专攻全国卷18题(10题)

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第3讲大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件

22
∴ba＝ssiinn BA＝
3 3
＝2 3
6.
3
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解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
解证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos
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2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理，三角形面积公式)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；解：由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a. 结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝16＋2450－36＝18，所以 sin
C＝ 1－cos2C＝387，所以 S△ABC＝12absin C＝12×4×5×387＝154 7.
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(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由．
解：设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos
C＝
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 2ab
＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a
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三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1

2018年度全国卷Ⅰ语文高专业考试题(含内容规范标准答案)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试语文本试卷共22题，共150分，共10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。

诸子之学，兴起于先秦，当时一大批富有创见的思想家喷涌而出，蔚为思想史之奇观。

在狭义上，诸子之学与先秦时代相联系；在广义上，诸子之学则不限于先秦而绵延于此后中国思想发展的整个过程，这一过程至今仍没有终结。

诸子之学的内在品格是历史的承继性以及思想的创造性和突破性。

“新子学”，即新时代的诸子之学，也应有同样的品格。

这可以从“照着讲”和“接着讲”两个方面来理解。

一般而言，“照着讲”主要是从历史角度对以往经典作具体的实证性研究，诸如训诂、校勘、文献编纂，等等。

这方面的研究涉及对以往思想的回顾、反思，既应把握历史上的思想家实际说了些什么，也应总结其中具有创造性和生命力的内容，从而为今天的思考提供重要的思想资源。

与“照着讲”相关的是“接着讲”，从思想的发展与诸子之学的关联看，“接着讲”接近诸子之学所具有的思想突破性的内在品格，它意味着延续诸子注重思想创造的传统，以近代以来中西思想的互动为背景，“接着讲”无法回避中西思想之间的关系。

在中西之学已相遇的背景下，“接着讲”同时展开为中西之学的交融，从更深的层次看，这种交融具体展开为世界文化的建构与发展过程。

中国思想传统与西方思想传统都构成了世界文化的重要资源，而世界文化的发展，则以二者的互动为其重要前提。

2023新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第一讲集合常用逻辑用语不等式课件

则A∪B＝( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(－∞，2)
D．(0，＋∞)
答案： C 解析：因为B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，则A∪B＝{x|x<2}．
3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－
1|≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，2}
B．{1，2}
3．[2022·浙江卷]设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由sin x＝1，得cos x＝0，因此“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分条件，当cos x＝0时，x＝π2＋kπ(k∈Z)．当k为偶数时，sin x＝1；当k为奇数时，sin x＝－ 1，因此“sin x＝1”不是“cos x＝0”的必要条件．所以“sin x＝1”是“cos x＝0” 的充分不必要条件．故选A.
则A∩B＝{x|x<－1或1<x<2}∩{x|x>－2}＝{x|－2<x<－1或1<x<2}．
(2)[2022·山东济南二模]已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝
xy，x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：由题意，当x＝1时，z＝xy＝1，当x＝2，y＝2时，z＝xy＝4，当x＝2，y＝4时，z＝xy＝16，即C中有三个元素．
保分题 1.[2022·山东肥城模拟]命题p：有的等差数列是等比数列，则( ) A．¬p：有的等差数列不是等比数列 B．¬p：有的等比数列是等差数列 C．¬p：所有的等差数列都是等比数列 D．¬p：所有的等差数列都不是等比数列

高考英语语法专攻-《代词》-考点归纳+针对性练习

高中英语语法专攻-《代词》【考点1-人称&物主&反身代词】注意:①形容词性物主代词通常用作定语,修饰名词,如:her father她的父亲。

②“of(介词)+名词性物主代词(或名词所有格)”构成双重所有格,如:a friend of mine 我的一个朋友。

【考点2-“it”用法】1.指代时间、距离、自然现象等。

如:It is half past two now.现在两点半。

(指时间)It is 6 miles to the nearest hospital.离最近的医院有六英里。

(指距离)It is very cold in the room.房间很冷。

(指温度)2.指代前面所提到过的事物、群体、想法、性别不明或性别被认为不重要的人或动物、未指明但谈话双方都明白的事情或情况。

如:These local citizens now have to balance their traditional self-supporting hunting lifestyle with the lifestyle offered by the modern French Republic,which brings with it not only necessary state welfare,but also alcoholism,betrayal and even suicide.现在这些当地居民必须使他们传统的自足自给的狩猎生活方式与现代法兰西共和国生活方式保持平衡,因为,随之而来的不仅有必要的社会福利,还有酗酒、背叛甚至是自杀。

(it指前面所提到的情况)—Who’s that at the door?—It is the milkman.——门口那人是谁?——是送奶工。

(it指代性别不明或性别被认为不重要的人)—I’ve broken a plate.我打碎了一个盘子。

—It(=Breaking the plate) doesn’t matter.没关系。

数学说题—2018全国卷III理科数学第18题

原题再现
18.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
第一种生产方式
六说
近三年考点的分布备考启示通过近三年的高考题发现，统计类的题目出现的频
率还是很高的，在第一问中，经常以频率分布直方 Ⅰ卷理 Ⅰ卷文 Ⅱ卷理 Ⅱ卷文 Ⅲ卷理 Ⅲ卷文
2018年
2017年
2016年
图、柱状图、茎叶图、频数分布表、频率分布表来 20.独立 18.频率 18.折线 18.折线 18.茎叶 18.茎叶呈现样本的数据，数据表示方式不唯一，而第二问事件，正分布直方图图图，独立图，独立多以概率、独立性检验、线性规划，求中位数，平态分布图性检验性检验均数等计算类的题目，出考频率比较高并且难度系 19.正态 19.相关 18.频率 19.频率频数分布频率分布 18（理 19）题位置，分值 12分。分布.数中等偏下，处于文系数；均分布分布分布直方表；期望表；古典试题的难度每一年不会有太大的变化。但是不是阅值与标准，独立性图；独立分布表概型值；检验，性检验读量大，就是计算量大，这需要我们培养学生战胜柱状图； 19.柱状 18.概率 18.频数 18.折线 18.折线困难的信心，树立锲而不舍的精神。
四说
Байду номын сангаас方法与规律
独立性检验技法点拨
一：独立性检验是判断两个变量之间是否有关系的一种方法。二、独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成2×2列联表；（2）套用公式求出 K 2 的值；（3）比较 K 2 和临界值的大小关系作出推断。三、常见的几种不同问法：（1）请问有多大的把握认为两者之间有关系？（2）能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？（3）能否在犯错概率的概率不超过0.01的前提下认为两者有关系？

2024届高三化学新高考大二轮课堂配套课件专题五选择题专攻 2-催化机理循环图

1234
增加HCl浓度，平衡正向移动，但平衡时产物Ⅱ和产物Ⅰ的比例可能降低，故C错误；根据图中信息，选择相对较短的反应时间，及时分离可获得高产率的产物Ⅰ，故D正确。
1234
2.(2023·湖南，14)N2H4是一种强还原性的高能物质，在航天、能源等领域有广泛应用。我国科学家合成的某Ru(Ⅱ)催化剂(用[L-Ru—NH3]＋表示) 能高效电催化氧化NH3合成N2H4，其反应机理如图所示。下列说法错误的是 A.Ru(Ⅱ)被氧化至Ru(Ⅲ)后，配
√C.该历程涉及非极性键的断裂和形成
D.该历程总反应的原子利用率为100%
1234
由图可知，反应中物质Ⅰ消耗又生成，为反应的催化剂，A正确； Ⅱ→Ⅲ 为去氢生成碳氧双键的反应，反应类型为氧化反应，B正确；该历程只涉及氢分子中氢氢非极性键的生成，不涉及非极性键的断裂， C错误；反应目的是将乙醇催化转化为乙酸和氢气，该历程总反应为C2H5OH＋H2O =L=n=R==u=H= CH3COOH＋2H2↑，反应中原子全部转化到期望产品中，故原子利用率为100%，D正确。
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3.(2020·全国卷Ⅰ，10)铑的配合物离子[Rh(CO)2I2]－可催化甲醇羰基化，反应过程如图所示。下列叙述错误的是 A.CH3COI是反应中间体 B.甲醇羰基化反应为CH3OH
＋CO===CH3CO2H
√C.反应过程中Rh的成键数目保持不变
D.存在反应CH3OH＋HI===CH3I＋H2O
1234
反应中，CH2===CH2最终被O2氧化为CH3CHO，则乙烯催化氧化反应的化学方程式为2CH2===CH2＋O2―催―化――剂→2CH3CHO，故D错误。
1234

