应用力学 学习情境四梁的弯曲内力与强度计算
合集下载
梁弯曲内力及强度计算
车削工件
材料力学
火车轮轴
材料力学
弯曲特点
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 受力特点：外力垂直于轴线 变形特点：轴线由直线变成曲线
材料力学
常见弯曲构件截面
材料力学
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
材料力学
§6-2 受弯杆件的简 梁的载荷与支座 化
+
_
左上右下为正；反之为负 截面上的弯矩使得 梁呈凹形为正；反之为负。
+
左顺右逆为正；反之为负
_
材料力学
求图示简支梁E 截面的内力 解：1. 确定支反力
FAy
2. 用截面法研究内力
FSE ME FAy
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 5F F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5F 3a 2 F M E ME 0 2 3 2 3Fa ME 2 材料力学
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
FSE FBy
F 3
M
o
0
3a M E FBy Fa 2 3Fa ME 2
81qa2/32 M
（ +）
qa2
B点的弯矩为 -1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
材料力学
qa MA
弯曲变形的强度条件和强度计算
弯曲变形的强度条件和强度计算当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。
如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。
如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。
本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。
图1 平面弯曲一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。
为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。
图2 剪力的正负图3 弯矩的正负例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力=∑C M：0310126=⨯--⋅AyF，kN7=AyF=∑Y：010=-+ByAyFF，kN3=ByF（2）列内力方程剪力：⎩⎨⎧<<-<<=63kN33kN7)(S xxxF弯矩：⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=633mkN)6(3mkN127)(xxxxxM（3）作剪力图和弯矩图二、梁弯曲时的正应力在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。
若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。
本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。
梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。
图4 梁弯曲时的正应力分布图即有yIxMz)(=σ（1）中性轴把截面分成受拉区和受压区两部分，且最大拉应力和最大压应力发生在上下边缘处，其值为max max y I Mz=σ。
令max y I W z z=，即有：zW M =max σ （2）式中，W z 称为抗弯截面系数，它与横截面的几何尺寸和形状有关，量纲为[长度]3，常用单位为mm 3或m 3。
梁弯曲时的强度计算
max
2、正应力强度条件
max
M max Wz
3、正应力强度计算 ①强度校核： M
max
max
Wz
②设计截面：
Wz
M max
max
③确定许可荷载：MFra bibliotek Wz
三、正应力强度条件
1、危险点的应力——最大正应力 弯矩绝对值最大的截面称为危险截面，危 险截面上最大正应力的点（截面的上下边缘） 称为危险点。 Iz 令： Wz 则： M
max
Wz ymax 式中 Wz 称为抗弯截面模量，它是一个与截面形状和 3 mm3 尺寸有关的几何量，单位为 m 或
工程中常见弯曲实例
中 性 层 与 中 性 轴 图 示
二、梁横截面上的正应力 梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性 轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高 度按线性规律分布。中性轴上各点的正应力为 零。上、下边缘正应力最大。
My Iz
——梁横截面上的正应力
y——所求正应力的点到中 性轴的垂直距离 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
梁横截面上的正应力y所求正应力的点到中性轴的垂直距离横截面对中性轴的惯性矩三正应力强度条件1危险点的应力最大正应力弯矩绝对值最大的截面称为危险截面危险截面上最大正应力的点截面的上下边缘称为危险点
§6—7 梁弯曲时的强度计算
水利工程系 丁灿辉
一、基本概念
1、纯弯曲与横力弯曲 平面弯曲时，某梁段各横截面上只有弯矩而没有 剪力，这种弯曲称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪 力则称为横力弯曲。 2、中性层与中性轴 假设梁是由无数层纵向纤维组成的，且各层纤维 互不挤压。发生纯弯曲时，上部各层纤维缩短，下 部各层纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不 缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中 性轴。中性轴将横截面分为受压区和受拉区。
材料力学——4梁的弯曲内力
YO P ; MO PL
YO Fs(x)
x
②写出内力方程
P
Fs ( x) YO P
–PL
x
M ( x ) YO x M O P( x L )
M ( x)
x
③根据方程画内力图
