2018浙江精彩题选立体几何
2018年数学理科高考题分类 真题与模拟题 立体几何
G 单元 立体几何
G1 空间几何体的结构
16.G1,G12[2018·全国卷Ⅱ] 已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为7
8,SA 与圆锥底
面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 .
16.40√2π [解析] 设圆锥的底面圆的半径为r ,因为SA 与圆锥底面所成角为45°,所以SA=√2r.由cos ∠ASB=7
8得sin ∠ASB=
√158,所以12SA ·SB ·sin ∠ASB=12×√2r×√2r×√15
8
=5√15,所以r 2=40,所
以圆锥的侧面积为√2πr 2=40√2π.
G2 空间几何体的三视图和直观图
7.G2,G11[2018·全国卷Ⅰ] 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图1-2所示.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 ( )
图1-2
A .2√17
B .2√5
C .3
D .2
7.B [解析] 由三视图可知圆柱表面上的点M ,N 的位置如图1,将圆柱的侧面展开得到图2,在圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径即为侧面展开图中的线段MN ,所以最短路径的长度为MN=√22+42=2√5.
3.G2[2018·全国卷Ⅲ] 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图1-1中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )
2018年高考题分类汇编之立体几何
2018年数学高考题分类汇编之立体几何
1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则
A. θ1≤θ2≤θ3
B. θ3≤θ2≤θ1
C. θ1≤θ3≤θ2
D. θ2≤θ3≤θ1
2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
4．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A. B. C. D.
5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A. B. C. D.
6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. A
B. B
C. C
D. D
8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
2018年高考数学(浙江省专用)复习专题测试：第八章 立体几何 §8.3 直线、平面平行的判定和性质
= .
1 3
1 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 . 3
7.(2015江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1 C∩BC1=E.求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明
(1)由题意知,E为B1C的中点,
可得FN⊥BC,从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角.
又AB=BC,AC是圆O的直径,
6 所以MN=BMsin 45°= . 2
42 , 从而FN=
可得cos∠FNM= . 所以二面角F-BC-A的余弦值为 .
7 7
2
7 7
评析
本题考查了线面平行、垂直的位置关系;考查了二面角的求解方法;考查了空间想象能力
证明
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F, 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1. 又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
2018高考数学真题 文科 8.5考点1 线面垂直的判定与性质
第八章立体几何
第五节直线、平面垂直的判定与性质
考点1 线面垂直的判定与性质
（2018·浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A ＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【解析】方法一（1）证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2√2，所以A1B12＋A B12＝A A12，
故AB1⊥A1B1.
由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，
得B1C1＝√5.
由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2√3.
由CC1⊥AC，得AC1＝√13，
所以A B12＋B1C12＝A C12，
故AB1⊥B1C1.
又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，
因此AB1⊥平面A1B1C1.
（2）如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD．
由AB 1⊥平面A 1B 1C 1，
得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.
由C 1D ⊥A 1B 1，平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1＝A 1B 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，得C 1D ⊥平面ABB 1.
所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角．
由B 1C 1＝√5，A 1B 1＝2√2，A 1C 1＝√21，
得cos ∠C 1A 1B 1＝
√427，sin ∠C 1A 1B 1＝√77， 所以C 1D ＝√3，
浙江省2018-2019学年高三下学期《立体几何》综合大题汇编(无答案) (1)
2018学年高三下立体几何综合大题汇编
一、线面角
1. （2018学年杭十四中4月月考19）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2
，1A B =1A B AC ⊥．
（1）求证：111AC B C ⊥；
（2）求直线AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值．
C 1
B 1
A 1
C
B
A
2. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考19）如图，等腰直角ABC △中，B ∠是直角，平面
ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=︒，AF
BE ．
（1）求证：BC BF ⊥；
（2）求直线BF 与平面CEF 所成角的正弦值．
B
E
F
A
3. （2019届超级全能生2月模拟19）如图，在三棱锥P ABC -中，2
BAC π
∠=
，2AC =
，
BC BP ==，
PC =APC △
的面积等于
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．
P
B
C
A
4. （2019届杭二仿真考19）如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB CD ∥，
90ABC ADB ∠=∠=︒，1CD =，2BC =．
（1）求证：BE ∥平面DCF ；
（2）当AE 的长为何值时，直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45︒．
F
E
D
C B
A
5. （2019届湖丽衢9月质检19）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且AD BC ，
BC CD ⊥，60ABC ∠=︒，22BC AD ==，3PC =，PAB △是正三角形，E 是PC 的中点．
历年高考真题专题04立体几何
专题04 立体几何
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. 51-
B. 51-
C. 51+
D. 51+ 【解析】如图，设,CD a PE b ==，则22224
a PO PE OE
b =-=-， 由题意2
12PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）.
