +=+得2282343km km k k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.二、用平面几何的知识来解决问题解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。
在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。
【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是________ 【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，|MN=|AF|+|BF|，结合3AFB π∠=，可用余弦定理得出等量关系。
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BF MN +=在AFB ∆中,由余弦定理得 2222cos3AB AF BF AF BF =+-⋅π2()3AF BF AF BF =+-⋅ 22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1. 【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。
【例4】（2005全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x 2一点A (1,1)作抛物线的切线交x 轴于D ，交y 轴于B ，C 在抛物线上，E 在线段AC 上，1λ=EC AE ，F 在线段BC 上，2λ=FC BF ，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于P ，当C 在抛物线上移动时，求P 的轨迹方程。
【分析】通过初略计算可知D 为AB 的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问题。
【解析】AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. 令,1,1,2211λλγ+==+===CF CB t CE CA t CPCD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线，.22CBD CAD CAB S S S ∆∆∆==∴ 所以,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心.设),,(),,(200x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x故重心P 的坐标为,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y 故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y【评析】从函数的观点进行分析，易发现点C 的横坐标0x 为主变量，P 点的横坐标和纵坐标均表示成0x 的函数，在消去参数0x 就得到点P 的轨迹方程，思路虽然简单，但由于本题所含字母较多，进行代数运算时运算量大且容易出错。
如果我们能够分析其平面几何背景，运用平面几何的知识，就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目。
三、用极坐标知识来解决解析几何问题解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系，用这个点在两坐标轴上的射影,x y 来确定。
而极坐标是用角度和距离（很多时候就是长度）这两个量来确定一个点的位置，其几何意义很明显，如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表示出来，那么建立一个极坐标系进行运算，会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多。
【例5】（2008江苏省数竞赛试题）A 、B 是椭圆22194x y +=上的两个动点，满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r 。
（1）求证：2211||||OA OB +为定值；（2）动点P 在线段AB 上，满足0OP AB ⋅=u u u r u u u r ，求证：点P 在定圆上。
【分析】由0OA OB ⋅=u u u r u u u r 可知OA OB ⊥,所以90AOB ∠=︒,而||,||OA OB 能用距离（长度）直接给表示出来，这里的问题都可以用角度和距离来表示，可以考虑建立极坐标系来解决。
【解析】（1）如图以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系设||,||,OA a OB b AOx ==∠=θ，则点(cos ,sin )A a a θθ， 则点(cos(),sin())(sin ,cos )22B b b b b ππθ+θ+=-θθ， 点A 、B 在椭圆上，把点坐标带入椭圆方程可得：222222cos sin 1cos sin ()19494a a θθθθ+=⇒=+同理可得：2221sin cos 94b θθ=+，两式相加可得：221111139436a b +=+=为定值。
（2）由0OP AB ⋅=u u u r u u u r 知OP AB ⊥，所以22||||||||||||||||OA OB OP AB OA OB OP AB a b ⋅⋅=⋅⇒==+22361311a b ==+为定值，所以P 在以O 为圆心，半径3613的定圆上。