数学史个人课件yanhuan

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• 进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成的 “子群”。这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”， 也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。它的含义如 下：考虑由方程系数的 有限次加、减、乘、除运 算可能得到的一切表达式的集合。这个集合，现在 F = Q( 叫方程的“基本域”，并记a1 , a2 ,L, an ) 为 a1 , a2 , L , an ,Q为有理数域， 是 方程的系数，但伽罗瓦没有用“域”这个名称。伽 罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构 成的子群，这些置换保持方程的根以F的元素为系 数的全部代数关系不变。我们以四次方程为例来说 明这个重要的概念p210 ~p211
• 需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根 需要指出，保持根的代数关系不变， 的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。 的地位是对称的。因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。 伽罗瓦于是指出，方程的群（即伽罗瓦群） 伽罗瓦于是指出，方程的群（即伽罗瓦群）与它是否根式可 解存在着本质联系，对方程的群的认识， 解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可 解问题的关键。伽罗瓦证明， 解问题的关键。伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的 条件（即方程的群是可解群） 方程才是根式可解的， 条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也 就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。 就是他找到了方程根式可解的充分必要条件。 伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题， 伽罗瓦攻克的难题虽然是三百年前的老问题，但他的思想却 远远超出了他的时代。他的工作可以看成是近世代数的发端。 远远超出了他的时代。他的工作可以看成是近世代数的发端。 这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题， 这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重 要的是群概念的引进导致了代数学在对象、 要的是群概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的 深刻变革。 深刻变革。
Ba(八 Ba(八) 代数学的新生概况
曾艳欢 2008101107
1 ,代数方程的可解性与群的发现p208
• 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世 纪初，代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在 了五次和高于五次的代数方程上。 一、二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二 次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。 当拉格朗日宣称“不可能用根式解四次以上方程”后半个世纪，其猜测 终于在1824年由来自挪威的年青数学家阿贝尔完全证实。阿贝尔 阿贝尔在粉 阿贝尔 粹了人们对根式求解五次以上代数方程的奢望之后，并没有忘记给出一 些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。 在此过程中，阿贝尔已在实际上引进了“域”这一重要的近世代数思想。 然而数学家们并不满足，他们又开始追问：究竟什么样的特殊方程能够 用根式来求解？在其1829-1831年间完成的几篇论文中，一位同样年青 的法国数学家伽罗瓦对此做出了解答。 • •
• 在哈密顿建立四元数的同时，德国格拉斯曼也在试图对复数作出 推广，与哈密顿相比，格拉斯曼的推广更为大胆。他实际上涉及 的是n维向量空间。他的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复 数。p216格拉斯曼还讨论了超复数之间的混合积。在1855年的一 篇文章中，格拉斯曼对超复数给出了16种不同类型的乘积。他对 这些乘积作了几何解释，并给出了它们在力学、磁学和结晶学等 方面的应用。 将复数推广到超复数的一个重要动力原本来源于物理中力学计算 的需要。格拉斯曼的超复数在一定程度上满足了这种需要，但他 的工作在相当长的一段时间里被人忽视了。四元数倒是很快吸引 了人们的注意力，但它却不适合物理学家的需要。将四元数改造 成物理学家所需要的工具的第一步，是由英国数学物理学家麦克 斯韦迈出的。他将四元数结构区分为数量部分和向量部分，并在 此基础上创造了大量的向量分析，不过他还是没有把向量与四元 数完全分开，仍然经常把四元数作为基本的数学实体
• 有趣的是，魏尔斯特拉斯在1861年证明： 有有限个基元素的实系数或复系数线性 结合代数，如果要服从乘积定律和乘法 交换律，就只有实数代数和复数代数。 这才使人们了解到为什么寻求“三维复 数”的努力是徒劳的。
