工程计划的模糊时间 Pet ri 网 ( FT PN ) 模型

2003年4月系统工程理论与实践第4期　文章编号:100026788(2003)0420111204工程计划的模糊时间Petri网(FT PN)模型张新龙1,夏国平1,朱友芹2(1.北京航空航天大学经济管理学院,北京100083;2.大众报业集团,山东济南250014)摘要:　针对工程计划中工序作业时间的不确定性,传统网络计划方法缺乏数学表达能力的问题,提出了用模糊时间Petri网(FT PN)表达工程计划的新模型Λ在讨论了工序完工隶属函数之后,给出了FT PN的形式化描述及触发规则,依据工程计划的FT PN建模规则,把求取关键路径转化为一个基于代数方程求取FT PN中特定标识的问题Λ算例表明,文中所提出的模型既能正确且更加直观的表达工程计划问题,又能形式化地描述并计算工程计划问题Λ关键词:　模糊时间Petri网;工程计划中图分类号:　O157.5 文献标识码:　A M odel of P ro ject Schem e Based on Fuzzy2ti m ing Petri N etZHAN G X in2long1,X I A Guo2p ing1,ZHU You2qin2(1.Schoo l of Econom y&M anagem en t,Bei H ang U n iversity,Beijing100083,Ch ina;2.D azhong N ew s Group,J inan 250014,Ch ina)Abstract:　D ue to the ti m e uncertain ty of activities and the ab sence of fo rm al descri p ti on of p ro jectschem e,a new model is p ropo sed based on the fuzzy2ti m ing petri net(FT PN).O n the basis of the fo r2m al defin iti on,firing ru les and m athem atic p roperties,w e u se FT PN p lo t the p ro ject schem e clearly.andtu rn the p rob lem of critical path to a special m ark s of FT PN.In P ractice,w e draw the conclu si on thatFT PN is no t on ly u sed to exp ress the p ro ject schem e p roperly and clearly,bu t also give the fo rm al rep2resen tati on and compu tati on easily.Key words:　fuzzy2ti m ing petri net(FT PN);p ro ject schem e 在网络计划技术应用中,如何确定工序作业时间一直是工程界所关心的问题[1]Λ原因就在于工程计划中,工序作业时间具有不确定性,它包括活动发生的随机性、现有知识无法掌握客观情况所产生的不知性及人们对事物按一定准则予以划分所产生的模糊性[2]Λ针对不同形式的作业时间不确定性,文献[2]认为,我们所需要处理的信息并不是事物本身的不确定性,而是管理人员对这种不确定性的主观反映,将模糊数学的概念和方法引入网络计划模型中将更贴切地反映出对工序作业时间的描述Λ由于网络计划不仅能正确地反映出工序的关系,又能计算出关键路径和关键工序,从而使其在工程界得以广泛应用[3],但是它仅仅是一种图形工具,只能静态地反映计划工期,不能动态地、以代数形式对计划进行分析Λ自20世纪60年代以来,越来越多的科技工作者用Petri网来表达各种过程和问题,且取得了很好的效果[4]Λ究其原因主要是Petri网作为图形化建模工具,具有直观、易懂和易用的优点,对描述和分析并发现象有独到之处;而作为一种数学化工具,它又是严格定义的数学对象,可通过建立各种状态方程、代数方程及其它数学特性对静态结构特性及行为特性予以分析[5]Λ鉴于模糊集能够很好地表达工序作业时间的不确定性,Petri网既能以图形化又能以数学化表达工序及相互关系,本文将模糊时间与Petri网相结合形成模糊时间Petri网描述工程计划,它不但能正确表达收稿日期:2002203221资助项目:国家自然科学基金(79870005) 作者简介:张新龙(1975-)男,江苏扬州人,博士研究生,主要研究方向:企业流程建模及Petri在管理中的应用工序、作业时间及工序间关系,而且可以通过其数学化工具,形式化地描述工程计划,通过代数运算,把网络计划问题转化成了一个求取FT PN 特定标识问题,降低了工程计划的计算复杂度Λ1　工序完工隶属函数的建立对工程计划的某一工序的隶属函数而言,有两个阈值t 1,t 2,其中t 1表示工序完工起码时间,低于该阈值工序无法完工,完工隶属度为0,而t 2表示工序正常完工时间,大于该阈值,则工序一般能按时完成,图1　Β=1时工序完工隶属函数隶属度为1,根据实践,工序完工隶属函数为Λi (t )=0,t <t i 1t -t i 1t i 2-t i 1Β,t i 1Φt Φt i 21,t >t i 2其中Β一般由工程所属类别决定,对Β=1而言,所对应的隶属函数如图1所示.