北师大版数学高一-必修4学案 1.8函数y=Asin(ωxφ)的图像

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新版高中数学北师大版数学必修四教学案：第一章8第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法

新版高中数学北师大版数学必修四教学案：第一章8第1课时函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图像的画法[核心必知]1．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)中参数A 、φ、ω的作用参数作用A A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅 φ φ决定了x ＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx ＋φ为相位 ωω决定了函数的周期T ＝2πω，通常称周期的倒数f ＝1T ＝ω2π为频率 (1)振幅变换要得到函数y ＝Asin x(A>0，A≠1)的图像，只要将函数y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)即可得到．(2)相位变换要得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图像，只要将函数y ＝sin x 的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到．(3)周期变换要得到函数y ＝sin ωx(x∈R)(其中ω>0且ω≠1)的图像，可以把函数y ＝sin x 上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)即可得到．(4)平移变换对于函数y ＝sin x ＋b 的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平行移动|b|个单位长度得到的．[问题思考]1．由y ＝sin(x ＋)的图像如何得到y ＝sin x 的图像？提示：因为y ＝sin ＋]＝sin x ，故要得到y ＝sin x 的图像只需将y＝sin(x ＋)的图像向右平行移动个单位长度即可．2．由函数y ＝sin x 的图像到y ＝sin x 的图像怎样变换？提示：把y ＝sin x 的图像在纵坐标不变的情况下，横坐标变为原来的3倍，得到y ＝sin x 的图像．讲一讲1．已知函数y ＝3sin ，用五点法画出该函数在一个周期上的图像．[尝试解答] (1)列表：12π4－x 0 π2 π 3π2 2π x π23π25π2 7π29π2y0 3 0－3(2)3)，(，0)．(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．用五点法作函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤是：第一步：列表x φω－π2ωφω－ πωφω－3π2ωφω－ 2πωφω－ωx ＋φ 0 π2π 3π22π yA 0－A。

北师大版数学高一(北师大)必修4学案 1.8函数y=Asin(ωxφ)的图象

第一章三角函数函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一教学目标：知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx ＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。

过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像三、学法与教学用具在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。

教学用具:投影机、三角板自主讲练一、教学思路【创设情境，揭示课题】在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数。

正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。

【探究新知】例1．画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）。

高中数学必修4北师大版1.8函数y=asin(ωx+φ)的图像教案(1)

1.8 函数sin()y A x ωϕ=+的图象1．复习回顾五点：（）（）（）（）（）2．案例分析①在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数。

正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。

分析表达式中含有三个参数，几何意义是什么呢？ ②画出函数2sin y x = x ∈R ；1sin 2y x = x ∈R 的图象分析与sin y x =关系认识参数A 的意义，并讨论函数的相关性质，观察相互关系。

③画出函数y=sin(x+3π)(x ∈R)和y=sin(x -4π)(x ∈R)的图像分析与函数sin y x =关系认识参数ϕ意义，并讨论函数的相关性质，观察相互关系。

④画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin21x x ∈R 的图象分析与函数sin y x =关系认识参数ω意义，并讨论函数的相关性质，观察相互关系。

⑤综合认识函数sin()y A x ωϕ=+参数对图象变换作用，从而从性质上加深认识。

4．归纳小结引导,观察,启发：与y=sinx 的图象作比较，结论：1．1 y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的。

1.2若A<0 可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折。

性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性变化的有值域、最值、2．y=sin （x ＋φ），x ∈R(φ≠0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移－φ个单位(φ＜0＝得到的。

性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期变化的有奇偶性、单调区间与单调性3.1函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变） 3.2若ω<0则可用诱导公式将符号“提出问题？5．巩固训练1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将sin y x = 图象要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将sin y x =图象2. 要得到函数2sin3y x =的图象，只需将sin y x =的图象1 23. 要得到函数sin()3y x π=+的图象，只需将sin y x =图象3. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象,只需将y=sin2x 图象 4. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象,只需将y=sinx 图象1 2 .。

