一类轨迹问题的探讨

合集下载

中考热点题型：最常见轨迹问题解题策略靠套路就能拿高分！

中考热点题型：最常见轨迹问题解题策略靠套路就能拿高分！对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧。

在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系：如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变。

因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点。

轨迹问题三部曲：猜测轨迹形状——证明轨迹形状——代入图形应用其中第二步很重要，初中证明轨迹有两种证明方法：几何法和解析法。

所谓几何法就是通过纯几何证明，抓紧不变量，得出轨迹形状，一般是圆或直线（线段）证明方法：01圆弧——圆周角法已知Rt△ABC，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm，∠ABC=90°。

半径为1cm的圆，若将圆心由点A沿ABCA的方向运动回到点A，求圆扫过的区域面积为。

02圆弧——定义法如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H 的运动轨迹是一段圆弧。

一类轨迹问题的解法探讨

一类轨迹问题的解法探讨严立芳——洞口二中轨迹问题是平面解析几何中非常重要的一类问题，在高考中经常出现。

求轨迹方程的方法比较多，但从宏观上说不外乎两个途径：一是利用平面几何知识和圆锥曲线的定义，这类题目对计算的要求不高，主要考查观察、联想的能力；二是利用代数的方法，通过消参数得出轨迹方程，计算、对式子的变形是解决问题的关键。

在众多的与轨迹有关的数学题目中，有一类涉及垂直或直角三角形的题目很具有代表性，下面我们就对这类问题的解法进行深入探索，同时也对题目形式上的变化加以分析。

【问题1】．已知B 为圆122=+y x 上的一个动点，A （2，0），△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形（A ，B ，C 按顺时针排列），如图，求点C 的轨迹方程。

分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C 设C （y x ,），B 是所谓的相关点，设为（11,y x ）和|AB|＝|AC|和12121=+y x 可以得到如下解法。

解：设C （y x ,），B （11,y x ），则12121=+y x ，∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴12211-=-⨯-x yx y ① ∴222121)2()2(y x y x +-=+- ② 由①得yx x y )2)(2(11---= ③ 把③代入②得221)2(y x =-，∵0,21><y x ，∴y x -=-21，21+-=y x ，把21+-=y x 代入①得21-=x y ，从而所求的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．解题过程看上去不太麻烦，确定的，例如，有人可能把②展开，出1x ，这种方法虽然可行，但求1y 时计算量比较大。

上述方法是把1y 和21-x 看成两个未知数，应当说是比较简单的。

这是一种基本方法，考试中可能最先想到它，要是计算、变形能力差，中途放弃也有可能，但无论如何是我们必须掌握的一种方法。

请看下面的解法：解法2：如图2，作PA ⊥x 轴于A ，且|PA|＝2，连结OB ，则|OA|＝|PA|，由∠BAC ＝∠PAO ＝900，得∠PAC ＝∠OAB ，又|BA|＝|CA|，于是△OAB ≌△PAC ，从而|PC|＝|OB|＝1，故C 点轨迹是以P 为圆心，1为半径的圆，由于P 点坐标为（2，2），因此点C 的轨迹方程为1)2()2(22=-+-y x ．这种方法显然简单！这是有一点，这种方法是如何想到的呢？实际上，有了第一种方法的结论，我们会根据结论去寻找方法，解法2就是这样产生的！因此我们说，解法1是根本，解法2具有启发性。

初中常见轨迹问题解题策略

初中常见路径（轨迹）问题之解决策略一、动点到定点的距离等于定长这一类动点问题的特点是：所求的动点到某一个定点的距离是不变的。

根据圆的定义，这时容易发现该动点的轨迹是一个圆周或者一段弧。

而且该圆或者弧的圆心就是定点，半径就是定长。

知道圆心和半径之后就容易求解了。

1. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一动点，将△ABE 沿BE折叠至△PBE ，在点E 从A 到D 的过程中，求P 点轨迹长。

2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2。

将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A′B′C ，AC 中点为D ，A′B′中点为E ，连接DE ，当旋转角为_______°时，DE 长度最大，最大值为__________．3. 如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______二、定角对定长这一类动点问题的特点是：以该动点为顶点的某个角度大小是固定不变的，而且该固定角度所对的某一条边是固定的。

