2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题及答案

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江西省抚州市临川第二中学2020-2021学年高三月考理综物理试题(上学期第一次)

江西省抚州市临川第二中学2020-2021学年高三月考理综物理试题（上学期第一次）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，把一块不带电的锌板用导线连接在验电器上，当用某频率的紫外线照射锌板时，发现验电器指针偏转一定角度，下列说法正确的是（）A ．验电器带正电，锌板带负电B ．验电器带负电，锌板也带负电C ．若改用红光照射锌板，验电器的指针一定也会偏转D ．若改用同等强度频率更高的紫外线照射锌板，验电器的指针也会偏转2．如图所示，一辆小车在牵引力作用下沿半径为R 的弧形路面匀速率上行，小车与路面间的阻力大小恒定，则上行过程中A ．小车处于平衡状态，所受合外力为零B ．小车受到的牵引力逐渐增大C ．小车受到的牵引力对小车做的功一定大于小车重力势能的增加量D ．小车重力的功率逐渐增大3．地球绕着太阳公转，其运动可看成匀速圆周运动。

已知万有引力常量为G ，如果要通过观测求得太阳的质量，还需要测量下列哪些量 A ．地球公转的轨道半径和公转周期 B ．地球公转的轨道半径和自转周期 C ．地球半径和地球的公转周期D ．地球半径和地球的自转周期4．如图所示，把石块从高处抛出，初速度方向与水平方向夹角为（090θ︒≤<︒），石块最终落在水平地面上．若空气阻力可忽略，仅改变以下一个因素，可以对石块在抛出到落地的过程中的“动能的变化量”和 “动量的变化量”都产生影响，这个因素是（）A ．抛出石块的速率v 0B ．抛出石块的高度hC ．抛出石块的角度D ．抛出石块用力的大小5．个质点做匀变速直线运动，依次经过a 、b 、c 、d 四点。

已知经过ab 、bc 和cd 的时间分别为t 、2t 、4t ，ac 和bd 的位移分别为x 1和x 2，则质点运动的加速度为（） A ．21215x x t - B ．21242x x t - C ．212242x x t - D ．212215x x t -二、多选题6．如图所示，在一固定水平放置的闭合导体圆环上方，有一条形磁铁，从离地面高h 处由静止开始下落，最后落在水平地面上。

2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+1)>0}则C R A=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2.已知复数z=1+i，则|z2−1|=()A. 5B. 2√5C. √5D. 23.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧，该几何体的表面上的两点M，N在正视图上的对应点分别为A(中点)，B，则一质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为()A. √(π+4)2+1B. √π2+1C. √4π2+1D. √374.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.已知△ABC的三个顶点是A(−a,0)，B(a,0)和C(a2,√32a)，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6.下列函数图象不是轴对称图形的是()A. y=1xB. y=cosx，x∈[0,2π]C. y=√xD. y=lg|x|7.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()y 1 y 2 合计 x 1 a 35 45 x 2 7 b n 合计m73SA. 10，38B. 17，45C. 10，45D. 17，388. 一个圆经过以下两个点B(−3,0)，C(0,−2)，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为( )A.B. x 2+(y ±54)2=(134)2 C. x 2+(y −54)2=134D. x 2+(y −54)2=(134)29. 已知F 1(−8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|−|PF 2|=10，则P 点的轨迹是( )A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 直线D. 一条射线10. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A. 3518 B. 2536 C. 25144 D. 257211. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，且CA =CC 1=√2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A. √55B. √53C. 2√55D. √151512. 已知函数f(x)=k(x −lnx)−e x x，若f(x)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (−∞,e)C. (−∞,e]D. (−∞,1e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.f(x)=(2−x)e2x的单调递增区间是__________．)5的展开式中x4的系数为________．14.(x2+2x15.如图，江岸边有一观察台CD高出江面30米，江中有两条船A和B，由观察台顶部C测得两船的俯角分别是45o和30o，若两船与观察台底部连线成30o角，则两船的距离是__________．16.已知函数f(x)=axlnx−e x(其中e为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设f(x)=6cos2x−√3sin2x．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；α的值．(2)若锐角α满足f(α)=3−2√3，求tan4518.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．19.已知函数(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．20. 已知函数，f(x)=log 2x −x +1，(x ∈[2,+∞))，数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n=2,(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ)求f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ).21. 设M 点为圆C ：x 2+y 2=4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N.动点P 满足2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 的轨迹为E ． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B(A,B 不是左右顶点)，且满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√22． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(1,−√3)，直线l与曲线C相交于两点A，B，求1|PA|+1|PB|的值．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥7−|x−1|；(2)若f(x)≤2的解集为[−1,3]，m+2n=2mn−3a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥6．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合A，结合数轴即可求出结果．解：由(x−2)(x+1)>0得x>2或x<−1，∴A={x|x<−1或x>2}，∴C R A={x|−1≤x≤2}．故选B．2.答案：C解析：本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出z2−1，再根据复数模的求法即可求得结果．解：由复数z=1+i，得z2−1=(1+i)2−1=2i−1，所以|z2−1|=√22+(−1)2=√5．故选：C．3.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属中档题，关键是根据三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径r=2的圆柱的四分之一得到，×2π×r=π，圆柱部分的底面弧长为14其展开图如图所示，是长为4+π，宽为2的矩形，质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为展开图中M、N的直线距离为，故选A．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．解：由坐标可知|AB|=2a，|AC|=a2)(√3a2)=√3a，|BC|=a2)(√3a2)=a，所以|AB|2=|AC|2+|BC|2，则△ABC是直角三角形，故选C．6.答案：C解析：解：对于A，y=1x为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=−x，对于B：y=cosx在x∈[0,2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，对于C：y=√x不是轴对称图形，对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，故选：C．根据常见函数的图象即可判断本题考查了函数的图象和性质，属于基础题7.答案：B解析：本题考查2×2列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由联表中数据即可求解．解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17，又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45，故选B ．8.答案：D解析：本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，可得圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2，把已知点的坐标代入，求解b 与r 值，则圆的方程可求．解：设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，则圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2，则{9+b 2=r 2(b +2)2=r 2, 解得b =54，r 2=16916，∴圆的标准方程为x 2+(y −54)2=(134)2．故选D ．9.答案：D解析：F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|=10，所以满足条件|PF 1|−|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D ．10.答案：C解析：根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB 的方程为6x −3y −4=0中，令x =1得A(1,23)，令y =−1得B(16,−1)． ∴三角形ABC 的面积为S =12AC ×BC =12×(1+23)(1−16)=2536∵图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分(三角形ABC 的内部)的概率是：25364=25144．故选：C ．11.答案：D解析：本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．设CA =1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A ，B ，B 1，C 1几点的坐标，从而得到向量BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，从而便得出直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值．解：设CA =1，建立空间直角坐标系，如图，根据条件可求以下几点坐标：A(1,0，0)，B 1(0,1，√22)，B(0,0，√22)，C 1(0,1，0)；∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,√22)；∴cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−12√1+24×√1+1+24=√1515．∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为√1515．故选D ．12.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题．求出函数的导数，令f ′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，令ℎ(x)=e x x，根据函数的单调性结合ℎ(x)=e x x的图象，求出k 的范围即可．解：函数f(x)=k(x −lnx)−e x x(k ∈R )，∴f ′(x)=(x−1)(kx−e x )x 2，x ∈(0,+∞)；令f′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，设，则ℎ′(x)=e x x−e xx 2=e x (x−1)x 2，由ℎ′(x)>0，得x >1；由ℎ′(x)<0得0<x <1．当x =1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1)=e ．作出函数ℎ(x)=e x x的图象如图所示：结合函数ℎ(x)的图象，则k <e 时，函数f(x)只有一个极值点x =1；k=e时，函数f(x)也只有一个极值点x=1，满足条件；k>e时不满足条件，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(−∞,e]．故选C．13.答案：(−∞,32)解析：f′(x)=−e2x+2(2−x)e2x=e2x(3−2x)，因为e2x>0恒成立，所以令f′(x)=e2x(3−2x)>0得x<32.即f(x)的单调递增区间为(−∞,32)．本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题．14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=C5r2r x10−3r，令10−3r=4，得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为C5222=40．故答案为40．15.答案：30米解析：本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面△DAB中用余弦定理即可求出两船距离．解：如图，设C处观测小船A的俯角为45°，设C处观测小船B的俯角为30°，连接DA、DB，Rt△CDA中，∠CAD=45°，可得DA=CD=30米，Rt△CDB中，∠CBD=30°，可得DB=√3CD=30√3米，在△DAB中，DA=30米，DB=30√3米，∠ADB=30°，由余弦定理可得：AB2=DA2+DB2−2DA·DBcos30°=900．∴AB=30米(负值舍去)．故答案为30米．16.答案：解析：本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．解：f′(x)=a lnx+a−e x=a(lnx+1)−e x，令f′(x)=0，即a(lnx+1)−e x=0，解得x=0，∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=−e0=−1<0，又∵函数存在唯一的极值点，∴只需要f′(x)=a(lnx+1)−e x<0即可，∵e x在R上恒大于0，则只需a<0即可，∴a的取值范围为，故答案为．−√3sin2x17.答案：解：(1)f(x)=61+cos2x2=3cos2x −√3sin2x +3 =2√3(√32cos2x −12sin2x)+3=2√3cos(2x +π6)+3故f(x)的最大值为2√3+3；最小正周期T =2π2=π(2)由f(α)=3−2√3得2√3cos(2α+π6)+3=3−2√3，故cos(2α+π6)=−1又由0<α<π2得π6<2α+π6<π+π6，故2α+π6=π，解得α=512π．从而tan 45α=tan π3=√3．解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是：(1)利用三角函数的二倍角公式及公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． (2)列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．18.答案：解：(1)证明：如图所示取AB 的中点E ，连接CE ，EB 1，∵F 为A 1B 1的中点，∴C 1F//CE ，AF//B 1E ，且C 1F ∩AF =F ，CE ∩B 1E =E ， ∴面B 1CE//平面FAC 1，∵B 1C ⊂B 1CE ， ∴B 1C//平面FAC 1(2)证明：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥面A 1C 1B 1，∵C 1F ⊂面A 1C 1B 1，∴A 1A ⊥C 1F ， ∵AC =BC ，F 为A 1B 1的中点，∴A 1B 1⊥C 1F ，且AA 1∩A 1B 1，∴C 1F ⊥面AA 1C 1B 1B ，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，，∴f′(x)=x−1x =x2−1x(x>0)，由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(2)f′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，当a≤1时，f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=92−a；当1<a<e时，f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数，；当a≥e时，f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min=f(e)=e22−(a+1)e+5+a，综上所述，当a≤1时，f(x)min=92−a；当1<a<e时，；当a≥e时，f(x)min=e22−(a+1)e+5+a解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．(1)求出导函数，由f′(x)>0解得单调递增区间，由f′(x)<0解得单调递减区间；(2)求出导函数，由f′(x)=0的两根的的大小，分类讨论，求得函数在[1,e]上的单调性，得到最小值．20.答案：解：(I)∵a n+1a n =2，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2×2n−1=2n；(II)由(I)可得f(a n)=log22n−2n+1=(n+1)−2n，∴f(a1)+f(a2)+⋯+f(a n)=[2+3+⋯+(n+1)]−(2+22+⋯+2n]=n(n+3)2−2n+1+2．解析：(I)根据a n+1a n=2，a 1=2，利用等比数列的定义可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式a n ；(II)由(I)可得f(a n )=log 22n −2n +1=(n +1)−2n ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N (x 0,0)，∴PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x,−y )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−y 0)， ∵2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 0=x ，y 0=2√3y3，代入圆的方程得，x 2+43y 2=4，即x 24+y 23=1，故动点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1；证明：(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，D (−2,0)， ∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DA ⊥DB ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，…①∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2，…② 由DA ⊥DB 得：y 1x 1+2×y 2x 2+2=−1，即−y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4，…③由②③得：(k 2+1)x 1x 2+(2+mk )(x 1+x 2)+m 2+4=0，…④ 把①代入④并整理得：7m 2−16km +4k 2=0，得： (7m −2k )(m −2k )=0，即m =27k 或m =2k ，故直线l 的方程为y =k (x +27)，或y =k (x +2)，当直线l 的方程为y =k (x +27)时，l 过定点(−27,0)；满足Δ>0当直线l 的方程为y =k (x +2)时，l 过定点(−2,0)，这与A ，B 不是左右顶点矛盾．故直线l 的方程为y =k (x +27)，过定点(−27,0)．解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； (2)由向量条件结合矩形对角线相等可得DA ，DB 垂直，斜率之积为−1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．22.答案：解：(1)因为，所以，将，ρ2=x 2+y 2，代入上式，可得x 2+2y 2=8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2=8；因为直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t, 消去参数t 得x +√3y +2=0，所以直线l 的普通方程为x +√3y +2=0； (2)易知点P(1,−√3)在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2−12√3t −4=0，设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=12√35，t 1t 2=−45，于是1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4√2.解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2−12√3t −4=0，利用参数的几何意义，求1|PA |+1|PB |的值．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|，f(x)≥7−|x −1|，即|x +1|+|x −1|≥7，故{x ≥1x +1+x −1≥7或{−1<x <1x +1+1−x ≥7或{x ≤−1−x −1+1−x ≥7, 解得：x ≥72或x ≤−72，故不等式的解集是(−∞,−72]∪[72,+∞)；(2)令f (x )≤2，即|x −a|≤2，解得−2+a ≤x ≤2+a ，由f (x )≤2的解集是[−1,3]，易得a =1，m +2n =2mn −3， ∵m >0,n >0，由均值不等式可得m +2n ≥2√2mn ，当且仅当m =2n =3时“=”成立，故(m+2n 2)2≥(m +2n)+3，∴m +2n ≥6．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出a 的值，根据基本不等式的性质证明即可．。