1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像(一)教案高中数学必修四北师大版

§8函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(一)●三维目标 1．知识与技能(1)通过五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像． (2)掌握A 、ω、φ、b 对图像形状的影响． 2．过程与方法通过图像变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节的学习，了解各种函数图像之间的变换关系，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像变换，解析式的求法．难点：A 、ω、φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响．(教师用书独具)●教学建议由函数y ＝sin x 的图像变换到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像过程中，变换的顺序不同可能变换的量不相同，例如，先变相位，再变周期，与先变周期，再变相位，相位变换的量不同．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像可由函数y ＝sin x 的图像上所有点向左平移π3，再将所得各点的横坐标缩短到原来的12得到；也可先将函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将所得各点向左平移π6得到．这一不同，学生很难理解，很容易出错，也是经常被考查的内容．首先给学生说明对于y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ω，φ均是针对x 而言的，因此在变换的过程中关键就看x 变换了多少，其他因素暂时不考虑．可以借助多媒体课件讲解，能起到更好的效果．●教学流程创设问题情境，引出问题：你认为可以怎么讨论参数A 、φ、ω对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响，激发学生探究热情．⇒引导学生分别作出φ取不同值、ω取不同值、A 取不同值的各组图像，看看与y ＝sin x 的图像有怎样关系？引入A 、φ、ω作用．⇒通过引导学生回答所提问题，使学生掌握由y ＝sin x 图像到y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的变换过程及策略；理解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像特征及相关性质．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的方法．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握运用图像变换法作函数图像的方法步骤．⇒探究y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质，完成例3及其变式训练，掌握由图像求解析式的方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.【问题导思】1．对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？【提示】 y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y＝sin x 的函数值的12.2．由y ＝sin x 的图像能得到y ＝sin(x ＋π4)的图像吗？【提示】能，向左平移π4个单位即可．3．三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？【提示】 y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12倍，y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍．1．参数A 、φ、ω、b 的作用(1)左右平移(相位变换)：对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．(2)上下平移：对于函数y ＝sin x ＋b 的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b |个单位长度得到的． 3．伸缩变换(1)振幅变换：对于函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图像可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．(2)周期变换：对于函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．作函数y ＝2sin(13x －π6)在长度为一个周期的闭区间上的简图．【思路探究】函数y ＝2sin(13x －π6)的周期T ＝6π，画出13x －π6取0，π2，π，3π2，2π时的五个关键点，是解答本题的关键．【自主解答】第一步：列表.第二步：描点(π2，0)，(2π，2)，(7π2，0)，(5π，－2)，(13π2，0)．第三步：连线画出图像．1．利用“五点法”作图像时，确定x 的值是本题的关键． 2．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一般步骤第一步：列表.第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．用“五点法”作出f (x )＝1＋2sin(2x －π4)在[－π2，π2]上的图像．【解】 (1)列表：说明y ＝－2sin(2x －π6)＋1的图像是由y ＝sin x 的图像怎样变换而来的．【思路探究】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像可有两种变换方法，即先进行相位变换再进行周期变换，或先进行周期变换再进行相位变换．【自主解答】变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．变换1(先伸缩后平移)：y ＝sin x ――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 错误!y ＝－2sin 2x 错误!y ＝－2sin(2x －错误!) ――→向上平移1个单位y ＝－2sin(2x －π6)＋1.变换2(先平移后伸缩)：y ＝sin x ――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 错误!y ＝－2sin(x －错误!) 错误!y ＝－2sin(2x －错误!)――→向上平移1个单位y ＝－2sin(2x －π6)＋1.1．在本题三角函数图像变换中，先平移后伸缩变换与先伸缩后平移变换是不一样的，应特别注意．这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想．2．利用图像变换的方法画函数的图像，注意左右平移变换：一是平移的方向，可用“左加右减”来总结；二是平移量的确定，找自变量本身的变换量是关键．函数f (x )的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移π2个单位长度，所得曲线是y ＝12sin x的图像，试求函数y ＝f (x )的解析式．【解】问题即是将y ＝12sin x 的图像先向右平移π2个单位长度得到y ＝12sin(x －π2)，再将横坐标压缩到原来的12，得y ＝12sin(2x －π2)即y ＝－12cos 2x ，这就是所求函数y ＝f (x )的解析式.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像如图所示．。

高中数学必修4北师大版1.8函数y=asin(ωx+φ)的图像教案

第8.1节函数sin()y A x ωϕ=+的图象教学过程：一、复习准备：2例2．函数y=sin(x+3π)(x ∈R)和y=sin(x -4π)(x ∈R)例3．函数y=sin2x x ∈R ；y=sin21x x ∈R 解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图令t=2x 则x=2t从而sint=sin2x长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的。

