全等三角形相似三角形证明(中难度题型)
全等相似三角形证明经典50题与相似三角形
2016专题：《全等三角形证明》1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE4. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
A C DEF 21 DAB5.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C6.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C7.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．DCBAFEAB CD8.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA9.已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：10.如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：△AED≌△BFC。
11.如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：BD⊥AC。
12.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：BF=CF13.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：AF=DE。
14.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．15.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。
16．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．17.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
全等相似三角形证明经典题及相似三角形
2016专题：《全等三角形证明》1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE4.如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
5.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C6.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C7.如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．8.如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA9.已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两C D F B CD C B AFEBC O ED CB AC A E 个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：10.如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
11.如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。
求证：BD ⊥AC 。
12.AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CF13.如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
14.已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．15.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF 。
三角形判断全等及相似定理
相似三角形的判定定理:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C21、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
三角形与相似三角形(解析版)--中考数学重难点
回归教材重难点02三角形与相似三角形--中考数学重难点本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。
（2022年山东省东营市中考试卷第17题）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH的值即可．【解答】解：设AD交EH R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．三角形是中考数学中的重要考点，也是所有几何图形的学习基础。
三角形的考点容量很大，包含三角形的基础知识、特殊三角形、相似三角形三大块，考察难度的跨度很大，题型多变，部分综合题中题目的综合性也很强，需要比较高的知识储备和逻辑思维能力。
本考点是中考五星高频考点，难度中等或较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。
技法01：三角形通用知识：①三角形内角和定理：三角形三个内角的和=180°三角形外角定理：三角形的一个外角=与它不相邻两个内角的和②三角形三边关系：三角形两边之和＞第三边，两边之差＜第三边③角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等④线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等技法02：全等三角形的性质和判定：①全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等推论：全等三角形的周长和面积相等，对应的“三线”分别相等②全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）技法03：特殊三角形常用知识：①等腰三角形：等边对等角、“三线合一”，常做辅助线→底边上的高线判定方法：两边长相等、等角对等边、逆用“三线合一”（角平分线与中线重合除外）②直角三角形：直角三角形两锐角互余、斜边上的中线=斜边长的一半、勾股定理判定方法：一个角为直角、两个内角互余、勾股定理逆定理、一边上的中线等于这边长的一半技法04：相似三角形常用知识：①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例推论：相似三角形的周长比=相似比；面积比=相似比的平方；对应三线之比=相似比②相似三角形的判定：两对内角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等【中考真题练】1．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8B．6C．5D．4【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝5，故选：C．2．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE＝AC•BC÷÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE＝＝＝1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP＝＝，CN＝＝，∵＞＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．3．（2022•镇江）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A．2B．C．D．【分析】连接AE，根据题意可得：AE∥BC，AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，从而可得∠DOC＝∠DCO，进而可得DO＝DC＝3，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接AE，由题意得：AE∥BC，AD＝＝5，DE＝5，∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，故选：A．4．（2022•安顺）如图，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，根据等边三角形的性质求出AF，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，∵∠ACB＝120°，∴∠ACF＝60°，∴△ACF为等边三角形，∴AF＝AC＝2，∵DE平分△ABC的周长，∴BE＝CE+AC，∴BE＝CE+CF＝EF，∵BD＝DA，∴DE＝AF＝，故选：C．5．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．18【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故选：C．6．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝1．【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分别为AC、BC的中点，∴FG是△ACB的中位线，∴FG＝AB＝1，故答案为：1．7．（2022•荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为18．【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【解答】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【分析】连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．