2018年高中文科数学优化设计第一轮复习1.6高考模拟卷
2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练解答题专项训练2和答案
解答题专项训练二1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω，依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为[ 2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos A ，b cos B ，a cos C 成等差数列．(1)求B ； (2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积． 解 (1)∵c cos A ，b cos B ，a cos C 成等差数列， ∴2b cos B ＝c cos A ＋a cos C ，由正弦定理a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆的半径，代入上式，得2sin B cos B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ，即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，又A ＋C ＝π－B ，∴2sin B cos B ＝sin(π－B )，即2sin B cos B＝sin B.而sin B≠0，∴cos B＝12，由0<B<π，得B＝π3.(2)∵cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，∴a＋c2－2ac－b22ac＝12，又a＋c＝332，b＝3，∴274－2ac－3＝ac，即ac＝54，∴S△ABC＝12ac sin B＝12×54×32＝5316.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin2B＝3b sin A.(1)求B；(2)若cos A＝13，求sin C的值．解(1)在△ABC中，由asin A＝bsin B，可得a sin B＝b sin A，又由a sin2B＝3b sin A，得2a sin B cos B＝3b sin A＝3a sin B，而sin B≠0，所以cos B＝32，由0<B<π，得B＝π6.(2)由cos A＝13，可得sin A＝223，则sin C＝sin＝sin(A＋B)＝sin( A＋π6 )＝32sin A＋12cos A＝26＋16.4．在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且cos A＝1 3 .(1)求cos2B＋C2＋cos2A的值；(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值．解 (1)cos2B ＋C 2＋cos2A ＝1＋B ＋C2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A－1＝12－12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49.(2)由余弦定理，可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc＝43bc ，∴bc ≤94， 当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94，又cos A ＝13，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，∴(S △ABC )max ＝12bc sin A ＝12×94×223＝324.5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋ sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， 即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)知A ＝π3， ∴在△ABC 中，B ＋C ＝2π3，且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin (π2－B )＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1,2]．故函数y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值为2.6．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ∠B ，2cos2∠C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解 (1)∵m ＝(cos ∠B ，cos ∠C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，∴c cos ∠B ＋(b －2a )cos ∠C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得， sin ∠C cos ∠B ＋(sin ∠B －2sin ∠A )cos ∠C ＝0， sin ∠A ＝2sin ∠A cos ∠C ，又∵sin ∠A ≠0， ∴cos ∠C ＝12，而∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方，得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.7. 如图，在△ABC 中，B ＝π4，AC ＝25，cos C ＝255.(1)求sin ∠BAC 的值；(2)设BC 的中点为D ，求中线AD 的长． 解 (1)因为cos C ＝255，且C 是三角形的内角， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝55. 所以sin ∠BAC ＝sin ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010. (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B，所以BC ＝AC sin B×sin∠BAC ＝2522×31010＝6，于是CD ＝12BC ＝3.在△ACD 中，AC ＝25，cos C ＝255，所以由余弦定理， 得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C ＝20＋9－2×25×3×255＝5，即中线AD 的长为 5.8．已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin2x ＋2cos2x ＝2sin (2x ＋π4)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825.。
2018届高考数学一轮复习模拟试题： 06 含答案
一轮复习数学模拟试题06第Ⅰ卷 选择题（共60分）一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合{}{}222log (2),,1,A x y x x x R B x y x x R ==-++∈==-∈，则A B ⋂=（ ）()[]()(].1,21,2A -- B. C.-1,1 D.-1,12．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1a = （ ）A.21B. 22C. 2D.23.已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ）A .22(1)(1)2x y ++-= B .22(1)(1)2x y -++= C .22(1)(1)2x y -+-= D .22(1)(1)2x y +++=4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( ) A .433 B .12π C . 33 D. 36 5.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++L 的值等于（ ）..12A B.2 C.2+2 2 D.2+26.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。
当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ） ..360A B.520 C.600 D.7207.定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”。
若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x ϕ==+=-的新驻点分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系是（ ）..A αβγβαγγαββγα>>>>>>>> B. C. D.0 yx226-2正视图俯视图侧视图第8题8．右图给出的是计算111124620++++L 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是( )A . 10i >B .10i < C. 20i > D.20i <9.已知ABC ∆中，():():()1:2:3,AB BC BC CA CA AB •••=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则ABC ∆的形状为（ ）A ．钝角三角形B 等边三角形C 直角三角形D 非等腰锐角三角形 10.已知函数()f x 与()g x 满足: (2)(2),f x f x +=-(1)(1),g x g x +=-且()f x 在区间[)2,+∞上为减函数,令()()()h x f x g x =•,则下列不等式正确的是（ ）..(2)(4)(2)(4)(0)(4)(0)(4)A h h h h h h h h -≥-≤>< B. C. D.11.已知圆的方程224x y +=，若抛物线过定点(0,1),(0,1)A B -且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（ ）22222222..1(0)1(0)1(0)1(0)34433443x y x y x y x y A y y x x +=≠+=≠+=≠+=≠ B. C. D.12.若点O 和点(2,0)F -分别为双曲线2221(0)x y a a -=>的中心和焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP •u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．)323,⎡-+∞⎣ B.)323,⎡++∞⎣ C.7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若命题:p “存在实数x,使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .14.已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足*1220,3,2,(,3)n n a a a a n N n -===+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为15.已知21(0)()1(0)x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩ ，则满足不等式2(1)(2)f x f x -<的x 的取值范围是16.在平面直角坐标系中，点集{}22(,)1,A x y x y =+≤{(,)4,0,B x y x y =≤≥}340x y -≥,则点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知复数12cos (),(2)cos 4z b C a c i z a c B i =++=-+，且12z z =，其中,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 是角,,A B C 所对的边。
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解答题专项训练二1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω，依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos A ，b cos B ，a cos C 成等差数列．(1)求B ；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)∵c cos A ，b cos B ，a cos C 成等差数列， ∴2b cos B ＝c cos A ＋a cos C ，由正弦定理a＝2R sin A，c＝2R sin C，b＝2R sin B，R为△ABC外接圆的半径，代入上式，得2sin B cos B＝sin C cos A＋sin A cos C，即2sin B cos B＝sin(A＋C)，又A＋C＝π－B，∴2sin B cos B＝sin(π－B)，即2sin B cos B＝sin B.而sin B≠0，∴cos B＝12，由0<B<π，得B＝π3.(2)∵cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，∴a＋c2－2ac－b22ac＝12，又a＋c＝332，b＝3，∴274－2ac－3＝ac，即ac＝54，∴S△ABC＝12ac sin B＝12×54×32＝5316.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin2B ＝3b sin A.(1)求B；(2)若cos A＝13，求sin C的值．解(1)在△ABC中，由asin A ＝bsin B，可得a sin B＝b sin A，又由a sin2B＝3b sin A，得2a sin B cos B＝3b sin A＝3a sin B，而sin B≠0，所以cos B＝32，由0<B<π，得B＝π6.(2)由cos A＝13，可得sin A＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin ( A ＋π6 )＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且cos A ＝13.(1)求cos2B ＋C2＋cos2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)cos2B ＋C2＋cos2A ＝1＋B ＋C2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1＝12－12×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－49. (2)由余弦定理，可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94，又cos A ＝13，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，∴(S △ABC )max ＝12bc sin A ＝12×94×223＝324.5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋ sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)由(1)知A ＝π3，∴在△ABC 中，B ＋C ＝2π3，且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ( π2－B )＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1,2]．故函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值为2.6．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ∠B ，2cos2∠C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解 (1)∵m ＝(cos ∠B ，cos ∠C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，∴c cos ∠B ＋(b －2a )cos ∠C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得， sin ∠C cos ∠B ＋(sin ∠B －2sin ∠A )cos ∠C ＝0， sin ∠A ＝2sin ∠A cos ∠C ，又∵sin ∠A ≠0， ∴cos ∠C ＝12，而∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方，得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.7. 如图，在△ABC 中，B ＝π4，AC ＝25，cos C ＝255.(1)求sin ∠BAC 的值；(2)设BC 的中点为D ，求中线AD 的长．解 (1)因为cos C ＝255，且C 是三角形的内角，所以sin C ＝1－cos 2C ＝55.所以sin ∠BAC ＝sin ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin B，所以BC ＝AC sin B ×sin∠BAC ＝2522×31010＝6，于是CD ＝12BC ＝3.在△ACD 中，AC ＝25，cos C ＝255，所以由余弦定理，得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C ＝20＋9－2×25×3×255＝5，即中线AD 的长为 5.8．已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin2x ＋2cos2x ＝2sin (2x ＋π4)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72102＝－4825.。
2018高三大一轮复习数学文高考模拟试题精编答案 精品
详 解 答 案高考模拟试题精编(一)1．解析：选B.由题可得A ∩B ＝{－1,0,1}． 2．解析：选D.因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.3．解析：选C.由已知，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 1a 3＝a 2，从而a 3＝3，又a 2a 4＝a 3，∴a 4＝1，同理a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，那么数列{a n }为周期数列，且周期为6，∴a 2 016＝a 6＝13，故选C.4．解析：选D.因为x 2＝4y 的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在y 轴上．因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ，所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ＞0)，即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为5y 24－5x 2＝1，故选D.5.解析：选A.由三视图知，该几何体是棱长为2的正方体截去两个角后得到的，几何体的直视图是多面体PABCDEF ，如图所示．易知其最长棱为正方体的一条面对角线，其长为2 2.其体积为2×2×2－13×2×1×2×2×12＝203.故选A.6．解析：选A.法一：当x ＞0时，f (x )＝x －e x ln x ，所以f ′(x )＝1－e x×1x－e x ln x＝1－e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .记g (x )＝1x ＋ln x ，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.显然当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，所以g (x )≥g (1)＝1，所以f ′(x )＝1－e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋ln x ≤1－e x ，又e x ＞e 0＝1，所以f ′(x )≤1－e x＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．故排除B 、D 两项；而f (－3)＝－3－e －3ln 3＜0，故排除C ，选A.法二：f (1)＝1－eln 1＝1，而f (3)＝3－e 3ln 3＜0，故排除B 、D 选项，又f (－3)＝－3－e －3ln 3＜0，故排除C ，选A.7．解析：选D.由程序框图可知，p ＝9，n ＝3；p ＝15，n ＝7；p ＝23，n ＝15；p ＝31，n ＝31；p ＝31，n ＝63，则log 3163＞1，循环结束，故n ＝63，选D.8．解析：选D.设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.9．解析：选C.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，依题意知EF ∥AD ，所以异面直线AC 1与EF 所成角为∠C 1AD .连接C 1D ，因为AD ⊥平面C 1CDD 1，所以AD ⊥DC 1.设正方体的棱长为1，则tan ∠C 1AD ＝C 1D AD ＝21＝2， 所以异面直线AC 1与EF 所成角的正切值为 2.故选C.10．解析：选A.由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈)，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.11．解析：选B.由已知得函数f (x )的最小正周期为π， 则ω＝2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，2π3＋φ，∵f (x )＞1，即sin(2x ＋φ)＞0，|φ|≤π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π6＋φ≥02π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3.12．解析：选D.设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝ca＝6－3，故选D.13．解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m －λ＝2，解得m n＝－2.答案：－214．解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：115．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案：π2416．解析：当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k －a 2k －1＝2k ，① 当n ＝2k －1(k ≥2，k ∈N *)时，即a 2k －1＋a 2k －2＝2k －1，②当n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，即a 2k ＋1＋a 2k ＝2k ＋1，③①＋②得，a 2k ＋a 2k －2＝4k －1，③－①得，a 2k ＋1＋a 2k －1＝1，∴S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…＋79)＝10＋7×10＋－2×8＝440.答案：44017．解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 则54sin C cos B ＝sin C ．∵sin C ＞0，∴cos B ＝45. (1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23， 又a ＋b ＝10，∴a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)， ∴S ＝12ac sin B ＝15.18．解：(1)设EC 与DF 交于点N ，连接MN ， 在矩形CDEF 中，点N 为EC 的中点， 因为M 为EA 的中点，所以MN ∥AC ， 又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF .(2)取CD 中点为G ，连接BG ，EG ，平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD .所以ED 的长即为四棱锥E ABCD 的高． 在梯形ABCD 中AB ＝12CD ＝DG ，AB ∥DG ，所以四边形ABGD 是平行四边形，BG ∥AD ，所以BG ⊥平面CDEF ， 又DF ⊂平面CDEF ，所以BG ⊥DF ，又BE ⊥DF ，BE ∩BG ＝B ， 所以DF ⊥平面BEG ，DF ⊥EG .注意到Rt △DEG ∽Rt △EFD ，所以DE 2＝DG ·EF ＝8，DE ＝22， 所以V E ABCD ＝13S 梯形ABCD ·ED ＝4 2.19．解：(1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2. 抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．其中2株的高度都不在内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．∴所抽取的2株中至少有一株高度在内的概率P ＝1－1021＝1121.20．解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x ＞0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，F ′(x )＝－x －x －mx，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32＞0，F (4)＝－ln 4＜0，所以F (x )有唯一零点；当m ＞1时，0＜x ＜1或x ＞m 时，F ′(x )＜0,1＜x ＜m 时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12＞0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点． 22．解：(1)ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋32＝3＋32， 所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋32＋ 2.23．解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－22x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)，即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4.高考模拟试题精编(二)1．解析：选D.∵12＋i ＝2－i ＋－＝25－15i ，∴其所对应的点在第四象限，故选D.2．解析：选A.因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A. 3．解析：选D.sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选D.4．解析：选B.由题意得直线与圆相切，∴d ＝|－1－m |1＋m 2＝1，解得m ＝0，故选B. 5．解析：选D.由题意得，72＋77＋80＋x ＋86＋905＝81⇒x ＝0，易知y ＝3，∴x －y ＝－3，故选D.6．解析：选C.分析三视图可知，该几何体为一个正方体截去一个三棱锥所得(如图)，故其体积V ＝23－13×12×1×1×2＝233，故选C.7．解析：选D.由图可知A ＝1，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，ω＝2，∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2， ∴φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其图象的一条对称轴方程是x ＝π12.当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，∴x 1＋x 2＝π12×2＝π6，f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32，故选D.8．解析：选D.由程序框图可知，k ＝2，S ＝0＋12＝12，满足循环条件；k ＝4，S ＝12＋14＝34，满足循环条件；k ＝6，S ＝34＋16＝2224，满足循环条件；k ＝8，S ＝2224＋18＝2524，符合题目条件，结束循环，故填k ＜8，选D.9．解析：选A.由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2·3·(a ＋2)·78⇒a ＝2，故选A.10．解析：选B.点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×132＝1－π12. 11．解析：选C.由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点坐标为(2,0)，可知双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2，∵渐近线方程为y ＝3x ，∴b a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝3，∴a ＝1，b ＝3，双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选C.12．解析：选C.由题意得，|AB |＝|e x ＋1－(2x －1)|＝|e x －2x ＋2|，令h (x )＝e x－2x ＋2，则h ′(x )＝e x－2，∴h (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，∴h (x )min ＝h (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2＞0，即|AB |的最小值是4－2ln 2，故选C.13.解析：如图所示，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC→－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB → ＝16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. 答案：－214．解析：如图所示，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，作直线l ：y ＝x ，平移l ，从而可知当x ＝2，y ＝－2时，z max ＝2－(－2)＝4.答案：415．解析：根据等式中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)． 答案：1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 16．解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2－1，故AO 1BO 1＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2＝4，得R ＝233. 答案：23317．解：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝n 2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.18．解：(1)由题意可得n ＝0.26×50＝13， ∴m ＝50－5－12－13＝20. (2)设“从重量在．22．解：(1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ， 即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a ＞－3)． (2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.∵曲线C 与直线l 仅有唯一公共点，∴Δ＝1－4(－a －2)＝0， 解得a ＝－94.23．解：(1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，所以－7＜|x －1|＜3， 解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}． (2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1，或a ≤－5}．高考模拟试题精编(三)1．解析：选C.由x 2－5x －6＜0，解得－1＜x ＜6，所以A ＝{x |－1＜x ＜6}．由2x＜1，解得x ＜0，所以B ＝{x |x ＜0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x ＜6}，故选C.2．解析：选A.z ＝2－ix －i＝－x ＋x 2＋1＝2x ＋1＋－x x 2＋1，因为复数z ＝2－ix －i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝02－x ≠0，即x ＝－12，故选A.3．解析：选 B.由茎叶图可知全部数据为10,11,20,21,22,24,31,33,35,35,37,38,43,43,43,45,46,47,48,49,50,51,52,52,55,56,58,62,66,67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.4．解析：选D.因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 5．解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 6．解析：选A.因为a ＝413＞1,0＜b ＝log 1413＝log 1414＝1，c ＝log 314＜0，所以a ＞b ＞c ，故选A.7．解析：选D.第一次循环，得t ＝2×1－2＝0，i ＝2；第二次循环，得t ＝0＋3＝3，i ＝3；第三次循环，得t ＝2×3－1＝5，i ＝4；第四次循环，得t ＝2×5＋4＝14，i ＝5，不满足循环条件，退出循环，输出的t ＝14，故选D.8．解析：选C.因为S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×6×sin B ＝63，所以sin B ＝32，且△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π3，所以b 2＝16＋36－2×4×6×cos π3＝28，故b ＝27，选C.9．解析：选D.由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为π×12×1＋12π×12×2＝2π，故选D.10．解析：选C.由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C.11．解析：选B.