由模糊数学的扩张定理得如下定理.定理1　两个隶属函数Λi (x )=[t i 1,t i 2],Λj (y )=[t j 1,t j 2],则Λi (x )与Λj (y )相迭加的联合隶属函数为Λi +j (z )=Λi (x )+Λj (y )=[t i 1+t j 1,t i 2+t j 2]Λi (x )与Λj (y )的求大函数为m ax (Λi (x ),Λj (y ))=[t i 1∨t j 1,t i 2∨t j 2]2　模糊时间Petr i 网形式化描述及相关特性[1,2]定义1　模糊时间Petri 网(Fuzzy 2T i m ing Petri N et ,FT PN )是一个六元组:FT PN =(P ,T ,I ,O ,M 0,()其中,P 为FT PN 的一有限非空集合,表示任务,用布尔量表示,容量为1;T 是FT PN 为变迁元素集,表示任务的执行,且有P ∩T =5,P ∪T ≠5;I 为变迁输入弧,而O 则为变迁的输出弧,I 和O 的权系数均为1;(为模糊数集合,代表库所的属性,其元素分别代表P 中库所对应任务完工时间Ζ FT PN 是纯网,即:设X =P ∪T , Πx ∈X 3,x ∩x 3=5还要说明的是,库所P 中存在两个特殊的库所p start 和p end ,它们分别表示整个工程计划的开始和结束,从库所p start 到库所p end 的所有路径中不存在死锁现象Ζ称3t ={p (p ,t )∈I }为变迁t 的前序,称t 3={p (t ,p )∈O }为变迁t 的后继,则F T PN 中变迁使能条件和触发效果分别为变迁t 使能条件,在标识M 下,Πp 1∈3t ,M (p 1)=1,且Πp 2∈t 3,M (p 2)=0,记为M [t >变迁t 触发效果,标识M 经过t 触发,形成标识M ′,即M [t >M ′,有Πp 1∈3t ,M ′(P 1)=0,Πp 2∈t 3,M ′(p 2)=1 定义2　关联矩阵设P ×T 作为序标的矩阵C :C :P ×T →Z其对应的矩阵元素:C (p i ,t j )=w (t j p i )-w (p i ,t j )其中,w (t j ,p i )=1,　(t j ,p i )∈O0,　(t j ,p i )|O ;　w (p i ,t j )=1,　(p i ,t j )∈I0,(p i ,t j )|I则C ij 与F T PN Ζ定理2　设m 维列向量表示状态标识M ,即M =[M (p 1),M (p 2),…,M (p m )]T 211系统工程理论与实践2003年4月系统从初始标识M 0经过一系列的变迁Ρ,得标识M ,即M 0 Ρ>M用关联距阵C 表示该过程时,状态方程:M =M 0+CU其中,U 表示FT PN 的—向量,它以变迁集T 为序标,对应的各变迁分量t 在Ρ中出现的次数为大小的列变量Ζ3　工程计划的模糊时间Petr i 网建模一项工程往往有若干道工序组成,在各工序间的先后关系及工序完工时间均知道的情况下,可以对该工程计划进行FT PN 建模和关键路径的计算Λ在具体FT PN 建模过程用两个变迁t i 1和t i 2一个库所p i 表示工序i ,其中t i 1表示工序的开始,而t i 2表示工序的结束,(i 则表示该工序作业完成所需时间Ζ具体的建模规则可参见文献[6],这里仅强调一下虚拟工序表达问题Ζ图2　引入虚拟库所的FT PN 表达(p 0为虚拟库所)在网络图的绘制过程中,为了描述“当W 和X 完成之后Y 才能开始,而一旦X 完成之后,Z 即可开始”的情形,一般引入虚拟工序的概念Ζ同理,在FT PN 描述中为表达工序间类似关系,也要引入类似概念,即虚拟库所,它仅表达工序的先后关系,而时间为0Ζ具体如图2表示Ζ4　工程计划计算模型及计算步骤设从p start 到p end 的路径为n 条,用d i (i =1,2,…,n )表示每一条路径,对应的长度为L i ,实际工程所要求的时间为L 0,则工程计划计算模型为Α=Λ(L op )s .t .L op =m ax (L 1,L 2,…,L n )Λ(L op )=Λ(L 0)具体的求解过程步骤为:步骤1　画出工程计划对应的FT PN 表达图,对所有库所标上对应的时间;步骤2　对FT PN 表达图,依据定义2,算出关联矩阵C ;步骤3　设FT PN 的初始标识为M start ,结束标识为Mend ,依据IC =0求取仅含有整数元素的、非零向量I ;步骤4　设向量I 对应有n 个向量值,求取对应的库所序列d i (i =1,2,…,n );步骤5　依据库所序列d i ,依据定理1,算得所有库所序列的模糊路径长度L i .