2018年高考真题全国卷分类汇编(含答案)

2018年高考真题全国卷分类汇编（含答案）集合1.（全国1理）已知集合，则=A C R（）A ．B ．C ．D ．解答：或，则.选B2．（全国1文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I （） A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，，解答：，选A.3．（全国2理）已知集合，则中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4解答：，，，，，，当时，，，；当时，，，；当时，，，；所以共有9个，选A ．4.（全国2文）已知集合，，则（） A ．B ．C ．D ．解答：，，，选C ．5．（全国3理）已知集合，，则（） A ． B ．C ．D ．解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =I .选C. 6．（全国3文）已知集合，，则（） A ． B ． C ． D ．解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =I .选C.复数1．（全国1文理）设，则（） A ． B ． C ． D解答：，∴，∴选C. 2．（全国2理）（） A ． B ．C ．D ．解答：，选D ．{}220A x x x =-->{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->U }{}{|1|2x x x x ≤-≥U {|2A x x =>1}x <-{|12}R C A x x =-≤≤{0,2}A B ⋂=(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，A 223x y +≤Q 23x ∴≤x ∈Z Q 1x ∴=-011x =-1y =-010x =1y =-011x =-1y =-01{}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B =I {}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7{}1,3,5,7A =Q {}2,3,4,5B ={}3,5A B ∴=I {}|10A x x =-≥{}012B =，，A B =I {}0{}1{}12，{}012，，{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B =I {0}{1}{1,2}{0,1,2}1i2i 1i z -=++||z =0121121i z i i i-=+=+1z =12i12i +=-43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+()212i 12i 34i 12i 55++-+==-Q3．（全国2文）（）A ．B ．C ．D ．解答：，选D ．4．（全国3文理）（）A ．B ．C ．D ．解答：2(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D.平面向量1．（全国1文理）在中，为边上的中线，为的中点，则（）A ．B ．C ．D ．解答：.2．（全国2文理）已知向量，满足，，则（）A ．4B ．3C ．2D ．0 解答：因为，所以选B ．3．（全国3文理）已知向量，，．若，则________．解答：2(4,2)a b +=r r ，∵//(2)c a b +r r r ，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.函数1．（全国1理）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）解答：∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：要使得与有两个交点，则有即，∴选C.2．（全国1文）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，解答：取，则化为，满足，排除；取，则化为，满足，排除，选.()i 23i +=32i -32i +32i --32i -+()2i 23i 2i 3i 32i +=+=-+()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +ABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u u r u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r 11131()22244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()()g x f x x a =++2()y f x =y x a =--)(x f y x a =--)(x f 1a -≤1a ≥-12x =-1()(1)2f f <-,A B 1x =-(0)(2)f f <-C D3．（全国1文）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．解答：可得，∴，.4．（全国2文理）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A ．B ．0C ．2D ．50解答：因为是定义域为的奇函数，且，所以，，，因此，，，，从而，选C ．5．（全国3理）设，，则（）A ．B ．C ．D ．解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b=， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab+<<，又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，选B.6．（全国3文）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（） A ． B ． C ． D ．解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.选B.7．（全国3文）已知函数，，则________．解答：())ln1()f x x x R -=+∈，()())1)1f x f x x x +-=+++22ln(1)22x x =+-+=， ∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-.导数1．（全国1文理）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（） A ．B ．C ．D ．解答：∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.2．（全国2理）曲线在点处的切线方程为__________．解答：，，． 3．（全国2文）曲线在点处的切线方程为__________．解答：由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即．2log (9)1a +=92a +=7a =-()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-()f x (),-∞+∞()()11f x f x -=+()()11f x f x +=--()()()311f x f x f x ∴+=-+=-4T ∴=()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦L ()()()()3142f f f f =-=-Q ，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()22220f f f f =-=-∴=Q ()()()()()1235012f f f f f ++++==L 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ln y x =1x =ln(1)y x =-ln(2)y x =-ln(1)y x =+ln(2)y x =+())1f x x =+()4f a =()f a -=32()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =()f x ()()f x f x -=-1a =3()f x x x =+'(0)1f =y x =2ln(1)y x =+(0,0)21y x '=+Q 2201k ∴==+2y x ∴=2ln y x =(1,0)()2ln y f x x ==()2f x x'=2ln y x =()1,0()12k f ='=()021y x -=-22y x =-4．（全国2文理）函数的图像大致为（）解答：，，为奇函数，舍去A ，，舍去D ；，，，所以舍去C ；选B ．5．（全国3文理）函数的图像大致为（）解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为3424()(22y x x x x x '=-+=-+-，则()0f x '>的解集为(,)(0,)22-∞-U ，()f x单调递增区间为(,2-∞-，(0,)2；()0f x '<的解集为(()22-+∞U ，()f x单调递减区间为(,0)2-，)2+∞.结合图象，可知D 选项正确.6.（全国3理）曲线在点处的切线的斜率为，则________．解答：(1)x xy ae ax e =+，则(0)12f a '=+=-，所以3a =-.()2e e x xf x x --=0x ≠Q ()()2ee xxf x f x x ---==-()f x ∴()11e e 0f -=->Q ∴()()()()()243e e e e 22e 2e xx x x x xx xx x f x xx---+---++='=Q 2x ∴>()0f x '>422y x x =-++()1e xy ax =+()01，2-a =7．（全国1理）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．解答：（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增. ②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，即要证() 令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立. 8．（全国1文）已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．1()ln f x x a x x=-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--1()ln f x x a x x =-+221'()x ax f x x-+=-22a -≤≤0∆≤'()0f x ≤()f x (0,)+∞0∆>2a <-2a >210x ax -+=12x x ==2a <-'()f x (0,)+∞2a >0∆>()fx ()fx ()fx )+∞2a ≤()f x (0,)+∞2a >()fx)+∞()fx 210x ax -+=12,x x 2a >1212,1x x a x x +=⋅=120x x <<121x x =1211221211()()ln (ln )f x f x x a x x a x x x -=-+--+21122()(ln ln )x x a x x =-+-12121212()()ln ln 2f x f x x x a x x x x --=-+⋅--1212()()2f x f x a x x -<--1212ln ln 1x x x x -<-1122212ln 0(1)xx x x x x x -+<>-2221212ln 0x x x x x --+∴<-22212ln 0x x x --+>21x >1()2ln (1)g x x x x x=--+>()g x (1,)+∞()(1)0g x g >=1212ln ln 1x x x x -<-1212()()2f x f x a x x -<--解答：（1）定义域为，.∵是极值点，∴，∴.∵在上增，，∴在上增. 又在上减，∴在上增.又， ∴当时，，减；当时，，增.综上，，单调增区间为，单调减区间为.（2）∵，∴当时有，∴. 令，.，同（1）可证在上增，又，∴当时，，减；当时，，增. ∴，∴当时，.9．（全国2理）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．解答：（1）当时，等价于，设函数，则，当时，，所以在单调递减，而，故当时，，即．（2）设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．当时，，没有零点；当时，．当时，；当时，．在单调递减，在单调递增．故是在的最小值． ①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，()f x (0,)+∞1()xf x ae x '=-2x =()f x (2)0f '=2211022ae a e-=⇒=x e (0,)+∞0a >xae (0,)+∞1x(0,)+∞()f x '(0,)+∞(2)0f '=(0,2)x ∈()0f x '<()f x (2,)x ∈+∞()0f x '>()f x 212a e=(2,)+∞(0,2)0x e ≥1a e ≥11x x x ae e e e-≥⋅=1()ln 1ln 1x x f x ae x e x -=--≥--1()ln 1x g x e x -=--(0,)x ∈+∞11()x g x e x -'=-()g x '(0,)+∞111(1)01g e -'=-=(0,1)x ∈()0g x '<()g x (1,)x ∈+∞()0g x '>()g x 11min ()(1)ln111010g x g e -==--=--=1a e≥()()0f x g x ≥≥2()e x f x ax =-1a =0x ≥()1f x ≥()f x (0,)+∞a 1a =()1f x ≥()21e 10xx -+-≤()()21e 1x g x x -=+-()()()2221e 1e x xg'x x x x --=--+=--1x ≠()0g'x <()g x ()0,+∞()00g =0x ≥()0g x ≤()1f x ≥()21e xh x ax -=-()f x ()0,+∞()h x ()0,+∞0a ≤()0h x >()h x 0a >()()2e xh x ax x -'=-()0,2x ∈()0h'x <()2,x ∈+∞()0h'x >()h x ∴()0,2()2,+∞()2421e ah =-()h x [)0,+∞()20h >2e 4a <()h x ()0,+∞()20h =2e 4a =()h x ()0,+∞()20h <2e 4a >()01h =()h x ()0,2由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．10．（全国2文）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．解答：（1）当时，，．令解得或当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则，仅当时，所以在单调递增，故至多有一个零点，从而至多有一个零点．又，，故有一个零点．综上，只有一个零点．11．（全国3理）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．解答：（1）若0a =时，()(2)ln(1)2(1)f x x x x x =++->-，∴1()ln(1)(2)21fx x x x '=+++-+1ln(1)11x x =++-+. 令1()ln(1)11h x x x =++-+， ∴2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++. ∴当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，当10x -<<时，()0h x '<，()h x 在(1,0)-上单调递减. ∴min ()(0)ln1110h x h ==+-=， ∴()0f x '≥恒成立，∴()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)2ln100f =-=，∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.0x >2e x x >()()()33324421616161411110e 2e a a a a a h a a a =-=->-=->()h x ()2,4a ()h x ()0,+∞()f x ()0,+∞2e 4a =()()32113f x x a x x =-++3a =()f x ()f x 3a =()3213333f x x x x --=-()263x x f x -'-=()0f x '=3x =-3x =+(3–,x -∈∞U ()3++∞()0f x '=(3x -∈+()0f x '<()f x (–,3∞-()3++∞(3-+210x x ++>()0f x =32301x a x x -=++()g x 3231x a x x -++()()()22222310x x x x x g x ++++'=≥0x =()0g x '=()g x ()–∞+∞，()g x ()f x ()22111631260366a a a f a ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭=<-()03131f a +=>()f x ()f x ()()()22ln 12f x x ax x x =+++-0a =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0x =()f x a（2）21()(21)ln(1)11ax f x ax x x +'=+++-+， 22212(1)1()2ln(1)01(1)ax ax x ax f x a x x x ++--''=+++≤++，222(1)ln(1)(21)(1)210a x x ax x ax ax +++++++-≤， 222(1)ln(1)340a x x ax ax x +++++≤， 22[2(1)ln(1)34]a x x x x x ++++≤-.