江西省抚州市临川区第二中学2020届高三数学七月月考试题理(最新整理)

江西省抚州市临川区第二中学2020届高三数学七月月考试题理第I 卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数满足，则Z=（） A. 2+2 B. 1+2 C. 1-2 D 。

2—22. 已知集合，，若，则等于（）A 。

B 。

C 。

D 。

3. 命题的否定是（ ) A ．B ．C ．D ． 4。

若，,,则( )A ．B ．C ．D ． 5. 已知命题，命题,则下列命题正确的是 ( )A. B 。

C. D. 6。

已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为( )A 。

B 。

C. D. 7. 函数的图象大致是（）Z i Z i 4)1(-=+i i i i {}50|<<=x x M {}6|<<=x m x N {}n x x N M <<=⋂3|n m +98760001lg ),,0(x x x n=+∞∈∃x x x 1lg ),,0(=+∞∉∀x x x 1lg ),,0(≠+∞∈∀0001lg ),,0(x x x ≠+∞∈∃0001lg ),,0(x x x =+∞∉∃1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭27log 9c =b a c <<b c a <<c a b <<c b a <<1,0:+>>∀x e x p xx x x q ≥+∞∈∃ln ),,0(:q p ∧q p ∧⌝）（）（q p ⌝∧）（）（q p ⌝∧⌝)(x f []b b -1,2[]0,2b )2()1(x f x f ≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1[]1,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31xex x f 2)(2-=A 。

B.C. D 。

8. 对于函数部分与的对应关系如下表：数列满足:，且对于任意点都在函数图象上,则（）A ．31B ．30C ．45D ．46 9。

江西省临川第二中学2020届高三数学10月月考试题文

（i）若日需求量为18个，则当日利润
= 18 × (10 ‒ 4) + (24 ‒ 18) × (2 ‒ 4) = 96元…………7 分
（ii）若日需求量为15个，则当日利润
= 15 × (10 ‒ 4) + (24 ‒ 15) × (2 ‒ 4) = 72元…………8 分
若日需求量为21个，则当日利润 = 21 × (10 ‒ 4) + (24 ‒ 21) × (2 ‒ 4) = 120元……9 分
）
A． f ( log2 3) f (log3 2) f (0)
B． f (log3 2) f (0) f ( log2 3)
C． f (0) f (log3 2) f ( log2 3)
D． f (log3 2) f ( log2 3) f (0)
(0, ), 2sin 2 cos 2 1
x