由圆周角的特点可知，这个动点的轨迹就是一个圆周或者一段弧。

而且这个固定角度就是圆周角，这个固定边就是弦。

如果需要求轨迹长的话，再把圆心角和半径算出来就行了。

不过有一点需要注意，这时需要把起始点和终点找到才能准确求出圆心角。

对于这种题型，找圆心可以用三角形外心的结论：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。

所以，当这个固定角度是锐角时，圆心和动点位于固定边的同侧；当这个固定角度是直角时，圆心就在固定边的中点；当这个固定角度是钝角时，圆心和动点位于固定边的两侧。

4.如图，点E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。

连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。

若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是___．5.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.若BF=CE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.6.如图，正方形ODEF的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点D，连接AF，BD相交于点P，将正方形ODEF从OD与OA重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，求交点P运动的路径长.7.如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2。

一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”(1)

一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分 ()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=。

一类几何轨迹问题的教学探究

一类几何轨迹问题的教学探究一、引言《一类几何轨迹问题的教学探究》一直是数学教学研究的热点。

几何轨迹问题不仅仅包括知识的学习，而且还涉及技术及技能的训练。

解几何轨迹问题的过程包含许多运算技巧和综合分析推理的决策。

与传统的数学教学不同，几何轨迹的具体使用，可以帮助学生更有效地学习数学，运用技术和理性推理推断几何轨迹问题。

因此，本文将对这类几何轨迹问题进行教学探究，以及分析其特点、经验和思维上的创新，以提高数学教学的效率和水平。

二、认识几何轨迹问题几何轨迹问题的定义是“某类轨迹的运动的求解”，可以将其归结为“求解所考虑的轨迹的方程”，因此，研究几何轨迹问题主要重点在其概念理解特点上。

根据其特点，几何轨迹问题存在两大特点：一是，在处理几何轨迹问题时，必须先把它划分为几个解决子问题；二是，轨迹问题讨论的范围很广，由此引发了许多重要的综合技能。

三、教学改革为了鼓励学生们深入研究几何轨迹问题，实施有效的教学改革是十分必要的。

1、培养推理能力几何轨迹问题并不是一类孤立的数学问题，而是一种复杂的推理能力，学生们必须掌握它的表达和解决的思路，以求出正确的解答。

因此，教师应采取更多措施来鼓励学生们努力把自己的思维扩展到学习几何轨迹问题中，通过培养学生实际推理能力，激发学生学习积极性，并让学生更具有创新能力。

2、激发学生创新意识此外，为了使学生们能更好地学习几何轨迹问题，教师还必须为学生设定一定的创新性任务，如求解贝尔曲线、滚动矩形等。

当学生能够通过自己独立研究克服问题，就能激发学生的创新意识，发展学生的能力。

3、注重实践活动教师还应重视实践活动，如果教师能够让学生把数学实践放入学习，学生在实践中能具体感受几何轨迹问题，将帮助学生深刻理解几何轨迹问题的实际效果等，才能更好地实现学习目的。

四、结论几何轨迹问题在数学教学中的重要地位不容置疑，良好的教学改革和引导是提高学生素养水平的不二法宝。

以上就是解析内容分析。

只有通过大量的实践和探究才能更好的掌握几何轨迹问题的本质特点，培养学生实际推理能力，激发学生学习积极性，并取得优秀的学习成绩。

求一类轨迹方程的代换规律

求一类轨迹方程的代换规律一类轨迹方程的代换规律指的是其中一种数学表达式或算法，可以将一个给定的轨迹方程转化为另一个等价的轨迹方程。

这种转化可以使我们更容易理解和处理问题，或者提供新的思路和方法来解决相关的数学和物理问题。

以下是一些常见的轨迹方程的代换规律。

1.直线方程的代换规律：对于直线的轨迹方程 y = mx + c，我们可以进行以下代换规律：- 斜率代换规律：将斜率 m 替换为M = tan(θ)，其中θ 是直线与 x 轴的夹角。

- 截距代换规律：将截距 c 替换为 C = c / cos(θ)，其中θ 是直线与 x 轴的夹角。

2.圆的方程的代换规律：对于圆的轨迹方程x^2+y^2=r^2，我们可以进行以下代换规律：-极坐标代换规律：使用极坐标表示圆心坐标(r,θ)，那么圆的方程可以转换为r=R，其中R是圆的半径。

