3.2勾股定理的逆定理
第3章《勾股定理》 ： 3.2 勾股定理的逆定理(含答案)
第3章《勾股定理》：3.2 勾股定理的逆定理选择题1．已知三角形的三边长之比为1：1： 2 ，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7 3．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=13，b=14，c=15；②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④ a =7，b = 24，c = 25 ⑤a=2，b=2，c=4 A．2个B．3个C．4个D．5个4．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=b=5，c=5 2C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=155．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m（第5题）（第6题）（第7题）6．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤137．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m9．放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．以上都不对10．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米11．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（）A．11米B．12米C．13米D．14米（第11题）（第13题）（第14题）12．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米13．如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（）A．150米B．100 3 米C．100米D．50 3 米14．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里15．如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（）A．8cm B．10cm C．413 D．20cm（第15题）（第16题）（第21题）（第22题）16．如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米17．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，418．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米19．一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将下滑（）A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m20．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米21．国庆假期中，小华与同学到休博园去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B 的直线距离是（）千米．A．20 B．14 C．11 D．1022．如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A． 3 B．2 3 C．3 3 D．323．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．12cm B．10cm C．14cm D．无法确定（第23题）（第24题）（第25题）24．如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（）A．8 B．2 6 C．210 D．2+2 5 25．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm答案：填空题1．故选D．考点：勾股定理的逆定理．分析：由已知得其有两条边相等，并且符合勾股定理的逆定理，从而可判断三角形的形状．解答：解：由题意设三边长分别为：x，x， 2 x∵x2+x2=（ 2 x）2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．故选D．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系满足a2+b2=c2，三角形为直角三角形．2．故选C．考点：勾股定理的逆定理．分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解答：解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故错误；C、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；D、42+62≠72，不能构成直角三角形，故错误．故选C．点评：解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．3．故选A．考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．解答：解：①(13)2+(142)≠(15)2，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．点评：本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．故选D．考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．解答：解：A、92+402=412，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误；B、5+52＝(5 2 )2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误；C、设a=3k则b=4k，c=5k，则（3k）2+（4k）2=（5k）2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误；D、112+122≠152，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故正确．故选D．点评：本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．5．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题；压轴题．分析：了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．解答：解：连接OA，交⊙O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA=OB2+AB2 =10；又OE=OB=6，所以AE=OA-OE=4．因此选用的绳子应该不＞4，故选A．点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．6．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：压轴题．分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选A．点评：主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，有一定的难度．7．故选C．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．解答：解：由题意得BC=8m，AC=6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=错误!=10米．所以大树的高度是10+6=16米．故选C．点评：熟练运用勾股定理．熟记6，8，10是勾股数，简便计算．8．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：经分析知：可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的斜边是竹竿的长，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x-0.5）米．根据勾股定理，得：x2=1.52+（x-0.5）2，x=2.5．那么河水的深度即可解答．解答：：解：若假设竹竿长x米，则水深（x-0.5）米，由题意得，x2=1.52+（x-0.5）2解之得，x=2.5所以水深2.5-0.5=2米．故选A．点评：此题的难点在于能够理解题意，正确画出图形．9．故选C．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意知：他们行走的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，得直角三角形的两条直角边分别是600米，800米，根据勾股定理求得他们两家的距离即可．解答：解：如图：∵小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，即∠1=∠2=45°，故∠AOB=∠1+∠2=90°，即△AOB为直角三角形，A、B分别为小明家和小林家，根据题意得，OA=40×20=800米，OB=40×15=600米，根据勾股定理得，AB=错误!=错误!=1000米．故选C．点评：正确理解题意，注意两条直角边即是两人各自所走的路程，熟练运用勾股定理进行计算．10．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．解答：解：梯脚与墙角距离：错误!=0.7（米）．故选A．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．11．故选B．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．解答：解：由题意得，AB为旗杆的高，AC=AB+1，BC=5米，求AB的长．已知AB⊥BC，根据勾股定理得AB=错误!=错误!，解得，AB=12米．所以旗杆的高度为12米．故选B．点评：此题是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理解答．12．故选B．考点：勾股定理的应用．分析：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．解答：解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，而CA=5米，∴AB=10米，∴AB+AC=15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故选B．点评：本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．13．故选B．考点：勾股定理的应用；方向角．专题：应用题；压轴题．分析：根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．解答：解：在Rt△DAB中，∵∠DAB=30°，AB=100，∴DB=50，勾股定理得，DA=50 3 ，在Rt△DCA中，∵BC=200，DB=50，∴DC=150，∵DA=50 3 ，∴勾股定理得，AC=100 3 ．故选B．点评：此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用．14．考点：勾股定理的应用；方向角．分析：根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解答：解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：322+242 40（海里）．故选D．点评：熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．15．考点：勾股定理的应用．分析：桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长，所以只要求出桶的对角线长则可．解答：解：圆桶最长对角线长为：122+82 =413 cm，桶内能容下的最长的木棒长为：4413 cm．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．故选D．考点：勾股定理的应用．分析：先利用勾股定理计算出墙高，当梯子的顶端沿墙下滑4分米后，也形成一直角三角形，解此三角形可计算梯的底部距墙底端的距离，则可计算梯子的底部平滑的距离．解答：解：墙高为：252−72 =24分米当梯子的顶端沿墙下滑4分米时：则梯子的顶部距离墙底端：24-4=20分米梯子的底部距离墙底端：252−202 =15分米，则梯的底部将平滑：15-7=8分米．故选D．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．17．故选C．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形三边关系及勾股定理即可解答．解答：解：A、132≠122+62，错误；B、122≠82+62，错误；C、132=122+52，正确；D．82≠52+22，错误．故选C．点评：综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理进行判断．18．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．解答：解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=AB2−BC2 =132−52 =12米．故选A．点评：此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．