最新原创：3.2.1直线的点斜式方程
(完整版)第三章3.2.1直线的点斜式方程
3．2.1直线的点斜式方程学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一直线的点斜式方程思考1如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0.知识点二 思考1 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？ 答案 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得：y ＝kx ＋b .思考2 方程y ＝kx ＋b ，表示的直线在y 轴上的截距b 是距离吗？b 可不可以为负数和零？ 答案 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 思考3 对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. ①l 1∥l 2⇔________________，②l 1⊥l 2⇔________________.答案 ①k 1＝k 2且b 1≠b 2 ②k 1k 2＝－1类型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(－3,1)且平行于y 轴的直线方程是________．(2)直线y ＝2x ＋1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程是________．(3)一直线l 1过点A (－1，－2)，其倾斜角等于直线l 2： y ＝33x 的倾斜角的2倍，则l 1的点斜式方程为________． 答案 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ， 设其倾斜角为α，则tan α＝33得α＝30°， 那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)． 跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行． 解 (1)y －5＝4(x －2)；(2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.类型二 直线的斜截式方程例2 (1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________．答案 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 (1)已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程；(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.(2)∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12，∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.类型三 平行与垂直的应用例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 解 (1)由题意可知，12212l l k k a ＝－，＝－，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，12214l l k a k ＝－，＝， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．反思与感悟 设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2⇔两条直线重合；(3)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.跟踪训练3 已知在△ABC 中，A (0,0)，B (3,1)，C (1,3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线的方程； (3)求过A 与BC 平行的直线方程．解 (1)直线AB 的斜率k 1＝1－03－0＝13，AB 边上的高所在直线斜率为－3且过点C ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)．(2)直线BC 的斜率k 2＝3－11－3＝－1，BC 边上的高所在直线的斜率为1且过点A ，所以BC 边上的高所在直线的方程为y ＝x .(3)由(2)知，过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1，其方程为y ＝－x .1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 2．倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是____________． 答案 y －1＝33(x －2) 解析 ∵斜率为tan 30°＝33， ∴直线的方程为y －1＝33(x －2)． 3．(1)已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则 a ＝________；(2)若直线l 1∶y ＝－2a x －1a 与直线l 2∶y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.答案 (1)－1 (2)－23解析 (1)由题意可知a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.(2)由题意可知⎩⎨⎧－2a＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.4．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解 (1)∵与直线y ＝2x ＋7平行， ∴该直线斜率为2， 由点斜式方程可得y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1 ∴所求直线的方程为y ＝2x －1. (2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴该直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．3．判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程的点斜式为( )A ．y －2＝－33(x ＋4) B ．y －(－2)＝－33(x －4) C ．y －(－2)＝33(x －4) D ．y －2＝33(x ＋4) 答案 B 解析 由题意知k ＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y －(－2)＝－33(x －4)． 2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1答案 C解析 ∵方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．4B ．2C ．－2D ．±2答案 C解析因为l1∥l2，所以a2－3＝1，a2＝4，所以a＝±2，又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则12a≠1，即a≠2，故a＝－2.4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()答案 C解析①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，只有C成立．5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( )A ．(1,3)B ．(－1，－3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)答案 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．二、填空题7．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为______________．答案 y ＝－13x ＋13解析 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y ＝－13x ，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13. 8．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________．答案 (3,2)解析 ∵y ＝a (x －3)＋2，即y －2＝a (x －3)，∴直线过定点(3,2)．9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．答案 k ≥32解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________．答案 y ＝34x －3 解析 根据题意知直线l 的斜率k ＝34， 故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1， 则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1. ∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3. ∴直线l 1的方程为y ＝34x －3. 11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________． 答案 y ＝34x ±3 解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ， 令y ＝0得x ＝－4b 3， 由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12， |b |＋43|b |＋53|b |＝12， 4|b |＝12，∴b ＝±3，∴所求直线方程为y ＝34x ±3. 三、解答题12．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．解 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)， ∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)， 即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158. 同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2. 直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2. ∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的方程为y ＝32x －35.。
3.2.1直线的点斜式方程
l 上.
