2006年中考数学试题汇编及解析---动态几何型综合

2006年中考数学试题汇编及解析---动态几何型综合纵观近5年全国各地的中考数学试卷，动态几何型综合题常常出现在一张试卷的压轴题位置，估计这一趋势在今后几年的中考中会越来越明显，这类试题往往综合性较强，往往涉及到函数、直线型、圆等初中数学的重点考察对象中的好几个，应加大训练的力度。

1、（2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ，∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG 的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）．（1）当x 为何值时，OP ∥AC ?（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）[解析] （1）∵Rt △EFG ∽Rt △ABC ，∴BC FG AC EG =，684FG=． ∴FG ＝864⨯＝3cm ．∵当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ， ∴OP ∥AC ．∴ x ＝121FG＝21×3＝1.5（s ）． ∴当x 为1.5s 时，OP ∥AC ．（2）在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm ． ∵EG ∥AH ，∴△EFG ∽△AFH ．∴FH FGAF EF AH EG ==． ∴FHx AH 3554=+=． ∴ AH ＝54（ x ＋5），FH ＝53（x ＋5）．过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D ．∵点O 为EF 中点， ∴OD ＝21EG ＝2cm ． ∵FP ＝3－x ，∴S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP＝21·AH ·FH －21·OD ·FP ＝21·54（x ＋5）·53（x ＋5）－21×2×（3－x ） ＝256x 2＋517x ＋3 （0＜x ＜3）．（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24．则S 四边形OAHP ＝2413×S △ABC ∴256x 2＋517x ＋3＝2413×21×6×8 ∴6x 2＋85x －250＝0 解得 x 1＝25， x 2＝ －350（舍去）． ∵0＜x ＜3， ∴当x ＝25（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24． 2、（2006河北）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．[解析] （1）由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，∴S △PCQ =t t CQ PC 246212+-=⋅．∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称， ∴y=2S △PCQ t t 48122+-=． （2）当CQCP CA CB=时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形，∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ，∴16412312tt =-，解得t ＝2． ∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．（3）设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如下图，若PD ∥AB ，则∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°，∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ，从而ACQDAB QM =，PP∵QD =CQ =4t ，AC ＝12， AB=20， ∴QM =203t ． 若PD ∥AB ，则CP CMCA CB=，得20412331216t t t +-=， 解得t ＝1211． ∴当t ＝1211秒时，PD ∥AB ．（4）存在时刻t ，使得PD ⊥AB ．时间段为：2＜t ≤3．3、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.(1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想； (2) 设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14. 若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由.[解析]（1）12D E D F =.因为1122C D C D ∥，所以12C AFD ∠=∠.又因为90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线，所以，DC DA DB ==，即112221C D C D BD AD === 所以，1C A ∠=∠，所以2AFD A ∠=∠CB D A 图1122图3C 2D 2C 1BD 1A 图2P所以，22AD D F =.同理：11BD D E =.又因为12AD BD =，所以21AD BD =.所以12D E D F =（2）因为在Rt ABC ∆中，8,6AC BC ==，所以由勾股定理，得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====又因为21D D x =，所以11225D E BD D F AD x ====-.所以21C F C E x == 在22BC D ∆中，2C 到2BD 的距离就是ABC ∆的AB 边上的高，为245. 设1BED ∆的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ∆∆∽，所以555h x-=. 所以24(5)25x h -=.121112(5)225BED S BD h x ∆=⨯⨯=- 又因为1290C C ∠+∠=︒，所以290FPC ∠=︒.又因为2C B ∠=∠，43sin ,cos 55B B ==. 所以234,55PC x PF x == ，22216225FC P S PC PF x ∆=⨯=而2212221126(5)22525BC D BED FC P ABC y S S S S x x ∆∆∆∆=--=--- 所以21824(05)255y x x x =-+≤≤ (3) 存在. 当14ABC y S ∆=时，即218246255x x -+= 整理，得2320250.x x -+=解得，125,53x x ==.即当53x =或5x =时，重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14.4、（2006山东济南）如图1，以矩形OABC 的两边OA 和OC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为(3)C ，0，点的坐标为(04)，．将矩形OABC 绕O 点逆时针旋转，使B 点落在y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为11111OA B C BC A B ，，相交于点M ． （1）求点1B 的坐标与线段1B C 的长；（2）将图1中的矩形111OA B C 沿y 轴向上平移，如图2，矩形222PA B C 是平移过程中的某一位置，22BC A B ，相交于点1M ，点P 运动到C 点停止．