19．故选D．考点：勾股定理的应用．分析：首先根据勾股定理求得第一次梯子的高度是 2.4m，如果梯子的顶端下滑0.4米，即第二次梯子的高度是2米，又梯子的长度不变，根据勾股定理，得此时梯足离墙底端是 2.52−22 =1.5．所以梯足将下滑1.5-0.7=0.8．解答：解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，所以AC2=AB2-BC2，所以AC=2.4，在Rt△DCE中，DE=2.5，CD=AC-AD=2.4-0.4=2，所以CE2=DE2-CD2，所以CE=1.5，此时BE=CE-BC=1.5-0.7=0.8．故选D．点评：注意两次中梯子的长度不变，运用两次勾股定理进行计算．20．故选A．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．解答：解：如图所示，AB=13米，BC=5米，由勾股定理可得，AC=AB2−BC2 =132−52 =12米．故选A．点评：此题考查学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题．21．故选D．考点：勾股定理的应用；坐标确定位置．分析：根据题意先求A、B两地的水平距离和竖直距离，运用勾股定理求AB的长．解答：解：根据题意得：AB之间的水平距离和竖直距离分别为6和8，据此构造的直角三角形直角边为6，8，所以AB=10，即门口A到藏宝点B的直线距离是10千米．故选D．点评：本题考查两点的距离，可构造直角三角形，利用勾股定理求解．22．故选C．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：由题意知，底面圆的直径AB=4，故底面周长等于4π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=nπ×6 180，解得n=120°，所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，因为半径PA=PB，∠APB=60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，根据勾股定理求得AD=3 3 ，所以蚂蚁爬行的最短距离为3 3 ．故选C．点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．23．故选B．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．解答：解：如图所示：可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长BC= 4π2=2π=6，矩形的宽AC=8，在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，根据勾股定理得：AB=(2π)2+64 ≈10．故选B．点评：要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．24．故选C．考点：平面展开-最短路径问题．分析：把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．解答：解：把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，∵M、N为C1D1和BB1的中点，∴NB1=2，MC1=2，在Rt△NMB1中，MN=22+62 =210 ．故选C．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．24．故选A．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．25．故选A．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．26．故选A．考点：勾股数．分析：欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解答：解：（1）1.52+22=2.52，但不是正整数，故错误；（2）（ 2 ）2+（ 2 ）2=22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；（3）122+162=202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；（4）0.52+1.22=1.32，但不是正整数，故错误．故选A．点评：解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．27．故选B．考点：命题与定理；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．分析：利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理对各选项进行逐一证明即可．解答：解：A、正确，根据三角形内角和为180°可以证明；B、错误，根据三角形内角和为180°可以证明不成立；C、正确，利用勾股定理的逆定理可以证明；D、正确，利用勾股定理的逆定理可以证明．故选B．点评：利用三角形内角和为180°和勾股定理的逆定理可解决上述问题．填空题28．故答案分别填：8个．考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题可先根据AB两点的坐标得出直线的方程，再设C点的坐标为：（x，y），根据点到直线的公式得出C点的x与y的关系，然后分别讨论∠A为直角时或∠B 为直角时或∠C为直角几种情况进行讨论即可得出答案．解答：解：到直线AB的距离为4的直线有两条．以一条直线为例，当∠A为直角时，可得到一个点；当∠B为直角时，可得到一个点；以AB为直径的圆与这条直线有2个交点，此时，∠C为直角．同理可得到另一直线上有4个点．点评：本题需注意：到一条直线距离为定值的直线有两条；需注意分情况讨论三角形为直角的情况．29．点A（-6，8）到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．29．故答案分别填：8、6、10．考点：两点间的距离公式．分析：根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．根据两点之间的距离公式便可求出点到原点的距离．解答：解：由点A（-6，8）可知，此点到x轴的距离为|8|=8，到y轴的距离为|-6|=6，到原点的距离为82+(−6)2 =10．故答案分别填：8、6、10．点评：解答此题的关键是熟知点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．30．点（3，4）到原点的距离为．30．故答案填：5．考点：两点间的距离公式．分析：先画出图形，然后利用勾股定理根据图形计算．解答：解：如图：设原点为D，点A为题是点（3，4），则根据勾股定理，DA=32+42 =5．故答案填：5．点评：本题要熟悉平面直角坐标系的结构及点的坐标的意义．。
苏科版八年级数学上册教案《3.2勾股定理的逆定理》
《3.2勾股定理的逆定理》这节内容选自《苏科版》义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第三章《勾股定理》中的第二节。
勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法。
还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。
八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生的分析思维能力，发展推理能力。
在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
【知识与能力目标】1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.2. 会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.【过程与方法目标】进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型.【情感态度价值观目标】敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.教师准备：课件、多媒体、三角板学生准备：三角板、练习本一、导入课题教师道白：上节课我们已经知道边长为3，4，5，的三角形的直角三角形（），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做.二、做一做1、画一画：用尺规画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）3、4、3 3、4、5 3、4、6 5、12、13请判断三角形的形状，并验证三边关系.同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成.2、猜想：三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？同学们在在形成共识后板书：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形.满足的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足勾股定理时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.这就是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.三、讲解例题例1.下列各组线段中哪些可以组成直角三角形？①5，13，12；②4，5，7；③3a，4a，5a(a为正整数)；④9,12,15：；⑤0.3,0.4,0.5；⑥111 ,, 345例2 如图3－2－2，在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．四、课堂小结列表总结四、随堂练习1. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（）．A．3，4，5；B．10，6，8；C．4，5，6；D．12，13，5．2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（）A．161；B．289；C．17；D．161或289．3、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．例已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A ＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？拓展延伸：设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？思考：若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.探究：像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．①从前2个表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看．五、作业1、课本P85习题3.2的1，2题.略。
勾股定理及其逆定理的内容
勾股定理及其逆定理的内容勾股定理和逆定理都是数学中非常经典的内容，不过听起来可能会有点儿陌生。
其实，它们非常实用，而且还很有趣。
让我们一起来聊聊吧。
1. 勾股定理的基本概念1.1 什么是勾股定理首先，咱们得知道勾股定理到底是什么。
它是关于直角三角形的一个定理。
简单来说，直角三角形的两条直角边（我们叫它们“勾”和“股”）的平方和等于斜边（我们叫它“弦”）的平方。
这就是勾股定理的核心内容。
听起来有点复杂，但举个例子就明白了。
假设你有一个直角三角形，直角边长分别是3和4，那么这两个边的平方和就是3²+4²=9+16=25。
斜边的平方也得等于25，所以斜边的长度就是5。
1.2 生活中的应用这个定理在我们的生活中非常有用。
比如说，如果你要测量房间的对角线长，只需要知道长和宽就能算出来。
又或者你在设计一些东西时，勾股定理能帮你确保每个角都是直角。
它就像是生活中的一个小工具，随时随地帮你解决问题。
2. 勾股定理的证明2.1 几何证明说到证明，勾股定理有几种不同的方法，其中几何证明是最直观的。
简单来说，就是我们可以用几何图形来证明这个定理。
想象一下，你在一个直角三角形的每一边上画出一个正方形，这些正方形的面积就像是拼图一样，可以用来证明勾股定理。
看起来可能会有点复杂，但其实就是一种图形化的方法，让定理更容易理解。
2.2 代数证明除了几何证明，还有一种代数证明的方法。
我们可以用代数公式来证明勾股定理的正确性。
这种方法比较适合那些喜欢公式和计算的人。
它用的是代数的语言，通过一些方程式来展示定理的正确性。
3. 勾股定理的逆定理3.1 什么是逆定理勾股定理的逆定理其实也很有趣。
它告诉我们，如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
也就是说，如果你知道一个三角形的三条边分别是a、b和c，并且它们满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形肯定是直角三角形。
《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)