- 参数方程代换规律：使用参数方程表示圆的方程，例如 x = Rcos(t)，y = Rsin(t)，其中 t 是参数，R 是圆的半径。

3.椭圆的方程的代换规律：对于椭圆的轨迹方程(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴，我们可以进行以下代换规律：- 极坐标代换规律：使用极坐标表示椭圆心坐标(r, θ)，那么椭圆的方程可以转换为 r = R(1 - e*cos(θ))，其中 R 是焦点到准线的距离，e 是离心率。

- 参数方程代换规律：使用参数方程表示椭圆的方程，例如 x =a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中 t 是参数，a 和 b 是椭圆的半长轴和半短轴。

4.抛物线的方程的代换规律：对于抛物线的轨迹方程 y = ax^2 + bx + c，我们可以进行以下代换规律：-顶点形式代换规律：将抛物线方程转换为顶点形式y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

-完全平方形式代换规律：将抛物线方程转换为完全平方形式y=a(x-p)^2+q，其中(p,q)是抛物线的焦点坐标。

关于轨迹方程求解策略的探究与思考

教学
２０２０年２月解法探究
参谋
系，实现点与向量的坐标化．
可以犃犃′ 所在直线为狓轴，
其中垂线为狔轴建立直角坐标系，如图２所示．设点犘的
坐标为（０，狋）（狋≠０），由题意
（）可推知点犘′ ０，狋４．结合点
图２
的坐标，由点斜式可以分别求出犃犘和犃′犘′的方程为
迹方程或者建立关系式即可，因此适用于动点轨迹特
征鲜明，可直接判断轨迹的问题．例１在 △犃犅犆中，∠犃、∠犅和 ∠犆所对的边分
别为犪、犫、犮，如果犪、犫、犮依次可以构成等差数列，并且大小关系为犪＞犮＞犫，线段犃犅长为２，试求点犆的轨迹方程．
分析与解答：上述是用
三角形构建的动点轨迹，按
照步骤首先需要构建直角坐
标系，以直线犃犅所在边为狓
轴，犃犅的中点为原点建立直
角坐标系，如图１所示．犪、犫、
犮构成等差数列且犪＞犮＞犫，
图１
则２犮＝犪＋犫，根据图１图形可知，犆犃＋犆犅＝
２犃犅＝４，其中犆犅＞犆犃，由式可知动点犆到
ห้องสมุดไป่ตู้
定点犃和犅的距离之和为一定值，显然点犆的轨迹为
实际上，上述第二步是求轨迹方程突破的重难点，也是最具有技巧性的一步，采用合理的方法可以显著提升解题效率．对于一般的常规问题，图形结构较为简单或轨迹条件直白明了则可以采用直译的方法，即根据条件直接设出构建轨迹方法，而对于一些运动复杂、条件隐晦的问题则需要采用对应的方法，常见的有定义法、参数法、点差法、交轨法等，下面对上述四种方法加以探究．

关于轨迹类问题的分类讲解

一、动点是直线型①当一个点的坐标以，某个字母的代数式表示，若可以化为一次函数，则点的轨迹是直线.②当某一动点到某直线的距离保持不变，则点的轨迹是直线③当某一动点与定线段一个端点后交角度不变，则动点的轨迹是直线.二、动点轨迹是圆弧形或圆形①定点+定长：通俗讲究是一个动点到一个固定的点的距离不变②定长+定角：同弦所对的圆周角相等常见模型：直角所对的是直径三、动点轨迹是双曲线：主动点是双曲线，从动点是双曲线―分类例题讲解：一、动点是直线型①当一个点的坐标以，某个字母的代数式表示，若可以化为一次函数，则点的轨迹是直线.例.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m―1，3m―49）(其中4m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为.注：点m 在直线运动②当某一动点到某直线的距离保持不变，则点的轨迹是直线例.如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点E 在边AD 上，且AE:ED=1:3.动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止。