设22()2(1)ln(1)34h x x x x x =++++，∴()4(1)ln(1)2(1)64h x x x x x '=++++++，(0)60h '=>，(0)0h =， ∴在0x =邻域内，0x >时，()0h x >，0x <时，()0h x <.0x >时，222(1)ln(1)34xa x x x x -≤++++，由洛必达法则得16a ≤-，0x <时，222(1)ln(1)34xa x x x x -≥++++，由洛必达法则得16a ≥-，综上所述，16a =-.12．（全国3文）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．解答：（1）由题意：()21xax x f x e +-=得222(21)(1)22()()x x x x ax e ax x e ax ax x f x e e +-+--+-+'==，∴2(0)21f '==，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；（2）证明：由题意：原不等式等价于：1210x e ax x +++-≥恒成立；令12()1x g x e ax x +=++-，∴1()21x g x e ax +'=++，1()2x g x e a +''=+，∵1a ≥，∴()0g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0x 使0()0g x '=，∴010210x e ax +++=，即01021x e ax +=--，且()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴0()()g x g x ≥.又01220000000()1(12)2(1)(2)x g x eax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，111()1ag e a -'-=-，∵1a ≥，∴11011a e e -≤-<-，∴01x a≤-，∴0()0g x ≥，得证.综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥.21()e xax x f x +-=()y f x =(0,1)-1a ≥()e 0f x +≥三角函数1.（全国1理）已知函数，则的最小值是_____________．解答：∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或.∴当，为函数的极小值点，即或,当∴，， ∴最小值为. 2．（全国1文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4解答：， ∴最小正周期为，最大值为.3．（全国1文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 2α=，则a b -=（）A ．15BCD ．1解答：由可得，化简可得；当时，可得，，即，此时；当时，仍有此结果. 4．（全国1文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．解答：根据正弦定理有：，∴，∴.∵，∴，∴，∴.5．（全国2文理）在中，，，，则（） A ．BCD ．()2sin sin2f x x x =+()f x ()2sin sin 2f x x x =+()f x 2T π=2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-'()0f x =22cos cos 10x x +-=1cos 2x =cos 1x =-1cos 2=3x π=53x π=cos 1,x =-x π=5()3f π=()3f π=(0)(2)0f f π==()0f π=()f x 222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+π422cos22cos 13αα=-=222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++tan α=tan α=1a =2b =a =b =5a b -=tan 5α=-sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=2sin sin 4sin sin sin B C A B C =1sin 2A =2228b c a +-=2224cos 2b c a A bc bc +-===bc =1sin 2S bc A ==ABC △cos2C =1BC =5AC =AB =解答：，，A ．6．（全国2理）若在是减函数，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．解答：因为，所以由得，因此，，，，从而的最大值为，选A ．7．（全国2文）若在是减函数，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．解答：因为，所以由，得，，因此，，从而的最大值为，选C ．8．（全国2理）已知，，则__________．解答：，，，，，因此．9.（全国2文）已知，则__________．解答：，解方程得． 10．（全国3文理）若，则（）A ．B ．C ．D ．解答：227cos 212sin199αα=-=-=.选B.11．（全国3文理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（） 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-⎝⎭Q 22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫∴=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭c ∴=()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z ()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z []π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦π,4a a a ∴-<-≥-3π4a ≤π04a ∴<≤a π4()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭0224k x k π+π≤+≤π+π()k ∈Z 32244k x k ππ-+π≤≤+π()k ∈Z []30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦04a 3π∴<≤a 43πsin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=sin cos 1αβ+=Q cos sin 0αβ+=()()221sin cos 1αα∴-+-=1sin 2α∴=1cos 2β=()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-5π1tan()45α-=tan α=5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅3tan 2α=1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =解答：2222cos 1cos 442ABC a b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2ABC S ab C ∆=，故tan 1C =，∴4C π=.选C.12（全国3理）．函数在的零点个数为________．解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.13．（全国3文）函数的最小正周期为（）A ．B ．C ．D ．解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x x x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.选C. 14．（全国1理）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.解答：（1）在中，由正弦定理得：,∴, ∵,∴. （2）,∴，∴,∴,∴.∴. ()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，2tan ()1tan xf x x=+4π2ππ2πABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB∠DC =BC ABD ∆52sin 45sin ADB =∠o sin ADB ∠=90ADB ∠<o cos ADB ∠==2ADB BDC π∠+∠=cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅25=5BC =数列1．（全国1理）记为等差数列的前项和.若，，则（） A ． B ． C ． D ．解答：，∴. 2．（全国1理）记为数列的前项和.若，则_____________．解答：依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以.3．（全国1文）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．解答：依题意，，，∴，，. （1）∵，∴，即，所以为等比数列. （2）∵，∴. 4．（全国2文理）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．解答：（1）设的公差为，由题意得，由得．所以的通项公式为．（2）由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．5．（全国3文理）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2534a q a ==，∴2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101211111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-51424(3)10a a d =+=+⨯-=-n S {}n a n 21n n S a =+6S =1121,21,n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩12n n a a +={}n a 211121a S a ==+11a =-12n n a -=-661(12)6312S -⋅-==--21224a a =⨯⨯=321(23)122a a =⨯⨯=1111a b ==2222a b ==3343a b ==12(1)n n na n a +=+121n na a n n+=+12n n b b +={}n b 1112n n nn a b b q n--===12n n a n -=⋅n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a d 13315a d +=-17a =-2d ={}n a 29n a n =-228(4)16n S n n n =-=--∴4n =n S 16-{}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m（2）由（1）知，122112n nn S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+， ∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍），∴6m =.不等式1．(全国1文理）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.2．（全国2文理）若满足约束条件则的最大值为__________．解答：作可行域，则直线过点时取最大值9．3.（全国3文）若变量满足约束条件则的最大值是________．解答：由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故12333z =+⨯=.x y 220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩32z x y =+(2,0)max 32206z =⨯+⨯=,x y 25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，z x y =+z x y =+()5,4Az x y ，23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，13z x y =+立体几何1．（全国1文理）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．3D．2解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.2．（全国1理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.3．（全国1文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．B．12πC．D．10π解答：截面面积为，所以高，所以表面积为.4．（全国1文）在长方体1111ABCD A B C D-中，2AB BC==，1AC与平面11BB C C所成的角为30︒，则该长方体的体积为（）A．8B．C．D．解答：连接和，∵与平面所成角为，∴，∴，∴，∴，∴选C.MA N BM N17252,M N MN==α11AB D11AB DEFGHMN EFGHMN1622224S=⨯=8h=r=22212Sπππ=⋅⋅+=1AC1BC1AC11BB C C30o130AC B∠=o11tan30,ABBCBC==o1CC=22V=⨯⨯=5．（全国2理）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A ． BCD解答：以D 为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，异面直线与，故选C ．6．（全国2理）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．解答：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，，因为的面积为，设母线长为，所以，，因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为． 7．（全国2文）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）ABCD解答：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则．故选C ． 8．（全国2文）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．解答：如下图所示，，，又，解得，所以，，所以该圆锥的体积为．1111ABCD A B C D -1AB BC ==1AA 1AD 1DB 15DA DC 1DD xy z ()0,0,0D ()1,0,0A (1B (1D (1AD ∴=-uuu r (1DB =u u u r111111cos<,>AD DB AD DB AD DB ⋅===uuu r uuu r uu uuu ruuu r Q uuu r u r ∴1AD 1DB S SA SB 78SA SAB △SA SB 78SA SB SAB △l 212l ⨯=280l ∴=SA 45︒cos 4l π22rl l π==1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 1111ABCD A B C D -CD AB ∥AE CD EAB ∠2a E 1CC CE a =BE =tan BE EAB AB ∠==S SA SB SA 30︒SAB △830SAO ∠=︒90ASB ∠=︒211822SAB S SA SB SA =⋅==△4SA =122SO SA ==AO =2183V OA SO =⋅π⋅⋅=π9．（全国3文理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）解答：根据题意，A 选项符号题意. 10．（全国3文理）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．解答：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由ABC S ∆=，得6AB =，取BC 的中点H，∴sin 60AH AB =⋅︒=23AG AH ==O 到面ABC的距离为2d ==，∴三棱锥D ABC -体积最大值1(24)3D ABC V -=⨯+=11．（全国1理）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.解答：（1）分别为的中点，则，∴，又，，∴平面，平面，∴平面平面. （2），，∴，又，，∴平面，∴，A B C D ABC△D ABC-ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DPABFD ,E F ,AD BC //EF AB EF BF ⊥PF BF ⊥EF PF F ⋂=BF ⊥PEF BE ⊂ABFD PEF ⊥ABFD PF BF ⊥//BF ED PF ED ⊥PF PD ⊥ED DP D ⋂=PF ⊥PED PF PE ⊥设，则，，∴，过作交于点，由平面平面，∴平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，∴，而，∴， ∴与平面所成角的正弦值.12．