18
q
解：①写出内力方程
x Fs(x)
L Fs(x)
M ( x)
Fs ( x) qx
1 M ( x ) qx2 2
M (P 1P 2 P n ) M1(P 1) M2(P 2 ) M n ( P n)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法 步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
6
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
1.25 –
q=2kN/m
1 x
34
+
M(kN· m)
1
§4–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。 2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
YO Fs(x)
x
②写出内力方程
P
Fs ( x) YO P
–PL
x
M ( x ) YO x M O P( x L )
M ( x)
x
③根据方程画内力图
18
q
解：①写出内力方程
x Fs(x)
L Fs(x)
M ( x)
Fs ( x) qx
1 M ( x ) qx2 2
M (P 1P 2 P n ) M1(P 1) M2(P 2 ) M n ( P n)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法 步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
3. 支座简化
6
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
+
1m 3 – 2m
+
1m
x
5kN
1kN
1.25 –
q=2kN/m
1 x
34
+
M(kN· m)
1
§4–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。 2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
弯曲内力与强度计算
弯矩、 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
的变化规律,归纳如下： 内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下： 载荷
q( x) = 0 q =C >0 q =C <0
F
Mo
水平直线
FQ −图 + or 上斜直线 下斜直线
斜直线
F
(剪力图 剪力图 无突变) 无突变
M −图
or
下凸 抛物线
上凸 抛物线
F处有尖角 处有尖角
2、梁分段：为AC,CD,DB,BE四段； 3、绘图：从左向右逐段作Q图和M图； 检验Q最后与右端P2值相等,结果无误；
M极值点的确定:（由三角形的相似比） x 3 x 3 3×4 ( = ), = ∴ x = ( ; ) = 3m; 4−x 1 4 4 1+ 3 1 M F = 20 + × 1 × 1 = 20.5kN .m 2
Q
3、求2-2截面上的内力：取右半段研究
M
RA
∑Y
= 0,Q2 + R B = 0
'
Q 2 = −R B = −9kN
矩心o’—2-2截面形心
RB
∑ Mo
= 0, R B × 1.5 − M 2 = 0
M 2 = 1 .5 R B = 1 3 .5 k N ⋅ m
三、直接法求梁的内力：
（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所 有外力沿截面方向投影的代数和；
外力情况 剪力图上的特 征 弯矩图上的特 征 最大弯矩可 能 的截面位置 q<0(向下 向下) 向下 向下斜直线) ↘(向下斜直线 向下斜直线 (下凸抛物线 下凸抛物线) 下凸抛物线 无荷载段 水平线 斜直线 集中力F作用处： 集中力偶M作用 集中力 作用处： 集中力偶 作用 作用处 处： 突变， 突变，突变值 为F 有尖点 不变 有突变，突变值 突变， 为M 弯矩突变的某一 侧
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力是指由于外力矩作用，使梁 发生弯曲变形时，在梁的横截面上产 生的应力。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
梁的弯曲--强度计算
20
∴梁安全
例10 已知[ ]=170MPa，[ ]=100MPa，选择槽钢型号。
解：
F2=60 kN C z 1 y
FAy=160 kN F By=160 kN
F1=200 kN D B 3 1
F2 E
1.求支反力
2.作FQ、M图
A 3m
FQ max 100 kN M max 240 kN m
100 kN 60 kN FQ 60 kN 100 kN 240 kN .m
M 60 kN .m 60 kN .m
例10 已知[ ]=170MPa，[ ]=100MPa，选择槽钢型号。 解： 3.按正应力强度条件 选择截面
y
FAy=160 kN F By=160 kN
F2=60 kN C z 1 3m A D
F1=200 kN B 3 1
F2 E
M max 由 [ ]得到 Wz M max 240 103 3 m Wz 6 [ ] 170 10 1.412 10 3 m 3 1412 cm 3
对于一根槽钢
100 kN 60 kN FQ 60 kN 100 kN 240 kN .m
200 303 30 1703 Iz 200 30 46 2 30 170 542 mm 4 12 12 403 105 mm 4
例 9 已知
[ t ] 40 MPa, [ c ] 100 MPa,
30 200
y2 =61 A z y1 =139 z1 y 30
Wz Wz 706 cm 3 2
查表取：No. 36c，其
M 60 kN .m 60 kN .m
Wz 746 cm 3
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
工程力学梁的弯曲应力与强度计算
工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 ? max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
? max
?