1 ，则
A

B
（
）
1,1
A．
1, 2
B．
1,
1,
C．
D．
2.
z 已知 i 为虚数单位，若复数

3i 1 i
,则| z | （
）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 5
3．设 m, n R ，则“ m n ”是“ 2mn 1”的（）
A．充分而不必要条件
A．3
B． 3
C．9
D． 9
9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般
好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常
用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B xx =<，则A B =IA ．{}31x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<,所以A B =I {}01x x ≤≤. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．设复数z ＝213ii-+，则|z |＝（） A ．13B ．23C ．12D ．22【答案】D【解析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z |22171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭501001222.故选：D . 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【解析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24，联立解得a 1＝9，d ＝﹣2，则a 9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知幂函数()f x ＝x α的图象经过点（3，5），且a ＝（1e）α，b ，c ＝log α14，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】A【解析】先由条件求出幂函数f （x ）＝x α中的α的值，再结合指数、对数函数的单调性比较,,a b c 的大小即可. 【详解】解：∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（3，5）， ∴3α＝5，∴α＝log 35∈（1，2），∴0＜a ＝1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，b 1，c ＝log α14＜log α1＝0， ∴c ＜a ＜b ．故选：A. 【点睛】本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户【答案】D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误．故选：D . 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足OA u u u r ＝1，OB u u u r＝2，点C 为线段AB 的中点，若OC u u u r3AOB ＝（）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则2OA OBOC +=u u u r u u u r u u u r , 将两边平方结合向量数积的定义得到答案. 【详解】解：点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则2OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ,两边平方得：22224OA OA OB OB OC +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 由OA u u u r ＝1，OB u u u r ＝2，OC u u u r 3OA u u u r ，OB uuu r 的夹角为AOB ∠即31+4+212cos =44AOB ⨯⨯⨯∠，解得：1cos 2AOB ∠=-.又,[0]AOB π∠∈，，所以2=3AOB π∠.故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.7．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（） A ．420 B ．﹣420C ．1680D ．﹣1680【答案】A【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数. 【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2，其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，故选：A ．本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解. 【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436436)233V =++⨯⨯=. 故选B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .因为22|sin()||sin|22()66()1()1x xf x f xx x--=-=-=+-+,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|242()61111fπππππ=-=-++11101122<-=-=+,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2fππππ=-=+426164ππ-+42616444>-+46662425=->-=-=由图象知,排除D.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,1111x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是()A．[25--，5]B．[5-5]C．[25-25]+ D．[4-，25]+【答案】C【解析】结合图形，平移直线2z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即15=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，同理25=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选：C ．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．关于函数()f x ＝|cosx |+cos |2x |有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在[34π，54π]上单调递增；④()f x 的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简()f x ，由()()f x f x =-，可判断①；可令|cos |t x =，可得2()21g t t t =+-，由函数的周期性可判断②；由|cos |y x =的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④．【详解】解：f （x ）＝|cosx |+cos |2x |＝|cosx |+2cos 2|x |﹣1，由cos |x |＝cosx ，可得()f x ＝|cosx |+2cos 2x ﹣1＝2|cosx |2+|cosx |﹣1，由(-)f x ＝22|cos()||cos()|1()x x f x -+--=，则()f x 为偶函数，故①正确；可令t ＝|cosx |，可得2g()21t t t =+-，由y ＝|cosx |的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确；由y ＝cosx 在[﹣2π，0]递增，在[0，2π]递减，可得f （x ）在[34π，π]递增，在[π，54π]递减，故③错误；由t ∈[0，1]，219g()2()48t t =+-，可得g()t 在[0，1]递增，则g()t 的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B ．【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①80N >②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A ．21B ．91C ．95D ．10【答案】C【解析】构造数列{}m b ()m N *∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，...，01212+2+2...2m m b -=++，求出数列{}m b 的前m 项和，根据题意可表示出原数列n 与m 的关系，以及原数列前n 和与数列{}m b 的前m 项和的关系，讨论出满足条件的n 的最小值即可。

2020届江西省抚州市临川区第二中学高三七月月考数学(理)试题(word版)

2020届江西省抚州市临川区第二中学高三七月月考数学（理）试题第I 卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数Z 满足i Z i 4)1(-=+，则Z =（）A. 2+2iB. 1+2iC. 1-2iD. 2-2i2. 已知集合{}50|<<=x x M ，{}6|<<=x m x N ，若{}n x x N M <<=⋂3|，则n m +等于（）A. 9B. 8C. 7D. 6 3. 命题0001lg ),,0(x x x n=+∞∈∃的否定是（） A ．x x x 1lg ),,0(=+∞∉∀ B ．x x x 1lg ),,0(≠+∞∈∀ C ．0001lg ),,0(x x x ≠+∞∈∃ D ．0001lg ),,0(x x x =+∞∉∃ 4. 若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，27log 9c =，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 5. 已知命题1,0:+>>∀x e x p x，命题x x x q ≥+∞∈∃ln ),,0(:，则下列命题正确的是（）A. q p ∧B. q p ∧⌝）（C. ）（q p ⌝∧D. ）（）（q p ⌝∧⌝ 6. 已知)(x f 是定义在[]b b -1,2上的偶函数，且在[]0,2b 上为增函数，则)2()1(x f x f ≤-的解集为（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C. []1,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,317. 函数xex x f 2)(2-=的图象大致是（）A.B.C. D.8. 对于函数)(x f y =部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11=x ，且对于任意*N n ∈点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =图象上，则=+⋅⋅⋅++921x x x （）A ．31B ．30C ．45D ．46 9. 已知)(x f '为)(x f 的导函数，若2ln)(x x f =且⎰-+'=b b a f dx x b 13121)(21则b a +的最小值为（）A ．24B ．22C ．29D ．2229+ 10. 已知函数⎩⎨⎧>≤++-=-3,23,13)2()(2x a x a x a x f x ，）且（10≠>a a ，若)(x f 有最小值，则实数a 的取值范围（）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛45,1C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃45,1D.()1,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃,4511. 设x x f ln )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间(]3,0上有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．)1,0(eB ．),33ln (e C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛33ln ,0 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,33ln 12. 定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在)(,2121b x x a x x <<<满足ab a f b f x f --=')()()(1，ab a f b f x f --=')()()(2，则称函数)(x f 是[]b a ,上的“双中值函数”.已知函数a x x x f +-=23)(是[]a ，0上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围（）A. ⎪⎭⎫⎝⎛21,31 B. ⎪⎭⎫⎝⎛3,23 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 第II 卷非选择题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 13. 函数)23(log 22x x y --=的定义域为． 14. 已知函数22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则3(())2f f -= ．15. 定义在R 上的函数)2()(x f x f -=及)()-(x f x f -=且在[]1,0上有2)(x x f =，则)212019(f = ．16. 若x xx x f x f 2log 23)1(3)(-+=+，对),0(+∞∈x 恒成立，且存在[]4,20∈x ，使得m x f >)(0成立，则m 的取值范围为．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合{}{}131,052-≤≤+=<-=m x m x B x x x A （1）当2=m 时，求)(B A C U ⋂；（2）如果A B A =U ，求实数m 的取值范围.18. 已知函数)33(2)(,2)(2≤≤-+==x ax x x g x f x（1）若)(x g 在[]3,3-上是单调函数，求a 的取值范围；（2）当1-=a 时，函数[])(x g f y =的值域.19. 如图在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1,BC 的中点，AB=BC=2,C 1F ⊥AB （1）求证：平面AB E ⊥平面B 1BCC 1；（2）若直线C 1F 和平面ACC 1A 1所成角的正弦值等于1010，求二面角A-BE-C 的平面角的正弦值.20. 已知函数)(1ln )(R a x axx x f ∈+-= （1）讨论)(x f 的单调性（2）若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，证明2)()()2(2121x f x f x x f +<+21．顺次连接椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点恰好构成了一个边长为3且面积为22的菱形.（1）求椭圆C 的方程；（2）A,B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为21-（O 为坐标原点），线段OA 上有一点M 满足32=OAOM ，连接BM 并延长交椭圆C 于N ，求BNBM 的值.（二）选考题：共10分。