设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y222＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x24＝－y 1－y 2y 1＋y 22，整理得x 1＋x 2y 1＋y 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12. 又G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B.12．解析：选B.在等差数列{a n }中，由a 3＝－2，a 5＝4，得公差d ＝3，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3n －11.因为a m ＋1a m ＋2a m＝a m ＋a m ＋a m＝a m ＋9＋18a m，且a n ＝3n －11＝3(n －4)＋1，所以要使a m ＋1a m ＋2a m 为数列{a n }中的项，18a m必须是3的倍数，于是a m 在±1，±2，±3，±6中取值，但由于a m －1是3的倍数，所以a m ＝1或a m ＝－2.由a m ＝1得m ＝4；由a m ＝－2得m ＝3.由m ＝4时，a m ＋1a m ＋2a m ＝4×71＝a 13；当m ＝3时，a m ＋1a m ＋2a m ＝1×4－2＝a 3.所以所求m 的值的和为7.13．解析：作出x ，y 满足约束条件下的平面区域，如图阴影部分所示，由图知，当直线z ＝3x ＋y 经过点A (2,2)时z 取得最大值，即z max ＝3×2＋2＝8.答案：814．解析：因为f (x )＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将其图象向右平移θ个单位后得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －θ＋π6的图象，因为所得函数图象关于直线x ＝π6对称，则有π6－θ＋π6＝k π(k ∈Z )，即θ＝－k π＋π3(k ∈Z )，所以θ的最小正值为π3.答案：π315．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2，设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋－＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6，故l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝016．解析：令f (t )≤3，若t ≤0，则2－t－1≤3,2－t≤4，解得－2≤t ≤0；若t ＞0，则－t 2＋t ≤3，t 2－t ＋3≥0，解得t ＞0，∴t ≥－2，即原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1≥－2x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ≥－2x ＞0，解得x ≤2.答案：{x |x ≤2}17．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或q ＝－舍，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝12＋22＋32＋…＋n －12＋n2， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.18．解：(1)x ＝3，y ＝5，∑i ＝15x i ＝15，∑i ＝15y i ＝25，∑i ＝15x i y i ＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝55， 解得b ^＝－1.23，a ^＝8.69， 所以y ^＝8.69－1.23x .(2)年利润z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， 所以当x ＝2.72时，年利润z 最大．19．解：(1)因为DG ＝GC ，AB ＝CD ＝2EF ，AB ∥EF ∥CD ， 所以EF ∥DG ，EF ＝DG .所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以FG ∥ED .又因为FG ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED . 所以FG ∥平面AED .(2)因为平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面BAF ， 又AD ⊂平面DAF ， 所以平面DAF ⊥平面BAF .20．解：(1)由已知得圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝x －2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0，那么y 1y 2＝－12，则|AC |·|BC |＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝12(1＋m 2)，|QC |2＝9(1＋m 2)，即|AC |·|BC |＝43|QC |2，所以存在λ＝43.21．解：(1)f ′(x )＝e x－a ，若a ＜0，则f ′(x )＞0，f (x )在R 上单调递增；若a ＞0，当x ＝ln a 时，f ′(x )＝0；当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0； 当x ＞ln a ，时f ′(x )＞0.故在(－∞，ln a )上，f (x )单调递减；在(ln a ，＋∞)上，f (x )单调递增．(2)由(1)知若a ＞0，只需f (ln a )＞a 2－a ，即－a ln a ＞a 2－a ，即ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，当a ＞0时，g (a )单调递增，又g (1)＝0，则0＜a ＜1. 若a ＜0，则f ＝－a －a ＝－a ln(－a )－2a ，f －(a 2－a )＝－a ln(－a )－a 2－a ＝－a ． 因为ln(－a )＋a ＋1≤0，所以－a ≤0， 则f ≤a 2－a ，不合要求．(事实上，令h (x )＝ln x －x ＋1，h ′(x )＝1x－1,0＜x ＜1时，h ′(x )＞0；x ＞1时，h ′(x )＜0，则h (x )≤h (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0，故ln(－a )＋a ＋1≤0)(另解：若a ＜0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝e 1a－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋1＝e 1a－1－a ＜a 2－a ，不合要求)综上所述，a 的取值范围是0＜a ＜1.22．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝14y，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θy ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)，且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1y 0＝2y －3，又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4. 23．解：(1)由(a ＋d )2＞(b ＋c )2,4ad ＝4bc ， 得(a －d )2＞(b －c )2，即|a －d |＞|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b2c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )．由于a 4＋c 4≥ 2ac ，b 4＋d 4≥ 2bd ， 又已知t ·a 2＋b2c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当a ＝c ，b ＝d 时取等号．高考模拟试题精编(四)1．解析：选 A.因为z ＝4＋3i2－i＋1－3i ＝＋＋－＋＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选C.A ＝{x |x －1≥0}＝上单调递增，∴f (x )在．3．解析：选C.因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.4.解析：选D.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，还原出该三棱锥P BCD ，易得BD ＝PB ＝41，PD ＝25，∴S △PBD ＝12×25×412－⎝ ⎛⎭⎪⎫2522＝65， 又易得S △BCD ＝12×4×5＝10，S △BCP ＝12×BC ×PC ＝10，S △PCD ＝12×CD ×CC 1＝10，∴该三棱锥的表面积是30＋6 5.5．解析：选A.∵y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴将函数图象向左平移m 个单位长度后得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m 的图象，∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴m ＝π6＋k π(k ∈Z )，又m ＞0，∴m 的最小值为π6.6．解析：选D.由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i ≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……，故②中应填写p ＝p ＋i .7．解析：选B.由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a ＞0，∴x ＝－2a ＜0，故排除A 、C ；当x 趋向于－∞时，e x趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.8．解析：选A.依题意AB ＝2，∠OAB ＝45°，又CP →⊥AB →，AC →＝14AB →，∴OP →·(OB →－OA →)＝(OA →＋14AB →＋CP →)·AB →＝OA →·AB →＋14AB →2＋CP →·AB →＝－1＋12＝－12.9．解析：选D.因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D. 10．解析：选D.由tan 2θ＝－22可得tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝2或tan θ＝－22.又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2，∴sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝2＋2－22＋1＝2311．解析：选B.由已知，显然直线PA 1的斜率存在，故可设直线PA 1的方程为y ＝k (x ＋2)，由已知k ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋x 24－y29＝1得(9－4k 2)y 2－36ky ＝0，易知9－4k 2≠0，因而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋8k29－4k 2，36k 9－4k 2，所以kPA 2＝94k ，则直线PA 2的方程为y ＝94k (x －2)，直线PA 1，PA 2与直线l 分别交于B 1(1,3k )，B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，－94k ，因而12×3×3k ＝12×1×94k ，得k ＝12，故选B. 12．解析：选C.∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (0)＝g (4)＝1，设f (x )＝g xex，∴f ′(x )＝g xx－g xxx2＝g x －g xe x，又g ′(x )－g (x )＜0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )在R 上单调递减，又f (0)＝ge＝1，∴f (x )＞f (0)，∴x ＜0.13．解析：作出可行域如图阴影部分所示，当z ＝3x ＋y 向上平移经过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋1＝0，得A (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：414．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A ·sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B＝ 3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，∴B ＝π6. 答案：π615．解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补形成长方体，则该三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，易得PA ＝2，∴三棱棱的外接球的体积V ＝43×π×13＝43π.答案：43π16.解析：由题意可知点M 在直线y ＝x ＋2上运动，设直线y ＝x ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切于点M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.当x 0＝－22即点M 与点M 1重合时，显然圆上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22符合要求；当x 0≠－22时，过点M 作圆的切线，切点之一为M 1，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMM 1，故要使得∠OMN ＝45°，只需∠OMM 1≥45°.特别地，当∠OMM 1＝45°时，有|OM |＝2即x 20＋(x 0＋2)2＝(2)2∴有X 0＝－2或X 0＝0，结合图形可知，符合条件的X 0的取值范围为． 答案：17．解：(1)f (x )＝x 2＋sin x ，令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由f ′(x )＞0⇒2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3(k ∈Z )，由f ′(x )＜0⇒2k π＋2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z )，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取得极小值，∴x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)∵b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13，∴1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝32－33n ＋2， ∴S n ＜32.18．解：(1)由题意知，样本数据的平均数X ＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为26＝13，由此估计这90个服务网点中有90×13＝30个优秀服务网点．(3)由于样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种，故所求概率P (M )＝815.19．解：(1)依题意，VC BDC 1＝VD BCC 1，过点D 作DH ⊥C 1B 1，垂足为H ，在直三棱柱中C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1C ⊥DH ，∴DH ⊥平面BCC 1，∴DH 是三棱锥D BCC 1在平面BCC 1上的高，∴DH ＝32， 又S △BCC 1＝12×2×2＝2，∴VC BDC 1＝VD BCC 1＝13×32×2＝66.(2)取C 1B 1的中点E ，连接A 1E ，CE ，∵底面是正三角形，∴A 1E ⊥B 1C 1，易知A 1E ⊥BC 1， Rt △C 1CE 中，C 1C ＝2，C 1E ＝1， Rt △BCC 1中，BC ＝2，CC 1＝2，∴C 1C BC ＝C 1E CC 1， ∴△CC 1E ∽△BCC 1，∴∠C 1BC ＝∠ECC 1，∠C 1BC ＋∠BC 1C ＝90°， ∴∠ECC 1＋∠BC 1C ＝90°， ∴CE ⊥BC 1，又A 1E ∩CE ＝E ， ∴BC 1⊥平面A 1CE ，∴A 1C ⊥BC 1.20．解：(1)法一：易知a ＝2，c ＝4－b 2，b 2＜4，所以F 1(－4－b 2，0)，F 2(4－b 2，0)，设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－4－b 2－x ，－y )·(4－b 2－x ，－y )＝x 2＋y 2－(4－b 2)＝x 2＋b 2－b 2x 24－4＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24x 2＋2b 2－4.因为x ∈，故当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1，即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.法二：由题意知，a ＝2，c ＝4－b 2，b 2＜4，所以F 1(－4－b 2，0)，F 2(4－b 2，0)，设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos ∠F 1PF 2＝|PF 1→|·|PF 2→|·|PF 1→|2＋|PF 2→|2－|F 1F 2→|22|PF 1→|·|PF 2→|＝12 ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－b 24x 2＋2b 2－4.因为x ∈，故当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1，即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝16k 2＋48＞0，故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. 经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1. 令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 1＋y 2y 1＋x 1＝x 2－x 1y 1＋y 1＋y 2x 1y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2， 又x 1＝ky 1－1，x 2＝ky 2－1， 所以x ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝ky 2－y 1＋ky 1－y 2y 1＋y 2＝2ky 1y 2－y 1＋y 2y 1＋y 2＝－6k k 2＋4－2kk 2＋42k k 2＋4＝－4.故直线A ′B 与x 轴交于定点(－4,0)． 21．解：(1)∵h (x )的定义域为(0，＋∞)， h ′(x )＝－1x 2＋3x －2＝－2x 2－3x ＋1x2＝－2x －x －x2，∴h (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)．(2)问题等价于a ln x ＝1x有唯一的实根，显然a ≠0，则关于x 的方程x ln x ＝1a有唯一的实根，构造函数φ(x )＝x ln x ，则φ′(x )＝1＋ln x ，由φ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝e －1，当0＜x ＜e －1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减，当x ＞e －1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，∴φ(x )的极小值为φ(e －1)＝－e －1.如图，作出函数φ(x )的大致图象，则要使方程x ln x ＝1a有唯一的实根，只需直线y ＝1a 与曲线y ＝φ(x )有唯一的交点，则1a ＝－e －1或1a＞0，解得a ＝－e 或a ＞0，故实数a 的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．22．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322，∴弦长为210－92＝22.23．解：(1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ，∴f (x －3)＝|x |－m ≥0，∵m ＞0，∴x ≥m 或x ≤－m ，又f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪＝0.7，即4.7－不等于0，因而可得y ＝7＋(＋1)×1.6＝10.2，输出y 的值为10.2，故选C.7.解析：选A.通过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥02x －y ≤0x ≥0，y ≥0作出可行域如图中三角形OAB 及其内部所示，其中A (1,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ×4y ＝22y －x的最小值，可转化为求2y －x 的最小值，当x ＝y ＝0时，2y －x 取得最小值0，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ×4y的最小值为1，故选A.8．解析：选A.∵a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，∴a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，因而a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8，∴a 9＝22，a 1a 17a 9＝a 3a 15a 9＝a 29a 9＝a 9＝22，故选A.9．解析：选C.将y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y ＝sin 2(x ＋φ)＋1的图象，此时y ＝sin 2(x ＋φ)＋1＝2cos 2x ，即sin 2(x ＋φ)＝cos 2x ，因而2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，那么，由选项可知φ可以取的值为π4，故选C.10．解析：选B.由题意可得f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，所以排除C 、D ；再考虑x 趋近于0时，f (x )趋近于正无穷大，即图形接近y 轴的正半轴，排除A ，选B.11．解析：选A.设B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知a ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，分别与双曲线的渐近线方程联立解得x B ＝－1b ＋1，y B ＝b b ＋1，x C ＝1b －1，y C ＝b b －1，又点B 是AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3，则c ＝10，故双曲线M 的离心率e ＝ca＝10. 12．解析：选A.由题意知，f ′(x )＝a x－2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a －2b ＝0f ＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22.又当x ∈时，f ′(x )＝1x －x ≤0，所以函数f (x )在上单调递减，其最大值为f (1)＝－12. 13．解析：由已知的频率分布直方图，可得数据不超过10时对应的矩形的高为0.04，而组距为5，因而对应的频率为0.2，因而样本容量为100.2＝50.答案：5014．解析：由题意，得△ABC 为直角三角形，斜边长为5，所以小圆半径为52，设球的半径为R ，由题意可知，R 2＝R 24＋254，解得R 2＝253，则球的表面积为4πR 2＝100π3.答案：100π315．解析：由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. 答案：4316．解析：由已知S n ＝n 2可得，n ＝1时，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，a 1＝1适合上式，因而数列{a n }是公差为2的等差数列，a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋a 2n －1a 2n －a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－4(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－4×n a 2＋a 2n 2＝－8n 2－4n .若对任意的n ∈N *不等式－8n 2－4n ≥t ·n 2恒成立，则t ≤－4n－8恒成立，因而t ≤－12，t 的最大值为－12.答案：－1217．解：(1)由已知，m ∥n ，则2b cos C ＝2a －c ，由正弦定理，得 2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )－ sin C ，即2sin B cos C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C ≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝π3.又b 2＝ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因而ac ＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形． (2)y ＝1－2cos 2A1＋tan A＝1－cos 2A －sin 2A1＋sin A cos A＝1－2cos A (cos A －sin A )＝sin 2A －cos2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4，其中A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.因而所求函数的值域为(－1，2]． 18．解：(1)甲产品的合格率为P 1＝40＋32＋8100＝45.乙产品的合格率为P 2＝40＋24＋6100＝710.(2)由题意，若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，则其中恰有1件次品，4件合格品，因而可设这5件甲产品分别为a ，b ，c ，d ，E ，其中小写字母代表合格品，E 代表次品，从中随机抽取2件，则所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，aE ，bc ，bd ，bE ，cd ，cE ，dE ，共10种，设“这2件产品全是合格品”为事件M ，则事件M 所包含的情况为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种．由古典概型的概率计算公式，得P (M )＝610＝35.19．解：(1)证明：∵平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面ACD ，即AD ⊥BC ，又AD ⊥CD ，且CD 、BC 为平面BCD 内两相交直线，∴AD ⊥平面BCD .(2)由(1)得AD ⊥BD ，∴S △ADB ＝23，∵三棱锥B ACD 的高BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴13×23h ＝13×2×22，∴可解得h ＝263.20．解：(1)设P (t 2，t )，t ＜0，切线l 的方程为y －t ＝k (x －t 2)，其中k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x y －t ＝kx －t 2，得y 2－1k y ＋t k －t 2＝0，由Δ＝1k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t k －t 2＝0得k ＝12t ，因此直线l 的方程为y －t ＝12t(x －t 2)，即x －2ty ＋t 2＝0. 令y ＝0，得x ＝－t 2，所以A (－t 2,0)，令x ＝0，得y ＝t2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2.设M (a,0)，因为圆M 与l 相切于点P ，|PB |＝|PM |， 且PB ⊥PM ，所以|MB |2＝2|PB |2，即a 2＋t 24＝2⎝⎛⎭⎪⎫t 4＋t 24，所以a 2＝t 24＋2t 4①，又PM →·PB →＝0，所以－t 2(a －t 2)＋t 22＝0，即t 2＝a －12②.联立①②解得a ＝32或a ＝14(舍去)，|PM |2＝54，所以圆M 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝54.(2)由(1)知A (－1,0)，直线l 的斜率为－12，所以直线m 的斜率为2，故直线m 的方程为2x －y ＋2＝0.设与直线m 平行且与抛物线C 相切的直线为2x －y ＋b ＝0(b ≠2)，代入抛物线方程，得y 2＝y －b 2，即2y 2－y ＋b ＝0，由Δ1＝1－8b ＝0得b ＝18，此时y ＝14，x ＝116，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14. 21．解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由f ′(x )＝1－ln xx2＝0，得x ＝e ， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，所以f (x )有极大值f (e)＝1e，无极小值．(2)设函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切于点M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，ln t t ，由f ′(x )＝1－ln x x 2，则f ′(t )＝1－ln t t 2＝a ，且ln tt＝at －a ， 消去a 得(2t －1)ln t －t ＋1＝0. 设h (t )＝(2t －1)ln t －t ＋1，则h ′(t )＝2ln t ＋2t －1t －1＝2ln t －1t＋1.设φ(t )＝2ln t －1t ＋1，则φ′(t )＝2t ＋1t2＞0，所以φ(t )＝2 ln t －1t ＋1在其定义域上单调递增，即h ′(t )＝2ln t －1t＋1单调递增．又h ′(1)＝0，所以当t ∈(0,1)时，h ′(t )＜0，h (t )单调递减，当t ∈(1，＋∞)时，h ′(t )＞0，h (t )单调递增，所以h (t )的最小值为h (1)＝0， 所以(2t －1)ln t －t ＋1＝0仅有一解t ＝1，此时a ＝1－ln 112＝1，切点为M (1,0)． 22．解：(1)由ρ＝5⇒ρ2＝25，得x 2＋y 2＝25，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝25.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos αy ＝－32＋t sin α(t 为参数)，①将参数方程①代入圆的方程x 2＋y 2＝25，得4t 2－12(2cos α＋sin α)t －55＝0， ∴Δ＝16＞0，上述方程有两个相异的实数根，设为t 1、t 2，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝α＋sin α2＋55＝8，化简有3cos 2α＋4sin αcos α＝0，解得cos α＝0或tan α＝－34，从而可得直线l 的直角坐标方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.23．解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a ＜0， 则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋|－1x－a |＝|x －a |＋|1x ＋a |≥|(x －a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a |＝|x ＋1x |＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a ＜0.当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ，则f (x )＋f (2x )≥－a ； 当a ＜x ＜a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ，则－a2＜f (x )＋f (2x )＜－a ；当x ≥a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ，则f (x )＋f (2x )≥－a2，则f (x )的值。
2018年高考文科数学模拟卷(word版含答案)
