直线与圆的位置关系-培优题型

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直线与圆的位置关系知识点及例题

直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

九年级数学竞赛培优专题及答案 20 直线与圆的位置关系1(含答案)

专题20 直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于E .若AB ＝3，DE ＝2，则BC 的长为( ) （青岛市中考试题）A ．2B ．3C ．3.5D ．4例1题图例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C 点看可应用切线长定理，从E 点看可应用切割线定理，又EC 为⊙O 的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB ＝45°，∠ABC ＝120°，⊙O 的半径为1. (1) 求弦AC ，AB 的长;(2) 若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使P A 与⊙O 相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB 与BC ，或PC 与BC 的关系，或求得PB 或PC 的长，点P 的位置即可确定.E【例3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点.过点P 作BC 的平行线交BT 于点E ，交直线AC 于点F .(1) 当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：P A •PB ＝PE •PF ；(2) 当点P 为线段BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上.连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相较于点F ，⊙O 过点M ，C ，P .(1) 请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；(2)AF AN 与APAD是否相等？请说明理由； (3) 随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H .设AB 为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C ＝90°，⊙O 过点M ，C ，P ，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长.当矩形确定后，依据线段CP 的长，就可确定P 点的位置.TTC MNNN【例5】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD ，BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，连接EO 并延长交BC 于点F .求证：BF ＝FC . （太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF ＝FC ，只需证FO ⊥BC 即可，连接OA ，OB ，OD ，将问题转化为证明∠DAO ＝∠EFC .【例6】如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 交于点P ，M 是△ABC 的内切⊙I 与边BC 的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，求证：PD 是⊙I 的切线. （全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I 切AB 于点S ，连接IM ，IS ，ID ，直接证明∠PDI ＝90°困难，不妨证明∠PDI ＝∠PSI ，即证明△PIS ≌△PID .能力训练A 级1. P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A ，B 的任意一点，则∠ACB ＝__________.2.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）第2题图第3题图3. 如图，P A 切⊙O 于点A ，C 是AB 上任意一点，∠P AB ＝62°，则∠C 的度数是__________.（荆门市中考试题）P4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC .若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（）A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ，CB 是⊙O 的切线，D ，B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD ，BD ，给出以下四个结论：①AD ∥OC ；②E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE .其中正确的结论是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点，CF 切⊙O 于点C 并与AD 的延长线相交于点F .图中的四个三角形①△CAF ,②△ABC ,③△ABD ,④△BEC ，其中一定相似的是（） (连云港市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④第5题图第6题图第7题图7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ． (1) 求证：△ABC 是等腰三角形；(2) 设AB =10cm ，BC =8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ，OD ∥AB ．求证：(1) ED 是⊙O 的切线；(2) 2DE 2＝BE •OD .ACB9．如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ．(1) 求证：△ABC 是直角三角形；(2) 若tan A ＝34时，求AE 的长. (内蒙古中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1) 求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2) 连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值． (武汉市中考试题)11．如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若tan ∠ADB ＝34，P A ＝43－33AH ，求BD 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积. (成都市中考试题)ABC BECB 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°， ∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.2．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是EG 上的一点，则∠EPF ＝__________. （广州市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm. （全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（）A ．abB ．a ＋b 2C ．aba ＋bD ．a ＋b ab5．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为( )A ．1+33 B ．233 C ．33D ． 2第4题图第5题图第6题图6．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD ＝BD ．其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．如图，已知AC 切⊙O 于点C ，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于点D ，与CP 的延长线交于点B .若AC ＝PC .求证：(1) BD ＝2BP ；(2) PC ＝3BP . (天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2) 当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切? (呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的半圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1.求证：S △AOD ，S △BCD 是方程10x 2－51x ＋54＝0的两个根. (河南省中考试题)10.如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求弦CE 的长.(武汉市中考试题)CCABDE11.如图，直线y ＝43x ＋4交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，⊙O ′过A ，O 两点.(1) 如图1，若⊙O ′交AB 于点C ，当O ′在OA 上时，求弦AC 的长; (2) 如图2，当⊙O ′与直线l 相切于点A 时，求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙O ′的半径的长.12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长. (四川省竞赛试题)C专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB ADBC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略（2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF APAN AD≠，则MN ∥CD 。

直线与圆的位置关系的培优精编版

E 直线与圆的位置关系的培优1、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于D ，E 是AC 上一点。

（1）、若E 是AC 的中点，则DE 是⊙O 的切线，为什么？（2）、若DE 是⊙O 的切线，则E 是AC 的中点，为什么？2. 如图，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD ∥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样的位置关系？3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.切线相关拓展1. 已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径，内切圆的半径各为____________。

N2、三角形的三边长分别为5㎝、12㎝、13㎝，则三角形的内切圆的面积为________3、已知三角形的内切圆半径为3cm ，三角形的周长为18cm ，则该三角形的面积为。

4．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（）A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线交点D ．三条边的垂直平分线的交点5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是6.如图,PA,PB 是⊙O 的两条切线PA=8,过AB 弧上一点C,作切线分别交PA,PB 于D,E,若∠P=40°,求∠DOE .三角形PDE 的周长等于7．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.8、在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（）A 、abB 、ab b a + C 、b a ab + D 、2b a + . . . .9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一交点为D，则线段BD的长为．10.如图，⊙O内切于R t△ABC，∠C=90O，D、E、F为切点，若∠AOC=120O，则∠OAC= O，∠B= O，若AB=2cm，△ABC的外接圆半径= cm，内切圆半径= cm。

初三数学培优之直线与圆的位置关系(2)

初三数学培优之直线与圆的位置关系（2）阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1．如图1，以⊙I 为△ABC 的内切圆，则有：（1）AE =AF =a s -，BF =BD =b s -，CD =CE =c s -；（2）∠B +∠DIF =∠C +∠DIE =∠A +∠EIF =180°.这里BC =a ，CA =b ，AB =c ，s =12（a +b +c ）.2．如图2，设⊙I 为Rt △ABC 的内切圆，则有：（1）四边形IDCE 是正方形；（2）内切圆半径r =AC +BC －AB2.3．如图3，设⊙O 为四边形ABCD 的内切圆，则有；AB +CD =AD +BC .CB图1 图2 图3例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点.若BC =2，AC =3，则A E ·EB = .（全国初中数学联赛试题）解题思路：P 为Rt △ABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解.P E BCAOEDC例1题图例2题图【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（）A ．3∶ 4B ．4∶ 5C ．5∶ 6D ．6∶ 7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB 于F.求证：F是△CDE的内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质.ADFBC E【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI.求证：AB+AC=2BC.（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD 角平分线的交点.求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.B【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G . 求∠DEF 的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键.GFA BEDC能力训练A 级1．如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF 、BE 的长是方程x 2－13x +30=0的两根，则S △ABC 的值是 . （泰州市中考试题）F（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r =2，则AC = . （杭州市中考试题） 3．如图，已知直线6+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上可以移动的点，且点P 在点A 的左侧，PM ⊥x 轴，交直线6+-=x y 于点M . 有一个动圆O ′，它与x 轴、直线PM 和直线6+-=x y 都相切，且在x 轴上方.当⊙O ′与y 轴也相切时，点P 的坐标是 .（青岛市中考试题）4．如图，已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点（四川省中考题）CC（第4题图）（第5题图）5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点A 且和BC 相切于点D ，和AB 、AC 分别交于点E 、F .若BD =AE ，且BE =a ，CF =b ，则AF 的长为（）A ．1+52 aB ．1+32 aC ．1+52bD ．1+32b6.若0°＜α＜90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的△ABC 的内切圆半径r 与外接圆半径R 之和是（）（安徽省竞赛试题）A ．sin α+cos α2B ．tan α+cot α2C ．2sin αcos αD ．1sin α+cos α7．如图，设AD 是△ABC 的中线，△ABD 、△ADC 的外心分别为E 、F ，直线BE 与CF 交于点G . 若DG =12BC ，求证：∠ADG =2∠ACG .（“我爱数学”夏令营竞赛试题）8．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P .过C 点的切线与AD 交于点D .连结AO 、DO .（1）求证：△ABO ∽△OCD ；（2）若AB 、CD 是关于x 的方程x 2－52（m －1）x +（m －1）2=0的两个实数根，且S △ABO +S △OCD =20，求m 的值.OBDCPA（第7题图）（第8题图）（第9题图）9．如图，以坐标原点O 为圆心，6为半径的圆交y 轴于A 、B 两点，AM 、BN 为⊙O 的切线，D 为切线AM 上的一点（D 与A 不重合），DE 切⊙O 于点E ，与BN 交于点C ，且AD ＜BC . 设AD =m ，BC =n .（1）求m ·n 的值；（2）若m ，n 是方程2t 2－30t +k =0的两根，求：①△COD 的面积；②CD 所在直线的解析式；③切点E 的坐标.（辽宁省中考题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙O n为n个（n≥2）相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，…，⊙O n－1与⊙O n相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙O n都与AB相切，且⊙O1与AC相切，⊙O n与BC相切.求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛试题）AF G（第10题图）（第11题图）11．如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的内心分别是I1、I2、I3.求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省竞赛试题）B级1．如图，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半径为r，那么满足关系式r=aba+b的图形是.（把正确的所有图形的序号填在横线上）BACAB①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高. O1、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则O1O2= .（太原市竞赛试题）3．如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= .（五城市联赛试题）4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O 的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④P A为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④BBC（第3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC 、CD 、DA 相切，若BC =2，DA =3，则AB 的长（）A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定（全国初中数学联赛试题）6．如图，在矩形ABCD 中，连结AC .如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于点E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为（）A ．12B ．23C ．34 D ．不能确定，与AB 、BC 的长度有关（《学习报》公开赛试题） 7．一条直线DE 平分△ABC 的周长，同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O .（全国初中数学联赛试题）8．如图，AB 、BC 、CD 分别与圆相切于E 、F 、G ，AB =BC =CD . 连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF. 求证：PF ⊥BC . （江苏省竞赛试题）BD BFPG A E C（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC 中，CH 为高，R 、S 分别为△ACH 和△BCH 的内切圆与CH 的切点.若AB =1995，AC =1994，BC =1993，则RS 可表示成mn，其中m ，n 是互质的正整数.求m +n 的值.（美国中学生数学邀请赛试题）10．如图，△ABC 的三边满足关系式BC =12（AB +AC ），O 、I 分别为△ABC 的外心、内心.∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .求证：（1）AI =BD ；（2）OI =12AE.（湖北省选拔赛试题）KC（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （－2，0）、B （8，0）.以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD .（1）求C 、M 两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得△QMC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（南宁市中考试题）12．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，与AB 、AC 两边分别切于D 、E 两点，连结DE . 点P 是劣弧 ⌒DE 上的一个动点（不与D 、E 重合），过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥BC 于K ，PK 交DE 于L 点.求证：（1）PL 2=PM ·PN ；（2）PK =PM +PN .（黄石二中理科实验班自主招生考试试题）。