第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理填空题1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长．（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm．3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米．4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．（第4题）（第5题）（第6题）5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3）9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．（第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ．解答题14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．15．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，（1）试说明：BD⊥BC；（2）计算四边形ABCD的面积．18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．19．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是：．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．21．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=95．（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米， 3 ≈1.732）．25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=错误!m．求点B到地面的垂直距离BC．27．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．答案：填空题1．故答案为：1.5m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误!=1.5m．点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可．2．故答案为：11cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=错误!=错误!=13cm，h=24-13=11cm．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．故答案为：6厘米．考点：勾股定理的应用．分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC长，那么利用勾股定理可得内径．解答：解：根据条件可得筷子长为12厘米．如图AC=10厘米，BC=错误!=错误!＝6厘米．点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．4．故答案为：2cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．解答：解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．则AA′=8-6=2m．点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．5．故答案为：2 2 ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•错误!=2，CB=2．∴AC=AB2+BC2 =8 =2 2 ，故答案为：2 2 ．点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．6．故答案为：3 5 m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题；转化思想．分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=nπ×6 180，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=32+62 =45 ＝3 5 m．故小猫经过的最短距离是3 5 m．故答案是：3 5 m．点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．7．故答案为：22m．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：其侧面展开图如图：AD=πR=4π，AB=CD=20m．DE=CD-CE=20-2=18m，在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2 =错误!≈21.9≈22m．故他滑行的最短距离约为22m．点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．故答案为：15cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长．解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=122+(3π)2 =错误!=错误!=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．9．故答案为：10．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=62+82 =10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．10．故答案为：2.5．考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，解得x=2.5．点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．11．故答案为：2.60．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解答：解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为： 2.42+12 =2.60米．故答案为：2.60．点评：本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题．12．故答案为：25寸．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．解答：解：将台阶展开矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得AB=72+242 =25寸． 点评：本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．13．故答案为：b=84，c=85；考点：勾股数． 专题：规律型．分析：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n 组数为（2n+1），（(2n +1)2−12）， （(2n +1)2+12 ），由此规律解决问题．32-12解答：在32=4+5中，4=32-12 ，5=32+12； 在52=12+13中，12=52-12 ，13=52+12； …则在13、b 、c 中，b=132-12 =84，c=132+12=85； 点评：认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键． 解答题14．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题：探究型．分析：根据等边三角形的性质利用SAS 判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ ；设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a ，由已知可判定△PBQ 为正三角形从而可得到PQ=4a ，再根据勾股定理判定△PQC 是直角三角形．解答：解：（1）猜想：AP=CQ ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC ，BP=BQ ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．15．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α-60°=50°∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°-α=50°∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．16．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2分）（2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），移项得：c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0，得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分）∴a2=b2或c2=a2+b2（6分）∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．17．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．解答：解：（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，∴BD=5．又BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥BC．（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．18．考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．专题：证明题．分析：（1）根据SAS 判定△ACE≌△BCD，从而得到∠EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90即可解答：（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD ，∠ACE=∠BCD=90°，在△ACE 和△BCD，⎩⎪⎨⎪⎧∠AC ＝BC∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD ∴△ACE≌△BCD（SAS ）；（2）解：直线AE 与BD 互相垂直，理由为：证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE 与BD 互相垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．19．故答案为：（1）第C 步 （2）等式两边同时除以a 2-b 2 （3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状． 解答：解：（1）C ；（2）方程两边同除以（a 2-b 2），因为（a 2-b 2）的值有可能是0；（3）∵c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）∴c 2=a 2+b 2或a 2-b 2=0∵a 2-b 2=0∴a+b=0或a-b=0∵a+b≠0∴c 2=a 2+b 2或a-b=0∴c 2=a 2+b 2或a=b∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．20．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ABD的面积+直角△BDC 的面积．解答：解：∵在△ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，∴BD=AB2+AD2 =32+42 =5．在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．∵122+52=132，即CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴S四边形A B C D=S△A B D+S△B D C=12AB•AD+12BD•CD12×3×4+12×5×12=36，即四边形ABCD的面积是36．点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．故答案填：n2-1，2n，n2+1；考点：勾股定理的逆定理；列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．解答：解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2-1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．22．考点：勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形．解答：解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD=95，故△CDB为直角三角形，∴在Rt△CDB中，CD=CB2−BD2 =32−（95）2 =125，在Rt△CAD中，AD=AC2−CD2 =42−（125）2 =165．（2）△ABC为直角三角形．理由：∵AD=165，BD=95，∴AB=AD+BD=165+95=5，∴AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形．点评：本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目．23．故答案为：32m或（20+4 5 ）m或803m．考点：勾股定理的应用；等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，∵AC⊥BD，∴CD=CB=6m，∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．②如图2，当AB=BD=10时，∵BC=6m，∴CD=10-6=4m，∴AD=4 5 m，∴△ABD的周长=10+10+4 5 =（20+4 5 ）m．