1.2若A<0 可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折。

性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性变化的有值域、最值、 2．y=sin （x ＋φ），x ∈R(φ≠0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移－φ个单位(φ＜0＝得到的。

性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期变化的有奇偶性、单调区间与单调性 3.1函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）3.2若ω<0则可用诱导公式将符号“提出问题？小结平移法过程（步骤）两种方法殊途同归四、巩固练习1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将sin y x = 图象要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将sin y x =图象2. 要得到函数2sin 3y x =的图象，只需将sin y x =的图象1 23. 要得到函数sin()3y x π=+的图象，只需将sin y x =图象 3. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象,只需将y=sin2x 图象 4. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象,只需将y=sinx 图象12 .。

北师版数学高一-必修4学案 1.8 函数y=Asin(ωxφ)的图像(二)

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接]1．由函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像？答 y ＝sin x 的图像变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．2．物理中，简谐运动的图像就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)的图像，其中A ＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位． [预习导引]1．简谐振动：简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 叫作振幅，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，相位是ωx ＋φ，初相是φ. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间．解 (1)列表如下：(2)描点、连线，如图由图像知，在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎡⎦⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图像．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图像．解列表：描点画图(要点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．解方法一 (逐一定参法)由图像知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图像上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图像知A ＝3.∵图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图像变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图像上，可知函数图像由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 规律方法三角函数中系数的确定方法给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图像平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．解由图像知A ＝5. 由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 A解析提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x －π3，于是可得．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析由所给图像可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图像在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )， ∵0≤φ≤2π，，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期的图像．解 (1)列表：描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点，从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案 D解析当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，B 符合．排除A 、B 、C ，故选D.3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω等于 ( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析设函数的最小正周期为T ，由函数图像可知T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________．答案 x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝______. 答案5π6解析函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：二、能力提升8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A解析由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π， ∴ω＝2πT＝2. ∵图像过点(π3，0)， ∴sin(2π3＋φ)＝0， ∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z . ∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4∴T ＝π由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2，得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2sin(2·5π12＋φ)＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3，故选A. 10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z .∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式．解由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图像过点(0,1)，所以sin φ＝12. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P (π12，0)，图像与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5. ∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图像关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.。

(北师大版)高中数学必修四：1.8《函数y=asin(ωx+φ)的图像》教案(2)

§8 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像一、教学目标1、知识与技能：（1）进一步理解表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)，掌握A 、φ、ωx ＋φ的含义；（2）熟练掌握由x y sin =的图象得到函数)()sin(R x k x A y ∈+ϕ+ω=的图象的方法；（3）会由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像讨论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。

2、过程与方法：通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

二、教学重、难点重点:函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质。

难点: 各种性质的应用。

三、学法与教法在前面，我们讨论了正弦、余弦的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个问题。

教法:探析交流法四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。

（二）、探究新知复习提问：（1）如何由x y sin =的图象得到函数)sin(ϕ+ω=x A y 的图象？（2）如何用五点法作)sin(ϕ+ω=x A y 的图象？（3）ϕω、、A 对函数)sin(ϕ+ω=x A y 图象的影响作用。

函数[)0,0(,),0),sin(>ω>+∞∈ϕ+ω=A x x A y 其中的物理意义：函数表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T：ωπ=2T 往复振动一次所需的时间，称为“周期”f：πω==21T f 单位时间内往返振动的次数，称为“频率”；ϕ+ωx ：称为相位；ϕ：x = 0时的相位，称为“初相”例1、函数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是，其图象最高点与最低点横坐标差是，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。