2020届江西省抚州市临川高三上学期期中数学（理）试题

2020届江西省抚州市临川第一中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|40}A x x x =->，2{|40}B x x =-≤，则A B =（）A ．[2,0]-B ．(,0)-∞C ．[2,0)-D ．[4,4]-【答案】C【解析】对集合A 和集合B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】由题得2{|40}{|0A x x x x x =->=<或4}x >，2{|40}{|22}B x x x x =-≤=-≤≤，则{|20}AB x x =-≤<，故选：C ．【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2．已知角α终边上一点M 的坐标为，则sin 2α=（）A ．12-B ．12C ．D 【答案】D【解析】根据题意，结合α所在象限，得到sin α和cos α的值，再根据公式，求得答案. 【详解】由角α终边上一点M 的坐标为(，得sin 2α=，1cos 2α=，故sin 22sin cos 2ααα==，【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 3．已知1(,),sin(2)22ααπ∈-0π-=-，则sin cos αα-=（）A ．5B ．52-C ．62D ．62-【答案】D【解析】由诱导公式得到1sin 22α=-，再根据二倍角公式展开，结合同角三角函数关系，得到()2sin cos αα-的值，结合α的范围得到答案. 【详解】因为1sin(2)2απ-=-，所以1sin 22α=-，即12sin cos 2αα=-，所以2(sin cos )1αα-=-132sin cos 122αα=+=，又,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以sin cos αα<，所以得到sin cos αα-=6-. 故选：D ．【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数关系，属于简单题. 4．函数2()(1)sin 21x f x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案.因为()()21sin 21xfx x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.5．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．-8B ．-6C ．-3D ．3【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点B 时，直线的截距最小，从而得到答案. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---， 2z x y =+，则1122y x z =-+，当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时，z 取到最小值，所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-，故选：B ．【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.6．已知函数22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是（） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由()f x 为增函数，得到其在每段上都为增函数，得到1x <时，二次函数对称轴大于等于1，且当1x =时，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，才能保证()f x 单调递增，从而得到答案.【详解】若函数()f x 在R 上为增函数，则在两段上都应为单调递增函数，当1x <时，()221f x x ax a =-+-+，对称轴为2a x =，所以12a≥，且在1x =处，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，即20a a ≤-所以得到2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得201a a a ≥⎧⎨≤≥⎩或所以2a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的性质，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题. 7．已知非零向量a 与b 的夹角为θ，tan θ=()()2a b a b -⊥+，则b a=（）A ．13B ．3CD 【答案】D 【解析】根据tan θ=得到cos θ的值，由()()2a b a b -⊥+，得()()20a b a b -⋅+=，按照向量数量积的运算律，得到关于a 和b 的方程，同除a ，设b x a=，解得x 的值，得到答案. 【详解】根据tan θ=0θπ≤≤，得cos θ，由()()2a b a b -⊥+，得()()20a b a b -⋅+=，得2220a a b b -⋅-=，又3cos 3a b a b a b θ⋅=⋅⋅=⋅，所以223203a ab b -⋅-=，设bx a=，则2630x-=，即(20x x +=，因为0x >，所以x =即33ba=，故选：D ．【点睛】本题考查向量垂直的数量积表示，向量数量积的运算律，属于中档题. 8．设0>ω，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式sin()63y x ωωππ=++，再将函数cos()3y x πω=+化为5sin()6y x ωπ=+，从而得到52636k ωπππ+=+π，得到ω的表达式，根据ω的范围，得到答案. 【详解】将函数sin()y x ωπ=+的图象向左平移π个单位长度后，得到函数sin()63y x ωωππ=++的图象，又5cos()sin()36y x x ωωππ=+=+，所以52,636k ωπππ+=+π 整理得123()k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为3 ，故选：C ．【点睛】本题考查正弦型函数的平移，正弦型函数的图像与性质，属于简单题.9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】先判断出()g x 的单调性和奇偶性，再判断出2log 4.1，0.22，π的大小，利用()g x 的奇偶性和单调性判断出a ，b ，c 的大小关系，得到答案. 【详解】因为奇函数()f x 在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >. 对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <，有120()()f x f x <<，故12()()<g x g x ，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数，因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数. 又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈，所以0.2212log 4.1<<<π，而0.20.2(2)(2)b g g =-=，所以b a c <<，故选:C ．本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题. 10．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（）A ．78B ．85C ．1D ．95【答案】D【解析】根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得到q 的值，再表示出2S ，3S ，4S ，再由2mS ，3S ，4S 成等比数列，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】设{}n a 的公比为(0q q ≠且1)q ≠，根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以2210q q --=，即(1)(21)0q q -+=. 因为1q ≠，所以12q =-，则2112(1)3141a q a S q q -==⋅--，3113(1)9181a q a S q q -==⋅--，414(1)1a q S q -==-115161a q ⋅-. 因为2mS ，3S ，4S 成等比数列，所以2324S mS S =⋅，即211193158141161a a am q q q ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪---⎝⎭，211193151118416111a a a m ⎛⎫⎪ ⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪------得95m =. 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列通项和求和的基本量计算，等差中项、等比中项的应用，属于中档题. 11．若0,1x y >>-且满足21x y +=，则22211x y x y +++的最小值是（） A ．3 B．32+ C．D．12+【答案】B【解析】对所求的22211x y x y +++进行化简，得到22211111x y x y x y ++=+++，根据212x y ++=，由基本不等式1的妙用，得到最小值，并研究等号成立条件，得到答案.【详解】2221111121111x y x y x y x y x y ++=+++-=++++，因为212x y ++=，所以111(21)()21x y x y ++++1121(3)(3212y x x y +=++≥++，当且仅当12=1y xx y ++，21x y +=时取等号，即23x y ==时取得最小值32+. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，1的妙用求最值，属于中档题.12．已知函数321,()3,x x x mf x x m x m⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，使得函数()()g x f x a =-恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（） A ．(0,2) B ．(2,)+∞ C ．(0,3) D ．(3,)+∞【答案】B【解析】问题等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数，利用导数得到3213y x x =-+的单调性、极值、最值，从而根据不同的m 的范围，画出()f x 的图像，再根据图像，得到直线y a =与函数()f x 图象有4个交点时，对应的m 的范围，得到【详解】()()g x f x a =-的零点个数等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数.令3213y x x =-+，22y'x x =-+，当0x <或2x >时，'0y <，当02x <<时，'0y >，当2x >时，'0y <，所以函数3213y x x =-+在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，画出函数()f x 的大致图象如图所示，由图可知当2m >时，存在直线y a =与函数()f x 图象的交点为4个；当02m <≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为3个；当0m ≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为2个；所以m 的取值范围为(2,)+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，画函数图像，函数与方程，根据零点个数求参数的范围，属于中档题.二、填空题13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．【答案】12【解析】根据题意可知4x >时，函数()f x 有周期性，判断25log 6+的范围，然后利用周期性，得到()()225log 61log 6f f +=+，代入4x ≤时的解析式，得到答案.由题意4x >时，函数()()1f x f x =-，所以()f x 在()4,+∞时，周期为1，因为22log 63<<，所以()25log 67,10+∈，()21log 63,4+∈，所以()()225log 61log 6f f +=+ 21log 622612+==⨯=.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________．【答案】72【解析】根据39S S =，得到670a a +=，结合25240a a +=>，得到数列{}n a 的前6项为正，从而得到6n =时，n S 的最大值，得到答案. 【详解】由39S S =，得4567890,a a a a a a +++++= 根据等差数列下标公式可得670,a a += 又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正，所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故答案为：72. 【点睛】本题考查等差数列的下标公式，前n 项和的最值，属于简单题.15．已知ABC △中，2,3,60,2,2AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=________．【答案】43用数量积的运算律进行计算，得到结果. 【详解】因为2BD DC =，2AE EC =，所以23AD BD BA BC BA =-=-，2133BE BC BA =+ 所以221333AD BE BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22414939BC BA BC BA =--⋅ 4149432cos60939=⨯-⨯-⨯⨯⨯︒ 4444333=--=. 故答案为：43.【点睛】本题考查向量的平面基本定理，向量数量积的运算律，属于中档题. 16．函数1()sin sin 22f x x x =+的最大值为________． 33【解析】对()f x 求导，利用导数，判断出()f x 的单调性，从而求出()f x 的最大值【详解】因为1()sin sin 22f x x x =+求导得2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+- (2cos 1)(cos 1)x x =-+，因为cos 10x +≥，所以当1cos 2x >时，()0f x '>，当11cos 2x -<<时，()0f x '<，即当22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z 时，()f x 单调递增，当52+2,33k x k k πππ<<π+∈Z 时，()f x 单调递减，故()f x 在23x k k π=π+∈Z ，处取得极大值即最大值，所以max 11()sin sin(2)3232f x ππ=+⨯=.. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.三、解答题17．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2）6【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到πcos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-，又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)6α-=则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1132==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n S n n =+数列{}n b 满足122212121nn n b b ba =++++++．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若,4n nn a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）2()n a n n *=∈N ，122()n n b n +*=+∈N ；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】（1）根据2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1n =，从而得到n a 的通项，然后由122212121n n n b b ba =++++++，得到1122122212121n n b b b n --+++=-+++，通过作差得到nb 的通项公式；（2）根据（1）得到nc 的通项，利用错位相减法得到n c 的前n 项的和n T . 【详解】（1）因为2n S n n =+，所以当1n =时，112a S ==，当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又12a =也满足上式，所以2()n a n n *=∈N . 又1222212121nn n b b ba n +++==+++，所以1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N ，两式作差得，221nnb =+，所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ，当1n =时11,2,63b b ==，又16b =满足上式，所以122()n n b n +*=+∈N . （2）因为2,4n n nn a b c n n =-=⋅ 所以231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅，即11222n n n T n ++-=--⋅，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查根据n S 求n a 的通项，错位相减法求数列的前n 项的和，属于中档题. 19．如图，在ABC △中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，3AD =.（1）若2DC BD =，求c ；（2）求ABC △面积的最小值. 【答案】（1）32c =；（23【解析】（1）根据已知条件，结合12ABD ADC S BD S DC ==△△，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到2AC AB =，在ABD △、ACD 中，利用余弦定理表示出cos BAD ∠和cos CAD ∠，然后代入已知条件，解得c 的值；（2）设BD x =，所以b DC x c=，在,ABD ACD △△中，22223()32323bx b c cb+-=得到关于,,x b c 的方程，消去x 得到关于,b c 的方程，得到()()0b c bc b c ---=，分类讨论，分别研究ABC △面积，从而得到其最小值.【详解】（1）因为2DC BD =，BAD CAD ∠=∠，所以12ABD ADC S BD S DC ==△△，所以1sin 1212sin 2AB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅∠所以2AC AB =. 在ABD △、ACD 中，由余弦定理，得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅即22cos30︒==，22cos30︒= 解得32c =. （2）设BD x =，则由（1）可知BD AB DC AC=，所以bDC x c =，在,ABD ACD △△22223()bx b +-== 所以2233x c c =+-，222233b x b b c=+-，消去x ，得2222(33)(33)b c c c b b +-=+-，化简，得()()0b c bc b c ---=.当b c =时，ABC △为等边三角形，此时2,ABC b c S ===△ 当bc b c =+时，由基本不等式可得bc b c =+≥2≥，即4bc ≥当2b c ==时取等号，此时1sin 602ABC S bc =︒=≥△综上可得，ABC △【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题.20．已知函数()(0,x f x a b a =+>且1)a ≠，满足(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，其中n *∈N .（1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：11114(1)(2)(3)()9f f f f n ++++<. 【答案】（1）()=41x f x -；（2）见解析【解析】（1）由(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，得到()215f =，代入函数，得到关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，从而得到()f x 解析式；（2）由1()4134n n f n -=-≥⨯得到111()34n f n -≤⨯，从而得到1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++211111(1)3444n -≤⨯++++，再利用等比数列求和公式，得到前n 项的和，从而得到证明. 【详解】（1）由(1)4()+3()f n f n n *+=∈N 得 (2)4(1)315f f =+=，即2315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得41a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩(舍去)，所以()=41x f x -.（2）由（1）得()41().n f n n *=-∈N由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯，即1()4134n n f n -=-≥⨯，111()34n f n -≤⨯，所以1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++ 211111(1)3444n -≤⨯++++ 111()1()11441333144n n --=⨯=⨯- 414(1)949n =⨯-<．【点睛】本题考查求函数的解析式，等比数列求和，放缩法证明不等式，属于中档题. 21．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈．（1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）210x y --=；（2）(2,)+∞【解析】（1）代入0a =，对()f x 求导，代入1x =得到斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）对()f x 求导，令2()ln 1F x x x a =--+，然后再求导得到()F x '，可得(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，再根据(1)2F a =-，按2a ≤和2a >进行分类讨论，得到函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，从而得到若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >．【详解】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =+，21ln ()1xf x x -'=+，则(1)1f =，(1)2f '=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程为：12(1)y x -=-，即210x y --=. （2）ln ()(1)x a f x x x x +=+>，22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=，令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0f 'x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增，无极值； ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->，所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立，所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()f x 在0(1,)x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时函数()f x 存在极小值．综上，若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >．故实数a 的取值范围为(2,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 22．已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+->（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，求证：2ln 1t t mt >-. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对()f x 求导，得到()f x '，然后判断()0f x '=的根的情况，得到()f x '的正负，然后得到()f x 的单调性；（2）由（1）可得1m ，且(0,1)t m =-=，由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，所以只需证32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >，利用导数研究出()h x 的单调性和最值，结合(1)0h =，得到(0,1)x ∈时，()0h x >，从而得以证明.【详解】（1）由题意，知221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于方程221=0x mx -+，24(1)m ∆=-， ①当01m <≤时，24(1)0m ∆=-≤，()0f 'x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增.②当1m 时，令()0f 'x =，则1x m =-，2x m =+当0x m <<()0f 'x >，函数()f x 单调递增；当m x m -<<()0f 'x <，函数()f x 单调递减，当x m >+()0f 'x >，函数()f x 单调递增. 综上所述，当01m <≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1m 时，()f x 在(0,m ，()m ++∞上单调递增，在(m m +上单调递减.（2）由（1）可知当1m 时，在x m =处时，函数()f x 取得极大值，所以函数()f x 的极大值点为x m =(0,1)t m =．由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，要证2ln 1t t mt >-，只需证2ln 10t t mt -+>，只需证221ln 102t t t t t+-⋅+>，即32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >，则2()2ln 31h'x x x =-+，令2()2ln 31x x x ϕ=-+，0x >，则2226()6x 'x x x xϕ-=-=，当0x <<时，'()0x ϕ>，)'(h x 单调递增；当x >时，'()0x ϕ<，)'(h x 单调递减，max ()0h'x h'==<，所以'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0h =，故(0,1)x ∈时，32ln 20x x x x --+>，又(0,1)t ∈，则32ln 20t t t t --+>，从而可证明2ln 1t t mt >-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式，涉及分类讨论的思想，属于难题.。