（全国1文）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．解答：（1）证明：∵为平行四边形且,∴,又∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.（2）过点作,交于点，∵平面，∴,又∵,∴平面,∴,∴,∵,∴又∵为等腰直角三角形，∴，∴. 13．（全国2理）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．解答：（1）因为，为的中点，所以，且连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，，由知，由知平面．4AB =4EF =2PF =PE =P PH EF ⊥EF H PEF ⊥ABFD PH ⊥ABFD DH PDH ∠DP ABFD PE PF EF PH ⋅=⋅PH ==4PD =sin 4PH PDH PD ∠==DP ABFD 4ABCM 90ACM ∠=oAB AC ⊥AB DA ⊥AB ⊥ACD AB ⊂ABC ABC ⊥ACD Q QH AC ⊥AC H AB ⊥ACD AB CD ⊥CD AC ⊥CD ⊥ABC 13HQ AQ CD AD ==1HQ =BC BC AM AD ====BP =ABC ∆1332ABP S ∆=⋅⋅=1131133Q ABD ABDV S HQ -∆=⋅⋅=⨯⨯=P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC M PA C --30︒PC PAM 4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB AB BC AC ==ABC △OB AC ⊥122OB AC ==222OP OB PB +=PO OB ⊥,OP OB OP AC ⊥⊥PO ⊥ABC（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得，，，，，，取平面的法向量，设，则，设平面的法向量为．由，，得，可取，，由已知得，，解得（舍去），，，又，所以．所以与平面． 14．（全国2文）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．解答：（1）因为，为的中点，所以，且．因为，所以为等腰直角三角形，且，．由知，．由，知平面．（2）作，垂足为．又由（1）可得，所以平面．故的长为点到平面的距离．O OB uu u r x O xyz -()0,0,0O ()2,0,0B ()0,2,0A -()0,2,0C (P (AP =uu u rPAC ()2,0,0OB =uu u r ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =-rPAM (),,x y z =n 0AP ⋅=uu u r n 0AM ⋅=uuu rn ()2040y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,a a =--n 4cos ,a OB -∴<uu u r n cos ,OB <>=uu u r n =4a =-43a =43⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭n (0,2,PC =-u u u r Q cos ,PC <uu u r n PC PAM P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM 4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB 2AB BC AC ==ABC △OB AC ⊥122OB AC ==222OP OB PB +=OP OB ⊥OP OB ⊥OP AC ⊥PO ⊥ABC CH OM ⊥H OP CH ⊥CH ⊥POM CH C POM由题设可知，，．所以，．所以点到平面．15.（全国3理）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．解答：（1）∵正方形ABCD⊥半圆面CMD，∴AD⊥半圆面CMD，∴AD⊥平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴AD CM⊥，又∵M是半圆弧CD上异于,C D的点，∴CM MD⊥.又∵AD DM D=I，∴CM⊥平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM⊥平面ADM.（2）如图建立坐标系：∵ABCS∆面积恒定，∴MO CD⊥，M ABCV-最大.(0,0,1)M，(2,1,0)A-，(2,1,0)B，(0,1,0)C，(0,1,0)D-,设面MAB的法向量为111(,,)m x y z=u r，设面MCD的法向量为222(,,)n x y z=r，(2,1,1)MA=--u u u r，(2,1,1)MB=-，(0,1,1)MC=-，(0,1,1)MD=--，11111120(1,0,2)20x y zmx y z--=⎧⇒=⎨+-=⎩u r，同理(1,0,0)n=r，，∴cosθ==，∴ sinθ=.16．（全国3文）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．122OC AC==23BCCM==45ACB∠=︒OMsinCOC MC AMHCBO⋅⋅∠==C POMABCD»CD M »CD C DAMD⊥BMCM ABC-MAB MCDABCD»CD M»CDC DAMD⊥BMCAM P MC∥PBD解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD . ∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB .圆锥曲线1．（全国1理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（）A ．5B ．6C ．7D ．8解答：由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，∴，∴.2．（全国1理）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |=（）A ．B ．3C ．D ．4解答：渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴ 3．（全国1文）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A．13B ．12C ．2D．3解答：知，∴，，∴离心率. 4．（全国1文）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．解答：由，得圆心为，半径为，∴圆心到直线距离为∴23FM FN ⋅u u u u r u u u rMN 2(2)3y x =+1122(,),(,)M x y N x y 22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩1112x y =⎧⎨=⎩2244x y =⎧⎨=⎩(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u r u u u r 03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u r u u u r 2213x y -=OMN △322203x y -=y x =OMN ∆2ONM π∠=NM k =MN 2)y x =-32)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩3(,2N ON =3MON π∠=3MN =2c =2228a b c =+=a =2e =22230x y y ++-=(0,1)-2d ==AB ==5．（全国2文理）双曲线，则其渐近线方程为（）A ． B． C ． D ．解答：，，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A ．6．（全国2理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）A. B ． C ． D ．解答：因为为等腰三角形，，所以，由得，，，，由正弦定理得，，，，选D ．7．（全国2文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（） A ． B ．CD解答：在中，，，设，则，，又由椭圆定义可知则离心率，选D ．8．（全国3文理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．解答：由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B--，∴||AB ==22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++==点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.22221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y =c e a ==Q 2222221312b c a e a a-∴==-=-=b a ∴by x a=±y =1F 2F 22221(0)x y C a b a b +=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==AP 2tan PAF ∠2sin PAF ∴∠=2cos PAF ∠=2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭4a c ∴=14e =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12-112F PF △1290F PF ∠=︒2160PF F ∠=︒2PF m =1222c F F m ==1PF =)1221a PF PF m =+=212c c e a a====20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣9．（全国3理）设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）AB．2CD解答：∵2||PF b=，2||OF c=，∴ ||PO a=；又因为1|||PF OP=，所以1||PF=uu u r；在2RtPOF∆中，22||cos||PF bOF cθ==；∵在12Rt PF F∆中，2222121212||||||cos2||||PF FF PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，222222224644633bb c a b c a c ac=⇒+-=⇒-=-223c a⇒=e⇒=.10．（全国3理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．解答：依题意得，抛物线C的焦点为(1,0)F，故可设直线:(1)AB y k x=-，联立2(1),4,y k xy x=-⎧⎨=⎩消去y得2222(24)0k x k x k-++=，设11(,)A x y，22(,)B x y，则212224kx xk++=，121x x=，∴12124()2y y k x x kk+=+-=，2121212[()1]4y y k x x x x=-++=-.又11(1,1)MA x y=+-u u u r，22(1,1)MB x y=+-u u u r，∴1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y⋅=+++--u u u r u u u r12121212()1()1x x x x y y y y=++++-++2224411410kk k+=++--+=，∴2k=.11．（全国3文）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（）A B．C．D．解答：由题意cea==1ba=，故渐近线方程为0x y±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d==.故选D.12．（全国1理）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.解答：（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴12F F，22221x yCa b-=：00a b>>，O2F C P1PF=C()11M-，24C y x=：C k CA B90AMB=︒∠k=22221(00)x yC a ba b-=>>：，(4,0)C2222:12xC y+=F F l C,A BM(2,0)l x AMO OMA OMB∠=∠1x=2112y+=2y=±，∴，∴直线的方程为：.（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有即，∴，，，∴，∴.13．（全国1文）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解答：（1）当与轴垂直时，的方程为，代入，∴或，∴的方程为：或.（2）设的方程为，设，联立方程，得，∴，，∴ ，∴，∴.14．（全国2文理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．解答：（1）由题意得，的方程为，设，，由，得，，故，所以，由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．(1,2A±2AM k =±AM 2)2y x =±-l l (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y 22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k +-+-=2122421k x x k +=+21222221k x x k -=+1212121212[(23()4]22(2)(2)AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=+=----2222124412(4)21210(2)(2)k k k k k x x --+++==--AM BM k k =-OMA OMB ∠=∠l x l 2x =22y x =(2,2),(2,2)M N -(2,2),(2,2)M N -BM 220,y x ++=220y x --=MN 2x my =+1122(,),(,)M x y N x y 222x my y x =+⎧⎨=⎩2240y my --=12122,4y y m y y +==-11222,2x my x my =+=+121212122244BM BN y y y y k k x x my my +=+=+++++12121224()0(4)(4)my y y y my my ++==++BM BN k k =-ABM ABN ∠=∠24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C ()1,0F l ()()10y k x k =->()11,A x y ()22,B x y ()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩()2222240k x k x k -++=216160k ∆=+>122224k x k x ++=()()122244||||||11k AB A x F BF k x +=+=+++=22448k k +=1k =-1k =l 1y x =-（2）由（1）得AB 的中点坐标为，所以AB 的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，则，解得或，因此所求圆的方程为或．15.（全国3理）知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．解答：（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=，则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>，得2243k t +>…①，且1228234kt x x k -+==+，121226()2234ty y k x x t m k+=++==+， ∵0m >，∴ 0t >且0k <.且2344k t k+=-…②.由①②得2222(34)4316k k k ++>，∴12k >或12k <-. ∵0k <，∴ 12k <-.（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r , ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.由于P 在椭圆上，∴ 214143m +=，∴34m =，3(1,)2M -，又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得1212121234y y x x x x y y -+=-⋅-+，又122x x +=，1232y y +=，∴1k =-，直线l 方程为3(1)4y x -=--，()3,2()23y x -=--5y x =-+()00,x y 00220005,(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩0032x y =⎧⎨=⎩00116x y =⎧⎨=-⎩()()223216x y -+-=()()22116144x y -++=k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r FA u u u r FP u u u rFB u u u r。