设BF＝2k，CG＝3k．则AE ＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，因为C，A′，B′共线，GA′∥FB′，推出＝，推出＝，可得y2﹣12ky+32k2＝0，推出y＝8k或y ＝4k（舍去），推出AE＝DE＝4k，再利用勾股定理求出GT，可得结论．【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4则A'B'＝2，故选：A．9．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝ 1.8km．（2）k＝．【分析】（1）根据图中三条线段所标数据即可解答；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．易得AZ＝1.8，BZ＝4＝2.6，证明△BMQ∽△BZA，即可解答．【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，∵点P，A，B，Q共线，∴∠MBQ＝∠ZBA，又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，∴△BMQ∽△BZA，∴＝k＝＝＝．故答案为：1.8；．10．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．11．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．12．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C （1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；13．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，＝BC•DE＝×5×4＝10，∴S△BCD∴△BCD的面积为10．14．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t （s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，知AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE ＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，证明△AQE∽△AED，有＝，可得AQ＝，即得t的值为；（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，证明△ABC∽△CAM，有＝，CM＝，即得S△ACD＝AD•CM＝8，S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝14，由△PBN∽△ABC，可得PN＝t，S△BCP＝BC﹣△BCP﹣S△APQ＝t2﹣t+14；•PN＝t，从而S＝S四边形ABCD（3）过C作CM⊥AD于M，证明△APQ∽△MCD，有＝，即可解得t＝．【解答】解：（1）如图：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，∵EQ⊥AD，∴∠AQE＝∠AED＝90°，∵∠EAQ＝∠DAE，∴△AQE∽△AED，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴t＝＝；答：t的值为；（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAM，∵∠ACB＝90°＝∠AMC，∴△ABC∽△CAM，∴＝，即＝，∴CM＝，＝AD•CM＝×5×＝8，∴S△ACD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，∴S四边形ABCD∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，∴△PBN∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝t，＝BC•PN＝×3×t＝t，∴S△BCP﹣S△BCP﹣S△APQ∴S＝S四边形ABCD＝14﹣t﹣（5﹣t）•t＝t2﹣t+14；答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：过C作CM⊥AD于M，如图：由（2）知CM＝，∴AM＝＝＝，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠MDC，∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，∴△APQ∽△MCD，∴＝，即＝，解得t＝，答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．15．（2022•广西）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD＝，OD′＝，进而得出结论；（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．【解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下：在Rt△AOB中，点D是AB∴OD＝，同理可得：OD′＝，∵AB＝A′B′，∴OD＝OD′；（2）如图1，作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，此时△AOB是等边三角形，∴BO′＝AB＝6，OC最大＝CO′＝CD+DO′＝+BO′＝3+3；（3）如图2，作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，∴AI＝＝3，∠AOB＝，则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB，∵OC＝CI+OI＝AB+3＝3+3，＝＝9+9，∴S△AOB最大∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9．【中考模拟练】1．（2023•铜梁区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O为位似中心，，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是（）A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，根据相似三角形的性质求出＝，再根据相似三角形的周长之比等于相似比计算即可．【解答】解：∵，∴＝．∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，∴△ABO∽△A'B'O，∴＝＝，∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2．∴△ABC与△A′B′C′的周长之比是1：2．故选：C．2．（2023•越秀区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AC⊥BD，AC＝AD，∠CBD＝∠CAD，CB＝5，，则AD的长是（）A．9B．10C．D．【分析】设CE＝x，AE＝y，分别用x，y表示出sin∠CBD和sin∠CAD，由sin∠CBD＝sin∠CAD，列出方程关于x，y的方程，再根据勾股定理DE²＝CD²﹣CE²＝AD²﹣AE²，列出方程关于x，y的方程，两方程联立解出x，y的值，从而得到AD的长度．【解答】解：设CE＝x，AE＝y，则AC＝AD＝x+y，∵AC⊥DB，∴sin∠CBD＝＝，sin∠CAD＝＝＝，∵∠CBD＝∠CAD，∴sin∠CBD＝sin∠CAD，∴＝，整理得，x4+2x3y+x²y²+25x²＝2000①，和Rt△AED中，在Rt△CEDDE²＝CD²﹣CE²＝AD²﹣AE²，∴（4）²﹣x²＝（x+y）²﹣y²，∴y＝②，把②代入①式并整理得，25x²＝400，∴x＝4，∴y＝＝＝6，∴AD＝x+y＝4+6＝10．故选：B．3．（2023•雁塔区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD＝4，则点D 到AC的距离为（）A．2B．C．D．4【分析】作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质得到DM＝DN，由等腰直角三角形的性质求出DM的长，即可解决问题．【解答】解：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠B＝45°，∴△MBD是等腰直角三角形，∴MD＝BD＝×4＝2，∴DN＝2，∴点D到AC的距离为2．故选：C．4．（2023•秀洲区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD的长是（）A．2B．C．D．【分析】根据已知易得BC＝6，从而可得CP＝4，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而利用三角形内角和定理可得∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，然后利用平角定义可得∠APB+∠DPC＝180°﹣∠B，从而可得∠DPC＝∠BAP，进而可得△ABP∽△PCD，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵，∴BC＝3BP＝6，∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，∵∠APD＝∠B，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCD，∴，∴，∴，故选：D．5．（2023•镇江模拟）如图，点D在△ABC的AD边上，且AD：AB＝2：5，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接BE，则△ABE与△BEC的面积之比为2：3．