03 函数的单调性与最值学案学生版

函数的单调性与最值

导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．

自主梳理 1．单调性

(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．

(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2

x 1－x 2

>0⇔f (x )

在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2

x 1－x 2

<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．

(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．

(4)函数y ＝x ＋a x

(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x

(a <0)在______________上单调递增．

2．最值

一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．

自我检测

1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x

在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2

＋bx 在(0，＋∞)上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减

D ．先减后增 2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )

A ．f (a )

B ．f (a 2)

C ．f (a 2＋a )

D ．f (a 2

＋1)>f (a ) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )

A ．y ＝1－2x

B ．y ＝x －1

C ．y ＝－x 2

＋2x D ．y ＝5

4．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1

A ．f (x 1)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．不能确定

5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2

－4x ＋c 的值域为 ( )

A ．[c,55＋c ]

B ．[－43＋c ，c ]

C ．[－4

3

＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ]

探究点一 函数单调性的判定及证明

例1 设函数f (x )＝x ＋a

x ＋b

(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．

变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋)

(1

x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．

探究点二 函数的单调性与最值

例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a

x

，x ∈[1，＋∞)．

(1)当a ＝1

2

时，求函数f (x )的最小值；

(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．

变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a

2

在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．

探究点三 抽象函数的单调性

例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，

f (1)＝－2

3

.

(1)求证：f (x )在R 上是减函数；

(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2

)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；

(2)判断f (x )的单调性；

(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.

分类讨论及数形结合思想

例 (12分)求f (x )＝x 2

－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】

1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：

(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．

2．若函数f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．

(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性． (3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与

)

(1

x f 具有相反的单调性． (4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．

(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2

－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

2．(2011·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2

， x <0，

若f (2－a 2

)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x

，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2

＋2ax 与g (x )＝

a

x ＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－1,0)∪(0,1]

C ．(0,1)

D ．(0,1]

5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )

A ．一定大于0

B ．一定小于0

C ．等于0

D ．正负都有可能 二、填空题(每小题4分，共12分)

6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．

7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．

①y ＝[f (x )]2

是增函数；②y ＝1f x

是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．

8．设0

的最小值是________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1

|x |

.

(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．

10．(12分)已知f (x )＝x 2

＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．