③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=82+(x−6)2 =x解得，x=253，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=803m．点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．24．考点：勾股定理的应用．分析：因为∠CAD=30°，则AC=2CD，再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度．解答：解：在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2=AC2，得，32+x2=4x2，x= 3 =1.732，所以大树高1.732+1.68≈3.4（米）．点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．25．考点：勾股定理的应用．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2 =错误!=10m，故小鸟至少飞行10m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．解答：解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=8 ，∴AD 2=AE 2+DE 2=36m(8 )2+(8 )2=16，∴AD=4，即梯子的总长为4米．∴AB=AD=4．在Rt△ABC 中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=2， ∴BC 2=AB 2-AC 2=42-22=12， ∴BC=12 =2 3 m ；∴点B 到地面的垂直距离BC=2 3 m ．点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．27．考点：勾股定理的应用．分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．解答：解：在Rt△ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．在Rt△ECD 中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-22=2.25，∴EC=1.5，∴AE=AC -EC=2-1.5=0.5． 答：梯子顶端下滑了0.5米．点评：注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理．28．考点：勾股定理的应用．分析：根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km ； 解答：解：∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE 2+AD 2=DE 2，BE 2+BC 2=EC 2，∴AE 2+AD 2=BE 2+BC 2，设AE=x ，则BE=AB-AE=（25-x ），∵DA=15km，CB=10km ，∴x 2+152=（25-x ）2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．29．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=DA2−AC2 =2002−1602 =120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．30．考点：勾股定理的应用．分析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解答：解：连接AC，∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，∵AC2=AB2+BC2=82+62=102，∵AC＞0，∴AC=10，在△ACD中，∵AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，∴S四边形A B C D=S△A B C+S△A C D=12×6×8+12×10×24=144．点评：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．。
苏科版数学八年级上3.2勾股定理的逆定理同步练习含答案
3.2 勾股定理的逆定理1．判断：(1)△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则BC＝13．( )(2)在△ABC中，若a＝6，b＝8，则c＝10．( )(3)由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，故以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形．( )(4)由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数．( )2．已知三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则这个三角形是_______．3．三条线段分别长m．n，p，且满足m2－n2＝p2，以这三条线段为边组成的三角形为_______．4．在△ABC中，a＝9，b＝40，c＝41，那么△ABC是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形’D．等腰三角形5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6，其中能构成直角三角形的有( )．A．4组B．3组C．2组D．1组6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF7．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝7，b＝24，c＝25；(2)a＝1.5，b＝2，c＝2.5；(3)a＝13，b＝14，c＝15．8．如图，在△DEF中，DE＝17 cm，EF＝30 cm，边EF上的中线DG＝8 cm，试判断△DEF是否为等腰三角形，并说明理由．9．如图，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，DC＝3，BD＝4.5，那么∠ACB是直角吗？试说明理由．10．如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC ＝90°，求这块地的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．证明：AC⊥CD．12．欲将一根长129 cm的木棒放在长、高、宽分别是40 cm，30 cm，120 cm的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1))．图(2)由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是_______．14．已知，在△ABC中，a＝m2＝n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m>n，试判断：△ABC是否为直角三角形？15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，点F在CD上，且DF＝3CF，试判断△AEF的形状，并说明理由．16．(1)按规律填表：(2)上表中，每列三个数为一组，这组数有什么特点？(3)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为20和99，你能很快得到斜边的长吗？17．已知三组数据：①2，3，4；②3，4．5；③12．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )．A．②B．①②C．①③D．②③参考答案1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．直角三角形3．直角三角形4．B 5．B 6．B7．(1)该三角形是直角三角形．(2)该三角形是直角三角形(3)该三角形不是直角三角形．8．是．9．90°．10．24(m2)11．略12．能放得进去．13．10 314．是直角三角形．15．直角三角形16．(1)n2－1 n2＋1 (2)都是勾股数组(3)101 17．D。
勾股定理的逆定理与推论
勾股定理的逆定理与推论勾股定理是数学中的重要定理，描述了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
但是，定理的逆定理和推论同样具有重要的意义，它们在解决实际问题以及深入理解勾股定理的应用中起着重要的作用。
本文将介绍勾股定理的逆定理和若干重要的推论。
逆定理：勾股定理的逆定理又称为勾股定理的逆命题，它陈述了与勾股定理相反的情况，即如果一个三角形的三边满足平方和的关系，那么它一定是直角三角形。
这一逆定理可以表示为：若一个三角形的三边a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么该三角形一定是直角三角形。
证明：为了证明勾股定理的逆定理，我们可以采用反证法。
假设存在一个三角形ABC，它的三边a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，但是该三角形不是直角三角形。
那么我们可以假设∠ABC为锐角或钝角。
情况一：假设∠ABC为锐角。
根据余弦定理，我们有c^2 = a^2 +b^2 - 2abcos∠C。
由于∠C为锐角，cos∠C大于0，所以c^2 小于 a^2+ b^2，与已知条件矛盾。
情况二：假设∠ABC为钝角。
同样根据余弦定理，我们有c^2 =a^2 + b^2 - 2abcos∠C。
在钝角情况下，cos∠C小于0，所以c^2 大于a^2 + b^2，与已知条件矛盾。
综上所述，无论∠ABC为锐角还是钝角，假设都产生了矛盾，所以该三角形一定是直角三角形。
证毕。
推论一：基于勾股定理，我们可以推出一个重要的推论：在一个直角三角形中，斜边的长度大于任何一个直角边的长度。
这可以表示为：设三角形ABC为直角三角形，∠C为直角，那么c > a，c > b。
推论二：我们还可以推导出勾股定理的推论：如果一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，那么该三角形必定是等腰直角三角形。
设三角形ABC为直角三角形，∠C为直角，那么若a^2 + b^2 = c^2，那么a = b。
推论三：勾股定理也可以应用在求解数学问题中。
勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。
勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。
因此，这个定理被称为勾股定理。
勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。
例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。
在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。
二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。
这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。
为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。
假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。
首先，我们可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。
根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。
如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。
假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。
然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。
根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。
将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。
经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。
根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。
3.2 勾股定理的逆定理 课件(人教版八年级下)
要证明 AE⊥AB，可连接EB，借助 网格特征，综合运用勾股定理及其 逆定理证明△ABE是直角三角形．
3．如图，ABCD是一个盒子的正面， 小明想要知道边AB与边BC是否垂 直，他利用卷尺量得AB＝5cm， BC＝12cm，A、C两点的距离是 13cm，由此小明判断出边AB垂直 于边BC，你知道这是为什么吗？
解析： 在本题中， 当三边之比为3∶ C． 3 ，2， 5 4∶5时，不妨假设三边长分别为3， D．5，12，13 4，5． 答案：1.5∶2∶2.5＝3∶4∶5，而 32＋42＝52，由勾股定理的逆定理 可知①②可以构成直角三角形；同 样判断③④不可以构成直角三角 形，故选B．
解析：将选项逐一辨别，（ 3 ）2 ＋22≠（ 5 ）2，因此不能构成直 角三角形的是C．
3．能够成为直角三角形三条边长的 三个正整数，称为勾股数．
【对点巩固】
1．有一根长30cm的木棒，将其截 4．常见的勾股数有：①3，4，5（及 成三段，做一个直角三角形，怎样 其倍数） ； ② 5， 12， 13 （及其倍数） ； 截取（允许有余料）？请你设计三 种方案．