1 / 112018年高考模拟检测数学（文科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|13,|30A x x B x x x =<≤=-≥则如图所示表示阴影部分表示的集合为A.[)1,0B.(]3,0C.)3,1(D.[]3,12．设复数z 满足()3112(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A ．215πB ．320πC ．2115π-D ．3120π- 4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是A ．2?k >B ．2?k <C ．3?k >D ．3?k <5．若函数()sin()12f x x πα=+-为偶函数，则cos2α的值为 A. 12-B. 12C. 32-D. 32否开始6,1k S ==S S k=⨯1k k =-输出S结束是2 / 116.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为A. -2B. -1C. 1D. 27．若,x y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的取值范围是A. (,2]-∞B. [2,3]C. [3,)+∞D. [2,)+∞ 8．将函数()=2sin(2+)3f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π= 9．某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为A ．4B ．2C ．43 D ．2310．已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =”是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+=()f x 0x >()(21)ln f x x x =-()y f x =(1,(1))f --正视图 侧视图3 / 11A ．B ．C ．D ．012．已知函数22()()(ln 2)f x x m x m =-+-，当()f x 取最小值时，则m = A ．12 B ．1ln 22-- C ．12ln 2105- D ．2ln2-二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知点，若，则实数等于 14．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，若2sin sin sin ,B A C =+3cos 5B =且4ABC S ∆=，则b 的值为 ； 15．已知三棱锥A BCD -中，BC ⊥面ABD，3,1,4AB AD BD BC ====，则三棱锥A BCD -外接球的体积为 ；16．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF的面积为p 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4120S =，且43a 是6a ，5a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求12111nT T T +++.2log 52log 5-2-(2,),(1,1)a m b ==||a b a b ⋅=-m4 / 1118．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）预测该路口 7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让参考公式：1122211()()ˆˆˆ,()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bay bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑. 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）19. （12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，.是PD 上一点.（1）若平面，求的值； P ABCD -PD ⊥ABCD ABCD //,AB DC AB AD ⊥3,2,5AB CD PD AD ====E //PB ACE PEED5 / 11（2）若E 是PD 中点，过点E 作平面平面PBC ，平面与棱PA 交于F ，求三棱锥的体积20．（12分）在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点3(1,)2在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PFQF 的周长为2（1）求动点P 的轨迹方程；（2）已知动直线:l y kx m =+与轨迹P 交于不同的两点M N 、, 且与圆223:2W x y +=交于不同的两点G 、H ，当m 变化时，||||MN GH 恒为定值，求常数k 的值.21．（12分）已知函数,)(a x ae x f x--= 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数.（1）讨论函数)(x f 的单调性;（2）若)(x f 恰有2个零点，求实数a 的取值范围.//ααP CEF -6 / 11（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，曲线2C 的参数方程是12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程及2C 的普通方程；（2）已知点1(,0)2P ，直线l的参数方程为1222x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设直线l 与曲线1C相交于,M N 两点，求11||||PM PN +的值．23．选修45-：不等式选讲（10分） 已知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值k ；（2）在（1）的结论下，若正实数,a b满足11a b +=，求证：22122a b+≥.2018年高考模拟检测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C A C D C B D A D A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．7 / 1113． 1415．1256π 16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分） 解：（1）43a 是6a ，5a -的等差中项，4656a a a ∴=-,设数列{}n a 的公比为q ，则3541116a q a q a q =-260q q ∴--=，解得3q =或2q =-（舍）；…………………………………………3分4141(1)401201a q S a q -∴===-，13a ∴=所以3nn a =…………………………………………………………………………………6分（2）由已知得213log 321n n b n +==+； 所以3521(2)n T n n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+，………………………………………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++ 1231111n T T T T +++⋅⋅⋅+1111111[()()()2132435=-+-+-1111()()]112n n n n ⋅⋅⋅+-+--++ 1231111n T T T T ∴+++⋅⋅⋅+1311()2212n n =--++………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知，3,100x y ==，…………………………………………………1分∴1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑141515008.55545-==--，……………………………………………4分ˆ125.5ay bx =-=， ∴所求回归直线方程为ˆ8.5125.5yx =-+ ………………………………………………6分 13-8 / 11（2）由（1）知，令7x =，则ˆ8.57125.566y=-⨯+=人. …………………………8分 （3）由表中数据得2250(221288)50302030209K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．………………12分19． 【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE ，OD OBED PE OE PB OEPBD ACE PBD PB ACE PB =∴=⊂，平面平面平面平面//,,// 23,~==∴∆∆CD AB OD OB COD AOB 又 23=∴ED PE (2)过E 作EM//PC 交CD 于M ，过M 作MN//BC 交AB 于N ，过N 作NF//PB 交PA 于F ，连接EF则平面EFNM 为平面α121==∴∴CD CM CD M PD E 的中点，为的中点，为23,1==∴==∴AB BN PA PE CM NB ’DCD PD PCD CD PCD PD CD AD AD PD ABCD AD ABCD PD =⊂⊂⊥⊥∴⊂⊥ ,,,,,,平面平面又平面平面1825h 31353125,,5,=⋅∆==∴==∴=∴⊥==⊥∴--PCE S V V AD h PCE F PA AD PD AD PD PCD AD PCE F CEF P 的距离到平面平面【考查方向】本题主要考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算。
江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题有答案AlUPHM
第一次模拟测试卷文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}4A x N y x=∈=-，{}21,B x x n n Z==+∈，则A B=I( )A.(],4-∞ B.{}1,3 C.{}1,3,5 D.[]1,32.欧拉公式cos sinixe x i x=+(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3ieπ表示的复数位于复平面中的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知()f x是定义在R上的偶函数，且()f x在()0,+∞上单调递增，则( )A.()()()320log2log3f f f>>- B.()()()32log20log3f f f>>-C.()()()23log3log20f f f->> D.()()()23log30log2f f f->>4.已知0a>，b R∈，那么0a b+>是a b>成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设不等式组3010350x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M，若直线y kx=经过区域M内的点，则实数k的取值范围为( )A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.已知函数()()2sin06f x xπωω⎛⎫=->⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω的值可以为( )A.1B.2C.3D.47.执行如图所示的程序框图，则输出的n等于( )A.1B.2C.3D.48.设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为( )A.[)1,2-B.[]1,0-C.[]1,2D.[)1,+∞9.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.336+B.152C.63+D.810.函数()()()2sin xx e e x f x x e ππ-+=-≤≤的图象大致为( )ABCD11.已知12,F F 为双曲线()222:102x y C b b-=>的左右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B ，2AF B △是等腰直角三角形，22AF B π=∠，则双曲线C 的离心率为( ) A.4 B.23C.2312.已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)度的200公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若3cos cos 4αβ=，则v =( )A.60B.80C.100D.125二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()f x 在()0,+∞内可导，其导函数为()'f x ，且()ln ln f x x x =+，则()'1f =____________.14.已知平面向量()1,a m =r ，()4,b m =r，若()()20a b a b -⋅+=r r r r ，则实数m =____________.15.在圆224x y +=上任取一点，则该点到直线220x y +-的距离[]0,1d ∈的概率为____________. 16.已知函数()3sin f x x x =+，若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()22f f παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2αβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4421S a =-，3321S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记216log 1n n b S ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求12n b b b +++…的最大值.18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.(1) 求x 的值和乙班同学成绩的众数；(2) 完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD BC ∥，AD AB ⊥，3AB BC AP ===，三棱锥P ACD -的体积为9.(1)求AD 的值；(2)过O 点的平面α平行于平面PAB ，α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点,,,E F G H ，求截面EFGH 的周长.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的下顶点为A ，右顶点为B ，离心率3e =，抛物线2:8x E y =的焦点为F ，P 是抛物线E 上一点，抛物线E 在点P 处的切线为l ，且l AB ∥. (1)求直线l 的方程；(2)若l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且FMN S △，求C 的方程. 21.已知函数()()ln x f x e a x e a =--∈R ，其中e 为自然对数的底数. (1)若()f x 在1x =处取到极小值，求a 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若当[)1,x ∈+∞时，()f x 0≥恒成立，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积.23.已知()223f x x a =+.(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.80404061192713346乙班甲班合计合计不优秀人数优秀人数MN ODCBAPE FGHNCS20180607项目第一次模拟测试卷 文科数学参考答案及评分标准一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二.13．e+114.13 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=, 所以432a a =， 所以2q =. 又因为3321S a =-所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =.所以12n n a -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122112n n n S -==--，所以4216)2log 2821n n n b n S -===-+， 12n n b b --=-，所以{}n b 是首项为6，公差为2-的等差数列，所以12346,4,2,0,b b b b ====当5n >时0n b <，所以当3n =或4n =时，12n b b b +++L 的最大值为12. 18. 【解析】（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为74， 所以775274x +=⨯，得3x =由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78,83（Ⅱ）依题意知2280(6271334) 3.382 2.70640401961K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯（表格2分，2K 计算4分） 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面. 19. 【解析】（Ⅰ）四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，//,AD BC AD AB ^，3AB BC AP ===，所以139322P ACD AB AD ADV AP -×=醋==，解得6AD =. （Ⅱ）【法一】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î， 平面PAB I 平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP , 因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD OA ==， 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BE EC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I ,所以//,HN GM HN GM =， 故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =，（求GH 长2分，其余三边各1分） 在PMN D 中，所以MN =所以截面EFGH的周长为325+++【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP 因为BC ∥,6,3AD AD BC == 所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD AO ==， 所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ==== 同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ， 所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==，同理，223FG PA ==， 过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则GH ==，所以截面EFGH的周长为325+++20. 【解析】（Ⅰ）因为222314b e a =-=， 所以12b a =， 所以12AB k =又因为l ∥AB ， 所以l 的斜率为12设2(,)8t P t ，过点P 与E 相切的直线l ，由28x y =得1'|442x t x t y ====，解得2t =所以1(2,)2P ，所以直线l 的方程为210x y --=（Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，由22221412x y b b x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩得2222140x x b -+-=，21212141,2b x x x x -+==，且248(14)0b D =-->，即218b >，所以12||x x -==【法一】:210l x y --=中，令0x =得12y =-，l 交y 轴于D , 又抛物线焦点(0,2)F ，所以15||222FD =+=所以1211||||224FMN S FD x x ∆=⋅-==，解得24b =， 所以椭圆C 的方程221.164x y +=【法二】12|||MN x x =-=:210l x y --=，抛物线焦点(0,2)F ，则F l d ®==所以11||224FMN F l S MN d ∆→=⋅==，解得24b =， 所以椭圆C 的方程221.164x y += 21. 【解析】（Ⅰ）由()e ln e(R)xf x a x a =--?，得()e x af x x¢=- 因为(1)0f ¢=，所以e a =，所以e e e()e x xx f x x x-¢=-=令()e e xg x x =-，则()e (1)xg x x ¢=+， 当0x >时，()0g x ¢>，故()g x 在(0,)x ??单调递增，且(1)0,g = 所以当(0,1),()0x g x ?时，(1,),()0x g x ??时.即当(0,1)x Î时，'()0f x <，当(1,)x ??时，'()0f x >. 所以函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+?上递增.（Ⅱ）【法一】由()e ln e xf x a x =--，得()e x af x x¢=-（1）当0a £时，()e 0x af x x¢=->，()f x 在[1,)x ??上递增 min ()(1)0f x f ==（合题意）（2）当0a >时，()e 0x af x x¢=-=，当[1,)x ??时，e e x y =? ①当(0,e]a Î时，因为[1,)x ??，所以e a y x =?，()e 0x a f x x¢=-?. ()f x 在[1,)x ??上递增，min ()(1)0f x f ==（合题意）②当(e,)a ??时，存在0[1,)x ??时，满足()e 0x af x x¢=-= ()f x 在00[1,)x x Î上递减，0()x +?上递增，故0()(1)0f x f <=.不满足[1,)x ??时，()0f x ³恒成立综上所述，a 的取值范围是(,e]-?.【法二】由()e ln e xf x a x =--，发现(1)e ln e 0xf a x =--=由()e ln e 0xf x a x =--?在[1,)+?恒成立，知其成立的必要条件是(1)0f '≥ 而()e x af x x'=-，(1)e 0f a '=-≥，即e a ≤ ①当0a ≤时，()e 0x af x x'=->恒成立，此时()f x 在[1,)+?上单调递增， ()(1)0f x f ?（合题意）.②当0e a <≤时，在1x ≥时，有101x <≤，知e 0aa x -≤-≤-<， 而在1x >时，e e x ≥，知()e 0x af x x'=-≥， 所以()f x 在[1,)+?上单调递增，即()(1)0f x f ?（合题意）综上所述，a 的取值范围是(,e]-?.22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩得普通方程22(2)4x y +-=，所以极坐标方程2222cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =. （Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM pr ===，又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON pr ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON D ==创. 23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?，0223x x x ì<ïïíï-+-?ïî 得13x ?；02223x x x ì＃ïïíï+-?ïî 得12x ＃；2223x x x ì>ïïíï+-?ïî 得2x >，所以()|2|2f x x +-?的解集为1(,][1,)3-?+?U . （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立， 又因为222|21||23||2123||31|x x a xx a a +-+?--=-，所以原不等式恒成立只需2|31|2a a -<，当0a <时，无解；当03a＃时，2132a a -<，解得133a <?；当3a >时，2312a a -<，解得13a <<. 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习综合测试卷
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B.- C.(0,2) D.3.(2016河南高考押题卷)设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28(第4题图)(第5题图)5.(2016河南开封四模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为()A.4B.4C.8D.86.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.(2016河南开封四模)若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.(2016山西太原一模)已知变量x,y满足约束条件----若-,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.(2016安徽合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.(2016河南郑州二模)对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.〚导学号37270682〛12.已知数列{a n}满足a1=15,-=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.〚导学号37270683〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016辽宁丹东高三二模)(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=-在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.〚导学号37270684〛16.(2016河南信阳、三门峡一模)已知e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,则|2a-b-1|的最小值为.〚导学号37270685〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)(2016湖南益阳一模)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=----;线性回归方程系数公式:x+,其中---.19.(12分)(2016河南开封四模)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.〚导学号37270686〛20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.〚导学号37270687〛21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.〚导学号37270688〛请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.〚导学号37270689〛[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.〚导学号37270690〛参考答案综合测试卷1.D解析∵--=-,∴解得--∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=-,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.A解析根据三视图可得此棱锥的高为SO=4,底面为直角梯形,且CD=AB=2,AB∥CD,且ABCO为正方形,如图所示,故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为SCD,它的面积为CD·SO=×2×4=4,故选A.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin-,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin--,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2-,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析-表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A=--=-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C), 于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得-所以2a+b=1.11.C解析由题意知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2其中, 即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立, 则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得-≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为--,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)=--=n2-n,所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1--,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为.13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.3解析e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,可知2a-3>0,可得b=ln(2a-3),则|2a-b-1|=|2a-ln(2a-3)-1|,令2a-3=x,上式化为|x-ln x+2|.令y=x-ln x+2,可得y'=1-,由y'=0,可得x=1.当x∈(0,1)时,y'<0,函数y是减函数;当x>1时,y'>0,函数y是增函数;故当x=1时,y=x-ln x+2取得最小值3.因此|2a-b-1|的最小值为3.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3-,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,--≈0.98;可得r=--即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,--=0.5,=0.4.则-因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴-=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=--=--,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·-+km·-+m2=-, ∴---,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2=----=2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=|x2-x1|·=-=---=--=2-=2,∴四边形=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)内单调递增,在(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2]上单调递减,[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=-----(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0得x<ln.∴F(x)在-上单调递减,在内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在-上单调递减,在内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4 ].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为--.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=-----∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。
2018年高考文科数学模拟试题及答案
2018年高考文科数学模拟试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必用黑 色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准 条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第1卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)(1)已知i 为虚数单位，复数i z +=21，i z 212-=，则=+21z z ( ) (A)i +1 (B) i -2 (C) i -3 (D) i -(2)设平面向量3(=,)2，x (=,)4-，如果与平行，那么x 等于( ) (A) 6 (B) 3 (C) 3- (D) 6-(3)设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若2:1:21=a a ，则=21:S S ( ) (A)3:1 (B) 4:1 (C) 5:1 (D) 6:1 (4)设3log 31=a ,31log 21=b , 2)31(=c ，则下列正确的是 ( )(A)c b a << (B)b c a << (C)c a b << (D)a c b <<(5)某商场在今年春节假期的促销活动中，对大年初一9时至14时的销售金额进行统计，并将销售金额按9时至10时、10时至11时、11时至12时、12时至13时、13时至14 时进行分组，绘制成下图所示的频率分布直方图，已知大年初一9时至10时的销售金额为3万元，则大年初-11时至12时的销售金额为 ( ) (A)4万元 (B)8万元 (C) 10万元 (D) 12万元(6)下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中 正视图与侧视图都是边长为6的正三角形，俯视图是直径等于6的圆，则这个空间几何体的 表面积为 ( ) (A) π180.400.35 0.30 0.250.200.15 0.100.05(B) π27(C) 382π(D) 383π(7)已知函数x x x x f cos sin cos 3)(2+=,R 是实数集，若R x ∈∃1,R x ∈∃2,R x ∈∀，)()()(21x f x f x f ≤≤,则12x x -的最小值为 ( )(A)π (B)2π (C) 3π (D) 4π(8)在三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，3=PA ，5=PB ，2=PC ,若三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的球面上，则球0的体积等于 ( ) (A) π36 (B) π25 (C) π16 (D)π34 (9)如图所示的程序框图的功能是 ( )(A)求数列}1{n 的前10项和(B)求数列}1{n 的前11项和(C)求数列}21{n 的前10项和(D)求数列}21{n的前11项和(10)下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x （单位：吨）与相应的生根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为35.07.0ˆ+=x y那么表 格中t 的值为 ( )(A) 5.3 (B) 25.3 (C) 15.3 (D) 3(11)已知0>a ，0>b ，双曲线S ：12222=-bx a y 的离心率为3，k 是双曲线S 的一条俯视图渐近线的斜率，如果0>k ，那么b ak+的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 23 (C) 24 (D) 6(12)已知23)(x x f y +=的图象关于原点对称，若3)2(=f ，函数x x f x g 3)()(-=, 则)2(-g 的值是 ( )(A) 12 (B) -12 C) -21 (D) -27第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考模拟卷数学(文)试题Word版含答案