2020高考化学盖斯定律焓变的计算专攻试题(10页)

2020高考化学盖斯定律焓变的计算专攻试题【专题训练】1．化学反应的焓变既可以通过实验测定，也可以根据理论计算。

(1)一氧化碳还原氧化铁是工业炼铁的原理。

已知：①FeO(s)+3CO(g)===2Fe(s)+3CO(g)A H=-26.kj・mol-i2321②3FeO(s)+CO(g)===2FeO(s)+CO(g)A H=—50.8kJ•mol-i233422③FeO(s)+CO(g)===3FeO(s)+CO(g)A H=—36.5kJ•mol-i3423试写出CO气体还原固态FeO生成固态Fe和CO气体的热化学方程式:2(结果保留一位小数)。

⑵请根据表中的数据计算A H和A H。

i2CO(g)+4H(g)===CH(g)+2HO(g)的AH=kJ・mol-i；CH(g)+2242i4HO(l)===3H(g)+CO(g)的A H=kJ・mol-i。

222答案(i)FeO(s)+CO(g)===Fe(s)+CO(g)A H=+7.3kJ・mol-i2(2)-i70+250.i解析⑴根据盖斯定律，由(①X3—②一③X2)xj得FeO(s)+CO(g)===Fe(s)+CO(g)A H=(A H X3-A H-A H X2)xg~+7・3kJmol-i。

2i236(2)A H=2E(C===O)+4E(H—H)-4E(C—H)-4E(H—O)=(2X799+4X436i-4X413-4X465)kJ・mol-i=-i70kJ・mol-i。

根据燃烧热写出如下热化学方程式：CH(g)+20(g)===CO(g)+2H0⑴A H=-890・3kJ・mol-】；42223H(g)+^0(g)===H0(l)A H=-285.8kJ•mol-i；22224C0(g)+R(g)===C0(g)A H=-283・0kJ・mol-i。

