考虑模糊随机缺陷率且允许缺货的EOQ模型

第23卷第3期 2010年9月青岛大学学报(自然科学版)JOURNAL OF QINGDAO UNIVERSITY (Natural Science Edition)V o l.23N o.3Sep.2010 文章编号:1006 1037(2010)03 0082 04doi:10.3969/j.iss n.1006 1037.2010.03.018考虑模糊随机缺陷率且允许缺货的EOQ 模型*徐如乾1,胡月影2,汪盈盈1,季雅萍1,胡劲松1(青岛大学1.商学院管科系,山东青岛266071; 2.经济学院,山东青岛266071)摘要:考虑到实际库存管理中的产品缺陷问题,研究了含模糊随机缺陷率且允许缺货的经济订购批量模型,并运用模糊随机理论将其转化为确定模型,设计了模糊随机模拟仿真算法进而确定其最优订购策略。

算例分析表明,随着模糊随机缺陷率期望值的增大,最优订货量增大,最大利润相应减少。

关键词:库存;模糊随机变量;缺陷产品;允许缺货;经济订货批量中图分类号:F274文献标志码:A 经典的经济订购批量(EOQ)模型隐含地假设产品均完好,而实际情况并非如此。

由自然灾害、运输破损等原因,订购批量中会出现一定比例的缺陷产品,因此许多学者对含缺陷产品的库存系统进行了广泛的研究。

Salameh &Jaber [1]基于在对到货产品100%的检验后,将缺陷产品以某一折扣价格一次性出售的假设,揭示了随着缺陷率的增加,经济批量也将增大;Ero glu &Ozdemir [2]对[1]进行了拓展,考虑了允许缺货的库存模型。

文献[1 2]均在确定或随机环境下展开对含缺陷产品的库存问题的研究,然而当没有足够的数据,或历史数据是在不同的环境中获得的,甚至直接不存在历史数据时,传统的概率理论与统计方法不再适用。

为此,一些学者考虑了含模糊缺陷率的库存问题。

Chang [3]基于对到货产品100%的检验,且检出的缺陷产品以某一折扣价格一次性出售的假设,分别探讨了含模糊缺陷率和模糊需求量的EOQ 模型;郭彩云等[4]研究了含模糊缺陷率和价格折扣的EOQ 模型;王晓莉等[5]研究了允许缺货情况下含模糊缺陷率和模糊需求的EOQ 模型;郭彩云等[6]研究了模糊缺陷率的经济生产库存模型;胡劲松等[7]研究了含缺陷产品可修复的模糊生产库存模型。

在实际库存决策中,由于没有足够的样本数据来得到随机缺陷率的精确取值,需根据专家的经验主观估计确定,不同专家给出缺陷率的主观估计值往往是不同的,例如缺陷率 大 , 小 , 大约为0.01 , 在0.01到0.02之间 。

对于这种情况,将缺陷率描述为模糊随机变量更为现实。

此时缺陷率是一个从概率空间到模糊变量集合的函数,也就是说与Liu 等[8]定义的模糊随机变量一致。

鉴于此,本文在Erog lu &Ozdem ir 的基础上研究含模糊随机缺陷率且允许缺货的EOQ 模型,并运用模糊随机理论确定其图1 含缺陷产品的库存状态图最优订购策略。

1 模糊随机模型Eroglu 等[2]建立了确定环境下具有缺陷率且允许缺货的EOQ 模型,库存状态如图1所示。

模型中用到的符号如下:D 为单位时间需求量;y 为每一周期的订购批量;B 为允许的最大延期交货量;k 为每次订货成本;c 为单位可变成本;p 模糊随机缺陷率;s 为完好产品的单位销售价格;v 为缺陷产品*收稿日期:2010 05 18基金项目:国家自然科学基金资助项目(70671056);山东省自然科学基金项目(Y2008H 07)作者简介:徐如乾(1982 ),男,硕士研究生,研究方向:决策分析、供应链与物流管理。

通讯作者:胡劲松(1966 ),男,博士,教授,研究方向:决策分析、供应链与物流管理。

第3期徐如乾,等:考虑模糊随机缺陷率且允许缺货的EOQ模型的单位销售价格,v<c;c s为废弃产品的单位处理费;h为单位时间单位产品的持有成本; 为单位时间单位产品的延期交货成本; 为缺陷产品中废弃产品所占的比例;x为单位时间检验的产品数;d为单位检查费; E(!)为期望值算子;t1为形成延期交货量B的时间;t2为消除延期交货量B的时间;t3为检验y产品的时间;t为周期长度。