2020届江西省临川高三上学期第一次联考试题数学(理)(含答案)

2020届江西省临川高三上学期第一次联考试题高三数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若21iz i-=+则z z ⋅= A.－2 B.2 C.52 D.－522.设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若A B I 为空集，则实数a 的取值范围为 A.(1，2) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.[1，2] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 3.设a ，b ∈R ，则“(a －b)a 2>0”是“a>b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若函数f(x)＝ax －lnx 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是 A. (－2，＋∞) B. (12，＋∞) C. (－12，＋∞) D. (2，＋∞) 5.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是A.2x －2y >x 2B.()12221x y log x ->+ C. 2x －2y >1＋x D. 2x －2y >1－x17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为360的等腰三角形(另一种是顶角为1080的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，512BC AC -=。

根据这些信息，可得cos2160＝A.45+B.15+-C.35+ 125-7.若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，在(－∞，a]上的最大值为4，则a 的取值范围为A. (1，17]B. (1，9]C.[1，17]D. [1，9]8.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A.40 B.60 C.80 D.1009.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是A.(30，42]B.(30，42)C.(42，56]D.(42，56)10.已知F 1，F 2为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点， B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率的取值范围为 A.[0，12] B.[0，22] C. [03 D. [12，1]11.设曲线y ＝cosx 与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若g(x)＝2lnx －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是A.[0，＋∞)B.(0.＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞) 12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝2，123n n a S +=+，用[x]表示不超过x 的最大整数，设b n ＝[a n ]，数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则使T 2n >2019成立的最小正整数n 是 A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文(扫描版)