【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，进而得出，即可进行解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AB＝2：5，∴，则，：S△BEC＝2：3，∴S△ABE故答案为：2：3．6．（2023•东城区一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则△ABC的外角∠ACD135°．【分析】根据勾股定理得出AB，BC，AC，进而利用勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：由勾股定理可知，AB＝BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135．7．（2023•川汇区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，点P在△ABC的内部，，D是AB的中点，连接PA，PD，当△PAD为等腰三角形时，PA的长为4或．【分析】分PA＝AD和PA＝PD两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可求出答案．【解答】解：∵点P在△ABC的内部，∴PD＝AD不符合题意，分PA＝AD和PA＝PD两种情况，①若PA＝AD，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵D是AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝4，∴PA＝4；②若PA＝PD，如图，∵∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由①知CA＝CD，∴△ACD为等边三角形，连接CP，并延长交AB于点E，∴CE⊥AB，∵AC＝4，∴AE＝AC＝2，∴CE＝＝2，∵CP＝，∴PE＝CE﹣CP＝，∴PA＝＝．综上所述，PA的长为4或．故答案为：4或．8．（2023•崇明区二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，BC＝3，CE＝2，将△CDE绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在AB边上时，联结BE，那么BE＝．【分析】证明△ACD∽△BCE，推出＝＝，∠A＝∠CBE，再证明∠DBE＝90°，设BE＝x，则AD＝x，在Rt△DBE中，DE2＝BD2+BE2，构建方程求出x即可．【解答】解：Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，BC＝3，CE＝2，∴＝＝，AB＝2BC＝6，DE＝2CE＝4，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝，∠A＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABC＝90°，∴∠DBE＝90°，设BE＝x，则AD＝x，在Rt△DBE中，DE2＝BD2+BE2，∴（6﹣x）2+x2＝42，∴x＝（负根已经舍去），∴BE＝．9．（2023•大石桥市模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB 的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积12．【分析】过点M作ME⊥CD，垂足为E，先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CM＝DM＝5，再利用等腰三角形的三线合一性质可得DE＝CD＝3，然后在Rt△DEM中，利用勾股定理求出EM的长，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，∴CM＝DM＝AB＝5，∴DE＝CD＝3，在Rt△DEM中，EM＝＝＝4，∴△MCD的面积＝CD•EM＝×6×4＝12，故答案为：12．10．（2023•雁塔区校级二模）如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE ＝AC，求证：CD＝EC．【分析】由平行线的性质可知∠A＝∠B，结合条件可证明△ADC≌△BCE，故可得出CD＝EC．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BCE中，，∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD＝EC．11．（2023•石景山区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为射线CA上一点，过点D作DE ∥CB且DE＝CB（点E在点D的右侧），射线ED交射线BA于点F，点H是AF的中点，连接HC，HE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，判断线段HE与HC的数量关系及位置关系；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段CB，CD，CH之间的数量关系，并证明．【分析】（1）连接DH，根据，∠ACB＝90°，CA＝CB，DE∥CB且DE＝CB，H是AF的中点，证明△ACH≌△DEH，得出HE＝HC，再根据DH⊥AF，得出CH⊥EH，从而得出结论；（2）连接DH，CE，用和（1）相同的方法证明CAH≌△EDH，再根据在Rt△CHE中，CH2+EH2＝CE2，得出2CH2＝CE2，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，得出CD2+CB2＝CE2，从而得出结论．【解答】解：（1）数量关系：HE＝HC；位置关系：HE⊥HC．理由：如图，连接DH，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵DE∥CB且DE＝CB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，CA＝DE，∵点H是AF的中点，∴DH＝AH＝FH，∴∠ADH＝∠ADF＝45°，∴∠BAC＝∠HDF，∴△ACH≌△DEH（SAS），∴HE＝HC，∠AHC＝∠DHE，又∵DH⊥AF，∴∠AHD＝∠CHE＝90°，∴CH⊥EH，∴HE＝HC，且HE⊥HC；（2）依题意补全图形，如图：数量关系：CB2+CD2＝2CH2．理由：连接DH，CE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵DE∥CB，且DE＝CB，∴CA＝DE，∠ADF＝∠ACB＝90°，∵H是AF的中点，∴DH＝AH，∴∠BAC＝∠DAH＝∠ADH＝45°，∴∠CAH＝∠HDE＝45°，∴△CAH≌△EDH（SAS），∴CH＝EH，∠CHB＝∠EHD，∴∠CHD＝∠AHD，∵∠DAH＝∠ADH＝45°，∴∠AHD＝90°，∴∠CHE＝90°，在Rt△CHE中，CH2+EH2＝CE2，∴2CH2＝CE2，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴CD2+CB2＝CE2，∴CB2+CD2＝2CH2．12．（2023•洛龙区一模）[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC 上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．小明的证明思路是：如图①，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．小颖的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝18，CF＝5，求PG+PH的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝cm，AD＝3cm，，M、N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．【分析】（1）按照小明，小颖的证明思路即可解决问题．（2）借鉴小明，小颖的证明思路即可解决问题．（3）易证BE＝BF，过E作EQ⊥BF，垂足，利用问题情境中的结论可得PG+PH＝EQ，易证EQ＝DC，BF＝DF，只需求即可．（4）由条AD×CE＝DE×BC联想到三角形相似，从而得∠A＝∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM，△CEN的周长之和就可转化AB+BH，而BH是△ADB的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求BH，就可解决问题．【解答】（1）证明：连接AP，如图②，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，＝S△ABP+S△ACP，∴S△ABC∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，∵AB＝AC，∴CF＝PD+PE．小颖的证明：过点P作PG⊥CF，如图2，∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，∴四边形PDFG为矩形，∴DP＝FG，∠DPG＝90°，∴∠CGP＝90°，∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠PGC＝∠CEP，∵∠BDP＝∠DPG＝90°，∴PG∥AB，∴∠GPC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠GPC＝∠ECP，在△PGC和△CEP中，，∴△PGC≌△CEP（AAS），∴CG＝PE，∴CF＝CG+FG＝PE+PD；（2）证明：连接AP，如图③，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，＝S△ABP﹣S△ACP，∴S△ABC∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；证明：过点C作CG⊥DP，如图③，∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°，∴四边形CFDG是矩形，∴CF＝GD，∠DGC＝90°，∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠CGP＝∠CEP，∵CG⊥DP，AB⊥DP，∴∠CGP＝∠BDP＝90°，∴CG∥AB，∴∠GCP＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠PCE，∴∠GCP＝∠ECP，在△CGP和△CEP中，，∴△CGP≌△CEP（AAS），∴PG＝PE，∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．