周期T=y(1-p)/D内的总成本为TC=(c+d+c s p)y+k+h22-D/xx+(1-p-D/x)2D y2-h(1-p)ByD+(h+ )(1-p)B22D(1-p-D/x)周期T内的总收益为T R=s(1-p)y+v(1- )p y当考虑缺陷率p为模糊随机变量时,可得单位时间模糊随机总利润T PU(y,B)=sD+p1-p [v(1- )D-Dc s -Dhxy]-1 1-p [D(c+d)+Dky]-(1-p)h2y-1x(1-p)-D (h+ )x B22y+hB利用文献[8]的期望理论求模糊随机模型的期望得:E[T PU(y,B)]=sD+E1[v(1- )D-Dc s -Dhxy]-E2[D(c+d)+Dky]-E3h2y-E4(h+ )x B22y+hB式中,E1=Ep1-p;E2=E11-p;E3=E[1-p];E4=E1x(1-p)-D。

定理 1)E[T PU(y,B)]为关于(y,B)的严格凹函数;2)最优订货量和最优缺货量分别为y*=2Dk E22DhE1x-h2E4(h+ )x+hE3;B*=hy*E4x(h+ )。

证明 对E[T PU(y,B)]求关于(y,B)的一阶和二阶偏导得:E[T PU(y,B)]y=-DhxE1+Dky2E2-hE32+E4(h+ )x B22y2;E[T PU(y,B)]B=h-E4(h+ )x By;2E[T P U(y,B)]y2=-2Dky3E2-E4(h+ )x B2y3<0;2E[T P U(y,B)]B2=-E4(h+ )xy<0;2E[T P U(y,B)]y B=E4(h+ )x By2由于2E[TPU(y,B)]2E[TPU(y,B)]2E[T PU(y,B)]y B2E[T PU(y,B)]B2=2D kE2E4x(h+ )y4>0,所以E[T P U(y,B)]为关于(y,B)的严格凹函数。

定理1得证。

令一阶偏导为零得定理2。

定理2得证。

结论1 当缺陷率为随机变量(!1=0,!2=0)时,本文退化为文献[2]的模型。

结论2 当缺陷率p=0时,t3=0,d=0,x∀#,E1=0,E2=1,E3=1,E4=0,有y*=2Dk(h+ )h;B*=hy*(h+ ),本文退化为产品无缺陷情形下允许缺货的EOQ模型。

83青岛大学学报(自然科学版)第23卷2 模糊随机模拟仿真在最优解B*,y*中,E1,E2,E3,E4是模糊随机变量的期望值。

现实中很难通过分析的方法计算出来。

因此引入文献[9]的模糊随机模拟对其进行估计。

给出如下过程:步骤1 初始化x,D。

步骤2 根据p的概率分布,在样本空间∀中随机产生w k,k=1,2,3,∃,N;N为样本空间的采样数。

步骤3 令e=0。

步骤4 在可能性样本空间#中随机产生 k,使p os{ k}%∃;k=1,2,3,∃,M;∃是一个足够小的正数, M为可能性空间的采样数。

步骤5 E1(w k)=p(w k)1-p(w k),E2(w k)=11-p(w k),E3(w k)=1-p(w k),E4(w k)=1x(1-p(w k))-D。

步骤6 令l i=m in{E i(w k)( k)}和u i=m ax{E i(w k)( k)},i=1,2,3,4。

步骤7 从[l i,u i]中随机产生r i,i=1,2,3,4。

步骤8 令L i=12maxk{v k&E i(w k)( k)%r i}+mink{1-v k&E i(w k)( k)<r i},i=1,2,3,4,式中L是C r{E i(w k)%r}的估计值。

步骤9 令e i=e i+L i,i=1,2,3,4。

步骤10 重复8~10步M次。

步骤11 令E[E i(w k)]=l i+e i(u i-l i)/M,i=1,2,3,4。

步骤12 重复3~10步N次。

步骤13 返回E i=1N∋Nj=1E[E i(w k)],i=1,2,3,4。

3 算例为了说明模型和仿真算法的有效性,采用文献[2]中的数据, D=15000,k=400,h=4, =6,x=60000,d=1,c=35,s=60, v=25, =0.2,c s=2,p服从均匀分布(0,0.1),对每一w,p(w)为三角形模糊数p(w)=(w-!1,w,w+!2),其中!1=0.01,!2= 0.02。