走进重高培优讲义专题集训初中综合教练第19讲直线与圆的位置关系

第19讲直线与圆的位置关系1．了解直线和圆的三种位置关系，了解圆的切线的概念，掌握直线与圆相切的判定及性质，会判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上的点画圆的切线，会切线性质的简单应用．2．理解两圆相切的概念，掌握两圆相切的性质及应用，了解两圆的位置关系及其判定，会进行涉及两圆位置关系的简单计算，掌握两圆连心线垂直平分公共弦这一性质．3．和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，学会作一个三角形的内切圆，会进行有关三角形内切圆的计算和论证．1．直线与圆的位置关系中出现的问题，具有较高的综合性，因此在分析和解决问题时，需要较强的空间想象能力和逻辑推理能力，充分注意挖掘题中的基本图形，化繁为简．2．圆中常见的辅助线：遇到直径，一般要引直径所对的圆周角；遇到切线，一般要引过切点的半径；遇到两圆相切，一般要引两圆的公切线（内公切线或外公切线）；遇到两圆相交，一般要引两圆的公共弦或连心线．3．掌握直角三角形内切圆半径的两种表示形式： ⋅-+=2)1(c b a r(2)[ab r Rt ABC a b c =∆++的各边长分别为a ，b ，c （斜边）]．例1 如图，⊙0是以数轴原点0为圆心、半径为1的圆，=∠AOB ,45 点P 在x 轴上运动，过点P 且与OB平行的直线与⊙O 有公共点，则OP 的取值范围是____．【方法归纳】直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，当圆心到直线的距离d<r(r 为圆半径)时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．【误区提醒】本题考查直线与圆的位置关系．解答本题的关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP 的值．例2 如图1，已知CD 是△.ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙0分别交CA ，CB 于点E ，F ，G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙0的切线，图1【方法归纳】切线的判定有两种情况：(1)直线与圆的公共点已知，常连接过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径．(2)直线与圆的公共点未知，常过圆心作直线的垂线段，然后证明这条垂线段等于圆的半径．切线的性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆的距离等于半径；③切线垂直于经过切点的半径，【误区提醒】切线的判定与性质容易混淆，在解题时要注意条件，例3 如图1，已知△ABC 内接于⊙0，AB 是⊙0的直径，点F 在⊙0上，且C 是BF 的中点，过点C 作⊙0的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E.(1)求证：.DE AE ⊥(2)若,4,60==∠AF BAF求CE 的长，图1【方法归纳】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，本题同时也考查圆周角定理．【误区提醒】利用切线的性质通常是连切点与圆心得到与切线垂直的半径，但要注意这是已知切点的情况，若切点未知，往往是先作与切线垂直的半径，得到切点，例4 阅读材料：如图1，△ABC的周长为L，内切圆⊙0的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，S△ABC表示△ABC的面积．图1 图2【方法归纳】本题是近几年中考中的热点问题——阅读理解问题，这类问题往往由三部分组成，分别是“理解与应用”“类比与推理”“拓展与延伸”，在解题时要充分理解题意，找出题中的关键语句，也可带着问题去看题目，要充分注意题目中的思想方法．【误区提醒】三角形的内切圆这部分知识涉及切线长定理、方程思想，在解题过程中要注意合理运用，例5 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙0交BC 边于点D ，交AC 边于点E.过点D 作⊙0的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，连接DE.(1)求证：BD=CD.(2)若,40=∠G 求∠AED 的度数．(3)若,2,6==CF BG 求⊙0的半径．图1【方法归纳】本题考查切线的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的性质和判定、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，能综合运用知识点进行推理是解题的关键，【误区提醒】圆的相关问题通常都是转化为三角形问题解决，直角三角形的勾股定理、相似三角形的比例关系都是常用的等量关系，方程思想是常用的思想方法，解题时要认真分析题意、研究图形，得到正确的数量关系，例【黔南州】如图1，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），已知点A的坐标为(O，3)．(1)求此抛物线的表达式．(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，切点为E，请判断抛物线的对称轴Z与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．(3)已知P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积，图1【方法归纳】本题涉及的知识点较多，要求学生全面掌握基础知识、熟练运用常用的知识和方法．从难度上看，本题难度并不高，因此区分度也不高；从题目的形式上看，本题属于经典的压轴题，立意明确、中规中矩，针对性很强，但是缺乏变化和新意．1．如图，,30o O =∠C 为OB 上一点，且6,oc =以点C 为圆心、3为半径的圆与OA 的位置关系是( )．A ．相离B ．相交 C.相切 D ．以上三种情况均有可能2．【深圳】如图，一把直尺、有一角为 60的直角三角板和光盘按如图摆放，A 为 60角与直尺的交点，AB=3，则光盘的直径是 ( )．3.A 33.B 6.C 36.D3．如图，AB 是⊙0的直径，C 是AB 延长线上一点，CE OB BC ,=是⊙0的切线，切点为D ，过点A 作,CE AE ⊥ 垂足为E ，则DE CD :的值是( )．21.A 1.B2.C3.D4．【泰安】如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心0，过点C 的切线与边AD 所在的直线垂直于点M ．若,55 =∠ABC 则∠ACD 等于( )．o A 20. 35.B 40.C 55.D5．已知BC AC ⊥于点,,,,c AB b CA a BC C ===下列各图中⊙0的半径为ba ab +的是( )．6．已知,90 =∠BAC 半径为r(r 为常数)的⊙0与两条直角边AB ，AC 都相切，设),(r a a AB >=BE 与⊙0相切于点E ，当150=∠ABE 时，BE 的长为( )． r A 23. r B 33. r C 215.- r D )32.(-7．【安徽】如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙0相切于点D ，E ．若D 是AB 的中点，则∠DOE =_________.（第7题）（第8题）8．【宁波】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心、PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,BP 的长为_________.9．如图，P AB AC AB DB AB CA ,6,2,,==⊥⊥为射线BD 上一动点，以CP 为直径作⊙0，点P 运动时，若⊙0与线段AB 有公共点，则BP 的最大值为_________．（第9题）（第10题）10．如图，已知△ABC 中，O C BC AC .90,6 =∠==是 AB 的中点，⊙0与AC ，BC 分别相切于点D 与点E.F 是⊙O 与AB 的一个交点，连接DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG=_________11.如图，AB 为⊙0的直径，AC 是⊙0的弦，AD 垂直于过点C 的直线CD ，垂足为D ，且AC 平分∠BAD.(1)求证：CD 是⊙0的切线．(2)若,5,1==AB AD 求AC 的长．12.如图，⊙0的圆心0在Rt△.ABC 的直角边AC 上，⊙0经过C ，D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO ，ED ，有BO∥ED，作弦AC EF ⊥于点G ，连接DF ．(1)求证：AB 为⊙0的切线．(2)若⊙0的半径为,53sin ,5=∠DFE 求EF 的长．13．如图，AB ，CD 为⊙0的直径，弦AE∥CD，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED=∠C.(1)求证：PE 是⊙0的切线．(2)求证：ED 平分∠BEP.(3)若⊙0的半径为5，CF=2EF ，求PD 的长，14．【深圳】如图，△ABC 内接于⊙0，,,2AC AB BC ==D 为 AC 上的动点，且⋅=1010cos B (1)求AB 的长度．(2)在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，AD ．AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ．AE 的值；若变化，请说明理由．(3)在点D 的运动过程中，过点A 作,BD AH ⊥求证：.DH CD BH +=1．【眉山】如图，AB 是⊙0的直径，PA 切⊙0于点A ，线段PO 交⊙0于点C ．连接BC.若=∠P ,36 则∠B 等于( )．27.A 32.B 36.C 54.D2．【重庆】如图，已知AB 是⊙0的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙0相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为,6,4=BC 则PA 的长为( )．4.A 32.B 3.C5.2.D（第2题）（第3题）3．【无锡】如图，在矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙0与边AB ，CD 分别交于点E ，F ，给出下列说法：①AC 与BD 的交点是⊙0的圆心；②AF 与DE 的交点是⊙0的圆心；③BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是( )．0.A 1.B 2.C 3.D4．【无锡】如图，菱形ABCD 的边,20=AB 面积为,320,90<∠BAD ⊙0与边AB ，AD 都相切，,10=AO 则⊙0的半径长等于( )． 5.A 6.B 52.C 23.D（第4题）（第5题）5．【台州】如图，在△ ABC 中，,6,8,10===BC AC AB 以边AB 的中点0为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )．6.A 1132.+B 9.C 332.D6．【长沙】如图，点A ，B ，D 在⊙0上，20,A BC ∠=是⊙0的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则 OCB ∠=（第6题）（第7题）7．【威海】如图，在扇形CAB 中，,AB CD ⊥垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为____．8．【大庆】已知直线)0(=/=k kx y 经过点(12，-5)，将直线向上平移)0(>m m 个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙0相交(O 为坐标原点)，则m 的取值范围是__________.9．【南京】如图，在矩形ABCD 中，,4,5==BC AB 以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形///A B CD的边//A B 与⊙0相切，切点为E ，边/CD 与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为_________.（第9题）（第10题）10.【泰州】如图，在△ABC 中，,135sin ,90==∠A ACB ,12=AC 将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 90得到 //,A B C P ∆为线段//A B 上的动点，以P 为圆心、/PA 长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为11．【北京】如图，AB 是⊙0的直径，过⊙0外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ．CD ．(1)求证：.CD OP ⊥(2)连接AD ，BC ，若OA CBA DAB ,70,50=∠=∠,2=求OP 的长．12．【黔西南州】如图，已知AB 为⊙0的直径，D 是BC 的中点，AC DE ⊥交AC 的延长线于点E ，⊙0的切线交AD 的延长线于点F ．(1)求证：直线DE 与⊙0相切．(2)已知AB DG ⊥且,4=DE ⊙O 的半径为5，求F ∠tan 的值．13.【德阳】如图，在直角三角形ABC 中，H ACB ,90 =∠是△ABC 的内心，AH 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点D ，连接DB.(1)求证：.DB DH =(2)过点D 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F ，已知,1=CE ⊙0的直径为5．①求证：EF 为⊙O 的切线．②求DF 的长．14.【广西】如图，△ABC 内接于⊙0，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥ BC，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连接BD.(1)求证：PG 与⊙0相切．(2)若,85=AC EF 求BE OC的值． (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为,,8OD PD =求OE 的长．1．【全国初中数学联合竞赛】如图，已知AB 是⊙0的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，若D AC CE DE ,58,43==为EF 的中点，则=AB _______.（第1题）（第2题）2．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CM 与DN 是半圆的切线，M ，N 为切点，若CM与DN 交于正方形内一点P ，则△PMN 的面积是______．3．【无锡】如图，菱形ABCD 的边长为=∠DAB cm ,2.60 点P 从点A 出发，以s cm /3的速度，沿AC 向点C 做匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以1 cm/s 的速度，沿射线AB 做匀速运动，当点P 运动到点C 时，点P ，Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t(s)．(1)当点P 异于点A ，C 时，请说明PQ∥BC.(2)以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，在整个运动过程中，t 为何值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？4．【扬州】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点0在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且2,1,OA OC ==矩形对角线AC ，OB 相交于点E ，过点E 的直线与边OA ，BC 分别相交于点G,H ．图1 图2(1)①直接写出点E 的坐标：_______．②求证：AG=CH.(2)如图2，以0为圆心、OC 为半径的圆弧交OA 于点D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数表达式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG ，GA ，AB 都相切时，求⊙P 的半径.答案。