M max ymax Iz
Wz ?
Iz ymax
? max
?
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为 m3。
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
? FN ?
? dA
A
? ? M y ?
z? dA
? dA ? 0
A
(c)
? M y ?
z? dA ? 0
A
(d)
? M z ?
y?
A
dA ?
Me
(e)
将式 ? ? E y 代入式(c)，得 ?
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 ? max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
? max
?
M max ymax Iz
Wz ?
Iz ymax
? max
?
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为 m3。
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
? FN ?
? dA
A
? ? M y ?
z? dA
? dA ? 0
A
(c)
? M y ?
z? dA ? 0
A
(d)
? M z ?
y?
A
dA ?
Me
(e)
将式 ? ? E y 代入式(c)，得 ?
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。
工程力学精品课程-梁的弯曲内力PPT课件
BB
A+
A 1m C
C+
D
D+
得 R=4.75 （KN） 2)用截面法求各段梁关键截面的内力 CD BD
1m
1m
段
AC
横截面
Q
A+
4.75(KN)
C+
-5.25(KN)
B0
D+
1(KN)
段
AC
CD
BD
横截面
M
A+
0
C
C
D
B0
D
-0.5(KNm)
4.75(KNm) 4.75(KNm) -0.5(KNm)
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
F R q AC Q 0
Y A
Q 10 － 20 0 . 2 6 ( KN ) （C截面上剪力的实际方向向下）
q A ＲALeabharlann C M Q又由平衡条件m ( F ) 0
C
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
x m R x qx M 0 o A 2
x ql q2 M R x qx x x A 2 2 2
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
例7—4．图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力：
ＲA a x1 l P C b x2 ＲB B
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆 件将产生弯曲变形 以弯曲为主要变形的构件，称为梁
A+
A 1m C
C+
D
D+
得 R=4.75 （KN） 2)用截面法求各段梁关键截面的内力 CD BD
1m
1m
段
AC
横截面
Q
A+
4.75(KN)
C+
-5.25(KN)
B0
D+
1(KN)
段
AC
CD
BD
横截面
M
A+
0
C
C
D
B0
D
-0.5(KNm)
4.75(KNm) 4.75(KNm) -0.5(KNm)
由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
F R q AC Q 0
Y A
Q 10 － 20 0 . 2 6 ( KN ) （C截面上剪力的实际方向向下）
q A ＲALeabharlann C M Q又由平衡条件m ( F ) 0
C
可知
C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称为弯矩，以M表示。
x m R x qx M 0 o A 2
x ql q2 M R x qx x x A 2 2 2
由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图
例7—4．图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力：
ＲA a x1 l P C b x2 ＲB B
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆 件将产生弯曲变形 以弯曲为主要变形的构件，称为梁
梁的弯曲应力与强度计算45页PPT
计算
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