2018年高考模拟卷数学(文)试题Word版含答案2018年高中毕业班教学质量检测高考模拟数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足(1-i)z=1+3i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U=Z，A={x∈Z|x^2-x-2≥0}，B={-1,0,1,2}，则(C∩A)∩B=（）A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}3.若-1<sinα+cosα<1，则（）A.sinα<cosαB.cosα<sinαC.tanα<cosαD.cos2α<14.已知点(2,3)在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)的一条渐近线上，则a=（）A.3B.4C.2D.235.“a^2=1”是“函数f(x)=lg((2+x)/(1-x))+(a^2-1)/2为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行以下程序框架，则输出A的值是（）int A=0;for(int i=1;i<=6;i++){A=A*10+i;XXX<<A<<endl;A.B.xxxxxxxxC.D.xxxxxxx7.边长为4的正三角形ABC中，点D在边AB上，AD=DB，M是BC的中点，则AM×CD=（）A.16B.12√3C.-8/3D.-88.等比数列{a_n}共有2n+1项，其中a_1=1，偶数项和为170，奇数项和为341，则n=（）A.3B.4C.7D.99.函数f(x)=x^2cos(x)在(-π/2,π/2)的图象大致是（）A。
B。
C。
D。
10.抛物线x^2=4y的焦点为F，过F作斜率为-3的直线l 与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是（）A.4B.3/3C.4/3D.811.将函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)的图象向左平移π/4个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增，则ω的值为（）A.3π/2B.2π/3C.3π/4D.π/212.若函数f(x)={-x-e^(x+1),x≤a。
高中数学复习提升-2018文科模拟卷(一)
2018年高考数学（文）模拟试卷（1）（本试卷总分值为150分,考试时间为120分钟 ）第I 卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合}16221|{≤≤∈=x N x A ，}3|{2x x y x B -==，则A B 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若i b -与ai +2互为共轭复数，则()2a bi +=( ) A ．i 43-B ．i 45+C ．i 43+-D ．i 45--3.一个盒子里有2只红笔、1只黑笔和1只蓝笔，从中摸出两只笔，至少有1只红笔的概率为( ) A.61 B.31 C.32 D.65 4.函数4ln 3)(-+=x x f x 的零点所在区间是（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3( 5.已知x xx f sin 2)(-=，则)(x f y =的函数图象是( )A B C D 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ） A ．41 B ．29C ．52D ．47.已知函数])125,0[,0(1)62sin(2)(πωπω∈>--=x x x f 的对称中心到对称轴距离的最小值为4π．则函数()f x 的最小值为（ ）A 2-B 0C 1 D.3-8.已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则582++n n a S 的最小值为（ ） A ． 2 B ． 424- C ．35D ． 39.设0>>>c b a ，若不等式2018log 2018log 2018log ca cb ba t ≥+对所有满足已知cb a ,,的均成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ． 2C ．2 D ．410.若,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥+8,0,022y x y x y x 则43+-=x y z 的最小值为（ ）A ． 65-B ．43-C ．61-D ．21-11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若2||||=OQ OP ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．412.已知函数2)(a x y -=与函数a x y +=至多只有一个交点，则常数a 的取值范围为（ ）),41(+∞-A )1,(--∞B ),41(+∞-C )41,(--∞D第II 卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.命题“01,12>->∀x x ”的否定为 .14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -，则)42(-f = . 15.已知锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,若B a a c cos 2=-，则)sin(22sin A B A-的取值范围是____________．16.某考试试题不小心被玷污，经仔细辨认，有以下两条有效信息：①已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆124322=+y x 的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为21的射线与椭圆交于B ，C ，…”②若AB 的斜率为k ，解得点)4312,4386(222k kk k B ++-，)0,3(-D ，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ．（用k 表示）三、必答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =， 121n n a a n +-=+().n N +∈(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若na nb n n n ++-=12)1(，n S 为数列}{n b 的前n 项和，求n S 2.18.（本小题满分12分）已知某超市买进的西红柿x （吨）与出售天数y （天）之间的关系如下表所示：x2 3 4 5 6 7 9 12 y12334568（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（其中b 保留2位有效数字）；（3）根据（2）中的计算结果，若该蔬菜商店买进西红柿40吨，则预计可以销售多少天（计算结果保留整数）？附： 1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx==-=-∑∑，^^y x a b=-19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，其中6,1,2π=∠==BAD AB AD ，等边PAD ∆所在平面与平面ABCD 垂直．(1）点E 在棱PA 上，且2=EPAE，M 为PBC ∆的重心，求证：EDC ME 平面//； (2）求三棱锥PDC E -的体积．20. （本小题满分12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为36，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点33||,=PF P .(1）求曲线C 的方程；(2)过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线C 交于不同的两点B A ,，点E 在曲线C 上，且AB AE ⊥，直线BM 与x 轴交于点N ，设直线AN BM ,的斜率分别为12,k k ，求12.kk21. （本小题满分12分）已知函数2ln )(,2)(22++=+=x e x g me e x f x x x ，a R ∈，（1）讨论)(x f 的单调区间； （2）求证：当21=m 时，对0x ∀>，都有()()f x g x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 22y x （ϕ为参数）和⎩⎨⎧+==ββsin 1cos y x （β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（2）射线OM ：αθ=与圆1C 的交点分别为P O 、，与圆2C 的交点分别为Q O 、，求||||OQ OP ⋅的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x x =+-. （1）求不等式()62x f <的解集；（2）若0k >且直线5y kx k =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围.2018年高考数学（文）模拟试卷（一）参考答案一、选择题题 号 123456789101112答 案C CD B A B A C D A C D1.C 【解析】 }4,3,2,1,0{}16221|{=≤≤∈=x N x A ，),3[]0,(}3|{2+∞-∞=-== x x y x B , }4,3,0{=∴B A ,选C.2.C 【解析】i b -与ai +2互为共轭复数，所以1,2==a b ，i i bi a 43)21()(22+-=+=+∴,选C.3.D 【解析】取2支笔的所有可能为6种，其中没有红色笔只有一种情况，由对立事件概率知，65)(1)(=-=A P A P ,4.B 【解析】解析：4ln 3)(-+=x x f x 单调递增，且02ln 5)2(,01)1(>+=<-=f f ，故)2,1(0∈∃x ，使得0)(0=x f ，故选B5.A 【解析】x x x f sin 2)(-=是奇函数，所以排除B,D ，又02112)6(<-=ππf ，故选A6.B 【解析】如图可知，三视图还原几何体为四棱锥， 最长棱为PC ,29,52,3=∴==PC BC PB ,故选B7.A 【解析】])125,0[,0(1)62sin(2)(πωπω∈>--=x x x f 由已知，对称中心到对 称轴距离的最小值为4π，所以1,==ωπT ,1)62sin(2)(--=πx x f ，]125,0[π∈x2],1,21[)62sin(],32,6[62min -=-∈--∈-∴y x x ππππ，故选A. 8.C 【解析】)12()2(,,11211331d a a d a a a a +=+∴成等比数列，,22,01==≠a d d 所以又,所以2,12n S n a n n =-=，+∈-+++=-++=++=++N n n n n n n n a S n n ,4228228245822，当1=n 时，35582=++n n a S ，故选C9.D 【解析】2018log 2018log 2018log c a c b b a t ≥+ ,ca cbba lg 2018lg lg 2018lg lg 2018lg ≥+∴，0>>>c b a 0lg ,0lg ,0lg >>>∴c a c b b a ，min )lg lglg lg(cb c ab ac a t +≤，,lg lg ,lg y x c ac b y b a x +===，则令 42)11)((lglg lg lg≥++=++=+x y y x y x y x c b c a b a c a ,4)lg lg lg lg (min =+∴c b c ab ac a ,故选D 10.A 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥+8,0,022y x y x y x 所表示的区域如右图所示：）的斜率）与定点（可表示为区域内点（3,4,43-+-=y x x y z由图可知，65min -=z ，故选A.11.C 【解析】c a b OQ c a a BF BO MF OQ OQ MF a b MF x MF +=∴+==∴=∴⊥2111211,//, 轴，ac b OP a c a AF AO MF OP OP MF -=∴-==∴2111,// ,3,3,2222=∴=+=-∴=e c a c a b a c b OQ OP ,故选C12.D 【解析】因为2)(a x y -=与函数a x y +=互为反函数，关于x y =对称，当两函数图像与x y =都相切时，此时a 取值最大，由图像的变化情况可知，a 范围为：)41,(--∞.故选D 13.二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分共20分．把答案填在题中横线上）13. 命题否定为： 01,1200≤->∃x x .【解析】略 14.25【解析】25142log )42()42(2=+-=-=-f f 15. )23,22(【解析】A A B B a a c sin )sin(,cos 2=-∴=- ,A A B A A A B A cos )sin(2cos sin 2)sin(22sin =-=-A B A A B B A A A B 2,,,sin )sin(==-∴=-即为锐角，又 ,由锐角三角形知)4,6(ππ∈A ，)23,22()sin(2sin ),23,22(cos ∈-∈∴A B A A 即.16.11562+k k 【解析】因为)4312,4386(222k k k k B ++-，由已知将k 换成k 21得)136,1326(222++-k k k k C ,又115631326136)0,3(2222+=++-+=∴-k k k k k kk D CD，故11562+=k k k CD . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解（1）121(2)n n a a n n --=-≥ 又112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+=2(21)(23)31n n n -+-+++= ...................................4分2）)111()1(12)1(12)1(2++-=++-=++-=n n nn n n a n b n n n nn n n n n n n b b n n n 121)2111()111(1-+=++++++-=+∴+为奇数时，当)()()(21243212212n n n n b b b b b b b b b S +++++=++=∴-=1221121)121121()3151()131(+-=-+=--++-+-n nn n n ...................................12分18.试题解析：（1）散点图如下所示：...................................3分（2）依题意， x ＝18(2＋3＋4＋5＋6＋7＋9＋12)＝6， y ＝18(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，821491625364981144364ii x==+++++++=∑，8126121524355496244iii x y==+++++++=∑，81822218244864520.6836486768ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，∴40.6860.0ˆ8a =-⨯=-； ∴回归直线方程为0.6808ˆ.0yx =- ..................................9分 （3）由（2）可知当40x =时， 0.68400.0827y =⨯-≈，故买进西红柿40吨，预计可销售27天. ...................................12分 19.试题解析：1)取FP BF 2=,M 为重心，所以2==MNBM PF BF ,PDC FM PDC PC PDC FM PCFM 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄, 同理，PDC EF 平面//,PDC EFM PDC EF PDC FM E FM EF 平面平面平面平面//////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂，EFM EM 平面⊂，所以EM//平面PDC,即证. ...................................6分2)63321313131=⨯⨯===-=---BCD P PDC B PDC M PDC E V V V V ...................................12分20:1)椭圆C 方程为:1322=+y x ...................................4分2)设),(),,(),,(221111y x E y x B y x A --,则直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AB AE ⊥，所以直线AE 的斜率是11y x k AE -=，记11x k y -=，设直线AE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴121222()213my y k x x m k+=++=+，由题意知，12x x ≠，所以1211121133y y y k x x k x +==-=+， ……………9分所以直线BE 的方程为1111()3y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得121y k x =-. 所以1213k k =-，即121=.3k k - ……………12分 21解.①)(222)('2a e e ae e x f x x x x +=+=上单调递增在恒成立，时，当R x f x f a )(0)('0>≥；0('),)(ln(;0(')),ln(,(0>∞+-∈<--∞∈<），若）时，若当x f a x x f a x a综上：).),[ln())ln(,()(0R )(0+∞---∞<≥a a x f a x f a ；增区间为的减区间为时，当；的增区间为时，当 ................................5分（2）()()f x g x >ln 2x e x ⇔->∴只需证ln 2x e x ->法1：由11ln 21ln x x e x e x x x x⎧≥-⇒≥+≥+⎨-≥⎩（等号不同取）得ln 2x x e -> 法2：令()ln (0)x h x e x x =->1(),()x h x e h x x''=-显能为增函数'(1)10h e =->又 ，1'()202h e <∴在(0,)+∞存在唯一实数0x ，使0()0h x =即0010x e x -=且01(,1)2x ∈00100001ln ln x x e x x x x ⇒=⇒=⇒=-ln()x ∴在0(0,)x ↓在0(,)x +∞↑ 0min 00001()()ln 2x h x h x e x x x ∴==-=+>0()()2h x h x ∴≥> 因此得证. ...................................12分22.解：（1）圆1C 和2C 的普通方程分别是4)2(22=+-y x 和1)1(22=-+y x ， ∴圆1C 和2C 的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 2=. .................................4分 （2）依题意得点Q P 、的极坐标分别为),cos 4(ααP ，),sin 2(ααQ ，不妨取)2,0(πα∈，∴|cos 4|||α=OP ，|sin 2|||α=OQ ，从而4|2sin 4|||||≤=⋅αOQ OP . 当且仅当12sin ±=α，即4πα=时，上式取“=”，||||OQ OP ⋅取最大值是4. ..........12分23.（1）由()62xf <，即|||3|622x x+-<， 得：3236x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236xx ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩， 解得：39x -<<，∴不等式()62xf <的解集为(3,9)-. ...............................5分（2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩的图象，如图所示，∵直线(5)y k x =+经过定点(5,0)A -， ∴当直线(5)y k x =+经过点(0,3)B 时，35k =， ∴当直线(5)y k x =+经过点(3,3)C 时，38k =， ∴当33(,]85k ∈时，直线(5)y k x =+与函数()f x 的图象可围成一个三角形. ...................................10分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 文科数学
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N =（ ）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0MN =．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位）） 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．2B ．1C ．12D．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ． 3．[2018·南宁二中]为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果 【答案】B【解析】由A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选B ．4．[2018·滁州期末]）A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C药物A 实验结果患病未患病服用药没服用药0.10.20.30.40.50.60.70.80.91药物B实验结果患病未患病服用药没服用药0.10.20.30.40.50.60.70.80.91【解析】sin2cos tan2ααα-=-⇒=，C．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4+C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C．6．[2018·滁州期末]设变量x，y满足约束条件2202202x yx yy+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，则目标函数z x y=+的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由z x y =+，得y x z =-+．平移直线y x z =-+，结合图形可得，当直线（图中的虚线）经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．由2 220y x y =-+=⎧⎨⎩，解得22x y ==⎧⎨⎩，故点A 的坐标为（2，2）．∴max 224z =+=，即目标函数z x y =+的最大值为4．选D ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++，首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-．8．[2018·达州期末]若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1【答案】C【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A．BCD【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，PA PB＝两边平方并整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是122⨯⨯=A ．10．[2018·孝感八校]已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右顶点为A，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B ．15C ．2D ．3【答案】D【解析】不妨设2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得(),0A a ，2,b C c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0F c ，20,2b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于A ，C ，M 三点共线，故222b b a a a a c =--，化简得3c a =，故离心率3e =．11．[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A．(0,2 B．(0,3C．(2 D．(2+【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形，所以cos 22C <<；又因为2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由sin sin b cB C=， 即2sin sin34cos 1sin sin c B Cb C C C ===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则t ∈⎭，又因为函数242y t t =+在⎭上单调递增，所以函数值域为(2+，故选：C ．12．[2018·菏泽期末]()2f x mx =+有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ]{64-+B ]{0,64-+C ]{}632-D ]{0,63-【答案】B【解析】由题意函数()f x 的图象与直线2y mx =+有一个交点．如图是()f x 的图象，1x >时，()21f x x =-设切点为()00,x y ，则切线为()()02002211y x x x x -=----，把()0,2代入，02x =；1x ≤时，()2e x f x =-，()e x f x '=-，设切点为()00,x y ，则切线为()()0002e e x x y x x --=--，把()0,2代入，解得01x =，又()12ef =-，()11e e f '=-=-，]{0,42-满足题意，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学模拟试卷(文科)
2018年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合A={X|X2W 1} , B={x|0v x v 1}，则A H B=（）A. [ - 1, 1）B・（0, 1） C. [ - 1, 1] D. （- 1，1）2. （5分）若i为虚数单位，则复数z= _在复平面上对应的点位于（）丄*A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限3. （5分）已知等差数列{a n}前3项的和为6, a5=8,则a20=（）A. 40B. 39 C 38 D . 374 . （5分）若向量的夹角为一，且|打|=4, |.・|=1，则「41-|=（）A . 2B . 3 C. 4 D . 52 25. （5分）已知双曲线C: ———（a>0, b>0）的渐近线与圆（X+4）2+y2=8a2b2无交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. （1,二）B. （一，1■'■'）C. （1, 2）D. （2, +x）6. （5分）已知实数x,y满足约束条件\ i-2y+4>0,则z=x+2y的最大值为A . 6B . 7 C. 8 D . 97. （5分）函数y=log 〔（X2-4X+3）的单调递增区间为（）TA. （3, +x）B. （-X, 1）C. （-X, 1）U（3, +x） D . （0, +x）8. （5分）宜宾市组织歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛，有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委A, B, C, D对比赛预测如下：A说：是甲或乙获得特等奖”B说：丁作品获得特等奖”C说：丙、乙未获得特等奖”D说：是甲获得特等奖”比赛结果公布时，发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（）A .甲 B.乙 C.丙 D . 丁9. （5分）某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（A . 4 B. 5 C. 6 D . 711. （5分）分别从写标有1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的7个小球中随机摸取两个小 球，则摸得的两个小球上的数字之和能被 3整除的概率为（）A•寻B 寻C 骨D.寺12. （5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x v 0时，f （x ） =e x （x+1）, 给出下列命题：① 当 x >0 时，f （x ） =e x （x+1）；10.(5分) 若输入S=12 A=4, B=16, n=1,执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（②？ X I, X2€ R,都有| f (X1)— f (X2)| V2；③f (x)> 0 的解集为(—1, 0)u, (1, +x)；④方程2[f (x) ]2-f (x) =0有3个根.其中正确命题的序号是( )A.①③ B •②③C•②④ D •③④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. (5分)在等比数列｛a n｝中，若a2+a4丄,a3丄，且公比q V1,则该数列的通项公式a n= ______ .14. (5 分)已知y=f (x)是偶函数，且f (x) =g (x)- 2x, g (3) =3,则g (3) = ______ .15. (5分)三棱锥P- ABC中，底面△ ABC是边长为.二的等边三角形，PA=PB=PC PB丄平面PAC则三棱锥P- ABC外接球的表面积为_______ .16. (5 分)在厶ABC中，D 为AC上一点，若AB=AC AD*D, BD=4 ,则厶ABCu-n面积的最大值为_______ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必做题：共60分.17. (12分)在厶ABC中，a, b, c分别为A, B, C的对边，且sinA=2sinB(1)若C^—, △ ABC的面积为「，求a的值；4 4(2)求亟竽■—沁迥嗚的值.SLED 218. (12分)每年4月15至21日是全国肿瘤防治宣传周，全国每天有超 1万人确诊为癌症，其中肺癌位列发病首位，吸烟人群是不吸烟人群患肺癌的10倍•某 调查小组为了调查中学生吸烟与家庭中有无成人吸烟的关系，发放了 500份不记名调查表，据统计中学生吸烟的频率是0.08,家庭中成人吸烟人数的频率分布条 形图如图.(1) 根据题意，求出a 并完善以下2X 2列联表；家中有成人吸烟家中无成人吸烟合计学生吸烟人数 28学生不吸烟人数合计(2) 能否据此判断有97.5%的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关？ 附表及公式： P (K 2>k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.7063.8415.0246.6357.879Q= Ca+b) (c+d) Ca-Fc) (b+d)'19. （ 12分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC, / ADC=90 , 平面PAD 丄平面ABCDQ 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2AD=2BC=2n=a+b+c+dCD=:（1）求证：平面BMQ丄平面PAD;（2）当M是PC的中点时，过B，M，Q的平面去截四棱锥P-ABCD求这个截面的面积.20. （12分）已知抛物线C的焦点在x轴上，顶点在原点且过点p （2，1），过点（2，0）的直线I交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作y 轴的垂线交C于点N.（1）求抛物线C的方程；（2）是否存在直线I，使得以AB为直径的圆M经过点N?若存在，求出直线I 的方程；若不存在，说明理由.21. (12 分)已知函数f (x) =e x+x- 2, g (x) =alnx+x.(1)函数y=g (x)有两个零点，求a的取值范围；(2)当a=1 时，证明：f (x)> g (x).(二)选做题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为—,(参数©［y=2sin$€ R).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，(I)求圆C的极坐标方程；(II)直线I，射线OM的极坐标方程分别是旦)二还，。
2018年高三第一次联合模拟考试文科数学(含答案)