（3）解：如图④，过点E作EQ⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，∵AD＝8，CF＝3，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠有，DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，∴DF＝5，∵∠C＝90°，∴DC＝＝4，∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，∴四边形EQCD是矩形，∴EQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，∴PG+PH＝4．∴PG+PH的值为4．（4）解：延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，∵AD×CE＝DE×BC，∴，∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△ADE∽△BCE，∴∠A＝∠CBE，∴FA＝FB，由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，设DH＝x，∴AH＝AD+DH＝3+x，∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°，∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，∵AB＝，AD＝3，BD＝，∴（）2﹣x2＝（）2﹣（3+x）2，∴x＝1，∴BH2＝BD2﹣DH2＝26﹣1＝25，∴BH＝5，∴ED+EC＝5，∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，∴△DEM与△CEN的周长之和＝DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝5+，∴△DEM与△CEN的周长之和（5+）cm．。
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
各类型中高难度全等三角形125题(答案版)
1.已知：如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．求证：AB =DE ．A DB EC F 【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ ∠B =∠DEF∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC 即 BC =EF∴∆ABC ≌∆DEF ，∴AB =DE ．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt ∆DEF 的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ∆ABC 斜边AB 的中点处，∠A = 30︒，∠E = 45︒，∠EDF =∠ACB = 90︒，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM =DN ．（2）如图2，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．FCEGAM D N B图1ECFG HA B图2【答案】⑴ ∵ ∠A = 30︒，∠ACB = 90︒， D 是 AB 的中点，∴ BC =BD ， ∠B = 60︒ ∴△BCD 是等边三角形．又∵CN ⊥DB ，∴DN =1DB ，2∵∠EDF = 90︒，∆BCD 是等边三角形．∴∠ADG = 30︒，而∠A = 30︒，∴GA =GD ．∵ GM ⊥AB ，∴AM =1 AD 2又∵AD =DB ，∴AM =DN ．⑵∵DF ∥AC ，∴∠BDF =∠A = 30︒，∠AGD =∠GDH = 90︒，∴∠ADG = 60︒．∵∠B = 60︒，AD =DB ，∴∆ADG ≌∆DBH ，∴AG =DH ，又∵∠BDF =∠A ，GM ⊥AB ，HN ⊥AB ，∴∆AMG ≌∆DNH ．∴AM =DN ．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF ⊥DG ．求证：EF =DG ．⎨ ⎩ADA DEEM FFB G CBGC【答案】过点C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知CM = EF ．从而证的∆BCM ≌ ∆CDG ，从而有 DG = CM ，故 EF = DG ．4.在正方形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求证： EG = FH ．A HD A H N DGGEEMBF CBF C【答案】过点 E 作 EM ⊥ CD ，过点 F 作 FN ⊥ AD ，垂足分别为 M 、N ． 由 EM ⊥ CD ， FN ⊥ AD ， EG ⊥ FH ，易得∠MEG = ∠NFH 因为 EM = BC ， BC = CD ， CD = NF ，所以 EM = NF 故∆EMG ≌ ∆NFH ，所以 EG = FH ．5.∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得CN = BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．AMBN C【答案】∠APM 的度数为45︒证明过程如下：如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD = CN ，连接 DA 、 DN ， 于是因为 MD ∥ CN 且 MD = CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形． 从而∠MDN = ∠MCN ，又因为CN = BM ，得到 DM = BM ，进而在∆MDA 与∆MBC 中， ⎧DM = BM ⎪∠DMA = ∠MBC = 90︒ ， ⎪MA = BC PFP⎨ ⎩所以∆DMA ≌ ∆MBC ，这样 DA = MC ，而 MC = DN ， 所以 DN = DA ．又因为∠ADN = ∠ADM + ∠MDN= ∠ADM + ∠DAM = 90︒ ， 所以得到∆ADN 是一个等腰直角三角形，所以∠AND = 45︒ ，利用 MC ∥ DN ，从而得到∠APM = ∠AND = 45︒ ．ADB NC6.如图，在Rt ∆ABC 中， AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为 D ． E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE = AF ．如果∠AED = 62︒ ，那么∠DBF = ．A【答案】28︒BDE7.E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE = CF ．求证：AE ⊥ BF ．ADF【答案】在∆ABE 和∆BCF 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠BCF⎪BE = CF∴ ∆ABE ≌ ∆BCF BEC∴ ∠BAE = ∠CBF ∵ ∠BAE + ∠AEB = 90︒ ∴ ∠CBF + ∠AEB = 90︒ ∴ AE ⊥ BF8.E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE ⊥ EF ，GE = EF ．求证： BG + CF = BC ．AD【答案】显然， ∆BEG ≌ ∆CFE ，GFBECM PC∴ BG = CE ， BE = CF ∴ BG + CF = BC9.如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE ⊥ EF 交 AB 于 F 点，若 DE = 2 ，矩形周长为16 ，且CE = EF ，求 AE 的长．AEDFBC【答案】∵ FE ⊥ EC ，∴ ∠AEF + ∠DEC = 90︒ ．∵ ∠AEF + ∠AFE = 90︒ ， ∴ ∠AFE = ∠DEC ．在三角形 AFE 与∆DEC 中， FE = CE ， ∠A = ∠D = 90︒ ， ∠AFE = ∠DEC ， ∴ ∆AFE ≌ ∆DEC ． ∴ AE = DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD + DC = 8 ． ∵ AD = AE + DE ，∴且 DE = 2 ．∴ 2 AE = 8 - DE ． 即 AE = 3 ．10.如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 90︒，AB = BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1 ，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为2 ，l 2 ，l 3 之间的距离为3 ，则 AC 的长是 ．Al 1 l 2【答案】2 Bl 311.