过点E 作EF⊥PE 交射线BC 于点F，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为.注：P 的轨迹为直线③当某一动点与定线段一个端点后交角度不变，则动点的轨迹是直线.例.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC=2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为.注：点E 的轨迹为直线二、动点轨迹是圆弧形或圆形①定点+定长：通俗讲究是一个动点到一个固定的点的距离不变例：在矩形ABCD 中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？注：点P 的轨迹为圆弧②定长+定角：同弦所对的圆周角相等例：如图，⊙O 的半径为2，弦AB=2，点P 为优弧AB 上一动点，∠PAC=90°，交直线PB 于点C，则△ABC 的最大面积是.注：点C 的轨迹为圆弧常见模型：直角所对的是直径例：如图，点E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF。

关于圆锥曲线的一类轨迹再探

日ｂ
＋号・
Ｖ＝，ＳｎＩ
＋：ｌ＞＂）＞ｏ，过原点０引射线分别交
Ｇ，Ｃ于Ａ，Ｂ两点，Ｐ为射线上的一点，则２
证设线Ｂ参方为｛？其直Ａ的数程：Ｉ，
中ｏｏ（ ≤０≤ 为直线Ａ）Ｂ的倾斜角，为参数，的ｔ几何意义为原点Ｄ直线上相应的距离．
３．椭圆与双曲线的组合如果把 “月蚀圆 ”中曲线ｃｌ变为椭圆＋（Ｉ￣）＇曲线ａ＞ｂ＞０变为双曲线
∞ ｌ＿ｌ雎。。
ｌ
—
Ｉｌ－Ｙ
＾３４４４ｌ（）Ｙ．ｖ＋＋－３（＋Ｙ２‘－４．［（Ｙ）Ｙ．Ｙ￣．３） ‘ Ｙ，）．（２Ｙ＋Ｉ— ． — ｙＹｉ２
ｂ
’
＝
２ｍｂｃ
’ ＹｌＹ：
ＢＥ｛Ｉ，．ＧＦ｝
：ｅ其中ｅ、ｃ分别为椭圆与双曲线一Ｉ（Ｉ２
‘
・・
ｙ、Ｙ
的离心率ｌ
把直线方程＝ｍｃ代入抛物线Ｙｙ＋＝２ｘ方ｐ
程得：Ｙ一２ｍ一２ｃ＝０．ｐｙｐ因为：，
ａ２
一
一
苦ｌ＞６０就以到面性：＝０＞，可得下的质（，）２
性质３曲线Ｃ是以原点Ｏ为中心、，为焦ｔ
ｙ一１，１
Ｐ１
一
一
—一
一
口ｌ
Ｐ２
参考文献
［］１苏立标．悄然升温的组合曲线．数学教学通讯，
２０（０９２）

一个轨迹问题的解法探究、命题背景及其拓展

代入Ｙ＝２ｐｘ，消去整理得Ｙ一２ｐｔ＝２ｐｔ，故点Ａ（２ｐｔ，２ｐｔ）．又。上∞ ，所以用一替换得点（，一），
ｆｔｔ
一
ｌ２ｐｔ２・２ｐｔ；＋２。２ｐｔ２＝０，
｛（２ｐｔ；一２ｐｔ２）ｘ＋（２ｐｔ２ — ２ｐｔ￣）ｙ＝０，｛（２ｐｔ — ｘ）（２ｐｔ２一Ｙ）一（２ｐｔ；一ｘ）（２ｐｔｌ — Ｙ）＝０，
２
ｆ ’ ｆｚ＝一１，即｛（ｔ２＋ｆ１）＋Ｙ＝０，
１解法探究解法１设Ａ（２ｐｔ２，２ｐｔ１），Ｂ（２ｐｔ２，２ｐｔ２），
Ｍ（ｘ，）， ≠ｔ２，
贝ＵＯ — Ａ — ＝（２ｐｔ￣，２ｐ），＝（２ｐｔ￣，２ｐｔ２），＝（，），
Ｂ（２，０）构成的三角形周长为ｌ０，求Ｐ的轨迹及轨迹
方程．
令鲁＝２得七＝一吾，
所以所求的直线方程为ｙ－１＝一４一１），
即４＋９一１３＝０．
解易知＋ＰＢ＝６＝２ａ，ＡＢ＝４＝２ｃ＜６，则
福建中学数学
３结论拓展
４３
评析以上解法是通过设直线ＯＡ，ＯＢ的方程，的坐标，然后求得直线ＡＢ的方程 … … ．整个过程就是在 “ 作图” ．这种通过 “ 作图”