2018年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡的相应位置上.2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,课题橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.第I 卷(选择题 共60分)一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合{}{}*2|2,,|,A x x x N B y y x x =≤∈==∈R ,则AB =( )(A){}|0x x ≥(B) {}|1x x ≥(C){}1,2(D) {}0,1,22.已知复数z 满足()12i z i +=,i 为虚数单位,则z 等于( )(A)1i -(B) 1i +(C)1122i - (D) 1122i + 3.在下列向量组中,可以把向量()3,1=-α表示出来的是( )(A)()()120,0,3,2==e e (B) ()()121,2,3,2=-=e e (C) ()()123,5,6,10==e e(D) ()()123,5,3,5=-=-e e4.在区间()0,3上任取一个实数x ,则22x <的概率是( )(A)23(B)12(C)13(D)145.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( )(A)2(B)1(C)14(D)186.已知,a b 都是实数,:p 直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切;:2,q a b +=则p是q 的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图的算法思路来源泉于我国古代数学名著《九章算术》,执行该程序框图若输出的4a =,则输入,a b 的不可能为( )(A)4,8(B) 4,4(C)12,16(D)15,188.已知函数()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下列说法不正确的是( ) (A)()f x 的一个周期为2π (B)()f x 向左平移π3个单位长度后图象关于原点对称(C)()f x 在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D) ()f x 的图象关于5π6x =-对称9.函数()af x x x=+(其中a ∈R )的图象不可能是( )10.如右图所示是一个三棱锥的三视图,则此三棱锥的外接球的体积为( )(A)4π3(C) 6 11.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点,F为该双曲线的右焦点,若6090AFB ︒<∠<︒,则该双曲线离心率e 的取值范围是( )(A)( (B)3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭(C))(D) 3⎛ ⎝12.已知函数()()()()()21221,1cos 221xx x x f x g x a x x x --⎧-+-≤⎪==-∈⎨->⎪⎩R ,若对任意的12,x x ∈R ,都有()()12f x g x ≤,则实数a 的取值范围为( )(A)[]0,2(B)R(C)[]2,0-(D)(][),20,-∞-+∞第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题～第23题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若直线l ⊥平面β,平面α⊥平面β,则直线l 与平面α的位置关系为__________14.若实数,x y 满足不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩,则32y x +-的取值范围是__________15.甲,乙,丙三人中只有一个做了好事,他们各自都说了一句话,而且其中只有一句真话. 甲说:是乙做的.乙说:不是我做的.丙说:不是我做的. 则做好事的是__________ (填甲,乙,丙中的一个)16.ABC ∆中,2,,BC AB ==则ABC ∆面积最大值为__________ 三.解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明,证明或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和()()31*1227n n S n N +=-∈ (I)求数列{}n a 的通项公式; (II)设2log n n b a =,求12231111n n b b b b b b +++…+. 18. (本小题满分12分)中国政府实施“互联网+”战略以来,手机作为客户端越来越为人们所睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式,“一机在手,走遍天下”的已经到来.在某著名的夜市,随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的22⨯列联表,已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为710. (I)根据已知条件完成22⨯列联表,并根据此资料判断是否有99,5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?(II)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本,设事件A 为“从这个样本中任选2人,这2人至少有1人是不使用手机支付的”,求事件A 发生的概率?19. (本小题满分12分)已知圆锥,2SO SO =,AB 为底面圆的直径,2,AB =点C 在底面圆周上,且,OC AB E ⊥在母线SC 上,且4,SE CE F =为SB 中点,M 为弦AC 中点.(I)求证:AC ⊥平面SOM ; (II)求四棱锥O EFBC -的体积. 20. (本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,()()12,0,,0F c F c -为椭圆C 的左,右焦点,M 为椭圆C 上的任意一点,12MF F ∆的面积的最大值为1,,A B 为椭圆C 上任意两个关于x 轴对称点,直线2a x c=与x 轴的交点为P ,直线PB 交椭圆C 于另一点E .(I)求椭圆C 的标准方程; (II)求证:直线AE 过定点. 21. (本小题满分12分)已知函数()34,f x x ax x =-+∈R(I)讨论函数()f x 的单调性;(II)若函数()f x 在[]1,1-上的最大值为1,求实数a 的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为:4cos ρθ=,以极点为坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,曲线2C 的参数方程为:132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),点()3,0A .(I)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程; (II)设曲线1C 与曲线2C 相交于两点,P Q ,求AP AQ ⋅的值. 23. (本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()2521f x x x =-++.(I)求不等式()1f x x >-的解集;(II)若()1f x a >-对于x ∈R 恒成立,求实数a 的范围.2018年高三第一次联合模拟考试文科数学答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.B9.C 10.C 11.C 12.A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． //l α或l α⊂ 14． []5,2-- 15．丙 16．三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，3+13232111(22)(22)277n n n n n n a S S ---=-=---= ………4分 当1=n 时，112a S ==312=2⨯-，符合上式 ………5分 所以32*2()n n a n -=∈N . ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得322log 2=32n n b n -=-, ………7分 所以=+-++⨯+⨯=++++)13)(23(174141111113221n n b b b b b b n n 13)1311(31)]131231()7141()411[(31+=+-=+--++-+-n n n n n ． ………12分18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710∴使用手机支付的人群中的青年的人数为7604210⨯=人， ………2分 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为604218-=人，所以22⨯列联表为:………4分2K 的观测值2100(42241816)1800=8.86758426040203k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………6分 28.8677.879(7.879)0.005P K >≥=，， ………7分 故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. ………8分(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b ， ………9分 则从这个样本中任选2人有(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， ………11分 故7()10P A =. ………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵SO ⊥平面ABC ，∴SO AC ⊥，又∵点M 是圆O 内弦AC 的中点， AC MO ∴⊥， ………3分 又SO MO O = ………4分AC ∴⊥平面SOM ………5分（Ⅱ）∵SO ⊥平面ABC ，SO 为三棱锥S OCB -的高，111112323S OCB O SCB V V --∴==⨯⨯⨯⨯=……7分而O EFBC V -与O SCB V -等高，1sin 2215sin 2ESF SCBSE SF ESFS S SC SB CSB ∆∆⨯⨯∠==⨯⨯∠， ∴35SCB EFBC S S ∆=四边形 ………10分 因此，33115535O EFBCO SCB V V --==⨯= ………12分20.（本小题满分12分）A解：（Ⅰ）2c e a ==， 当M 为椭圆C 的短轴端点时，12MF F ∆的面积的最大值为112112c b bc ∴⨯⨯=∴=，而222a b c =+1a b ∴==故椭圆C 标准方程为：2212x y += ………3分 （Ⅱ）设112211(,),,),(,)B x y Ex y A x y -（，且12x x ≠， 2=2a x c=，(2,0)P ∴由题意知BP 的斜率必存在，设BP ：(2)y k x =-，代入2212x y +=得 2222(21)8820k x k x k +-+-=0∆>得212k <22121222882,2121k k x x x x k k -+=⋅=++ ………6分12x x ≠∴AE 斜率必存在，AE ：121121()y y y y x x x x ++=-- ………7分由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上，则当0y =时，得121122112211121212()(2)(2)()4y x x y x y x k x x k x x x x y y y y k x x k-+-+-=+==+++-2222121221228282222()2121=184421k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅-+++==+--+ ………11分 即在212k <的条件下，直线AE 过定点（1，0）. ………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()12f x x a '=-+. 当0a =时，3()4f x x =-在R 上单调递减； 当0a <时，2()120f x x a '=-+<，即3()4f x x ax =-+在R 上单调递减； ………2分 当0a >时，2()12f x x a '=-+.(,6x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在(,)6-∞-上递减；(x ∈时，()0f x '>，()f x在(上递增；)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x在)+∞上递减； ………4分综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x在(,6-∞-上递减；在(上递增；)+∞上递减. ………5分 （Ⅱ）∵函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1. 即对任意[1,1]x ∈-，()1f x ≤恒成立。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高中数学模拟测试试题文
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合{}1,2lg<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x N x x y x M ，则=⋂N C M R A.)2,0( B.(]2,0 C.[)2,1 D. ()+∞,02. 已知复数()z a i a R =+∈，若4z z +=，则复数z 的共轭复数z = A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则9S = A ．27 B ．36 C.45 D ．544. 已知命题p ：“a b >”是“22ab>”的充要条件；q ：x R ∃∈，ln x e x <，则A ．￢p ∨q 为真命题B ．p ∧￢q 为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题5.已知角α的终边经过点()12,5--P ,则⎪⎭⎫⎝⎛+απ23sin 的值等于 A ．513- B ．1213- C ．513 D ．12136．某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为A ．8π B．323πC ．283π D ．12π 7. 若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是 A ．5 B ．6 C.7 D ．88.一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为A. 11- B. 3 C. 9 D. 179. 函数2()(3)lnf x x x=-⋅的大致图象为10.正方体的棱长为1,点P,Q,R分别是棱,,的中点,以为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高为A.22B. 2C.33D.3211.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A．B．C．D．12.已知()f x是定义在R上的偶函数，且x R∈时，均有()()32f x f x+=-，()28f x≤≤，则满足条件的()f x可以是A．()2,8,Rx Qf xx C Q∈⎧=⎨∈⎩B．()53cos5xf xπ=+C. ()263cos5xf xπ=+ D．()2,08,0xf xx≤⎧=⎨>⎩二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若,x y满足2526x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师最多人.14. 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，焦距为8，左顶点为A ，在y 轴上有一点B （0，b ），满足•=2a ，则该双曲线的离心率的值为 ．15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，且222()a b c +-(cos cos )a B b A ⋅+abc =，若2a b +=，则c 的取值范围为 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S tn =()t ∈R ，且81215,1n n a b a +==+，若不等式512n b n p p a +>+恒成立，则正实数p 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 已知向量()1cos 3sin cos 22a x b x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，，，，，设函数()f x a b =.（I ）求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π，范围内的大致图象；0 2ππ32πxπ()f x（II ）若方程()0f x m -=在[]0π，上有两个根α、β，求m 的取值范围及αβ+的值． 18.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学 优秀良好 及格 地理优秀 7 20 5 良好 9 18 6 及格a4b中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．（I ）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（II ）在地理成绩及格的学生中，已知a ≥10，b ≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．(本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11AAC C ， 1AA AC =.过1AA 的平面 交11B C 于点E ，交BC 于点F .（I ）求证： 1A C ⊥平面1ABC ； （II ）求证： 1//AA EF ；（III ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值．20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0），圆O ：x 2+y 2=r 2（0＜r ＜b ）．当圆O 的一条切线l ：y=kx+m 与椭圆E 相交于A ，B 两点． （I ）当k=﹣21，r=1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； （II ）若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足222r 1b 1a 1=+，并说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()ln x x f x =,()g x x a =+．（I ）设()()()h f x x g x =-，求函数()y h x =的单调区间； （II ）若10a -<<，函数()()()x g x M x f x ⋅=，试判断是否存在0(1,)x ∈+∞，使得0x 为函数()M x 的极小值点．（二）选考题：共10分。
2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷一
滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南商丘三模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.(2016山东实验中学检测)不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,33),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=x 13C.y=1x3D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∂x0∈R,x03−x02-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+1xC.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是()A.(0,4]B.32,4C.32,3D.32,+∞7.(2016山西孝义模拟)设函数f(x)=5x-m,x<1,2x,x≥1,若f f45=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.128.函数y=e sin x(-π≤x≤π)的大致图象为()9.(2016湖南高考冲刺卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.12C.1D.210.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=log214·f log214,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.(2016河北唐山二模)已知函数f(x)=xx-1+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2 〚导学号37270658〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.15.如图,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是.〚导学号37270659〛16.已知函数f(x)=x2+2x ,g(x)=12x-m.若∀x1∈[1,2],∂x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.〚导学号37270660〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.18.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?〚导学号37270662〛19.(12分)(2016河南平顶山二模摘选)已知函数f(x)=ln x-ax+b(a,b∈R),且对任意x>0,都x=0.有f(x)+f1x(1)求a,b的关系式;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且x1<x2,求a的取值范围.〚导学号37270663〛20.(12分)已知函数f(x)=e xax+x+1,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.〚导学号37270664〛21.(12分)(2016上海,理22)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a .(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.〚导学号37270661〛22.(12分)(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).,e上有解,求实(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在1e数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).证:f'x1+x22〚导学号37270665〛参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.C解析由题意可画出Venn图如下,结合Venn图可知,集合{1,2}=M∩(∁U N),故选C.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则33=3α,故α=1,即y=x13.故选B.4.D解析A中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B显然正确;C中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.C解析y=x2-3x-4= x-32−25.当x=0或x=3时,y=-4,故3≤m≤3.7.B解∵f f45=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除A,C;当0<x<π2时,y=sin x是增函数,y=e x也是增函数,故y=e sin x也是增函数,排除B,故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2017)=f(2017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2017)=1+1=2.10.B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200,两边取常用对数得n lg1.12>lg200,∴n>lg2-lg1.3≈0.30-0.11=3.8.∴n≥4,故选B.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log214<0,即30.2>logπ2>log214,所以F(30.2)<F(logπ2)<F log214,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=xx-1+sinπx=1+1x-1+sinπx.记g(x)=1x-1+sinπx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=12-x-1+sinπ(2-x)=11-x-sinπx=-1x-1+sinπx =-g(x),即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=1x ,所以切线斜率k=f'(x0)=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.1解析设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,故方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.15.1解析依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于1 0(x-x2)d x=23x32-13x3|1=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率是13.16. -52,+∞ 解析∀x 1∈[1,2],∂x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )=x 2+2x 在[1,2]上的最小值大于等于g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上的最小值.因为f'(x )=2x-2x 2=2(x 3-1)x 2≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f (x )=x 2+2x 在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)=12+2=3. 因为g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上单调递减,所以g (x )min =g (1)=1-m , 所以1-m ≤3,即m ≥-5.17.解(1)因为f (x+2)=-f (x ),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ).所以f (x )是周期为4的周期函数. (2)当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2].由已知得f (-x )=2(-x )-(-x )2=-2x-x 2, 又f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x )=-2x-x 2, 所以f (x )=x 2+2x.又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f (x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f (x )是周期为4的周期函数,所以f (x )=f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x 2-6x+8.从而求得当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-6x+8. (3)f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1. 又f (x )是周期为4的周期函数, 所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f (4)+f (5)+f (6)+f (7)=…=f (2008)+f (2009)+f (2010)+f (2011) =f (2012)+f (2013)+f (2014)+f (2015)=0. 所以f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2015) =0. 18.解(1)连接OB ,因为AB=x cm,所以OA= 900-x 2cm .设圆柱的底面半径为r cm, 则 900-x 2=2πr ,即4π2r 2=900-x 2, 所以V=πr 2x=π·900-x 24π2·x=900x -x 34π,其中0<x<30.(2)由(1)知V=900x -x 34π(0<x<30),则V'=900-3x 24π.由V'=900-3x 24π=0,得x=10 3,可知V=900x -x 34π在(0,10 3)内是增函数,在(10 3,30)内是减函数.所以当x=10 3时,V 有最大值.19.解(1)令x=1,可得f (1)+f 11 =0,故f (1)=-a+b=0,即a=b.(2)由(1)可知f (x )=ln x-ax+ax ,且x>0,则f'(x )=1x -a-a x 2=-ax 2+x -ax 2. 令g (x )=-ax 2+x-a ,要使f (x )存在两个极值点x 1,x 2,则y=g (x )有两个不相等的正数根,因此,a >0,12a>0,Δ=1-4a 2>0,g (0)=-a <0 或a <0,12a>0,Δ=1-4a 2>0,g (0)=-a >0, 解得0<a<1或无解, 故a 的取值范围是0<a<1.20.解(1)当a=0时,函数f (x )=e x x +1的定义域为{x|x ∈R ,且x ≠-1},f'(x )=x e x(x +1)2.令f'(x )=0,得x=0.当x 变化时,f'(x )和f (x )的变化情况如下:所以f (x )的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞). 故当x=0时,函数f (x )有极小值f (0)=1.函数f (x )无极大值.(2)函数g (x )存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g (x )=e xx 2+x +1-1.因为x 2+x+1= x +12 2+34>0,所以函数g (x )的定义域为R .求导,得g'(x )=e x (x 2+x +1)-e x (2x +1)(x 2+x +1)2=e x x (x -1)(x 2+x +1)2,令g'(x )=0,得x 1=0,x 2=1,当x:故函数g (x )的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞). 当x=0时,函数g (x )有极大值g (0)=0;当x=1时,函数g (x )有极小值g (1)=e3-1.因为函数g (x )在(-∞,0)内单调递增,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(-∞,0),g (x )≠0.因为函数g (x )在(0,1)内单调递减,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(0,1),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(1,+∞)内单调递增,且g (1)=e 3-1<0,g (2)=e 27-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0, 故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.解(1)由log21x +5>0,得1x+5>1,解得x∈-∞,-14∪(0,+∞).(2)1+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=1a-4,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当1x1+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当1x2+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.(3)当0<x1<x2时,1x1+a>1x2+a,log21x1+a >log21x2+a ,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log21t +a -log21t+1+a ≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈12,1成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间12,1上单调递增,t=12时,y有最小值34a-12,由3a-1≥0,得a≥2.故a的取值范围为23,+∞.22.(1)解由f'(x)=2-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在1e,e上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=2-2x=-2(x +1)(x -1)x .∵x ∈ 1e ,e ,∴当g'(x )=0时,x=1.当1<x<1时,g'(x )>0;当1<x<e 时,g'(x )<0.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=-1,因此m ≤-1,即m 的取值范围为(-∞,-1).(2)证明∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0),∴方程2ln x-x 2+ax=0的两个根为x 1,x 2,∴ 2ln x 1-x 12+ax 1=0,2ln x 2-x 22+ax 2=0,∴a=(x 1+x 2)-2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2.又f'(x )=2-2x+a ,∴f' x 1+x22=412-(x 1+x 2)+a=4x 1+x 2−2(ln x1-ln x 2)x 1-x 2.下证4x 1+x 2−2(ln x 1-ln x2)x 1-x 2<0,即证2(x 2-x 1)12+ln x12<0.设t=x1x 2,∵0<x 1<x 2,∴0<t<1.即证μ(t )=2(1-t )t +1+ln t<0在t ∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t )=1t −4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2,又0<t<1,∴μ'(t )>0,∴μ(t )在(0,1)内是增函数,∴μ(t )<μ(1)=0,从而知2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x1x 2<0,故4x 1+x 2−2(ln x1-ln x 2)x 1-x 2<0,x1+x2 2<0成立.即f'。
2018年高中文科数学优化设计第一轮复习1.2高考模拟卷