2.（2020·新课标Ⅰ）已知A 、B 、C 为球O 球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）
A. 64π
B. 48π
C. 36π
D. 32π
【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，
由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ， 222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，
∴球O 的表面积2464S R ππ==.
3.（2020·新课标Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）
A. E
B. F
C. G
D. H
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，
2018浙江数学二轮复习专题限时训练：立体几何中的向量方法word含答案
2018浙江数学二轮复习专题限时训练：立体几何中的向量方
法word含答案
专题限时集训(十) 立体几何中的向量方法
(对应学生用书第137页) [建议用时：45分钟]
1．如图10-11，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，
AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.
图10-11
(1)求证：PD ⊥平面PAB .
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．
(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM
AP
的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD .
2分
又因为PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB .
4分
(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .
又因为PO ?平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥
平面ABCD .
因为CO ?平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .
5分
如图，建立空间直角坐标系O -xyz .
由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，
P (0,0,1). 6分
设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ?
n ·PD →＝0，
n ·PC →＝0，
即?
－y －z ＝0，2x －z ＝0.
令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.
专题05 立体几何(选择题、填空题)——三年(2018-2020)高考真题理科数学分项汇编(含解析)
点）．记直线 PB 与直线 AC 所成的角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为β，二面角 P–AC–B 的平面角
为γ，则
A．β<γ，α<γ
B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α
D．α<β，γ<β
16．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在
面平行，点 A 处的纬度为北纬 40°，则晷针与点 A 处的水平面所成角为
A．20°
B．40°
C．50°
D．90°
11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是
边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
A． 8 6
B． 4 6
C． 2 6
D． 6
12．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
13．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平
2
2018年高中数学黄金100题系列第67题立体几何中的最值问题理
第67题 立体几何中的最值问题
I ．题源探究·黄金母题
【例1】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为_______.
【答案】415
【解析】如下图，设正三角形的边长为x ， 则133OG x =⨯3x =.∴35FG SG x ==-
， 22
2233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫
==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3553⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ∴三棱锥的体积 2113355333ABC V S h x x ∆⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭451535123x x =
-.令()45
35n x x x =-， 则()34
53'20n x x x =-
，令()'0n x =，4
3403x -= ，43x =，max 75
4854415V =
⨯⨯-=.
【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性
质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.
II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2015新课标2理9】已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）
2012~2018高考立体几何文科真题 教师版
2012~2018
立体几何文科真题
目录
2018高考真题 (1)
一．选择题 (1)
二．填空题 (7)
三．解答题 (11)
2017高考真题 (22)
一．选择题 (22)
二．填空题 (29)
三．解答题 (33)
2016高考真题 (48)
一．选择题 (48)
二．填空题 (53)
三．解答题 (55)
2015高考真题 (70)
一．选择题 (70)
二．填空题 (78)
三．解答题 (81)
2014高考真题 (104)
一．选择题 (104)
二．填空题 (115)
三．解答题 (120)
2013高考真题 (144)
一．选择题 (144)
二．填空题 (154)
三．解答题 (162)
2012高考真题 (185)
一．选择题 (185)
二．填空题 (195)
三．解答题 (201)
2018高考真题
一．选择题（共9小题）
1．（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12√2πB．12πC．8√2πD．10π
【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，
圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，
过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
可得：4R2=8，解得R=√2，
则该圆柱的表面积为：π⋅(√2)2×2+2√2π×2√2=12π．
故选：B．
2．（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)
立体几何
热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算
空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.
【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π
4，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO⊥
平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD ；
(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值.
(1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π
4
， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π
2.
∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC.
又∵PO ，AB ⊂平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ⊂平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD.
(2)解 以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1.
