03 函数的单调性与最值学案学生版
单调性与最值教案
单调性与最值教案教案标题：单调性与最值教学目标：1. 理解函数的单调性及其在数学中的应用；2. 掌握函数的最值的概念和求解方法；3. 能够运用单调性和最值的概念解决实际问题。
教学重点：1. 函数的单调性的定义和判断方法；2. 函数的最值的概念和求解方法。
教学难点：1. 如何利用函数的单调性确定函数的最值；2. 如何将单调性和最值的概念应用于实际问题的解决。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT；2. 学生准备：笔、纸、教材。
教学过程：Step 1: 引入知识 (5分钟)教师通过引发学生对单调性和最值的思考，提出以下问题：- 你们对函数的单调性有什么了解？- 你们知道如何求函数的最值吗？- 单调性和最值在数学中有什么应用？Step 2: 讲解单调性 (15分钟)教师通过PPT或板书的形式，讲解函数的单调性的定义和判断方法，并通过示例演示如何判断函数的单调性。
Step 3: 讲解最值 (15分钟)教师通过PPT或板书的形式，讲解函数的最值的概念和求解方法，并通过示例演示如何求函数的最值。
Step 4: 综合运用 (20分钟)教师通过实际问题的讲解，引导学生运用单调性和最值的概念解决问题。
学生可以配合教师的指导，尝试自己解决问题，并与同学进行讨论。
Step 5: 拓展应用 (10分钟)教师提供更复杂的问题，要求学生运用所学的单调性和最值的知识进行解决。
学生可以结合实际情境，进行分组讨论和解答。
Step 6: 总结归纳 (5分钟)教师对本节课的内容进行总结，并强调单调性和最值在数学中的重要性和应用。
Step 7: 作业布置 (5分钟)教师布置相关的练习作业，要求学生运用所学的知识解决问题，并在下节课前完成。
教学延伸：1. 学生可以通过实际问题的解决，拓展单调性和最值的应用领域；2. 学生可以自主查找更多的单调性和最值的例题进行练习。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和问题解决能力；2. 教师布置的作业可以检验学生对单调性和最值的掌握程度；3. 学生之间的讨论和合作可以评价他们对单调性和最值的理解和运用能力。
函数的单调性与最值+学案 高三上学期数学一轮复习
课题：函数的单调性与最值（一）课型：复习课课程标准：1. 借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值2.会求复合函数、分段函数的单调性以及最值。
学科素养：数学运算、数学逻辑重点：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性以及单调性难点：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性以及单调性教学过程：一．知识回顾：函数的单调性（1）增函数和减函数增函数减函数定义要求x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时要求f（x1）与f（x2）都有f（x1）＜f（x2）都有f（x1）＞f（x2）结论函数f（x）在区间I上是增函数函数f（x）在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f（x）的单调区间.函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D ，都有f（x）≤M；②∃x0∈D，使得f（x0）＝M①∀x∈D，都有f（x）≥M；②∃x0∈D，使得f（x0）＝M结论M是函数y＝f（x）的最大值M是函数y＝f（x）的最小值常用结论：1.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：（1）增+增=增。
减+减=减。
减-增=减，增-减=增；（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反.2.函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D（x1≠x2），则：（1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在D上单调递增；（2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在D上单调递减.3.复合函数同增异减4.分段函数的单调性（各段均递增或减，衔接点处也符合递增或递减）5.单调区间只能是区间不能是不等式，有多个单调区间时，不能用“ ”只能用“和”或“，”。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性的概念及判断方法，函数最大值和最小值的求法及应用。
2. 教学难点：函数单调性的判断方法，求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的单调性和最值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。
2. 教学案例：实际问题涉及函数单调性和最值的解答。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义，介绍判断函数单调性的方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的单调性解决实际问题，体会函数单调性的重要性。
4. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍求函数最大值和最小值的方法。
5. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的最值解决实际问题，体会函数最值的重要性。
6. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性：1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值：1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。
高中数学教案函数的单调性与最值
高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。
本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。
具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。
2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。
（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。
3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。
解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。
因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。
（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。
解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。
因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。
3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。
5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。
九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
《函数的单调性与最值》学案