第二章函数概念与基本初等函数12函数的值域1.(2015广西柳州一中一模,文15,函数的值域,填空题)设函数f(x)=若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)=当x>2时,f(x)=2x+a,在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(4+a,+∞);当x≤2时,f(x)=x+a2,在(-∞,2]上为增函数,f(x)∈(-∞,2+a2].若f(x)的值域为R,则(-∞,2+a2]∪(4+a,+∞)=R,则2+a2≥4+a,即a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2,则实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)16.(2015江西景德镇二模,文16,函数的值域,填空题)函数f(x)=lo x-log2x2,则函数f(x)在区间上的值域是.解析:函数的定义域为(0,+∞),则f(x)=lo x-log2x2=lo x-2log2x,设t=log2x,则函数等价为y=t2-2t=(t-1)2-1.当x∈,则t∈[-1,1],则-1≤y≤3,即函数的值域为[-1,3].答案:[-1,3]12.(2015广西南宁一模,文12,函数的值域,选择题)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是()A. B. C.[3,+∞) D.(0,3]解析:设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),在[-1,2]上的值域分别为A,B,由题意可知A=[-1,3],B=[-a+2,2a+2],所以--所以a≤.又a>0,所以0<a≤.答案:A16.(2015黑龙江绥化一模,文16,函数的值域,填空题)设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤k(k>0),则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“k度和谐函数”,[a,b]称为“k度密切区间”.设函数f(x)=ln x与g(x)=-在上是“e度和谐函数”,则m的取值范围是.解析:∵函数f(x)=ln x与g(x)=-在上是“e度和谐函数”,∴对任意的x∈,都有|f(x)-g(x)|≤e,即有-≤e,即m-e≤ln x+≤m+e.令h(x)=ln x+,h'(x)=-当x>1时,h'(x)>0,当x<1时,h'(x)<0,当x=1时,h(x)取极小值1,也为最小值,∴h(x)在上的最小值是1,最大值是e-1.∴m-e≤1且m+e≥e-1,即-1≤m≤e+1.答案:-1≤m≤1+e13函数的解析式1.(2015广西柳州一模,文16,函数的解析式,填空题)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1成立,则f(2)的值为.解析:设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则条件f[f(x)-e x]=e+1等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,∵函数f(x)为单调递增函数,∴函数为一对一函数,解得t=1.∴f(x)=e x+1.∴f(2)=e2+1.答案:e2+18.(2015江西新余二模,文8,函数的解析式,选择题)函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sin xB.f(x)=C.f(x)=x cos xD.f(x)=x·--解析:依题意函数是奇函数,排除D,函数图象过原点,排除B,图象过,显然A不正确,C正确.答案:C14分段函数1.(2015吉林省实验中学二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-∈∈函数g(x)=a sin x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是() A.- B.C. D.解析:当x∈时,y=x,值域是;当x∈时,y=,y'=>0恒成立,故为增函数,值域为,则当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],g(x)=a sin x-2a+2(a>0),为增函数,值域是--.因为存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,所以[0,1]∩--≠⌀.若[0,1]∩--=⌀,则2-2a>1或2-<0,即a<或a>.所以a的取值范围是.答案:B2.(2015吉林省实验中学二模,文15,分段函数,填空题)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=-则f+f=.解析:函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=-则f+f=f-+f-=f-+f-=-f-f=---sin=-.答案:9.(2015江西上饶二模,文9,分段函数,选择题)已知函数f(x)=--若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数列,则实数a的取值范围是() A. B. C. D.解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,解得<a<.答案:C4.(2015江西红色六校一模,文4,分段函数,选择题)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=∈-∈则不等式f(x)≤的解集为()A.--B.--C.--D.解析:当x≥0时,若x∈,则πx∈,由不等式f(x)≤,可得cos πx≤,可得≤πx≤,即≤x≤,它的解集为.若x>,不等式f(x)≤,即2x-1≤,它的解集为.综上可得,当x≥0时,不等式的解集为,再根据f(x)为偶函数,可得在R上,不等式的解集为或--.答案:B12.(2015江西六校联考二模,文12,分段函数,选择题)已知f(x)=--若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为() A.(-∞,-1]∪[0,+∞) B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,0)解析:函数f(x)=--的图象如图:|f(x)|的图象如图:因为|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,所以y=ax的图象应在y=|f(x)|的图象的下方,故斜率为负,或为0.当斜率为负时,排除答案A,C;当a=0时,y=0满足要求,排除D.答案:B5.(2015江西上饶三模,文5,分段函数,选择题)设f(x)=则f()=4,则f(3)=()A.2B.4C.6D.8解析:f(x)=f()=4,可得()t=4,解得t=4,所以f(3)=log4(9+7)=2.答案:A12.(2015广西梧州一模,文12,分段函数,选择题)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)=-g(x)=-x2+4x-4(x≥0),若存在实数a,使得f(a)<g(b)成立,则实数b的取值范围是()A.(-1,1)B.-C.(-3,-1)∪(1,3)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:∵f(x)为奇函数,且f(x)=-∴f(x)的图象关于原点对称(如图所示),当x>0时,f(1)取最大值,且为1;当x<0时,f(-1)最小,且为-1.∵g(x)为偶函数,且g(x)=-x2+4x-4(x≥0),∴g(x)的图象关于y轴对称(如图所示),且g(x)=-x2+4|x|-4.∵存在实数a,使得f(a)<g(b)成立,∴g(b)>-1,即-b2+4|b|-4>-1.∴b2-4|b|+3<0,即1<|b|<3.∴1<b<3或-3<b<-1.∴b的取值范围是(1,3)∪(-3,-1).答案:C9.(2015山西四校联考三模,文9,分段函数,选择题)已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图象为()解析:当x=0时,y=3,故排除A,D;当1-x≤1,即x≥0时,f(1-x)=31-x>0,故此函数在x>0时函数值为正,排除B.答案:C14.(2015江西赣州兴国一模,文14,分段函数)已知函数f(x)=--若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则a的取值范围为.解析:∵函数f(x)=--∴作出函数f(x)的图象如图所示.∵方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,∴函数y=f(x)的图象与y=a的图象有三个不同的交点.根据图象可知,a的取值范围为0<a<1.答案:0<a<110.(2015甘肃河西五地二模,文10,分段函数,选择题)设函数f(x)=--若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,1]解析:函数f(x)=--当m>0时,f(m)>f(-m),即为-ln m>ln m,即ln m<0,解得0<m<1;当m<0时,f(m)>f(-m),即为ln(-m)>-ln(-m),即ln(-m)>0,解得m<-1.综上可得,m<-1或0<m<1.答案:B13.(2015甘肃庆阳一诊,文13,分段函数,填空题)设f(x)=--则f(f(5))=.解析:由题意知,f(x)=--则f(5)=log24=2,∴f(f(5))=f(2)=22-2=1.答案:112.(2015甘肃张掖二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)解析:作出函数f(x)的图象如图,不妨设a<b<c,则-lg a=lg b=-c+6∈(0,1),ab=1,0<-c+6<1,故abc=c∈(10,12).答案:C15确定函数的单调性(或单调区间)6.(2015广西南宁一模,文6,确定函数的单调性(或单调区间),选择题)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=ln xB.y=x2C.y=cos xD.y=2-|x|解析:y=ln x不是偶函数,排除A;y=cos x是周期函数,在区间(0,+∞)上不单调递减,排除C;y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,排除B.答案:D3.(2015贵州贵阳一模,文3,确定函数的单调性(或单调区间),选择题)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=lg |x|D.y=-x2+1解析:y=为奇函数,故排除A;y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,1)时,单调递减,在x∈(1,+∞)时,单调递增, 所以y=lg |x|在(0,+∞)上不单调,故排除C;y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.答案:D16函数的最值1.(2015江西赣州一模,文16,函数的最值,填空题)设函数f(x)=min{2,|x-2|},其中min{a,b}=若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的范围为.解析:作出函数f(x)的图象如下图所示:由-解得A(4-22),由图象可得,当直线y=m与f(x)图象有三个交点时,m的范围为0<m<2-2.不妨设0<x1<x2<2<x3,则由2=m得x1=,由|x2-2|=2-x2=m,得x2=2-m,由|x3-2|=x3-2=m,得x3=m+2,且2-m>0,m+2>0,所以x1+x2+x3=+(2-m)+(2+m)=+4,当m=0时,+4有最小值为4,当m=2-2时,+4有最大值8-2,所以x1+x2+x3的取值范围是(4,8-2.答案:(4,8-2)12.(2015江西鹰潭二模,文12,函数的最值,选择题)已知函数f(x)=ln,g(x)=e x-2,对于∀a∈R,∃b∈(0,+∞),使得g(a)=f(b)成立,则b-a的最小值为() A.ln 2 B.-ln 2 C.2-3 D.e2-3解析:不妨设g(a)=f(b)=m,即e a-2=ln=m,整理得a-2=ln m,b=2·-,故b-a=2·--ln m-2,(m>0),令h(m)=2·--ln m-2,h'(m)=2·-,易知h'(m)在(0,+∞)上是增函数,且h'=0,故h(m)=2·--ln m-2在m=处有最小值,即b-a的最小值为ln 2.答案:A12.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文12,函数的最值,选择题)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值是()A.2B.4C.8D.16解析:设A,B,C,D各点的横坐标分别为x A,x B,x C,x D,则-log2x A=m,log2x B=m,-log2x C=,log2x D=,所以x A=2-m,x B=2m,x C=-,x D=.所以a=|x A-x C|,b=|x B-x D|.所以------=2m·.又m>0,所以m+≥2=4(当且仅当m=2时等号成立).所以≥24=16.答案:D16.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文16,函数的最值,填空题)若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为.解析:由题意,f(x)==t+,显然函数g(x)=是奇函数.∵函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,∴M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,∴t=2.答案:217单调性的应用1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文4,单调性的应用,选择题)已知a=,b=log2,c=log32,则()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b解析:∵a=>1,b=log2<0,0<c=log32<1,∴a>c>b.答案:D16.(2015贵州黔东南州一模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)在R上满足--=0(λ≠0),且对任意的实数x1≠x2(x1>0,x2>0)时,有-->0成立,如果实数t满足f(ln t)-f(1)≤f(1)-f,那么t 的取值范围是.解析:根据已知条件及偶函数,增函数的定义可知f(x)是偶函数,在(0,+∞)上是增函数,所以由f(ln t)-f(1)≤f(1)-f,得f(ln t)≤f(1).所以|ln t|≤1,-1≤ln t≤1.所以≤t≤e.所以t的取值范围为.答案:15.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文15,单调性的应用,填空题)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是.解析:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0,∴不等式f(x-2)≥0等价为f(|x-2|)≥f(1),即|x-2|≥1,即x-2≥1,或x-2≤-1,即x≥3或x≤1.故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}.答案:{x|x≥3或x≤1}11.(2015江西上饶二模,文11,单调性的应用,选择题)对于任意的x∈R,不等式2x2-a+3>0恒成立,则实数a的取值范围是()A.a<2B.a≤2C.a<3D.a≤3解析:先从2x2-a+3>0分离出参数a,即a<恒成立.下面只要求y=的最小值即可,令=t(t≥1),则x2=t2-1,∴y==2t+.∵y=2t+在[1,+∞)单调递增,∴当t=1时,y有最小值3.故a<3.答案:C16.(2015江西重点中学协作体二模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)为R上的增函数,函数图象关于点(3,0)对称,若实数x,y满足f(x2-2x+9)+f(y2-2y)≤0,则的取值范围是.解析:∵函数y=f(x)的图象关于点(3,0)对称,∴f(x+3)=-f(3-x),即f(x+6)=-f(-x),即f(-x+6)=-f(x).∵f(x2-2x+9)+f(y2-2y)≤0,∴f(x2-2x+9)≤-f(y2-2y)=f[6-(y2-2y)].∵函数y=f(x)是定义在R上的增函数,∴x2-2x+9≤6-(y2-2y),化简配方得(x-)2+(y-1)2≤1.∴圆心为(,1),半径为1.的几何意义为圆上动点到原点的斜率,设k=,则y=kx,即kx-y=0,则满足圆心到直线的距离d=≤1,平方得k2-k≤0,解得0≤k≤,∴0≤.∴的取值范围是[0,].答案:[0,]16.(2015江西宜春高安四校一模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)是定义在[-4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cos x-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,则实数b的取值范围是.解析:∵函数f(x)是定义在[-4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cos x-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,∴cos x-b2≥sin2x-b-3≥-4.∴cos x-sin2x≥b2-b-3,且sin2x≥b-1.∵cos x-sin2x=-,sin2x∈[0,1],∴b2-b-3≤-,且b-1≤0.∴实数b的取值范围是-.答案:-21.(2015山西太原山大附中高三月考,文21,单调性的应用,解答题)已知函数f(x)的定义域(0,+∞),若y=在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“一阶比增函数”;若y=在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“二阶比增函数”.把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A1,把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2.(1)已知函数f(x)=x3-2hx2-hx,若f(x)∈A1,且f(x)∉A2,求实数h的取值范围;(2)已知f(x)∈A2,且存在常数k,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<k,求k的最小值.解:(1)∵f(x)∈A1,且f(x)∉A2,即g(x)==x2-2hx-h在(0,+∞)上为增函数,∴h≤0.而F(x)==x--2h在(0,+∞)上不是增函数,且F'(x)=1+,当F(x)是增函数时,有h≥0,所以当F(x)不是增函数时,h<0,综上,h<0.(2)先证明f(x)≤0对任意的x∈(0,+∞)成立,假设存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,记=m>0,因为f(x)∈A2,所以f(x)为“二阶比增函数”,即是增函数.所以当x>x0>0时,=m,即f(x)>mx2.所以一定存在x1>x0>0,使得f(x1)>m>k成立,这与f(x)<k对任意的x∈(0,+∞)成立矛盾,所以f(x)≤0对任意的x∈(0,+∞)都成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解,假设存在x2>0,使得f(x2)=0,∵f(x)为“二阶比增函数”,即是增函数,∴一定存在x3>x2>0,使得=0成立,这与上述的证明结果矛盾.所以f(x)=0在(0,+∞)上无解,综上所述,当f(x)∈A2时,对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0成立,所以当常数k≥0时,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<k;故k的最小值为0.11.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文11,单调性的应用,选择题)已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,且2a+b≤4,则的取值范围为()A. B. C. D.解析:已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,而函数t=2x+b-1是R上的增函数,故有a>1.再根据t>0恒成立可得b≥1.又2a+b≤4,所以1≤b<2,2a≤3.所以1<a≤<1.所以<2,即的取值范围为.答案:A2.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文2,单调性的应用,选择题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上单调递减,f(0)=0,则f(x+1)>0的解集为() A.(1,+∞) B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由f(x)的图象关于x=1对称,f(0)=0,可得f(2)=f(0)=0,当x+1≥1时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(2),由f(x)在[1,+∞)上单调递减,可得,x+1<2,解得x<1,即有0≤x<1, ①当x+1<1即x<0时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(0),由f(x)在(-∞,1)上单调递增,可得,x+1>0,解得x>-1,即有-1<x<0, ②由①②,可得解集为(-1,1).答案:B8.(2015吉林实验中学六模,文8,单调性的应用,选择题)已知函数f(x)=--满足对任意的实数x1≠x2都有--<0成立,则实数a的取值范围为() A.(-∞,2) B.-C.(-∞,2]D.解析:∵对任意的实数x1≠x2都有--<0成立,∴当x1<x2时,f(x1)>f(x2),可得函数f(x)是定义在R上的减函数,因此,①当x≥2时,函数f(x)=(a-2)x为一次函数且为减函数,有a<2.(*)②当x<2时,f(x)=-1也是减函数.同时,还需满足:2(a-2)≤-1,解之得a≤,再结合(*)可得实数a的取值范围是-.答案:B9.(2015黑龙江绥化一模,文9,单调性的应用,选择题)若不等式4x2-log a x<0对任意x∈恒成立,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析:∵不等式4x2-log a x<0对任意x∈恒成立,∴x∈时,函数y=4x2的图象在函数y=log a x的图象的下方,∴0<a<1.再根据它们的单调性可得4×≤log a,即log a≤log a,∴,∴a≥.综上可得,≤a<1.答案:A18奇偶性的判断1.(2015江西赣州一模,文5,奇偶性的判断,选择题)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析:由奇函数的定义:f(-x)=-f(x)验证:①f(|-x|)=f(|x|),故为偶函数;②f[-(-x)]=f(x)=-f(x),为奇函数;③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数.可知②④正确.答案:D3.(2015江西南昌模拟,文3,奇偶性的判断,选择题)在下列函数中.在[0,3]上是增函数且是偶函数的函数是()A.y=3x+3-xB.y=-|x-3|C.y=log2-D.y=cos x解析:y'=ln 3(3x-3-x),∵x∈[0,3],∴3x≥1,3-x≤1.∴y'≥0.∴该函数在[0,3]上是增函数,并且该函数是偶函数.∴A选项正确.设y=f(x),f(-1)=-4,f(1)=-2,显然该函数不是偶函数,∴B选项错误.设y=f(x),则f(-x)=log2-=-log2-=-f(x).∴该函数不是偶函数,∴C选项错误.y=cos x在[0,π]上是减函数,∴该函数在[0,3]上是减函数,∴D选项错误.答案:A2.(2015江西赣州兴国一模,文2,奇偶性的判断,选择题)设函数f(x)=3x+3-x,g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为奇函数B.f(x)与g(x)均为偶函数C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数解析:∵定义在R上的函数f(x)=3x+3-x,∴f(-x)=3-x+3x=f(x).∴f(x)为偶函数.∵定义在R上的函数g(x)=3x-3-x,∴g(-x)=3-x-3x=-g(x).∴g(x)是奇函数.答案:D19奇偶性的应用1.(2015吉林省实验中学二模,文5,奇偶性的应用,选择题)下列函数是偶函数,且在[0,1]上单调递增的是()A.y=cosB.y=1-2cos22xC.y=-x2D.y=|sin(π+x)|解析:y=cos=-sin x是奇函数,A选项不合题意;y=1-2cos22x不满足单调递增,B选项不合题意;y=-x2在[0,1]上单调递减,C选项不合题意;y=|sin(π+x)|=|sin x|是偶函数,在[0,1]上单调递增,D选项符合题意.答案:D2.(2015吉林省实验中学二模,文11,奇偶性的应用,选择题)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1,满足f[f(a)]=的实数a的个数为()A.2B.4C.6D.8解析:令f(a)=x,则f[f(a)]=变形为f(x)=;当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1=,解得x1=1+,x2=1-;∵f(x)为偶函数,∴当x<0时,f(x)=的解为x3=-1-,x4=-1+.综上所述,f(a)=1+,1-,-1-,-1+.当a≥0时,f(a)=-(a-1)2+1=1+,方程无解;f(a)=-(a-1)2+1=1-,方程有2解;f(a)=-(a-1)2+1=-1-,方程有1解;f(a)=-(a-1)2+1=-1+,方程有1解;故当a≥0时,方程f(a)=x有4解,由偶函数的性质,易得当a<0时,方程f(a)=x也有4解,综上所述,满足f[f(a)]=的实数a的个数为8.答案:D3.(2015甘肃张掖4月模拟,文16,奇偶性的应用,填空题)已知函数f(x)=2x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由已知得g(x)+h(x)=2x, ①所以g(-x)+h(-x)=2-x.又g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,所以-g(x)+h(x)=2-x.②①②联立解得h(x)=(2x+2-x),g(x)=(2x-2-x).代入不等式2a·g(x)-h(2x)≥0得:a(2x-2-x)-(22x+2-2x)≥0在[1,2]上恒成立.令t=2x-2-x∈,则22x+2-2x=t2+2.则原式可化为a≥,t∈恒成立.显然当t=时,右式取得最大值为,即a≥.答案:a≥12.(2015江西鹰潭一模,文12,奇偶性的应用,选择题)函数f(x)=x3+sin x+2x的定义域为R,数列{a n}是公差为d的等差数列,且a1+a2+a3+a4+…+a2 015<0,记m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 015),关于实数m,下列说法正确的是()A.m恒为负数B.m恒为正数C.当d>0时,m恒为正数;当d<0时,m恒为负数D.当d>0时,m恒为负数;当d<0时,m恒为正数解析:∵函数f(x)=x3+2x+sin x的定义域为R,是奇函数,且它的导数f'(x)=x2+1+cos x≥0,故函数f(x)在R上是增函数.∵数列{a n}是公差为d的等差数列,分3种情况讨论:①当d>0时,数列为递增数列,由a1+a2 015<0,可得a2 015<-a1,∴f(a2 015)<f(-a1)=-f(a1).∴2f(a1 008)=f(a1)+f(a2 015)<0.同理可得,f(a2)+f(a2 014)<0,f(a3)+f(a2 013)<0,….故m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 012)+f(a2 014)=f(a1)+f(a2 015)+f(a2)+f(a2 014)+f(a3)+f(a2 013)+…+f(a1 008)<0.②当d<0时,数列为递减数列,同理求得m<0.③当d=0时,该数列为常数数列,每一项都小于0,故有f(a n)<0,综上,有m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 014)+f(a2 015)<0.答案:A15.(2015黑龙江大庆一模,文15,奇偶性的应用,填空题)奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(3)=.解析:∵奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,∴f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2.11.(2015江西宜春高安四校一模,文11,奇偶性的应用,选择题)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数.当x≥0时,f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.--B.--C.----D.(-3,-1)解析:作出f(x)=的图象如下,∵函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,∴x2+ax+b=0的两根分别为x1=,1<x2<或0<x1≤1,1<x2<.由韦达定理可得,x1+x2=-a;若x1=,1<x2<,则<-a<3,即-3<a<-.若0<x1≤1,1<x2<,则1<-a<,即-<a<-1.综上可得,-3<a<-或-<a<-1.答案:C3.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文3,奇偶性的应用,选择题)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2解析:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,∴f(-1)=-f(1)=-2.答案:A12.(2015山西朔州怀仁一中一模,文12,奇偶性的应用,选择题)已知f(x)为奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=1-2-,当x∈(-∞,-1],f(x)=1-e-1-x,若关于x的不等式f(x+m)>f(x)有解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)∪(0,+∞)B.(-2,0)∪(0,+∞)C.---∪(0,+∞)D.--∪(0,+∞)解析:若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],则f(-x)=1-2--=1-2,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=1-2=-f(x),则f(x)=2-1,x∈[-1,0].若x∈[1,+∞),则-x∈(-∞,-1],则f(-x)=1-e-1+x=-f(x),则f(x)=e-1+x-1,x∈[1,+∞),作出函数f(x)的图象如图:当m>0时,x+m>x,此时当x≥1时,不等式成立.当m<0时,x+m<x.①当x≥1时,有1+m≤x+m,不等式有解只需要1+m>0即可,解得m>-1;②当0≤x<1时,有m≤x+m<1+m,不等式有解,只需1+m>0即可,解得m>-1;③当-1<x<0时,有m-1<x+m<m,不等式有解,只需m>-1即可;④当x≤-1时,有x+m<m-1<-1,此时不等式一定无解.综上,m的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).答案:A11.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文11,奇偶性的应用,选择题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,不等式f(x)+xf'(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=·f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b解析:构造函数h(x)=xf(x),由函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数可得h(x)=xf(x)是R上的偶函数,因为当x∈(-∞,0)时,h'(x)=f(x)+xf'(x)<0,所以函数h(x)在x∈(-∞,0)时的单调性为单调递减函数.所以h(x)在x∈(0,+∞)时的单调性为单调递增函数.又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,从而h(0)=0,因为log3=-2,所以f=f(-2)=-f(2).又0<logπ3<1<30.3<30.5<2,所以h(logπ3)<h(30.3)<h(2)=f,即b<a<c.答案:B20周期性及其应用1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文6,周期性及其应用,选择题)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时有f(x)=2x,则f(2 015)=() A.-1 B.-2 C.1 D.2解析:∵f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x),∴周期为T=4.又函数为奇函数,∴f(2 015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:B9.(2015贵州黔东南州一模,文9,周期性及其应用,选择题)设函数f0(x)=-sinx,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 015(x)=()A.cos xB.-sin xC.sin xD.-cos x解析:由题意f0(x)=-sin x,f1(x)=f'0(x)=-cos x,f2(x)=f'1(x)=sin x,f3(x)=f'2(x)=cos x,f4(x)=f'3(x)=-sin x,由此可知,在逐次求导的过程中,所得的函数呈周期性变化,从0开始计,周期是4, 因为2 015=4×503+3,所以f2 015(x)=f3(x)=cos x.答案:A4.(2015江西三县部分高中一模,文4,周期性及其应用,选择题)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=--,则f-=()A. B. C.- D.-解析:∵f(x+2)=2f(x),∴f(x)=f(x+2).∴f--.∵当x∈[0,2)时,f(x)=--,∴f=-1.∴f-=-.答案:D12.(2015吉林实验中学六模,文12,周期性及其应用,选择题)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{x n}满足:x1=1,且对于任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+…+x2 015= () A.7 554 B.7 549 C.7 546 D.7 539解析:∵数列{x n}满足x1=1,且对任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,∴x n+1=f(x n).∴由图表可得x1=1,x2=f(x1)=3,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=6,x5=f(x4)=1.∴数列是周期为4的周期数列.∴x1+x2+…+x2 015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3=503×15+9=7 554.答案:A22指数函数的图象及应用14.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文14,指数函数的图象及应用,填空题)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边过直线x=1与曲线y=2x的交点,则cos 2θ=.