个性化练习【培优2】直线与圆位置关系

直线与圆位置关系(培优二)1.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P 点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次2.如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-πEPABCD第10题图3.如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。

动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。

若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。

(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD 会是菱形。

yO xAB4.如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB ∥CD，AB=4，设CD、CE的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）= .5.如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）图①图②。

直线与圆的位置关系常见题型归纳

直线与圆的位置关系常见题型归纳（一）.直线与圆的位置关系判定： Eg1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作⊙C 。

（1）若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是；（2）若⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是；（3）若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是。

Eg2：如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径是1，直线AB 与x 轴交于点P （x ，0），且与x 轴正方向夹角为45°，若AB 与⊙O 有公共点，则x 值的范围是（）A ．﹣1≤x ≤1B ．22≤≤-x C ．22 x - D ．20≤≤xEg3：如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是_______．Eg4：如图，P 为∠AOB 边OA 上一点，∠AOB =30∘，OP =10cm ，以P 为圆心，5cm 为半径的圆与直线OB 的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定（二）.切线性质：1. 有关角度问题：Eg1：如图，AB 为⊙O 的切线，切点为A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，若∠ABO 的度数是32∘，则∠ADC 的度数是（）A.29∘ B.30∘ C.31∘ D.32∘Eg2：如图所示，线段AB 是⊙O 的直径，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于 ( )A ．50°B ．40°C ．60°D ．70°Eg3：如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25∘，则∠C=度．Eg4：如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=23，则∠EDC的度数为。

直线与圆的位置关系题型很全

若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．
注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，
2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。
若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。
小结：求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)证明直线l与圆C相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时, 直线l的方程.
题型五、判断点的个数问题
例1、圆x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 = 0上到直线x + y +1 = 0的距离为 2的点共有几个.
练习1:已知圆
x y ,4
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
2 2
B
A
O
x
| AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ]
2．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
y y ，由直线 l 与圆的方程构造以 x x
为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 kOP kOQ 的值，从而使问题得以解决．
解：设点 P 、 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ．一方面，由 OP OQ ，得
kOP kOQ 1 ，即
y1 y2 1 ，也即： x1 x2 y1 y2 0 ． x1 x2

(完整版)直线与圆的位置关系练习题

精品word完整版-行业资料分享专项训练：直线与圆的位置关系一、单选题1．直线截圆所得的弦长为A．B．C．D．2．直线与圆的位置关系是A．相切B．相交但不过圆心C．相交且过圆心D．相离3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是A．B．C．D．4．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不确定5．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．B．C．D．6．“”是直线与圆相切的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知集合，集合，若的概率为1，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知圆，直线，在上随机选取一个数，则直线与圆有公共点的概率为A．B．C．D．9．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点,则实数m的取值范围是A．(－2,2)B．(－1,1)C．[1,)D．(－,)10．设圆x2＋y2＋2x＋2y－5＝0与x轴交于A,B两点,则|AB|的长是A ．B ． 2C ． 2D ． 311．圆与圆都关于直线对称,则圆C 与y 轴交点坐标为 A ．B ．C ．D ．12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线和圆的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相离D ．相切13．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ． (－，) B ． [－，]C ． (－，)D ． [－，]14．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为 A ． B ．C ．D ．15．（题文）若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为A ．B ．C ．D ．16．动圆C 经过点，并且与直线相切，若动圆C 与直线总有公共点，则圆C的面积为（） A ．有最大值B ．有最小值C ．有最小值D ．有最小值17．已知直线：与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 518．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是( )．A ．B ． (－∞，]∪[0，＋∞)C ．D ．19．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值精品word 完整版-行业资料分享为（） A ．32 B ． 62 C ． 32或32- D ． 62或62- 20．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（） A ． []0,1 B ． []1,1- C ． 22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ． 20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值（）A ．322B ． 142C ． 324D ．3212- 22．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为22，则a 等于 A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．22 23．直线被圆所截得的最短弦长等于（） A ．B ．C ．D ．24．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（） A ． 23 B ． 2 C ． 6 D ． 325．过点且被圆截得弦长最长的直线的方程为（）．A ．B ．C ．D ．26．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ． 3x ＋y －5＝0B ． x －2y ＝0C ． x －2y ＋4＝0D ． 2x ＋y －3＝027．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ． x ＋y －2＝0 B ． x －y ＋2＝0 C ． x ＋y －3＝0 D ． x －y ＋3＝028．经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y -+= D ．210x y ++=二、填空题29．经过A (0,－1)和直线x ＋y ＝1相切,且圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程是______. 30．圆心为()1,0，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____． 31．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx的最大值为________． 32．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．三、解答题33．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0,(1)若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线l 的方程； (2)若点是圆C 上的动点,求的取值范围.34．已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.精品word完整版-行业资料分享参考答案1．D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】由条件求得圆心到直线2x+y-5=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【详解】圆（x-1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，-2）、半径为，圆心到直线2x+y-5=0的距离为，小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a，则设m=ab=a（1-a）=-a2+a，∴当时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是．故选：A．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．4．A【解析】【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，再根据圆的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.【详解】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以的直线方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.5．B精品word完整版-行业资料分享【解析】【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．6．C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论.【详解】由圆，可得圆心为，半径．∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．B【解析】【分析】A表示圆上的点，B表示直线直线上的点，要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然有交点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径即可求得a的取值范围【详解】A表示圆x2+y2=1上的点，圆心为（0,0），半径为1，B表示直线x+y+a=0上的点要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然相交，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径：故有：d＝≤1，解得：,故选：B.【点睛】本题考查了集合中的一种类型——点集，通常与平面几何相联系，从集合间的关系转化为直线与圆的位置关系，关键是理解A∩B≠Φ的概率为1与直线与圆必然相交的关系．8．C【解析】【分析】由有公共点这一条件，判断出直线和圆的位置关系，进而求得k的取值范围；由几何概型概率求解方法，可求得有公共点的概率值。

直线与圆的位置关系( 切线的判定与性质,十大题型)( 原卷版)

A．相切B．相交C．相离D．不能判断
解题技巧提炼
本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断．
①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离．
【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（）
【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点
，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）
（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．
【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）
A．0B．1C．2D．无法确定
解题技巧提炼
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
1、直线和圆相交⇔两个公共点，
【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．
【变式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【例题4】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是．
解题技巧提炼
本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.