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19世纪中后叶，代数学还开拓了另一个完全不同的领域，即布尔代数。 早在17世纪，莱布尼兹就试图建立一种推理代数，通过演算完成一切正确的 推理过程。但是莱布尼兹并没有完成这项工作。莱布尼兹提出的逻辑数学化 的思想在两个世纪后才获得实质性进展。英国数学家布尔的逻辑代数即现今 所称的“布尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。 布尔的逻辑代数建立于“谓词量化”的基础上。传统的亚里士多德逻辑所讨 论的命题是一种具有“主-谓”形式的命题，在其三段论的各种基本形式中， 只有主词是被量化的。19世纪上半叶，一些逻辑学家在对逻辑形式做出新的 分析后，发现实际判断不但要考虑主词的量，而且也要考虑谓词的量。将谓 词量化的努力使人们想到可以用等式来处理命题，从而为布尔的逻辑代数作 了技术上的准备。 布尔的逻辑代数首先是作为一种类演算建立起来的，后来，布尔又对它作了 命题演算和概率演算的解释。类也就是我们现在所说的集合。布尔建立了类 的符号表示和运算定律，在他的系统中，大部分运算规律在形式上类似于普 通代数的规则，但有一条是逻辑代数所特有的。那就是：不在类x中的元素组 成的类(1 – x )与类x的乘积为零。这实际相当于x2 = x。需要注意的是，这 里涉及的不是普通的数值运算，故无由得出类x是空类0或全类1。因此，布尔 的系统并不像一般理解的那样是二值代数。 在布尔之后，一些逻辑学家和数学家又对他的逻辑演算作了改进和发展。其 中比较重要的如：杰文斯改进了相加的类必须不相交的限制；皮尔斯则区分 了命题和命题函数，并引入了两个变量的命题函数；在施罗德的三大卷《逻 辑代数讲义》（1890-1905）中，布尔代数更是发展到了顶峰。 1879年，德国数学家弗雷格开创了数理逻辑研究的另一种传统，即数学基 础传统。他的目标不是把数学应用于逻辑以实现逻辑规律和逻辑推理的数学 化，而是利用精密化的逻辑为数学建立一个可靠的基础
• 哈密顿的四元数形如 i j k，其中 为实数，i，j，k满 ， ， 足 i 2=j2=k2=-1 ij= -ji =k ,jk= -kj=i ,ki= -ik=j 两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘法那 样去做，例如，设 p=1+2i+3j+4k , q=4+3i+2j+k, 则 pq=(1+2i+3j+4k)( 4+3i+2j+k) =-12+6i+24j+12k qp=( 4+3i+2j+k) (1+2i+3j+4k) =-12+16i+4j+22k 可见 ，但哈密顿证明了四元数乘法具有“结合性”， 这是第一次使用这个术语。 四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的 数系。四元数本身虽然没有广泛的应用，但它对于代 数学的发展来说是革命性的。哈密顿的作法启示了数 学家们，他们从此可以更加自由地构造新的数系，通 过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理， 就为众多代数系的研究开辟了道路。在哈密顿之后， 各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来。
x2 x3
n−2
x3 x1
x4 x2
我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换， 即 。对于四次方程的情形，易知共有4！=24个可能的置换。这些 置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集 x + a x + a x +L+ a = 0 合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”。这是历史上最早的“群” 的定义，不过它只是针对一个具体的群（置换群）所作的定义，还 不是抽象群的一般定义。但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解 决方程根式可解性问题的。
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独立于四元数的三维向量代数和向量分析，是在19世纪80年代初由美国 数学物理学家吉布斯和英国数学物理学家亥维赛创立的。他们两人对这 个课题的发展结果，除了记法外本质上是一致的。根据他们提出的思想， 一个向量只是四元数的向量部分，但独立于任何四元数。因此，向量 是 =ai+bj+ck 其中i，j，k是分别沿 轴的单位向量，a,b,c是三个实数，称 ， ， 为向量的分量。两个向量的和仍是一个向量，它的分量就是相加的两个 向量相应分量的和。 向量的乘法有两种，一种是数量乘法，用“·”表示，也称为“点乘”， 在这种情形中，i，j，k满足 ， ， i·i= j·j= k·k=1 i·j= j·i= i·k=k·i= j·k= k·j=0 因此，把 a’i+b’j+c’k点乘就得到 · =aa’+bb’+cc’ 这个乘积不再是向量而是一个数量，称为数量积。所以。两个向量的数 量乘法与两个实数或复数或四元数的乘法都不同，它不满足封闭性。 向量的另一种乘法是向量积，用“×”表示，也称为“叉乘”，在这种 情形中，i，j，k满足 ， ， i×i= j×j= k×k=0 i×j=k j ×i=-k j×k=i k×j=- i k×i=j i×k=-j 因此，把和叉乘就得到 × = i +（ ）j +（ ）k 它也可写成行列式的形式 两个向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于和所决定的平面，且指 向通过较小的角度转到时右手螺旋所指的方向。
2 ,从四元素到超复数
• 四元数的发现是伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大 四元数的发现是伽罗瓦提出群的概念后， 世纪代数学最重大 的事件。四元数是推广平面复数系结构的产物。 的事件。四元数是推广平面复数系结构的产物。 当数学家们在19世纪初开始接受复数的几何表示之后，他们意识 到复数可以用来表示和研究平面上的向量。而且这种表示有一个 很大的优点，那就是，人们从此不必几何地作出向量运算，就能 通过代数的方法研究它们。然而事实却使数学家们很快发觉，他 们无法在三维情况下找到复数的一个类似物。 在寻找复数三维推广的数学家中，爱尔兰数学家哈密顿 爱尔兰数学家哈密顿1837年 爱尔兰数学家哈密顿 曾把复数处理成实数的有序数偶，并希望通过推广这种有序数偶 的思想，来达到自己的目的。15年的努力，发现自己所要找的新 数组应包含四个分量，而且必须放弃乘法的交换性。他命名为四 元数是将一个n 次方程 的 n个根 x1 , x2, L , xn 作为一个整体来考察，并研究它们之间的排 列或称“置换”。 我们以四次方程的四个根 x1 , x2, x3 , x4 为例，在包含这些 的任何表达 式中交换 和 就是一个置换，用 x1 x2 x3 x4 来表示。 另一个置换用