斜率为k 的方程为： 经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程为：
y − y0 = k ( x − x0 )
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定 点斜式方程 的，所以我们把它叫做直线的点斜式方程. 所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1) （1）经过点A(3,-1),斜率是 2 ； y + 1 = 2( x − 3);
-2 -1 O
x
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 （1）斜率是 ，在 y 轴上的截距是-2； 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 y= x−2 2 （2）斜率是 − 2 ，在 y 轴上的截距是4.
y = −2 x + 4.
课堂小结： 课堂小结：
1、直线的点斜式方程：y − y1 = k ( x − x1 )
2、直线的斜截式方程：y = kx + b.
y
P0 x0 , y0 ) （
l
O
x
y − y0 = 0或y = y0
思考2: 思考
问题四：经过点P0 ( x0 , y0 ), 倾斜角 为90 的直线方程是什么？
y
o
l
P0 ( x0 , y0 )
x
O
x = x0
思考3: 思考
问题五：经过点P0 (0, b), 斜率 为k的直线方程是什么？
y
l
P0 (0, b)
y = kx + b
x
O
斜率
y轴上的截距
此方程由直线 l 的斜率和它在 y轴上的截距确 直线的斜截式方程。 所以这个方程也叫作直线的斜截式方程 定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。
用3.2.1直线的点斜式方程完稿
直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
复习回顾
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为 k1、k2，有
l1∥l2
k1＝k2.
前提条件：不重合、都有斜率
垂直：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、 k2，则有
l1⊥l2
k1k2=-1.
前提条件：都有斜率
特殊角的正切值
tan 0 0, 3 tan 30 , 3 tan 45 1, tan 60 3, tan 90 不存在； tan120 3, tan135 1, 3 tan150 . 3
直线过定点问题 由直线l的点斜式方程y－y0＝k(x－x0) 可知，此直线l过定点(x0,y0); 由直线l的斜截式方程y＝kx+b 可知，此直线l过定点(0,b).
练 1.方程y=k（x+1）表示（ C ） 习 A．通过点（1，0）的所有直线 B．通过点（-1，0）的所有直线 C．通过点（-1，0）且不垂直于x轴的直线 D．通过点（-1，0）且除去x轴的直线
2．直线l在坐标轴上的截距
纵坐标 (1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的_______ ．b (2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的_______ ． 横坐标 a
温馨提示：
截距是直线与坐标轴交点的纵（或横）坐标， 截距是一个数值，可正、可负、可为零． 当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离； 当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数； 当截距为0时，直线过原点。
3．直线的斜截式方程
名称 斜截 式 温馨提示：
已知条件 斜率k和在y轴上 的截距b
示意图
方程
3.2.1__直线的点斜式方程
1 故所求直线的方程为 3＝－2(x＋2)或 y－3＝ 9 －2(x＋2)． (12 分)
3 1 5．(1)过点(1,2)且与 y＝－ x－ 平行的直线方程为 4 4 ________________． (2)过点(2,1)且与 y＝－2x＋10 垂直的直线方程为 ____________________．
3 解析：(1)易知直线的斜率为－4，故直线方程为 y－2 3 ＝－4(x－1)． 1 (2)设所求直线斜率为 k，则－2· k＝－1，∴k＝2，故 1 直线方程为 y－1＝2(x－2)．
3 答案：(1)y－2＝－4(x－1) 1 (2)y－1＝2(x－2)
6．光线自点M(2,3)射到y轴的点N(0,1)后被y 轴反射，其反射光线过点(2，－1)，求反射
(1)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′平行， 求其方程； (2)若l与过点(－4,4)和(－3,2)的直线l′垂直，
求其方程．
[精解详析]
2－4 (1)由斜率公式得 kl′＝ ＝－2， －3－－4
∵l 与 l′平行， ∴kl＝－2. 由直线的点斜式方程知 y＋3＝－2(x－2)， (2)∵直线 l′的斜率为 k＝－2，l 与其垂直， 1 ∴kl＝2. 1 由直线的点斜式方程知 l：y＋3＝2(x－2)．
1．直线的点斜式方程 (1)定义：如图所示，直线l过
定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方
程
y y0 k x x0 叫做直线l
的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定 点P(x0，y0)，倾斜角是90°的 直线没有点斜式，其方程为
x－x0＝0，或 x＝x0
.