江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由，则，故数列为等比数列，首项为，公比为所以 .......6分(2)由，则.......12分18. (1)取的中点，连接，由，，故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，，而面，故平面平面.......6分(2)由，则故，则，由故 .......12分19.由题可知在曲线上，所以有以下两种情况：当为切点时，由，得，即直线的斜率为，故直线的方程为，由，得，依题意，.......4分当不是切点时，设直线与曲线相切于点则①又②，则联立①②得，所以，故直线的方程为，由，得，依题意得，，得，综上，或 .......12分20. （1）由题可知，，故，而，则 ......4分（2）由题可知，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A，B，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A）（乙B）（丙丁）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）（AB），其中恰有2女教师的有（乙A）（乙B）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）共6种情况，故......8分（3）由题可知，，，所以，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故......12分21. （1）设，，由点都在椭圆上，故，则故直线的方程为 ......5分（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，则即①联立，则将其代入①得故的值为.......12分22. （1）由，，故又直线：，故......5分(2)由，故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，故......10分23. (1)由，则必是该方程的根，所以在上无解，即与在上无交点，而，故......5分(2) 由对恒成立，而，故，则在上恒成立，故只需在上面对恒成立即可，又，则只需对恒成立，则，故.....10分。

2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三(上)期中数学试卷(理科)