两个全等的30︒ 、60︒ 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、C 在一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断∆EMC 的形状， 并说明理由．BMDEA C【解析】判断∆EMC 是等腰直角三角形．理由：如图，连结 AM ．17MBA C∵ ∠DAE = 30︒ ， ∠BAC = 60︒ ，∴ ∠DAB = 90︒ ∵ ∆ADE ≌ ∆BAC ，∴ AD = AB又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM = DM = BM ∴ ∠ADM = ∠MAB = 45︒ ∴ ∠EDM = ∠EDA + ∠ADM = 60︒ + 45︒ = 105︒ ∴ ∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = 45︒ + 60︒ = 105︒ ∴ ∠EDM = ∠MAC ∵ ED = CA ，∴ ∆EDM ≌ ∆CAM ∴ EM = CM ， ∠DME = ∠AMC而∠DME + ∠EMA = 90︒ ，∴ ∠AMC + ∠EMA = 90︒ 即∠EMC = 90︒ ，∴ ∆EMC 是等腰直角三角形．12.已知等腰直角三角形 ABC ， ∠C 为直角， M 为 BC 的中点． CD ⊥ AM ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．CA DB【答案】法一：如图，过 B 作 EB ⊥ BC ，交CD 延长线于 E ．CE∵ ∠3 + ∠1 = 90︒ ， ∠4 + ∠1 = 90︒ ，∴ ∠3 = ∠4 ．又 AC = CB ，∴ Rt ∆CBE ≌ Rt ∆AMC ，∴ BE = CM ， ∠5 = ∠1 ． 又 BM = CM ，∴ BE = BM ．∴ ∠MBD + ∠EBD = 90︒ ，而∠MBD = 45︒ ，∴ ∠EBD =∠MBD ． 又 BD 为公共边，∴ ∆BED ≌ ∆BMD ．∴ ∠5 = ∠2 ．解法二：如图，作底边 AB 的高CE 交 AM 于 F ，则CE 亦为中线和角平分线，3 1 M4 2 ADB5 MDC ∴AE =CE =BE ．又∠3 +∠CDE =∠4 +∠CDE = 90︒．∴∠3 =∠4 ，∴Rt∆DCE = Rt∆FAE ，∴AMA E D B=CE=2，∴∠EDF = 45︒=∠B ，故CM AC 1DF ∥BC ．又 E 、M 为AB 、BC 的中点，∴连接EM ，则EM ∥AC ．∴AC ⊥BC ，∴EM ⊥BC ，故EM ⊥DF ．∴EM 为DF 的中垂线．∴∠FME =∠DME ．而∠FME +∠1 =∠DME +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠2 ．解法三：如图，作CG =AG 的平分线CF 交AM 于F ，CA DB 则∠ACF =∠MCF = 45︒，即ACF =∠CBD = 45︒．∵AC ⊥BC ，C D ⊥AM ，∴∠CAF +∠CMF =∠BCD +∠CMF = 90︒．∴BM=1．AC 2又∠B =∠CAD ，∴∆ACF ≌∆CBD ．∴CF =BD ．又CM =BM ，∠MCF =∠MBD ．∴∆CFM ≌∆BDM ．∴∠FMC =∠DMB ．解法四：如图，过D 作DG ⊥CB ．CA∵∠B = 45︒，∴DG =BG ．∵∠DCG +∠AMC =∠FAC +∠AMC = 90︒，∴∠DCG =∠FAC ．∴∆DCG ∽∆MAC ．∴DG∶CG =CM∶AC = 1∶2 ，则BG∶CG = 1∶2 ．∵DG ∥AC ，∴BD∶AD = 1∶2 ，而BM∶AC = 1∶2 ， B =∠CAD ．∴∆BMD ∽∆ACD ，∴∠BMD =∠ACD ．而∠ACD =MGM F3 1FM24AMC ，解法五：如图，延长CB 到 E ，使 BE = BC ．连接 AE ，延长CD 交 AE 于G ，则 AC = BC = BE ，CE∴AM = CE = 2 ．CM AC 1 ∴ Rt ∆ACM ∽ Rt ∆ECA ．∴ ∠CAM = ∠E ． ∵ ∠CAM + ∠ACF = 90︒ ， ∠GCE + ∠ACF = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠GCE ．即∠GCE = ∠E ．∴ CG = GE ． ∵ ∠CAE + ∠E = 90︒ ， ∠ACG + ∠GCE = 90︒ ，∴ ∠CAE = ∠ACG ，∴ CG = AG ，从而 AG = GE ．又∵ BC = BE ，所以 D 为∆AEC 的重心，∴ BD = 1．而 BM = 1 ， ∠B = ∠CAD ． AD 2AC 2∴ ∆BMD ∽ ∆ACD ，∴ ∠BMD =∠ACD ． 而 ∠AMC = ∠ACF ，∴ ∠BMD = ∠AMC ．解法六：如图，过 A 作 AH ⊥ AM ，与 BC 的延长交于 H ．HD B∵ ∠1 + ∠2 = 90︒ ， ∠1 + ∠AMC = 90︒ ， ∴ ∠2 = ∠AMC ， ∴ Rt ∆AHC ∽ Rt ∆MAC ，∴ HC = AC= 2 ． AC MC而 AC = BC ，∴HC= 2 ．BC∵ HA ∥ C D ，∴ AD = HC= 2 ．BD BC又∵ AC BM = 2 ， ∠CAD = ∠B ，∴ ∆ADC ∽ ∆BDM ，C MFFMAD BG而∠AMC = ∠ACD ，∴ ∠AMC = ∠BMD ．解法七：如图，过 D 作 DE ⊥ BM ，垂足为 E ．CA∵ ∠CAM + ∠CMA = 90︒ ， ∠ECD + ∠CMA = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠ECD ， ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ECD ，∴ DE = MC = 1 ．CEAC2∵ ∠B = 45︒ ， ∠DEB = 90︒ ，∴ DE = BE ，∴ BE = 1． CE 2设 ME = x ，CM = BE = a ，∴a - x = 1 ，∴ x = a． a + x 2 3∴ DE = BE = a - a = 2a ，∴ ME = 1 = MC，3 3 ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ∆EDM ， ∴ ∠AMC = ∠BMD ．DE 2 AC13.如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC 是直角， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若∠ADB = ∠FDC ，求证：D 是 AC 的中点．AFC【答案】过C 作CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点；易证∆ABD ≌∆AHC ， HC = AD ；进而证明∆FHC ≌∆FDC ，得到 HC = CD ，则 D 为 AC 中点．A14.如图所示，在等边∆ABC 中， DE ∥ BC ， O 为∆ADE 的中心， M 为 BE 的中点， 求证OM ⊥ CM ．M EDE【答案】如图所示，延长OM 至点 N ，使OM = MN ，连接OA 、OE 、OC 、 BN 、CN ．AAD OEO N D EMMBCNB C因为OM = NM ， BM = ME ， ∠OME = ∠NMB ， 故∆BMN ≌ ∆EMO ，则 BN = EO ， ∠OEM =∠NBM ． 因为 DE ∥ BC ，则∠DEB = ∠CBE ， ∠OED = ∠CBN ．因为O 为∆ADE 的中心，则OA = OE = BN ， ∠OAE = ∠OED = 30︒ = ∠CBN ． 因为 AC = BC ，故∆AOC ≌ ∆BNC ，从而OC = CN ． 因为OM = MN ，故OM ⊥ CM ．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取 AE 的中点 N ，连接 MN 、OA 、ON 、OC ． 因为O 为∆ADE 的中心，故∠OAN = 30︒ ， OA =2ON ． 因为 AN = NE ， BM = EM ，故 AB = 2MN = AC ．因为ON ⊥ AC ， MN ∥ AB ，故∠MNE = 60︒ ，因为∠ONM = 30︒ ，故∆OAC ∽ ∆ONM ，∠OMN = ∠OCN ，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON ⊥ AC ，故OM ⊥ CM ．15.已知 P 为等腰直角∆ABC 的斜边 AB 上任意一点， PE 、PF 分别为 AC 、BC 之垂线，垂足为 E 、 F ． M 为 AB 之中点．则 E 、 M 、 F 组成等腰直角三角形．A ECF B【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为 AB 之中线，亦为 AB 之高．P MAECFB∴ ∠CMA = 90︒ ． ∵ ∠PEC = ∠PFC = ∠ECF = 90︒ ， ∴ ECFP 为矩形，故 PE = CF ． 又∵ ∠A = 45︒ ，∴ ∆AEP 为等腰直角三角形，∴ AE = PE ．∴ AE = CF ． 又∵ CM = AM ， ∠MCF = ∠A = 45︒ ， ∴ ∆AEM ≌ ∆CFM ，∴ ∠AME = ∠CMF ， EM = FM ． ∵ ∠CME + ∠AME = 90︒ ，∴ ∠CME + ∠CMF = 90︒ ，即∠EMF = 90︒ ． ∴ ∆EMF 为等腰直角三角形． 解法二：如图，由 M 作 ME ' ⊥ AC ， MF ' ⊥ BC ，则显然由于 M 为 AB 之中点， AC = BC ， AC ⊥ BC ，AE E'CF F'B∴ ME 'CF ' 为正方形，故 ME ' = MF ' ． 又设 ME ' 交 PF 于Q ， 则∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ，∴ ∠EPF = ∠C = 90︒ ．而∠PEE ' = ∠EE 'Q = 90︒ ． ∴ EE 'QP 为矩形，故 EE ' = PQ ． 同理 FF ' = QM ．又∵ PF ∥ AC ，∴ ∠QPM = ∠A = 45︒ ． ∴ ∆PQM 为等腰直角三角形， ∴ PQ = QM ，故 EE ' = FF ' ．