运用上节的求解过程得最优订货量y*=2147.3,最优缺货量B*=590.77,单位时间期望总利润E[T P U(y*,B*)]=335710。

同时分析了缺陷率对最优结果的影响(如表1)。

由表1可见,随着模糊随机缺陷率均值的增大,最优订货表1 缺陷率对最优结果的影响!1!2y*B*E[T PU] 0.040.022116.0600.62343620 0.030.022116.6599.86343400 0.020.022128.8596.55340300 0.010.022147.3590.77335710 0.010.032153.6589.43333790 0.010.042155.9589.68332840 0.010.052161.2588.50331040量增大,最优缺货量减少,最优利润相应减少。

当!1=0,!2=0时,得到的最优策略为文献[2]中的最优订货量y*=2128.1,最优缺货量B*= 595.59,单位时间期望总利润E[T PU(y*,B*)]=341117。

当p=0时,本文为允许缺货的EOQ模型即有最优订货量y*=2236.1;最优缺货量B*=894.42,单位时间期望总利润E[T PU(y*,B*)]=354037。

4 结论本文假设缺陷率为模糊随机变量,在文献[2]的基础上研究了含模糊随机缺陷率且允许缺货的E OQ模型,证明了期望利润函数的凸性,并给出了其最优订购策略的表达式,设计了模糊随机模拟仿真算法对数值84第3期徐如乾,等:考虑模糊随机缺陷率且允许缺货的EOQ模型85算例进行求解,结果分析说明随着缺陷率的增加,总利润减少。

未来可以考虑含模糊随机缺陷率的生产库存模型。

参考文献:[1] Salameh M K,Jaber M Y.Eco no mic pr oduction quantit y model for items wit h im perf ect quality[J].International Journal of P ro duction Economics,2000,64(1):59 64.[2] Er og lu A,Ozdemir G.A n economic or der quantit y mo del w ith defective items and shor tages[J].Internatio nal Jour nal o fP roduct ions Eco no mics,2007,106(2):544 549.[3] Chang H C.A n application o f fuzzy sets theor y to the EOQ mo del w ith imperfect quality items[J].Co mputers&Operatio ns Research,2004,31(12):2079 2092.[4] 王晓莉,胡劲松,张贞齐.含模糊缺陷率且允许缺货的EO Q模型研究[J].运筹与管理,2008,17(2):17 23.[5] 郭彩云,胡劲松.含价格折扣和模糊缺陷率的EO Q模型研究[J].青岛大学学报(自然科学版),2008,21(2):86 90.[6] 郭彩云,胡劲松,王磊.模糊环境下含缺陷率且允许缺货的经济生产批量模型[J].计算机集成制造系统,2008,14(11):2161 2166.[7] 胡劲松,郭彩云.含缺货且缺陷产品可修复的模糊生产库存模型[J].计算机集成制造系统,2009,15(5):932 938.[8] L iu Y K,L iu B.Fuzzy rando m var iables:A scalar expected v alue o perat or[J].F uzzy O pt imization and Decision M aking,2003,2(2):143 160.[9] L iu B.T heor y and practice o f uncertain pro gr amming[M].Heidelber g:Physica V erlag,2002.Economic Order Quantity Model with Fuzzy RandomDefective Rate and Allowable ShortagesXU Ru qian1,H U Yue ying2,WA N G Ying ying1,JI Y a ping1,H U Jin song1(1.Department o f Management Science and Eng ineering,Qingdao U niversity,Qingdao266071,China;2.College of Economics,Qing dao Univer sity,Qing dao266071,China)Abstract:co nsidering the problem of defective items in the actual invento ry m anagement,the econom ic or der quantity model w ith fuzzy random defective rate and backo rder is proposed.The model is transfered in to the crisp mo del w ith the fuzzy random theory.Optimal order po licy is obtained w ith fuzzy random simu lation alg orithm.Num er ical ex am ple show s that the optimal order quantity increases and maximization pro fit decreases as the expected value of fuzzy random defectiv e rate increase.Key words:inventory;fuzzy random variable;imperfect products;backo rder;economic or der quantity责任编辑:马述立英文校对:孔伟金。