专题07 直线与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题07直线与圆的位置关系【知识梳理】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．（2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断：当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离．3、圆的切线方程的求法（1）点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．（2）点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12||l x x =-．【专题过关】【考点目录】考点1：直线与圆的位置关系考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用考点3：切线问题考点4：切点弦问题考点5：弦长问题考点6：面积问题考点7：直线与圆中的定点定值问题【典型例题】考点1：直线与圆的位置关系1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点(,)P a b 在圆221x y +=上，则直线10ax by +-=与圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【答案】B【解析】由题意得221a b +=，又1d r ===，即直线与圆相切故选：B3．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）直线:(1)(1)20()l a x a y a a R ++-+=∈与圆222270C x y x y +-+-=：的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】B【解析】圆222270x y x y +-+-=，即22(1)(1)9x y -++=，表示以(1,1)-为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d =再根据2222248474799221a a a a d a a ++-+-=-=++，而27470a a -+=的判别式∆161961800=-=-<，故有29d >，即3d <，故直线和圆相交，故选：B ．4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y 为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =．当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B5．（2021·浙江台州·高二期中）直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．22m -≤≤B ．22m -<<C ．2m <-或2m >D ．2m ≤-或2m ≥【答案】B【解析】因为直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点所以圆心到直线的距离小于圆的半径圆心为()0,0，半径1r =1<，整理得：2m <解得：22m -<<故选：B ．6．（多选题）（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A ．直线l 与圆C 相离B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d ==，所以可知选项B ，D 正确，选项A ，C 错误．故选：BD7．（2021·四川眉山·高二期中）圆222440x y x y +-+-=与直线2140()tx y t t R ---=∈的位置关系为__________．【答案】相交【解析】由2140()tx y t t R ---=∈得(24)10()x t y t R ---=∈，令240,10,2, 1.x y x y -=--=∴==-所以直线过定点(2,1)P -．把(2,1)P -的坐标代入圆的方程的左边得到414440+---<，所以点(2,1)P -在圆内，所以直线和圆相交．故答案为：相交8．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，则实数b 的取值范围是___________．【答案】(-【解析】根据题意得圆C 的圆心为()0,0，半径为2r =，因为圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，1r <+3<，解得b -<<所以实数b 的取值范围是(-故答案为：(-9．（2022·全国·高二课时练习）已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______．【答案】()13,13-【解析】由圆的方程知其圆心为()0,0，半径2r =，设圆心到直线1250x y c -+=的距离为d ，则13c d =；圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则1cd =<，解得：1313c -<<，所以实数c 的取值范围是()13,13-．故答案为：()13,13-．考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用10．（2021·安徽·马鞍山二中高二期中）已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点(6,0)Q 所连线段的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）设(,)M x y ，因M 是线段PQ 的中点，而点(6,0)Q ，则有点(26,2)P x y -，因P 在圆：22(2)36x y ++=上，于是得：22(26)(22)36x y -++=，化简得：22(3)(1)9x y -++=，所以点M 的轨迹方程是：22(3)(1)9x y -++=．（2）假定存在符合条件的直线l ，当l 斜率不存在时，直线:0l x =与圆M 相切，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：3y kx =-，由223(3)(1)9y kx x y =-⎧⎨-++=⎩消去y 并整理得：22(1(64))40k x k x +-++=，则()22(64)1610k k ∆=+-+>，解得512k >-，122641kx x k ++=+，12241x x k =+，由2121212212()4x x x x x x x x +=⇔+=，得2226416()11k k k +=++，解得512k =-，与512k >-矛盾，所以不存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=．11．（2021·云南大理·高二期中）已知圆C 的圆心C 在直线40x y +-=上，且圆C 经过()2,0M ，()0,2N 两点．（1）求圆C 的方程；（2）已知点()0,P m ，过原点的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⊥．若13m <<，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】（1）设(),C a b ，则222240(2)(2)a b a b a b +-=⎧⎨-+=+-⎩，解得2a =，2b =．从而圆C 的半径2r ==，故圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=（或224440x y x y +--+=）．（2）设直线l ：y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ．联立224440y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩，整理得()2214(1)40k x k x +-++=，则1224(1)1k x x k ++=+，12241x x k =+．因为A ，B 两点在直线l 上，所以11y kx =，22y kx =，所以212241ky y k =+，1224(1)1k k y y k ++=+．因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以12121y m y mx x --⋅=-，即()21212120x x y y m y y m +-++=，则22222444(1)0111k mk k m k k k ++-+=+++，即24(1)41k k m k m+=++．因为()1,3m ∈，所以[)44,5m m+∈，所以24(1)451k k k +≤<+，解得1k ³．12．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点()1,3M -，()6,4N 且圆心G 在x 轴．（1）求圆G 的标准方程；（2）圆G 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于B ，C 两点，且5AB AC k k ⋅=-，求证：直线BC 恒过定点．【解析】（1）由题意设圆心为(,0)G a=3a =，5r ==，所以圆G 方程为22(3)25x y -+=；（2）在圆方程中令0y =得2x =-或8x =，所以(2,0)A -，BC 斜率存在时，设BC 方程为y kx m =+，设1122(,),(,)B x y C x y ，由()22x 325y kx m y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得222(1)2(3)160k x km x m ++-+-=，2224(3)4(1)(16)0km k m ∆=--+->，即22166250k m lm --+>（*），1222(3)1km x x k -+=-+，2122161m x x k -=+，12121212()()22(2)(2)AB ACy y kx m kx m k k x x x x ++=⨯=++++2212121212()52()4k x x km x x m x x x x +++==-+++，22222222(16)2(3)5(16)20(3)201111k m km km m km m k k k k ------+=+-++++，化简得223720m km k -+=，(2)(3)0m k m k --=，所以2m k =或3k m =，都满足（*）式．2m k =时，方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，舍去，3k m =时，方程为3y mx m =+，过定点1(,0)3-，BC 斜率不存在时，1111(,),(,)B x y C x y -，21152AB ACy k k x ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，22115(2)y x =+，又2211(3)25x y -+=，12x ≠-，解得113x =-，因此BC 也过点1(,0)3-．综上，直线过定点1(,0)3-．13．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．【解析】（1）圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)，半径1r =设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=因为直线l 与圆C 1<，解得403k <<．所以k 的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立()()222231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得()()2212440k x k x +-++=，所以122241k x x k ++=+，12241x x k =+，所以()()()21212121224212481k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=++uuu r uuu r ．由题设得()2428121k k k ++=+，解得12k =，所以直线l 的方程为122y x =+，所以圆心(2,3)C 在直线l 上，所以2MN =．14．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆C 经过两点A （2，2），B （3，3），且圆心C 在直线x －y +1=0上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值．【解析】（1）设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+，0∆>，所以21212121224(1)64(1)()1851k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以||MN 考点3：切线问题15．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上（1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程．【解析】（1）因圆心C 在直线:20l x y --=上，则设(,2)C a a -，由||||CA CB =得：，解得0a =，因此，圆心(0,2)C -，半径||5r CA ==，所以圆C 的方程为：22(2)25x y ++=．（2）设过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为：(5)(8)0m x n y -+-=，220m n +≠，5=，整理得：2430mn n +=，解得0n =或34m n =-，当0n =时，切线方程为：50x -=，当34m n =-时，切线方程为：34170x y -+=，所以过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为50x -=或34170x y -+=．16．（多选题）（2021·湖北·高二期中）设有一组圆()()()22:4k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点()3,0C ．存在定直线与圆k C 都相切D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个【答案】AC【解析】根据题意，圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2；依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确；对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，364040=-=-<，方程无解，B 错误；对于C ，存在直线y x =±0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =，这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，将(2,2)代入圆的方程可得22(2)()42k k -+=-，解得2k =D 错误；故选：AC ．17．（2021·安徽滁州·高二期中）过圆22:4O x y +=上一点(P -作圆O 的切线l ，则直线l 的方程是（）A ．40x -=B ．20x +-=C ．20x +=D ．40x +=【答案】D【解析】由题意点(P -为切点，所以1OP l k k ⋅=-，又OP k =l k =因此直线l 的方程为40x +=．故选：D18．（2021·天津市咸水沽第二中学高二期中）过点(3,1)M 作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（）A ．40x y +-=B ．40x y +-=或3x =C ．20x y --=D ．