北师大版数学高一必修4教学案1.8.1函数y=Asin(ωxφ)的图像的画法

答案：
6．已知f(x)＝1＋ sin(2x－ )，画出f(x)在x∈ 上的图像．
解∵－ ≤x≤ ，∴－π≤2x≤π
∴－ π≤2x－ ≤ π
(1)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－ π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点连线成图，如图所示
一、选择题
1．函数y＝2sin(－2x＋ )的相位和初相分别是()
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A函数y＝cos 可化为y＝sin[ ＋ ]＝sin .要想得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝sin(x＋ )的图像向右平移个单位长度．
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，则()
解：sin(2ωx＋φ)，再向左平移个单位长度，得到y＝Asin ，即y＝Asin(2ωx＋ωπ＋φ)＝ sinx.
由两个代数式恒等，得 ⇒
∴f(x)＝ sin( x－ )＝－ cos .
法二：将y＝ sinx的图像向右平移个单位长度，得到y＝ sin(x－ )的图像，再把y＝ sin(x－ )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝ sin( x－ )，即y＝－ cos x的图像，故所求函数解析式为f(x)＝－ cos .
第一步：列表
x
－
－
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，即得图像．

「精品」高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωx+φ的图像教案北师大版必修4

函数y=Asin(ωx+φ)的图像整体设计教学分析本节通过图像变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图像呢?通过引导学生对函数y ＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在.由于本节是本章的一个难点,为了便于学生的理解和接受,在探究y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系上,对A、ω、φ对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.三维目标1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出y=Asin(ωx+φ)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图像.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图像上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.推进新课新知探究提出问题①观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响？ ②分别在y=sinx 和y=sin(x+3π)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图像有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图像,看看与y ＝sinx 的图像是否有类似的关系？③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到y=sin(x+φ)的图像.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=3π,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+3π). ⑤类似地,你能讨论一下参数A 对y=sin(2x+3π)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=3π.此时,可以对A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察它们与y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+3π)图像上点的坐标和y=sinx 的图像上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差3π的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图像,并探究它与y=sinx 的图像的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图像影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=3π,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+3π)的图像上的点的横坐标总是等于y=sinx 的图像上对应点的横坐标减去3π.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A 、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A 、B 的坐标、x B -x A 、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+3π)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx 的图像向左平移3π使之与y=sin(x+3π)的图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取φ=-4π,用同样的方法可以得到y=sinx 的图像向右平移4π后与y=sin(x-4π)的图像重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.如图2.图2问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+3π)为参照,把y=sin(2x+3π)的图像与y=sin(x+3π)的图像作比较,取点A 、B 观察.发现规律:图3如图3,对于同一个y 值,y=sin(2x+3π)的图像上点的横坐标总是等于y=sin(x+3π)的图像上对应点横坐标的21倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律. (2)取ω=21,让学生自己比较y=sin(21x+3π)的图像与y=sin(x+3π)图像.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+3π)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(21x+3π)的图像. 当取ω为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+3π)的图像的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图像与y=sin(x+φ)的图像之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图像可以看作是把y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到.如图4.图4问题⑤,教师点拨学生,探索A 对图像的影响的过程,与探索ω、φ对图像的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+3π)的图像和y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x 值,函数y=3sin(2x+3π)的图像上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+3π)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+3π)的图像,可以看作是把y=sin(2x+3π)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:图5函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是\[-A,A\],最大值是A,最小值是-A.如图6.图6由此我们得到了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y ＝sinx 的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的ω1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图像.⑥教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.讨论结果:①把从函数y=sinx 的图像到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图像的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略.③图像左右平移,φ影响的是图像与x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图像的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图像的形状.⑥可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asinx 的图像横)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=Asin(ωx)的图像个单位平移或向右向左ωϕϕϕ)0()0(<>得y=Asin(ωx+φ)的图像. 规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图像个单位长度平移或向右向左ϕϕϕ)0()0(<>得y=sin(x+φ)的图像)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=sin(ωx+φ)的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asin(ωx+φ)的图像.先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例例1 画出函数y=2sin(31x-6π)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的φ＝-6π,ω＝31,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(31x-6π)的图像的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动6π个单位长度,得到y=sin(x-6π)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(31x-6π)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(31x-6π)的图像,如图7所示.图7(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(31x-6π)简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(31x-6π)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的方法为y=sinx )6sin(6ππ-=−−−−→−x y 个单位右移)631sin(3π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 )631sin(22π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变方法二:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的又一方法为y=sinx 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变3−−−→−y=2sin −−−−→−个单位右移231πx y=)631sin(2π-x )2(31sin 2π-=x 方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图像)令X=1x-π,则x=3(X+π).