设点P 运动的距离为x ，矩形222PA B C 与原矩形OABC 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如图3，当点P 运动到点C 时，平移后的矩形为333PA B C ．请你思考如何通过图形变换使矩形333PA B C 与原矩形OABC 重合，请简述你的做法．C3C[解析]（1）如图1，因为15OB OB ===，所以点1B 的坐标为(05)，．11541B C OB OC =-=-=．（2）在矩形111OA B C 沿y 轴向上平移到P 点与C 点重合的过程中，点1A 运动到矩形OABC 的边BC 上时，求得P 点移动的距离115x =． 当自变量x 的取值范围为1105x <≤时，如图2，由2122B CM B A P △∽△，得1334x CM +=，此时，2221113334(1)224B A P B CM xy S S x +=-=⨯⨯-⨯+△△． 即23(1)68y x =-++（或23345848y x x =--+）．当自变量x 的取值范围为1145x ≤≤时，求得122(4)3PCM y S x '==-△（或221632333y x x =-+）．（3）部分参考答案：①把矩形333PA B C 沿3BPA ∠的角平分线所在直线对折．②把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿y 轴向下平移4个单位长度． ③把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿BC 所在的直线对折． ④把矩形333PA B C 沿y 轴向下平移4个单位长度，再绕O 点顺时针旋转，使点3A 与点A 重合．5、（2006山东济南）如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠= ，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．[解析]（1） 在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，， 210AC BC ∴==．AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠= ． 又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+ 6、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD＝3,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析] （1）直线AB 解析式为：y=33-x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3．CＤ图1图2∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30°过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）． 方法二：设Ｐ（x ，33-x+3），得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．图14-7D ∴33x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）．④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）． 7、（2006河北课改）图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O ．如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中心也是点O ，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O 不动，正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD ，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动（即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始，先向左平移，当点Q 与点B 重合时，再向上平移，当点M 与点C 重合时，再向右平移，当点N 与点D 重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开始运动，设运动时间为x 秒，它们的重叠部分面积为y 个平方单位．（1）请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时，正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；（2）①如图14－4，当1≤x ≤3.5时，求y 与x 的函数关系式；②如图14－5，当3.5≤x ≤7时，求y 与x 的函数关系式； ③如图14－6，当7≤x ≤10.5时，求y 与x 的函数关系式； ④如图14－7，当10.5≤x ≤13时，求y 与x 的函数关系式．（3）对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y 的变化情况，指出y 取得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．[解析] （1）相应的图形如图2-1，2-2．当x =2时，y =3；图14-6D 图14-2 图14-3 D D 图14-4D图14-1 (P ) D N 图14-5 D当x =18时，y =18．（2）①当1≤x ≤3.5时，如图2-3，延长MN 交AD 于K ，设MN 与HG 交于S ，MQ 与FG 交于T ，则MK =6＋x ，SK =TQ =7－x ，从而MS =MK －SK =2x －1，MT =MQ －TQ =6－（7－x ）= x －1． ∴y=MT ·MS =（x －1）（2x －1）=2x 2－3x ＋1．②当3.5≤x ≤7时，如图2-4，设FG 与MQ 交于T ，则 TQ =7－x ，∴MT =MQ －TQ =6－（7－x ）=x －1． ∴y=MN ·MT =6（x －1）=6x －6．③当7≤x ≤10.5时，如图2-5，设FG 与MQ 交于T ，则 TQ=x －7，∴MT =MQ －TQ =6－（x －7）=13－x ． ∴y = MN ·MT =6（13－x ）=78－6x ．④当10.5≤x ≤13时，如图2-6，设MN 与EF 交于S ，NP 交FG 于R ，延长NM 交BC 于K ，则MK =14－x ，SK =RP =x －7，∴SM =SK －MK=2x －21，从而SN =MN －SM =27－2x ，NR =NP －RP =13－x ． ∴y=NR ·SN =（13－x ）（27－2x ）=2x 2－53x ＋351．（3）对于正方形MNPQ ，①在AB 边上移动时，当0≤x ≤1及13≤x ≤14时，y 取得最小值0； 当x =7时，y 取得最大值36．②在BC 边上移动时，当14≤x ≤15及27≤x ≤28时，y 取得最小值0； 当x =21时，y 取得最大值36．③在CD 边上移动时，当28≤x ≤29及41≤x ≤42时，y 取得最小值0； 当x =35时，y 取得最大值36．④在DA 边上移动时，当42≤x ≤43及55≤x ≤56时，y 取得最小值0； 当x =49时，y 取得最大值36．图2-4D 图2-5D P图2-6 DP 图2-3DQP 图2-2D 图2-1D QP。