2225故A H=A H-3A H-A H=(-890.3+3X285.8+283・0)kJ・mol-i=+2345250.1kJ•mol-i。

第3讲大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 2023高考数学二轮复习课件

当t∈(2，3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，
当t∈(3，4)时，u′＜0，u＝4t3－t4单调递减，
所以当
t＝3
时，u
取得最大值，则
S
也取得最大值，最大值为3 4
3.
目录
圆锥曲线中的范围问题
【例2】已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P 的横坐标为2，且|PF|＝2. (1)求抛物线E的标准方程；解法一：依题意得 F0，2p，设 P(2，y0)，则 y0＝2－p2，因为点 P 是抛物线 E 上一点，所以 4＝2p2－2p，即 p2－4p＋4＝0，解得 p＝2.所以抛物线 E 的标准方程为 x2＝4y. 法二：依题意，设 P(2，y0)，代入抛物线 E 的方程 x2＝2py 可得 y0＝2p，由抛物线的定义可得|PF|＝y0＋p2，即 2＝2p＋p2，解得 p＝2.所以抛物线 E 的标准方程为 x2＝4y.
4 1＋k2· k2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x42，所以y′＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为
x1 2
，在
点A处的切线方程为y－x421＝x21(x－x1)，即y＝x21x－x421，
目录
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－x422，
联立得yy＝＝xx2212xx－－xx442212，，则xy＝＝xx114x＋22＝x2－＝b2，k，即P(2k，－b)．
＋ 2，圆心O(0，0)到MN的距离d＝ m22＋1＝1⇒m2＝1.
联立xx＝ 2＋m3yy＋2＝32，⇒(m2＋3)y2＋2 2my－1＝0⇒4y2＋2 2my－1＝0，
|MN|＝
1＋m2·
8m2＋16＝ 4

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量

第二讲复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保分题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提分题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保分题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提分题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确；对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0，即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确；各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确；各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确．答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ，又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ，所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14，则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

专题四选择题专攻2.新型燃料电池-2025届高考化学二轮复习课件

√B.碳棒a附近酸性增强
C.碳棒b存在电极反应：S－6e－＋ 4H2O=== SO24－＋8H＋
D.工作一段时间后，电池效率降低
123
光合菌产生的 O2 得电子结合 H ＋生成H2O，碳棒a为正极，FeSx在硫氧化菌的作用下被氧化为S，S 在硫氧化菌的作用下被氧化为硫酸根离子，碳棒b为负极，正极的电势高于负极，A正确； a为正极，电极反应为O2＋4e－＋4H＋===2H2O，酸性减弱，B错误；
√C.消耗等质量燃料，(CH3)2NNH2-O2燃料电池的理论放电量最大
D.消耗1 mol O2时，理论上N2H4-O2燃料电池气体产物的体积在标准状况下为11.2 L
12
放电过程为原电池工作原理，所以钾离子均向正极移动，A错误；碱性环境下， N2H4-O2 清洁燃料电池总反应为 N2H4 ＋ O2===N2 ＋ 2H2O，其总反应中未消耗KOH，所以KOH的物质的量不变，其他两种燃料电池根据总反应可知，KOH的物质的量均减小，B错误；理论放电量与燃料的物质的量和转移电子数有关，设消耗燃料的质量均为m g，则甲醇、N2H4和(CH3)2NNH2放电量(物质的量表达式)分别是 32 gm·mgol－1×6、32 gm·mgol－1×4、60 gm·mgol－1×16，通过比较可知 (CH3)2NNH2理论放电量最大，C正确；
活化能
√C.放电时正极区溶液的pH下降
D.负极反应式为N2H4－4e－===N2↑＋4H＋
123
由图可知，N2H4失去电子发生氧化反应为负极，反应为 N2H4－4e－===N2↑＋4H＋，铁离子得到电子发生还原反应生成亚铁离子，亚铁离子和氧气反应的离子方程式为 4Fe2＋＋4H＋＋O2===4Fe3＋＋2H2O，反应中氢离子向正极移动，交换膜M为质子交换膜，A、D正确；

专题07 大题专攻(四)(解决极值点偏移问题的四大技巧)(原卷版)—2022年高考数学二轮

专题07 大题专攻（四）（解决极值点偏移问题的四大技巧）目录题型一：构造对称和（或差）题型二：比值代换法题型三：消参减元题型四：对数平均不等式应用体验精选好题做一当十题型一：构造对称和（或差）1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））设函数()22ln 1f x x mx =-+．（1）当()f x 有极值时，若存在0x ，使得()01f x m >-成立，求实数m 的取值范围；（2）当1m =时，若在()f x 定义域内存在两实数12x x ，满足12x x <且()()12f x f x =，证明：122x x +>．2．（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数31()28ln 6f x x ax x =-+．（1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：124x x +>．3．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数()()23x f x e x =-，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）设方程()()0f x a a =<的两个根分别为1x ，2x ，求证：122x x +<.题型二：比值代换法1．（2021·全国·高三月考）已知函数()21ln ,2f x x x mx x m R =--∈（1）若()()g x f x '=，(()f x '为()f x 的导函数)，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：212x x e >2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x ax x =-有两个零点1x ，2x . （1）求a 的取值范围；（2）求证：212x x e >.3．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数()a xx x f e +=-（a ∈R ）.（1）若1a =，求函数()f x 在0x =处的切线；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：122x x +>.题型三：消参减元1．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数()2ln 1f x x x ax =-+．（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．（2）若函数()31y f x ax ax =-+-的两个零点为1x ，2x ，证明：212e x x >．2．（2021·浙江·模拟预测）已知函数()ln f x x =. （1）设函数()()ln tg x x t x=-∈R ，且()()g x f x ≤恒成立，求实数t 的取值范围；（2）求证：()12e e xf x x>-；（3）设函数()()1y f x ax a R x=--∈的两个零点1x 、2x ，求证：2122e x x >.3．（2021·全国·高二单元测试）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >.（1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>.应用体验精选好题做一当十1．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知函数(21)()(2)e ,()ln xa x f x a x g x x x+=+-=+（其中e 为自然对数的底数，a 为常数）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当函数()f x 有极大值，且极大值为a 时，若方程()g x m =（m 为常数）有两个不等实根12,x x 则122x x +>.2．（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，若在()f x 定义域内存在两实数1x ，2x 满足12x x <且()()12f x f x =，证明：122x x +>.3．（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数()sin e xxf x =，()0,x π∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：122x x π+>．4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二月考）已知定义在[)0,+∞上的函数()21cos 2f x x ax x =++．（1）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围；（2）若1a =-，()()120f x f x ==，12x x ≠，()0f x 为()f x 的极小值，求证：1202x x x +<．6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()21ln 12f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线0x y -=垂直，求函数()y f x =在(0,1]最大值；（2）当1a =时，设函数()f x 的两个零点为12,x x ，试证明：122x x +>．7．（2021·四川·川大附中高二期中）已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈. （1）若()f x 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设1,,a e m n e<+分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围.8．（2021·江苏·吴江中学高二月考）已知函数()()22ln ,0x f x x a R a a =-∈≠.（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且4a =，证明：124x x +>.。

第2讲大题专攻——空间中的平行、垂直与空间角问题 2023高考数学二轮复习课件

目录
二、真题感悟 1．(2022·全国甲卷)(证明线线垂直、求线面角)在四棱锥 P-ABCD
中，PD⊥底面 ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2， DP＝ 3. (1)证明：BD⊥PA；解：证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形．又BC＝OB＝1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD，又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA.
所以向量―AB→＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量．而―BE→·―AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.
目录
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明由(2)知平面 PAD 的一个法向量为―AB→＝(1，0，0)，向量―PD→＝(0，
目录
02
目录
利用向量证明平行与垂直
【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC；证明依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
向量―BE→＝(0，1，1)，―D→C ＝(2，0，0)，故―BE→·―D→C ＝0. 所以BE⊥DC.
目录
(2)BE∥平面PAD；证明因为 AB⊥AD ，又 PA⊥ 平面 ABCD ， AB ⊂ 平面 ABCD ，所以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，