则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1). 设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n·BC →＝0，n·BD →＝0，∴⎩
⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何
（含参考答案）
一、选择题
1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12
O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8
B ．62
C ．82
D ．83
4.【2018全国二卷9】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A ．
B ．
C ．
D ．
5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2
35
7
6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
浙江省2018-2019学年高三下学期《立体几何》选择填空
2018学年高三下立体几何选填综合
1.（2018学年杭髙高三下开学考14） a, b为空间中两条互相垂直的直线，等边三角形.毎C的边MC所
在的直线与a, b都垂直，边-毎以2C为旋转轴旋转，直线与a所成角的最小值为___________________ ；
当直线肋与a所成角在60。时，肿与6所成角是______________ ・
2.(2018学年杭十四中4月月考10)三棱锥A_BCD中，记二而角A — BC — D的大小为( )
A.若AB 十AC>DB + DC,则ZBAC<ZBDC
B・^AB + AC>DB + DC,则ZBAC>ABDC
C・若BA + BD = CA + CD,且AD 丄BC,贝W>ZACD
D・若AB + AC = DB + DC,且AD 丄BC,则6>ZACD
3.（2018学年浙江名校协作体髙三下开学考14）四而体S-ABC中，SA丄而H是HSBC的垂
心，且AH丄而SBC,则三对对棱与EC, SB与2C, SC与肋中互相垂直的有___________________ 对：若H也是5C的重心，贝IJ二而角S — BC —A的正弦值为_________ ・
15
4.（2018学年浙江中重点中学髙三上期末热身联考10）如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC
翻折至A. B两点重合，其中P是.15中点，在折成的三棱锥A（B）-PDC中，点0在平而PDC内运动，且直线“40与棱所成角为60。，则点0运动的轨迹是（）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
(浙江版)高考数学一轮复习 第08章 立体几何测试题-浙江版高三全册数学试题
第八章 立体几何
测试题
班级__________ 某某_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）
1．【2018届某某省某某市高级中学高三上学期第二次模拟】已知是两条不同直线，是
平面，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则
D. 若
，则
【答案】B
2．【2018届市某某区高三上学期期中】已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是
A. 若//m α， //n α，则//m n
B. 若//m α， m n ⊥，则n α⊥
C. 若m α⊥， m n ⊥，则//n α
D. 若m α⊥， //m n ，则n α⊥ 【答案】D
【解析】对于A ，//m α， //n α，则,m n 可能相交，可能异面，也可能平行，命题错误； 对于B ，//m α， m n ⊥，则//n α，n α⊂或n 与α斜交，命题错误； 对于C ，m α⊥， m n ⊥，则//n α，或n α⊂，命题错误； 对于D ，若m α⊥， //m n ，则n α⊥，显然正确》 故选：D.
3．【2018届某某省某某市高三上学期尖子生第一次联考】已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ）
A.
823π B. 833π C. 863π D. 162
3
π 【答案】A
4．【2018届西城161高三上期中】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）．
浙江省高职考专题复习：立体几何(历年真题)
高职考专题复习：立体几何
★历年真题 【2015年】
8. 在下列命题中，真命题的个数是（ ）
①//,a b a b ②//,//
//a b a b ③,//a b a b ④,a b b a
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
25.体对角线为3cm 的正方体，其体积=V
33.如图所示, 在棱长为a 正方体1111ABCD
A B C D 中1AD C 把正方体分成两部分;
求:(1)直线1C B 与平面1AD C 所成的角; (2)平面1C D 与平面1AD C 所成二面角的
平面角的余弦值;
(3)两部分中体积大的部分的体积.
【2016年】
13.下列正确的是（ ）
A.直线a 平行于平面α，则a 平行于平面α内的所有直线
B.过直线a 外一点可以作无数条直线a 成异面直线
C.若直线,a b 与平面α所成角相等，则a 平行于b
D.两条不平行直线确定一个平面
25.圆柱的底面面积为2cm π，体积为3
4cm π，一个球的直径和圆柱的高相等，则此球的体积V ___________3
cm .