学习过程一、复习预习1、函数的概念2、函数的三要素3、函数的表示方法二、知识讲解考点1 函数的单调性(1)单调函数的定义：(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．考点2 函数的最值三、例题精析【例题1】【题干】讨论函数f(x)＝axx2－1(a>0)的单调性【解析】由x 2－1≠0，得x ≠±1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．①当x ∈(－1,1)时，设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1,1)上为减函数． ②设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵1<x 1<x 2，∴x 21－1>0，x 22－1>0，x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数．又函数f (x )是奇函数，∴f (x )在(－∞，－1)上是减函数.【例题2】【题干】求函数y＝x2＋x－6的单调区间【解析】令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)【例题3】【题干】已知f(x)＝xx－a(x≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．【解析】]任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立．∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．【例题4】【题干】设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】由题意知，x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞四、课堂运用【基础】1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12【巩固】4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．【拔高】6．讨论函数f(x)＝mxx－2(m<0)的单调性．7．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.课程小结。
函数的单调性、极值、最值学案
--函数的单调性、极值、最值教案复习目标：一、基础知识及应用1．函数的单调性与导数（1）在某个区间(,)a b 内，'()0f x >，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； '()0f x <，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．'()0f x =⇔函数()y f x =在这个区间内是常函数．（2）求解函数()y f x =单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =；求方程f ′ (x )=0的根；③方程的根，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格；④ ∴函数在 是递增函数…..（3）如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．2、函数的极值与导数)（1）观察图象，不难发现，函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（由单调增函数变为减函数）这时在点P 附近，点P 的位置最高，即 比它附近的函数值--都大，我们称 为函数 的一个_极大值_____ 极小值。
极大值和极小值统称为极值。
)（1）)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
（2）求可导函数f (x )的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f ′ (x )②求方程f ′ (x )=0的根③方程的根，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格；④∴函数的极大值是………如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值。
3、函数的最值与导数（1）在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．（2）利用导数求函数的最值步骤①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值。
《函数的单调性与最大值》教学设计
《函数的单调性与最大值》教学设计教学设计：函数的单调性与最值一、教学目标：1.了解函数的单调性的概念，能够判断函数在一些区间内的单调性。
2.理解函数的最值的概念，能够求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.能够运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的单调性：A.单调递增与单调递减的概念及判断方法。
B.设计一些示例，让学生观察函数图像，并判断函数在一些区间内的单调性。
2.函数的最大值和最小值：A.最大值和最小值的概念及求解方法。
B.设计一些函数并给出定义域，让学生求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.实际问题的解决：A.设计一些实际问题，例如求解函数在一些时间段内的最大速度、最小成本等，让学生运用函数的单调性和最值的概念解决问题。
三、教学过程：1.引入：通过展示一个山峰的图片，并问：“在山峰的哪个位置有最高点？在山谷的哪个位置有最低点？”引导学生思考什么是最值。
2.导入函数的单调性概念：A.讲解函数的单调递增与单调递减的定义。
B.给出函数图像，让学生判断函数在一些区间内的单调性。
C.给出一些判断函数单调性的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。
3.引入函数的最值概念：A.讲解函数的最大值和最小值的定义。
B.给出一个函数图像，让学生找出函数在一些区间上的最大值和最小值。
C.给出一些求解函数最值的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。
4.实际问题的解决：A.给出一个实际问题，例如一辆汽车的速度随时间的变化函数，让学生运用函数的单调性和最值的概念求解汽车在一些时间段内的最大速度。
B.设计几个类似的实际问题，让学生分组讨论解决方法，并展示解决过程和答案。
5.小结与拓展：A.总结函数的单调性与最值的概念。
B.引导学生思考函数单调性与最值的应用领域，例如应用于经济学、物理学等领域。
C.布置相关的作业，要求学生运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
四、教学评价与反思：1.对于函数的单调性的判断，可以通过让学生观察函数图像，找出函数的增减规律，提高学生的图形观察能力。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。
4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。
函数单调性与最值(1)学案
1.3函数的单调性与最值（1）学案预习案（限时20分钟）学习目标：1.理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数单调性定义从正反两个角度分析、判断、证明函数单调性。
2. 探索函数单调性的符号语言表述，体会数形结合、分类讨论、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想.学习重点：理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数单调性定义证明函数单调性。