高考解析几何轨迹问题解题策略

高考解析几何轨迹问题解题策略
一、轨迹方程的求法
1. 直接法：直接法就是不设出动点的坐标，而是根据题设条件，直接列出轨迹上满足的点的几何条件，并从这个条件对方程进行整理，得到轨迹方程．
2. 定义法：定义法就是根据已知条件，结合所学过的圆锥曲线的定义直接写出曲线的方程．
3. 参数法：参数法是指先引入一个参数，如时间、速度等，根据已知条件，写出参数方程，再消去参数化为普通方程．
4. 交轨法：交轨法是指利用圆锥曲线统一定义，通过求交点坐标来求轨迹方程的方法．
二、轨迹问题的解题策略
1. 转化化归：将待求问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，这是解决轨迹问题的基本策略．
2. 设而不求：在轨迹问题中，设点而不求出点的坐标是常用的一种解题策略．
3. 整体代换：在轨迹问题中，有时通过整体代换可以简化运算．
4. 坐标转移：在轨迹问题中，有时可以通过坐标转移来转化问题．
5. 逆向思维：在轨迹问题中，有时通过逆向思维可以简化运算．。

一类轨迹问题的探讨

一类轨迹问题的探讨湖北房县第二中学任传奎 442100补序：下面的探讨是2010年秋在复习“轨迹与方程”时的课堂设计，这节课中的例4正好与2011年湖北高考第20题的第一问几乎相同。

我们先看几个例题：例1 经过点A )0,6(-、B )0,6(分别作两条直线，若这两条直线的斜率之积为169-，求这两条直线的公共点P 的轨迹方程，并指出点P 的轨迹是什么曲线。

解：设点P 的坐标为),(y x ，则直线AP ，BP 的斜率BP AP k k ,分别为：6+=x y k AP ， 6-=x y k BP )6(±≠x 依题意，得：169-=∙BP AP k k即 16966-=-∙+x y x y化简得：)6(18143622±≠=+x y x ∴点P 的轨迹是以AB 为长轴的椭圆（除去的A,B ）若把例1中的定值改为916-，则容易求得点P 的轨迹方程为：)6(1643622±≠=+x y x ，轨迹为以AB 为短轴的椭圆（除去点A 、B ）例2 经过点A )0,6(-、B )0,6(分别作两条直线，若这两条直线的斜率之积为1-，求这两条直线的公共点P 的轨迹方程，并指出点P 轨迹是什么曲线。

由例1的计算方法不难得到：点P 的轨迹方程为：)6(3622±≠=+x y x ，点P 的轨迹为以AB 为直径的圆（除去A,B ）例3 经过点A )0,6(),0,6(B -分别作直线，若这两条直线的斜率之积为916，求两条直线的公共点P 的轨迹方程，并指出点P 的轨迹是什么曲线。

由例1的计算方法不难得到：点P 的轨迹方程为：1643622=-y x )6(±≠x ，点P 的轨迹为以AB 为实轴的双曲线（除去点A ，B ）。

例1至例3让我们去思考：过平面上的两个定点分别作直线，若这两条直线的斜率之积为定值，那么这两条直线的公共点的轨迹是什么曲线？与该定值有什么关系呢？我们先看定点在X 轴上的情况：例4 经过点A )0)(0,(),0,(>-a a B a 分别作直线，若这两条直线的斜率之积为定值m ，求这两条直线的公共点P 的轨迹方程，并指出点P 的轨迹是什么曲线。

立体几何中的轨迹问题求解策略

立体几何中的轨迹问题求解策略立体几何是数学中一个重要分支，它涉及到空间几何对象的结构和属性。

它用于描述物体的运动轨迹，这类问题被称为轨迹问题。

这是一类重要的数学问题，可以帮助人们了解物体的运动轨迹，因此研究轨迹问题的求解策略具有重要的意义。

轨迹问题是一类复杂的数学问题，要有效地求解它们，必须先对轨迹进行分析，然后采用有效的求解策略。

传统的轨迹研究主要是对轨迹进行几何分析，从几何角度解决轨迹问题，通过构建几何方程来求解。

然而，这种方法耗时，效率低。

随着计算机技术的进步，人们研究轨迹问题的求解策略也有了很大的变化。

最近在轨迹求解中出现了更多的计算机辅助技术，如统计学习、机器学习和神经网络等，克服了传统方法复杂、耗时的不足。

这些技术可以有效地分析出轨迹的规律，从而简化轨迹求解的过程，大大提高求解效率。

求解轨迹问题的数学解法一般分为四种。

首先，可以采用拟合方法，即利用待求轨迹的几何信息，拟合出相应的曲线或曲面函数，据此求出各点的位置关系；其次，可以用微分方程的求解方法，从而获得轨迹的表达式和参数；第三，可以利用混沌理论、技术求解；最后，采用计算机辅助方法，如统计学习、机器学习和神经网络等，以模型和算法为基础求解轨迹问题。