2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2−4x >0}，B ＝{x|x 2−4≤0}，则A ∩B ＝（） A.[−2, 0] B.(−∞, 0) C.[−2, 0) D.[−4, 4] 【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【解答】A ＝{x|x <0或x >4}，B ＝{x|−2≤x ≤2}， ∴ A ∩B ＝[−2, 0)．2. 已知角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)，则sin2α＝（） A.−12B.12C.−√32D.√32【答案】 D【考点】二倍角的三角函数任意角的三角函数【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再由倍角公式求解．【解答】由角α终边上一点M 的坐标为(1,√3)，得r =√1+(√3)2=2， ∴ sinα=√32，cosα=12，故sin2α=2sinαcosα=√32，3. 已知α∈(−π2,0),sin(π−2α)=−12，则sinα−cosα＝（） A.√52B.−√52C.√62D.−√62【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式以及二倍角公式转化求解即可．【解答】因为sin(π−2α)=−12，所以sin2α=−12，2sinαcosα=−12，所以(sinα−cosα)2＝1−2sinαcosα=32，又α∈(−π2,0)，所以sinα<cosα，sinα−cosα=−√62．4. 函数f(x)=(22x +1−1)sinx 在[−2, 2]上的图象大致是（） A.B.C.D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件判断函数的奇偶性，结合x ＝1时，函数值的对应性，利用排除法进行判断即可．【解答】因为f(−x)=(22−x +1−1)sin(−x)=−(2⋅2x1+2x −1)sinx =(22x +1−1)sinx =f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D ，又当x ＝1时，f(1)=−13sin1<0，排除B ，5. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0 ，则z ＝x +2y 的最小值是（）A.−8B.−6C.−3D.3【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1, 1)，B(−2, −2)，C(−5, 1)，z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y =−12x +12z 过点B(−2, −2)时z 取到最小值，所以z ＝x +2y 的最小值是−2+2×(−2)＝−6，6. 已知函数f(x)={lnx,x ≥1−x 2+ax −a 2+1,x <1在R 上为增函数，则a 的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[1, +∞)C.(−∞, 2]D.[2, +∞) 【答案】 D【考点】几何不等式分段函数的应用【解析】lnx 在x ≥1时属于单调递增函数，所以只需满足x <1时−x 2+ax −a 2+1也是单调递增函数即可，进而求解．【解答】若函数f(x)在R 上为增函数，则需满足{a2≥1a −a 2≤0，解得a ≥2，7. 已知非零向量a →与b →的夹角为θ，tanθ=√2，(a →−2b →)⊥(a →+b →)，则|b →||a →|=( )A.13B.3C.√3D.√33【答案】 D【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】可根据tanθ=√2求出cosθ=√33，进而求出a →⋅b →=√33|a →||b →|，从而根据(a →−2b →)⊥(a →+b →)即可得出|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，可设|b →||a →|=x ，从而得出1−√33x −2x 2=0，然后解出x 即可．【解答】根据tanθ=√2，0≤θ≤π，得cosθ=√33，由(a →−2b →)⊥(a →+b →)，得(a →−2b →)⋅(a →+b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=|a →|2−√33|a →||b →|−2|b →|2=0，设|b →||a →|=x ，则6x 2+√3x −3=0，即(2x +√3)(3x −√3)=0，因为x >0，所以x =√33，即|b →||a →|=√33．8. 设ω>0，将函数y =sin(ωx +π3)的图象向左平移π6个单位长度后与函数y =cos(ωx+π3)的图象重合，则ω的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象的平移，求出函数的解析式，利用两个函数重合，得到关系式，转化求解即可．【解答】将函数y=sin(ωx+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=sin(ωx+ωπ6+π3)的图象，又y=cos(ωx+π3)=sin(ωx+5π6)，所以ωπ6+π3=5π6+2kπ，k∈Z，ω∈(0, +∞)，ω＝12k+3(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为3，9. 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(log24.1)，b＝g(−20.2)，c ＝g(π)，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】∵奇函数f(x)在R上是增函数，∴当x>0时，f(x)>0．又对任意的x1，x2∈(0, +∞)且x1<x2，有0<f(x1)<f(x2)，∴g(x1)<g(x2)，∴g(x)在(0, +∞)上也是增函数，∵g(−x)＝−xf(−x)＝xf(x)，∴g(x)为偶函数．又log24.1∈(2, 3)，20.2∈(1, 2)，∴1<20.2<log24.1<π，而b＝g(−20.2)＝g(20.2)，∴b<a<c，10. 公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则m＝（）A.7 8B.85C.1D.95【答案】D【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ，再由等比数列的求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得m ．【解答】设{a n }的公比为q(q ≠0且q ≠1)，根据a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 3＝a 1+a 2，即2a 1q 2=a 1+a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2−q −1＝0，即(q −1)(2q +1)＝0．因为q ≠1，所以q =−12，则S 2=a 1(1−q 2)1−q=34⋅a11−q ，S 3=a 1(1−q 3)1−q=98⋅a11−q ，S 4=a 1(1−q 4)1−q=1516⋅a11−q ．因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 32=mS 2⋅S 4，即(98⋅a 11−q )2=m ⋅34⋅a 11−q ⋅1516⋅a 11−q ，得m =95．11. 若x >0，y >−1且满足2x +y ＝1，则2x 2+1x+y 2y+1的最小值是（）A.3B.32+√2C.2√2D.12+√2【答案】 B【考点】基本不等式及其应用【解析】对式子进行变形，再结合基本不等式求出最值．【解答】2x 2+1x+y 2y+1=2x +1x+y +1y+1−1=1x+1y+1，因为2x +y +1＝2，所以1x +1y+1=12(2x +y +1)(1x +1y+1)=12(3+y+1x+2x y+1)≥12(3+2√2)，当且仅当y+1x=2xy+1，2x +y ＝1时取等号，即x =2−√2,y =2√2−3时取得最小值32+√2．12. 已知函数f(x)={−13x 3+x 2,x ≤mx −m,x >m，若存在实数a ，使得函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（） A.(0, 2) B.(2, +∞) C.(0, 3) D.(3, +∞) 【答案】 B【考点】函数与方程的综合运用【解析】函数g(x)＝f(x)−a 恰好有4个零点，即函数y ＝f(x)的图象与y ＝m 的图象有4个交点；当x ≤m 时，利用导数求出函数f(x)的单调区间，讨论m 的范围作出函数f(x)的大致图象，根据图象分析交点的个数，从而得出答案；【解答】g(x)＝f(x)−a 的零点个数等价于直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点个数．令y =−13x 3+x 2,y ′=−x 2+2x ，当x <0时，y ′<0，当0<x <2时，y ′>0；当x >2时，y ′<0；所以函数y =−13x 3+x 2在(−∞, 0)上单调递减，(0, 2)上单调递增，(2, +∞)上单调递减；画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知当m >2时，存在直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点为4个；当0<m ≤2时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为3个；当m ≤0时，直线y ＝a 与函数f(x)图象的交点至多为2个；所以m 的取值范围为(2, +∞)．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）已知函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4 ，则f(5+log 26)的值为________．【答案】 12【考点】分段函数的应用【解析】根据题意，因为2<log 26<3，由函数的解析式计算可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)={2x ,x ≤4f(x −1),x >4，因为2<log 26<3，所以f(5+log 26)＝f(4+log 26)＝…＝f(1+log 26)=21+log 26=2×6=12．已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，若a 2+a 5＝24，S 3＝S 9，则S n 的最大值为________．【答案】 72【考点】等差数列的前n 项和【解析】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24，设数列{a n }的公差为d ，利用通项公式求和公式即可得出．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0，可得数列{a n }的前6项为正，即可得出当n ＝6时，S n 有最大值．【解答】法一：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0．又a 2+a 5＝24，设数列{a n }的公差为d ，可得{a 1+5d +a 1+6d =0a 1+d +a 1+4d =24 ，解得{a 1=22d =−4，所以S n =−2n 2+24n ，故当n ＝6时，S n 有最大值，为72．法二：由S 3＝S 9，得a 4+a 5+...+a 9＝0，则a 6+a 7＝0，又a 2+a 5＝24>0，以数列{a n }的前6项为正，所以当n ＝6时，S n 有最大值，且S 6＝3(a 1+a 6)＝3(a 2+a 5)＝72．已知△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60∘，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，则AD →⋅BE →=________．【答案】43【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据所给数量关系可得AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，则将AD →⋅BE →进行化简即可．【解答】∵ AD →=23BC →−BA →,BE →=23BC →+13BA →，∴ AD →⋅BE →=(23BC →−BA →)⋅(23BC →+13BA →)=49|BC →|2−13|BA →|2−49BC →⋅BA →=49×9−13×4−49×3×2×cos60=4−43−43=43．函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值为________．【答案】 3√34【考点】三角函数的最值【解析】对函数求导，分类讨论确定函数的单调性，求得函数的极大值点即可得解．【解答】由题意可得：f′(x)＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx−1＝(2cosx−1)(cosx+1)，∵cosx+1≥0，∴当cosx>12时，f′(x)>0，当−1<cosx<12时，f′(x)<0，即当2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z时，f(x)单调递增，当2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z时，f(x)单调递减，故f(x)在x=2kπ+π3,k∈Z处取得极大值即最大值，且f(x)max=sinπ3+12sin(2×π3)=√32+12×√32=3√34．三、解答题（共6小题，满分0分）已知函数f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1．（1）求a的值及f(x)的最小正周期；（2）若f(α)=−13，α∈(0,π2)，求sin2α．【答案】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．【考点】二倍角的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】（1）由已知结合f(π3)=1求得a值，再由诱导公式及两角差的余弦变形，利用辅助角公式化积，则周期可求；（2）由f(α)=−13，求得2α−π6的正弦值，进一步求出余弦值，再由sin2α＝sin[(2α−π6)+π6]，展开两角和的正弦求解．【解答】由f(x)=2asin(π2−x)cos(x−2π3)，且f(π3)=1，得2a×12×12=1，解得a＝2．∴f(x)=4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1．∴f(x)=2sin(2x−π6)−1的最小正周期为π；由f(α)=−13，得2sin(2α−π6)−1=−13,sin(2α−π6)=13，∵α∈(0,π2)，∴2α−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2α−π6)=13<12，∴2α−π6∈(0,π6)．∴cos(2α−π6)=2√23．则sin2α=sin[(2α−π6)+π6]=sin(2α−π6)cosπ6+cos(2α−π6)sinπ6=13×√32+2√23×12=√3+2√26．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2+1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n4−n，求数列{c n}的前n项和T n．【答案】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）由数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，化简可得数列{a n}的通项公式；将a n=b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1中的n换为n−1，相减可得{b n}的通项公式；（2）求得c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】因为S n=n2+n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时,a n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，又a1＝2也满足上式，所以a n=2n(n∈N∗)；又b12+1+b222+1+⋯+b n2n+1=a n=2n，所以b12+1+b222+1+⋯+b n−12n−1+1=2n−2(n≥2,n∈N∗)，两式作差得，b n2n+1=2，所以b n=2n+1+2(n≥2,n∈N∗)，当n＝1时,b13=2,b1=6，又b1＝6满足上式，所以b n=2n+1+2(n∈N∗)；因为c n=a n b n4−n=2n(2+2n+1)4−n＝n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+⋯+(n−1)×2n+n⋅2n+1，两式相减，得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，即−T n=2n+1−2−n⋅2n+1，所以T n=(n−1)⋅2n+1+2．如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC＝60∘，AD为∠BAC的平分线，AD=√3．（1）若DC＝2BD，求c；（2）求△ABC面积的最小值．【答案】因为DC＝2BD，∠BAD＝∠CAD，所以S△ABDS△ADC =BDDC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC，所以AC＝2AB．在△ABD，△ACD中，由余弦定理，得cos30=222√3c =√32,cos30=224√3c=√32，解得c=32．设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，所以DC=bcx，在△ABD，△ACD中，由余弦定理可知222√3c =b2+3−(bxc)22√3b=√32，所以x2＝c2+3−3c，b2x2c2=b2+3−3b，消去x，得b2(c2+3−3c)＝c2(b2+3−3b)，化简，得(b−c)(bc−b−c)＝0．当b＝c时，△ABC为等边三角形，此时b=c=2,S△ABC=√3；当bc＝b+c时，由基本不等式可得bc=b+c≥2√bc,bc≥4，当b＝c＝2时取等号，此时S△ABC=12bcsin60=√34bc≥√3．综上可得，△ABC面积的最小值为√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）由已知利用三角形的面积之比可求AC＝2AB，在△ABD，△ACD中分别应用余弦定理即可求解c的值．（2）设BD＝x，则由（1）可知BDDC =ABAC，可求DC=bcx，在△ABD，△ACD中，分别应用余弦定理，化简可求得(b−c)(bc−b−c)＝0，分类讨论可求三角形的面积．【解答】因为DC ＝2BD ，∠BAD ＝∠CAD ，所以S △ABDS△ADC=BD DC=12AB⋅AD⋅sin∠BAD 12AC⋅AD⋅sin∠CAD =AB AC，所以AC ＝2AB ．在△ABD ，△ACD 中，由余弦定理，得cos30=222√3c=√32,cos30=224√3c=√32，解得c =32．设BD ＝x ，则由（1）可知BDDC =ABAC ，所以DC =bc x ，在△ABD ，△ACD 中，由余弦定理可知222√3c=b 2+3−(bx c)22√3b=√32，所以x 2＝c 2+3−3c ，b 2x 2c 2=b 2+3−3b ，消去x ，得b 2(c 2+3−3c)＝c 2(b 2+3−3b)，化简，得(b −c)(bc −b −c)＝0．当b ＝c 时，△ABC 为等边三角形，此时b =c =2,S △ABC =√3；当bc ＝b +c 时，由基本不等式可得bc =b +c ≥2√bc,bc ≥4，当b ＝c ＝2时取等号，此时S △ABC =12bcsin60=√34bc ≥√3．综上可得，△ABC 面积的最小值为√3．已知函数f(x)＝a x +b(a >0，且a ≠1)，满足f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，其中n ∈N ∗．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求证：1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49．【答案】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4，即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列，则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1，即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．【考点】不等式的证明【解析】（1）解法一：根据f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，可得f(2)＝15，再由{a +b =3a 2+b =15求出a ，b 的值即可得到f(x)的解析式；解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4，则数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列，从而得到f(n)＝4n −1，进一步得到f(x)的解析式；（2）由（1）知f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，从而得到1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1)，进一步证明1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<49．【解答】解法一：因为f(1)＝3，且f(n +1)＝4f(n)+3，所以f(2)＝4f(1)+3＝15，即{a +b =3a 2+b =15，所以{a =4b =−1 或{a =−3b =6 （舍去），∴ f(x)＝4x −1．解法二：由f(n +1)＝4f(n)+3(n ∈N ∗)，得f(n +1)+1＝4f(n)+4，即f(n+1)+1f(n)+1=4，∴ 数列{f(n)+1}是以4为公比，4为首项的等比数列，则f(n)+1＝4n ，∴ f(n)＝4n −1， ∴ f(x)＝4x −1．证明：由（1）得f(n)＝4n −1(n ∈N ∗)．由于4n−1≥1，即4×4n−1−3×4n−1≥1，∴ 4n −1≥3×4n−1，即f(n)＝4n −1≥3×4n−1，1f(n)≤13×4n−1，∴ 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)≤13×(1+14+142+⋯+14n−1) =13×1−(14)n 1−14=13×1−(14)n34 =49×(1−14n )<49．已知函数f(x)=lnx+ax+x(a∈R)．（1）当a＝0时，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；（2）若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，求实数a的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（2）求出导函数化简，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，利用函数的单调性，通过①当a≤2时，②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，利用导函数判断函数的单调性，求解函数的极值，转化求解实数a的取值范围．【解答】当a＝0时，f(x)=lnxx +x，f′(x)=1−lnxx2+1，则f(1)＝1，f′(1)＝2，故曲线f(x)在x＝1处的切线方程为：y−1＝2(x−1)，即2x−y−1＝0．f(x)=lnx+ax +x(x>1)，f′(x)=1−lnxx2+1−ax2=x2−lnx−a+1x2，令F(x)＝x2−lnx−a+1，则F′(x)=2x−1x =2x2−1x，当x∈(1, +∞)时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，又F(1)＝2−a，故①当a≤2时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)上单调递增，无极值；②当a>2时，F(1)<0，F(a)＝a2−lna−a+1，令G(x)＝x2−lnx−x+1，则G′(x)=2x−1x −1=2x2−x−1x，当x>2时，G′(x)>0，函数G(x)在(2, +∞)上单调递增，G(2)＝3−ln2>0，所以在(2, +∞)上，G(x)>0恒成立，所以F(a)＝a2−lna−a+1>0，所以函数F(x)在(1, a)上存在唯一零点x＝x0，所以f(x)在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增，此时函数f(x)存在极小值．综上，若函数f(x)在区间(1, +∞)上有极值，则a>2．故实数a的取值范围为(2, +∞)．已知函数f(x)=12x2+lnx−2mx(m>0)．（1）判断函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有极大值点x＝t，求证：tlnt>mt2−1．【答案】由题意，知f′(x)=x2−2mx+1x(x>0)，对于方程x2−2mx+1＝0，△＝4(m2−1)，①当0<m≤1时，△＝4(m2−1)≤0，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增．②当m>1时，令f′(x)＝0，则x1=m−√m2−1，x2=m+√m2−1，当0<x<m−√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m−√m2−1<x<m+√m2−1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>m+√m2−1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述，当0<m≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m>1时，f(x)在(0,m−√m2−1)，(m+√m2−1,+∞)上单调递增，在(m−√m2−1,m+√m2−1)上单调递减．由（1）可知当m>1时，在x=m−√m2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x=m−√m2−1，则t=m−√m2−1=2∈(0,1)．由f′(t)=t2−2mt+1t =0，得m=t2+12t，要证tlnt>mt2−1，只需证tlnt−mt2+1>0，只需证tlnt−t2+12t⋅t2+1>0，即2tlnt−t3−t+2>0，t∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx−x3−x+2，x>0，则ℎ′(x)＝2lnx−3x2+1，令φ(x)＝2lnx−3x2+1，x>0，则φ′(x)=2x −6x=2−6x2x，当0<x<√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0，故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0，又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0，即tlnt >mt 2−1．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，分类讨论得f(x)的单调性．（2）由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)．由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0，【解答】由题意，知f ′(x)=x 2−2mx+1x(x >0)，对于方程x 2−2mx +1＝0，△＝4(m 2−1)，①当0<m ≤1时，△＝4(m 2−1)≤0，f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增． ②当m >1时，令f ′(x)＝0，则x 1=m −√m 2−1，x 2=m +√m 2−1，当0<x <m −√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；当m −√m 2−1<x <m +√m 2−1时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x >m +√m 2−1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述，当0<m ≤1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当m >1时，f(x)在(0,m −√m 2−1)，(m +√m 2−1,+∞)上单调递增，在(m −√m 2−1,m +√m 2−1)上单调递减．由（1）可知当m >1时，在x =m −√m 2−1处时，函数f(x)取得极大值，所以函数f(x)的极大值点为x =m −√m 2−1，则t =m −√m 2−1=m+√m 2−1∈(0,1)．由f ′(t)=t 2−2mt+1t=0，得m =t 2+12t，要证tlnt >mt 2−1，只需证tlnt −mt 2+1>0，只需证tlnt −t 2+12t⋅t 2+1>0，即2tlnt −t 3−t +2>0，t ∈(0, 1)，令ℎ(x)＝2xlnx −x 3−x +2，x >0，则ℎ′(x)＝2lnx −3x 2+1，令φ(x)＝2lnx −3x 2+1，x >0，则φ′(x)=2x−6x =2−6x 2x，当0<x <√33时，φ′(x)>0，ℎ′(x)单调递增；ℎ(x)max =ℎ(√33)=21n√33<0，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)＝0，故x ∈(0, 1)时，2xlnx −x 3−x +2>0，又t ∈(0, 1)，则2tlnt −t 3−t +2>0，即tlnt >mt 2−1．。

