高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)第一部分二轮课时专题专题一三角函数和平面向量后记答题

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2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分专题2 立体几何开篇高考回眸

开篇高考回眸【考情分析】开篇高考回眸(本讲对应学生用书第9~9页)考情分析年份题号知识点分值2019年第8，16题圆柱的侧面积和体积；线面平行的判定，面面垂直的判定19分2019年第9，16题等积法求圆锥与圆柱的体积；线面平行的判定29分2019年第16，17题棱柱、棱锥的体积；线面平行的判定，面面垂直的判定28分立体几何在高考中主要考查空间几何体的体积和表面积，空间直线与平面平行、垂直的判定与性质.解题时要熟悉图形的结构，掌握平行、垂直之间的相互转化关系，不遗漏已知条件，弄清定理的条件和结论，按照逻辑段严格书写，确保步步有据，严谨不失分.【真题再现】真题再现1.(2019·江苏第8题)已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且12SS=94，则12VV= .【答案】3 2【解析】由题意知，12SS=2122ππrr=2122rr=94，所以12rr=32，圆柱的侧面积S侧=2πrh，又S侧1=2πr1h1=S 侧2=2πr2h2，则12hh=21rr=23，所以12VV=1122S hS h=94×23=32.2.(2019·江苏第9题)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.【答案】7【解析】底面半径为5，高为4的圆锥的体积是1003π；底面半径为2，高为8的圆柱的体积是32π，故总体积是1963π.设重新制作后的圆锥、圆柱的底面半径为r，则13πr2·4+πr2·8=1963π，所以r2=7，所以r=7.3.(2019·江苏第16题)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.(1)求证：PA∥平面DEF；(2)求证：平面BDE⊥平面ABC.(第3题)【解答】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以PA∥平面DEF.(2)因为D，E分别为PC，AC的中点，所以DE=12PA=3.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以EF=12BC=4，所以DE2+EF2=DF2，所以∠DEF=90°，所以DE⊥EF.因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E，AC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.4.(2019·江苏第16题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.若AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.(1)求证：DE∥平面AA1C1C；(2)求证：BC1⊥AB1.(第4题)【解答】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。

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专题1 函数性质及应用（1）【高考趋势】函数问题在近几年的高考中占有较大的份量，在江苏卷中与函数有关的问题多于50分，函数的基本性质主要考查下列问题：1、定义域。

高考中常将之与集合的交、并、补相结合，构作容易的选择题或填空题，考查学生的基本概念与基本运算。

2、值域。

高考中常将之与单调性相结合，构作较难的解答题，考查学生的思维能力与运算能力。

3、奇偶性。

这是特殊对称问题。

高考中常将之与其他对称轴或对称中心相结合，构作中等题，注重数形结合，考查学生想象能力。

4、单调性。

高考中常将之应用于证明不等式，构作中等或较难题，考查学生的思维能力与运算能力。

【考点展示】1、若集合A={x|x <a}，B={x|1<x <2}，且A ∪（C R B ）=R ，则实数a 的取值范围是2、曲线y=21e 在点（4, e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 3、若2211)11(xx x x f +-=+-，则f(1)= 4、函数y=x-lnx 的增区间为5、若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3,则f(x)=6、若函数f(x)=xa x x ))(1(++为奇函数，则实数a= 。

7、函数y=2-x|x+2|在x ∈[-3，2]时的值域为【样题剖析】例1、定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x ∈（0，1），f(x)=142+x x（1）求f(x)在（-1，0）上的解析式。

（2）判断f(x)在（-2，-1）上的单调性，并给予证明。

例2、偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，求不等式f(2x+5)＜f(x 2+2)的解集。

例3、如图，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD=2x ，梯形面积为S 。

（1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域。

（2）求面积S 的最大值。

【南方凤凰台】2017届高考数学（文）二轮复习提优导学案（江苏专用）：第..

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第41~43页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2，所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a2-2ac-5c2=0，所以5c2+2ac-3a2=0.所以5e2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2015·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为2，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN 相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b=.因为离心率e=ca=2，所以ba12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2.②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(0)的距离与点P到定直线l：x=22，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358c a AF AF =⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.c a =⎧⎨=⎩，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12，故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2)设点P (x ，y )，依题意，得2，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c ，再利用椭圆定义先求得2a 的值，再利用椭圆中a ，b ，c 的关系，求得b 的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22x a +22-4y a =1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2 (1)(2016·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .(例2(1))(2)(2016·临川一中质检)如图(2)，已知点A ，F 分别是22x a -22y b=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A ，F 作与x 轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P ，Q ，R ，S ，若S △ROS =2S △POQ ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2016·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若PF 1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 .【点拨】依题设得出关于a ，b ，c 的等式或不等式，再消去b.【答案】(1)25(2)(3)13∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A 1B 2的方程为-x a +y b =1，直线B 1F 的方程为x c +-yb =1.联立方程组解得T2()--ac b a c a c a c +⎛⎫⎪⎝⎭，. 又M()-2(-)ac b a c a c a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)上，故22(-)c a c +22()4(-)a c a c +=1，即e 2+10e-3=0，解得e=25.(2)由题意，得A (-a ，0)，F (c ，0)，直线PQ ，RS 的方程分别为x=-a ，x=c ，与渐近线y=±ba x联立，可求得P (-a ，b )，Q (-a ，-b )，R -bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，S bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则S △ROS =12·2bc a ·c=2bc a ，S △POQ =12a·2b=ab ，于是由S △ROS =2S △POQ ，得2bc a =2ab ，即22c a =2，所以e=(3)设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c=PF 2=2a-10，2m=10-2c ，a=c+5，m=5-c ，所以e 1e 2=5c c +·5-cc =2225-c c =2125-1c .又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c <4，0<225c -1<3，所以e 1e 2=2125-1c >13.变式1 (2015·苏北四市期末)已知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A (-a ，0)，B 1(0，-b )，B 2(0，b )，F (c ，0)，设点M 2Ma y c⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由2AB k =k AM ，得b a =2My a a c +，所以y M =b 1c+ ⎪⎝⎭. 由1FB k =k FM ，得b c =2-My a c c ，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭.从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2015·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2016·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是.(变式3)【答案】1 2⎪⎢⎣⎭，【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA，而FA=2ac-c，PF≤a+c，所以2ac-c≤a+c，即a2≤ac+2c2.又e=ca，所以2e2+e≥1，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2016·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a=2，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB ·A C =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2016·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；(2)若PQ =λAP，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知222242a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1，圆的方程为x 2+y 2=4.由题知直线l 的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x y x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得3y 2-4y=0，所以y P =43.由222-24x y x y =⎧⎨+=⎩，，消去x ，得5y 2-8y=0，所以y Q =85.所以AP AQ =PQy y=43×58=56.(2)因为PQ =λAP ，且AP，PQ 同向，则λ=PQ AP =-AQ AP AP =AQAP -1，设直线l ：y=k (x+2)，联立方程组224(2)x y y k x ⎧+=⎨=+⎩，，消去x ，得(k 2+1)y 2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421kk +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2016·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为.【答案】2【解析】根据双曲线的方程知a=2a=22.(2016·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x为双曲线的渐近线，则ba=1，又a2+b2=c2，所以a2=12，b2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】9 2【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2016·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】3【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=所以e=ca=1212F FAF AF=3n=3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第21~22页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2016·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2015·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2016·普陀区调研)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2016·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2015·盐城中学)设椭圆22x m +..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2015·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2016·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、解答题9.(2016·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M =λMP(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2015·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为F (1，0)，且过点⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A ，B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ，求证：点M 恒在椭圆C 上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(-2)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x，即y=±2x.3.43【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，焦点F(1，0)，设点A(x，y0)(x0>0，y0>0)，由题意得x0+1=5，所以x0=4，所以2y=4x0=16，y0=4，从而点A(4，4)，直线AF的斜率k=4-04-1=43.4.2【解析】不妨设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，则有222-1baacc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221babc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF2+AF2+AB=4a=8，因为BF2+AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A3-2c⎛⎫⎪⎝⎭，，B3--2c⎛⎫⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c+294b=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以24-4b+294b=1，即1-24b+294b=1，所以24b=294b，解得b2=3，所以b=6.4【解析】由题意可知抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以b=27.3【解析】由题意知A(-a，0)，B(a，0)，取P(0，b)，则kAP·k BP=ba×-ba⎛⎫⎪⎝⎭=-13，故a2=3b2，所以e2=222-a ba=23，即e=3.8.1132⎛⎫⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P在第一象限，PF1>PF2，当PF1=F1F2=2c时，PF2=2a-PF1=2a-2c，即2c>2a-2c，解得e=ca>12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF2=F1F2=2c时，PF1=2a-PF2=2a-2c，即2a-2c>2c，且2c>a-c，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、解答题9. (1) 因为28x+24y=1，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，所以k OP=22F Mk=-1F Mk=4，所以直线F2M的方程为y=-x-2)，直线F1M的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y xy x⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M的横坐标为6 5.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM=2MP，所以1FM =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )，所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF ·F B =1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP·FQ=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件，所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)，直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，.代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +. 由24m +23n =1，得n 2=321-4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入上式得204x +203y =1. 所以点M 恒在椭圆C 上.。