又 ME ' = MF ' ， ∠EE 'M = ∠FF 'M = 90︒ ． ∴ ∆EE 'M ≌ ∆FF 'M ，∴ ∠EME ' = ∠FMF ' ， EM =FM ． 又∠E 'MF + ∠FMF ' = 90︒ ， ∴ ∠E 'MF + ∠EME ' = 90︒ ．即∠EMF = 90︒ ，故∆MEF 为等腰直角三角形．解法三：如图，延长 FM 到Q ，使 MQ = FM ，连接 AQ ．PMPMQ2 2 2 A QECFB∵ AM = BM ，∴ A 、 F 、 B 、Q 4 点组成平行四边形． ∴ AQ = FB ， AQ ∥ FB ．又∵ BC ⊥ AC ，∴ AQ ⊥ AC ， ∴ ∠QAE = ∠FCE = 90︒ ．又∵ PF ⊥ BC ， ∠B = 45︒ ，∴ FP = FB ．同理 EP = AE ． ∵ ECFP 为矩形，∴ FP = CE ， EP = CF ，故 AB ．而CM ⊥ AB ， ∴ AQ = CE ， A E = CF ． ∴ Rt ∆AEQ ≌ Rt ∆CFE ． ∴ EQ = FE ， ∠AQE = ∠CEF ， ∠QEA = ∠EFC ． ∵ ∠AQE + ∠QEA = 90︒ ，∴ ∠CEF + ∠QEA = 90︒ ．故 PF= ．QF∴ ∆FEQ 为等腰直角三角形．而 M 为底边之中点，所以∆EMF 亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为 M 为 AB 之中点，所以CM ⊥ AB ，CM 平分∠ACB ， 即∠MCB = 45︒ ．由 F 向 MB 引垂线 FQ ，向CM 引垂线 FF ' ，显然 F 'FQM 为矩形．则 FF ' = MQ ．AECFB又∵ ∆CF 'F 为等腰直角三角形， CF = 2FF ' = 2MQ ． 又∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ ECFP 为矩形，故 EP = CF = 2MQ ． 于是在Rt ∆EPF 和Rt ∆MQF 中， PF = FB =2QF ， PF = ， EP= ，∴ PF = EP ，QF MQQF MQ∴ ∆EPF ∽ ∆MQF ，故∠EFP =∠MFQ ． 又∵ ∠PFM + ∠MFQ = 45︒ ， ∵ ∠PFM + ∠EFP = 45︒ ，即 PF = BF ．同理∠FEM = 45︒ ， ∆EMF 为等腰直角三角形．PMPM QF'E解法五：如图，连接CP 、CM ．AECFB∵ PF = BF ， ∆ABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠BPF = ∠BCM = 45︒ ．∴ P 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠CMF = ∠CPF ．又∵ ∠CPF = ∠CEF ，∴ ∠CEF = ∠CMF ，∴ E 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠MEF = ∠MCF = 45︒ ， ∠MFE = ∠MCE = 45︒ ，∴ iEMF 是等腰直角三角形．16.长方形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 7 ， ∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ ED 交 AB 于 F ，则 EF = ．ADFBEC【解析】由 AB = 4 ，AE 平分∠BAD 可知 BE = AB = CD = 4 ．由基本图可知∆BEF ≌∆CDE ， 故 EF = DE又 BC = 7 ， BE = 4 ，故CE = 3 ．由勾股定理可知， DE = 5 ． 从而可知 EF = 5 ．【答案】517.如图，设∆ABC 和∆CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62︒ ，则∠AEB A ．124︒ B ．122︒ C ．120︒ D ．118︒的度数是( )ABCD【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系． 解 易知∠ACE = ∠BCD ， ∆AEC ≌ ∆BDC ，于是∠EAC = ∠DBC ,从而∠EBD = ∠CBD + ∠CBE = ∠EAC + ∠CBE ,在考虑到∠EAC + ∠AEC + ∠ACE + ∠CEB + ∠ECB + ∠EBD = 360,有：∠BEC + ∠AEC = 360 - 60 - 62 = 360 - ∠AEB 从而∠AEB = 122 ，选B 。
相似三角形的特例：全等三角形
相似三角形的特例：全等三角形在我们探索三角形的奇妙世界时，相似三角形是一个重要的概念。
而在相似三角形中，有一个特殊且关键的情况，那就是全等三角形。
首先，让我们来明确一下什么是相似三角形。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的形状相同，但大小可能不同，那么它们就是相似三角形。
而当这个比例为1:1 时，相似三角形就变成了全等三角形。
全等三角形具有非常重要的性质。
它们的对应边相等，对应角也相等。
这意味着，如果我们知道两个三角形是全等的，那么我们可以确定它们的每一条边和每一个角都是完全相同的。
全等三角形的判定方法有多种。
其中，“边边边”（SSS）判定法指出，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 就全等于三角形 DEF。
“边角边”（SAS）判定法也很常用。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果 AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形就是全等的。
“角边角”（ASA）判定法告诉我们，当两个三角形的两个角及其夹边分别相等时，它们全等。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC 就和三角形 DEF 全等。
还有“角角边”（AAS）判定法，即如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形在实际生活中的应用非常广泛。
比如在建筑领域，工程师们需要确保建筑物的结构稳定和准确。
当他们设计和建造桥梁、房屋等结构时，常常需要利用全等三角形的原理来保证各个部件的尺寸和角度的准确性，以确保整体结构的稳固和安全。
在测量领域，当我们无法直接测量某些距离或角度时，全等三角形也能发挥作用。
完整版)全等三角形难题题型归类及解析
完整版)全等三角形难题题型归类及解析1.在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AE=AC，DE=2cm，BD=3cm，求BC的长度。
为了解决这个问题，我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形ADE和ABC。
因为AE=AC，所以三角形ADE和三角形ABC的两边分别相等，因此它们是全等的。
根据全等三角形的性质，∠DAE=∠CAB，∠AED=∠ACB。
又因为AD是角BAC的平分线，所以∠DAE=∠EAC，因此∠CAB=2∠EAC。
设BC=x，则根据正弦定理可得：3/x=sin(2EAC)/sin(EAC)，化简后得到x=6.2.在三角形ABC中，BD是角ABC的平分线，AB=BC，P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求解PM与PN 的关系。
首先，我们可以利用角平分线的性质，构造等腰三角形ABD和CBD。
因为AB=BC，所以三角形ABD和三角形CBD的两边分别相等，因此它们是全等的。
根据全等三角形的性质，∠BDA=∠BDC，∠ADB=∠CDB。
又因为BD是角ABC的平分线，所以∠ADB=∠BDC，因此∠BDA=∠CDB。
因此，三角形APM和三角形CPN是全等的。
因为全等三角形的对应边相等，所以PM=PN。
3.在三角形OAB中，P是角OAB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，OC=4cm，求解AO+BO的值。
我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形OAC和OBC。
因为∠OAP+∠OBP=180°，所以∠AOP=∠BOP=90°。
因此，三角形OAP和三角形OBP是直角三角形。
设AO=x，BO=y，则根据勾股定理可得：x^2+PC^2=OP^2，y^2+PC^2=OP^2.又因为OC=4cm，所以PC=2cm。
将PC代入上面的两个式子中，得到x^2+y^2=OP^2-4.又因为三角形OAC和三角形OBC是全等的，所以x=y，因此2x^2=OP^2-4，即OP^2=2x^2+4.因此，AO+BO=2x=2√((OP^2-4)/2)=2√(2x^2)=2√(2y^2)=2√(2x^2+4)/2=2√(OP^2)/2=OP√2=2√6.4.在三角形ABC中，E在边AC上，且∠XXX∠ABC。
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形-中考数学专题复习试题
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。
（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。
（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。
难点是综合应用这些知识解决问题的能力。
三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。
知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
相似三角形的判定十大题型
在△BPG 中，∵∠B＝45°，
∴∠AGB＝∠CPF，
∴∠BPG+∠BGP＝135°，
∵∠B＝∠C，
∴∠BGP＝∠CPF，
∴△PBG∽△FCP．
∵∠B＝∠C，
∴△PBG∽△FCP；
【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】