列表:描点画图,如图8所示.图8点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图像变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0, 12π,π,23π,2π来确定对应的x 值. 变式训练1.(2007山东威海一模统考,12)要得到函数y=sin(2x+3π)的图像,只需将函数y=sinx 的图像( ) A.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 D.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变答案:C2.(2007山东菏泽一模统考,7)要得到函数y=2sin(3x-5π)的图像,只需将函数y ＝2sin3x 的图像( )A.向左平移5π个单位B.向右平移5π个单位 C.向左平移15π个单位 D.向右平移15π个单位答案:D2.将y=sinx 的图像怎样变换得到函数y=2sin(2x+4π)+1的图像? 活动:可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度得到的函数图像的解析式是y=sin2(x+8π)而不是y=sin(2x+8π),把y=sin(x+4π)的图像的横坐标缩小到原来的21,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+4π),而不是y=sin2(x+4π).解:方法一:①把y=sinx 的图像沿x 轴向左平移4π个单位长度,得y=sin(x+4π)的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=sin(2x+4π)的图像；③将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+4π)的图像；④最后把所得图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像.方法二:①把y=sinx 的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx 的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=2sin2x 的图像；③将所得图像沿x 轴向左平移8π个单位长度,得y=2sin2(x+8π)的图像；④最后把图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像. 点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练1.将y=sin2x 的图像怎样变换得到函数y=cos(2x-4π)的图像? 解:y=sin2x=cos(2π-2x)=cos(2x-2π). 在y=cos(2x-2π)中以x-a 代x,有y=cos ［2(x-a)-2π］=cos(2x-2a-2π).根据题意,有2x-2a-2π=2x-4π,得a=-8π.所以将y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度可得到函数y=cos(2x-4π)的图像.2.如何由函数y=3sin(2x+3π)的图像得到函数y=sinx 的图像？解法一:y=3sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31y=sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的2y=sin(x+3π) −−−→−3π向右平移y=sinx.解法二:y=3sin(2x+3π)=3sin2(x+6π)−−−→−6π向右平移y=3sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的31y=sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的2y=sinx.3.(2007山东高考,4)要得到函数y=sinx 的图像,只需将函数y=cos(x-3π)的图像( ) A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位答案:A 知能训练课本本节练习1 1、2、3. 课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+3π)的图像,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换. 作业1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=sinx 的图像画出函数y=-21sin(-2x)的图像. 2.要得到函数y=cos(2x-4π)的图像,只需将函数y=sin2x 的图像通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx 的关系. 解答:1.∵y=-21sin(-2x)=21sin2x,作图过程: y=sinx .2sin 212sin 2121x y x y =−−−−−−→−=−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标变为原来的纵坐标不变倍横坐标变为原来的 2.∵y=cos(2x -4π)=sin[2π+(2x-4π)]=sin(2x+4π)=sin2(x+8π), ∴将曲线y=sin2x 向左平移8π个单位长度即可.3.∵y=cos2x+1,∴将余弦曲线y=cosx 上各点的横坐标缩短到原来的21,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母φ、ω、A 对函数及图像变化的影响.因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A 对函y=Asin(ωx+φ)图像整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx 的图像与函数y=Asin(ωx+φ)的图像间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0,φ≠0)的图像变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(21x-3π)的简图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.推进新课新知探究提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图像时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y ＝sin2x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(2x －3π)的图像；(2)把函数y ＝sin3x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图像；(3)如何由函数y ＝sinx 的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+3π)的图像？③将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移2π个单位长度,所得到的曲线是y=21sinx 的图像,试求函数y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法)甲生:所给问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位长度,得到y=21sin(x-2π)的图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的21,得到y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x 的图像,∴f(x)=-21cos2x. 乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移2π个单位长度,得到y=Asin(2ωx+2π+φ)=21sinx,∴A=21,2ω=1,2π+φ=0,即A=21,ω=2,φ=-2π.∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin[2ω(x+2π)+φ]=Asin(21)42(=++ϕωπωx sinx, ∴A=21,2ω=1,4ωπ+φ=0.解得A=21,ω=2,φ=-2π,∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=21sinx 变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(2ωx+φ)的图像向左平移个单位长度时,把y=Asin(2ωx+φ)函数中的自变量x 变成x+2π,应该变换成y=Asin[2ω(x+2π)+φ],而不是变换成y=Asin(2ωx+2π+φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0,2π,π,23π,2π. ②(1)右,6π；(2)左,18π；(3)先y ＝sinx 的图像左移3π,再把所有点的横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变).③略. 提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A 、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A 、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=ωπ2,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T l =πω2给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位; x=0时的相位φ称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0. ②略. 应用示例例1 图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.图1活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A 在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A 等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为45. (2)如果从O 点算起,到曲线上的D 点,表示完成了一次往复运动;如果从A 点算起,则到曲线上的E 点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞), 那么A=2;由ωπ2=0.8,得ω=25π;由图像知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sin25πx,x ∈［0,+∞). 点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练函数y=6sin(41x-6π)的振幅是__________,周期是__________,频率是__________,初相是__________,图像最高点的坐标是__________. 解:6 8ππ81 -6π (8k π+38π,6)(k ∈Z ) 例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(12π,3)和一个最低点(127π,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像向上(B ＞0)或向下(B ＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|＜π,如不注明,就取离y 轴最近的一个即可. 解:由已知条件,知y max =3,y min =-5,则A=21(y max -y min )=4,B=21(y max +y min )=-1,2T =127π-12π=2π. ∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.。