计算机辅助方法是求解轨迹问题最有效的策略，它可以在计算机上得到更加准确和准确的结果，但要注意，数据处理和特征工程是一项重要的任务，要根据实际情况，结合求解这些问题的目的，仔细观察轨迹中的特征，以便分析实际轨迹的特性，选择合适的数据处理方法和机器学习算法，从而有效地求解轨迹问题。

综上所述，轨迹问题求解策略的研究具有重要的意义，在立体几何中，人们可以采用几何分析、微分方程求解，混沌理论以及计算机辅助方法等策略来求解立体几何中轨迹问题。

目前，使用统计学习、机器学习和神经网络等计算机辅助方法，求解轨迹问题已经取得了很大的进展，而且效率非常高。

未来的研究将更加注重于利用计算机辅助技术，进一步提高轨迹问题求解的效率。

椭圆中一类轨迹问题的探究

・１６・
ｙ一譬（—ｚ）－１一ｚ１一
二／／
（）２
证明：立如图坐标系，建
设Ｄ（），ｚ１Ｙ）Ｎ（０ｘ，Ａ（，１，ｚ，
０）
ｊ一二！兰ｆ兰。ａｘｌ）ｙ２
联方（２得＋ｆ立程）解｛ｃｉ１）。０（ｏ２ｏｓ２ｎ
消去参数０得到方程为：
㈤；
‘ —‘ 。。。。。‘ ‘ 。）Ｙ— （。 ‘ａ＋ｃ。— 。。ｃ。。。ｃ。 ‘‘ 。－。。。‘ ‘ ｓ０ａ。）。。。。（ ‘ 。。 ‘ — ‘。ｏ。。２
口
２一盘ａＯｉ一口ｆｏ２９ｔｎｓｎ２ｃｓ
可椭的程：＿设圆方为手＋５６ｙ２
—
一
一
五
２ｉａｓｎｚ— ｃ口一２ａｓｎ０＋ｉ
１
堡二堡！二生± 堡！！！！￡呈
一
设
Ｐ（２ｃｓ０一ａｏ２
切线．
将（）人（）：４代３得
（＋ｆ）口
一
【一—＿Ｙ＝
即
｛ …等等所。＋ …
一研Ｚｙ
— 一
证明：图建立直角坐标如系，设椭圆的方程为：可
的轨迹方程为：
ｘｚ
＋等一设Ｇ２ｏ０１（ｃ２口ｓ
・
６・Ｏ
数学教育研究
２１００年第３期
椭圆中一类轨迹问题的探究

让一类轨迹问题之“圆”形毕露

来,实现化隐为显、化难为易、化繁为简的效果．
这类题
目往往要求学生具有较好的数学素养,即在面对复杂
的、不确定的新情境时,能综合运用已知的数学思想、
知识与方法解决数学问题所表现出来的关键能力与
必备品质．
笔者整理了新教材及近年来高考或联考真
为直角,则点 N 的横坐标的取值集合是．
轨迹为以原点为圆心,
a 为半径的圆．
联考真题 (
２０２１年武昌区元调)在平面直角坐
标系 xOy 中,
A,
B 是圆 C１ :
x２＋y２＝４上的动点,
２
２
|AB|＝２３,
P 是圆 C２ :(
x－３)
＋(
y－４) ＝４上的
(
D．
９,
０)
解析:设点 P (
x０ ,
A,
P,
B 共圆,圆
y０ ),四点 O ,
æçx０ y０ ö÷ ,对应圆的方程为
,
è２２ ø
２
æ x０２＋y０２ ö
y０ ö ２
x０ ö ２
æç
æ
÷ ,化简得
x－ ÷ ＋ çy－ ÷ ＝ ç
è
è
２ø
２ø
è
ø
２
又点 A ,
x２－x０x＋y２－y０y＝０．
→
动点,则|P→
A ＋PB|的取值范围是．
→
→
→
解析:取 AB 中点 D ,则P→
A ＋PB ＝２PD ,
|PA ＋
４２
Copyright©博看网. All Rights Reserved.