2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分专题4 函数与导数第1讲函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质【课前热身】第1讲函数的图象与性质(本讲对应学生用书第27~28页)1.(必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若0<x1<x2，则f(x1)f(x2).【答案】<【解析】作出函数图象，不难得出结论.2.(必修1 P25复习题3改编)已知函数f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}，则函数f(x)的值域为. 【答案】{1，2，5}【解析】分别代入，即可求得.3.(必修1 P40练习2改编)已知函数f(x)=|x+1|，则函数f(x)的单调增区间为.【答案】[-1，+∞)4.(必修1 P45思考11改编)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为.【答案】f(x)=10 00 -10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x<0时，-x>0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=10 00 -10.xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，5.(必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是函数.(填“奇”或“偶”) 【答案】奇【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数.【课堂导学】基本初等函数的图象与性质例1(1)已知y=log a(2-ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是.(2)(2019·通州中学)若存在正数x使得2x(x-a)<1成立，则实数a的取值范围是.(3)(2019·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】(1)(1，2)(2)(-1，+∞)(3)c<a<b【解析】(1)令u=2-ax，因为a>0，所以u=-ax+2为减函数.又y=log a u在[0，1]上是x的减函数，根据复合函数“同增异减”的法则，可知a>1.又u>0在[0，1]上恒成立，故u(1)=2-a>0 a<2，所以1<a<2.(2)因为2x>0，所以由2x(x-a)<1得x-a<12x=2-x，在平面直角坐标系中，作出函数f(x)=x-a，g(x)=2-x的图象如图所示.(例1(2))当x>0时，g (x )=2-x <1，所以如果存在x>0，使2x (x-a )<1，则有-a<1，即a>-1.(3)因为函数f (x )=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f (x )=2|x|-1，所以a=f (log 0.53)=f 21log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭=21log 32-1=2log 32-1=3-1=2，b=f (log 25)=2log 52-1=4，c=f (2m )=f (0)=20-1=0，所以c<a<b.变式1 (1)(2019·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f (x )=log a (x+b )(a>0且a ≠1，b ∈R )的图象如图(1)所示，则a+b 的值是 .(2)(2019·常州一中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (lo12g a )≤2f (1)，则a 的取值范围是.(3)(2019·金陵中学)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，那么不等式f (x+2)<5的解集是.(变式1(1))【答案】(1)92 (2)122⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (3)(-7，3) 【解析】(1)由图象可知，函数图象过点(-3，0)，(0，-2)，所以0log (-3)-2log a a b b =+⎧⎨=⎩，，解得124a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，故a+b=92.(2)根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f (lo12g a )=f (-log 2a )=f (log 2a )，因此f (log 2a )+f (lo12g a )≤2f (1)可化为f (log 2a )≤f (1).又因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，故|log 2a|≤1，解得12≤a ≤2.(3)设x<0，则-x>0. 当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，所以f (-x )=(-x )2-4(-x ).因为f (x )是定义在R 上的偶函数，得f (-x )=f (x )，所以f (x )=x 2+4x (x<0)，故f (x )=22-4040.x x x x x x ⎧≥⎨+<⎩，，，由f (x )=5，得2-450x x x ⎧=⎨≥⎩，或2450x x x ⎧+=⎨<⎩，，解得x=5或x=-5.(变式1(3))观察图象可知由f (x )<5，得-5<x<5. 所以由f (x+2)<5，得-5<x+2<5，所以-7<x<3. 故不等式f (x+2)<5的解集是{x|-7<x<3}.变式2 (2019·海门中学)已知函数f (x )=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围.【解答】(1)因为f (x )=(x-a )2+5-a 2(a>1)，所以f (x )在[1，a ]上是减函数. 又定义域和值域均为[1，a ]，所以(1)()1f a f a =⎧⎨=⎩，，即221-25-251a a a a +=⎧⎨+=⎩，，解得a=2.(2)因为f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x=a ∈[1，a+1]，且(a+1)-a ≤a-1，所以f (x )max =f (1)=6-2a ，f (x )min =f (a )=5-a 2.因为对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4，所以f (x )max -f (x )min ≤4，得-1≤a ≤3.又a ≥2，所以2≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[2，3].函数图象的识别与应用例2 (2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x )，若函数y=1x x +与y=f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi ∑=(x i +y i )= .【点拨】注意函数关于点(0，1)对称. 【答案】m【解析】由f (-x )=2-f (x )，得f (x )的图象关于点(0，1)对称.因为y=1x x +=1+1x 的图象也关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x'i ，y'i )均满足x i +x'i =0，y i +y'i =2，所以1mi ∑=(x i +y i )=1mi ∑=x i +1mi ∑=y i =0+2·2m=m.变式 (2019·扬州期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=12(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若集合{x|f (x-1)-f (x )>0，x ∈R }=∅，则实数a 的取值范围为.(变式)【答案】1-6∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】当a ≤0时，由x ≥0得f (x )=12(x-a+x-2a+3a )=x ，因为f (x )是奇函数，所以f (x )=x ，此时f (x-1)=x-1，f (x-1)-f (x )=-1>0无解，满足题意；当a>0时，当x ≥0时，f (x )=-32-2-0x a x a a a x a x x a ≥⎧⎪<<⎨⎪≤≤⎩，，，，，，根据f (x )是奇函数，从而作出f (x )的图象如图所示，要使{x|f (x-1)-f (x )>0，x ∈R }=∅，则至少要将f (x )的图象向右平移6a 个单位，故0<6a ≤1，此时0<a ≤16.综上，实数a 的取值范围是1-6∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，.函数的零点问题例3 (2019·海门中学)设函数f (x )在(-∞，+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间[0，7]上只有f (1)=f (3)=0.(1)试判断函数y=f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )=0在闭区间[-2 015，2 015]上的根的个数，并证明你的结论.【解答】(1)因为f (1)=0，且f (x )在[0，7]上只有f (1)=f (3)=0，又因为f (2-x )=f (2+x )，令x=-3，得f (-1)=f (5)≠0，所以f (-1)≠f (1)，且f (-1)≠-f (1).所以f (x )是非奇非偶函数.(2)f (10+x )=f (2+8+x )=f (2-(8+x ))=f (-6-x )=f (7-(13+x ))=f (7+13+x )=f (20+x )，所以f (x )是以10为周期的周期函数. 又由f (x )的图象关于直线x=7对称知， f (x )=0在(0，10]上有两个根，则f (x )=0在(0，2 015]上有202×2=404个根；在[-2 015，0]上有201×2=402个根.因此，方程f (x )=0在闭区间[-2 015，2 015]上共有806个根.变式 (2019·天津卷)已知函数f (x )=22-||2(-2)2x x x x ≤⎧⎨>⎩，，，，函数g (x )=b-f (2-x )，其中b ∈R ，若函数y=f (x )-g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是 .【答案】724⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=22-||2(-2)2x x x x ≤⎧⎨>⎩，，，，得f (2-x )=22-|2-|00x x x x ≥⎧⎨<⎩，，，，所以y=f (x )+f (2-x )=222-||04-||-|2-|022-|2-|(-2)2x x x x x x x x x ⎧+<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，，即y=f (x )+f (2-x )=2220202-58 2.x x x x x x x ⎧++<⎪≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，y=f (x )-g (x )=f (x )+f (2-x )-b ，所以y=f (x )-g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )+f (2-x )-b=0有4个不同的解，即函数y=b 与函数y=f (x )+f (2-x )的图象有4个公共点，作出函数图象如图所示，由图象可知74<b<2.(变式)【课堂评价】1.(2019·苏州期末)函数f (x )=220-10x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，的值域为 .【答案】(-∞，1]【解析】如图，分段画出f (x )的图象即可看出函数的值域为(-∞，1].(第1题)2.(2019·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f (x )=4x ，则f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (1)= .【答案】-2【解析】因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )=f (x+2).因为f (x )是奇函数，所以f (x )=-f (-x )，所以f (1)=f (-1)，f (1)=-f (-1)，即f (1)=0.又f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=-f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=124=2，所以f 5-2⎛⎫⎪⎝⎭=-2，从而f 5-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (1)=-2.3.(2019·北京卷)设函数f (x )=3-3-2.x x x a x x a ⎧≤⎨>⎩，，，①若a=0，则f (x )的最大值为；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是 .【答案】①2 ②(-∞，-1)【解析】由(x 3-3x )'=3x 2-3=0，得x=±1，作出函数y=x 3-3x 和y=-2x 的图象如图所示.①当a=0时，由图象可得f (x )的最大值为f (-1)=2.②由图象可知当a ≥-1时，函数f (x )有最大值；当a<-1时，y=-2x 在x>a 时无最大值，且-2a>a 3-3a ，所以a<-1.(第3题)4.(2019·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )=x 3+2x ，若f (1)+f (lo 1g a 3)>0(a>0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是 .【答案】(0，1)∪(3，+∞)【解析】由函数f (x )的解析式易知该函数为奇函数且在定义域R 上是单调增函数，故f (1)+f (lo 1g a 3)>0，即f (lo 1g a 3)>-f (1)=f (-1)，即lo 1g a 3>-1=lo 1g a a ，所以113a a ⎧>⎪⎨⎪>⎩，或1013a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩，，解得0<a<1或a>3.5.(2019·苏锡常镇二模)已知函数f (x )=|x 3-4x|+ax-2恰有两个零点，那么实数a 的取值范围为.(第5题)【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】令f (x )=0，即|x 3-4x|=2-ax.作出函数y=|x 3-4x|与y=2-ax 的图象如图所示.由题意知两个函数图象有且仅有两个公共点，数形结合，当直线y=2-ax过点(-2，0)时，a=-1，直线为y=2+x，与y=x3-4x联立，解得x=-2，1-a>1，即a<-1.根据图象左右对称的性质知a>1也满足题意，所以a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第13~14页.【检测与评估】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1.(2019·南京一中)若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-1m mx是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m= .2.(2019·苏州调研)已知函数y=log2-1a xx+为奇函数，则实数a的值为.3.(2019·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且在[0，2]上，f(x)=(1-)01sinπ12x x xx x≤≤⎧⎨<≤⎩，，，，那么f294⎛⎫⎪⎝⎭+f416⎛⎫⎪⎝⎭= .4.(2019·山东卷)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)；当x>1 2时，f12x⎛⎫+⎪⎝⎭=f1-2x⎛⎫⎪⎝⎭，则f(6)= .5.(2019·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(，则a的取值范围是.6.(2019·苏北四市期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a，b为常数).若f(2)=-1，则f(-6)的值为.7.(2019·江苏信息卷)设偶函数f(x)满足f(x)=3x-9(x≥0)，若f(x-1)<0，则x的取值范围是.8.(2019·苏州期末)已知函数f(x)=244-3.x mx x x m≥⎧⎨+<⎩，，，若函数g(x)=f(x)-2x恰有3个不同的零点，则实数m的取值范围是.二、解答题9.(2019·海安中学)已知函数y=f(x)在定义域[-1，1]上既是奇函数又是减函数.(1)求证：对任意x1，x2∈[-1，1]，有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0；(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范围.10.(2019·苏州中学)已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x)，且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，f(x)的取值范围是[3m，3n].11.(2019·启东检测)已知函数f(x)=x2-1，g(x)=a|x-1|.(1)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2，2]上的最大值.【检测与评估答案】专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质一、填空题1. 2【解析】由题设条件及幂函数的定义知22--11-2-10m mm m⎧=⎨<⎩，　①，　②由①解得m=2或m=-1，代入②验证知m=-1不合题意，故m=2.2. 1【解析】方法一：由f(0)=0，得log2a=0，所以a=1，经检验符合题意.方法二：由f(x)是奇函数，得f(x)=-f(-x)，log2-1a xx+=-log21-a xx+，所以-1a xx+=1-xa x+，所以a2=1.因为a≠-1，所以a=1.3.516【解析】由f(x+4)=f(x)，可得函数的周期是4，所以f294⎛⎫⎪⎝⎭=f38-4⎛⎫⎪⎝⎭=f3-4⎛⎫⎪⎝⎭.因为f(x)是奇函数，所以f3-4⎛⎫⎪⎝⎭=-f34⎛⎫⎪⎝⎭=-34×14=-316，f416⎛⎫⎪⎝⎭=f78-6⎛⎫⎪⎝⎭=f7-6⎛⎫⎪⎝⎭=-f76⎛⎫⎪⎝⎭=-sin7π6=sinπ6=12，所以f294⎛⎫⎪⎝⎭+f416⎛⎫⎪⎝⎭=12-316=516.4. 2【解析】因为当x>12时，f12x⎛⎫+⎪⎝⎭=f1-2x⎛⎫⎪⎝⎭，所以f(x)的周期为1，则f(6)=f(1).因为当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1).又当x<0时，f(x)=x3-1，所以f(-1)=(-1)3-1=-2，所以f(6)=-f(-1)=2.5.1322⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由f(x)是偶函数，且f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，得f(x)在区间(0，+∞)上单调递减.又f(2|a-1|)>f(，f(-=f，所以2|a-1|即|a-1|<12，所以12<a<32.6. 4【解析】由题意得f(0)=0，所以log22+b=0，所以b=-1，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x-1，又因为f(2)=-1，所以log2(2+2)+2(a-1)-1=-1，解得a=0，f(x)=log2(2+x)-x-1，f(-6)=-f(6)=-[log2(2+6)-6-1]=4.7. (-1，3)【解析】方法一：偶函数f(x)在[0，+∞)上是单调增函数，且f(2)=0，所以由f(x-1)<0，得f(|x-1|)<f(2)，即|x-1|<2，解得x∈(-1，3).方法二：根据题意，当x≥0时，f(x)=3x-9，令f(x)=3x-9<0，解得0≤x<2.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，所以不等式f(x)<0在x∈R的解集为(-2，2)，因此不等式f(x-1)<0等价为x-1∈(-2，2)，解得x∈(-1，3).8. (1，2]【解析】方法一：问题转化为g(x)=0，即方程f(x)=2x有3个不同的解，即24-32 x mx x x<⎧⎨+=⎩，或42x mx≥⎧⎨=⎩，，解得1x mx<⎧⎨=⎩，或-3x mx<⎧⎨=⎩，或2.x mx≥⎧⎨=⎩，因为方程f(x)=2x有3个不同的解，所以21-3mmm≥⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1<m≤2.(第8题)方法二：由题意知函数g (x )=24-22-3x x m x x x m ≥⎧⎨+<⎩，，，，画出函数y=4-2x 和y=x 2+2x-3的图象如图所示，可知函数g (x )的三个零点为-3，1，2，因此可判断m 在1与2之间.当m=1时，图象不含点(1，0)，不合题意；当m=2时，图象包含点(2，0)，符合题意，所以1<m ≤2.二、解答题9. (1) 若x 1+x 2=0，显然不等式成立. 若x 1+x 2<0，则-1≤x 1<-x 2≤1，因为f (x )在[-1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)>f (-x 2)=-f (x 2)，所以f (x 1)+f (x 2)>0，所以[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立. 若x 1+x 2>0，则1≥x 1>-x 2≥-1，同理可证f (x 1)+f (x 2)<0. 所以[f (x 1)+f (x 2)](x 1+x 2)<0成立.综上，对任意x 1，x 2∈[-1，1]，有[f (x 1)+f (x 2)]·(x 1+x 2)≤0恒成立. (2) 因为f (1-a )+f (1-a 2)<0，所以f (1-a 2)<-f (1-a )=f (a-1)，由f (x )在定义域[-1，1]上是减函数，得22-11-1-1-111--1a a a a ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，即220202-20a a a a ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+<⎩，，，解得0≤a<1.故所求实数a 的取值范围是[0，1).10. (1) 因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x)，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1，所以-2ba=1，即b=-2a.因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点，即ax2-(2a+1)x=0有相等的实数根，所以Δ=(2a+1)2=0，即a=-12，b=1.所以f(x)=-12x2+x.(2) ①当m<n<1时，f(x)在[m，n]上单调递增，f(m)=3m，f(n)=3n，所以m，n是-12x2+x=3x的两个根，解得m=-4，n=0.②当m≤1≤n时，3m=12，m=16，3n=-12n2+n，解得n=0或-14，不符合题意.③当1<m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减，所以f(m)=3n，f(n)=3m，即-12m2+m=3n，-12n2+n=3m.相减得-12(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).因为m≠n，所以-12(m+n)+1=-3，所以m+n=8.将n=8-m代入-12m2+m=3n，得-12m2+m=3(8-m)，但此方程无解.综上，满足条件的m=-4，n=0.11. (1) 不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2-1≥a|x-1|(*)对x ∈R 恒成立.①当x=1时，(*)式显然成立，此时a ∈R .②当x ≠1时，(*)式可变形为a ≤2-1|-1|x x ，令φ(x )=2-1|-1|x x =11-(1)1x x x x +>⎧⎨+<⎩，，，，因为当x>1时，φ(x )>2，当x<1时，φ(x )>-2，所以φ(x )>-2，故此时a ≤-2.综合①②知所求实数a 的取值范围是{a|a ≤-2}.(2) 因为h (x )=|f (x )|+g (x )=|x 2-1|+a|x-1|=222--11--1-11--1-1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+≥⎪++≤<⎨⎪+<⎩，，，，，①当2a>1，即a>2时，结合图形可知h (x )在[-2，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，经比较，此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.②当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3.③当-1≤2a <0，即-2≤a<0时，结合图形可知h (x )在[-2，-1]，-12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在-1-2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(1，2]上单调递增，且h (-2)=3a+3，h (2)=a+3，h -2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a +a+1，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.④当-32≤2a <-1，即-3≤a<-2时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，且h (-2)=3a+3<0，h (1)=0，h (2)=a+3≥0，经比较，知此时h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3.⑤当2a <-32，即a<-3时，结合图形可知h (x )在-22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1-2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-22a ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，h (-2)=3a+3<0，h (2)=a+3<0，h (1)=0，故此时h (x )在[-2，2]上的最大值为h (1)=0.综上所述，当a ≥0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为3a+3；当-3≤a<0时，h (x )在[-2，2]上的最大值为a+3；当a<-3时，h (x )在[-2，2]上的最大值为0.。