③8，15，17（及其倍数）． 5．互逆命题：若命题 2 与命题 1 的 题设、结论恰好相反，我们把像这样 的两个命题叫做互逆命题， 如果把其 中一个叫做原命题， 那么另一个叫做 它的逆命题．
即边AB与边BC垂直．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B 如图，连接AC，因为∠B＝90°， ＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12， AB＝3，BC＝4， AD＝13．求四边形的面积．
由勾股定理可得AC2＝AB2＋BC2 ＝9＋16＝25，所以AC＝5． 因为AC2＋CD2＝52＋122＝169， AD2＝132＝169， 所以AC2＋CD2＝AD2， 所以∠ACD
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理的逆定理(学习目标)1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.３. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.(要点梳理）（高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点)要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释:（1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（２）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边(如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形;若222c a b ≠+,则△AB Ｃ不是直角三角形．要点诠释：当222a b c +<时,此三角形为钝角三角形;当222a b c +>时,此三角形为锐角三角形,其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题．要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题．要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助：① 3、4、5; ②5、12、13;③8、15、1７;④7、24、２５;⑤９、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释:(1)22121n n n -+，，（1,n n >是自然数)是直角三角形的三条边长;（２）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长;(3)2222,,2m n m n mn -+ (,m n m n >、是自然数)是直角三角形的三条边长;(典型例题)类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假:(1)同位角相等，两直角平行； （2）如果2x =，那么24x =;(3）等腰三角形两底角相等； （4)全等三角形的对应角相等. （５）对顶角相等.（6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.（思路点拨)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明,是假命题只需举出反例说明即可．(答案与解析)解:(１)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．(２）逆命题是：如果24x =,那么2x =，它是假命题.（3）逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.(４)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.（5）逆命题是：如果两个角相等,那么这两个角是对顶角，它是假命题.（６)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.(总结升华)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题,其中有真命题,也有假命题.举一反三:（变式)下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =，则22a b =．A.1个B.2个 C ．３个 D ．4个(答案)B;提示:①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是:若三角形是直角三角形,则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等;④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题,不可能是定理.类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中,A Ｂ⊥ＡＤ，AB ＝２，A Ｄ＝23，ＣD=3,B Ｃ=5,求∠ADC 的度数. (答案与解析)解:∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°,在Ｒt △ＡＢD 中,222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ B Ｄ＝4,∴ 12AB BD =,可知∠AD Ｂ=３０°, 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=,22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BD Ｃ＝90°,∴ ∠ADC=∠ADB ＋∠B ＤC ＝30°+90°＝120°．(总结升华）利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：(变式1)△ＡBC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）Ａ.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 Ｄ.直角三角形(答案)D ；提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ＡBC 为直角三角形．(变式2)如图所示，在△AB Ｃ中,已知∠ＡＣB=90°，ＡC ＝B Ｃ，Ｐ是△A ＢC 内一点,且P Ａ＝3，PB=1，P Ｃ＝C Ｄ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数.（答案)解:连接BD ．∵ CD ⊥ＣＰ，且CD ＝C Ｐ=2，∴ △CPD 为等腰直角三角形,即∠CPD=45°． ∵ ∠AC Ｐ+∠ＢＣP ＝∠B ＣP+∠BCD=90°, ∴ ∠ＡCP=∠B ＣD ． ∵ ＣＡ＝C Ｂ，∴ △C ＡP ≌△C ＢＤ(SA Ｓ), ∴ ＤB=P Ａ=3.在Rt △CPD 中,22222228DP CP CD =+=+=.又∵ PB=1,则21PB =.∵ 29DB =,∴ 22819DB DP PB =+=+=,∴ △D ＰB 为直角三角形，且∠DPB ＝９０°，∴ ∠CPB=∠CPD+∠DPB ＝４5°+9０°=13５°.３、如图所示，在平面直角坐标系中,直线33y x =+与x 轴交于点B,与y 轴交于点A,直线133y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ．请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由．(思路点拨)判断两直线的位置关系，可转化为判断△ABC 的形状.要判断△ABC 的形状，需先求出其三边的长,而由直线的解析式易求出线段AO ，ＢO ，C Ｏ的长,再根据勾股定理可求得A Ｂ,A Ｃ的长. (答案与解析）解:∵ 直线33y x =+与x 轴交于点Ｂ, ∴ 当0y =时,1x =-， ∴ 点Ｂ的坐标为(－1,0).∵ 直线33y x =+与y 轴交于点A ，，∴ 当0x =时，3y =，∴ 点A 的坐标为(0,3)．∴ ＡO ＝3，B Ｏ=1．在Rt △ＡＢO 中，由勾股定理,得222223110AB AO BO =+=+=.∵ 直线133y x =-+与x 轴交于点C,∴ 当y ＝0时，x =9,∴ 点C 的坐标为(９，0)． 在R ｔ△ＡCO 中,由勾股定理,得222223990AC AO CO =+=+=.又∵ BC ＝ＢO+CO=１0,∴ 221090100AB AC +=+=,2210100BC ==．∴ 222AB AC BC +=.∴ △ABC 为直角三角形,∴ AB ⊥ＡC.(总结升华）在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外,在平面直角坐标系中,只要知道两点的坐标,便可求出线段的长度．类型三、勾股定理逆定理的实际应用４、如图所示，ＭN 以左为我国领海,以右为公海,上午9时５0分我国缉私艇Ａ发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里,并在M Ｎ线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里,缉私艇B 测得C 与其距离为1２海里,若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？（答案与解析)解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===,∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又B Ｄ⊥A Ｃ,可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =.∴ 1441441313169÷=≈0．85(ｈ)＝5１（分). 所以走私艇最早在１0时41分进入我国领海．(总结升华）（１）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,(2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．(巩固练习）一.选择题１.（2012•广西)已知三组数据:①2，3，4；②3,４,5；③1,3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( ）A.② B ．①② Ｃ.①③ Ｄ．②③2． 下列三角形中，不是直角三角形的是（ )A.三个内角之比为5∶6∶1 B ． 一边上的中线等于这一边的一半Ｃ.三边之长为2０、21、２9 Ｄ． 三边之比为1.５ : 2 : ３3.列命题中,不正确的是( ）A ． 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3：2的三角形是直角三角形;C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:２的三角形是直角三角形．4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、ＣD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.CD 、EF 、ＧＨ Ｂ.AB 、EF 、G Ｈ C.AB 、CF 、EF D ．G Ｈ、AB 、C Ｄ５．五根小木棒，其长度分别为7，15,２0,24，2５，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）6. c b a ,,为直角三角形的三边,且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④h b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D.4二.填空题7．若△AB Ｃ中,()()2b a b a c -+=，则∠B ＝＿＿_＿＿_＿__＿_＿．8．如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1，则网格上的△ＡBC 是______三角形．９.若一个三角形的三边长分别为１、a 、8(其中a 为正整数），则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为___＿__.10.△ABC 的两边a b ，分别为5,12，另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数，则c 应为_＿___＿，此三角形为______.11.有两根木条，长分别为６０cm 和80cm ,现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x (钝角所对的边）长度的取值范围___＿_＿___．12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形,那么2,2,2c b a ＿____＿＿_组成直角三角形.（“能”或“不能”）.三.解答题13．已知a b c 、、是△ＡB Ｃ的三边,且222244a c b c a b -=-,试判断三角形的形状．14．观察下列各式:322345+=,2228610+=，22215817+=,222241026+=,…,你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.15．在等边△ABC 内有一点P,已知PA=３,ＰＢ=4，ＰC=5.现将△ＡＰB 绕Ａ点逆时针旋转60°,使Ｐ点到达Q 点,连P Ｑ，猜想△PＱC 的形状,并论证你的猜想.(答案与解析)一.选择题1.(答案)Ｄ；(解析）根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.2．(答案)D ；(解析)D 选项不满足勾股定理的逆定理.3.(答案)C;(解析)度数之比为1:2:２，则三角形内角分别为36°:72°:72°4.（答案)B ；(解析)22222228,20,5,13,AB CD EF GH AB EF GH ====+=,所以这三条线段能构成直角三角形．5.