梁的应力及强度计算—提高梁弯曲强度的措施(建筑力学)
提高梁弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素
max
M max Wz
[ ]
设法减小梁内的最大工作正应力，提高梁的承载能力，提高梁的弯曲强度。
1.改善梁的受力情况，以降低最大弯矩Mmax的值； 2.采用合理的截面形状，以提高Wz的数值，使材料得到充分利用。
提高梁弯曲强度的措施
1.降低最大弯矩Mmax的措施 （1）合理布置荷载作用位置及方式
My2
cmax IZ y2 c t max My1 y1 t
IZ
提高梁弯曲强度的措施
3.采用等强度梁（合理设计梁的外形）
在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁相应设计成变截面的。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
等强度梁——各个横截面具有同样强度的梁。
＝M (x) max W (x)
或
W
(
x)＝
M (x)
（2）采用W/A值大的截面形状 直径为h的圆截面
高为h宽为b的矩形截面
h 3
W 32 h 0.125h
A h 2 8
4
W
1 6
h
0.167h
A bh 6
高为h的槽形或工字形钢截面
W (0.27 ~ 0.31)h A
从正应力的分布规律可知：当距中性轴最远点处应力达到相应许用应力时，
中性轴上或附近的应力分别为零或较小，这部分材料没有充分发挥作用，故应
提高梁弯曲强度的措施
2. 采用合理的截面形状 合理截面形状——指用较少材料获得最大的Wz值。
（1）当截面面积和形状相同时，采用合理的放置方式。
竖放时Wz（b）与横放时Wz（c）比值 因此，矩形截面梁竖放比平放合理。
Wz (b) (bh2 ) /(hb2 ) h 1 Wz (c) 6 6 b
弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素
max
M max Wz
[ ]
设法减小梁内的最大工作正应力，提高梁的承载能力，提高梁的弯曲强度。
1.改善梁的受力情况，以降低最大弯矩Mmax的值； 2.采用合理的截面形状，以提高Wz的数值，使材料得到充分利用。
提高梁弯曲强度的措施
1.降低最大弯矩Mmax的措施 （1）合理布置荷载作用位置及方式
My2
cmax IZ y2 c t max My1 y1 t
IZ
提高梁弯曲强度的措施
3.采用等强度梁（合理设计梁的外形）
在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁相应设计成变截面的。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
等强度梁——各个横截面具有同样强度的梁。
＝M (x) max W (x)
或
W
(
x)＝
M (x)
（2）采用W/A值大的截面形状 直径为h的圆截面
高为h宽为b的矩形截面
h 3
W 32 h 0.125h
A h 2 8
4
W
1 6
h
0.167h
A bh 6
高为h的槽形或工字形钢截面
W (0.27 ~ 0.31)h A
从正应力的分布规律可知：当距中性轴最远点处应力达到相应许用应力时，
中性轴上或附近的应力分别为零或较小，这部分材料没有充分发挥作用，故应
提高梁弯曲强度的措施
2. 采用合理的截面形状 合理截面形状——指用较少材料获得最大的Wz值。
（1）当截面面积和形状相同时，采用合理的放置方式。
竖放时Wz（b）与横放时Wz（c）比值 因此，矩形截面梁竖放比平放合理。
Wz (b) (bh2 ) /(hb2 ) h 1 Wz (c) 6 6 b
第六章：梁弯曲时的内力和应力
FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）分段绘制剪力图和弯矩图 （4）最大剪力和最大弯矩
例4 简支梁受均布荷载作用如图所示，求梁的剪力方程和弯矩方 程，画Q、M图，确定最大剪力和弯矩。
解：（1）计算支座反力 R A RB ql
（2）列剪力方程和弯矩方程
Q( x) R A qx
M ( x) R A x
1 2
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
——
简捷法——利用微分关系和M图、Q图之间的规 律 作M图、Q图 解题步骤：
（1）计算支座反力 （2）分段：按力、力偶作用点或分布力的分布长度的终点 来分。 （3）用规律判断各段Q、M形状。 （4）用截面法计算各段端点的Q、M值。 （5）分段描点连线。
（4）最大剪力 最大弯矩
5.单跨梁在简单荷载 作用下的内力图 特点与规律
三．运用简捷作图法绘制梁的剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图的规律：