2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分专题1 三角函数和平面向量开篇高考回眸

开篇高考回眸【考情分析】开篇高考回眸(本讲对应学生用书第1~1页)考情分析年份题号知识点分值2019年第5，12，14，15题三角函数的图象；向量的线性运算与数量积；正弦定理与余弦定理；同角三角函数关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式29分2019年第6，8，14，15题平面向量的坐标与线性运算；两角和的正切；向量的数量积，三角函数的周期性；正弦定理、余弦定理29分2019年第9，13，14，15题三角函数的图象；向量的数量积；三角恒等变换，正切的性质应用；同角三角函数关系，正弦定理、余弦定理，两角和差公式29分三角函数与平面向量在近三年高考中占了比较重的份量，三年都是29分.对于三角函数，我们要更多地关注三角函数的思想性和工具性，围绕三角函数的图象、两角和与差的三角函数公式和解三角形内容进行适度综合，但综合性不要过强.对于平面向量，应突出向量的工具性，江苏高考中利用向量工具解决几何问题是一大亮点.【真题再现】真题再现1.(2019·江苏第6题)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若m a+n b=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n= . 【答案】-3【解析】由题意知m(2，1)+n(1，-2)=(9，-8)，所以29-2-8m nm n+=⎧⎨=⎩，，解得25mn=⎧⎨=⎩，，所以m-n=-3.2.(2019·江苏第5题)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，那么φ的值是.【答案】π6【解析】由题意知cos π3=12=sinπ23ϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，解得2π3+φ=π6+2kπ，k∈Z或2π3+φ=5π6+2kπ，k∈Z，故φ=-π2+2kπ，k∈Z或φ=π6+2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π]，则φ=π6.3.(2019·江苏第8题)已知tan α=-2，tan(α+β)=17，那么tan β=.【答案】3【解析】方法一：tan β=tan(α+β-α)=tan()-tan1tan()tanαβααβα+++=12711(-2)7++⨯=3.方法二：由tan(α+β)=tan tan1-tan tanαβαβ+，得-2tan12tanββ++=17，解得tan β=3.4.(2019·江苏第9题)定义在区间[0，3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是. 【答案】7【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin 2x 与y=cos x 在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点.(第4题)5.(2019·江苏第12题)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，C P uuu r =3PD uuu r ，AP uuu r ·B P uuu r=2，那么AB uuu r ·AD uuu r的值是 .(第5题)【答案】22【解析】以AB AD uuu r uuu r ，为基底，因为C P uuu r =3PD uuu r ，AP uuu r ·B P uuu r=2，又AP uuu r =AD uuu r +D P uuu r =AD uuu r +14AB uuu r ，B P uuu r =B C uuu r +C P uuu r =AD uuu r -34AB uuur ，所以AP uuu r ·B P uuu r =2=14AD AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ·3-4AD AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r u u u r =2A D u u u r -12AD u u u r ·AB uuu r -2316ABu u u r .因为AB=8，AD=5，所以2=25-316×64-12AB uuur ·AD uuur ，故AB uuu r ·AD uuu r =22.6.(2019·江苏第13题)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，若B A uuu r ·C A uuu r =4，BF uuu r ·C F uuu r =-1，则B E uuu r ·C E uuur 的值是 .(第6题)【答案】78【解析】方法一：设DF uuu r =a ，D B uuu r =b ，则DC uuu r =-b ，DE uuu r =2a ，D A uuu r =3a ，所以B A uuu r =D A uuu r -D B uuu r =3a -b ，C A uuu r =D A uuu r -DC uuu r =3a +b ，B E uuu r =DE uuu r -D B uuu r=2a -b ，C E uuu r =DE uuu r -DC uuu r =2a +b ，BF uuu r =DF uuu r -D B uuu r =a -b ，C F uuu r =DF uuu r -DC uuu r=a +b ，所以B A uuu r ·C A uuu r =9a 2-b 2，BF uuu r ·C F uuu r =a 2-b 2，B E uuu r ·C E uuur =4a 2-b 2. 又因为B A uuu r ·C A uuu r =4，BF uuu r ·C F uuur =-1，所以9a 2-b 2=4，a 2-b 2=-1，解得a 2=58，b 2=138，所以B E uuu r ·C E uuur =4a 2-b 2=458⨯-138=78.方法二：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(-a ，0)，点C 的坐标为(a ，0)，点A 的坐标为(b ，c )，所以B A uuu r=(b+a ，c )，C A uuu r =(b-a ，c )，BF uuu r =33b c a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，C F uuu r =-33b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 因为B A uuu r ·C A uuu r =b 2-a 2+c 2=4，BF uuu r ·C F uuur =29b -a 2+29c =-1，所以b 2+c 2=458，a 2=138.又因为B E uuu r =BD uuu r +DE uuu r =2233c b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，C E uuur =C D uuu r +DE uuu r =23⎛ ⎝b-a ，23c ⎫⎪⎭，所以B E uuu r ·C E uuur =49b 2-a 2+249c =49×458-138=78.7.(2019·江苏第15题)在△ABC 中，已知AC=6，cos B=45，C=π4.(1)求边AB 的长；(2)求cos π-6A ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解答】(1)因为cos B=45，0<B<π，所以sin35.由正弦定理知sin AC B =sin AB C ，所以AB=·sin sin AC CB=6235=(2)在△ABC 中，因为A+B+C=π，所以A=π-(B+C )，所以cos A=-cos(B+C )=-cos π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos B cos π4+sin B sin π4. 又cos B=45，sin B=35，故cos A=-45×2+35×2=-10. 因为0<A<π，所以sin10，所以cos π-6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos A cos π6+sin A sin π6=-10×2+10×12=20.。

2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分专题2 立体几何第1讲平行与垂直

第1讲平行与垂直【课前热身】第1讲平行与垂直(本讲对应学生用书第10~13页)1.(必修2 P41练习1改编)给出下列四个命题：①平行于同一条直线的两个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面垂直；③平行于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面垂直.其中正确的命题是.(填序号)【答案】③【解析】①中两个平面可以相交；②中两个平面平行；④中两个平面的位置关系不确定.2.(必修2 P37练习3改编)若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线条数为. 【答案】无数条【解析】因为直线a与平面α不垂直，则直线a在平面α内的射影必为一条直线，与射影垂直的直线必定会与直线a垂直，故有无数条.3.(必修2 P41-42练习13改编)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.(第3题(1))【解答】如图(2)，取PD的中点Q，连接NQ，QA，则在△PDC中，QN∥DC，(第3题(2))且QN=12DC.又因为底面ABCD是矩形，故AB DC.因为AM=12AB，所以QN∥AM，且QN=AM，则四边形AMNQ为平行四边形，即有MN∥QA.又QA⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.4.(必修2 P50练习9改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面BDD1B1有何位置关系?对你给出的结论加以证明.(第4题)【解答】平面AB1C与平面BDD1B1垂直，证明如下：在正方体A1B1C1D1-ABCD中，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.在正方形ABCD内，AC⊥BD.又因为BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1.又因为AC⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面BDD1B1.【课堂导学】线面基本关系的判定例1(2019·南京三模)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是.(填序号)【答案】①④【解析】①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m，因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β，因为m⊂β，所以m∥α.变式(2019·镇江期末)设b，c表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)【答案】④【解析】①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，c与β斜交，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确.平行与垂直的证明例2(2019·南京学情调研)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点.(1)求证：PC∥平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.(例2(1))【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接OE.(例2(2))因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC.因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)因为E为PA的中点，PD=AD，所以PA⊥DE.因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE.因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE.因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB.变式(2019·苏北四市摸底)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥平面ABCD，E为棱PA上一点.(1)求证：BD⊥OE；(2)若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO∥平面PBC.(变式)【解答】(1)因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.又因为OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD，AB=2CD，AC与BD交于点O，所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2.又因为AE=2EP，所以CO∶OA=PE∶EA，所以EO∥PC.又因为PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，所以EO∥平面PBC.例3(2019·江苏信息卷)如图(1)，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，∠BDC=45°，点M在线段EC上.(1)若EM=2CM，求证：AE∥平面BDM；(2)求证：平面BDM⊥平面ADEF.(例3(1))【点拨】可通过计算利用勾股定理的逆定理来判断垂直.【分析】(1)要证明线面平行，即要通过线线平行来证明，所以本题的关键是在平面BDM 中找一条线和AE平行；(2)要证明面面垂直，可通过线面垂直的性质来证明，即要寻找垂直于平面的直线，可通过BD⊥平面ADEF来证明.【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接MO.(例3(2))因为AB∥CD，AB=2CD，所以AO=2CO.因为EM=2CM，所以AE∥MO.又因为AE⊄平面BDM，MO⊂平面BDM，所以AE∥平面BDM.(2)设DC=1，由题意知DC⊥BC，BC=1，BD=2在梯形ABCD中，AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC=45°，因为AB=2DC=2，所以在△ABD中，由余弦定理知22-2cosAB BD AB BD ABD∠+⋅2因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以AD⊥BD.因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADEF.因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.变式(2019·启东中学)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC，M为BC的中点，N为AC上一点，且MN∥平面PAB.(1)求证：直线AB∥平面PMN；(2)若BC=2AC，∠ABC=30°，求证：平面ABC⊥平面PMN.(变式)【解答】(1)因为MN∥平面PAB，MN⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以MN∥AB.因为MN⊂平面PMN，AB⊄平面PMN，所以AB∥平面PMN.(2)因为BC=2AC，∠ABC=30°，3，由余弦定理可得AB=所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC.由(1)知MN∥AB，所以MN⊥AC.因为PA=PC，AN=CN，所以PN⊥AC.又MN，PN⊂平面PMN，MN∩PN=N，所以AC⊥平面PMN.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PMN.线面位置关系的拓展例4如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G为线段PC上的点.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PC⊥平面BGD，求PGGC的值.(例4)【分析】(1)中易证BD⊥PA，要借助AB=BC与∠ABC=120°说明BD⊥AC，即位置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求PGGC的值，即先分别求得PG，GC的值，这要借助勾股关系与方程思想.【解答】(1)由已知得△ABC是等腰三角形，且底角等于30°.由AB=BC，AD=CD，BD=DB，得△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD=60°，且∠BAC=30°，所以BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)由已知得22PA AC+312+15因为PC⊥平面BGD，GD⊂平面BGD，所以PC⊥GD.在△PDC中，37+10CD=715设PG=x，则15，所以PD2-PG2=CD2-CG2，即10-x2=7-(15-x)2，所以PG=x=3155，CG=2155，所以PGGC=32.【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外，借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当的了解和关注.数量运算主要还是体现在垂直上，即有勾股关系的适当介入.变式(2019·广东卷)如图，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，且PD=PC=4，AB=6，BC=3.(1)求证：BC∥平面PDA；(2)求证：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离.(变式)【解答】(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD.在Rt△PED中，22-PD D E224-37因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.由(2)知，BC⊥平面PDC，由(1)知，BC∥AD，所以AD⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为CPDA V 三棱锥=PACDV 三棱锥，所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE ，即h=·ACD PDA S PE S V V =136721342⨯⨯⨯⨯⨯=372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.【课堂评价】1.若α，β是两个相交平面，直线m ⊂α，则在平面β内，与直线m 垂直的直线.(填写“存在”或“不存在”) 【答案】存在【解析】若m 与两个平面的交线平行或m 为交线，显然存在；若m 与交线相交，设交点为A ，在直线m 上任取一点B (异于点A )，过点B 向平面β引垂线，垂足为C ，则直线BC ⊥平面β，在平面β内作直线l 垂直于AC ，可以证明l ⊥平面ABC ，则l ⊥m.2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不同的直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题是.(填序号)【答案】②③④【解析】对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故①错误；对于②，因为n∥α，所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.3.(2019·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC.(第3题)【解答】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC=BC，AM=BM，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC.4.(2019·镇江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点.(1)求证：AM∥平面PBC；(2)求证：CD⊥AP.(第4题)【解答】(1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB=CM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形.所以AM∥BC.又因为BC⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，所以AM∥平面PBC.(2)连接PM，因为PD=PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM.又因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM.因为CD⊥AM，CD⊥PM，PM⊂平面PAM，AM⊂平面PAM，PM∩MA=M，所以CD⊥平面PAM. 因为AP⊂平面PAM，所以CD⊥AP.5.(2019·南京期初)如图(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点.(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，且AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.(第5题(1))【解答】(1)如图(2)，连接A1C.(第5题(2))在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，所以AD⊥平面BB1C1C.又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.又由(1)知，MN∥BC，所以MN⊥AD.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第5~6页.【检测与评估】专题二立体几何第1讲平行与垂直一、填空题1.(2019·盐城中学)下列对直线与平面平行的判定与性质的理解正确的是.(填序号)①若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.②若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的无数条直线.③若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.④若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.2.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是.(填序号)①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.3.(2019·启东中学)若PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是.(填序号)①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.4.(2019·海安中学)若P为△ABC所在平面外一点，AC=2a，△PAB，△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于.(第5题)6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是.(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.(第6题)二、解答题7.(2019·淮安5月信息卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D为AB的中点.(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点E为AC的中点；(2)若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC.(第7题)8.(2019·泰州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB 的中点.(1)求证：直线DF∥平面PAC；(2)求证：PF⊥AD.(第8题)9.(2019·南通、扬州、泰州、淮安三调)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC∥平面BMN；(2)求证：平面BMN⊥平面PAC.(第9题)10.(2019·苏锡常镇调研(二))如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AA1=2AB，D是AB的中点.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP=14BB1，求证：AP⊥平面A1CD.(第10题)【检测与评估答案】专题二立体几何第1讲平行与垂直一、填空题1.②【解析】①中没有说明直线在平面外，故错误；②正确；③中的直线必须在平面外才成立；④中过点P且平行于a的直线有且只有一条.2.②【解析】因为m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β；而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面.3.①②【解析】因为BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB，所以①正确，同理AD⊥平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB，所以②正确.4.垂直【解析】如图所示，因为PA=PB=PC=AB=BC=a，取AC的中点D，连接PD，BD，则PD⊥AC，BD⊥AC.又AC=2a，所以PD=BD=2 2 a.在△PBD中，PB2=BD2+PD2，所以∠PDB=90°，所以PD⊥BD，所以PD⊥平面ABC.又PD 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(第4题)5.2【解析】由EF∥平面AB1C可得EF∥AC，点E为AD的中点，则F为DC的中点，所以EF=12AC.而在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，所以EF=12AC=12×22=2.6.④【解析】因为AD与AB不垂直，所以①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；因为BC∥AD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，④正确.二、解答题7. (1) 平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE.在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点.(第7题)(2) 因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD.因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，如图，在锐角三角形PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC.8. (1) 因为点D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC.又因为DF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以直线DF∥平面PAC.(2) 因为∠PAC=∠BAC=90°，所以AC⊥AB，AC⊥AP.又因为AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.因为PF⊂平面PAB，所以AC⊥PF.因为PA=PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB.又AC∩AB=A，AC，AB⊂平面ABC，所以PF⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥PF.9. (1) 如图，连接AN，设AC与BN交于点O，连接MO.(第9题)因为AB=12CD，AB∥CD，N为CD的中点，所以AB=CN，AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点.又M为PA的中点，所以MO∥PC.又因为MO⊂平面BMN，PC⊄平面BMN，所以PC∥平面BMN.(2) 方法一：因为PC⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以PC⊥AD.由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC.因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC.因为PC∩AC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BN⊥平面PAC.因为BN⊂平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.方法二：如图，连接PN.因为PC⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以PC⊥PA. 因为PC∥MO，所以PA⊥MO.因为PC⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以PC⊥PD.因为N为CD的中点，所以PN=12CD，由(1)得AN=BC=12CD，所以AN=PN.因为M为PA的中点，所以PA⊥MN.因为MN∩MO=M，MN⊂平面BMN，MO⊂平面BMN，所以PA⊥平面BMN.因为PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.10. (1) 如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD.(第10题)因为四边形AA1C1C是矩形，所以O是AC1的中点.在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，所以OD∥BC1. 又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2) 因为CA=CB，D是AB的中点，所以CD⊥AB.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，底面ABC∩侧面AA1B1B=AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面AA1B1B.因为AP⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AP.因为BB1=AA1=，BP=14BB1，所以BPAB=4=1ADAA，所以Rt△ABP∽Rt△A1AD，从而∠AA1D=∠BAP，所以∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90°，所以AP⊥A1D.又因为CD∩A1D=D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以AP⊥平面A1CD.。