2．直线的斜截式方程
(2)斜率必须存在，只有这两个条件都具备才
3.2.1直线的点斜式方程
思维拓展
拓展1:
y ①过点(2, 1)且平行于x轴的直线方程为___ 1
x ②过点(2, 1)且平行于y轴的直线方程为___ 2
1 y ③过点(2, 1)且过原点的直线方程为___ x 2
④过点(2, 1)且过点(1, 2)的直线方程为___
x y 3 0
思维拓展
拓展2:
①过点(1, 1)且与直线y＝2x＋7平行的直线
（3）经过点C(0, 3)，倾斜角是0°；
y3
3
1.写出下列直线的点斜式方程：
（4）经过点D(－4, －2)，倾斜角是120°. y 2 3 ( x 4) 2.填空题： （1）已知直线的点斜式方程是 y－2=x－1，那么此直线的 斜率是__________,倾斜角是_____________. 45 1
(2) l1 l2 的条件是什么？
结论: l1 : y k1 x b1，l2 : y k2 x b2
l1 // l2 l1 l2
k1 k2 ,且 b1 b2
k1k2 1
练习（P95第4）:判断下列各对直线是否平行 或垂直。
1 1 （1）1 : y x 3, l2 : y x 2; l 2 2
（2）
平行
5 3 l1 : y x, l2 : y - x. 3 5
垂直
形式
条件
直线方程
应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 斜率存在 y y0 k ( x x 0 ) 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距 为b,且斜率为k
y kx b
斜率存在
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率 存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。
3.2.1直线的点斜式方程
5
y - 5 = 0
O
x
②直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求 直线方程。 代入点斜式方程，得l的直线方程：y - b =k （ x - 0）
即
y = kx + b。
(2)
例3：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
例6：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5） 5 5
kL 2 3 2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) ,即
2x + y －1 = 0
㈢巩固： ①经过点（- 2，2）倾斜角是300的直线的方程是 （A）y＋ 2 = 3 （ x－2） （B）y+2= 3 （x－ 2 ） 3 （C）y－2= （x＋ 2）（D）y－2= 3 （x＋ 2 ） 3 ②已知直线方程y－3= 3（x－4），则这条直线经过的已知 点，倾斜角分别是 （A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6 （C）（4，3）；π/ 6 （D）（－4，－3）；π/ 3 ③直线方程可表示成点斜式方程的条件是 （A）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在 （C）直线不过原点 （D）不同于上述答案
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程 y= 5x + 4 即5 x - y + 4 = 0
4
例5：求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1
直线过点（1，2）代入点斜式方程得
3.2.1直线的点斜式方程
2－1.若直线 ax＋by＋c＝0 在第一、二、三象限，则( A．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0 D．ab＜0，bc＜0
D )
a 解析：由题意，直线的斜率一定大于 0，所以 k＝－b＞0， c 即 ab＜0；根据直线的纵截距大于 0，可得－b＞0，即 bc＜0.