高一数学教学案1.8函数y=Asinωx+φ的图象1北师大版必修4

④一般结论：y＝sinωx(ω>0)的图象是将y＝sinx的图象上所有点的横坐标都伸长(1>ωபைடு நூலகம்0)或缩短(ω>1)到原来的倍.
⑤看图讨论：y＝sin(x－ )、y＝sin(x＋ )的图象与y=sinx的图象有何关系？一般结论？
⑥一般结论：y＝sin(x＋φ)的图象是将y＝sinx的图象向左平移φ个单位.
⑦思考：已知y＝4sinx的图象，如何得到y＝sin4x的图象？
例2画出函数y＝2sin（3x＋）的图象.讨论：y＝Asin(ωx＋φ)的图象如何由y＝sinx的图象变换得到？
三巩固练习
四课后反思
五课后巩固练习
2.在同一坐标系中用“五点法”画出下列函数的图象：
（1）y=sinx、y＝2sinx、y＝ sinx；（2）y=sinx、y＝sin2x、y＝sin ；
（3）y＝sinx、y＝sin(x－ )、y＝sin(x＋ ).
先分析如何取五点，强调整体思想、周期；再列表→描点→连线.
二师生互动
例1.y＝Asinx、y＝sinωx、y＝sin(x＋φ)的图象：
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1
授课时间
撰写人
学习重点
掌握五点法作图及变换关系.
学习难点
理解变换关系
学习目标
掌握五点作图法的实质，会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+)的简图，掌握它们与y＝sinx的转换关系.
教学过程
一自主学习
一、复习准备：
1.求下列函数的周期：y＝－3sin(2x＋ )；y＝ cos( － ).
①看图讨论：y＝2sinx、y＝ sinx与y=sinx的图象与有何关系？可以得出怎样的一般结论？

北师版数学高一北师大版必修4学案 1.8 函数 y=Asin(ωxφ) 图像(二)