江苏省高考数学二轮复习课时正文教案学案课后训练

目录专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1第2讲函数、图象及性质3第3讲基本初等函数5第4讲函数的实际应用7第5讲不等式及其应用9第6讲导数及其应用11滚动练习(一)13专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质15第8讲三角变换与解三角形17第9讲平面向量及其应用19滚动练习(二)21专题三数列第10讲等差数列与等比数列23第11讲数列求和及其综合应用25滚动练习(三)27专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用29第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)31滚动练习(四)33专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积35第15讲点、直线、平面之间的位置关系37滚动练习(五)39专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计41第17讲算法、复数43滚动练习(六)45专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想47第19讲函数与方程思想49第20讲数形结合思想51第21讲转化与化归思想53滚动练习(七)55专题八高考数学题型训练第22讲高考题中的填空题解法57第23讲高考题中的解答题解法59滚动练习(八)61专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 命题“，有x 2>0”的否定是______________．2. 已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x|log 2x ＞1}，则M ∩N ＝________.3. 若命题“∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．4. 若集合A ＝{y|y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝{y|y ＝2－1x ，0<x ≤1}，则A ∩B ＝________.5. 已知a ，b 均为实数，设集合A ＝xa ≤x ≤a ＋45，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪b －13≤x ≤b，且A 、B 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集．如果把n －m 叫做集合{x|m ≤x ≤n}的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是________.6. 已知条件p ：x 2＋x －6<0，条件q ：mx ＋1>0(关于x 的不等式)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________________．7. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8. 设集合M ＝{(x ，y)|y ＝16－x 2}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋a}，若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______________．9.记函数f(x)＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g(x)＝lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B. (1) 求集合A ； (2) 若求实数a 的取值范围．10. 已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．第2讲函数、图象及性质1. 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)＝f(x＋2)恒成立，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则当x∈[2,3]时，函数f(x)的解析式为____________．2. 函数y＝xx－m在区间(1，＋∞)内是减函数，则实数m的取值范围是________.3. 若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.4. 定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数a的取值范围为________．5. 函数f(x)＝|x－2|－1log2(x－1)的定义域为________．6. 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f(x)，若f(2)＝12，则f(2 012)＝________.7. 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的值为________．8. 已知t为实常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝________.9. 已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[－1,1](a∈R)．(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 判断g(x)的单调性；(3) 若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．10.设函数f(x)对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2，(1) 求证：f(x)是奇函数；(2) 试问在－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说明理由．第3讲基本初等函数1. lg 22＋lg2lg5＋lg50＝________.2. y ＝log a (2－ax)(a>0，a ≠1)在[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．3. 不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________.4. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必过定点坐标为________.5. 函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________.6. 函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a]，则f(x)的值域为________．7. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是________．8. 函数y ＝log a x ＋1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn>0)上，则1m ＋1n的最小值为________．9. 已知函数f(x)＝12p x2－x＋3在区间[－1,2]上的最大值M，最小值m，当实数p为何值时2M＋m＝3.10.函数f(x)＝log a(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y＝f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y＝g(x)图象上的点．(1) 写出函数y＝g(x)的解析式；(2) 当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围．第4讲函数的实际应用1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f(x)＝2，则x ＝________.2. 一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本________．3. 方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的一根在(0,1)内，另一根在(2,3)内，则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f(x)＝a x －x －a (a>0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．5. 某公司将进价8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应定为每个________元．6. 已知函数f(x)＝ax ＋2a ＋1，当x ∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a 的取值范围是________________．7. 函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.8. 设函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c ，则下列命题中所有正确命题的序号是________．①当b<0时，f(x)在R 上有最大值；②函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；③方程f(x)＝0可能有4个实根；④一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，(a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f(x)≤18(x ＋2)2成立．(1) 证明：f(2)＝2；(2) 若f(－2)＝0，求函数f(x)的表达式；(3) 在(2)的条件下，设g(x)＝f(x)－m2x ，x ∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m 的取值范围．10.有时可用函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，(x ≤6)，x －4.4x －4，(x>6)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1) 证明：当x ≥7时，掌握程度的增加量f(x ＋1)－f(x)总是下降；(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e 0.05≈4139)第5讲不等式及其应用1. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R )的部分对应值如下表，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是________.2. 已知关于x 的不等式ax ＋b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是________．3. 若变量x ，y 满足约束条件{ 3≤2x ＋y ≤9，≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．4.已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为________．5.若x>0，y>0且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是________．6.当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．7.已知变量x ，y 满足约束条件{ x －y ＋2≤0，≥1，＋y －7≤0，则yx的取值范围是________．8. 对一切正整数n ，不等式2x －1|x|>nn ＋1恒成立，则实数x 的取值范围是________．9. 某隧道长2 150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身长都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x 米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x 米的距离，其中a 为常数且12≤a ≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) .(1) 将y 表示为x 的函数；(2) 求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．10.已知函数f(x)＝3x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋mx －2在(2，＋∞)上单调增，求实数m 的取值范围； (3) 若对于任意的x ∈[－2,2]，f(x)＋n ≤3都成立，求实数n 的最大值．第6讲导数及其应用1. 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________________．(第2题)2. 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.3. 曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________．4. 设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，在P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.5. 已知函数f(x)＝lnx＋2x2＋ax＋1是单调递增函数，则实数a的取值范围是________6. 已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m ＝________.7. 若方程x3－3x＋a＝0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是________．8. 已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0 成立，则实数a＝________.9. 设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(1) 用t表示a，b，c；(2) 若函数y＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，求实数t的取值范围．10.已知a>0，b∈R，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)，g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间[－1，＋∞)上恒成立．(1) 求实数b的取值范围；(2) 当b取最小值时，讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－1，＋∞)上的单调性．滚动练习(一)1. 幂函数f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f(8)＝________.2. 命题“x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．3. 已知函数f(x)＝{ －x ＋1，x<0，，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是________．4. 函数f(x)＝xx ＋1的最大值为________．5. 函数f(x)＝12ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)＋1x的定义域为________．6. 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．7. 对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax>4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________．8. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则实数a ＝________.9. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．10. 设a>1，对于任意的x ∈[a,2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值范围为________．11. 如果条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．12. 设二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋a ，方程f(x)－x ＝0的两实根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1.(1) 求实数a 的取值范围；(2) 试比较f(0)·f(1)－f(0)与116的大小，并说明理由．13.水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V(t)＝⎩⎨⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1) 该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i －1<t<i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，同一年内哪几个月份是枯水期？(2) 求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)．14.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1x ，x ∈[－2，－1)，－2，x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12，－1x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2. (1) 求f(x)的值域；(2) 设函数g(x)＝ax －2，x ∈[－2,2]，若对于任意x 1∈[－2,2]，总存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，求实数a 的取值范围．专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. 把函数y ＝sinx(x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.3. 已知函数f(x)＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________.4. 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得到的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．5. 方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0一定有解，则实数a 的取值范围是________．(第6题)6. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值等于________．7. 设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎫π2x ＋π5，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．8. 定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cosx 的图象与y ＝5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．9. 已知函数f(x)＝－acos2x －23asinx·cosx ＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求实常数a 、b 的值．10.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求函数f(x)的最值．第8讲三角变换与解三角形1. 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα＝________.2. 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝________.3. 若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝________.4. 已知α是第三象限角，且sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，则sin2α的值是________．5. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cosC ，则tanC tanA ＋tanCtanB ＝________.6. 设sinα＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值等于________.7. 在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cosC ＝1314，则最大内角的余弦值为________．8. 在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c)2，则sinA ＝________.9. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1) 求△ABC 的周长； (2) 求cos(A －C)的值．10.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，且cosA ＝45.(1) 求sin 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2) 若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．第9讲平面向量及其应用1. 已知向量a ＝(3,4)，b 满足a ·b ＝0且|b |＝1，则b ＝________.2.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.4.O 为△ABC 中的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________.5.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.6. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.7.设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为________．8. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AmB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．(第8题)9. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cosA ，sinA)，且m ·n ＝0，(1) 求角A;(2) 若1＋sin2Bcos 2B －sin 2B ＝－3，求tanC.10.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝13，∠ADC ＝90°，且AB →·AC →＝50. (1) 求sin ∠BAD 的值；(2) 设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求S △ABD S △BCD的值．(第10题)滚动练习(二)1. 设集合M ＝{m ∈Z |－3<m<2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝________.2. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x 3－2x ＋1，则f(1)＝________.3. cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4. 函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．5. 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．6. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.7. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．8. “m ＝－2”是函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是________.10. 已知函数f(x)＝x 2－cosx ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 21>x 22；③|x 1|>x 2；④x 1>|x 2|.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是________．(填上所有的可能情况)11. 已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0.(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12.已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．13.△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA ＝1213.(1) 求AB →·AC →；(2) 若c －b ＝1，求a 的值．14. 直角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，分别在AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．(第14题)专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值时的n 值是________．4. 等比数列{a n }的公比q>0, 已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.5. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．7. 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________.8. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.9. 已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n＝b12＋b222＋…＋b n2n，求数列{b n}的前n项和S n.10.已知数列{a n}和{b n}满足：a1＝1，a2＝2，a n>0，b n＝a n a n＋1(n∈N*)，且{b n}是以q为公比的等比数列．(1) 证明：a n＋2＝a n q2；(2) 若c n＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{c n}是等比数列；(3) 求和：1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋…＋1a2n－1＋1a2n.第11讲数列求和及其综合应用1. 数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)的前n 项和为________．2. 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝________.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________T 16T 12成等比数列．4. 等差数列前p 项的和为q ，前q 项的和为p ，(p ≠q)则前p ＋q 项的和为________．5. 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n }的通项公式b n＝________.6. 