的方程是？
y
l
P( x, y)
P 0 ( x0 , y0 )
y y0
y y0 k ( x x0 ) x x0
故:
x
x x0
o
y y0 k ( x x0 )
经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程 为：
y y0 k ( x x0 )
点斜式方程和斜截式方程的应用 例 3: 已知直线 l 经过点 P(－5，－4)，且 l 与两坐标轴围成 的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程． 思维突破：由题意知所围三角形为直角三角形．根据直角 三角形面积公式以及直线方程求出该直线在两坐标轴的坐标即 可． 解：由已知：l 与两坐标轴不垂直．
∵直线 l 经过点 P(－5，－4)， ∴ 可设直线 l 的方程为 y－(－4)＝k[x－(－5)]， 即 y＋4＝k(x＋5)．
3.2.1 直线的点斜式方程
复习引入： 一、直线斜率的求解公式：
1)k t an 2)k
注意：
( 900 ) ( x2 x1 )
y2 y1 x2 x1
不是所有的直线都有斜率，源自斜率不存在的直线为与 x 轴垂直的直线
0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 若直线 l 经过点P
y 2x 4
y2
y
3.2.1 直线的点斜式方程课件人教新课标
重合;③l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的 直角三角形. (1)求a;
解:(1)因为 BA⊥BC.
所以直线 BA 的斜率 kBA 与直线 BC 的斜率 kBC 满足 kBA·kBC=-1,
kBA= a 1 ,kBC= a 3 ,
行或垂直,它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等
于x0,所以它的方程是
x-x0=0或x=x0
k与y-y0=k(x-x0)是不同的,前者表示的直线上缺少一个点
P0(x0,y0),后者才表示整条直线.
(2)经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程
自我检测(教师备用)
1.过点P(2,-1),斜率为 2 的直线的点斜式方程为( C ) (A)y-1= 2 (x-2) (B)y-1= 2 (x+2) (C)y+1= 2 (x-2) (D)y+1= 2 (x+2) 2.直线 l 的倾斜角为 120°,且过点 P(1,2),则直线 l 的方程为( C ) (A)y= 3 x+ 3 +2 (B)y= 3 x+ 3 -2 (C)y=- 3 x+ 3 +2 (D)y=- 3 x+ 3 -2
入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直
线的斜截式方程.
即时训练2-1:根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为30°,在y轴上的截距是-2;
解:(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5. (2)因为倾斜角α=30°,所以斜率 k=tan 30°= 3 ,由斜截式可得方程为
3.2.1直线的点斜式方程
【错因分析】
上述解法的错误主要在于“误把直线在
两轴上的截距当作距离”．
【防范措施】
直线在两轴上的截距是直线与坐标轴交
点的横、纵坐标，而不是距离，因此本题在先求得截距后， 应对截距取绝对值再建立面积表达式．
4 【正解】 设 l：y＝－ x＋b，令 x＝0 得 y＝b；令 y＝0 3 3 得 x＝4b， 1 3 由题意得2· |b |· |4b|＝6，∴b2＝16，∴b＝± 4. 4 故直线 l 的方程为 y＝－ x± 4. 3
温故而知新
1、直线的倾斜角 与斜率k的关系是
k tan (
2
)
2、过点A x1, y1 、B x2 , y2 的直线的斜率是
y1 y2 k （x1 x2） x1 x2
3、简述在直角坐标系中确定一条直线的 几何要素
（1）直线上的一点和直线 的倾斜角（或斜率） （2）直线上两点
试试自己的能耐
4.直线 l 过点P(2，1)，且斜率为3，点Q(x,y)是 l 上不同于P的一点，则x、y满足怎样的关系式？
设直线l经过点 P0(x0,y0) ,且斜率为k，点P(x,y)为
直线l上不同于P0的任意一点，则x、y满足的关系式
y y0 k x x0 是_____________
你这节课有什么收获？
1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条 y－y1 直线上一个定点的连线的斜率相同，故有 ＝k，此式 x－x1 是不含点 P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为 y －y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存 在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x＝x1.
④ 经过点P0 ( x0 , y0 ) 且垂直于 x 轴的直线方程？
3.2.1直线的点斜式方程(最新)
（点P不同于点A时）
y 3 2[ x (1)]
o
P( x, y)
1 直线 l 上每一点的坐标(x,y)都满足：
y 3 2[ x (1)];
x
l
2 坐标满足此方程的每一点都在直线 l 上.
问题2：若直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 的方程是？
若角A为直角， m 1 m 2, 解得： 7. 则 k AC
C4
3 所以，m 2或3,7.