解析:∵直线x=1与曲线y=2x的交点为(1,2),∴x=1,y=2,则r=,∴sin θ=.∴cos 2θ=1-2sin2θ=1-=-.答案:-23指数函数的性质及应用11.(2015甘肃兰州一中三模,文11,指数函数的性质及应用,选择题)已知函数f(x)=|2x-1|,f(a)>f(b)>f(c),则以下情况不可能发生的是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c解析:∵函数f(x)=|2x-1|,当x≤0时,函数f(x)=1-2x,f(x)递减;当x≥0时,函数f(x)=2x-1,f(x)递增.若f(a)>f(b)>f(c),则可能为a<b<c≤0,也可能为a<c≤0<b,且a<-b<c≤0,也可能为b<c≤0<a,且-a<b<c≤0,只有b<a<c不可能.答案:D5.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文5,指数函数的性质及应用,选择题)设x>0,且1<b x<a x,则()A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b解析:∵1<b x,∴b0<b x.∵x>0,∴b>1.∵b x<a x,∴>1.∵x>0,∴>1.∴a>b.∴1<b<a.答案:C5.(2014甘肃兰州二诊,文5,指数函数的性质及应用,选择题)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.x3>y3B.sin x>sin yC.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.解析:∵实数x,y满足a x<a y(0<a<1),∴x>y.对于A,当x>y时,x3>y3,恒成立;对于B,当x=π,y=时,满足x>y,但sin x>sin y不成立.对于C,若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=-1时,满足x>y,但x2>y2不成立.对于D,若,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=-1时,满足x>y,但x2<y2不成立.答案:A24对数的运算1.(2015江西赣州一模,文10,对数的运算,选择题)已知a=log42,b=log63,c=lg 5,则()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a解析:a=log42=,b=log63>log6,c=lg 5>,∵b-c=log63-lg 5=-lg 5=---=-=<0.∴b<c,故a<b<c.答案:A4.(2015贵州黔东南州一模,文4,对数的运算,选择题)已知正项等差数列{a n}满足:-a n+1-a n-1=0(n≥2),等比数列{b n}满足:b n+1·b n-1-2b n=0(n≥2),则log2(a n+b n)=()A.-1或2B.0或2C.1D.2解析:由-a n+1-a n-1=0(n≥2),得=a n+1+a n-1,∵{a n}是正项等差数列,∴=a n+1+a n-1=2a n.∴a n=2(n≥2).∵b n+1·b n-1-2b n=0(n≥2),∴b n+1·b n-1=2b n(n≥2).∵{b n}是等比数列,∴b n+1·b n-1==2b n(n≥2).∴b n=2(n≥2).∴log2(a n+b n)=log2(2+2)=log24=2.答案:D12.(2015江西红色六校一模,文12,对数的运算,填空题)已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log3(a5+a7+a9)的值是.解析:∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),∴3a n=a n+1.∴数列{a n}是等比数列.则公比为q=3.∵a2+a4+a6=9,∴a5+a7+a9=q3(a2+a4+a6)=27×9=35.则log3(a5+a7+a9)=log335=5.答案:53.(2015广西防城港、桂林一模,文3,对数的运算,选择题)已知4a=,lg x=a,则x=()A.10B.100C.D.1解析:∵4a=,∴a=.又lg x=a,∴x==1.答案:D26对数函数的性质及应用13.(2015甘肃张掖一模,文13,对数函数的性质及应用,填空题)已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.解析:令t=x2-ax+a,则由函数f(x)=g(t)=lo t在区间[2,+∞)上为减函数,可得函数t在区间[2,+∞)上为增函数且t(2)>0,故有-解得a≤4,故实数a的取值范围是a≤4.答案:a≤427幂函数的图象与性质8.(2015江西吉安一模,文8,幂函数的图象与性质,选择题)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为()A. B.C. D.[0,+∞)解析:设f(x)=xα,∵f(x)的图象过点,∴3α=,解得α=-.∴f(x)=-.∴函数g(x)=+f(x)=-.当x∈时,在x=1时,g(x)取得最小值g(1)=2,在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=,∴函数g(x)在x∈上的值域是.答案:A9.(2015贵州贵阳二模,文9,幂函数的图象与性质,选择题)函数y=a x(a>0,a≠1)与y=x b的图象如图,则下列不等式一定成立的是()A.b a>0B.a+b>0C.a b>1D.log a2>b解析:由图象可知,a>1,b<0,故log a2>0,故log a2>b.答案:D1.(2015江西上饶重点中学一模,文12,函数图象的辨识,选择题)如图,圆x2+y2=1上一定点A(0,1),一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周,并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为α,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图象大致为()解析:当x由0→π时,t从-∞→0,且单调递增,当x由π→2π时,t从0→+∞,且单调递增,∴排除B,C,D.答案:A2.(2015黑龙江大庆二模,文10,函数图象的辨识,选择题)方程-lg(x2+y2-1)=0所表示的曲线图形是()解析:方程-lg(x2+y2-1)=0,即x=1(y≠0),或x2+y2=2(x≥1)表示一条直线x=1(去掉点(1,0))以及圆x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分.答案:D12.(2015江西吉安一模,文12,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=-的大致图象是()解析:∵f(-x)=----=-x-=-x---=-x---=-=f(x), ∴f(x)为偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称,故排除A,D.∵f'(x)=---,设g(x)=e2x-2x e x-1,∴g'(x)=2e x(e x-x-1)>0,∴g(x)>g(0)=0.∴f'(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除C.答案:B7.(2015吉林三模,文7,函数图象的辨识,选择题)现有三个函数:①y=-,②y=--,③y=---的图象(部分)如下:则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是() A.①②③ B.③①② C.③②① D.②①③解析:对于①,f(-x)=-=f(x),故①为偶函数,所以对应的图象为中间的图象.对于②,y=--,当x→+∞时,e x→+∞,e-x→0,所以当x→+∞时,y→+∞,所以对应的图象为最左边的图象.对于③,y=---=1-,当x→+∞时,e2x→+∞,所以当x→+∞时,y→+1,所以对应的图象为最右边的图象.所以按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是②①③.答案:D10.(2015江西景德镇二模,文10,函数图象的辨识,选择题)函数y=---的图象大致为()解析:函数有意义,需使e x-e-x≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D,因为y=----=1+-,所以当x>0时函数为减函数,故选A.答案:A8.(2015江西赣州兴国一模,文8,函数图象的辨识,选择题)如图中阴影部分的面积S是h的函数(其中0≤h≤H),则该函数的大致图象为()解析:∵当h=H时,对应阴影部分的面积为0,∴排除A与B.∵当h=时,对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半,且随着h的增大,S随之减小,减少的幅度不断变小,∴排除C.从而得到答案D.答案:D10.(2015山西太原五中二模,文10,函数图象的辨识,选择题)如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是()解析:由函数的图象可知,几何体具有对称性,选项A,B,D,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y,在中线位置前,都是先慢后快,然后相反.选项C,后面是直线增加,不满足题意.答案:C10.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文10,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=2x-4sin x,x∈-的图象大致是()解析:∵函数f(x)=2x-4sin x,∴f(-x)=-2x-4sin(-x)=-(2x-4sin x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.∴函数f(x)=2x-4sin x的图象关于原点对称,排除A,B,函数f'(x)=2-4cos x,由f'(x)=0得cos x=,故x=2kπ±(k∈Z),∴x=±时函数取极值,排除C.答案:D9.(2015甘肃庆阳一诊,文9,函数图象的辨识,选择题)函数y=的图象可能是()解析:函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,y==ln x,=-ln(-x),当x<0时,y=--此时函数图象与当x>0时函数y==ln x的图象关于原点对称.答案:B8.(2015黑龙江绥化一模,文8,函数图象的辨识,选择题)在同一个坐标系中画出函数y=a x,y=sin ax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是()解析:正弦函数的周期公式T=,∴y=sin ax的最小正周期T=.对于A,T>2π,故a<1,因为y=a x的图象是减函数,故错;对于B,T<2π,故a>1,而函数y=a x是增函数,故错;对于C,T=2π,故a=1,∴y=a x=1,故错;对于D,T>2π,故a<1,∴y=a x是减函数,故对.答案:D8.(2015甘肃张掖一模,文8,函数图象的辨识,选择题)函数y=x+cos x的大致图象是()解析:∵f(x)=x+cos x,∴f(-x)=-x+cos x.∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x).故此函数是非奇非偶函数,排除A,C.又当x=时,x+cos x=x,即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为,排除D.答案:B30函数图象的变换10.(2015甘肃河西五地一模,文10,函数图象的变换,选择题)定义行列式运算:=a1a4-a2a3.若将函数f(x)=--的图象向左平移m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m的最小值是()A. B. C. D.解析:由定义的行列式运算,得f(x)=--=(-)×(-sin x)-1×cos x=sin x-cos x=2-=2sin-.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后, 所得图象对应的函数解析式为y=f(x+m)=2sin-.由该函数为奇函数,得2sin-=0,所以m-=kπ(k∈Z),则m=kπ+(k∈Z).当k=0时,m有最小值.答案:C31函数图象的应用12.(2015贵州贵阳二模,文12,函数图象的应用,选择题)已知函数f(x)=--,g(x)=-,下列结论错误的是()A.函数f(x)的图象关于原点对称,函数g(x)的图象关于y轴对称B.在同一坐标系中,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C.函数g(x)的值域是[1,+∞)D.g(2x)=2f(x)g(x)在(-∞,+∞)恒成立解析:对于A,∵f(-x)=--=---=-f(x),∴函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称.同理,g(x)是偶函数,图象关于y轴对称, ∴A正确;对于B,∵f(x)-g(x)=---=-2-x<0,∴f(x)的图象在g(x)的图象下方,B正确;对于C,∵g(x)=--=1,当且仅当x=0时取“=”,∴g(x)的值域是[1,+∞),C正确;对于D,∵g(2x)=-,2f(x)g(x)=2·-----,∴只有当x=0时,g(2x)=2f(x)g(x),D错误.答案:D1.(2015山西太原一模,文9,函数零点所在区间的判断,选择题)已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:∵a>1,∴函数f(x)=a x+x-b为增函数.又0<b<1,∴f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0.∴函数f(x)=a x+x-b在(-1,0)内有零点.答案:B8.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文8,函数零点所在区间的判断,选择题)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是()A. B.(1,2)C. D.(2,3)解析:由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,而g(x)=ln x+2x+a在定义域内单调递增,g=ln+1+a<0,由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,结合抛物线的对称轴得到0<-<1,解得-2<a<0,所以g(1)=ln 1+2+a=2+a>0.所以函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是.答案:C。
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第六章数列77数列的概念1.(2015广西柳州一中一模,文16,数列的概念,填空题)若数列{a n}满足a1=2,a n+1=-(n∈N*),则该数列的前2 015项的乘积a1·a2·a3·…·a2 015=.解析:由递推关系式,得a n+2=-=-,则a n+4=a n.∴{a n}是以4为周期的一个周期数列.由计算,得a1=2,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…∴a1a2a3a4=1.∴a1·a2·…·a2 010·a2 011·a2 015=3.答案:316.(2015江西上饶一模,文16,数列的概念,填空题)设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),关于数列{a n}有下列四个命题:①若a n+1=a n(n∈N*),则{a n}既是等差数列又是等比数列;②若S n=+b n(a,b∈R),则{a n}是等差数列;③若S n=1-(-1)n,则{a n}是等比数列;④若{a n}是等差数列,则S n,S2n-S n,S3n-S2n(n∈N*)也成等差数列.其中正确的命题是(填上正确的序号).解析:对于①,当a n+1=a n≠0时,{a n}既是等差数列又是等比数列,否则不成立,∴①错误.对于②,如a n=n2,b n=1时,S n=+b n=n4+1,{a n}不是等差数列,∴②错误.对于③,当S n=1-(-1)n时,S n+1=1-(-1)n+1,∴a n+1=S n+1-S n=2·(-1)n,a n=2·(-1)n-1.∴=-1为常数.∴{a n}是等比数列,③正确.对于④,当{a n}是等差数列时,S n=na1+n(n-1)d,S2n-S n=na n+1+n(n-1)d,S3n-S2n=na2n+1+n(n-1)d,∴(S3n-S2n)-(S2n-S n)=n(a2n+1-a n+1)=n2d,(S2n-S n)-S n=n(a n+1-a1)=n2d.∴(S3n-S2n)-(S2n-S n)=(S2n-S n)-S n,即S n,S2n-S n,S3n-S2n成等差数列,∴④正确.综上,正确的命题是③④.答案:③④16.(2015山西朔州怀仁一中一模,文16,数列的概念,填空题)设数列{a n}满足a1=5,且对任意整数n,总有(a n+1+3)(a n+3)=4a n+4成立,则数列{a n}的前2 015项的和为.解析:∵数列{a n}满足a1=5,且对任意整数n,总有(a n+1+3)(a n+3)=4a n+4成立,∴8(a2+3)=24,解得a2=0,3(a3+3)=4,解得a3=-,(a4+3)=-,解得a4=-5,-2(a5+3)=-16,解得a5=5.∴数列{a n}是以4为周期的数列,且a1+a2+a3+a4=-,2 015=503×4+3.∴S2 015=503×-+5+0-=-835.答案:-83578数列的通项公式1.(2015吉林实验中学二模,文17,数列的通项公式,解答题)在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,求{b n}的前n项和S n.解:(1)设等差数列{a n}的公差是d.依题意a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=-3n+2.(2)由数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,得a n+b n=c n-1,即-3n+2+b n=c n-1,所以b n=3n-2+c n-1.所以S n=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+c n-1)=-+(1+c+c2+…+c n-1).从而当c=1时,S n=-+n=;当c≠1时,S n=---.2.(2015山西太原一模,文15,数列的通项公式,填空题)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-1,S n=2a n+n(n∈N*),则a n=.解析:∵S n=2a n+n,∴当n≥2时,S n-1=2a n-1+n-1.两式相减得S n-S n-1=2a n+n-(2a n-1+n-1),即a n=2a n-2a n-1+1,即a n=2a n-1-1,即a n-1=2a n-1-1-1=2(a n-1-1),故数列{a n-1}是公比q=2,首项为a1-1=-1-1=-2的等比数列,则a n-1=-2·2n-1=-2n,故a n=1-2n.答案:1-2n3.(2015广西桂林、防城港联合调研,文17,数列的通项公式,解答题)在等差数列{a n}中,已知a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.(1)求a n;(2)设b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,又a4=10,可得a3=10-d,a6=10+2d,a10=10+6d,由a3,a6,a10成等比数列,得(10+2d)2=(10-d)(10+6d),解得d=0或d=1.若d=0,则a1=a n=10,若d=1,则a1=a4-3d=10-3×1=7,a n=a1+(n-1)d=n+6.故a n=10或a n=n+6.(2)由b n=(n∈N*),若a n=10,则b n=210=1 024,故S n=1 024n.若a n=n+6,则b n=2n+6,∵=2,∴数列{b n}是首项为b1=27=128,公比为2的等比数列,故S n=--=2n+7-128.4.(2015黑龙江大庆二模,文17,数列的通项公式,解答题)已知公差不为0的等差数列{a n}满足S7=77,且a1,a3,a11成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和为T n.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),因为S7==77,所以7a4=77,则a1+3d=11, ①因为a1,a3,a11成等比数列,所以=a1a11,整理得2d2=3a1d,又d≠0,所以2d=3a1.②联立①②,解得a1=2,d=3.所以a n=3n-1.(2)因为b n=,所以b n=23n-1=·8n,所以数列{b n}是以4为首项,8为公比的等比数列,由等比数列前n项和公式得,T n=---.5.(2015江西赣州一模,文12,数列的通项公式,选择题)已知数列{a n}满足a n+a n+1=(-1n,S n是其前n项和,若S2 015=-1 007,则a1=()A.0B.1C.2D.3解析:由已知得:a2+a3=-2,a4+a5=4,…,a2 012+a2 013=2 012,a2 014+a2 015=-2 014,把以上各式相加得:S2 015-a1=-2 014+1 006=-1 008,∴S2 015=a1-1 008=-1 007,即a1=1.答案:B6.(2015甘肃张掖4月模拟,文17,数列的通项公式,解答题)已知等差数列{a n}中a3=7,其前n项和S n=pn2+2n,n∈N*.(1)求p的值及a n;(2)在等比数列{b n}中,b3=a1,b6=4a10-3,若等比数列{a n}的前n项和为T n.求证:数列为等比数列.解:(1)由题意可得:a3=S3-S2=5p+2=7,∴p=1.∴a1=S1=3.∴2d=a3-a1=4,∴公差d=2.由此可得:a n=2n+1.(2)由题意可得:b3=b1q2=a1=3,b6=b1q5=4a10-3=81,联立方程组解得:q=3,b1=.∴数列{b n}是以b1=为首项,3为公比的等比数列.∴T n=--(3n-1).∴T n+·3n=·3n-1.又∵T1+-=3,∴是以为首项,3为公比的等比数列.15.(2015山西太原二模,文15,数列的通项公式,填空题)已知数列{a n}满足a1=1,a n-a n+1=na n a n+1(n∈N*),则a n=.解析:∵a n-a n+1=na n a n+1(n∈N*),∴-=n.∴-----+…+--=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1+=--+1=-,∴a n=-.答案:-11.(2015江西吉安一模,文11,数列的通项公式,选择题)如果数列{a n}中,相邻两项a n和a n+1是二次方程+2nx n+c n=0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,则c100的值为()A.-9 984B.9 984C.9 996D.-9 996解析:∵a n和a n+1是二次方程+2nx n+c n=0(n=1,2,3…)的两个根,∴a n+a n+1=-2n.则(a n+1+a n+2)-(a n+a n+1)=-2,∴a n+2-a n=-2.∴数列{a2k-1}与{a2k}都是公差为-2的等差数列.由a1=2,a1+a2=-2,解得a2=-4,则a2n=-4-2(n-1)=-2n-2,a2n-1=2-2(n-1)=-2n+4,∴a100=-2×50-2=-102,a101=-2×51+4=-98,∴c100=a100·a101=-102×(-98)=9 996.答案:C17.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文17,数列的通项公式,解答题)等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1+a7=-9,S9=-.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>-.(1)解:设数列{a n}的公差为d,∵a1+a7=-9,S9=-,∴--解得--∴a n=--(n-1)=-.(2)证明:∵S n=--=-,∴b n==-=--.∴数列{b n}的前n项和为T n=----…=---=>-.∴T n>-.17.(2015江西上饶二模,文17,数列的通项公式,解答题)已知正项等比数列{a n}满足:ln a1+ln a3=4,ln a4+ln a6=10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记S n=ln a1+ln a2+…+ln a n,如果数列{b n}满足:b n=,设c n=(b1+b2+…+b n),求c n的最大值.解:(1)由题意可得,a1a3=e4,a4a6=e10,公比q6=e6(q>0)⇒q=e,a1=e,∴a n=e n.(2)由(1)可知,S n=1+2+…+n=,b n=,记c n=(b1+b2+…+b n),则c n+1-c n=--<0,∴c n>c n+1.∴数列{c n}是单调递减数列,c n≤c1=,即c n的最大值为.18.(2015江西红色六校一模,文18,数列的通项公式,解答题)已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+a n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log4(1-S n+1)(n∈N*),T n=+…+,求使T n≥成立的最小的正整数n的值.解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1⇒a1=,当n≥2时,S n+a n=1, ①S n-1+a n-1=1, ②①-②,得a n+a n-a n-1=0,即a n=a n-1,∴{a n}是以为首项,为公比的等比数列.故a n=-=3(n∈N*).(2)由(1)知1-S n+1=a n+1=,b n=log4(1-S n+1)=log4=-(n+1),,T n=+…+=--+…+-=,⇒n≥2 014,故使T n≥成立的最小的正整数n的值为2 014.17.(2015江西六校联考二模,文17,数列的通项公式,解答题)数列{b n}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=17,b1b3=16,又a n=log4b n+2.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若+a2+a3+…+a m≤a66,求m的最大值.解:(1)由b1+b2=17,b1b3=16,知b1,b3是方程x2-17x+16=0的两根,注意到b n+1>b n,得b1=1,b3=16,∴等比数列{b n}的公比为=4.∴b n=4n-1,a n=log4b n+2=log44n-1+2=n-1+2=n+1.(2)由(1)知数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,则+a2+a3+…+a m=+a1+a2+a3+…+a m-a1=22+m×2+-×1-2=-+2m+2,由a66=67.∴2+2m+-≤67.整理得-13≤m≤10,∴m的最大值是10.16.(2015广西南宁一模,文16,数列的通项公式,填空题)已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a n+3S n·S n-=0(n≥2,n∈N*),a1=,则数列{a n}的通项公式a n=.1解析:由a n+3S n·S n-1=0得a n=-3S n·S n-1,当n≥2时,a n=-3S n·S n-1=S n-S n-1,∵a1=,∴S n·S n-1≠0.等式两边同时除以S n·S n-1得=3,-即是以3为首项,3为公差的等差数列,则=3+3(n-1)=3n,,n≥2,即S n=,则a n=-3S n·S n-1=--∵a1=不满足a n=-,n≥2,-∴数列的通项公式a n=--答案:--18.(2015黑龙江大庆一模,文18,数列的通项公式,解答题)已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n,首项为a1,且a n是和S n的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由题意知2a n=S n+,a n>0,当n=1时,2a1=a1+,a1=.当n≥2时,S n=2a n-,S n-1=2a n-1-,两式相减得a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,整理得=2,-所以数列{a n}是以为首项,2为公比的等比数列.所以a n=·2n-1=2n-2.(2)由-=22n-4得b n=4-2n,所以b n+1-b n=-2(n∈N*).所以数列{b n}是以2为首项,-2为公差的等差数列,所以T n=-n2+3n.8.(2015广西梧州一模,文8,数列的通项公式,选择题)在数列{a n}中,a n a n+1=,a1=1,则a98+a101=()A.6B.1C.2D.解析:∵在数列{a n}中,a n a n+1=,a1=1,∴a n+1=.∴a2=,a3==1,a4=.…∴a n = 为奇数为偶数∴a 98+a 101=+1=.答案:D17.(2015江西南昌零模,文17,数列的通项公式,解答题)已知函数f (x )=,数列{a n }是首项等于1且公比等于f (1)的等比数列;数列{b n }首项b 1=,满足递推关系b n+1=f (b n ).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =,求数列{c n }的前n 项和T n .解:(1)函数f (x )= ,则f (1)=.由于数列{a n }是首项等于1且公比等于f (1)的等比数列,所以a n =-.数列{b n }首项b 1=,满足递推关系b n+1=f (b n ). 则b n+1= ,整理得=3.所以是以为首项,3为公差的等差数列.解得b n =.(2)c n = =3n ·-, 则T n =c 1+c 2+…+c n =3· +6· +…+3n ·-. ① T n=3· +6· +…+3n · . ②则①-②得T n =3· --=4-. 所以T n =- .17.(2015江西重点中学协作体二模,文17,数列的通项公式,解答题)已知{a n }为等差数列,数列{b n }满足对于任意n ∈N *,点(b n ,b n+1)在直线y=2x 上,且a 1=b 1=2,a 2=b 2. (1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式;(2)若c n = 为奇数 为偶数 求数列{c n }的前2n 项的和S 2n .解:(1)由点(b n ,b n+1)在直线y=2x 上,有=2, 所以数列{b n }是以2为首项,2为公比的等比数列, 即数列{b n }的通项公式为b n =2n .又a 1=b 1=2,a 2=b 2=4,则d=a 2-a 1=4-2=2,所以数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列, 即数列{a n }的通项公式为a n =2n.(2)c n = 为奇数 为偶数所以S 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n )= - - -=2n 2+(4n -1).17.(2015江西新八校联考一模,文17,数列的通项公式,解答题)数列{a n }中a 1=2,a n+1=a n +c ·n ,n ∈N *,c ≠0,a 1,a 2,a 3成等比数列. (1)求c ;(2)求数列{a n}通项公式.解:(1)通过题意可得a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,∵a1,a2,a3成等比数列,∴(2+c)2=2(2+3c).∴c=2或c=0(舍).(2)当n≥2时,由a n+1=a n+c·n得a2-a1=2,a3-a2=2·2,…a n-a n-1=(n-1)·2,∴a n-a1=n(n-1).又∵a1=2,∴a n=n2-n+2(n∈N*).7.(2015广西防城港、桂林一模,文7,数列的通项公式,选择题)已知{a n}是等差数列,{b n}是正项等比数列,若a11=b10,则()A.a13+a9=b14b6B.a13+a9=b14+b6C.a13+a9≥b14+b6D.a13+a9≤b14+b6解析:设{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的正项等比数列,即有a13+a9=2a11=2b10,b14b6=,则a13+a9-b14b6=(2-b10)b10,当b10≥2时,a13+a9≤b14b6;当0<b10<2时,a13+a9>b14b6.又b14+b6=b1q13+b1q5,由a13+a9-(b14+b6)=2b1q9-b1q13-b1q5,=-b1q5(q8-2q4+1)=-b1q5(q4-1)2≤0,则有a13+a9≤b14+b6.综上可得,A,B,C均错,D正确.答案:D15.(2015江西宜春高安四校一模,文15,数列的通项公式,填空题)数列{a n}中相邻两项a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根,已知a10=-13,则b21等于.解析:∵a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根,∴a n+a n+1=-3n,a n·a n+1=b n.由a n+a n+1=-3n,a n+1+a n+2=-3(n+1),∴a n+2-a n=-3,可得n为奇数、偶数时分别成等差数列,由a10=-13,∴a22=-13+6×(-3)=-31.∴a21=-3×21-(-31)=-32.∴b21=a21·a22=-31×(-32)=992.答案:99217.(2015山西太原五中二模,文17,数列的通项公式,解答题)已知数列{a n}的奇数项是首项为1,公差为d的等差数列,偶数项是首项为2,公比为q的等比数列.数列{a n}前n项和为S n,且满足S3=a4,a3+a5=2+a4.(1)求d和q的值;(2)求数列{a n}的通项公式和前n项和S n.解:(1)由题意得a1=1,a2=2,又S3=a4,a3+a5=2+a4,∴∴即解得d=2,q=3.(2)当n为奇数时,S n=(a1+a3+…+a n)+(a2+a4+…+a n-1)=---=----=--1.当n为偶数时,S n=(a1+a3+…+a n-1)+(a2+a4+…+a n)=---=---=-1.2.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文2,数列的通项公式,选择题)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5=8,S3=6,则a9=()A.8B.12C.16D.24解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则解得a1=0,d=2,所以a9=a1+8d=0+8×2=16.答案:C19.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文19,数列的通项公式,解答题)公差不为零的等差数列{a n}中,a3=7,又a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)设数列的公差为d,则∵a3=7,又a2,a4,a9成等比数列.∴(7+d)2=(7-d)(7+6d).∴d2=3d.∵d≠0,∴d=3.∴a n=7+(n-3)×3=3n-2,即a n=3n-2.(2)∵b n=,∴b n=23n-2,∴-=8.∴数列{b n}是等比数列.∵b1==2,∴数列{b n}的前n项和S n=-.17.