20x y +-=或3x =【答案】C【解析】根据题意，设圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0的圆心为C ，圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0，即()()22138-+-=x y ，其圆心为（1，3），又由点M 的坐标为（3，1），有()()2231138-+-=，即点M 在圆上，则13131-==--MC k ，则切线的斜率k ＝1，则切线的方程为y ﹣1＝（x ﹣3），即x ﹣y ﹣2＝0；故选：C ．19．（2021·山东济宁·高二期中）过点()2,3P -的直线l 与圆222230x y x y ++--=相切，则直线l 的方程是（）A ．2x =-或280x y -+=B ．280x y -+=C ．2x =-或210x y ++=D ．210x y ++=【答案】B【解析】把圆222230x y x y ++--=化为标准方程得：()()22115x y ++-=．因为()2,3P -在圆上，所以过P 的切线有且只有一条．显然过点()2,3P -且斜率不存在的直线：2x =-与圆相交，所以过P 的切线的斜率为k ．因为切线与过切点的半径垂直，所以()13112k -=----，解得：12k =，所以切线方程为：()1322y x -=+，即280x y -+=．故选：B20．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（）AB C D ．【答案】C【解析】由圆()()22:124C x y -+-=，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C21．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（理））直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ ==，故选：B ．22．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆22:25C x y +=上一点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为__________．【答案】43250x y --=【解析】由题意，圆22:25C x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，因为()4,3A -，则303404CA k --==--，则过点()4,3A -且与圆相切的直线的斜率为43k =，根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为4(3)(4)3y x --=-，即43250x y --=，即点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为43250x y --=．故答案为：43250x y --=23．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P （4，2）的圆的切线方程是________．【答案】2100x y +-=【解析】由224220+=知P 在圆C 上，而(0,0)C ，2142PC k ==，所以所求切线斜率为2k =-，方程为22(4)y x -=--，即2100x y +-=．故答案为：2100x y +-=．24．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ===，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=．综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=25．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））过直线34140x y ++=上的动点P 作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为____________．【解析】根据题意，圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，其圆心(1,2)，半径2r =；设圆心为C ，即(1,2)C ；则有2222||||||||4PA PC AC PC =-=-，当||PC 取得最小值时，切线长||PA 最小，因为||PC 5=，则||PA=26．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知圆224470x y x y +-++=与直线20x ay --=相切，则=a ___________．【答案】33【解析】()()22224470221x y x y x y +-++=⇒-++=，圆的圆心为（2，－2），半径r ＝1，()()2222311a a a -⋅--=⇒=+-故答案为：33±．考点4：切点弦问题27．（2021·福建宁德·高二期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=．故答案为：210x y --=．28．（2021·广东·广州市第六十五中学高二期中）过点()5,3P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_________．【答案】5390x y +-=【解析】根据题意，过点(5,3)P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则2||||95PA PO =-，则以P 为圆心，PA 为半径为圆为22(5)(3)25x y -+-=，即圆2210690x y x y +--+=，AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有2222910690x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩，变形可得：5390x y +-=；即直线AB 的方程为5390x y +-=，故答案为：5390x y +-=29．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆22:4O x y +=，过动点(),4P a a +分别做直线PM 、PN 与圆O 相切，切点为M 、N ，设经过M 、N 两点的直线为l ，则动直线l 恒过的定点坐标为__________．【答案】()1,1-【解析】设点()00,Q x y 为圆O 上一点，当OQ 的斜率存在且不为零时，直线OQ 的斜率为0y x ，此时，圆O 在点()00,Q x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，即2200004x x y y x y +=+=，当OQ 与x 轴重合时，00y =，204x =，此时切线方程为0x x =，满足004x x y y +=，当OQ 与y 轴重合时，00x =，204y =，此时切线方程为0y y =，满足004x x y y +=．综上所述，圆O 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为004x x y y +=．设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线PM 的方程为114x x y y +=，直线PN 的方程为224x x y y +=，由题意可得()()11224444ax a y ax a y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，所以，点M 、N 的坐标满足方程()440ax a y ++-=，故直线MN 的方程为()440ax a y ++-=，即()()440a x y y ++-=，由0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过的定点坐标为()1,1-．故答案为：()1,1-．30．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线:10()l x ay a +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴．过点(4,)A a -作圆C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则直线BD 的方程为（）A ．350x y +-=B ．250x y +-=C ．350x y -+=D ．250x y +-=【答案】A【解析】根据题意，圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，即圆心为C （2，1），半径为2．∴点（2，1）在直线10x ay +-=上，即2101a a +-=∴=-∴点A 的坐标为（-4，-1）AC ∴==∴过点A 作圆C 的切线所得切线长为6=∴以点A 为圆心，6为半径的圆A 的方程为()()224136x y +++=圆A 与圆C 的方程作差得350x y +-=，即直线BD 的方程为350x y +-=故选：A ．31．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点()1,1P 作圆C ：224470x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．30x y +-=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．10x y +-=【答案】A【解析】224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，圆心为()2,2，半径1r =．当斜率不存在时，直线1x =与圆相切，切点为()1,2；当斜率为0时，直线1y =与圆相切，切点为()2,1．故直线方程为斜率21112k -==--，直线方程为()12y x =--+，即30x y +-=．故选：A ．32．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点 O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、 Q ，则线段PQ 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=，∴圆心(3,4)C ，半径r =，则有5OC =，故切线段长l ==若线段PQ 的长为x ，则2xOC l r ⋅=⋅，得4x =．故选：B ．考点5：弦长问题33．（2021·广东·化州市第三中学高二期中）过点M （2，2）的直线l 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为_____；此时直线l 的方程为_______．【答案】4260x y +-=【解析】∵圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心C （1，0），半径为3，点M （2，2）在圆内，20221MC k -==-，要使|AB |的值最小，则MC ⊥AB ，此时|MC |=|AB |＝4=；直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为y ﹣2＝12-（x ﹣2），即x +2y ﹣6＝0．故答案为：4；260x y +-=．34．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则t 的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______．【答案】403t <≤【解析】由于直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以220403t t t ⎧->⇒<≤≤；又弦长==23t =时，有最大值，其最大值为故答案为：403t <≤35．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二期中）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意得：24031002280D F DEF D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，消去F 得：362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩，解得：02D E =⎧⎨=-⎩，∴F =-4，∴圆C 的方程为：22240x y y +--=．（2）由（1）知：圆C 的标准方程为：22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C，半径r =；点(0,1)C 到直线l的距离2d r ==<，故直线l 与圆C 相交，故直线l 被圆C截得的弦长为=36．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解析】（1）由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．（2）由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m =tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l 10y +=的距离d ==，∴||AB ===．37．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求线段AB 的垂直平分线方程；（2）求圆C 的标准方程；（3）若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且MN =，求直线l 的方程．【解析】（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-．所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+．（2）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由（1）得直线CD 的方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．（3）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线l的距离||1d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=．38．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆M 过点(1,2),(1,4),(3,2)A B C -．（1）求圆M 的方程；（2）若直线:340l x y b +-=与圆M相交所得的弦长为b 的值．【解析】（1）设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆M 过(1,2),(1,4),(3,2)A B C -三点，则1420,11640,94320,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解得2,4,1D E F =-=-=，所以圆M 的方程为222410x y x y +--+=，即22(1)(2)4x y -+-=；（2）由题意，得圆心(1,2)到直线l的距离1d =，1=，即|11|5b -=，解得6b =或16．故所求b 的值为6或16．39．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线10x y +-=被圆()()229114x y -+-=所截得的弦长为__________【解析】圆()()229114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为32圆心()1,1到直线10x y +-=2=则直线10x y +-=被圆()()229112x y -+-=所截得的弦长为40．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知()3,0M 是圆228280x y x y +--+=内一点，则过点M 最短的弦长为（）A ．B C ．6D ．8【答案】A【解析】圆228280x y x y +--+=，即()()22419x y -+-=，则该圆的半径为3，圆心为()4,1，M∴过点M 最短的弦长为．