(答案)Ｃ;(解析）22222272425152025+=+=，.6．(答案）C ；(解析)因为222a b c +=，两边之和等于第三边,故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误;因为a b c +>,所以c b a ,,能组成三角形,②正确；因为ab ch =,所以2222222a ab b h c ch h+++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确;因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确．二．填空题7．（答案)９0°;(解析)由题意222b a c =+,所以∠B=９0°.8．(答案)直角;(解析）2AB =13,2BC =52,2AC =６5，所以222AB BC AC +=.9.(答案)２4;（解析)∵7＜a ＜９,∴a ＝8.1０．(答案）1３;直角三角形;(解析）７＜c ＜1７.１１.(答案)100cm <x ＜140cm ；(解析)因为60,80，１０0构成直角三角形,则钝角三角形的最长边应该大于100cm ,再根据两边之和大于第三边，所以x <60cm +8０cm =1４０cm ．１2.(答案)能；(解析)设c 为斜边,则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ . 三．解答题1３．（解析)解：因为222244a c b c a b -=-，所以()()()2222222c a b a b a b -=+-()()222220a b a b c -+-=所以22a b =或222a b c +=，此三角形为等腰三角形或直角三角形.14.(解析）解:222351237+=，()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(n ≥1且n 为整数) 15.（解析）解:因为△ＡPB 绕A 点逆时针旋转60°得到△AQC,所以△APB≌△AQC,∠PAQ=60°, 所以AP=A Ｑ＝P Ｑ=3，BP ＝CQ=4,又因为PC ＝5，222PQ CQ PC +=所以△PQC 是直角三角形.。
八年级数学苏科版上册随堂测试第3单元《 3.2 勾股定理的逆定理》 练习试题试卷 含答案
随堂测试3.2勾股定理的逆定理一、选择题1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(）A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=9：12：15C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c22.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是()①a=7，b=24，C=25；②a=1.5，b=2，c=7.5；③∠A：∠B：∠C=1：2：3;④a=1，b=，c=.A.1个B.2个C.3个D.4个3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是()A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形4.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2；④∠A=38°，∠B=52°.A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是()A.a=3，b=4，c=6B.a=5，b=6，c=7C.a=6，b=8，c=9D.a=7，b=24，c=256.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ab=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形7.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A：∠B：∠C=l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2，C.三边长为a，b，c的值为，2，4D.a2=(c+b)(c﹣b)8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是()A.如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果a2＋c2=b2，则△ABC不是直角三角形C.如果(c-a)(c+a)=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，则△ABC是直角三角形9.如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是．13.在△ABC中，如果(a+b)(a﹣b)=c2，那么∠=90°.14.如果△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-24)2+∣b-18∣+∣c-30∣=0，则△ABC的形状是。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。
如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。
如果a^2+b^2<c^2，则△ABC是钝角三角形。
证明方法已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。
（证毕）证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。
（证毕）证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。
∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。
又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
勾股定理的逆定理定义
勾股定理的逆定理1. 引言勾股定理是数学中最基本且重要的定理之一，它描述了直角三角形中三条边的关系。
而勾股定理的逆定理则是根据已知两条边的长度，判断这两条边是否能构成一个直角三角形。
在本文中，我们将详细介绍勾股定理的逆定理的定义、证明以及应用。
2. 定义勾股定理的逆定理可以简单表述为：如果给定一个三角形，其中两条边长分别为a和b，那么当且仅当a、b满足以下条件时，该三角形为直角三角形：•a和b是正数；•a、b存在一个整数m使得a=m^2；•a、b存在一个整数n使得b=n^2；•m和n互质（即最大公约数为1）。
3. 证明下面我们将对勾股定理的逆定理进行证明。
步骤1：假设给定一个符合条件的三角形假设给定一个三角形ABC，其中AB=c为斜边，AC=a为一条直角边，BC=b为另一条直角边。
步骤2：根据已知条件推导首先，我们可以根据已知条件得出以下结论：•根据直角三角形的定义，我们知道角C为直角。
•根据勾股定理，我们有c^2 = a^2 + b^2。
步骤3：证明a、b满足逆定理的条件接下来，我们将分两步证明a、b满足逆定理的条件。
步骤3.1：证明a和b是正数根据已知条件，我们可以得出a、b都是正数。
步骤3.2：证明存在整数m和n使得a=m2和b=n2，并且m和n互质假设m和n不互质，则存在一个正整数d能够同时整除m和n。
那么我们可以将m 表示为dm’，n表示为dn’，其中m’和n’是互质的。
由已知条件可得：• a = m^2 = (dm’)^2 = d2(m’)2；• b = n^2 = (dn’)^2 = d2(n’)2。
由此可见，a和b都能被d^2整除。
但是根据勾股定理可知c不可能被d整除（因为c是斜边），这与已知矛盾。
因此，假设不成立。
即m和n一定是互质的。
步骤4：得出结论根据步骤3的证明，我们可以得出结论：当且仅当a、b满足逆定理的条件时，三角形ABC为直角三角形。
即勾股定理的逆定理成立。
4. 应用勾股定理的逆定理在实际问题中有广泛的应用。
苏科版八年级上册3.2勾股定理的逆定理 课件 (共30张PPT)
16. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知 地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
17. 一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
02
课堂练习
1. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3
B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10
D．a=3，b=4，c=5
2. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成 一个直角三角形三边的线段是（ ）． A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD
3. 下列说法：
（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；
（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；
（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为60．
13
其中说法正确的有（ ）．
其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
举一反三：
2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平
方是（ ）
A．161；
B．289；
C．17；
D．161或289．
类型二、勾股定理逆定理的应用
例2. 已知：a、b、c为△ABC的三边且满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，试判 断△ABC的形状
3.2 勾股定理的逆定理一课一练2021-2022学年苏科版 八年级数学上册试题(含答案)
3.2《勾股定理的逆定理》一、选择题1．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠C ＝90°C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形2．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3.下列各组数中，是勾股数的为（ ）A ．111345，， B ．0.6，0.8，1.0 C ．1，2，3 D ．9，40，414.下列命题：①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k 、4k 、5k 仍是勾股数；②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边是5．其中正确的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.如图,点P 是等边三角形ABC 内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB 的度数______．2.如图，点M ，N 把线段AB 分割成三条线段AM ，MN 和NB ，若以AM ，MN 和NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若2AM =，3MN =，则NB 的长的平方为____．3.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．三、解答题1.如图，90ADC ∠=︒，4=AD m ，3CD =m ， 13AB =m ，12BC =m ．（1）试判断以点A ，B ，C 为顶点的三角形的形状，并说明理由；（2）求该图的面积．2.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m.（1）判断∠ADC是否是直角，并说明理由；（2）试求四边形草坪ABCD的面积.3.下图是由边长为1的小正方形组成的网格．（1）求四边形ABCD的面积（2）判断AD与CD的关系，并说明理由．4.如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．5.如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．6.在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =.设c 为最长边.当222+=a b c 时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为______三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为______三角形．（2）猜想，当22a b +______2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b +______2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围．7.如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 AB 上一点，且AF =14AB ． 求证：CE ⊥EF ．8.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF.①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．（直接写出答案）9.（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD ＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为．10.（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．11.