学习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：探究函数单调性定义观察下列函数图象：问题1：从图象上看，自变量x 增大时，函数f (x )的值如何变化？（提示：甲图中，函数f (x )的值随x 增大而增大,丙图从y 轴左侧和y 轴右侧分别讨论）问题2：甲、乙图中，若x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是什么？问题3：丙图中，若x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，则自变量x 属于哪个区间？2.单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)_________，区间D 叫做y ＝f (x )的__________.3. 函数单调性的判断方法有（1）________________；(2)________________.❖ 任务二：函数单调性证明 1.定义法是证明函数单调性最基本、最重要的方法，判断函数)(x f 在给定区间D 上的单调性的步骤是：（1）________________________；(2)___________________________；(3)___________________________；（4）_________________________；（5）__________________________________________________________.4. 若函数)(x f 在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增（减）函数，你能够认为函数)(x f 在B A 上 是增（减）函数吗？能举例说明吗？预习检测：１.下列命题正确的是（ ）Ａ．定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(,21b a x x ∈，使得21x x <时有)()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。
2020届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》学案
《函数的单调性与最值》学案一、学习目标：1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.二、知识梳理：1、函数的单调性：(1)单调函数的定义增函数 减函数定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的 两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x ) 在区间D 上是增函数 当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x ) 在区间D 上是减函数图象描述 自左向右看图象是 的 自左向右看图象是 的(2)设12,[,]x x a b ∈,且12x x ≠，那么①1212()[()()]0x x f x f x -->⇔1212()()0f x f x x x ->-⇔()f x 在[,]a b 上是增函数． ②1212()[()()]0x x f x f x --<⇔1212()()0f x f x x x -<-⇔()f x 在[,]a b 上是减函数． 2、函数的最值：三、基础自测1．(2018·北京模拟)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ． (4,)+∞3．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．[易错提醒](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．四、典型例题[例1] (2018·广东佛山联考)讨论函数f (x )＝ax x 2－1(a >0)在(－1,1)上的单调性．[例2] 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．2(,1)3C ．2(,)3+∞ D ．(1,)+∞[变式1] 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0D.⎣⎡⎦⎤－14，0[变式2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．[变式3] 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (a )>f (b ) D ．f (c )>f (b )>f (a )[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[例3] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(4)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数方法步骤 单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值 导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值【函数的最值】巩固练习：1．函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈⎣⎡⎦⎤181，9的值域为________．2．(2018·湖北八校联考)设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( ) A.23 B.38 C.32 D.833．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．5．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．6．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．。
《函数的单调性与最值》学案
《函数的单调性与最大（小）值》学案1一、课前预习新知（一）预习目标：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
（二）预习内容：阅读教材填空：1．增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数．2．减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是减函数．注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2)．3．数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间二、课内探究新知（一）学习目标（1）理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.（2）掌握增（减）函数的证明和判别.（3）学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
（二）学习过程1．核对预习学案中的答案 2．完成下列问题画出下列函数的图象，并根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性：（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x（3）12)(2++=x x x f （4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x（5）x 2=y （6）x 2=y ]2,0(02[⋃-∈），x3.例题例1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？变式训练1. 课本相应练习题例2.物理学中的玻意耳定律P=V k（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强P 将增大．试用函数的单调性证明之．变式训练2.证明函数x x y 1+=在（1，+∞）上为增函数.思考：画出反比例函数x y 1=的图象．①这个函数的定义域是什么？②它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论．（三）当堂检测1．函数111--=x y （ ）A ．在()+∞-,1内单调递增B ．在()+∞-,1内单调递减C ．在()+∞,1内单调递增D ．在()+∞,1内单调递减2．函数[)+∞∈++=,0,2x c bx x y 是单调函数的充分条件是（ ） Ａ.0≥bB. 0≤bC.0>bD.0<b3. 函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ．),1[),,0[+∞+∞4.已知函数()5222+-+=x a x y 在区间()+∞,4上是增函数，则实数a 的取值范围是________.5．