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文17,数列的通项公式,解答题)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,已知S10=55,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.解:(1)由得解得a1=d=1,故a n=a1+(n-1)d=n.(2)∵S n=,∴b n=,则b4n-1=2n.∴b3+b7+b11+…+b4n-1=2+4+6+…+2n==n2+n.13.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文13,数列的通项公式,填空题)在等比数列{a n}中,a1=8,a4=a3·a5,则a7=.解析:设等比数列{a n}的公比为q,∵a1=8,a4=a3·a5,∴8q3=8q2·8q4,化为(2q)3=1,解得q=.∴a7=8×.答案:18.(2015江西三县部分高中一模,文18,数列的通项公式,解答题)若数列{a n}满足a1=2,a n+1=.(1)设b n=,问:{b n}是否为等差数列?若是,请说明理由并求出通项b n;(2)设c n=a n a n+1,求{c n}的前n项和.解:(1)∵a n+1=,b n=,∴b n+1-b n==3.∴{b n}是公差为3的等差数列.又b1=,∴b n=3n-..(2)∵b n=,∴a n=-由a n+1=,得3a n+1a n+a n+1=a n.∴a n a n+1=(a n-a n+1).∴c n=(a n-a n+1).∴{c n}的前n项和为S n=[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(a n-a n+1)=(a1-a n+1)=-.10.(2015吉林实验中学六模,文10,数列的通项公式,选择题)已知a1=1,a n+1=,则数列{a n}的通项为a n=()B.2n-1A.-C.D.3n-2-解析:∵a n+1=,∴3a n+1a n=a n-a n+1.两边同除以a n+1a n得3=,由a1=1,∴=1.∴数列是首项为1,公差为3的等差数列.∴=1+3(n-1)=3n-2.∴a n=.-答案:C16.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文16,数列的通项公式,解答题)已知数列{a n}满足+…+(32n-1),n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3,求+…+.解:(1)(32-1)=3,当n≥2时,∵……--=(32n-1)-(32n-2-1)=32n-1,当n=1时,=32n-1也成立,∴a n=-.(2)∵b n=log3=-(2n-1),∴---.∴+…+=--…--.=-.11.(2015黑龙江绥化一模,文11,数列的通项公式,选择题)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,a n+2S n-1=n,则S2 015的值为()A.2 015B.2 013C.1 008D.1 007解析:∵当n≥2时,a n+2S n-1=n,∴a n+1+2S n=n+1,两式相减得:a n+1+2S n-(a n+2S n-1)=n+1-n,即a n+1+a n=1,n≥2,当n=2时,a2+2a1=2,解得a2=2-2a1=0,满足a n+1+a n=1,则当n是奇数时,a n=1,当n是偶数时,a n=0,则S2 015=1 008.答案:C14.(2015甘肃张掖二模,文14,数列的通项公式,填空题)数列{a n}满足a1=3,=5(n∈N*),则a n=.解析:∵所给的数列的递推式为=5,∴数列是一个公差是5的等差数列.∵a1=3,∴.∴数列的通项是+5(n-1)=+5n-5=5n-.∴a n=-.答案:-80等差数列的性质1.(2015山西太原一模,文3,等差数列的性质,选择题)在单调递增的等差数列{a n}中,若a3=1,a2a4=,则a1=()A.-1B.0C.D.解析:在等差数列{a n}中,a3=1,a2a4=,则由等差数列的通项公式a3=a1+2d=1,(a1+d)(a1+3d)=,∴d=,a1=0.答案:B4.(2015江西吉安一模,文4,等差数列的性质,选择题)在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a k=a1+a2+a3+…+a7,则k=()A.22B.23C.24D.25解析:∵数列{a n}为等差数列,且首项a1=0,公差d≠0,又∵a k=(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d,故k=22.答案:A9.(2015江西鹰潭二模,文9,等差数列的性质,选择题)已知各项不为0的等差数列{a n}满足a3-2+3a7=0,数列{b n}是等比数列,且b6=a6,则b1b7b10等于()A.1B.2C.4D.8解析:根据等差数列的性质得:a3+a7=2a5,a5+a7=2a6,a3-2+3a7=0变为:2a5+2a7-2=0,即有2a6=,解得a6=2,a6=0(舍去),所以b6=a6=2.则b1b7b10=b2b6b10==8.答案:D8.(2015黑龙江大庆一模,文8,等差数列的性质,选择题)若{a n}为等差数列,S n是其前n项和,且S11=,则tan a6的值为()A. B.- C.± D.-解析:∵S11==11a6=.∴a6=.∴tan a6=-.答案:B6.(2015江西上饶三模,文6,等差数列的性质,选择题)已知数列{a n}为等差数列,前n项和为S n,若a7+a8+a9=,则cos S15的值为()A.-B.C.D.-解析:∵数列{a n}为等差数列,a7+a8+a9=,∴3a8=.∴a8=.∴S15==15a8=.∴cos S15=cos=-.答案:D5.(2015江西新余二模,文5,等差数列的性质,选择题)等差数列{a n}中的a1,a4 025是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点,则log2a2 013为()A.2B.3C.4D.5解析:f'(x)=x2-8x+6,∵a1,a4 025是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点,∴a1,a4 025是方程x2-8x+6=0的两实数根,则a1+a4 025=8.而{a n}为等差数列,∴a1+a4 025=2a2 013,即a2 013=4,从而log2a2 013=log24=2.答案:A4.(2015山西太原山大附中高三月考,文4,等差数列的性质,选择题)在等差数列{a n}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列的前13项和为()A.24B.39C.52D.104解析:∵3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,利用等差数列的性质可得,6a4+6a10=48.∴a1+a13=a4+a10=8.∴S13==52.答案:C16.(2015甘肃兰州一中三模,文16,等差数列的性质,填空题)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.解析:∵{a n}是等差数列,∴a=0,S n=n2.∴a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cos θ=-,∴θ=120°.∴该三角形的面积S=×3×5×sin 120°=.答案:5.(2015甘肃庆阳一诊,文5,等差数列的性质,选择题)在等差数列{a n}中,a2+a6=,则sin-=()A. B. C.- D.-解析:∵等差数列{a n}中,a2+a6=,∴2a4=.∴sin-=sin-=sin-=-sin-=-.答案:D8.(2015甘肃张掖二模,文8,等差数列的性质,选择题)已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a3=7-a2,则S4=() A.15 B.14 C.13 D.12解析:由题意可知a3=7-a2,a3+a2=7,S4=a1a2+a3+a4=2(a3+a2)=14.答案:B3.(2015甘肃张掖一模,文3,等差数列的性质,选择题)等差数列{a n}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为()A.14B.18C.21D.27解析:由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,解方程可得,a1=2,d=1.∴a1a6=2×7=14.答案:A81等差数列前n项和公式与最值1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文16,等差数列前n项和公式与最值,填空题)若数列{a n}满足a n+1+(-1)n·a n=2n-1,则{a n}的前40项和为.解析:由于数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,故有a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11…a50-a49=97.从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.{a n}的前40项和为10×2+=820.答案:8202.(2015江西赣州一模,文14,等差数列前n项和公式与最值,填空题)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S9=45,则a5=.解析:由等差数列的求和公式和性质可得:S9==9a5=45,∴a5=5.答案:513.(2015吉林三模,文13,等差数列前n项和公式与最值,填空题)已知等差数列{a n}中,a2=2,a5=8,则其前6项和S6=.解析:∵等差数列{a n}中,a2=2,a5=8,∴数列的公差d=---=2.∴首项a1=a2-d=2-2=0.∴前6项和S6=6a1+d=30.答案:304.(2015江西景德镇二模,文4,等差数列前n项和公式与最值,选择题)设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,若S9=3a8,则=()A.15B.17C.19D.21解析:在等差数列中,若S9=3a8,则=3a8.即9a5=3a8,∴a8=3a5.则=15.答案:A14.(2015贵州贵阳一模,文14,等差数列前n项和公式与最值,填空题)若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8-S3=20,则S11的值为.解析:∵S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=20,由等差数列的性质可得,5a6=20,∴a6=4.由等差数列的求和公式可得S11==11a6=44.答案:446.(2015江西上饶一模,文6,等差数列,前n项和公式与最值,选择题)等差数列{a n}中,若,则=() A. B. C. D.1解析:由题意可得==1.答案:D15.(2015山西四校联考三模,文15,等差数列前n项和公式与最值,填空题)设数列{a n}满足a2+a4=10,点P n(n,a n)对任意的n∈N*,都有向量=(1,2),则数列{a n}的前n项和S n=.解析:∵P n(n,a n),∴P n+1(n+1,a n+1).∴=(1,a n+1-a n)=(1,2).∴a n+1-a n=2.∴{a n}为等差数列,公差d=2,将a2=a1+2,a4=a1+6代入a2+a4=10中,解得a1=2.∴a n=2+(n-1)×2=2n.∴S n=×n=n2+n.答案:n2+n8.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文8,等差数列的前n项和公式与最值,选择题)已知{a n}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=()A.-B.-C.D.解析:设{a n}的公差为d,首项为a1,由题意得解得答案:D83等比数列的性质1.(2015黑龙江大庆二模,文7等比数列的性质,选择题)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=()A.29B.31C.33D.36解析:设等比数列{a n}的公比为q,∵a2a3=2a1,∴q3=2a1.①∵a4与2a7的等差中项为,∴a4+2a7=,即a1q3+2a1q6=.②联立①②可解得a1=16,q=,∴S5=--=31.答案:B2.(2015甘肃张掖4月模拟,文6,等比数列的性质,选择题)已知实数4,m,1构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A. B. C.或 D.或3解析:∵4,m,1构成一个等比数列,∴m=±2.当m=2时,圆锥曲线+y2=1是椭圆+y2=1,它的离心率是e1=.当m=-2时,圆锥曲线+y2=1是双曲线y2-=1.它的离心率是e2=.答案:C14.(2015贵州黔东南州一模,文14,等比数列的性质,填空题)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.解析:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n-1.又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解得q=.答案:9.(2015贵州贵阳一模,文9,等比数列的性质,选择题)在等比数列{a n}中,2a4,a6,48成等差数列,且a3·a5=64,则{a n}的前8项和为()A.255B.85C.255或-85D.255或85解析:在等比数列{a n}中,a3·a5=64,可得=64,解得a4=±8.当a4=8时,2a4,a6,48成等差数列,即16,a6,48成等差数列,可得a6=32.q2==4,解得q=±2.q=2时,a1==1,q=-2时,a1=-1.当q=2,a1=1时,S8=----=255.当q=-2,a1=-1时,S8=-----=85.当a4=-8时,2a4,a6,48成等差数列,即-16,a6,48成等差数列,可得a6=16.q2=-无解.答案:D3.(2015山西四校联考三模,文3,等比数列的性质,选择题)若等比数列{a n}满足a1+a3=20,a2+a4=40,则公比q=() A.1 B.2 C.-2 D.4解析:等比数列{a n}满足a1+a3=20,a2+a4=40,可得=q==2.答案:B11.(2015甘肃兰州一中模拟,文11,等比数列的性质,选择题)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=27,则a6=()A.27B.81C.243D.729解析:利用等比数列的性质可得,a1a2a3==27,即a2=3.因为S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),所以n=1时有S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1,q=3.所以a6=1×35=243.答案:C4.(2015山西朔州怀仁一中一模,文4,等比数列的性质,选择题)已知数列{a n}是等比数列,且a2+a6=3,a6+a10=12,则a8+a12=()A.12B.24C.24D.48解析:设等比数列{a n}的公比为q,且q≠0,∵a2+a6=3,a6+a10=12,∴q4=4.∴q2=2.∴a8+a12=q6(a2+a6)=24.答案:B17.(2015甘肃兰州一模,文17,等比数列的性质,解答题)等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{|b n|}的前n项和S n.解:(1)∵a1=2,a4=16,∴q3==8即q=2.∴a n=2n.(2)由(1)可知,a3=b3=8,a5=b5=32,∴d=--=12.∴b n=b3+(n-3)d=8+12(n-3)=12n-28.其前n项和为T n=-16n+n(n-1)×12=6n2-22n,当n≤2时,b n<0,S n=-(b1+…+b n)=-T n=-6n2+22n,当n≥3时,S n=-(b1+b2)+b3+…+b n=T n-2T2=6n2-22n+40.∴S n=--16.(5分)(2015甘肃庆阳一诊,文16,等比数列的性质,填空题)设a1,a2,…,a10成等比数列,且a1a2…a10=32,记x=a1+a2+…+a10,y=+…+,则=.解析:∵a1,a2,…,a10成等比数列,且a1a2…a10=32,∴a1·a10=a2·a9=a3·a8=a4·a7=a5·a6=2.∴y=+…+=…=…=(a1+a2+…+a10)=x.∴=2.答案:27.(2015甘肃河西五地一模,文7,等比数列的性质,选择题)等比数列{a n}中,a4=2,a5=5,则数列{lg a n}的前8项和等于()A.6B.5C.3D.4解析:∵等比数列{a n}中a4=2,a5=5,∴a4·a5=2×5=10.∴数列{lg a n}的前8项和S=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2…a8)=lg(a4·a5)4=4lg(a4·a5)=4lg 10=4.答案:D84等比数列前n项和公式5.(2015江西九江一模,文5,等比数列前n项和公式,选择题)已知单调递增的等比数列{a n}中,a2·a6=16,a3+a5=10,则数列{a n}的前n项和S n=()A.2n-2-B.2n-1-C.2n-1D.2n+1-2解析:∵a2·a6=16,a3+a5=10,∴由等比数列的性质可得a3·a5=16,a3+a5=10.∴a3,a5为方程x2-10x+16=0的实根,解方程可得a3=2,a5=8,或a3=8,a5=2.∵等比数列{a n}单调递增,∴a3=2,a5=8,∴q=2,a1=.∴S n=--=2n-1-.答案:B14.(2015江西鹰潭二模,文14,等比数列前n项和公式,填空题)设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2-a5=0,则=.解析:∵8a2-a5=0,∴=q3=8,q=2,=1+=1+q2=5.答案:55.(2015广西南宁一模,文5,等比数列,前n项和公式,选择题)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a4=-8,则S5等于()A.-11B.11C.31D.-31解析:∵等比数列{a n}中a1=1,a4=-8,∴公比q==-2.∴S5=----=11.答案:B10.(2015江西上饶三模,文10,等比数列前n项和公式,选择题)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对∀x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若数列{a n}满足a1=,a n=f(n),n∈N*,且其前n项和S n对任意的正整数n都有S n≤M成立,则M的最小值是()A. B. C. D.1解析:∵对任意x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),∴令x=n,y=1,得f(n)·f(1)=f(n+1),即=f(1)=.∴数列{a n}是以为首项,以为公比的等比数列.∴a n=f(n)=.∴S n=--.答案:C17.(2015江西赣州兴国一模,文17,等比数列前n项和公式,解答题)数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2(a n-1)(n∈N*).(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)若b n=log2a n+1(n≥1,n∈N),设T n为数列-的前n项和,求T n.解:(1)当n=1时,S1=a1=2(a1-1),∴a1=2.当n≥2时,S n=2S n-2S n-1-2,即S n+2=2(S n-1+2),而S1+2=4≠0,∴{S n+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.∴S n=4·2n-1-2=2n+1-2.当n=1时,上式成立,∴S n=2n+1-2.(2)由(1)知a n=2n,∴b n=log2a n+1=n+1.而-,∴T n=1-+…+.4.(2015甘肃兰州一中三模,文4,等比数列的前n项和公式,选择题)设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a1-a4=0,则=()A.-8B.8C.5D.15解析:∵8a1-a4=0,∴q3=8.∴q=2.∴=1+q2=5.答案:C6.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文6,等比数列前n项和公式,选择题)设等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=10,S12=130,则S16为()A.400B.-510C.400或-510D.270解析:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=10,S12=130,∴----∴q4=3,-=-5.∴S16=-×(1-q16)=400.答案:A7.(2015江西三县部分高中一模,文7,等比数列前n项和公式,选择题)已知{a n}是首项为32的等比数列,S n是其前n项和,且,则数列{|log2a n|}前10项和为()A.58B.56C.50D.45解析:∵{a n}是首项为32的等比数列,S n是其前n项和,且,∴----.∴1+q3=.∴q=.∴a n=32·-=27-2n.∴|log2a n|=|7-2n|,∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.答案:A6.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文6,等比数列的前n项和公式,选择题)已知等比数列{a n}的前n项和S n,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a3=,a2+a4=,∴两式相除可得公比q=.∴a1=2.∴a n=2·--,S n=--=4-.∴=2n-1.答案:D17.(2015甘肃河西五地二模,文17,等比数列前n项和公式,解答题)设数列{a n}的前n项和为S n,点,n∈N*均在函数y=x的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若{b n}为等比数列,且b1=1,b1b2b3=8,求数列{a n+b n}的前n项和T n.解:(1)∵点,n∈N*均在函数y=x的图象上,∴=n,化为S n=n2.当n=1时,a1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,也成立,∴a n=2n-1.(2)设等比数列{b n}的公比为q,∵b1=1,b1b2b3=8,∴1×q×q2=8,解得q=2.∴b n=2n-1.∴a n+b n=(2n-1)+2n-1.∴数列{a n+b n}的前n项和T n=[1+3+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)=n2+--=n2+2n-1.17.(2015甘肃兰州二诊,文17,等比数列前n项和公式,解答题)已知数列{a n}中,a1=1,前n项和S n=n2-n.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,求证:b1+b2+…+b n>.(1)解:∵S n=n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-n----=3n-2.当n=1时,也成立.∴a n=3n-2.(2)证明:∵b n==23n-2,∴--=8.∴数列{b n}是以2为首项,以8为公比的等比数列,∴b1+b2+…+b n=--(8n-1)>.17.(2015山西太原二模,文17,分组求和与并项求和,解答题)已知公比q>0的等比数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S3=7.数列{b n}中b1=0,b3=1.(1)若数列{a n+b n}是等差数列,求a n,b n;(2)在(1)的条件下,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由题意可知:S3=1+q+q2=7,解得q=-3或q=2.∵公比q>0,∴q=2,∴a n=2n-1.∴a1+b1=1,a3+b3=5.∴数列{a n+b n}的公差d=2.∴a n+b n=2n-1.∴b n=2n-1-a n=2n-1-2n-1.(2)由(1)得b n=2n-1-2n-1,∴T n=(1-20)+(3-21)+(5-22)+…+[(2n-1)-2n-1]=[1+3+5+…+(2n-1)]-(20+21+22+…+2n-1)=n2-2n+1.14.(2015江西吉安一模,文14,分组求和与并项求和,填空题)数列1,3,5,7,9,…的前n项之和等于.解析:数列1,3,5,7,9,…的前n项之和=[1+3+5+…+(2n-1)]+…=---=n2+1-.答案:n2+1-16.(2015广西梧州一模,文16,分组求和与并项求和,填空题)已知数列{a n}的通项公式为a n=n2cos(n∈N*),则S3n=.解析:∵a n=n2cos,∴a3n-2+a3n-1+a3n=---+9n2=-.∴S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3n-2+a3n-1+a3n)=--+…+-=9(1+2+…+n)-.答案:86错位相减求和1.(2015江西上饶重点中学一模,文20,错位相减求和,解答题)已知数列-的前n项和S n=1-3n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=n·a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)当n≥2时,-=S n-S n-1=1-3n-[1-3(n-1)]=-3,∴a n=-3n.当n=1时,a1=S1=-2不满足上式.∴a n=--(2)b n=n·a n=--T n=-2-2×32-3×33-…-n·3n,3T n=-6-2×33-3×34-…-n·3n+1,∴-2T n=-14-33-34-…-3n+n·3n+1=-2---+n·3n+1=--·3n+1.∴T n=-·3n+1.2.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文17,错位相减求和,解答题)已知数列{a n}中,a1=3,a2=5,且{a n-1}是等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=na n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)∵{a n-1}是等比数列且a1-1=2,a2-1=4,∴--=2.∴a n-1=2·2n-1=2n.∴a n=2n+1.(2)∵b n=na n=n·2n+n,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=(2+2×22+3×23+…+n·2n)+(1+2+3+…+n).令T=2+2×22+3×23+…+n·2n,则2T=22+2×23+3×24+…+n·2n+1,两式相减,得-T=2+22+23+…+2n-n·2n+1=---n·2n+1,∴T=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1.∵1+2+3+…+n=,∴T n=(n-1)·2n+1+.18.(2015江西红色六校二模,文18,错位相减求和,解答题)已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点(a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.数列{b n}满足b1=1,b n+1=b n+.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=a n·b n,求{c n}的前n项和S n.解:(1)由已知得a n+1=a n+1,即a n+1-a n=1,又a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,公差为1的等差数列.故a n=1+(a-1)×1=n.从而b n+1-b n=2n.∴b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=--=2n-1.(2)c n=n2n-n令T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, ①则2T n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1, ②①-②,得:-T n=2+22+23+…+2n-n×2n+1=---n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,由错位相减法可得T n=(n-1)·2n+1+2.从而S n=(n-1)·2n+1+2-.18.(2015江西宜春高安四校一模,文18,错位相减求和,解答题)已知单调递增的等比数列{a n}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{a n}前n项的和为S n,若数列{b n}满足b n=a n log2(S n+2),试求数列{b n}前n项的和T n.解:(1)设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,∵a3+2是a2,a4的等差中项,∴2(a3+2)=a2+a4.代入a2+a3+a4=28,得a3=8,∴解之得a1=2,q=2或a1=32,q=.又{a n}单调递增,∴a1=2,q=2.∴a n=2n.(2)由a n=2n,∴S n=-=2n+1-2.-∴S n+2=2n+1.∴b n=a n log2(S n+2)=2n·log22n+1=(n+1)2n.∴T n=2×21+3×22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,2T n=2×22+3×23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,∴-T n=2×21+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1=2+(21+22+…+2n)-(n+1)·2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1.=2+--∴T n=n·2n+1.18.(2015山西太原山大附中高三月考,文18,错位相减求和,解答题)已知函数f(x)=x2+bx为偶函数,数列{a n}满足a n+1=2f(a n-1)+1,且a1=3,a n>1.(1)设b n=log2(a n-1),求证:数列{b n+1}为等比数列;(2)设c n=nb n,求数列{c n}的前n项和S n.(1)证明:∵函数f(x)=x2+bx为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴b=0.∵a n+1=2f(a n-1)+1,∴a n+1-1=2(a n-1)2.∵b n=log2(a n-1),∴b n+1=1+2b n.∴b n+1+1=2(b n+1).∴数列{b n+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列.(2)解:由(1)可得,b n+1=2n,∴b n=2n-1.∴c n=nb n=n·2n-n.∴S n=1·2+2·22+…+n·2n-.令T=1·2+2·22+…+n·2n,2T n=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1.两式相减可得,-T n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2.∴T n=(n-1)·2n+1+2.∴S n=(n-1)·2n+1+2-.17.(2015甘肃兰州一中三模,文17,错位相减求和,解答题)数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是不为0的常数,n∈N*),且a1,a2,a3成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=-,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由已知可知a2=2+c,a3=2+3c.则(2+c)2=2(2+3c),∴c=2.从而有a n+1=a n+2n.当n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1) =2+2×1+2×2+…+2n=n2-n+2.当n=1时,a1=2适合上式,因而a n=n2-n+2.(2)∵b n=---,T n=b1+b2+…+b n=+…+---,T n=+…+--,相减可得,T n=+…+-=----.∴T n=1-.18.(2015黑龙江绥化一模,文18,错位相减求和,解答题)已知首项都是1的数列{a n},{b n}(b n≠0,n∈N*)满足b n+1=.(1)令c n=,求数列{c n}的通项公式;(2)若数列{b n}为各项均为正数的等比数列,且=4b2·b6,求数列{a n}的前n项和S n.解:(1)由题意得a n+1b n=a n·b n+1+3b n·b n+1,两边同时除以b n b n+1,得+3,又c n=,∴c n+1-c n=3.又c1==1,∴数列{c n}是首项为1,公差为3的等差数列.∴c n=1+3(n-1)=3n-2,n∈N*.(2)设数列{b n}的公比为q,q>0,∵=4b2·b6,∴q4=4·q6,整理,得q2=,∴q=.又b1=1,∴b n=-,n∈N*,a n=c nb n=(3n-2)×-,∴S n=1×+4×+7×+…+(3n-2)×-①∴S n=1×+4×+7×+…+(3n-2)×.②①-②,得:S n=1+3×+3×+…+3×--(3n-2)×=1+3…--(3n-2)×=1+3---(3n-2)×=4-(6+3n-2)×=4-(3n+4)×,∴S n=8-(6n+8)×.87裂项相消求和1.(2015吉林实验中学二模,文10,裂项相消求和,选择题)数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+a1+n,则+…+等于()A. B. C. D.解析:∵a n+1=a n+a1+n,a1=1,∴a n+1-a n=1+n.∴a n=a1+(a2-a1)+…+(a n-a n-1)=1+2+…+n=.则=2-,从而+…+=2--…-=2-.答案:B2.(2015广西柳州一模,文17,裂项相消求和,解答题)已知数列{a n}的前n项和为S n,且2S n=n2+n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=+2a n-1(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)∵数列{a n}的前n项和为S n,且2S n=n2+n,n≥2时,2S n-1=(n-1)2+(n-1),∴2a n=2S n-2S n-1=2n.∴a n=n(n≥2).又n=1时,a1=1适合上式.∴a n=n.(2)∵b n=+2a n-1=+2n-1=-+(2n-1),∴S n=---…-+(1+3+…+2n-1)=1-+n2=n2+1-.17.(2015江西九江一模,文17,裂项相消求和,解答题)已知等差数列{a n}中,a1=1,其前n项和S n满足=S n+2+4(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)已知等差数列{a n}中,其前n项和S n满足=S n+2+4(n∈N*).令n=1,则S5+S1=2S3+8,利用等差数列的前n项和公式,设公差为d,a1=1,则得到5a1+d+a1=2+8,解得d=2.所以a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)a n=2n-1,则b n=-=--T n=b1+b2+…+b n。