【例 4】四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，连接 DE，CE． （1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由； （2）若四边形 ABCD 为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求 AE 的 长． （3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断 AE 和 BE 的数 量关系并说明理由．
解：（1）∵D、E 分别是 AC、BC 的中点， ∴DE∥AB，DE= 12AB＝5， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B， ∴∠DEC＝∠F， ∴DF＝DE＝5； （2）∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B， ∴∠CDE＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠CDE＝∠F， ∵∠CED＝∠DEF， ∴△CDE∽△DFE．
出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似？（只考
虑以点 A、O 为对应顶点的情况）
解：（1）C（3，4），D（9，4）；
（2）易知：OB＝AB＝10；
∵C 点坐标为（3，4），
∴点 C 到 x 轴的距离为 4
①当点 D 在线段 OA 上，即 0＜t≤6 时，OD＝2t；
则：S=
12OD×4=
1 2
×2t×4＝4t；
②当 D 在线段 AB 上，即 6≤t＜11 时，BD＝OA+AB﹣2t＝22﹣2t；
初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)
.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。
三角形的相似与全等判断
三角形的相似与全等判断相似和全等是几何学中常用的两个概念，它们可以帮助我们判断和比较不同三角形之间的关系。
在本文中，我们将讨论相似和全等三角形的判断方法和应用。
一、相似三角形的判断相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
判断两个三角形是否相似，我们需满足以下条件之一：1. AA相似定理当两个三角形的两个对角分别相等时，这两个三角形是相似的。
即若两个三角形的某一角分别相等，并且另外一个角也分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理当两个三角形的对应边的长度成比例时，这两个三角形是相似的。
即若三角形的三边长度两两成比例，则这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理当两个三角形的某一对边对应成比例，并且这两个边间夹角分别相等时，这两个三角形是相似的。
有了上述相似三角形的判断定理，我们可以通过已知条件判断两个三角形是否相似，并进一步推导出其它未知边长或角度的关系。
二、全等三角形的判断全等三角形是指具有相同形状和尺寸的三角形。
判断两个三角形是否全等，我们需满足以下条件之一：1. SSS全等定理当两个三角形的三个对应边长相等时，这两个三角形是全等的。
2. SAS全等定理当两个三角形的其中一个对边和对应角度相等，并且两个对应边的夹角也相等时，这两个三角形是全等的。
3. ASA全等定理当两个三角形的其中两个对边和夹角对应相等时，这两个三角形是全等的。
通过全等三角形的判断定理，我们可以判断两个三角形之间是否完全相同，从而可以确定其它未知边长或角度的值。
在实际应用中，相似和全等三角形的概念经常用于测量、构造和解决几何问题，并在建筑学、工程学以及导航等领域得到广泛应用。
了解和掌握相似和全等三角形的判断方法，可以帮助我们更好地理解和运用几何知识。
综上所述，相似和全等是两个基本的三角形关系概念。
通过相似三角形的判断我们可以推导出未知边长和角度的关系，而全等三角形的判断则能确保两个三角形在形状和尺寸上完全相同。
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
相似三角形的特例：全等三角形
相似三角形的特例：全等三角形在数学的广袤世界中，三角形是一个极其重要的研究对象。
而在三角形的家族里，相似三角形和全等三角形有着密切的关系，其中全等三角形可以被视为相似三角形的一个特殊情况。
相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小不一定相同的三角形。
它们的对应角相等，对应边成比例。
当这个比例系数为 1 时，相似三角形就变成了全等三角形。
全等三角形具有非常显著的特点。
首先，全等三角形的三条边长度完全相等。
这意味着，如果我们知道了一个三角形的三条边的长度，并且找到了另一个与之三边都相等的三角形，那么这两个三角形就是全等的。
比如说，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米，另一个三角形也具有同样的边长，那么它们就是全等的。
其次，全等三角形的三个角的度数也完全相同。
无论是锐角、直角还是钝角，其角度大小都是一一对应的。
比如一个三角形的三个角分别是 60 度、30 度和 90 度，另一个三角形的三个角也同样如此，那么这两个三角形就是全等的。
全等三角形的判定方法有多种。
其中，“边边边”（SSS）定理是指如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
这是最基础也是最直观的一种判定方法。
“边角边”（SAS）定理也很常用，即如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
这里要特别注意，必须是夹角相等，如果不是夹角，就不能判定全等。
“角边角”（ASA）定理规定，如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。
“角角边”（AAS）定理表明，如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
直角三角形还有一种特殊的全等判定方法——“斜边、直角边”（HL）定理。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
全等三角形在实际生活中的应用非常广泛。
比如在建筑领域，工程师们在设计和建造房屋、桥梁等结构时，需要确保各个部件的形状和尺寸准确无误。
几何中的相似与全等三角形的证明
几何中的相似与全等三角形的证明几何学是数学中一门重要的分支，涉及各种图形的性质和关系。
相似与全等三角形是几何学中的基本概念，对于建立几何学的基础知识以及解决实际问题都具有重要意义。
在本文中，我们将探讨相似与全等三角形的证明方法及其在实际生活中的应用。
一、相似三角形的证明相似三角形是指两个或多个三角形的对应边成比例。
下面我们将介绍几种常见的相似三角形证明方法。
1. AA判定法AA判定法是指如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
具体证明方法如下：假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D且∠B = ∠E，那么可以得出结论∆ABC ∼ ∆DEF。
2. SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
具体证明方法如下：假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE = BC/EF = CA/FD，那么可以得出结论∆ABC ∼ ∆DEF。
3. SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的一对对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
具体证明方法如下：假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE = BC/EF 且∠A =∠D，那么可以得出结论∆ABC ∼ ∆DEF。
二、全等三角形的证明全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角都相等。
下面我们将介绍几种常见的全等三角形证明方法。
1. SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的对应边分别相等，则这两个三角形全等。
具体证明方法如下：假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB = DE，BC = EF，CA = FD，那么可以得出结论∆ABC ≌ ∆DEF。
2. SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两对对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形全等。
具体证明方法如下：假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB = DE，∠A = ∠D，BC/EF = CA/FD，那么可以得出结论∆ABC ≌ ∆DEF。
2020中考数学 几何专项突破：全等和相似三角形(含详解版)
2020中考数学几何专项突破全等与相似三角形（含答案）典例探究例1.△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使得DC ∥AB,求∠EAB的度数。
例2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
D例 3.如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点． （1）求证：； （2）当为边中点，时，如图2，求的值； （3）当为边中点，时，请直接写出的值．例4.如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