步骤6　依据模糊路径长度Ρ,求取模糊关键路径d i ,在工程工期约束条件下,求得对应的隶属度Α,并对隶属度予以讨论Ζ5　算例设有一项工程,它所具有的工序数,工序完成的时间及相互的先后关系如表1所示.表1　工序代号A B C D E F G H I 所需时间[1,2][5,7][4,7][2,4][5,8][4,6][3,4][4,5][3,5]紧前工序B A A B ,CD ,F G 311第4期工程计划的模糊时间Petri 网(FT PN )模型图3　工程计划的FT PN 表达图 根据表1所提供的数据对该工程计划予以FT PN 建模,其表达图如图3所示Ζ依据工程计划计算相应步骤求得从库所start 到end 1的5条库所序列(工序路径),它们分别为:Rou te 1:start -A -E -end 1;Rou te 2;start -A -F -H -end 1;Rou te 3:Start -B -D -H -end 1Rou te 4:start -B -Kong -G -I -end 1;Rou te 5:start -C -G -I -end 1依据相应库所序列求得各条路径的模糊长度,它们分别为L 1=[6,10],L 2=[9,13],L 3=[11,16],L 4=[11,16],L 5[10,16] 依据定理1的求大原则,得工程计划的模糊关键路径[3]L op =[11,16]设其工期约束L 0=10,13,18.1)对约束条件L 0=10,则模糊关键路径可知,该项工程根本不能按时完成;2)对约束条件L 0=13,工程按时完成的可能性为50%;3)对约束条件L 0=20,工程按时完成的可能性为100%.6　总结本文通过模糊时间Petri 网(FT PN )的形式化描述,给出了FT PN 的触发规则、代数方程的运算定理及隶属函数的加法和取大规则,利用FT PN 的这些特性把传统的网络计划转变为一个求解FT PN 代数方程的T _变量问题,通过计划计算模型及计算步骤,可以方便地求得计划的关键路径Λ实践表明,FT PN 用库所表达工序、用变迁表达工序的启始和完成,比传统网络图用箭线表示工序、用圆圈表示作业的开始或结束更加的直观,含义更加的明确,同时,FT PN 把一个基于图形的作业问题转变为一个代数问题,可以方便地、动态地计算各工序的作业完成时间Λ参考文献:[1]　陈浩光,赵宏宇,陈庆华.应用于航天试验的模糊网络计划方法[J ].系统工程与电子技术,1999,20(4):12-14.[2]　M cCabon C S .U sing PER T as an app rox i m ati on of fuzzy p ro jecti on netw o rk analysis [J ].IEEE T ran sacti on on En 2gineering M anagem en t ,1993,40(2):146-153.[3]　N asu ti on S H .Fuzzy critical path m ethod [J ].IEEE T ran sacti on on System ,M an and Cybernetics ,1994,24(1):48-57.[4]　P ro th J M ,M in is I .Comp lex ity of P roducti on M anagem en t in a Petri net Environm en t [R ].T he U n iversity ofM aryland and H arvard U n iversity ,1994.[5]　H eng L i .Petri net as a fo rm alis m to assis p rocess i m p rovem en t in the con structi on indu stry [J ].A u tom ati on in Con 2structi on ,1998(7):349-356.[6]　许安国.工程问题的时序Petri 网的建模与求解[J ].系统工程理论与实践,1995,15(8):20-29.[7]　李若刚,王国祥等.关于网络计划模型中的时间不确定性的讨论[J ].系统工程与电子技术,1997,19(8):40-45.[8]　刘锡荟,王海燕.网络模糊随机分析——原理、方法和程序[M ].北京:电子工业出版社,1991.411系统工程理论与实践2003年4月。