D
A
B
C 1
A 1
D 1
C 1
33.如图（1）所示，已知菱形ABCD 中，60BAD ,2AB ,把菱形ABCD 沿对角线BD 折为
60的二面角，连接AC ，如图（2）所示， 求：（1）折叠后AC 的距离；（3分）
（2）二面角D AC B 的平面角的余弦值。（4分）
【2017年】
15.已知圆锥底面半径为4，侧面面积为60，则母线长为（ ） A. 152
B. 15
C.
152
D.
15
20.如图在正方体ABCD ‐A ′B ′C ′D ′中，下列结论错误的是（ ） A. A ′C ⊥平面DBC ′ B. 平面AB ′D ′//平面BDC ′ C. BC ′⊥AB ′
2018年理数真题分类训练专题17立体几何中的最值问题【原卷版】
3020 s
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第四章立体几何
专题17立体几何中的最值问题
【压轴综述】
在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系（主要是平行与垂直的位置
关
系），计算空间图形中的几何量（主要是角与距离）是两类基本问题.在涉及最值的问题中主要有三类，一是
距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何
量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法（应用函数思想、应用基本不等式等）两种, 都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换.要善于将空
间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有
关计算公式熟练掌握.
、涉及几何体切接问题最值计算
求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置,
确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正
方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直
径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间
的关系求解.这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题;
二.涉及角的计算最值问题
1.二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依
据题目选择方法求出结果.
2.求异面直线所成角的步骤平移，将两条异面直线平移成相交直线.二定角，根据异面直线所成角的定
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2016浙江精彩题选——立体几何
【一、轨迹问题】
1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,
︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，
则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘
B ’
相切
【二、动态问题】
1.（2016台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在
平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为
1
7
分析：点A 到平面PBC 的距离为d=AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角
2.（2016金华十校期末）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且
AB AC
BD CD
==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ）
A.6
B.
C.
D.8 分析：由
AB AC
BD CD
==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求
3.（2016台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的
动点,4,BC =, 3,CD
=CC '=C C '与平面C PQ '所成的角为
︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )
A
．5 B ．8 C
．3
D ．10
4（2016宁波十校15）如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当
正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正
弦值为 .
分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。设，平面ABF ⊥平面α=a ,四面体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。AE 与平面α所成角正弦值最大=AE 与法向量AO 所成角最小，即为AE 与平面ABF
所成角，sin θ=
则AE 与平面α所成角的正弦即为θ
5.（温州二模8）.棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为 （ B ） A
． B
C
D
．分析：作对称
6.（2016五校联考8） 如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在
(第8题图)
α
A
B C
D
E
平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为0
30，则顶点1C 到平面α的距离的最大值是 （ B ）
A.(22
B.2
C.)2
1 D.)
2
1
分析：
直线CA 在平面β上移动， CA 与平面α所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大。
此问题与2014年高考题填空最后一题是同一个原理。
相关：（2014浙江高考17题）.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目
标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若
则
的最大值
9
。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角）
当PA 与平面ABC 的线面角为M-AC-B 的平面角时，取最大，可秒解。
9.（2016诸暨质检15）.如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面
是边长为1的正方形，高AA 1A 是平面α内的一个定点，AA 1与α所成角为
3
π
，点C 1在平面α内的射影为P ，当四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1按要求运动时（允许四棱柱上的点在平面
α的同侧或异侧）
，点P 所经过的区域面积= 解：当长方体绕A 1A 转的时候，C 1C 形成一个圆柱，过C 1往平面α作垂线垂足P ，就形成一个椭圆，其短轴为
P 1P 2y 型的椭圆，其中心A
点在平面α上的射影M 。
当AA 1绕着A 点成o
60转时，则椭圆就以A 为圆心，
2
为半径的圆上运动，其扫过的区域为一个圆环，外径为2
，内径为2，所以
面积为22
-]22
π⋅=[（（）
【三、角度问题】
1.（2016名校联盟第一次7）．如图四边形ABCD ，AB =BD =DA =2,BC =CD =
现将D ABD 沿BD 折起，当二面角A -BD -C 处于[
p 6,
5p
6]过程中，直线AB 与CD
所成角的余弦值取值范围是 （ D ）
A
．[88- B
．[]88 C ．[0,]8 D
．[0,8
2.（2016名校联盟第一次13）．已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则
sin α=
． 3.（2016温州一模8）．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，
第7题图
D