讲授新课：
一、直线的点斜式方程
问题1: 若直线 l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线 l 上运动,则点P的坐标(x , y)满足怎样的关系式？
y
A(1,3)
y 3 2 x (1)
y2 y1 ( x1 x2 ) k x2 x1
温故知新 4、倾斜角
0 90
Байду номын сангаас 0
与斜率 k 的关系
k __ 0,
90
k0
k
越大 越大， k ___
k __ 0, 越大， k越大 ___ 90 180 5、若两条不重合直线斜率都存在时，
不能用点斜式求方程
O x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
x x0 0 x x0 直线y轴的方程:
x=0
例1:直线l经过点P0(-2, 3)，且倾斜角＝45º ， 求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解:直线l经过点P0(-2, 3)，斜率 k tan45 1,
0
应用新知
代入点斜式方程得
y
l
3.2.1 直线的点斜式方程
y y0 (2)方程y-y0=k(x-x0)与方程k= 不是等价的,前者是整 x x0
条直线,后者表示去掉点P(x0,y0)的一条直线. (3)当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点 (x0，y0)的无数条直线.
例1 直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α =45°，求
是否都在直线l上? 为什么？
当 P与P重合 时，有x = x0 ,y = y0 ,此时满足y - y0 = k(x- x）； 0 0
y - y0 当x≠x0时，则k = ,即P(x,y)在过点P(x 0 0 ,y0 ), x - x0 斜率为k的直线l上.
直线的点斜式方程 由直线上一定点和直线的斜率确定的直线 方程，叫直线的点斜式方程.
【例】已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则a= 【解析】因为l1∥l2，所以a2+1=2,a2=1①，所以a=〒1，
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，
则3a≠3②，即a≠1，故a=-1. 答案:-1
例.过点P(2,1),且倾斜角是直线l:x-y-1=0的倾斜角的两 倍的直线方程为 ( A.x-2y-1=0 C.y-1=2(x-2) ) B.x=2 D.2x-y-1=0
解：（1）若l1 //l2，则k1 = k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1 ≠b2；反之k1 = k2，且b1 ≠b2时，l1 //l2 . （2）若l1 ⊥ l2，则k1k2 = -1；反之k1k2 = -1时，l1 ⊥ l2 . 于是我们得到，对于直线 l1：y = k1x + b1，l2：y = k2x + b2， l1 //l2 k1 = k2且b1 ≠b2； l1 ⊥ l2 k1k2 = -1.
3.2.1点斜式直线方程
.
即2 x y 5 0
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1
例2.①已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，
1 ，倾斜角是_____ 那么直线的斜率是____ 45 ，
(1, 2) ； 此直线必过定点______
3 ②已知直线的点斜式方程是 y 2 ( x 1) 3
点斜式方程
y
l
①倾斜角α°≠90
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l x0
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
O
xபைடு நூலகம்
x x0 0或x x0
练习：已知直线经过点P1,3 ，求
（1）倾斜角为 0 时的直线方程；
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
1 x
（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 称为直线 l 的点斜式方程。
3– P
l
o
–
一般的，设直线l经过点 P 1 ( x1 , y1 )，斜 率为 k 则方程 y y1 k ( x x1 )叫做直线 的点斜式方程。
－1
局限性：只适用于斜率存在的情形。
3 是______ ，倾斜角是 _______. 30 3
(1, 2) ，直线的斜率 那么此直线经过定点_______
例3.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程 y+5=-2(x-3) 2x+y-1=0
例4.求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。
3.2.1直线的点斜式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解 由题意可知，kl1＝2a－1，kl2 ＝4，
∵l1⊥l2， ∴4(2a－1)＝－1，解得 a＝38. 故当 a＝38时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3 垂直.
反思与感悟 设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝ k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么： (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)两条直线重合⇔k1＝k2，且b1＝b2； (3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
跟踪训练 2 已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，
求 l 的斜截式方程. 解 设直线方程为 y＝16x＋b，则当 x＝0 时，y＝b； 当 y＝0 时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线 l 的斜截式方程为 y＝16x＋1 或 y＝16x－1.