（1）梁上没有均布荷载作用的部分，剪力为常数，剪力图为水平线，弯矩图为 倾斜直线。弯矩图线的倾斜度就是剪力值， 当该段Q = 0，弯矩图为水平直线； 当该段Q = 常数且Q > 0，弯矩图从左向右为下斜线； 当该段Q = 常数且Q < 0，弯矩图从左向右为上斜线. （2）梁上有向下作用均布荷载的部分， Q图为斜直线，且由左上向右下倾斜； M图为抛物线，均布荷载向下时抛物线凸向下。 （3）在集中力作用处， Q图上有突变，突变之值即为该处集中力的大小，突变 的方向与集中力方向一致；弯矩图上在此出现尖角。 （4）梁上集中力偶作用处， Q图不变， M图有突变，突变的值即为该处集中力 偶的力偶矩。若力偶为顺时针转向， M图向上突变；若力偶为逆时针转向， M图向下突变（从左至右）。 （5）绝对值最大的弯矩总是出现在：Q = 0 的截面；集中力作用处；集中力偶 作用处。
1 ql qx (0<x<l ) 2
1 2 1 1 qx qlx qx 2 (0≤x ≤l ) 2 2 2
（3）绘剪力图和弯矩图
x 0, Q
1 ql 2
1 x l , Q ql 2
x 0, M 0
x
x l, M 0
1 1 l , M ql 2 2 8
主梁——是承担整个建筑物
的结构安全的主要骨架， 是满足强度和稳定性要求 的必须构件，它更侧重强度要求。 主梁支座在柱上。
次梁
主 梁
次梁——是为了满足建筑要求
（如功能区划分）及主梁、柱等 的有效连接而设的次要骨架， 它更侧重构造要求。
传力特点：荷载从板传到次梁再传到主梁，再由主梁传到柱子。
所以一般主梁是是搭接在柱子上，而次梁是搭接在主梁上。
结构特点：次梁一般和主梁铰接。主梁和柱子刚接 。
工程中的梁结构——梁桥
学习任务一 绘制梁的剪力图与弯矩图
任务描述： 外伸梁A端作用一集中力qa,BC段作用均布荷载， 荷载集度为q。试绘制外伸梁的剪力图和弯矩图。 并确定内力最大的截面。
学习目标
1. 能够列举一例工程实际中的弯曲变形问题； 2. 能够认识三种单跨梁及绘制相应简图； 3. 会应用截面法计算单跨梁任一横截面上的剪力 和弯矩； 4. 用荷载集度q、剪力Q（x）、与弯矩M(x)的微 分关系绘制剪力图、弯矩图。
应用力学
学习情境四 梁的弯曲内力 与强度计算
学习情境四 梁的弯曲内力与强度计算
学习任务一 学习任务二 学习任务三 学习任务四 学习任务五 绘制梁的剪力图与弯矩图 纯弯曲梁横截面上的正应力计算 常用截面的惯性矩计算 梁的正应力强度条件应用 提高梁弯曲强度的措施
学习情境四 梁的弯曲内力与强度计算
工程中的梁结构——弯曲主次梁
弯矩图上任一点的纵坐标表示与此点相对应的梁横截面上的弯矩值。 土建工程中，习惯上把而弯矩规定画在梁受拉的一侧。 规定：正弯矩使梁的下部受拉，正弯矩画在x 轴下边； 负弯矩使梁的上部受拉，负弯矩画在 x 轴上边。
例1 悬臂梁受集中力作用如图所示。列出梁的 剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图， 并确定剪力和弯矩的最大值。
分析：用截面法求图示简支梁在外力作用下 n-n 截面上的内力。 （1）截开：假想沿n-n截面将梁截 开成两部分。 （2）代替：保留左段或右段。在 截面上标出未知的内力。 （3）平衡：保留左段列平衡方程。
2.剪力和弯矩的符号规定： 剪力：使梁截面微段顺时针为正。
弯矩：使梁截面微段下凸为正。
3.剪力方程和弯矩方程 梁横截面上的剪力和弯矩都是随截面的位置不同而变化。
Q Q( x) ——剪力方程
M M ( x) ——弯矩方程
4.剪力图和弯矩图 剪力图——表示梁的各横截面上剪力 Q 沿梁轴线变化规律。
剪力图上任一点的纵坐标表示与此点对应的梁横截面上的剪力值； 规定：正剪力画在 x 轴上方，负剪力画在 x 轴下方。
弯矩图——表示梁的各横截面上弯矩 M 沿梁轴线变化规律。
剪力方程：Q=P 弯矩方程: M=-Px
根据弯矩方程M=-Px，各 横截面的弯矩沿轴线呈直 线变化，故可由弯矩方程 确定两点： x=0l
例2 简支梁受集中力作用如图所示，求梁的剪力方程和 弯矩方程，画出Q、M图并确定最大剪力和最大弯矩。
解：（1）计算支座反力： （2）列剪力方程和弯矩方程
四.剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系
取分布荷载作用下的微段dx为研究对象:
Y 0
Q( x) q( x)dx Q( x) dQ( x) 0
M c 0 M ( x) Q( x)dx q( x)dx
dx M ( x) dM ( x) 0 2
dQ ( x) q( x) dx
一.相关概念
弯曲变形是工程中常见的一种基本变形形式。 梁——以弯曲变形为主要变形形式的杆件。 梁的纵向对称面——梁横截面的竖向对称轴，则竖向对称 轴与梁轴线所确定的平面。 平面弯曲——梁弯曲变形后，其轴线由直线变成纵向对称 面内的一条平面曲线 。
二.梁的内力
1.剪力和弯矩
梁在外力作用下，其任意横截面上的内力可以通过截面法求得。