故选：A41．（2022·全国·高二期中）若直线20x y --=与圆()224x a y -+=所截得的弦长为则实数a 为（）．A ．1-B ．1或3C ．3或6D ．0或4【答案】D【解析】圆()224x a y -+=的圆心坐标为(,0)a ，半径为2，圆心(,0)a 到直线20x y --=的距离为d =，又直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截的弦长为故，即2(2)4a -=，解得0a =或4a =．故选：D ．42．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（）A ．4-或0B ．4-或4C ．0或4D ．4-或2【答案】A【解析】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且AB ==则圆心C 到直线AB 的距离为12d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0．故选：A ．43．（2022·广东·仲元中学高二期中）已知直线l ：y kx =与圆22:20C x y y +--=相交于M ，N两点，若MN =k 的值为（）AB ．2CD ．3【答案】C【解析】圆22:20C x y y +--=，可化为(()2214x y -+-=，∴圆心C的坐标)，半径为21=，又圆心到直线的距离d =1=，解得0k =（舍去）或k 故选：C考点6：面积问题44．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线:2l y x =-上任意点P 作圆22:1C x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时PAB △的面积为_______．【答案】112【解析】依据题意，作出图形，如下图：因为直线l 过点P 且与圆221x y +=相切于点A ，所以PA OA ⊥，所以PA ==要使得PA 最小，则OP 要最小，由题可得：OP 的最小值就是点O 到直线:2l y x =-的距离d ==此时，min 1PA =，所以4OPA π∠=由切线的对称性可得：,12BPA PB π∠==所以PAB △的面积为111122PABS =⨯⨯=，故答案为：1；12．45．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知点()3,2A ，点()3,6B ，直线l 过定点()1,0．（1）求以线段AB 为直径的圆的标准方程；（2）记（1）中求得的圆的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于，PQ 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）依题可知线段AB 的中点为()3,4是圆心，半径122r AB ===．∴所求圆的标准方程为：()()22344x y -+-=；（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离2d =，解得：34k =，∴l ：3430x y --=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于P ，Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离d ==，∵()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦△（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=．46．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=相交于A ，B 两点，求：（1）交点A ，B 的坐标（2）AOB 的面积．【解析】（1）直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=的交点，由2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，可得55x y =-⎧⎨=-⎩，71x y =⎧⎨=⎩所以交点A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）设直线:250l x y --=与x 轴的交点为E ，则()5,0E 所以AOBAOEEOBSSS=+11||22A B y OE y OE =+‖()1||2A B y y OE =+1652=⨯⨯15=47．（2020·湖北·高二期中）直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是_________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l 的距离021222d -+=，∴22122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴111222ABC S AB d =⋅==△故答案为：1248．（2021·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（）A ．6B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则ME 过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即BD =此时AC BD ⊥，此时，四边形ABCD 的面积为11622S AC BD =⋅=⨯⨯=故选：C ．49．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线20ax y ++=与圆()22:24C x y +-=相交于A 、B 两点，且ABC 的面积为2，则=a （）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得212sin 22ABC S ACB =⨯⨯∠=△，可得sin 1ACB ∠=，0ACB π<∠<，故2ACB π∠=，则ABC 为等腰直角三角形，所以，圆心C 到直线20ax y ++=的距离为2sin4d π==由点到直线的距离公式可得d=，解得a=故选：D．50．（2021·江西南昌·高二期中（理））已知圆的方程为222440x y x y+---=，设该圆过点()1,3M的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）AB．C．8D．13【答案】B【解析】圆的方程为222440x y x y+---=，化为标准方程：()()22129x y-+-=，圆心为()1,2N，半径为3r=，当过点()1,3M的直线与NM垂直时，弦长最短，且AC==当过点()1,3M的直线且过圆心时，弦长最长，且26BD r==，此时，AC BD⊥，所以四边形ABCD面积为11622S AC BD=⋅=⨯=故选：B考点7：直线与圆中的定点定值问题51．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M的圆心与点()1,4N-关于直线10x y-+=对称，且圆M与y轴相切于原点O．（1）求圆M的方程；（2）过原点O的两条直线与圆M分别交于,A B两点，直线,OA OB的斜率之积为12-，,OD AB D⊥为垂足，是否存在定点P，使得DP为定值，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）（1）设M（a，b）．则411141022baa b-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩．解得3ab=⎧⎨=⎩．所以该圆的半径为3，．所以圆M的方程为()2239x y-+=；（2）设OA所在直线方程为()0y kx k=≠，联立()2239x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得226611A Ak x y k k =⋅=++，同理把k 换做－12k ，可得222412,1414B Bk kx y k k-==++所以AB 所在直线方程为222636(1121k k y x k k k -=-+-+）．当0y =时，可得4x =，故直线AB 过定点C （4，0）．由于OC 为定值，且△ODC 为直角三角形，OC 为斜边，所以OC 中点P 满足22OC DP ==为定值，由于O （0，0），C （4，0），故由中点坐标公式可得P （2，0），故存在点P （2，0），使得|DP |为定值．52．（2021·全国·高二期中）已知圆C经过点(0,，(及()3,0．经过坐标原点O 的斜率为k 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点()3,0P -，分别记直线PM ､直线PN 的斜率为1k ､2k ，求12k k +的值．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由圆C过(0,，(及()3,0．∴23030330F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩可得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴圆C 的方程为：22230x y x +--=，其标准方程为()2214x y -+=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，与圆C ：()2214x y -+=联立得：()221230k x x +--=，∴()22443112160k k ∆=+⨯⨯+=+>，则12221x x k +=+，12231x x k =-+，∴12121212123333y y kx kx k k x x x x +=+=+++++()()()1212122333k x x x x x x ++⎡⎤⎣⎦=++()()22126611033k k k x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==++．53．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ：2280x x y ++=，直线l ：20mx y m ++=．（1）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程．（2）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得12PM PN=？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由已知可得圆心()4,0C -，4r =．圆心C 到直线l的距离d =因此AB ===．22421m m =+，解得1m =±，直线l 的方程为2y x =+或2y x =--．（2）设(),P x y ，()1,0M x ，()2,0N x 由已知可得228x y x +=-12=，化简得211222821824x x x x x x x x -+-=-+-．即()()221221241240x x x x x -++-=恒成立所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为()6,0M -，()12,0N -或()2,0M -，()4,0N ．54．（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；【解析】∵圆221O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心00O (，)，半径1r =，()10，P ．（1）∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B ，∴圆心O 到直线l 的距离1d =<，即3k -43k >．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．∴12k k +是定值，定值为23-．55．（2021·吉林·长春外国语学校高二期中）已知圆1O过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++-=>关于直线20x y -+=对称．（1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为C ，D ，且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值λ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆1O 的圆心1(,)O a b ，因为圆1O 与圆2222:(2)(2)O x y r ++-=关于直线20x y -+=对称，可得2112222022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得0,0a b ==，设圆1O 的方程为222x y r +=，将点P ，代入可得2r =，所以圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22(2)(2)4x y ++-=．（2）由2QD QC ==设()00,Q x y ，则()()()2222000022444x y x y ++--=+-，化简得22002268339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点22,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使得Q 到M．56．（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．（3）直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值．【解析】（1）依题意，圆C 的半径22||345CA =+，所以圆C 的标准方程是：()22325x y -+=．（2）当直线n 的斜率不存在时，设(,),(,)M a b N a b -，由直线AM ，AN 的斜率之积为2，得442b b a a ---⋅=，即22162b a =-，又由点M ，N 在圆C 上得()22325a b -+=，消去b 得：260a a +=，而0a ≠，则6a =-，此时20b <，因此，无解，当直线n 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由22(3)25y kx t x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：222(1)2(3)160k x kt x t ++-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(3)1kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+，直线AM 斜率114AM y k x -=，直线AN 斜率224AN y k x -=，则()()221212121212444·4AM ANt kx t kx t x xk k k k t x x x x x x -+-+-+==+-⋅+2222222226(1)(4)(4)26(1)(4)(4)16164kt k t k t k t k k t k k t t t t -++-+-+++-=+-⋅+=--+6424k t t +-==+，整理得612t k =-，此时直线n ：(6)12y k x =+-过定点()6,12--，所以直线n 过一个定点，该定点坐标是()6,12--．（3）设直线AM 方程为：4y rx =+，由224(3)25y rx x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(43)0 r x r x++-=，则有点22268464(,)11r r rMr r--++++，而直线AN：4y rx=-+，同理22268464(,)11r r rNr r+--+++，于是得直线MN的斜率2222224644643116868411MNr r r rr rk r rr r-++--+-++==--+-++，所以直线m的斜率是定值，该定值为3 4-．。