设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为________．7. 数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a)n ＋6＋2a(其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是________．8. 数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3，其前n 项和为S n ，则S 30＝________.9. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(1＋λ)－λa n ，其中λ≠－1,0. (1) 证明：数列{a n }是等比数列；(2) 设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝12，b n ＝f(b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求数列{b n }的通项公式；(3) 记λ＝1，c n ＝a n ⎝⎛⎭⎫1b n－1，求数列{c n }的前n 项和T n .10.已知数列{a n }的首项为a(a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a(t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求实数a 的取值范围；(3) 当t ≠1时，若c n ＝2＋∑i ＝1nb i ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t)．滚动练习(三)1. 设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{1,3}，则(A ∪B)＝________.2. 设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝csinC ，那么∠A＝________.3. 在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝60，则2a 9－a 10的值为________．4. 若函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为________.5. 若函数f(x)＝xmx 2＋mx ＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．6. 已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －9≤0，则z ＝x ＋y 的最大值是________．7. 函数y ＝x －2cosx 在(0,2π)内的单调减区间为________.8. 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，b －a)，n ＝(a －c ，b)，若m ⊥n ，则∠C 等于________．9. 已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0，－2)，B(－3,2)是其图象上的两点，那么不等式|f(x －2)|>2的解集是________．10. 已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －t (a n ≥t )，t ＋2－a n (a n<t )，且t<a 1<t ＋1，其中t>2，a n ＋k ＝a n (k ∈N *)，则实数k 的最小值是________．11.设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x ＋π)cosx(x ∈R )． (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函数y ＝f(x)的图象向右平移π4个单位后再向上平移32个单位得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．12.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1) 求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2) 设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M进行更新，证明：须在第9年初对M 进行更新．13.已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若x ＝23时，y ＝f(x)有极值．y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010. (1) 求a ，b ，c 的值；(2) 求y ＝f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且－1，S n ，a n ＋1成等差数列，n ∈N *，a 1＝1.函数f(x)＝log 3x.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与512－2n ＋5312的大小．专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用1.过点(1，－2)且倾斜角是120°的直线方程是________________．2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．3.若圆心在x轴上、半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________________．4.点(2,3)到圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点的距离的最大值是________．5.已知圆x2＋y2－2x－2y＝0上恰有3个点到直线x＋y＋a＝0的距离等于22，则实数a＝________.6.若直线y＝kx－2与圆x2＋y2＝2相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，实数k的值为________．7.若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．8.已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2与圆C1外切，且与直线x＝3切于点(3,1)，则圆C2的方程为________________．9. 已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆经过原点O ，且分别交x 轴，y 轴于点A ，B.点A ，B 与点O 不重合．(1) 求证△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，OM ＝ON ，求圆C 的方程．10.已知过点A(0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，相交于M 、N 两点．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 求证：AM →·AN →是定值；(3) 若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 抛物线x ＝4y 2的焦点坐标是________．2.离心率为53，一条准线方程为x ＝3，中心在坐标原点的椭圆方程是________．3.若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．4.已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x －y ＝0，则该双曲线的标准方程为________．5.△ABC 中，A(－2,0)，B(2,0)，且AC 、AB 、BC 成等差数列，则点C 的轨迹方程是________________.6.已知直线mx ＋ny ＝2(m>0，n>0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，当1m ＋2n 取最小值时，双曲线x 2m 2－y 2n2＝1的离心率是________．7.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C 在双曲线的右支上，则sinA －sinBsinC的值是________．9. 离心率为45的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上有一点M 到椭圆两焦点的距离之和为10.以椭圆C 的右焦点F(c,0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT ，T 为切点，且点P 满足|PT|＝|PB|(B为椭圆C 的上顶点)．(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点P 的轨迹的方程．10. 如图，已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M.(1) 若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(2) 设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点坐标为(0,9)时，求这个圆的方程．(第10题)滚动练习(四)1. 设全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{－2，－1,0}，B ＝{0,1,2}，则(A)∩B ＝________.2. 已知函数f(x)在区间[a ，b]上连续，则f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间(a ，b)上有零点的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)3. 函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的定义域是________．4. 函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f(1)＋f ′(1)＝________.5. 函数f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3的值域是________．6. 设f(x)为偶函数，且对任意的正数x 都有f(2＋x)＝－f(2－x)，若f(－1)＝4，则f(－3)等于________．7. 若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值是________.8. △ABC 中，∠ACB ＝60°，sinA ∶sinB ＝8∶5，则以A 、B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率是________．9. 设e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量. 已知OM →＝e 1，ON →＝e 2，OP →＝x·OM →＋y·ON →(x ，y 为实数). 若△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则x －y 的取值集合是________．10. 已知函数f(x)＝cosx ，g(x)＝sinx ，记S n ＝2∑k ＝12nf ⎝⎛⎭⎫(k －1)π2n －12n ∑k ＝12n g ⎝⎛⎭⎫(k －n －1)π2n ，T m ＝S 1＋S 2＋…＋S m (m ∈N *)，若T m <11，则m 的最大值为________．11. 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R )，至少有一个负的实根的充要条件．12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC ＝3acosB －ccosB.(1) 求sinB 的值；(2) 若BA →·BC →＝2，b ＝22，求a 和c 的值．13.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两动点，且F 1M →·F 2N →＝0.(1) 判定原点O 与以MN 为直径的圆的位置关系；(2) 设椭圆离心率为12，MN 的最小值是215，求椭圆方程．14.已知函数f(x)＝x 3a 2图象上斜率为3的两条切线间的距离为2105，函数g(x)＝f(x)－3bxa 2＋3.(1) 若函数g(x)在x ＝1处有极值，求g(x)的解析式；(2) 若函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数，且b 2－mb ＋4≥g(x)在区间[－1,1]上都成立，求实数m 的取值范围．专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________．2. 在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．3. 底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________m2.4. 用半径为10 2 cm，面积为1002π cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计), 则该容器盛满水时的体积是________．(第5题)5. 如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面运动一周回到B点，则质点B运动所走的最短路程为________6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们面积分别是6 cm2、4 cm2、3 cm2，那么它的外接球体积是________cm3.(第7题)7. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均等于1，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则该三棱柱的体积是________．8. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．9. 在边长为6 cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．(1) 判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；(2) 求多面体E—AFNM的体积．(第9题)10.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱. 求圆柱的侧面积，并求圆柱侧面积最大时x的值．第15讲点、直线、平面之间的位置关系1. 直线与平面的位置关系有________、________和________，其中________和________统称为直线在平面外；平面与平面的位置关系有________________．2. 过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．3. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的有________．(填上所有正确命题的序号)① l1⊥l2，l2⊥l31∥l3；② l1⊥l2，l2∥l31⊥l3；③ l1∥l2∥l31，l2，l3共面；④ l1，l2，l3共点1，l2，l3共面．4. 已知m、n、l是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中，正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；②若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；③若m∥β，，，则m∥n；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.(第5题)5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为BB1的中点，AC、BD交于点O，则D1O与平面AMC所成的角为________．6. 已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB ＝PC＝1 cm，则球的表面积为________cm2.7. 已知平面α、β、γ，直线l、m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么① m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．8. 设α、β为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，，则n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m ，，n ⊥m ，则n ⊥β； ③若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β； ④若，，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中，所有真命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)9.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点．(1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2) 若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面A 1BD.(第9题)10.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中．(1) 若BB 1＝BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2) 设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值．(第10题)滚动练习(五)1. 命题“∈R ，sinx>0”的否定是________________．2. 函数y ＝log a (x －3)(a>0，a ≠1)在(a ，＋∞)上单调增，则a 的取值范围是________.3.tan22.5°1－tan 222.5°＝________.4. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大小为________．5. 设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝abx ＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．6. 下列说法中正确的是________________．(填上所有正确命题的序号) ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一个平面的两条直线平行；③若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则直线垂直于该平面； ④垂直于同一平面的两条直线平行．7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是________. (填上所有正确命题的序号)①⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，β∥γ∥γ；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ∥β⊥β；③⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n ，∥α；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，∥β；8.如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．9.f(x)是偶函数，在(－∞，0]上是减函数，若f(－1)<f(lgx)，则实数x 的取值范围是________．10.若平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以a 、b 为邻边的平行四边形的面积是12，则向量a 、b 的夹角θ的取值范围是________.11.已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将AED 折起，使DB ＝23，O 、H 分别为AE 、AB 的中点．(第11题)(1) 求证：直线OH ∥面BDE ； (2) 求证：面ADE ⊥面ABCE.12.如图，等边△ABC 与直角梯形ABDE 所在平面垂直，BD ∥AE ，BD ＝2AE ，AE ⊥AB ，M 为AB 的中点．(第12题)(1) 证明：CM ⊥DE ；(2) 在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN.13. 设点O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1) 求实数m 的值；(2) 求直线PQ 的方程．14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足：b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，且b 3＝11，前9项和为153.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＜k57对一切(n ∈N *)都成立的最小正整数k 的值；(3) 设n ∈N *，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，问是否存在m ∈N *，使得f(m ＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1. 某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，则其中支出在[50,60]元的同学人数有________．(第1题)2.样本数据11,8,9,10,7的方差是________．3.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 的值为________．5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：6.若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________．7. 右表是某工厂1至4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x。

最新届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案

专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x ＜0，有x 2≤02. (2,3) 解析：M ＝(－∞，3)，N ＝(2，＋∞)，∴ M ∩N ＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a －1)2－4＞0.4. [－1,1] 解析：集合A ＝[－1,1]，B ＝(－∞，1]，∴ A ∩B ＝A.5. 215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ，a ＋45≤10≤a ≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b －13≥0，b ≤113≤b ≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A ∩B 的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13 解析：p ：x 2＋x －6＜0为真，则不等式的解集为A ＝(－3,2)，由q ：mx ＋1＞0得m ＝0时，解集为B ＝R ，m ＞0时，解集为B ＝⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞，m ＜0时，解集为B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，m ＝0时，A B 成立；m ＞0时，－1m ≤－3,0＜m ≤13；m ＜0时，－1m ≥2，－12≤m ＜0，综上m ∈⎣⎡⎦⎤－12，13. 7. 12 解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x ，则只喜爱篮球的有15－x ，只喜爱乒乓球的有10－x ，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞) 解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x ＋3x ＋1≥02x ＋2－(x ＋3)x ＋1≥0x －1x ＋1≥0(x －1)(x ＋1)≥0且x ≠－1x ≥1或x ＜－1.∴ 集合A ＝{x|x ≥1或x ＜－1}．(2) (x －a －1)(2a －x)＞0(a<1)(x －a －1)(x －2a)＜0.∵ a ＜1，∴ 2a ＜a ＋1.∴ 2a ＜x ＜a＋1.∴ 不等式的解为2a ＜x ＜a ＋1.∴ 集合B ＝{x|2a ＜x ＜a ＋1}．∵ B A ，∴ 2a ≥1或a ＋1≤－1，∴ a ≥12或a ≤－2.又a<1，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1. 10. 解：若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＞0，－m ＜0m ＞2.若命题q 为真，Δ＝16(m －2)2－16＜0,1＜m ＜3.p 或q 为真，p 且q 为假，所以若命题p 为真，命题q 为假，则m ≥3；若命题p为假，命题q 为真，则1＜m ≤2，综上，则实数m 的取值范围是{m|1＜m ≤2或m ≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x －2)2 解析：函数满足f(x)＝f(x ＋2)，函数周期为2.则x ∈[2,3]，x －2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x ＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解：任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析：二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )， ∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立，即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明：当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解：由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号．即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18；当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数，故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)．当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2，－2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5；当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sinα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ，所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ，当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ，此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010，有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。