2025年高考数学一轮复习-重难专攻(八)圆锥曲线中的最值(范围)问题【课件】

量表示该参数，建立函数关系，利用函数单调性求最值（范围）.
高中总复习·数学（提升版）
利用不等关系求最值（范围）
【例1】（2024·全国甲卷20题）已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线
C ： y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，｜ AB ｜＝4 15 .
（1）求 p ；
高中总复习·数学（提升版）
6
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
3.
（1）求椭圆 C 的方程；

6
＝，
3
解：设椭圆的半焦距为 c ，依题意知ቐ
＝ 3，
∴c＝
2
2 ， b ＝1，∴椭圆 C 的方程为＋ y 2＝1.
1 ＋2
4

所以 x 0＝
＝－ 2 ， y 0＝ kx 0＋ m ＝ 2 .
2
4 +1
4 +1
高中总复习·数学（提升版）
0 +1
+1+4 2
所以 kAP ＝
＝－
.
0
4
又｜ AM ｜＝｜ AN ｜，所以 AP ⊥ MN ，
+1+4 2
1
则－
＝－，即3 m ＝4 k 2＋1.
＝＋，
2＋1） x 2＋8 kmx ＋4（ m 2－1）＝0.
联立ቐ 2
得（4
k
＋ 2 = 1，
4
Δ＝（8 km ）2－16（4 k 2＋1）（ m 2－1）＞0，
所以 m 2＜1＋4 k 2. ①
−8
4（2 −1）
则 x 1＋ x 2＝ 2 ， x 1 x 2＝
.
2
4 +1

专题02 《直接开平方法解一元二次方程》重难点题型分类(原卷版)

专题02 《直接开平方法解一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《直接开平方法解一元二次方程》中“直接开平方法解一元二次方程的条件”、“解形如的方程”、“解形如的方程”、“已知方程的根求字母的值”、“已知方程的解求另一个方程的解”、“直接开平方法解新定义问题”、重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：直接开平方法解一元二次方程的条件方法点拨：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.1．（2021·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程()24x a -=有解，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．0a ³C ．0a >D ．0a <2．（2020·浙江绍兴·一模）一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c≤0D ．c≥03．（2020·全国·八年级课时练习）若方程（x ﹣1）2=m 有解，则m 的取值范围是（）A ．m ≤0B ．m ≥0C ．m ＜0D ．m ＞04．（2022·全国·九年级单元测试）关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________．5．（2020·江苏常州·九年级期中）若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)6．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．考点2：解形如的方程方法点拨：两边直接开平方，即可得到方程的两个解。

直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.1．（2022·全国·九年级单元测试）方程y 2＝-a 有实数根的条件是（）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数2．（2022·山西长治·九年级期末）一元二次方程240x -=的解为（）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝2，x 2＝﹣2C ．x 1＝x 2＝﹣2D ．x 1＝x 2＝43．（2022·江苏南京·九年级期末）方程x 2＝4的根为( )A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2D ．x 1，x 24．（2022·广西柳州·一模）一元二次方程24810x -=的解是________．5．（2022·江苏无锡·模拟预测）解方程：24250x -=6．（2022·江苏淮安·八年级期末）解方程：3216x =．7．（2022·新疆·塔城市教育局九年级期末）解下列方程：x 2-49=0；8．（2021·湖南·长沙市第二十一中学八年级期末）解方程29=0x -考点3：解形如的方程方法点拨：对于一元二次方程:①当p ＞0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当p ＝0时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当p ＜0时,一元二次方程没有实数根.1．（2022·全国·九年级单元测试）解方程(x －3)2＝4，最合适的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法2．（2022·广东广州·一模）方程()219x +=的解为（）A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-3．（2020·福建宁德·九年级期中）关于x 的一元二次方程2(1)2019x k -=-，下列说法正确的是（）A ．2017k =方程无实数解B ．2018k =方程有一个实数解C ．2019k =有两个相等的实数解D ．2020k =方程有两个不相等的实数解4．（2022·河南平顶山·九年级期末）方程()234-=x 的根为（）A ．125x x ==B ．15=x ，21x =C ．121x x ==D ．17x =，21x =-5．（2021·广东·梅州市学艺中学八年级期末）一元二次方程（x -1）2=4的根是______________.6．（2022·广东·模拟预测）方程23(21)0x --=的解是_______．7．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）方程（2x ﹣1）2＝25的解是 ___；8．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）已知（x 2+y 2+1）2﹣9＝0，则x 2+y 2＝______．9．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）解方程（组）：()2340x --=10．（2022·四川省德阳市第二中学校七年级期中）解方程()2133202x --=．11．（2022·山东菏泽·一模）阅读下面的文字，解答问题，例如：<，即23<<，整数部分是22；(1)试求：9的整数部分．(2)已知9n ，且()215x n +=，求的x 的值．考点4：已知方程的根求字母的值方法点拨：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。

2018年全国高考试题归类与解析

2018年全国高考试题归类与解析——经济全球化与对外开放1、（全国卷I）35.1990年以来，中国与东盟的贸易额年均增加率保持在20﹪左右。

2007年中国与东盟双边贸易额为2025.5亿美元，提前三年实现了2000亿美元的目标。

这表示①中国与东盟的友好合作关系获取迅速发展②中国与东盟的共同利益明显增加③东盟上升为中国最主要的贸易伙伴④东盟发展为世界政治力量的重要一极A ①②B ①③C ②③D ②④【解析】本题以我国与东盟双边贸易为背景察看了以外贸易及国家利益与对外政策的关系的相关知识，灵便运用了教材，经过审题，经过题中给了的资料其实不能够确定“③东盟上升为中国最主要的贸易伙伴”，并且该答案与事实不符，④中见解更不能够从资料中得出，资料可是中国与东盟双边贸易增加情况，其实不能够由此得出“东盟发展为世界政治力量的重要一极”的结论，因此本题选A2、（北京卷）25.美国爆发的金融危机经过多条路径对他国经济产生影响。

发生在美国的以下经济现象，会形成一条连结的路径，将危机传导到他国。

○1花销下降，花销资料进口减少○2失业增加，居民收入减少○3生产下降，生产资料进口减少○4融资困难，企业破产增加这条路径是A. ○1→○4→○3B. ○2→○1→○4C. ○4→○1→○2D. ○4→○2→○1【解析】本题的立意和角度很让人称道，估计金融危机的题大家做了很多，但是出的这样巧妙的题我们还是第一次见到。

实质上本题是在察看金融危机爆发的整个过程：先出现哪些现象，尔后出现哪些现象，最后以致了什么样的结果。

金融危机，顾名思义，第一必然是金融机构的信贷出现了问题，紧随以后的是企业的资本链断裂以致破产，那企业破产的直接结果是工人的失业，尔后是居民收入减少和花销水平的下降。

依照这样的因果关系我们选D。

3、（北京卷）26.截止到2008年终，中外国汇储备高达1.95万亿美元。

美国金融危机对中外国汇安全构成威胁，这种威胁可能来自于○1中国之间贸易额下降○2美国超额刊行钱币○3美国对中国投资减少○4美国国债价格下跌A. ○1○2B. ○1○3C. ○2○4D. ○3○4【解析】当美国金融危机爆发，对我们影响最大的就是我们主要以美元储备为主的外汇储备安全。

七年级下册第一单元01讲核心(原卷版)

