二项式定理(通项公式).
二项式定理(通项公式)
⑶ a o+a2+a4+a6=f(1) f(-1)
2 二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
(a b)n二C：a n Caf1"「C：b n,
以上展开式共n+1项，其中c k叫做二项式系数，T k d-C k a n J"b k叫做二项展开式的通项•
(请同学完成下列二项展开式)
(a-b)n =C：a n-叭叫1+||片(-1)k C n k a n±b k+"|+(-1)n C：b n，T“ = (-1)k C：a n」b k
(i+x)n=c：+c n x+in+c：x k+“i+c n x n①
(2x+1)n=C：(2x)n+C；(2x)n r |||+C：(2x)n」+H|C n」(2x)+1
二a n X n• a n」x nJ Jll a n±x nA■ Hla1x - a。
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到c° ■ c n JU Cn =2n，即二项式系数和等于2n；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即C：+ C；+111 = C：+ C； +| 11 = 2心
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
(1 )对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C：二C：」.
1 2 1
13 3】(2)二项式系数C：增减性与最大值：；
1 10 10 5 1
, , 1 (5 15 20 15 ^_?1 n+1 n+1 ■■ i-t i吗壮■
当k 时，二项式系数是递增的；当k 时，二项式系数是递减的. 1
2 2 .................................................................................................................... ..... ….. ...... ....
二项式定理通项公式
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开 式各项系数的和
解：∵( x －x22 )n展开式中的通项为 Tk+1=Cnk( x )n－k(－x22 )k=(－2)kCnk( x )n－5k
∴T5=T4+1=24Cn4x
n 2
－10
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
T3=T2+1=22Cn2x
n 2
－5
∴第五项的系数与第三项的系数分别为
24Cn4、22Cn2;
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开 式各项系数的和
由题意得：24Cn4∶22Cn2=10∶1
∴n2－5n－24=0；
解得 n=8 或 n=－3 (舍)。
9
的展开式中x3的系数。
解：展开式的通项是
Tr1
C9r x9r
1 x
二项式定理的通项公式
二项式定理的通项公式
二项式定理的通项公式为：
(a+b)n=C0nan+C1nan−1b+...+Cknan−kbk+...+Cnnbn=n∑k=0Cknan −kbk
各项的系数为Ckn，k=0，1，2,...,n，通项为Cknan−kbk。
对于(a+b)的n次幂，可以理解为n个a+b相乘，然后从每个从每个括号中取一项（非a即b）相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取b的个数分类，不取b的是Cn取0个再乘以a的n次幂，取n个b时就是Cn取n 再乘以n个b，也就是b的n次幂，再乘以a的0次（1）。
二项式定理的通项公式有很多重要的应用，比如在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。
二项式的通项公式
二项式的通项公式
二项式的通项公式，又称二项定理或二项展开式，是代数学中的一条
重要公式，用于展开一个二项式的幂。它是形如(a+b)ⁿ的二项式的展开结果。二项式的通项公式可以用有序对的方法、二项式系数的方法或二项式
定理的方法进行推导和解释。
首先我们来介绍一下二项式系数的方法。在二项式(a+b)ⁿ中，每一项
的系数都可以用二项系数来表示，记作C(n,k)，其中n表示指数的次数，k表示每一项中b的幂的次数。二项系数C(n,k)的计算方法如下所示：
1.当k等于0或k等于n时，C(n,k)等于1
2.当k小于0或k大于n时，C(n,k)等于0。
3.当k大于0且k小于n时，C(n,k)等于C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
通过上述计算规则，我们可以得到二项式的通项公式 (a + b)ⁿ =
C(n, 0)aⁿb⁰ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n, n-1)abⁿ⁻¹
+ C(n, n)a⁰bⁿ。
另一种解释二项式的通项公式的方法是使用二项式定理。二项式定理
指的是(a+b)ⁿ的展开公式，其中n是一个非负整数。二项式定理的表达式
如下所示：
(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿb⁰ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + ... +
C(n, n-1)abⁿ⁻¹ + C(n, n)a⁰bⁿ
这个公式可以通过数学归纳法来证明。当n等于1时，左边为(a + b)¹ = a + b，右边为C(1, 0)a¹b⁰ + C(1, 1)a⁰b¹ = a + b，两边相等。
二项式定理(通项公式)
二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k
k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ①
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01
2n n n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n
；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k
n C 增减性与最大值： 当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当1
2
n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n
二项式定理通项公式
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二项式定理通项公式
二项式定理(通项公式)
二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b
--+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k
n
C 叫做二项式系数，
1k n k k
k n T C a b
-+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n
n n n n a b C a C a b C a b C b
---=-++-+
+-，1
(1)k k n k k
k n T
C a b
-+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x
+=++
++
+
①
01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1
n n n k
n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110
n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+
②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到
01
2n
n
n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n
；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0
213
1
2n n
n n n C
C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n
n
C
C -=.
（2）二项式系数k
n
C 增减性与最大值：
当12n k +<时，二项式系数是递增的；当1
二项式定理(通项公式)
二项式定理
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1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k
n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ①
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01
2n
n n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n ；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即02
13
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k
n C 增减性与最大值： 当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当1
2
n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n
二项式定理(通项公式)
二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k
k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ① 01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01
2n n n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n
；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k
n C 增减性与最大值： 当12n k +<
二项式定理通项公式
二项式定理
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x
+=++
++
+
①
01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k
n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110
n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+
②
①
式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n
n n n n C C C +++=，即二项
式系数和等于2n ；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即
0213
12n n n n n C C C C -++
=++
=
②
式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.
（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当12
二项式定理--通项公式
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
注④：①○相邻(捆绑法)
②○不邻(插空法)
③○在与不在 ④○含与不含 ⑤○至多与至少
直接法 间接法
⑦○分配 均匀分配 非均匀分配
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1
wk.baidu.com
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
幂的运算性质
③ amn am an
④ amn am an
⑤ amn (am )n (an )m
①先理后数 ②先组后排 ③特殊优先 ④正难则反
两理两数四原则 十大题型递推法
①相邻——捆绑法
②不邻(相离) ——插空法
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二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k
k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ① 01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01
2n n n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n
；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k
n C 增减性与最大值： 当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当1
2
n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n
C -和12n n
C
+相等，且同
时取得最大值.
3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n
⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)
⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n
a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)
1()1(-+f f
⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=
2
)
1()1(--f f
经典例题
1、“n b a )(+展开式：
例1．求4)13(x
x +的展开式；
【练习1】求4)13(x
x -的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在
n 的展开式中，第6项为常数项.
（1） 求n ； （2）求含2
x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若
n 展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n
x -的展开式的二项式系数和大
992，求21(2)n
x x
-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项
[练习3]已知*22)()n n N x
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.
(1)求展开式中含32
x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．
7
2)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）3)21
(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ；
6、求中间项
例6求（103
)1
x
x -
的展开式的中间项；
例7 103
)1
(x
x -的展开式中有理项共有 项；
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项；
（3） 系数绝对值最大的项
例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；
【练习3】9
2
)21(x
x -展开式中9x 的系数是 ；