跟踪训练 3 已知直线 l：y＝(a2－2)x＋2a＋9 与直线 y＝－12x＋1 垂直， 且与直线 y＝3x＋5 在 y 轴上的截距相同，求 a 的值.
解 由题意知(a2－2)×－12＝－1，解得 a＝±2. ∴当a＝2时，直线l：y＝2x＋13； 当a＝－2时，直线l：y＝2x＋5. 又直线l与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同， ∴a＝－2.
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 C.k<0，b>0
√B.k>0，b<0
D.k<0，b<0
解析 ∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
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典例透析
【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
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典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
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典例透析
正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
3.2.1直线的点斜式方程
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
练习
根据下列条件，求直线的方程,并画出图形:
(1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3;
x 2
x
y 3
1
(2)在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6.
5
y 6
1
练习
下列四个命题中的真命 A.经 过 定 点 P
0
题是(
B)
(x 0 ,y 0 )的 直 线 都 可 以 用
即
y=kx+b
为所求的直线方程 . 1 说明： . b叫做直线l在y轴上的截距；b∈R 2. y=kx+b ——直线方程的斜截式 .
形式
条件
方程
应用范围
点斜式
过点( x0,y0), 斜率为k
y y0 k ( x x0 )
不含与x轴垂 直的直线 不含与x轴垂 直的直线
斜截式 在y轴上的截距 为b,斜率为k
y kx b
注：应分“斜率存在”和“斜率不存在” 两种情 况分别考虑
例2 已知直线
l1 : y k 1 x b1 , l 2 : y k 2 x b 2
试讨论：（1） l1 // l 2 的条件是什么？ （2） l l 的条件是什么？ 1 2 解：（1）若 l1 // l 2 ，则 k 1 k 2 此时
直线l 经过点P1（x1, y1），斜率为k,求直 线l 的方程。
当直线的倾斜角为0°时， 0 . k
此时直线的方程是
y y1
当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率 此时直线的方程是
x = x1
例1 直线l 经过点P1（-2, 3），倾斜角α=45º， 求这条直线的方程，并画出图形。 解： 这条直线经过点
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳
3.2.1直线的点斜式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．【常考题型】题型一、直线的点斜式方程【例1】(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．【类题通法】已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.【对点训练】1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．题型二、直线的斜截式方程【例2】 (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．【类题通法】1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．【对点训练】2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．题型三、两直线平行与垂直的应用【例3】 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？(2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？【类题通法】判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．【对点训练】3．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.【练习反馈】1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．参考答案【例1】[答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0【对点训练】1.(1) y －5＝4(x －2)．(2) y －3＝x －2.(3) y ＝－1.【例2】[答案] (1)y ＝－33x －3 【对点训练】2．y ＝33x －5. 【例3】 [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行．【对点训练】3．解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4.∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38. (2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行．【练习反馈】1．答案：D 2．选A 3．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．答案：y ＝－3x ＋25．解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.。
3.2.1直线的点斜式方程
温故而知新
1.直线的倾斜角α与斜率k的关系是
k tan __________
2.过点A(x1,y1)、B (x2,y2)的直线的斜率
y1 y2 x1 x2 k＝_______
3.简述在直角坐标系中确定一条直线的 几何要素.
（1）直线上的一点和直线 的倾斜角（或斜率） （2）直线上两点
y
.
(1)当直线l的倾斜角为0°时, tan0 °=0,即k=0 这时直线l与x轴平行或重合,那么l的方程就是: y-y0=0, 或 y=y0 (2)当直线l的倾斜角为90°时, 斜率不存在
x , y P 0 0 0
o
y
x
.
这时直线l与y轴平行或重合,那么l的方程就是: x , y P x-x0=0,或x=x0 0
相信这个也难不倒你
直线l经过点 P0(x0,y0) ,且斜率为k，点
P(x,y)为直线l上不同于P0的任意一点，则x、
y y0 k x x0 y满足的关系式是_____________
y
P0 x0, y0
.
o
.
p x, y
y y0
x x0
点斜式方程
x
学会自己探究 直角坐标系上任意直线都可以用直 线的点斜式方程表示吗?