有关轨迹问题的探讨及在高考中的应用

中国科教创新导刊中国科教创新导刊I 2008N O .36C hi na Educa t i on I nnov at i on H er al d教育教学方法有关轨迹问题我们并不陌生，掌握一定的轨迹知识，在生产和生活中都是必要的。

解决轨迹问题能全面考察学生的数学能力和数学思想，它有是历年来高考的热点。

轨迹问题由于常处在复杂多变的意境中，求解时计算量大，许多学生由于对解决这类问题不懂章法，从而陷入思维混乱的状态，绕了一大圈仍无法解决问题。

所以要顺利解决轨迹问题，不仅要熟悉有关轨迹的基础知识，还需要灵活运用这些知识。

做题时要冷静分析，找出动点的个性特征，对症下药，这样我们就一定能得到正确和圆满的结果。

以下将分类讨论有关的轨迹问题，并拓展到如何用向量求解。

1转移法求解此类问题比较普遍，题中涉及多个动点，当其中一个动点（称为主动点）在已知轨迹上运动时，求与之相应的另一动点（称为从动点）的轨迹方程。

解题关键是用从动点坐标（看作已知）表示出主动点的坐标，然后代入它所在的轨迹方程。

例1:已知椭圆，直线L:,P 是L 上一点，射线O P 交椭圆于点R ,又点Q 在O P 上且满足|O Q||OP|=|O R|2，当P 点在直线L 上移动时，求点Q 的轨迹方程（如图1）。

图1解:设Q (x,y),R (x 0,y 0),P(x ′,y ′),由O,Q,P 三点共线知：又，可得：，又|O Q ||O |=|O R |,得：代入得Q的轨迹方程：2交轨法求解此类问题也有明显标志，所求动点是两个动态轨迹的交点。

审题时要深入分析两个动点的轨迹的动因，合理引进参数，化动为静，求出两条轨迹方程，通过联立方程消去参数，即得所求动点的轨迹方程。

例2：如图，设点A 和B 为抛物线y 2=4p x >0)上原点外的两个动点，已知，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线(如图2)。

图2解：设A,B则。

又（1）又A B 的方程为:即（2）O M 的方程为：（3）将（）、（3）代入（）消去+和得点M 的轨迹方程有关轨迹问题的探讨及在高考中的应用陈相如（安徽怀远县第一中学数学组安徽怀远233400）摘要:本文首先论述了有关轨迹问题的基础知识，剖析了解析几何中常见的轨迹问题，特别注意其在高考中的应用，并作了相应的归纳。

#9.曲线运动“轨迹”问题的破解 .Microsoft Word 文档

*曲线运动“轨迹”问题的破解—’11备考综合热身辅导系列高级物理教师魏德田近几年，涉及曲线运动“轨迹”一类问题，不断的出现在高中物理的阶段测试、历届高考中。

及时、有效的破解此类问题，实乃备战11年高考的当务之急。

本文拟就此做一探究。

一、破解的依据破解此类问题，应用以下几条“依据”：㈠判断物体的运动曲线轨迹的产生，根据“合速度与合外力（或合加速度）不共线”，即物体做曲线运动的条件。

㈡判断运动快慢程度改变的方式，若合速度与合外力（或合加速度）成“锐角”，为“加速”曲线运动，力对物体做正功；“恒成直角”，为“匀速率”圆周运动，力对物体不做功；成“钝角”，则为“减速”曲线运动，力对物体做负功。

反映物体速度大小的变化，属于合外力的切向加速效果。

㈢判断曲线的曲率改变，根据向“合外力（或合加速度）一侧”弯曲。

反映物体速度方向的变化，属于合外力的法向加速效果；㈣轨迹的性质（即抛物线、圆、双曲线等），可利用数学知识去证明等等。

至于物体速度的方向沿着某点切线的方向；物体的合速度指实际速度，求合速度、合加速度、合外力，常用运动（矢量）合成的知识；求物体能量的变化，应用“动能定理”、“功能关系或能量守恒”；求物体动量的变化，应用动量定理、动量守恒等等。