明目标、知重点 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 叫作振幅，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，相位是ωx＋φ，初相是φ.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质如下定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数．单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到.[情境导学] 做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系、交流电的电流y 与时间x 的关系等都是形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，这种函数我们称为正弦型函数，那么怎样作正弦型函数的图像呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？探究点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像思考1 物理中，简谐运动的图像就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)的图像，其中A >0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位．思考2 利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)在一个周期上的图像，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的表格 ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π x －φω －φω＋π2ω－φω＋πω －φω＋3π2ω －φω＋2πωyA－A所以，描点时的五个关键点的坐标依次是⎝⎛⎭⎫－φω，0，⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ，⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0，⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ，⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0.例1 画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的简图．解方法一先把正弦曲线上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的图像；再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的图像，如图所示．方法二下面利用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6在一个周期T ＝2π13＝6π内的图像．令X ＝13x －π6，则x ＝3⎝⎛⎭⎫X ＋π6.列表：X 0 π2 π 3π2 2π x π2 2π 7π2 5π 13π2 y2－2描点画图(如图所示)：反思与感悟 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．跟踪训练1 如图是某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式．解 (1)从图像上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm ；周期为0.8 s ；频率为54.(2)如果从O 点算起，到曲线上的D 点，表示完成了一次往复运动；如果从A 点算起，则到曲线上的E 点，表示完成了一次往复运动． (3)设这个简谐运动的函数表达式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，那么，A ＝2；由2πω＝0.8，得ω＝5π2；由图像知初相φ＝0. 于是所求函数表达式是 y ＝2sin5π2x ，x ∈[0，＋∞)．探究点二由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像求三角函数的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段，求其解析式．解由图像知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 反思与感悟 (1)在由图像求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图像左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π.(2)由图像确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图像明确指出了周期的大小和初始值x 1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图像确定ω和φ. (3)A 的求法一般由图像观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出．跟踪训练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数的解析式．解由图像知A ＝5. 由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ：方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数解析式为y ＝5sin(23x ＋π3)．探究点三函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性思考1 探求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性．答 ①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π(k ∈Z )．②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．思考2 探求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性．答 ①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于点(x 0,0)中心对称当且仅当f (x 0)＝0.②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于直线x ＝x 0轴对称当且仅当f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A . ③对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－φω，0，k ∈Z ，对称轴方程是x ＝k π＋π2－φω，k ∈Z . 例3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，求a 的值．解 ∵函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2－a ＝0，∴a ＝2.反思与感悟对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)而言，函数图像与x 轴的交点就是图像的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，求a 的值．解根据函数图像关于直线x ＝－π8对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立．取x ＝π8得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4. 代入得a －2＝－a 2，解得a ＝1或a ＝－2.1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 A解析提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x －π3，于是可得，向左平移π3个单位． 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析由所给图像可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图像在x ＝1处取得最高点， ∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图像．解 (1)列表：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3[呈重点、现规律]1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础过关1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案 D解析当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，且最小值为负数，B 符合．D 项中，由振幅得a >1，所以T <2π，而由图像知T >2π，矛盾，故选D. 3.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω等于 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析根据图像确定函数的最小正周期，再利用T ＝2πω求ω. 设函数的最小正周期为T ，由函数图像可知T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是．答案 x ＝－π6解析令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝ . 答案5π6解析函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6. 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8.右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A解析由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为．答案 ②③解析对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴④错．11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标之差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式．解由于最小值为－2，所以A ＝2. 又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π. 故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图像过点(0,1)，所以sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0)的图像过点P (π12，0)，图像与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(23π＋φ)＝1.∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴x 的取值范围为{x |k π－512π≤x ≤k π＋π12}(k ∈Z )．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知， sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，2 3；当k＝2时，ω＝2.∴当k＝1时，ω＝。

高中数学北师大版必修4学案1.8.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 Word版含解析

§函数＝(ω＋φ)的图像与性质第课时函数＝(ω＋φ)的图像．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数＝(ω＋φ)的图像.．理解并掌握函数＝(ω＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)．掌握，ω，φ对图像形状的影响．(难点)[基础·初探]教材整理函数＝ (ω＋φ)＋(>，ω>)的图像阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题．．参数，φ，ω，的作用()左右平移(相位变换)：对于函数＝(＋φ)(φ≠)的图像，可以看作是把＝的图像上所有的点向左(当φ＞时)或向右(当φ＜时)平行移动φ个单位长度得到的．()上下平移：对于函数＝＋的图像，可以看作是把＝的图像上所有点向上(当＞时)或向下(当＜时)平行移动个单位长度得到的．．伸缩变换()振幅变换：对于函数＝(＞，≠)的图像可以看作是把＝的图像上所有点的纵坐标伸长(当＞时)或缩短(当＜＜时)到原来的倍(横坐标不变)而得到的．()周期变换：对于函数＝ω(ω＞，ω≠)的图像，可以看作是把＝的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞时)或伸长(当＜ω＜时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()的大小决定了函数的振幅．( )()ω的大小与函数的周期有关．( )()φ的大小决定了函数与＝的相对位置．( )()的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( )【解析】由，ω，φ，的几何意义知全对．【答案】()√()√()√()√[小组合作型]作出函数＝在一个周期内的图像．【精彩点拨】列表时用整体代换的思想，把ω＋φ看作一个整体，再用五点列表．【自主解答】用“五点法”作图．列表：。