2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）

2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三(上)第一次月考数学试卷1(9月份)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.-<(-2-3<)=()A.3-2iB. 3+2iC.一3-2iD.一3+2i2.己知集合』=俱次2+*—6VO},B=(-2,2).则J B=()A.(-3,-2)B. (-3,-2]C.(2,3)D.[2,3)3.下列函数既是奇函数，又在区间[-1,0]上单调递减的是()A./(x)=—X+1B.f(x)=-x2C./(x)=-2xD./(x)=x4.若一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为()正(A4 B.5C T D.65-已知^Z=2,则sin%+s"c*+l等于()A? B.：D・[6.函=sin2x的图象经过变换得到y=sin(2x+y)的图象，则该变换可以是()A.所有点向右平移:个单位B.所有点向左平移：个单位C.所有点向左平移：个单位D.所有点向右平移^个单位7.已知直线(fl-l)x+y-l=0与直线2x+ay+ 1 =0平行，则实数a=()A.2ng-1B.2C. -1D.|8.已知双曲线C的中心为原点，点F(克0)是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1,则C的方程为()A. x 2-y 2 = lB. x 2-^=lC.亡一日=1D.仁—二=122 3 3 3logix （x > 0）9・设函数『（'）= T°%（_x ）侦VO ）'若•则实数〃的取值范围是（）10. A. (-8,§C. (-8,o )u (o ,9在圆*2 +),2 = 4内任取一点A,B.匝B. (0,1)D. 0则过点A 的直线被圆。

截得的弦长恒大于2的概率为（）A 5号11.已知三棱锥P — ABC 满足匕APB = APC =乙BPC = 60% PB = PC = -PA 12.=1>则三梭锥P —PBC的体积等于（）A.匹B.爽C.亚262当a>0时，函数/（%） = （/-心）/的图象大致是（）D.归13.册填空题（本大题共4小题，共20.0分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是H = »4-1/输出$ /I I I结束14./4x-y-2 < 0设x ，y 满足约束条件kZn +1~°，若目标函^z = ax + by(a>0l b>0)最大值为1,则三+： I X U o DVy > 0的最小值15. A ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为s b. c 9 }t 2bcosB = acosC+ ccosA 9 则3 =16. 已知向嗣，B 的夹角为60。

【数学】江西省临川2020届高三上学期第一次联考理科数学试题(扫描版含答案)

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量．设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2，从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。

2020届江西省抚州市临川二中2017级高三上学期第一次月考数学(理)参考答案

则由
PC

n
=
0
，得

3x − 3z = 0 ，
PA n = 0 −3y − 3z = 0
令 z = 1，则 x = 3 ， y = −1，
则 n = ( 3, −1,1) 为平面 PAC 的一个法向量，
故 cos n, DP = 3 = 5 ， 53 5
故二面角 P − AC − D 的平面角的余弦值为 5 ． 5
临川二中 2020 届高三第一次月考
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号பைடு நூலகம்1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 B D B A D C A B A C B C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 1 2
14． 06
15． 4 3 3
16． 9 2
三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分． 17．
18．解：（Ⅰ）因为 AC = 3BC ， AB = 2BC ，所以 AB2 = ( 3BC)2 + BC2 = 4BC2 ，所以 ABC 是直角三角形， AC ⊥ BC ；在 RtABC 中，由 AC = 3BC ， CAB = 30 ，不妨设 BD =1，由 AD = 3BD 得， AD = 3 ， BC = 2 ， AC = 2 3 ，在 ACD 中，由余弦定理得 CD2 = AD2 + AC2 − 2AD AC cos 30 = 3 ，故 CD = 3 ，所以 CD2 + AD2 = AC2 ，所以 CD ⊥ AD ；因为 PD ⊥ 平面 ABC ， CD 平面 ABC ，所以 PD ⊥ CD ，又 PD AD = D ，所以 CD ⊥ 平面 PAB ，又 CD 平面 PCD ，所以平面 PAB ⊥ 平面 PCD ．