2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分专题5 解析几何第1讲直线与圆

第1讲直线与圆【课前热身】第1讲直线与圆(本讲对应学生用书第38~40页)1.(必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y=-2x+3 的斜率相等，则该直线的方程为.【答案】y=-2x+4【解析】设直线方程为y=-2x+b，代入点P(1，2)，得b=4，所以所求直线的方程为y=-2x+4.2.(必修2 P111练习8改编)在平面直角坐标系xOy中，若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为.【答案】(-∞，-2)【解析】曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可以变形为(x+a)2+(y-2a)2=4，它表示以(-a，2a)为圆心、2为半径的圆，该圆在第四象限的条件是-020|-|2|2|2aaaa>⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩，，，，解得a<-2.3.(必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线l，则切线l的方程为. 【答案】y=4或3x+4y-13=0【解析】当直线l垂直于x轴时，直线l：x=-1与圆相离，不满足条件.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y-4=k(x+1)，由于直线与圆相切，21k+1，解得k=0，k=-34，因此，所求的方程为y=4或3x+4y-13=0.4.(必修2 P117习题10改编)圆x2+y2=9与圆x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦的长为.【答案】125 5【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x-y-3=0，原点到公共弦的距离d=35，所以公共弦长为2239-5⎛⎫⎪⎝⎭=1255.5.(必修2 P117习题8改编)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆上有点P，使得∠APB=90°，则m的最小值为.【答案】4【解析】显然AB=2m，因为∠APB=90°，所以OP=12AB=m，所以要求m的最小值，即求圆C上的点P到原点O的最小距离.因为OC=5，所以OP min=OC-r=4，即m的最小值为4.【课堂导学】直线、圆的方程例1如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在直线AC上，斜边中点为M(2，0).(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(-2，0)，且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.(例1)【解答】(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3. 故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，因为M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-4 5，所以C42 -55⎛⎫ ⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心.又CM=2Rt△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r=22(2)a b++，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.因为公共弦长为4，r=22，所以M(2，0)到直线m的距离d=2，即22222(4-2)(2)a b+=2，化简得b2=3a2-4a，所以22(2)a b++244a+当a=0时，r取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x2+y2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都采用待定系数法，即根据所给条件特征恰当地选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式已知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD=410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程.【解答】(1)因为直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为(1，2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a+b-3=0. ①又因为直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b2=40. ②由①②解得-36ab=⎧⎨=⎩，或5-2.ab=⎧⎨=⎩，所以圆心P(-3，6)或P(5，-2)，所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2(2019·曲塘中学)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程.(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【点拨】存在性问题，先假设存在.【分析】(1)根据圆心C位于x轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2)假设存在这样的直线方程，则斜率必须满足相应的条件，根据平行四边形法则，可得出D 点坐标与A ，B 两点坐标之间的关系，从而通过OD 与MC 平行建立起关于斜率k 的方程，从而求出斜率k 的值.【解答】(1)设圆C ：(x-a )2+y 2=r 2(a>0)，由题意知222343r a r =⎪+⎨⎪+=⎩，，解得a=1或a=138，又因为S=πr 2<13，所以a=1. 所以圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又因为l 与圆C 相交于不同的两点，联立223(-1)4y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y ，得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，所以Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0，解得k<1-263或k>1+263，且x 1+x 2=-26-21k k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2261k k ++，又O D uuu r =O A uuu r +O B uuu r =(x 1+x 2，y 1+y 2)，MC uuu u r=(1，-3)，假设O D uuu r ∥MC uuu u r，则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2，解得k=34，因为34∉26-1-3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，∪261++3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式 (2019·天一中学)已知A (-2，0)，B (2，0)，C (m ，n ).(1)若m=1，△ABC 的外接圆的方程；(2)若以线段AB 为直径的圆O 过点C (异于点A ，B )，直线x=2交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要判断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行判断.【解答】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意可得4-20420130D F D F D F ⎧+=⎪++=⎨⎪++++=⎩，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-4=0，即x 2+y 2=4.(2)由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，设点R 的坐标为(2，t )，因为A ，C ，R 三点共线，所以A C uuu r ∥AR uuu r. 而A C uuu r =(m+2，n )，AR uuu r=(4，t )，则4n=t (m+2)，所以t=42nm +，所以点R 的坐标为422n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，点D 的坐标为222n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以直线CD 的斜率为k=2-2-2nn m m +=2(2)-2-4m n n m +=2-4mnm .而m 2+n 2=4，所以m 2-4=-n 2，所以k=2-mn n =-mn ，所以直线CD 的方程为y-n=-mn (x-m )，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O 到直线CD 的距离2=r ，所以直线CD 与圆O 相切.与圆有关的定点问题例3(2019·淮阴中学)已知圆M：x2+(y-4)2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)当切线PA的长度为23P的坐标.(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB长度的最小值.【点拨】曲线过定点问题，往往转化为等式恒成立问题.【解答】(1)由题可知，圆M的半径r=2，设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以22(0-2)(4-)b b+22AM AP+4，解得b=0或b=8 5，所以P(0，0)或P168 55⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2)设P(2b，b)，因为∠MAP=90°，所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为(x-b)2+24-2by+⎛⎫⎪⎝⎭=224(-4)4b b+，即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0，它对于任意的实数b均成立，故222-40-40 x yx y y+=⎧⎨+=⎩，，解得4xy=⎧⎨=⎩，或8545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以圆过定点(0，4)，84 55⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(3)因为圆N方程为(x-b)2+24-2by+⎛⎫⎪⎝⎭=224(-4)4b b+，即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0，①圆M：x2+(y-4)2=4，即x2+y2-8y+12=0，②②-①得圆M与圆N的相交弦AB所在的直线方程为2bx+(b-4)y+12-4b=0，点M到直线AB的距离d=25-816 b b+，相交弦长即AB=224-d=4241-5-816b b+=4241-4645-55b⎛⎫+⎪⎝⎭，当b=45时，AB有最小值11.【点评】在解有关圆的问题时，要注意平面几何中有关定理的应用，比如切线长定理、垂径定理等.变式(2019·南师附中)已知直线l1：y=x+1，圆O：x2+y2=32，直线l1被圆截得的弦长与椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的短轴长相等，椭圆的离心率e=22.(1)求椭圆C的方程.(2)过点M10-3⎛⎫⎪⎝⎭，的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为圆心O到直线l1的距离22231-22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1，又e=22，所以a=2C的标准方程是22x+y2=1.(2)方法一：假设存在点T(u，v)，若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-1 3，将它代入椭圆方程，并整理，得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，2=2263k k ±+，x 1+x 2=212189k k +，x 1x 2=2-16189k +.因为TA u u r =(x 1-u ，y 1-v )，TB u u r=(x 2-u ，y 2-v )及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r=(x 1-u )(x 2-u )+(y 1-v )(y 2-v )=(k 2+1)x 1x 2-13u k kv ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(x 1+x 2)+u 2+v 2+23v +19 =222222(66-6)-4(332-5)63u v k ku u v v k +++++当且仅当TA u u r ·TB u u r=0恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266-600332-50u v u u v v ⎧+=⎪=⎨⎪++=⎩，，，解得u=0，v=1.此时以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1). 当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，也过点T (0，1).综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0，1)，满足条件. 方法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1.若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2+213y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=169. 由2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，，解得01.x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0，1). 事实上点T (0，1)就是所求点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，过点T (0，1)，当直线l 的斜率存在，设直线方程为y=kx-13，代入椭圆方程，并整理得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12212212189-16.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为TA u u r =(x 1，y 1-1)，TB u u r=(x 2，y 2-1)及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r=x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)=(k 2+1)x 1x 2-43k (x 1+x 2)+169=22-16(1)189k k ++-43k·212189k k ++169=0，所以以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).即证明了点T (0，1)就是所求以AB 为直径的圆恒过的定点.与圆有关的定值问题例4 (2019·新海中学)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=25，圆O 1的圆心为(m ，0)，且与圆O 交于点P (3，4).过点P 且斜率为k (k ≠0)的直线l 分别交圆O ，圆O 1于点A ，B.(1)若k=1，且BP=2O 1的方程.(2)过点P 作垂直于直线l 的直线l 1分别交圆O ，圆O 1于点C ，D.当m 为常数时，试问：AB 2+CD 2是否是定值?若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由.【分析】弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，可利用勾股定理列出等式；第二问中直线与圆相交，可利用求根公式、韦达定理等求出交点坐标，进而代数论证.【解答】(1)当k=1时，直线l ：y-4=x-3，即x-y+1=0，由题意得22⎛⎪⎝⎭+2722⎛⎫⎪⎪⎝⎭=(m-3)2+42，整理得m2-14m=0，解得m=14或m=0(舍去)，所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4). 直线l：y-4=k(x-3)，即y=kx-(3k-4)，由22-(3-4)25y kx kx y=⎧⎨+=⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0，由韦达定理得3·x1=229-24-91k kk+，得x1=223-8-31k kk+.由2222-(3-4)(-)(-3)4y kx kx m y m=⎧⎨+=+⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0，由韦达定理得3·x2=229-24-961k k mk++，得x2=223-8-321k k mk++.所以x1-x2=223-8-31k kk+-223-8-321k k mk++=2-21mk+，AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)22-21mk⎛⎫⎪+⎝⎭=2241mk+.同理可得CD2=2241-1mk⎛⎫+⎪⎝⎭=22241m kk+，所以AB2+CD2=2241mk++22241m kk+=4m2为定值.【点评】本题第二问运算过程中字母比较多，在求有关点的坐标时，用到了韦达定理，本题求点的坐标也可直接解方程；在计算AB2+CD2时，要注意化简的合理性和整体思想的运用.变式(2019·泰州中学)如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程.(2)当MN=219时，求直线l 的方程.(3)BQ u u u r ·B P uuur是否为定值?如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.(变式)【解答】(1)设圆A 的半径为R. 因为圆A 与直线l 1：x+2y+7=0相切，所以R=|-147|5++=25. 所以圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x=-2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k (x+2)，即kx-y+2k=0.连接AQ ，则AQ ⊥MN. 因为MN=219，所以AQ=20-19=1.由AQ=2|-2|1k k +=1，得k=34.所以直线l 的方程为3x-4y+6=0.所以所求直线l 的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3)因为AQ ⊥BP ，所以AQ u u u r ·B P uuur=0，所以BQ u u u r ·B P uuu r =(B A uuu r +AQ u u u r )·B P uuu r =B A uuu r ·B P uuu r +AQ u u u r ·B P uuur =B A uuu r ·B P uuu r.当直线l 与x 轴垂直时，得P -2，-52.则B P uuu r =50-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又B A uuu r =(1，2)，所以BQ u u u r ·B P uuur =B A uuu r ·B P uuu r=-5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k (x+2).由(2)270y k xx y=+⎧⎨++=⎩，，解得P-4-7-51212k kk k⎛⎫⎪++⎝⎭，.所以B Puuu r=-5-51212kk k⎛⎫⎪++⎝⎭，.所以BQu u u r·B Puuu r=B Auuu r·B Puuu r=-512k+-1012kk+=-5.综上所述，BQu u u r·B Puuu r是定值，且BQu u u r·B Puuu r=-5.【课堂评价】1.(2019·泰州期末)已知直线y=kx(k>0)与圆C：(x-2)2+y2=1相交于A，B两点，若AB=55，则k= . 【答案】12【解析】依题意，圆心到直线的距离251-5⎛⎫⎪⎪⎝⎭55，21k+55，解得k=±12.又k>0，所以k=12.2.(2019·武汉质检)若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点.【答案】(0，2)【解析】直线l1：y=k(x-4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).3.(2019·南通二模)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (-2，0)的直线与圆x 2+y 2=1相切于点T ，与圆(x-a )2+(y-2=3相交于点R ，S ，且PT=RS ，则正数a 的值为 .【答案】4【解析】因为PT 与圆x 2+y 2=1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT=1，OP=2，∠OTP=π2，从而∠OPT=π6，PT=PT 的方程为2=0.因为直线PT 截圆(x-a )2+(2=3得弦长RS=，设圆心到直线的距离为d ，则d=|32|2a ±+，又2d=32，即|a±3+2|=3，解得a=-8，-2，4.因为a>0，所以a=4.4.(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 . 【答案】3【解析】由题意得两圆相切或相离，即1≤|r-1|或1≥r+1.因为r>0，所以r ≥2.由N 的任意性得r min =|OM-1|≥2，即OM ≥3.所以a 2+(3-a )2≥9，即a (a-3)≥0.因为a>0，所以a ≥3.故a 的最小值为3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第19~20页.【检测与评估】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1.(2019·沈阳检测)若直线l：xa+yb=1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是.2.(2019·连云港四校联考)已知圆C的圆心C在直线x-2y-1=0上，且圆C经过A(0，4)，B(2，2)两点，则圆C的方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三模)若点P，Q分别是曲线y=4xx+与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为.4.(2019·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy中，过原点O的动直线l与圆C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为.5.(2019·苏州期末)若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= .6.(2019·南京、盐城二模)已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P 作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为.7.(2019·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系xOy中，过点P(-5，a)作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2121--y yx x+1212-2x xy y++=0，则实数a的值为.8.(2019·江苏高考预测题)在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16，点M(1，0)，动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MP⊥MQ，则线段PQ的取值范围是.二、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过二次函数f (x )=(x 2+2x-3)与两坐标轴的三个交点.(1)求圆C 的标准方程.(2)设点A (-2，0)，B (2，0)，试探究圆C 上是否存在点P 满足?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2019·通州中学)已知定圆C 1：x 2+y 2=a 2(a>0)和定圆C 2：x 2+y 2=b 2(b>0)，P 为圆C 2上一点，过点P 作圆C 1的两条切线，切点分别为A ，B. (1)若a=2，点P 的坐标为-，求四边形OAPB 的面积.(2)当点P 在圆C 2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.11.(2019·天一中学)已知圆M 的圆心为M (-1，2)，直线y=x+4被圆MP 在l ：y=x-1上.(1)求圆M 的标准方程；(2)设点Q 在圆M 上，且满足MP u u u r =4QM u u u ur ，求点P 的坐标；(3)设半径为5的圆N 与圆M 相离，过点P 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为A ，B ，若对任意的点P ，都有PA=PB 成立，求圆心N 的坐标.【检测与评估答案】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. 3+【解析】由题意可得1a +2b =1，故a+b=(a+b )1a ⎛ ⎝+2b ⎫⎪⎭=3+b a +2a b ≥3+以直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是3+22. (x+5)2+(y+3)2=74 【解析】因为圆心在直线x-2y-1=0上，所以设圆心C (2a+1，a )，则由AC=BC ，得=，解得a=-3，所以圆心为(-5，-3)，半径r=(x+5)2+(y+3)2=74.3.17 【解析】方法一：设与直线4x+y=0平行的直线l 与曲线y=4x x +切于点(x 0，y 0)，因为y'=-24x ，所以y'0 x x ==-204x =-4，所以x 0=±1，结合曲线y=4x x +与直线4x+y=0的位置关系可得切点(-1，-3)到直线4x+y=0的距离就是所求的线段PQ17.方法二：设曲线y=4x x +上的点P 4x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线4x+y=0的距离为d ，则PQ ≥因为1x x +=|x|+1||x ≥2，所以当x+1x =-2，即x=-1时，PQ 取得最小值为17.4.4【解析】由题意得C(3，0)，设A(a，b)，由点A恰为线段OB的中点，得B(2a，2b).因为点A，B均在圆C上，所以2222-65044-1250a b aa b a⎧++=⎨++=⎩，，解得A544⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线l的方程为0，圆心C到直线l的距离4.5.18【解析】由题意知四段圆弧所对的圆心角均为90°，圆心C(1，2)到直线l1，l2的距离均为2r=2.2，得|a-1|=2|b-1|=a2+b2=18.6.222⎡+⎢⎣⎦【解析】由题意得圆心M(a，a-4)在直线x-y-4=0上运动，所以动圆M是圆心在直线x-y-4=0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB=60°，所以OP=2，即点P也在x2+y2=4上，于是2-1≤≤2+1，即，解得实数a的取值范围是222⎡+⎢⎣⎦.7. 3或-2【解析】方法一：由2121--y yx x+1212-2x xy y++=0，得2121--y yx x·12122-12y yx x++=-1，所以点(1，0)在直线PC上，其中C是圆心，所以2-2a+2×51aa++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.方法二：由221111222222-22-10-22-10x y ax yx y ax y⎧++=⎨++=⎩，，两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-2a(x1-x2)+2(y1-y2)=0，x1+x2+1212--y yx x(y1+y2)-2a+2×1212--y yx x=0.由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x (y 1+y 2)=-(x 1+x 2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y y x x =0.又1212--y y x x =51a a ++，代入上式，得2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.8. 19-1191⎡⎤+⎣⎦，【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则22112222416.x y x y ⎧+=⎨+=⎩，设PQ 的中点N (x ，y )，即N121222x x y y ++，，则x 2+y 2=222211221212()()2()4x y x y x x y y +++++=5+12(x 1x 2+y 1y 2).由MP ⊥MQ ，得x 1x 2+y 1y 2=x 1+x 2-1=2x-1，所以x 2+y 2=5+x-12，即21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+y 2=194.因为PQ=2MN ，MN ∈19-119122⎤⎢⎥⎣⎦，，所以PQ ∈19-1191⎤⎦，.二、解答题9. (1) 设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x 2+Dx+F=0，这与x 2+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3. 令x=0，得y 2+Ey+F=0，此方程有一个根为-3E=0，所以圆C 的标准方程为(x+1)2+y 2=4.(2) 假设存在点P (x ，y )满足题意，则PA 2=2PB 2，于是(x+2)2+y 2=2(x-2)2+2y 2，化简得(x-6)2+y 2=32. ① 又因为点P 在圆C 上，故满足(x+1)2+y 2=4. ②联立①②，解得点P 的坐标为17172222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 所以存在点P 满足题意，其坐标为17172222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.10. (1) 依题意，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，且OA=OB=2，224-223所以S△OAP=S△OBP=1 2×2×23=23，所以四边形OAPB的面积为43.(第10题)(2) 设P(m，n)，则m2+n2=b2.当点P在圆C2上运动时，恒有22-b a所以点A，B在以P22-b a.该圆方程为(x-m)2+(y-n)2=b2-a2.又点A，B在圆C1：x2+y2=a2上.联立两圆方程，消二次项，得mx+ny-a2=0.所以直线AB的方程为mx+ny-a2=0.因为原点O到直线AB的距离222m n+2ab为定值，所以圆x2+y2=42ab恒与直线AB相切.所以存在定圆恒与直线AB相切，且定圆方程为x2+y2=42ab.11.(1) 因为圆心M(-1，2)到直线y=x+4的距离2211+22，又直线y=x+4被圆M截得的弦2M的半径为222222⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1，所以圆M的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1.(2) 由MP uuu r =4Q M u u u u r ，得|MP uuu r |=4|QM u u u u r|=4，所以点P 在圆(x+1)2+(y-2)2=16上. 又点P 在直线y=x-1上，由22(1)(-2)16-1x y y x ⎧++=⎨=⎩，，解得-1-2x y =⎧⎨=⎩，或32x y =⎧⎨=⎩，，即点P 的坐标为(-1，-2)或(3，2).(3) 设P (t ，t-1)，N (a ，b )，则圆N 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=25，PA 2=PM 2-12=(t+1)2+(t-1-2)2-1=2t 2-4t+9，PB 2=PN 2-52=(t-a )2+(t-1-b )2-25=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25. 因为PA=PB ，所以2t 2-4t+9=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25，即(2a+2b-2)t-a 2-(b+1)2+34=0 (*).因为对任意的点P 都有PA=PB ，所以(*)式对任意实数t 恒成立，得2222-20(1)-340a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得5-4a b =⎧⎨=⎩，或-34.a b =⎧⎨=⎩，又因为圆N 与圆M 相离，所以MN>1+5=6，6，所以圆心N 的坐标为(5，-4).。