2
4、直线 2 x 3 y 1 0 的斜率为 上的截距为 1 ,y轴上的截距为
2
1 3
2 3
,x轴
学好数学要善于总结
你这节课有什么收获？、斜截式方程： y kx b
它们都是在斜率K存在时才适用。
3、垂直于X轴： x x0 垂直于Y轴：y y
广州第八十一中学
麦庆河
3.2.1 直线的点斜式方程
二、典型问题与方法
1．直线的点斜式方程 例 1 直线 l 经过点 P0(－2，3)，且倾斜角 α＝45° ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l. (链接教材 P93 例 1) [解析] 直线 l 经过点 P0(－2，3)，斜率是 k＝tan 45° ＝1，
代入点斜式方程得 y－3＝x＋2. 画图时，只需再找出直线 l 上另一点 P1(x1，y1)，取 x1＝－1，y1＝4，得 P1 的坐标为(－1，4)， 过 P0，P1 的直线即为所求，如图． 【方法小结】由点斜式写直线方程时，由于过 P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时 方程为 y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在时，直线方程为 x＝x0. 【变式训练】 1．写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点 B(－ 2，2)，倾斜角是 30° ；(2)经过点 C(0，3)，倾斜角是 0° . 解：(1)因为倾斜角是 30° ，所以直线的斜率是 故直线的点斜式方程为 y－2＝ 3 ， 3
3．2.1 直线的点斜式方程
一、课本知识梳理
1．直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 点斜式 已知条件 点 P(x0，y0) 和斜 率k 斜率 k 和在 y 轴上 的截距 b 示意图 方程 y－y0＝k(x－x0) 使用范围 斜率存在Βιβλιοθήκη 斜截式y＝kx＋b
斜率存在
2.直线 l 的截距 (1)直线在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b． (2)直线在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a，0)的横坐标 a．
3 (x＋ 2)． 3
(2)因为倾斜角是 0° ，所以直线的斜率为 0，则直线的点斜式方程为 y－3＝0(x－0)，即 y＝3.
2．直线方程的斜截式及应用 例 2 已知直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2 的条件是什么？(2)l1⊥l2 的条件是什么？ (链接教材 P94 例 2) [解析](1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，此时 l1，l2 与 y 轴的交点不同，即 b1≠b2；反之，k1＝k2，且 b1≠b2 时，l1∥l2. (2)若 l1⊥l2，则 k1k2＝－1；反之，k1k2＝－1 时，l1⊥l2. 【方法小结】对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且 b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
3.2.1直线的点斜式方程
问题引入
在平面直角坐标系内，如果给定
一条直线 l 经过的一个点 P0 x0 , y0 和斜率 k ，能否将直线上所有的点的
坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？ l
y
P0 O
x
问题引入
直线经过点 P0 x0 , y0 ，且斜率为 k ，
设点Px, y 是直线上不同于点P 的任意一 0
x x0
0 ，或
x x0
y
l
P0
O x
y 轴所在直线的方程是：
x0
典型例题
例1 直线
画出直线 l ．
l 经过点 P0 2,3 ,且倾斜
y
4 3
角 45，求直线 l 的点斜式方程，并
P 解：直线 l经过点 P0 2,3 ，
l
斜率 k tan 45 1，
1、根据条件写出下列直线的方程： （1）过点A（-4,3），斜率k=3； （2)过点B（-1,4），倾斜角为135°；（Leabharlann ）过点C(-1,2)且与y轴平行；
（4）过点D（2,1）和E(3,-4)
2、根据条件写出下列直线的方程：
（1）过点A（-1,2），在y轴上 的截距为-2；
（2)过点B（3,4），且在两坐标 轴上的截距相等； （3）过点C(-5,-4)且其倾斜角 是直线 y 3x 3 的倾斜角的一半。
点，因为直线 l 的斜率为k ，由斜率公式得：
即：
y y0 k ， x x0
y y0 k x x0
y
P
P0 O
l
x
直线的点斜式方程 方程 y y0 k x x0 由直线上一点及
3.2.1《直线的点斜式方程》