直线与圆的位置关系练习(含参考答案)

直线与圆的位置关系习题课班级学号姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为（）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为．解析显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为．解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4解析根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于．解析依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是．解析法一如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)．法二设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x；（2）y －x ；（3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

直线与圆的位置关系练习题

专项训练：直线与圆的位置关系一、单选题1．直线截圆所得的弦长为A ．B ．C ．D ． 2．直线2x +y −5=0与圆(x −1)2+(y +2)2=6的位置关系是A ．相切B ．相交但不过圆心C ．相交且过圆心D ．相离3．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＋0关于直线2ax ＋by ＋2＋0(a ＋b ＋R)对称，则ab 的取值范围是A ． (−∞,14]B ． [0,14]C ． [−14,0]D ． (−∞,−14] 4．若直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :(x +2)2+(y −1)2=2相切,则直线l 与圆D :(x −2)2+y 2=3的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2√2，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ． [π12，π4]B ． [π12，5π12]C ． [π6，π3]D ． [0，π2] 6．“k =0”是直线x −ky −1=0与圆(x −2)2+(y −1)2=1相切的＋＋A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合A ={(x,y )|x 2+y 2=1 }，集合B ={(x,y )|x +y +a =0 }，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是（）A ． −√2<a <√2B ． −√2≤a ≤√2C ． 1<a ≤√2D ． a ≥√28．已知圆C:x 2+y 2=1，直线l:y =k(x +2)，在[−1,1]上随机选取一个数k ，则直线l 与圆C 有公共点的概率为A ． 12B ． √22C ． √33D ． √369．已知直线l ＋y ＋x ＋m 与曲线y ＋√1−x 2有两个公共点,则实数m 的取值范围是A ． (＋2,2)B ． (＋1,1)C ． [1,√2)D ． (＋√2,√2)10．设圆x 2＋y 2＋2x ＋2√3y －5＝0与x 轴交于A ,B 两点,则|AB |的长是A ． √6B ． 2√6C ． 2√3D ． 311．圆O:x 2+y 2=1与圆C:x 2+y 2−2x +2ay +a 2=0都关于直线y =2x +b 对称,则圆C 与y 轴交点坐标为A ． (0,−2)B ． (0,2)C ． (0,−4)D ． (0,4)12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线y =34x −52和圆x 2+y 2−4x +2y −20=0的位置关系是 A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心C ．相离D ．相切13．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x ＋2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为A ． (＋√3＋√3)B ． [＋√3＋√3]C ． (＋√33＋√33)D ． [＋√33＋√33]14．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x −1)2+y 2=1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为A ． (−√3,√3)B ． [−√3,√3]C ． (−√33,√33)D ． [−√33,√33] 15．（题文）若在区间[−√2,2]上随机取一个数k ，则“直线y =kx +√3与圆x 2+y 2=2相交”的概率为A ． 3−2√24B ． 3−2√2C ． 2−√2D ． 2−√2316．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x =−1相切，若动圆C 与直线y =x +2√2+1总有公共点，则圆C 的面积为（＋A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π17．已知直线l ：y =k(x +4)与圆(x +2)2+y 2=4相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 518．直线y ＋kx ＋3与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＋4相交于M ＋N 两点，若|MN |≥2√3，则k 的取值范围是( )＋A ． [−34,0]B ． (＋∞＋−34]＋[0＋＋∞)19．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（）A ．B ．C ．D ． 20．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（）A ． []0,1B ． []1,1-C ．D ． 21．从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值（）A ．B ．C ．D ． 22．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为，则a 等于A ．2B ．6C ．2或6D 23．直线y −1=k(x −3)被圆(x −2)2+(y −2)2=4所截得的最短弦长等于（）A ． √3B ． 2√3C ． 2√2D ． √524．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（）A ．B ． 2C ．D ． 25．过点P(2,1)且被圆x 2+y 2−2x +4y =0截得弦长最长的直线l 的方程为（）．A ． 3x −y −5=0B ． 3x +y −7=0C ． x −3y +5=0D ． x +3y −5=26．已知圆(x －2)2－(y －1)2－16的一条直径通过直线x －2y －3－0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ． 3x －y －5－0B ． x －2y －0C ． x －2y －4－0D ． 2x －y －3－027．已知直线l 过圆x 2＋(y ＋3)2＋4的圆心＋且与直线x ＋y ＋1＋0垂直＋则直线l 的方程为( )A ． x ＋y ＋2＋0B ． x ＋y ＋2＋0C ． x ＋y ＋3＋0D ． x ＋y ＋3＋028．经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y -+=D ．210x y ++=二、填空题29．经过A (0,＋1)和直线x ＋y ＋1相切,且圆心在直线y ＋＋2x 上的圆的方程是______.30．圆心为()1,0，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____．31．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则y x 的最大值为________． 32．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．三、解答题33．已知圆C ＋x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋3＋0,(1)若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线l 的方程；(2)若点P (x,y )是圆C 上的动点,求t =2x −y 的取值范围.34．已知抛物线C －y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.－1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.参考答案1．D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程(x−1)2+(y−2)2=2，可知圆心，半径，则圆心到直线3x−4y=0的距离为＋所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】由条件求得圆心到直线2x+y-5=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【详解】=√5，圆（x-1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，-2）、半径为√6，圆心到直线2x+y-5=0的距离为√5小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab ，将表示出的b 代入ab 中，得到m 关于a 的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m 的最大值，即为ab 的最大值，即可写出ab 的取值范围．【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a ，则设m=ab=a （1-a ）=-a 2+a ，∴当a =12时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(−∞,14]．故选：A ．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．4．A【解析】【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率k ，再根据圆D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.【详解】因为直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :(x +2)2+(y −1)2=2相切，所以√k 2+1=√2，解得k =±1，因为k <0，所以k =−1，所以l 的直线方程为x +y −1=0，圆D 的圆心(2,0)到直线的距离d =√2=√22<√3，所以直线l 与圆D 相交,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.5．B【解析】【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2√2；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则圆心到直线的距离应小于等于√2，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为(x−2)2+(y−2)2=(3√2)2，∴圆心坐标为（2，2），半径为3√2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则圆心到直线的距离应小于等于√2，∴√a2+b2≤√2，∴(ab )2+4(ab)+1≤0，∴−2−√3≤ab ≤−2+√3，k=−ab，∴2−√3≤k≤2+√3，直线l的倾斜角的取值范围是[π12，5π12]，故选：B．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．6．C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到k的值，即可得到结论.【详解】由圆(x−2)2+(y−1)2=1，可得圆心为(2，1)，半径r=1．∵直线x−ky−1=0与圆(x−2)2+(y−1)2=1相切，∴√1+k2=1，∴k=0，∴“k=0”是直线x−ky−1=0与圆(x−2)2+(y−1)2=1相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．B【解析】【分析】A表示圆上的点，B表示直线直线上的点，要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然有交点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径即可求得a的取值范围【详解】A表示圆x2+y2=1上的点，圆心为（0,0），半径为1，B表示直线x+y+a=0上的点要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然相交，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径：故有：d＝√22√2≤1，解得：−√2≤a≤√2,故选：B.【点睛】本题考查了集合中的一种类型——点集，通常与平面几何相联系，从集合间的关系转化为直线与圆的位置关系，关键是理解A∩B≠Φ的概率为1与直线与圆必然相交的关系．8．C【解析】【分析】由有公共点这一条件，判断出直线和圆的位置关系，进而求得k的取值范围；由几何概型概率求解方法，可求得有公共点的概率值。

直线和圆的位置关系练习题(附答案

直线和圆的位置关系练习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是（） A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（） A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动第5题图第6题图第7题图CBB3题图） 4题图）28．内心与外心重合的三角形是（）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（）A. 20B. 30C. 40D. 213510．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN第9题图第10题图第11题图二、填空题：(每小题5分，共30分)11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____．第13题图第14题图第15题图 15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P =35°，则∠Q=________．AP DBABCDEO BDACEFABCDEOABC DQPDCBAP第3页共4页 2006-5-1三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ，PB=5cm ，PC=3cm ，求⊙O 的直径．18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．19．AB 、CD 是两条平行弦，BE//AC ，交CD 于E ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，求证：AC 2=PC ·CE ．20．点P 为圆外一点，M 、N 分别为AB⌒、CD ⌒的中点，求证： PEF 是等腰三角形．P421．ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点，求证：BE ·AD=BC ·CD ．22．已知∆ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BC CD 22=．23．如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，求证：CD 2 = CE 2＋DA ·DE ．E A B D C第5页共4页 2006-5-1参考答案基础达标验收卷一、选择题：二、填空题：1. 相交或相切2. 13. 54. 35°5.251+ 6. 66 7. 2 8. 10 9. 3 10. 6三、解答题：1. 解：如右图，延长AP 交⊙O 于点D . 由相交弦定理，知PC PB PD PA ··=. ∵P A =2cm ，PB =5cm ，PC =3cm ， ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A ，AP ⊥MN ， ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明：如图，连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°.又∵CE =BE ，∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ，∴∠4=∠2. ∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径，∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证明：如图2，连结OQ ，则CQ ⊥OQ .∵PQ =PO ，∠QPC =60°， ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA =90°.∴∠CBA =90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060，∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ，∴9=+=AB PB PA . 5. 解：（1）连结OC ，证∠OCP =90°即可. （2）∵∠B =30°，∴∠A =∠BGF =60°.N A6∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ，∴12=AB ，33=FD ，3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时，结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立，只要证明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线；BA DB CD ·2；︒=∠90ACB ；AB =2BC ；BD =BC 等. 2. （1）①∠CAE =∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC +∠CAE =90°，④∠C =∠F AB ，⑤∠EAB =∠F AB . （2）证明：连结AO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，则∠H =∠B . ∵AH 是直径，∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ，∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线，其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O ，连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°，OA =OB ，∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长，再乘以2，就是锅的直径.（2）如右图，MCD 是圆的割线，用直尺量得MC 、CD 的长，可求得MA 的长.∵MA 是切线，∴MD MC MA ·2=，可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线，DA 是割线，BD =6，AD =10，由切割线定理，得DA DE DB ·2=. ∴6.310622===DA DB DE . （2）设是上半圆的中点，当E 在BM 上时，F 在直线AB 上；E 在AM 上时，F 在BA 的延长线上；当E 在下半圆时，F 在AB 的延长线上，连结BE . ∵AB 是直径，AC 、BD 是切线，∠CEF =90°， ∴∠CAE =∠FBE ，∠DBE =∠BAE ，∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ，Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =，AE BE AC BF =. 根据AC =AB ，得BD =BF .。

2022年高考数学总复习考点培优——直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课前基础巩固[教材回扣]＜＝＞＞＝＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2，则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。

38【提高】点、直线、圆与圆的位置关系(培优课程讲义例题练习含答案)