Rt ABC △90BAC ∠=°AD BC ⊥D O AC BO AD F OE OB ⊥BC E ABF COE △∽△O AC 2AC AB =OFOE O AC AC n AB =OFOEx y BBAACO E D D EC OF图1图2F巩固练习-全等三角形1.如图，给出下列四组条件：①； ②； ③； ④．其中，能使的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2、如图，AD 是△ABC 的中线，AB AC =。
1∠与2∠相等吗？请说明理由。
3.已知：如图 , 点A 、D 、C 、F 在同一条直线上 , AB=DE , BC ∥EF,∠B=∠E. 求证：ΔABC ≌ΔDEF.4.如图,△OAB 和△COD 均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒, 连接AC 、BD .求证: AC BD =.AB DE BC EF AC DF ===，，AB DE B E BC EF =∠=∠=，，B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，AB DE AC DF B E ==∠=∠，，ABC DEF △≌△21DCBA5、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由．6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AD ，试说明△ABC 和△ABD 全等.7、已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE ，BF ＝CE 。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
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43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗请说明理由
45、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
全等三角形证明经典50题.doc
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
1.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
相似三角形的判定练习
相似三角形的判定练习.doc
【知能点分类训练】
知能点1 角角识别法
1．如图1，（1）若 =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
12．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
13．在 ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求 的值．
14．在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似， 试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．
A． B．
19．（安徽）如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．
20．（广东）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD 于点E．
（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．
36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．
37.已知：如图,AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE．若AB=5 ,求AD的长
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤ ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
19．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
14．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
15．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
16．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
8.已知：AB 知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
10.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB
11.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
13．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足， ．
求证： ．
47、(10B=CD
48、(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
【中考真题实战】
17．（上海）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（ ）．
A．△DBE B．△ADE C．△ABD D．△BDC
18．（天津）如第17题图，已知等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC， 则 的值为（ ）．
A．45° B．60° C．75° D．90°
(4) (5) (6)
7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．
8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点， 写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
已知：
求证：
证明：
40．在△ABC中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 .(1)当直线 绕点 旋转到图1的位置时，求证： ① ≌ ；② ；
(2)当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．
2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．
(1) (2) (3)
3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO= ∠BAO， 则点C 的坐标为________，AC=_______．
10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0） 和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．
【综合应用提高】
11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图， 上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N 与窗户的距离NC．
求证：BD=2CE．
20、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
21、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
22、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。
23、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
15．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子的距离是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗试加以说明．
【开放探索创新】
16．在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=80°，∠B=30°，∠B′=20°． 试分别在△ABC和△A′B′C′中画一条直线，使分得的两个三角形相似．在下图中分别画出符合条件的直线，并标注有关数据．
27.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
28．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
29．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
30．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．
5．下列各组图形一定相似的是（ ）．
A．有一个角相等的等腰三角形B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（ ）．
17．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
18．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
24、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
25.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
26．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．