②已知直线方程y－3= 3（x－4），则这条直线经过的已知 ），则这条直线经过的已知 已知直线方程 － － ）， 点，倾斜角分别是 ）（4， ）； ）；π/ ）（－3，－ ）；π/ （A）（ ，3）； 3 ）（ （B）（－ ，－ ）； 6 ）（－ ，－4）； ）（4， ）； ）；π/ ）（－4，－ ）；π/ （C）（ ，3）； 6 ）（ （D）（－ ，－ ）； 3 ）（－ ，－3）； ③直线方程可表示成点斜式方程的条件是 （A）直线的斜率存在 ） （B）直线的斜率不存在 ） （C）直线不过原点 ） （D）不同于上述答案 ）
0
(3)经过 C ( 0,5), 倾斜角是 0
0
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角： 率和倾斜角： (1)yx(1)y-2 = x-1
(2) y + 2 =
3x +
3
2、直线的斜截式方程： 、直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是 ， 轴的交点是P（ ， 已知直线 的斜率是k，与y轴的交点是 （0， 的斜率是 轴的交点是 y b），求直线方程。 ），求直线方程 ），求直线方程。
代入点斜式方程， 的直线方程 的直线方程： 代入点斜式方程，得l的直线方程： y - b =k （ x - 0） ） (2) 即 y = kx + b。
.(0,b)
O
x
直线l与 轴交点 轴交点(0,b)的纵坐标 叫做直线 在y轴 的纵坐标b叫做直线 直线 与y轴交点 的纵坐标 叫做直线l在 轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率 与它在 轴上的截距b 方程 是由直线的斜率k与它在 轴上的截距 是由直线的斜率 与它在y轴上的截距 确定，所以方程(2)叫做直线的 确定，所以方程 叫做直线的斜截式方程，简 称斜截式。
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第三章 3.2.1直线的点斜式方程
制作人：王俊兰 审核人：王俊兰 使用时间：2016.2.26
学习目标：
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 预习导航：
要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注 1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 2：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程 为直线的点斜式方程.
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.
5.直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线 叫做直线的斜截式方程.
注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的 . 6：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论. 问题探究：
要求：在上课时认真思考，积极主动地和同组同学交流讨论大胆发言质疑，并能自己总结方法，最后要对本堂课的重点知识进行归纳。
探究问题（一）直线的点斜式方程
若直线经过点P (x 0，y 0)，且斜率为k ，直线上任意一点的坐标(x ，y )满足什么关系式？ 进而推导出点斜式方程，分析方程特点 特殊情况：倾斜角为00时直线方程 倾斜角为900时的直线方程
例1：一条直线经过点P 1（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的方程，并画出图形。
练习：写出下列直线的点斜式方程：
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角： (1)y-2 = x-1
探究问题（二） 直线的斜截式方程
1.已知直线l 的斜率是k,与y 轴的交点是P(0,b),求直线方程
2.截距的定义
例2：斜率是 5，在y 轴上的截距是 4 的直线方程。
变式：斜率是5，在y 轴上的截距是 -4 的直线方程？
练习、写出下列直线的斜截式方程
探究问题三 斜截式方程下的平行与垂直
练习：判断下列各直线是否平行或垂直 1.
2.
课堂小结：1.这节课学到了什么2.各小组表现如何 课下作业P 951,2（2）3.（2）4
11:3
2l y x =+2),1,3()1(斜率是经过-A 0
30),2,2()2(倾斜角是经过-B 0
0),5,0()3(倾斜角是经过C 3
32)2(+=+x y 2,23)1(-轴上的截距是在斜率是y 4,2)2(轴上的截距是在斜率是y -?l (2)
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