在原则上与解答诸类其他问题毫无二致。

二、解题示例[例题1]（’03上海）如图—1所示，质量为m 的飞机以水平速度v 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含升力）。

今测得当飞机在水平方向的位移为l 时，它的上升高度为h 。

求：⑴飞机受到的升力大小；⑵从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能。

[解析]⑴已知飞机受重力mg 和竖直向上的升力N 等恒力作用，合外力F 合必为恒力。

由牛二定律，可得①ma mg N -----=-由“依据“㈢知，合外力方向是竖直向上的。

已知飞机在水平速度保持不变，再结合“依据”㈡,可知飞机做“类平抛”运动。

利用曲线系思想解一类轨迹问题

∴ n+1 n +1 < n n . 例 3 已知 n ≥2, n∈N,a > 0,b > 0, a ≠b ,
求证: 2n 1 (a n + bn ) > (a + b)n .
证明
设 An
=
2n 1 (a n + bn (a +b)n
)
(n
≥2,
n ∈N )
,
2n (an +1 + bn +1 ) 则 An+1 = (a + b)n +1 .
1 ∴ An ≥A1 = x + x 2 ≥0 ,
∴ xn + xn 2 + " + 1 + 1 ≥n + 1. xn 2 xn
例 5 已知 a ,b 是正数,且 a m + bm = c,(m∈
N) ,求证: (a m + a m)n + (bm + b m )n
1 ≥
2n
1
(c
+
4
/
c)n
(n
∈N)
x2 y2 命题 2 若 AB 是双曲线C1 : a 2 b2 = 1 的
一条弦,且弦 AB 的中点为 M(xM , yM ) ,则双曲线
C2
:
(2 xM a
2
x) 2
(2 yM
y)2 =1 经过 A , B 两点.
b2
命题 3 若 AB 是抛物线 y2 = 2 px 的一条
弦 , 且弦 AB 的中点为 M (xM , yM ) , 则曲线 C2 : (2yM y)2 = 2 p(2xM x) 经过 A, B 两点.

对圆锥曲线一类轨迹问题的再探究

一
组有趣的圆锥曲线轨迹方程．数学通讯，２０（９，１０７１）９
厂，＝营ｆｘ，Ｐ＝；（Ｙ）１（Ｙ）素Ｐ
１
，
＝２Ｐ，ｙ
ｇＹ）营ｇｘＹ）（Ｂ＝（ｐ’ ｅ
’
ｆｘ，）１ｆｘ，Ｐ＝；（Ｙ＝ § （Ｙ）去Ｐ
ｇｘ，口＝ｇｘ，Ｐ＝．（Ｙ）１（ｅＹ） ÷ 口
１ｌ
Ｉ，）Ｉ（，・『ｘ）Ｙ，ｇｒ
（Ｉｎ不同时ｍ，１不同时为负），
为负）ｇ，：＋，（）
” “２
（，ｎ不同时为负）２，
记点ＡｘＹ）（Ｙ）（ｅ，，，由向量，（，，Ｂｘ，，ＰｘＹ）
记点Ａｘ，Ａ，Ｂｘ，８，ＰｘＹ）（ＡＹ）（Ｙ）（，ｅ，由向量，Ｏ，Ｏ共线且同向，可设ＯＢＰＡ＝２Ｐ２＞），Ｏ（０ＯＤ（Ｂ＝尸＞０），于是有Ｘ：Ａ
ＸＢ＝ｘＰ，Ｙ８＝ｙＰ，
ｍｔ、
于Ａ，Ｂ两点，Ｐ是射线上的
的充要条件是尸点的轨迹为ｃ［】，１：，］．／［＝
（，。同时不
点，ｏ＋则ＩＩ
＝ｏＩ（ｚｏ的充要条Ｉ办，≠ ）Ｐ
—
件是Ｐ点的轨迹为ｃ＝ｆｘＹ＋ — （证明不妨设厂，：＋）
点Ｐ的轨迹为
点Ｐ的轨迹为
Ｃ：（，［ｘ）＝［ｘ川（，］１ｆｇ［（，ｐ（，）＝ｆｘＹ）［ｘ］ｌ］ｇ