点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念.2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系 1.已知⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与⊙O 位置关系各是怎样的?【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．连接PO ，QO ，RO ．∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴ PO ＝2222435PD OD r +=+==．∴ 点P 在⊙O 上． 222223435QO QD OD QD r =+=+>+==，∴ 点Q 在⊙O 外．2222223435RO RD OD RD r =+=+<+==，∴ 点R 在⊙O 内．【总结升华】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．类型二、直线与圆的位置关系2.（•武汉模拟）如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A （3，0）的⊙A 被y 轴截得的弦长BC=8，如图，解答下列问题：（1）⊙A 的直径为；（2）请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形，则⊙D 的圆心D 的坐标为；⊙D 与x 轴的位置关系是，⊙D 与y 轴的位置关系是，⊙D 与⊙A 的位置关系是；【答案与解析】解：（1）半径==5，所以直径为10.（2）（﹣5，6）；相离；相切；外切；【总结升华】本题主要考查了平移作图即图形平移变换的知识，注意图形的平移，变化的是位置，不变的是形状．举一反三：【变式】（•甘南州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是多少？【答案】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10.3.（·中山月考）如图所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作⊙P．(1)当r=7cm时，试判断⊙P与OB位置关系；(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【思路点拨】（1）过点P作PC⊥OB于点C，根据直角三角形的性质求出PC的长，再比较出PC与r的大小即可；（2）根据⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件.【答案与解析】解（1）过点P作PC⊥OB于点C，∵∠AOB=30°，∴11126()7.22PC OP cm cm ==⨯=＜∵PC＜r,∴⊙P与OB相交；（2）∵⊙P与OB相离，∴0＜r＜PC,∴0cm ＜r＜6cm.【总结升华】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键. 类型三、三角形的外接圆4.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.【思路点拨】由垂径定理知，点D为AB中点，且AC=BC；再由中位线定义知，DE 12BC，DF12AC，从而可得四边形CEDF 为菱形.【答案与解析】四边形CEDF 为菱形.证明：∵AB 为弦，CD 为直径所在的直线，且AB ⊥CD ，∴AD=BD ，∠ADC=∠CDB ，在△ADC 和△BDC 中，==AD BD ADC BDC CD CD ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ADC ≌△BDC （SAS ）∴AC=BC.又∵E ，F 分别为AC ，BC 的中点，D 为AB 中点， DF=CE=12AC ，DE=CF=12BC ， ∴DE=DF=CE=CF ，∴四边形CEDF 为菱形.【总结升华】本题主要考查外接圆与其他知识的综合.举一反三：【变式】如图，已知，在△ABC 中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.【答案】如图，连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接DB.由三角形内角和得，∠C=180°－70°－50°=60°.又∵∠D=∠C=60°且∠ABD=90°，在Rt △ABD 中，∠DAB=30°，AB=10，由勾股定理得，AD=3 ∴半径AO=3即△ABC 外接圆⊙O 的半径为3O BACD类型四、圆与圆的位置关系5. 如图所示，⊙O 的半径为5，点P 为⊙O 外一点，OP ＝8．求：(1)以P 为圆心作⊙P 与⊙O相切，则⊙P 的半径为多少?(2)当⊙P 与⊙O 相交时，⊙P 的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P 与⊙O 外切时，则有5+r ＝8，∴ r ＝3．当⊙P 与⊙O 内切时，则有r -5＝8，∴ r ＝13．∴ 当r ＝3或13时，⊙O 与⊙P 相切．(2)当⊙P 与⊙O 相交时，则有| r -5|＜8＜r+5，解得3＜r ＜13，即当3＜r ＜13时，⊙P 与⊙O 相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d ＝R+r 和d ＝R -r (R ＞r )，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，则O 1O 2的长是( )A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C提示：两圆相切包括外切和内切，当⊙O 1与⊙O 2外切时，d ＝O 1O 2＝R+r ＝3+2＝5(cm)；当⊙O 1与⊙O 2内切时，d ＝O 1O 2＝R-r ＝3-2＝1(cm)．故选C.点、直线、圆与圆的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( ).A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交2.（•集美区一模）⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．5 B．6 C．7 D．83.一个点与定圆上最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则此圆的半径是( ).A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.13cm或5cm4．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆5．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部6．（•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7 x+12=0的两根，则此Rt△ABC的外接圆的半径为_________．8.（•杭州模拟）已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是_____．9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，以点C为圆心，作半径为R的圆，则当_____时，⊙O和直线AB相交.10．如图，OA=OB，点A的坐标是(-2,0),OB与x轴正方向夹角为60°，则过A，O, B三点的圆的圆心坐标是____________.11．（秋•榆阳区校级期末）已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为 . 12．（•临清市二模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm∕s的速度，沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．三、解答题13. （•齐齐哈尔模拟）已知圆O的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD的长为多少？14．（秋•集美区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．15．（秋•滨州期末）如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】如图，过C作CD⊥AB于点D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴1142(cm)22CD BC==⨯=，又⊙C的半径为2cm，即d＝r，∴直线AB与⊙C相切．2．【答案】A；【解析】∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，∴OP＜6．故选A．3．【答案】A；【解析】如图，定点P与定圆⊙O的位置关系有两种：内部与外部.当P在圆内时，直径为9+4=13cm，半径为6.5cm;当P在圆外时，直径为9-4=5cm，半径为2.5cm.4．【答案】C；【解析】任意不在同一直线的三点确定一个圆，五个点中任取三个点,共有10种情况.5.【答案】B；【解析】因为方程有实根，所以△=b2-4ac=4-4d≥0，即d≤1，所以有d≤r，所以点在圆上或圆内. 6．【答案】B；【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．二、填空题7．【答案】2.5；【解析】解：解方程x2-7x+12=0，得：x1=3，x2=4，即两直角边AC、BC是3或4，根据勾股定理得：斜边长为：5，也就是Rt△ABC的外接圆直径为5，∴Rt△ABC的外接圆的半径为2.5．8．【答案】不能确定；【解析】设以QP为直径的圆为⊙O，则⊙O的半径为QP，如果OA＞QP，那么点A在圆O外；如果OA=QP，那么点A在圆O上；如果OA＜QP，那么点A在圆O内；∵题目没有告诉OA与QP的大小关系，∴以上三种情况都有可能，所以不能确定点A与圆的位置关系.9．【答案】R＞4.8 ；【解析】利用三角形的面积不变性，先求出斜边上的高，再求相交时的半径满足的要求即可. 10．【答案】(-1,3 )；【解析】如图，11.【答案】2或9.【解析】如图，分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是18，因而半径是9；②当点P在圆外时，最近点的距离为7，最大距离为11，则直径是4，因而半径是2．故此圆的半径为2或9．12．【答案】4或8；【解析】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间==4（秒）；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，∴PF=1cm，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm，∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间==8（秒）．故答案为4或8．三、解答题13. 【答案与解析】解：如图，∵直径AB=4，∴OB=2，∵OC⊥AB，∴∠COB=90°，∵点D与圆O上各点所连接线段最短为1，∴BD=1，当点在⊙O外，OD=OB+BD=2+1=3，在Rt△COD中，CD==；当点在⊙O内，OD′=OB﹣BD′=2﹣1=1，在Rt△COD中，CD′==，∴CD的长为或．故答案为或．14. 【答案与解析】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．15. 【答案与解析】解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．。

直线与圆的位置关系(带解析)

点直线与圆的位置关系一、选择题1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C 的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°考点：切线的性质．分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．2.如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选A．3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）（第1题图）4．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接P D．已知PC=PD=B C．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D． 1个分析：（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故此选项正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：A．点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．二.填空题1. 如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E=．解答：解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MF，∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE=CF，∴ME=MF，而ME=EF，∴ME=EF=MF，∴△MEF为等边三角形，∴∠E=60°，∴cos∠E=cos60°=．故答案为．2．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=A B．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是．过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=：1，依据勾股定理即可求得AB的长度．解：如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，又∵EG：EF=：2，∴EG：EN=：1，又∵GN=AD=8，∴设EN=x，则，根据勾股定理得：，解得：x=4，GE=，设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8﹣r）2，∴r=5．∴OK=NB=5，∴EB=9，又AE=AB，∴AB=12．故答案为12．3．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为3cm．分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．解答：解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案为：3．4．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC 于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）A．S1＞S2+S3B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45°D．M N=AM+CN分析：（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN．（3）作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D 成立．解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•ADS△MNO=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，∴不一定有S1＞S2+S3，（2）∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN，在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立，（3）如图，作BP⊥MN于点P，∵MN，BC是⊙O的切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A．点评：本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．5．如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA ，OB ，OC 抽象为线段，有OA =OB =OC ，且∠AOB =120°，折线NG —GH —HE —EF 表示楼梯，CH ，EF 是水平线，NG ，HE 是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A ，⊙B 与楼梯两边相切，且AO ∥GH . （1）如图2①，若点H 在线段OB 上，则BHOH的值是 ▲ ．（2）如果一级楼梯的高度()HE 2cm =，点H 到线段OB 的距离d 满足条件d 3cm ≤，那么小轮子半径r 的取值范围是 ▲ ．【答案】（1（2）11r 8-≤. 【解析】∴r d MIIJ MI r HM 2d cos t 3030an ︒==⇒===-︒.考点：1. 直角三角形的构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 矩形的判定和性质；5.切线的性质；6.二次根式化简.6. 如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A切⊙O于A点，则P A=4．（第1题图）解答：解：∵P A切⊙O于A点，∴OA⊥P A，在Rt△OP A中，OP=5，OA=3，∴P A==4．。