江苏省高考数学二轮复习考前冲刺必备二审题方法秘籍学案-人教版高三全册数学学案

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题. 一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误. 典型例题例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+1-4x 2x,则关于x 的不等式f(1-x 2)+f(5x-7)<0的解集为 .▲审题指导2-x =12xf'(x)<0f(1-x 2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x 2>7-5x答案 (2,3)解析 ∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx -1-ln22x -2xln2, ∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x 2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x 2)<f(7-5x),即1-x 2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3). 跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,则a 的取值范围为 . 二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2 已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:唯一公共点函数φ(x)=e x-12x 2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=12x 2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-12x 2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0. 又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1, 则h'(x)=e x -1. 当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减; 当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0, 即φ'(x)在R 上的最小值为φ'(0)=0. ∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立), ∴φ(x)在R 上是单调递增的, ∴φ(x)在R 上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x 都满足g(x-1)+g(1-x)=x 2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g (x +12)+mlnx+98(m∈R,x>0). (1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案. 典型例题例3 设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{1x x }的前n项和为T n,求使得|T n-1|<11000成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→1x x =12x→T n=1-12x→解不等式|T n-1|<11000n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1, 得S n-1=2a n-1-a1(n≥2),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n =2a n-1(n≥2). 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1. 又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列, 即a 1+a 3=2(a 2+1),所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n. (2)由(1)得1x x =12x ,所以T n =12+122+…+12x =12[1-(12)x ]1-12=1-12x .由|T n -1|<11000,得|1-12x -1|<11000,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10. 所以使|T n -1|<11000成立的n 的最小值为10.跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n }中,a 1=192,a n+1=38x x -14x x+42,b n =202xx+1,其中n∈N *. (1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)设c n =b n b n+1cosnπ,n∈N *,数列{c n }的前n 项和为T n ,若当n∈N *且n 为偶数时,T n ≤tn 2恒成立,求实数t 的取值范围;(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最大值.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键. 典型例题例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R,x >0,0<x <x2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f (x -π12)-f (x +π12)的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A 和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx 的单调区间,通过解不等式求得结果.解析 (1)由题图知,周期T=2(11π12-5π12)=π,所以ω=2πx=2,因为点(5π12,0)在函数图象上,所以Asin (2×5π12+φ)=0,即sin (5π6+φ)=0.又因为0<φ<π2,所以5π6<5π6+φ<4π3,从而5π6+φ=π,即φ=π6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin π6=1,得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6). (2)g(x)=2sin [2(x -π12)+π6]-2sin 2(x +π12)+π6=2sin2x-2sin(2x+π3)=2sin2x-2(12sin2x+√32cos2x)=sin2x-√3cos2x=2sin(2x-π3).由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[xπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j= .12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2015=2×1008-1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+31×302×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+32×312×2=1024,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110. 跟踪集训5.已知数列{a n },a n =2·(13)x,把数列{a n }的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m 行,第n 列的项,则A(10,8)= .a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10…6.下表给出一个“三角形数阵”.1412 1434 38316…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为a ij (i≥j,i,j∈N *). (1)求a 83;(2)试写出a ij 关于i,j 的表达式;(3)记第n 行的和为A n ,求数列{A n }的前m 项和B m 的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值lna+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(0,1x )时,f'(x)>0;当x∈(1x,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1x)上单调递增,在(1x,+∞)上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1x处取得最大值,最大值为f(1x )=ln1x+a(1-1x)=-lna+a-1.因此f(1x)>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,a>0,g'(a)=1x+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,设∠CAB=α,(1)求角α的值; (2)若cos(β-α)=4√37,其中β∈(π3,5π6),求cosβ的值.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍. 典型例题例7 已知椭圆C:x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为√63.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线x=-3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P,Q 两点.当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.▲审题指导(1)是平行四边形S ▱OPTQ =2S △OPQ →S △OPQ =12|OF||y 1-y 2|→y 1与y 2解析 (1)由已知可得x x =√63,c=2,所以a=√6. 由a 2=b 2+c 2,得b=√2,所以椭圆C 的标准方程是x 26+x 22=1.(2)设T 点的坐标为(-3,m), 则直线TF 的斜率k TF =x -0-3-(-2)=-m. 当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1x ,则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得{x =xx -2,x 26+x 22=1,消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2=4xx 2+3,y 1y 2=-2x 2+3,则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12x 2+3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以{x 1+x 2=-12x 2+3=-3,x 1+x 2=4xx 2+3=m,解得m=±1.所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×12·|OF|·|y 1-y 2| =2√(4xx 2+3)2-4·-2x 2+3=2√3.跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43b2.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若S△ANM+S△POF=103a,求椭圆C的标准方程.答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案 {a|a≥1或a≤-8} 解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+1)≤f[(2x+a)2]得x+1≤(2x+a)2, 则问题转化为x+1≤(2x+a)2对x∈[0,3]恒成立, 即4x 2+(4a-1)x+a 2-1≥0对x∈[0,3]恒成立, 令h(x)=4x 2+(4a-1)x+a 2-1, 若1-4x 8<0,则h(0)≥0,此时a≥1; 若1-4x 8>3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤1-4x 8≤3,则Δ=(4a -1)2-16(a 2-1)≤0,此时无解.综上,a 的取值范围是{a|a≥1或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析 (1)设g(x)=ax 2+bx+c,a≠0,于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以{x =12,x =-1.又g(1)=-1,则b=-12.所以g(x)=12x 2-12x-1.(2)f(x)=g (x +12)+mlnx+98=12x 2+mlnx(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R; 当m=0时,f(x)=x 22,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+xx =0⇒x=√-x ,列表:x (0,√-m )√-m (√-m,+∞)f'(x) - 0 + f(x)减极小值增这时,f(x)min =f(√-x )=-x2+mln √-x . f(x)min >0⇔{-x2+mln √-x >0,x <0⇒-e<m<0.所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m 的取值范围是(-e,0]. 故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m 的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞). (3)证明:因为∀x∈[1,m],H'(x)=(x -1)(x -x )x≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H(1)-H(m)=12m 2-mlnm-12,|H(x 1)-H(x 2)|<1⇒12m 2-mlnm-12<1⇒12m-lnm-32x<0,记h(m)=12m-lnm-32x (1<m≤e), 则h'(m)=12-1x +32x 2=32(1x -13)2+13>0,所以函数h(m)=12m-lnm-32x 在(1,e]上是单调增函数, 所以h(m)≤h(e)=e2-1-32e =(e -3)(e +1)2e<0,故命题成立.三审审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:∵b n+1=202x x +1+1=202·38x x -14x x +42+1=20(4x x +42)2(38x x -1)+(4x x +42)=2x x +212x x +1,∴b n+1-b n =2x x +212x x+1-202xx +1=1.∴数列{b n }是公差为1的等差数列. (2)由题意可知,b 1=202x 1+1=1,故b n =n.因为c n =b n b n+1cosnπ,n∈N *,所以T n =c 1+c 2+…+c n =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)nb n b n+1. 当n∈N *且n 为偶数时,设n=2m,m∈N *. 则T n =T 2m =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)2mb 2m b 2m+1. =b 2(-b 1+b 3)+b 4(-b 3+b 5)+…+b 2m (-b 2m-1+b 2m+1) =2(b 2+b 4+…+b 2n )=4(1+2+…+m)=2m 2+2m=12n 2+n.要使T n ≤tn 2对n∈N *且n 为偶数恒成立, 只要使12n 2+n≤tn 2对n∈N *且n 为偶数恒成立, 即使t≥12+1x 对n 为正偶数恒成立.∵(12+1x )min=12+12=1,∴t≥1,故实数t 的取值范围是[1,+∞). (3)由(2)知b n =n,又b n =202x x +1,∴a n =10x -12.∴S n =10(1+12+…+1x )-x2,∴S 2n =10(1+12+…+1x +1x +1+1x +2+…+12x )-2x 2,设M n =S 2n -S n =10(1x +1+1x +2+…+12x)-x2, ∴M n+1=10(1x +2+1x +3+…+12x +12x +1+12x +2)-x +12,∴M n+1-M n =10(12x +1+12x +2-1x +1)-12 =10(12x +1-12x +2)-12=10(2x +1)(2x +2)-12, ∴当n=1时,M n+1-M n =103×4-12>0,即M 1<M 2,当n≥2时,M n+1-M n <0,即M 2>M 3>M 4>…. ∴(M n )max =M 2=10×(13+14)-1=296. 因此数列{S 2n -S n }的最大值为296.四审审图形抓特点跟踪集训 4.答案 -√22解析由三角函数的图象可得34T=3-1=2,所以最小正周期T=83=2πx ,解得ω=3π4.又f(1)=sin (3π4+φ)=1,解得φ=-π4+2kπ,k∈Z, 所以f(x)=sin (3π4x -π4+2kπ),k∈Z,则f(2)=sin (3π2-π4)=sin 5π4=-√22.五审审图表找规律跟踪集训 5.答案 2×(13)53解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n 行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S 9=9×(1+9)2=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a 53=2×(13)53,故答案为2×(1353).6.解析 (1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a 11=14,a 21=12,所以公差d=14,a 81=14+(8-1)×14=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a 31=34,a 32=38,所以,每行的公比q=12,故a 83=2×(12)2=12.(2)由(1)知a i1=14+(i-1)14=x4,所以a ij =a i1·(12)x -1=x4·(12)x -1=i·(12)x +1.(3)A n =a n1[1+12+(12)2+…+(12)x -1]=x4[2-(12)x -1]=x2-n (12)x +1.B m =12(1+2+…+m)-12(12+24+38+…+x2x ). 设T m =12+24+38+…+x2x ,①则12T m =14+28+316+…+x2x +1,②由①-②,得12T m =12+14+18+…+12x +1-x 2x +1=1-12x -x 2x +1=1-x +22x +1,所以B m =12·x (1+x )2-(1-x +22x +1)=x (1+x )4+x +22x +1-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析 (1)由2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, 得2|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosα=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cosα=12,又因为α为三角形ABC 的内角,所以α=π3. (2)由(1)知sinα=√32,且β-α∈(0,π2),又cos(β-α)=4√37,所以sin(β-α)=17,故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=4√37×12-17×√32=3√314. 七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析 (1)由题意知{x 2x 2+x 2x 2=1,(x +x 2)2+x 2=(x 2)2,消去y,得x 2x2x 2+ax+b 2=0, 解得x 1=-a,x 2=-xx 2x 2, 所以x M =-xx 2x 2∈(-a,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x M x A =xx 2x 2a=43b 2,x 2x 2=34,所以e=√32.(2)由(1)知M (-23b,-2√23b ),右准线方程为x=4√33b,直线MN 的方程为y=√2x,所以P (4√33b,4√63b ),S △POF =12OF·y P =√32b·4√63b=2√2b 2,S △AMN =2S △AOM =OA×|y M |=2b×2√23b=4√23b 2,所以2√2b 2+4√23b 2=103a,10√23b 2=203b 2,所以b=√2,a=2√2,椭圆C 的标准方程为x 28+x 22=1.。