函数()13+-=x x f 在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．三、课后练习巩固新知1.若函数b ax y +=2在区间[]1,3--上是增函数，那么该函数在区间[]3,1上是（ ）A.减函数B. 增函数C. 部分递增部分递减D.不存在单调性2.函数2x y -=在区间()+∞∞-,上是（ ）A. 增函数 B ．既不是增函数又不是减函数 C ．减函数D ．既是增函数又是减函数3.若函数()b x k y ++=12在()+∞∞-,上是减函数，则（ ）A ．21>kB ．21<kC ．21->kD ．21-<k4.下列函数中，在()0,∞-内是减函数的是（ ） A ．21x y -=B ．x y 11+=C ．13+=x yD ．()21+=x y5.函数()542+-=mx x x f 在区间[)+∞,2上是增函数，在区间(]2,+∞-上是减函数，则m 的值为（ ）A ．8B ．16-C ．8-D ．16 6.考察函数：①,x y =②,x x y =③,2xx y -=④,xxx y +=在()0,∞-上为增函数的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．④和①7.函数1)(2++=px x x f 对任意x 均有)1()1(x f x f -=+，那么)1(),1(),0(f f f -的大小关系是( )A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-8．已知()x f 是定义在(－2，2)上的减函数，并且()()011>---m f m f ，求实数m 的取值范围．9．函数()x f 对0>x 有意义，且满足()()()()()x f y f x f xy f f ,,12+==为增函数.（1）求证：()01=f ；（2）求()4f ；（3）如果()()23≤-+x f x f ，求x 的范围 .参考答案：1.解：答案为A. 因b ax y +=2的图象关于y 轴对称，在对称区间上的增减性相反，故在区间[]3,1上是减函数。
总复习教案：函数的单调性与最值(学生版)
第三节函数的单调性与最值[知识能否忆起]一、函数的单调性 1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值[小题能否全取]1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．(教材习题改编)函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.434．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．函数单调性的判断典题导入[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．以题试法1．判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．求函数的单调区间典题导入[例2] (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)若本例中f (x )＝2－|x |变为f (x )＝log 2|x |，其他条件不变，则f k (x )的单调增区间为________．由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．以题试法2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)单调性的应用典题导入[例3] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.由题悟法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．以题试法3．(1)(2013·孝感调研)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________.1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17D ．253．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 27．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．8．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．9．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝a 1－2x －x 2(a >0且a ≠1)．11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.323．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．1．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．2．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax －y ＋2)＝1，a ∈R}，若A ∩B ＝∅，试确定a 的取值范围．。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标知识与技能：1. 理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性；2. 掌握函数的最值的概念，能够求出函数的最值；3. 学会运用函数的单调性和最值解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察函数图象，探究函数的单调性和最值；2. 利用数学软件或图形计算器，验证函数的单调性和最值的计算结果。
情感态度价值观：1. 培养学生的数学思维能力，提高学生对函数学科的兴趣；2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容第一课时：函数的单调性1. 引入单调性的概念，讲解单调性的定义和判断方法；2. 通过举例，让学生理解单调性的性质和应用。
第二课时：函数的最值1. 引入最值的概念，讲解最值的定义和求法；2. 通过举例，让学生理解最值的性质和应用。
第三课时：函数的单调性和最值的综合应用1. 通过实例，让学生学会运用单调性和最值解决实际问题；三、教学重点与难点重点：1. 函数的单调性的判断和应用；2. 函数的最值的求法和应用。
难点：1. 函数的单调性的证明；2. 函数的最值的计算方法。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的单调性和最值；2. 利用数学软件或图形计算器，进行函数图象的演示和验证；3. 通过实例，让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对函数单调性和最值的理解程度；2. 课后作业：布置有关函数单调性和最值的练习题，检验学生的掌握情况；3. 实践应用：让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题，评价学生的应用能力。
六、教学准备1. 教学PPT：制作包含函数单调性和最值概念、判断方法和求法的内容；2. 教学素材：收集一些有关函数单调性和最值的实例；3. 数学软件或图形计算器：用于演示和验证函数图象及单调性和最值的计算。
七、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引入本节课的学习主题——函数的单调性与最值；2. 讲解与演示：通过PPT和教学素材，讲解函数的单调性和最值的概念、判断方法和求法；3. 实践操作：让学生利用数学软件或图形计算器，进行函数图象的演示和验证；4. 例题解析：分析实例，引导学生学会运用函数的单调性和最值解决实际问题；5. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解题方法；八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对函数单调性和最值概念的理解程度；2. 学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力；3. 教学方法的适用性和改进措施；4. 学生课堂参与度和反馈意见。