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD 为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．12.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．答案一、选择题1．B.2．C.3.D ．4.A二、填空题1.150°2.5或133.13，84，85三、解答题1. 解：（1）连接AC ，由勾股定理可知，5AC ==， 又22222251213AC BC AB +=+==， ABC ∆∴是直角三角形（2）该图的面积ABC ACD S S ∆∆=-，115123422=⨯⨯-⨯⨯， 224(m )=． 答：该图的面积为24 2m ．2.（1）∠D 是直角，理由如下：连接AC ，∵∠B=90°，AB=24m ，BC=7m ，∴AC 2=AB 2+BC 2=242+72=625，∴AC=25（m ）．又∵CD=15m ，AD=20m ，152+202=252，即AD 2+DC 2=AC 2，∴△ACD 是直角三角形，或∠D 是直角；（2）S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12AB ⋅BC +12AD ⋅DC, =234（m 2）．3.解：（1）由题意可知四边形ABCD 的面积=大正方形的面积-四个小直角三角形的面积111125551242332322222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=（2）AD ⊥CD ，理由如下：22125AD DC AC =+====，∴AD 2+DC 2=AC 2=25，∴△ADC 是直角三角形，∴AD ⊥CD ，4.解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，∴AB 2+AD 2=BD 2，BD 2+BC 2=DC 2．∴△ABD 、△BDC 是直角三角形．∴∠A=90°，∠DBC=90°．故这个零件符合要求．S 四边形=11292⨯⨯+18152⨯⨯=114.5.（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．（2）解：结论△ABE 是直角三角形．理由：∵AB ＝AD ＝12，AE ＝AC ＝9，BE ＝15，∴AB 2+AE 2＝122+92＝225，BE 2＝225，∴AB 2+AE 2＝BE 2，∴∠BAE ＝90°，∴△BAE 是直角三角形．6.（1）锐角，钝角．（2）>，<． （3）c 为最长边，46c ∴<≤．当222a b c +>，220c <，即4c <≤ABC ∆为锐角三角形；当222+=a b c ，220c =，即c =ABC ∆为直角三角形；当222a b c +<，220c >，即6c <<时，ABC ∆为钝角三角形．7.连接CF ，∵ABCD 为正方形 ∴AB BC CD DA ===，90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒． 设AB BC CD DA a ====∵E 是AD 的中点，且14AF AB = ∴12AE ED a ==，14AF a =∴34BF a ． 在Rt CDE △中，由勾股定理可得2222221524CE CD DE a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 同理可得：2222221152416EF AE AF a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222325416CF BF BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭． ∵222EF CE CF +=∴CEF △为直角三角形 ∴90CEF ∠=︒ ∴CE EF ⊥．8.（1）S △ABC =3×3﹣12×1×2﹣12×2×3﹣12×1×3=72； （2）如图所示：∵DE EF DF ，∴DE 2+EF 2=DF 2，∴△DEF 是直角三角形． △DEF 的面积=111231122132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．9. [问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．10.问题原型：如图1中，，，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．初步探究：△BCD的面积为12a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD12=a2；简单应用：如图3中，过点A 作AF ⊥BC 与F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ， ∴∠AFB =∠E =90°，BF 12=BC 12=a ，∴∠FAB +∠ABF =90°． ∵∠ABD =90°，∴∠ABF +∠DBE =90°，∴∠FAB =∠EBD ．∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的，∴AB =BD ．在△AFB 和△BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB ≌△BED (AAS)，∴BF =DE 12=a ． ∵S △BCD 12=BC •DE ，∴S △BCD 12=•12a •a 14=a 2，∴△BCD 的面积为14a 2． 11.解：（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ．在△ACE 和△ABD 中，AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ACE ≌△ABD （SAS ）； ∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC ∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ACE 和△ABD 中AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△ABD （SAS ）∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°； ②∵BC ＝3，CD ＝6，∴BD ＝9，∵△ACE ≌△ABD ，∴CE ＝BD ＝9，在Rt △ECD 中，222DE =CD +CE =117，在Rt △ADE 中，∵AD=AE ∴222AD +AE =DE =117，22117AD =AE =2， ∴△ADE 的面积＝2111117117AE AD=AD ==22224⋅⨯；故答案为：1174.12.解：（1）在△ABC 中，∠C=90°中，BC ＝4，AB ＝5 ∴AC=3（2）在Rt △DOA 中，∠DOA ＝900，∴OD 2+OA 2＝AD 2 同理：OD 2+OC 2＝CD 2 OB 2+OC 2＝BC 2 OA 2+OB 2＝AB 2∵AB 2+ CD 2＝OA 2+OB 2+ OD 2+OC 2 AD 2+ BC 2＝OD 2+OA 2+ OB 2+OC 2 ∴AB 2+ CD 2＝AD 2+ BC 2（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG 和△EBC 中 AB BE ABG EBC BC BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△EBC （SAS ） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4∴∠5＝∠AIJ ＝900 ∴AG ⊥CB 连接CG 、AE ，由（2）可知 AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 在Rt △CBG 中，CG 2＝BC 2+BG 2 CG 2＝42+42＝32在Rt △ABE 中，AE 2＝BE 2+AB 2 AE 2＝52+52＝50在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2 52＝AC 2+42 AC 2＝9∴AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 9+ GE 2＝32+50 GE 2＝73。
3.2勾股定理的逆定理
3.2勾股定理的逆定理教学目标(1) 会阐述直角三角形的判定条件.(2) 会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形（3）经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合力的推理能力，体会“形”与“数”的内在联系教学重点：会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.教学难点：会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形．教学过程动手画一画下面的三组数分别是一个三角形的三边长a ，b ，c ：（1）5，12，13； （2） 7，24，25； （3） 8，15，17。
（1）这三组数都满足222c b a =+（2）它们都是直角三角形吗？我们知道直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC 中，222c b a =+，△ABC 是否为直角三角形？勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+那么这个三角形是直角三角形。
且边C 年所对的角为直角.例1 判断由a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：(1) a ＝15 , b ＝8 , c ＝17 (2) a ＝13 , b ＝15 , c ＝14aba b C A下面以a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15(3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角。
工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？练一练A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等边三角形2.已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC＝4，CD ＝12，AD ＝13,求四边形ABCD 的面积?A B B) (,2)(.122则此三角形是满足条件、、三角形三边长ab c b a c b a =-+A B CD吗?说明理由△ABC是直角三角形 n是正整数)，m,n,>(m 且c,b,a, 分别为△ABC三角形的三边 3、已知 n m =c 2mn,=b ,n -m =a 2222+教学反思：一个教师写一辈子教案，不一定能够成为名师，但是如果坚持不懈的写三年教学反思，一定会成为名师。
2019年秋苏科版数学八年级上册同步分层课时作业(二十四) [3.2 勾股定理的逆定理]
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课时作业(二十四) [3.2 勾股定理的逆定理]一、选择题1．2018·睢宁期中 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是( )A ．3，4，5B ．4，5，6 C.34，54，1D ．9，12，152．下列各组数中，不是勾股数的是( ) A ．1.5，2，2.5 B ．7，24，25 C ．6，10，8D ．9，40，413．2018·靖江期末 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列说法错误的是( )A ．若∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．若c2＝b2－a2，则△ABC 是直角三角形C ．若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则△ABC 是直角三角形D ．若a2＋b2≠c2，则△ABC 不是直角三角形4．2018·黔南州一模 如图K －24－1，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，则CD 的长为( )图K －24－1A ．3B ．4C ．4.8D ．5二、填空题5．已知两条线段的长为5，3，当第三条线段长的平方是____________时，这三条线段可以构成直角三角形．6．如图K －24－2所示，以△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，正方形的面积分别记为S 1，S 2，S 3.如果S 1＋S 2＝S 3，那么△ABC 是________三角形．图K－24－27．若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最大边上的高为________．8．2018·东湖区期中改编如图K－24－3，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，I 为△ABC的三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为________．K－24－39．2018·东海县校级期中如图K－24－4，在边长为1的小正方形组成的网格图中有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成直角三角形的三条线段是__________________．K－24－410．2018·罗山县期中如图K－24－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，当t＝________时△ABP为直角三角形．图K－24－5三、解答题11．如图K－24－6，在△ABC中，D是AB上一点，且AC＝20，BC＝15，DB＝9，CD＝12.