2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分专题3 不等式第1讲基本不等式与线性规划

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)1.(必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为. (第1题)【答案】1 4【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得y D=12，所以S△BCD=12×(xC-x B)×12=14.2.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x 的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+1x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为.【答案】-4【解析】因为x<0，所以f(x)=-1(-)(-)xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时取等号.4.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值为.【答案】23【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y11·x y1333.5.(必修5 P91习题3改编)函数224x+的最小值为.【答案】5 2【解析】设24x+t≥2)，易知y=t+1t在[2，+∞)上是单调增函数，所以当24x+2，即x=0时，y min=5 2.【课堂导学】运用基本不等式求最值例1(2019·泰州期末)若正实数x，y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y的最大值是.【点拨】设x+12y=z进行整体代换.【分析】处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题，思考方向一，可以设x+12y=z，代入之后转化为关于y的方程(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x再用基本不等式去处理；思考方向三，通过等比中项，引用一个新的参数q，把x+12y用q来表示后再整理求最值.【答案】322-1【解析】方法一：令x+12y=z，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z2-5)y2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z2-5)≥0，化简得2z 2+4z-7≤0，故0<z ≤-1+322.检验：当z=322-1时，方程(*)可化为(17-122)y 2-(122-16)y+8=0，此时y 1+y 2=122-1617-122>0，y 1·y 2=17-122>4，故方程必有大于2的实根，所以x+12y 的最大值为322-1.方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5111-22y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12-1y ，x-1522y ，+1y 成等比数列，设公比为q (q>1)，将x ，1y 用q 表示，则x+12y =23(-1)1q q ++12=32-12-1q q +++12≤322-1，当且仅当q-1=2-1q ，即q=2+1时等号成立.【点评】处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌握和运用不等式：a b ≤2a b+≤222a b +(a ，b>0)和ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b +(a ，b ∈R ).变式1 (2019·天一中学)设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x =b y =2，a+b 4，则2x +1y 的最大值为 .【答案】4【解析】因为x=log a 2，y=log b 2，所以2x +1y =2log 2a +1log 2b =log 2a 2+log 2b=log 2(a 2b ).又4=a+b ≥2a b ，当且仅当a=b 时取等号，所以a 2b ≤16，所以log 2(a 2b )≤4.变式2 (2019·扬州期末)设实数x ，y 满足x 2+2xy-1=0，则x 2+y 2的最小值是 . 【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y 较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x 2+y 2想到将条件应用基本不等式构造出x 2+y 2，然后将x 2+y 2求解出来.【答案】5-12【解析】方法一：由x 2+2xy-1=0，得y=21-2x x，从而x 2+y 2=x 2+221-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=254x +214x -12≥2516-12=5-12，当且仅当x=±415时等号成立.方法二：由x 2+2xy-1=0，得1-x 2=2xy ≤mx 2+ny 2，其中mn=1(m ，n>0)，所以(m+1)x 2+ny 2≥1，令m+1=n ，与mn=1联立解得m=5-12，n=512+，从而x 2+y 2≥1512+=5-12.变式3 (2019·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy 的最小值为 .【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg 4lg z x +lg lg z y =lgz 14lg x ⎛ ⎝+1lg y ⎫⎪⎭=lg lg 2x y +·114lg lg x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=58+12lg lg x y ⎛ ⎝+lg 4lg y x ⎫⎪⎭≥58+12·lg lg ·lg lg x y y x =98当且仅当lg lg x y =lg 4lg yx ，即y=x 2时取等号.线性规划中的最值问题例2(2019·全国卷Ⅲ)若实数x，y满足约束条件-10-202-20x yx yx y+≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y的最大值为.【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x yx y=⎧⎨+=⎩，，得A112⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线z=x+y过点A时，z取得最大值，所以z max=1+12=32.(例2)变式1(2019·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.(变式1)【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39 x yx y+=⎧⎨=⎩，，得3-1xy=⎧⎨=⎩，，由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2019·苏州中学)若实数x，y满足约束条件-30--3001x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x yx y++的最小值为.(变式2)【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(3，0)，C(2，1)，易知z=21yxyx++=1+15231yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，.基本不等式的实际应用例3(2019·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(单位：万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3，问：P能否大于120?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk(ax+5)，x∈N*.(2)方法一：依题意知x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+≤23(25)aa+=1253aa⎛⎫+⎪⎝⎭≤2532aa⨯⨯=130<120.答：P不可能大于1 20.方法二：依题意得x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+.假设P>120，得ka2-20a+25k<0.因为k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假设矛盾，故P≤1 20.答：P不可能大于1 20.【课堂评价】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】23【解析】因为0<x<1，所以f (x)=x (4-3x )=13×3x (4-3x )≤13×234-32x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=43，当且仅当3x=4-3x ，即x=23时取等号.2.(2019·海门中学)已知a>0，b>0，a ，b 的等比中项是1，且m=b+1a ，n=a+1b ，则m+n 的最小值是 . 【答案】4【解析】由题意知ab=1，所以m=b+1a =2b ，n=a+1b =2a ，所以m+n=2(a+b )≥4a b =4.3.(2019·北京卷)若实数x ，y 满足约束条件2-030x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x+y 的最大值为 .【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，点A 的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y 变为y=-2x+z ，当目标函数的图象过点A (1，2)时，z 取得最大值4，故2x+y 的最大值是4.(第3题)4.(2019·扬州期末)已知a>b>1且2log a b+3log b a=7，则a+21-1b 的最小值为 .【答案】3【解析】因为2log a b+3log b a=7，所以2(log a b )2-7log a b+3=0，解得log a b=12或log a b=3.因为a>b>1，所以log a b∈(0，1)，故log a b=12，从而b=a，因此a+21-1b=a+1-1a=(a-1)+1-1a+1≥3，当且仅当a=2时等号成立.5.(2019·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域-20-340xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB= .(第5题)【答案】32【解析】易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=32AB=2温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第9~10页.【检测与评估】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.(2019·福建卷)若直线x a +yb =1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 .2.(2019·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .3.(2019·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .4.(2019·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1ax (x>1)的最小值为3，则a 的值为 .5.(2019·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .6.(2019·新海中学)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (-2，0)的距离相等，则2x +4y 的最小值为 .7.(2019·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.8.(2019·上海卷)设a>0，b>0.若关于x ，y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b 的取值范围是 .二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2019·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?(第10题)11.(2019·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，22x xy y++xy m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.4【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b)1a⎛⎝+1b⎫⎪⎭=1+ab+ba+1≥2+2·a bb a=4，当且仅当a=b=2时等号成立.2. 7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以z max=2×5-3=7.(第2题)3. 7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立-13y xx y=⎧⎨+=⎩，，解得12xy=⎧⎨=⎩，，即A(1，2)，故z max=1+3×2=7.(第3题)4.1【解析】因为f(x)=x-1+-1ax+1，且x-1>0，所以f(x)≥2a1=3，当且仅当x-1=aa1>0时取等号，此时a=1.5. [4，12]【解析】因为2xy=6-(x2+4y2)，而2xy≤2242x y+，所以6-(x2+4y2)≤2242x y+，所以x2+4y2≥4，当且仅当x=2y时取等号.又因为(x+2y)2=6+2xy≥0，即2xy≥-6，所以z=x2+4y2=6-2xy≤12.综上可得4≤x2+4y2≤12.6.42【解析】由题意得点P在线段AB的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x+4y≥224x y⋅=222x y+=42，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x+4y的最小值为42.7. 216 000【解析】设生产产品A、产品B分别为x件、y件，利润之和为z元，则1.50.51500.390 53600N Nx yx yx yx y∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，即3300 103900 53600N Nx yx yx yx y∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，目标函数为z=2 100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 100x+900y经过点M时，z取得最大值.联立方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得M的坐标为(60，100)，所以当x=60，y=100时，z max=2 100×60+900×100=216 000.8. (2，+∞)【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b≠0，所以ab=1且b≠1，所以由基本不等式得a+b>2，故a+b的取值范围是(2，+∞).二、解答题9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+2=2=2=20，当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以5≤x+y+5=3xy，所以3xy-5≥0，所以5)≥0，53，即xy≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy的最小值是259.10. (1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=4xy，所以S≤22x y+⎫⎪⎝⎭=2 500S max=当且仅当200x yx y=⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m，AQ=y m，由题意得100×(x+1.5y)=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2=x2+y2-2xy cos120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40000=1.752800-7y⎛⎫⎪⎝⎭+12000074003y⎛⎫<<⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值7，此时x=2007.11.①因为，c>0，故a+c>b恒成立.②若a+b>c恒成立，即.=2得m<2+故当m<2+a+b>c恒成立.③若b+c>a恒成立，即.令t≥2)，则当t=2时，取得最大值，得m>2-故当m>2-b+c>a恒成立.综上，2-2+由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

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