函数的单调性与最值教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数的单调性与最值
教学重点1、理解并掌握函数的单调性所涉及的知识点，并可以灵活运用所学知识解题
2、理解并掌握函数的最值所涉及的知识点，并可以灵活运用所学知识解题
教学难点1、证明一个函数的单调性
2、求解分段函数的最值
教学目标1、掌握函数的单调性的知识点，并能灵活解题
2、掌握函数最值的知识点，并能灵活解题
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数的单调性
知识点二：函数的最值
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
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函数的单调性与最值
导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．
自主梳理 1．单调性
(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．
(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2
x 1－x 2
>0⇔f (x )
在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2
x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．
(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．
(4)函数y ＝x ＋a x
(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x
(a <0)在______________上单调递增．
2．最值
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．
自我检测
1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减
D ．先减后增 2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )
A ．f (a )<f (2a )
B ．f (a 2)<f (a )
C ．f (a 2＋a )<f (a )
D ．f (a 2
＋1)>f (a ) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )
A ．y ＝1－2x
B ．y ＝x －1
C ．y ＝－x 2
＋2x D ．y ＝5
4．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )
A ．f (x 1)<f (x 2)
B ．f (x 1)>f (x 2)
C ．f (x 1)＝f (x 2)
D ．不能确定
5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2
－4x ＋c 的值域为 ( )
A ．[c,55＋c ]
B ．[－43＋c ，c ]
C ．[－4
3
＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ]
探究点一 函数单调性的判定及证明
例1 设函数f (x )＝x ＋a
x ＋b
(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．
变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋)
(1
x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．
探究点二 函数的单调性与最值
例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
，x ∈[1，＋∞)．
(1)当a ＝1
2
时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a
2
在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
探究点三 抽象函数的单调性
例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，
f (1)＝－2
3
.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2
)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的单调性；
(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.
分类讨论及数形结合思想
例 (12分)求f (x )＝x 2
－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】
1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．
2．若函数f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．
(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性． (3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与
)
(1
x f 具有相反的单调性． (4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．
(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2
－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．(2011·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2
， x <0，
若f (2－a 2
)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x
，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2
＋2ax 与g (x )＝
a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )
A ．一定大于0
B ．一定小于0
C ．等于0
D ．正负都有可能 二、填空题(每小题4分，共12分)
6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．
①y ＝[f (x )]2
是增函数；②y ＝1f x
是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．
8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x
的最小值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1
|x |
.
(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
10．(12分)已知f (x )＝x 2
＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．
11．(14分)(2012·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈
[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f b
a ＋b
>0成立．
(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1
x －1)；
(3)若f (x )≤m 2
－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．。