求△ABC的面积.图K－24－612．2017·徐州期末如图K－24－7，方格纸中每个小正方形的边长均为1 cm，△ABC 为格点三角形(点A，B，C均在正方形的顶点上)．(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC的形状，并说明理由．图K－24－713．2018·丹东期末我市鸭绿江边的景观区内有一块四边形空地，如图K－24－8所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．(1)请你帮助管理人员计算出这个四边形的对角线AC的长度；(2)请用你学过的知识帮助管理人员计算出这块四边形空地的面积．图K－24－814．2018·兴化期中如图K－24－9，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，AF＝3，AE＝4，EF＝5.(1)求边BC的长；(2)求∠EAF和∠BAC的度数．图K－24－915．如图K－24－10，P是等边三角形ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10.若P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC.求PP′的长度及∠APB的度数．图K－24－10存在性问题探究2018·定县期末张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，并证明你的猜想；(3)观察下列式子：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412，分析其中的规律，写出第五组式子：______________．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B A 项，∵32＋42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A 选项错误；B 项，∵42＋52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故B 选项正确；C 项，∵(34)2＋12＝(54)2，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项错误；D 项，∵92＋122＝152，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项错误．故选D.2．[解析] A A 项，1.5，2.5不是正整数，所以不是勾股数；B 项，72＋242＝252，且7，24，25都是正整数，所以是勾股数；C 项，62＋82＝102，且6，8，10都是正整数，所以是勾股数；D 项，92＋402＝412，且9，40，41都是正整数，所以是勾股数．故选A.3．[解析] D A 项，∠C －∠B ＝∠A ，即∠A ＋∠B ＝∠C.又∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形，∴该说法正确；B 项，c 2＝b 2－a 2，即a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形且∠B ＝90.∴该说法正确； C 项，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．∴该说法正确；D 项，设a ＝3，b ＝5，c ＝4，32＋52≠42，但是32＋42＝52，则△ABC 可能是直角三角形，∴该说法错误．故选D.4．[解析] D ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，∴BC 2＋AC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形且∠ACB ＝90°. ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD. ∴∠CAD ＝∠ACD.∵∠CAD ＋∠B ＝∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD.∴CD ＝BD. ∴CD ＝12AB ＝5.故选D.5．[答案] 16或34[解析] 当第三条线段为直角边时，5为斜边长，根据勾股定理，得第三条线段的平方为16；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理，得第三条线段长的平方为34.6．[答案] 直角[解析] ∵S 1＋S 2＝S 3且S 1＝AB 2，S 2＝BC 2，S 3＝AC 2，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形．7．[答案] 4.8[解析] ∵三角形三边的长分别为6，8，10，62＋82＝100＝102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边．设最大边上的高是h ，则12×6×8＝12×10h ，解得h ＝4.8.8．[答案] 1[解析] ∵在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝3，AB ＝5，∴BC 2＋AC 2＝42＋32＝52＝AB 2. ∴△ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°.如图，过点I 分别向△ABC 的三边作垂线段ID ，IE ，IF. ∵I 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴IE ＝IF ＝ID.设IE ＝x.∵S △ABC ＝S △IAB ＋S △IAC ＋S △ICB ， ∴12×4×3＝12IF ×5＋12IE ×3＋12ID ×4. ∴5x ＋3x ＋4x ＝12，解得x ＝1. ∴点I 到边AB 的距离为1.9．[答案] AB ，EF ，GH[解析] 根据勾股定理，得AB 2＝22＋22＝8，CD 2＝42＋22＝20，EF 2＝12＋22＝5，GH 2＝32＋22＝13，所以8＋5＝13，即 AB 2＋EF 2＝GH 2.故其中能构成直角三角形的三条线段是AB ，EF ，GH.故答案为AB ，EF ，GH.10．[答案] 2或258[解析] 运动时间为t s ，则BD ＝2t cm. ∵∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ， ∴BC ＝4 cm.①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即2t ＝4，解得t ＝2；②当∠BAP 为直角时，BP ＝2t cm ，CP ＝(2t －4)cm ，AC ＝3 cm. 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(2t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(2t －4)2]＝(2t)2，解得t ＝258.综上，当t ＝2或258时，△ABP 为直角三角形．故答案为2或258.11．解：因为BC ＝15，DB ＝9，CD ＝12，所以DB 2＋CD 2＝BC 2.所以∠BDC ＝90°.所以∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，因为AC ＝20，CD ＝12，所以AD ＝16.所以AB ＝AD ＋DB ＝25.故△ABC 的面积＝12AB·CD ＝12×25×12＝150.12．解：(1)△ABC 的面积＝4×4－12×4×3－12×4×2－12×2×1＝5(cm 2)．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵AB 2＝22＋12＝5，AC 2＝42＋22＝20， BC 2＝42＋32＝25，且25＝5＋20，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 是直角三角形． 13．解：(1)如图，连接AC.在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝90°，AB ＝20米，BC ＝15米， ∴AC 2＝AB 2＋BC 2. ∴AC ＝25米．∴这个四边形的对角线AC 的长度为25米．(2)在△ADC 中，∵CD ＝7米，AD ＝24米，AC ＝25米， ∴AD 2＋CD 2＝242＋72＝252＝AC 2. ∴△ADC 为直角三角形，且∠ADC ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×15×20＋12×7×24＝234(米2)，即这块四边形空地的面积为234平方米． 14．解：(1)∵点E 在AB 的垂直平分线上，∴BE ＝AE ＝4.同理CF ＝AF ＝3. ∴BC ＝3＋4＋5＝12.(2)∵AF ＝3，AE ＝4，EF ＝5， ∴AE 2＋AF 2＝EF 2.∴由勾股定理的逆定理知∠EAF ＝90°. ∴∠AEF ＋∠AFE ＝90°. ∵AE ＝BE ，∴∠B ＝∠BAE. ∵∠B ＋∠BAE ＝∠AEF ， ∴∠B ＝12∠AEF.同理∠C ＝12∠AFE.∴∠B ＋∠C ＝12(∠AEF ＋∠AFE)＝45°.∴∠BAC ＝180°－45°＝135°. 15．解：∵△PAC ≌△P′AB ，∴PA ＝P′A ＝6，PC ＝P′B ＝10，∠PAC ＝∠P′AB.∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°. ∴△APP′为等边三角形．∴PP′＝PA ＝P′A ＝6，∠APP′＝60°. ∵PP′2＋PB 2＝62＋82＝102＝P′B 2， ∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°. ∴∠APB ＝90°＋60°＝150°. [素养提升]解：(1)n 2－1 2n n 2＋1(2)猜想：以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形． 证明：∵a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1，∴a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝n 4＋2n 2＋1＝(n 2＋1)2. 又∵c 2＝(n 2＋1)2，∴a 2＋b 2＝c 2.根据勾股定理的逆定理可知，以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形． (3)112＋602＝612。
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（4） 3k，4k，5k (k为正整数)； √
拓展延伸
1、设△ABC的3条边长分别是a、b、c，
且a=n2－1，b＝2n，c＝n2+1．问： △ABC是直角三角形吗？
2、若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断 △ABC的形状.
3.已知a，b，c为勾股数，请你填写
13
4
12
3
例3 如图，在△ABC中，D在BC线段上，
已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5， 求BC的长。
13 12 15 5
变：在△ABC中，D在BC直线上，
已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5， 求BC的长。
13 12 15 5
15 13 12 5
概念定义
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等 满足a2＋b2＝c2的一组正整数， 通常称为勾股数。
c
（2）以a，b两个数为直角边长，再画一个 Rt△A’B’C’，由勾股定理可知斜边长为____；
定理总结
勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a、b、c 满足a2＋b2＝c2 ，
那么这个三角形是直角三角形。
符号语言：
∵在△ABC 中，a2＋b2＝c2 ∴△ABC为直角三角形，且∠C是直角。 （勾股定理逆定理)
探索发现
已知a，b，c为勾股数， 请你填写下面的表格并探索其中的规律。
a3
6
9
12
…
3n
b4
8
12
16
… 4n
c5
101520Fra bibliotek… 5n
归纳总结
① 一组勾股数同时扩大相同正整数倍，
得到的一组新的数仍然是勾股数。
② 勾股数有无数多组。
例题练习
下列各组数是勾股数吗？
（1）4，6，8
×
（2）0.6, 0.8, 1 × （3）9，12，15 √
3.2 勾股定理的逆定理
探索新知
请用尺规画出边长分别是下列各组数的
三角形（单位：厘米）
① 3，4，3；
② 3， 4， 5；
③ 3，4，6；
④ 5，12，13．
判断一下上述你所画的三角形的形状。
① 3，4，3；
锐角三角形
③ 3，4，6；
② 3， 4， 5；
直角三角形
④ 5，12，13．
钝角三角形
直角三角形
下面的表格。
a 3 5 7 9 11 …
2n+1
b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋1)＋1
课堂小结
直角三角形
探索发现
三角形的三边之间满足怎样数量关系时， 此三角形是直角三角形？
② 3，4，5；
④ 5，12，13．
32＋42＝52
52＋122＝132
尝试验证 5
以3,4两个数为直角边长，再画一个 直角三角形，由勾股定理可知斜边长为____；
尝试验证
（1）△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2 。
例题练习
例1 下列各组线段中哪些可以组成直角三角形？ ① 4,5,7 × ② 3n，4n，5n (n为正整数)； √ ③ 0.3，0.4，0.5 √
④ 1 ，1 ，1 × 345
例2 已知某校有一块四边形空地ABCD，
如图，现计划在该空地上种草皮，经测量 ∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m， DA＝4m， 若每平方米草皮需100元，问需投入 多少元？