现代设计方法-有限元分析报告

中国地质大学研究生课程论文封面

课程名称现代设计方法

教师姓名

研究生姓名

研究生学号

研究生专业机械工程

所在院系机电学院

日期: 2013 年 1 月 8 日

评语

注：1、无评阅人签名成绩无效；

2、必须用钢笔或圆珠笔批阅，用铅笔阅卷无效；

3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。

有限元分析简介

摘要: ANSYS 软件具有建模简单、快速、方便的特点, 因而成为大型通用有限元程序的代表。对有限元作了一个总体的介绍, 并着重介绍了ANSYS 软件, 简要地叙述了ANSYS 软件的主要技术特点和各部分构成以及其主要的分析功能,从其构成及功能中可以看到,ANSYS 软件的确是工程应用分析的有效工具。

1、有限元分析的基本概念和计算步骤

1.1、有限元分析的基本概念

有人将CAE技术称为当今“科学与技术的完美结合”。这句话说得比较夸张，但不可否认，CAE技术的确是现代产品研发的重要基础技术，其理论性和需要的学科知识厚重而宽广。有限元软件是目前CAE的主流分析软件之一，在全球拥有最大的用户群。有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

1.2、有限元求解问题的基本步骤

有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。

1.2.1网格划分

有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。

图1 四面体四节点单元

图2 六面体8节点单元

图3三维实体的四面体单元划分

图4 三维实体的六面体单元划分

图5 三角形3节点单元

图6 四边形4节点单元

图7平面问题的三角形单元划分

图8 平面问题的四边形单元划分

1.2.2单元分析

对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。

以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示，单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。

图1-15 三角形3结点单元

单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量（vector ）：

结点位移{}

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i e

v u v u v u δ

结点力{}

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m m j j i i e

V U V U V U F 单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor ）来表示，

{}[]{}e e e K F δ=

（1-12）

1.2.3整体分析

对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图1-16所示，在边界结点i 上受到集中力i

y i

x P P ,作用。结点i 是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。

图9 整体分析

i 结点的结点力：

∑=++e

e i i i i U U U U )()3()2()1(

∑=++e

e i i i i V V V V )()3()2()1(

i 结点的平衡方程：

⎪

⎭

⎪⎬⎫

=∑∑=i y e

e i

e

i x e i

P V P U )

()

( （1-13）

2、有限元理论基础

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

加权余量法是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。 设问题的控制微分方程为:

在V 域内

在S 边界上

式中 :

L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值； u ——为问题待求的未知函数

混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

()0

L u f -=()0B u g -=