¡例：杜甫晚年，疏懒得“一月不梳头”。闻先生也总是头发凌乱，他是无暇及此。（《说和做——记闻一多先生言行片段》）
该句运用了外貌描写的方法，请简要分析选文中外貌描写的作用。
答：该句运用了外貌描写的方法，交代了闻一多潜心治学的样子，表现了他醉心于学术研究，无心外表装束的专注精神。
语言描写，形象生动地表现出人物的……心理（心情），并反映了人物的……性格特征或……精神面貌，推动了情节的发展。
人物传记：人物传记是记录人物生平事迹的一种实用文。一般有两类，一类是记述自己的生平，一类是记述他人的生平。
二、说和做——记闻一多先生言行片段
重点字词
诗兴不作
作，起。写诗的兴致减少了
典____jí
记载古代法制的图书，泛指古代图书
仰之弥高
_______________________________
锲____而不舍
⑤1996年，在成功突破“两系法”后，袁隆平主动请缨立项“超级杂交稻”，4年后，他的稻种已经能在每亩土地上收获700公斤的粮食，轰动世界。2006年，在袁隆平提出超级稻后的第十年，联合国停止对华的粮食援助，标志着中国26年粮食受捐赠历史画上了句号。
⑥“失败那么多次，消耗那么多时间，究竟是什么支撑你？”记者问道。他说：“讲大道理的话，就是为人民服务。但我觉得还有一方面是我的好胜心，有一个内在的动力，我就是还想争取新的东西。”
值得歌颂，使人感动得流泪，指悲壮的事迹使人非常感动
妇___rú皆知
连妇女儿童都知道，形容知道的人非常多
引人注目
形容人或事物很具特色，能引起人们的注意
鲜_大功的人
鞠jū躬尽___cuì
指小心谨慎，贡献出全部精力
当之无愧kuì
没有什么可以惭愧的地方

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（模拟1）18．[2018·商丘期末]心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）答案见解析．【解析】（1）由表中数据得2K 的观测值()2250221288 5.556 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，····3分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．·········5分（2）由题可知X 可能取值为0，1，2，···········6分()15028P X ==，···········7分 ()1231287P X ===，···········8分 ()1228P X ==，···········9分故X的分布列为：·········10分···········12分（模拟2）18．[2018·济南期末]基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：()62117.5i i x x =-=∑，()()6135i i i x x y y =--=∑36.5≈．参考公式：相关系数nx x y y r --=；回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．【答案】（1）见解析；（2）ˆ29y x =+，23%；（3）见解析．【解析】（1）散点图如图所示：···········1分111316152021166y +++++==，∴()62176i i y y =-=∑，∴nx x y y r--=350.9636.5===≈，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2）()()()12131ˆ527.5ni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑，···········4分又1234563.56x +++++==，∴16ˆ59ˆ2 3.a y bx =-=-⨯=，···········5分∴回归直线方程为ˆ29y x =+．···········6分2018年2月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=，所以估计2018年2月的市场占有率为23%．···········7分（3）用频率估计概率，A 款单车的利润X 的分布列为：∴()5000.100.35000.410000.2350E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．···········9分B 款单车的利润Y 的分布列为：∴()3000.152000.47000.3512000.1400E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．······11分以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B 款车型．········12分（模拟3）18．[2018·孝感八校]中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为X ，若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为Y ，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子．（1）求随机变量X 的分布列；（2）若X ,Y 的数学期望分别记为()E X 、()E Y ，求()()E X E Y +．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X 的可取值为0，1，2，3，4···········1分 (2)···········3分 (4)·········5分···········6分故随机变量X 的分布列为:···········7分(2)随机变量X 服从超几何分布：()4428E x ⨯∴==，···········9分 ()1422E Y ∴=⨯=．···········11分()()224E X E Y ∴+=+=．···········12分（模拟4）18．[2018·中山期末]某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（3≤）项的概率．（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为921,1,1,,103，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率；②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）根据题意，学员（1），（2），(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，··········2分有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为63105=．··········4分（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为9231111035⨯⨯⨯⨯=；··········5分 ①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为421265625⎛⎫= ⎪⎝⎭，故学员能通过“科二”考试的概率为166091625625-=；··········7分 ②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，··········8分而()3232115055525P X ==+⨯=，故X 的分布列为；··········11分故()15045012672198E X =⨯⨯+=(元)．··········12分（模拟5）18．[2018·房山期末]某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望E X （）．【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，···········2分 ()0.30.01250.0050200.65++⨯=，∴获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=···········4分（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5，2．···········6分（3）X 的可能取值为0，1，2，则：···········7分()305237C C 20C 7P X ===；···········8分()215237C C 41C 7P X ===；···········9分()125237C C 12C 7P X ===；···········10分故X 的分布列为：∴()0127777E X =⨯+⨯+⨯=．··········12分（模拟6）18．[2018·河南二模]某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）13；（2【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=，设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则()11114343P A =⨯+⨯111233+⨯=，所以甲、乙两人付费相同的概率是13．·······5分（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18．·······6分()11164312P X ==⨯=，·······7分 ()11943P X ==⨯111436+⨯=，·······8分 ()11112432P X ==⨯+11113433⨯+⨯=，·······9分 ()11112432P X ==⨯+1134⨯=，·······10分 ()11118236P X ==⨯=．·······11分因此X 的分布列如下：所以X ·······12分（模拟7）18．[2018·晋中调研]某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布()170.516N ，，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.6162.5)，，第二组[)162.5167.5，，…，第六组[]182.5187.5，，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数；（3）从这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．（附：参考数据：若ξ服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P μσξμσ-<+=≤，(22)0.9544P μσξμσ-<+=≤，(33)0.9974P μσξμσ-<+=≤．）【答案】（1）1715cm ．；（2）10人；（3）1E ξ=．【解析】（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5cm ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·····3分（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.25010⨯=，即这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数为10人．········5分（3）∵(170.534170.534)0.9974P ξ-⨯<+⨯=≤，0.0013100000130⨯=，·····6分所以全省前130名的身高在182.5cm 以上（含182.5cm ），这50人中182.5cm 以上（含182.5cm ）的有5人．········7分随机变量ξ可取0，1，2，········8分()11552102551459C C P C ξ===，()252101022459C P C ξ====，····11分 ∴2520121999E ξ=⨯+⨯+⨯=．········12分（模拟8）18．[2018·长沙一中]2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程y bx a =+（b 保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X 的分布列及数学期望．ˆa y b x =-⋅，8116310i i i x y ==∑，82120400ii x ==∑．【答案】（1）线性回归方程为0.80y x =，当2500x =时，25000.802000y =⨯=．（2）()52E X =．【解析】（1）由已知有45x =，36y =，122116310845360.8204008454ˆ5ni ii nii x y n x ybxn x ==-⋅⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-⋅∑∑，···3分360.80450a =-⨯=，·····4分故变量y 关于变量x 的线性回归方程为0.8y x =，·····5分所以当2500x =时，25000.802000y =⨯=．·····6分（2）由题意可知X 的可能取值有1，2，3，4．·····7分()225348C C 32C 7P X ⋅===，()4548C 14C 14P X ===．····11分所以X 的分布列为()12341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．·····12分（模拟9）18．[2018·烟台期末]某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ．已知甲车间执行标准，乙车间执行标准B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．（1）已知甲车间的等级系数1X 的概率分布列如下表，若1X 的数学期望()164E X =．，求a ，b 的值；A（2）为了分析乙车间的等级系数2X，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数2X的概率分布列和均值；（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A的概率．【答案】（1）0.30.4ab==⎧⎨⎩；（2）分布列见解析，48.；（3）516P=．【解析】（1）()150********E X a b=⨯+++⨯=...，即6746a b+=.① (2)分又02011a b+++=..，即07a b+=.②·········3分联立①②得674607a ba b+==⎨⎩+⎧..，解得0304ab==⎧⎨⎩..．·········4分（2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数X2的分布列如下：·······7分()230340250260170180148E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.......，即乙车间的等级系数的均值为4.8．·········9分（3）3235115C2216P⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分（模拟10）18．[2018·长郡中学]某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．参考公式：1221ˆni i i ni i x y nxy bx nx==-∑=-∑，ˆˆa y bx =-，71364i ii x y ==∑．【答案】（1）ˆ23y x =+；（2）答案见解析．【解析】（1）依题意：()1123456747x =++++++=，·········1分 ()158810141517117y =++++++=，·········2分 721140ii x ==∑，71364i i i x y ==∑，7122717364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯∑===-⨯-∑，·········3分 11243ˆˆay bx =-=-⨯=，·········4分则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+．·········5分（2）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：·········6分()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618P X ==⨯+⨯⨯=，()1119002369P X ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=．·········11分所以，总金额X 的分布列如下表：总金额X 的数学期望为11511030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元．·········12分。