第6讲函数的单调性3

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高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

函数的单调性与最值

当x＞4时，f（x）是以2为底的对数函数，是增函数，故a≥4
∴实数a的取值范围是：（﹣∞，1]∪[4，+∞）
（2）函数f(x)＝|x－2|x的递减区间是_______；增区间是 ________.
解
f(x)＝|x－2|x＝
(2 x)x (x 2)x
, ,
x x
2 2
作出此函数的图象．
可知f(x)＝|x－2|x的减区间是[1,2]．增区间是（∞，1）和 [2，＋∞)
1 2x
1 2x
1 2x
呢？
代数换元法
y 解：
t≥0
x o
代数换元法 y
当t=4时取得最大值 0 值域为 [-4,0]
0.5 2
u -x2 2x 8 u （x 1）2 9
u9 u0 0u9
y log2 u ，0 u 9
y
4 01
x 9
y （1）x2 2x 3
u x2 2x u （x 1）2 -1
y (1)u , (u 1) 3
y
1 x
-1 0
(-∞ , log29]
(0,3]
解：令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，则
(三角换元法)
A(-3,4) y
M 0 NP
B(5,2) x
B'(5,-2)
(数形结合法 )
5 5
5
3 5
例6. 解：
）
y
的最大值是_____，值域是 ______.
y
x o 1 2.5 5
y
3.
(2,3)
x
o2
答案减区间为(－∞，2)和（2，+∞）；无增区间
二、对点精讲 y
例2.(1)设f（x）＝

函数单调性教案

函数单调性教案中的这种变化规律，可以用数学中的函数来描述。

引导学生思考函数与实际生活的联系。

二)函数单调性的概念和判断方法讲解函数单调性的概念和判断方法，引导学生观察图像，数形结合，发现图像上升或下降时函数值的变化规律，推广到一般函数，得出增减函数定义。

学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。

三)函数单调性的证明通过对函数单调性的定义进行探究，引导学生进行推理论证，提高学生的推理论证能力。

四)课后练布置课后练，让学生巩固所学知识，体现层次性，照顾各层次的同学。

通过实际生活中的例子引导学生理解函数的概念，讲解函数单调性的概念和判断方法，引导学生观察图像，数形结合，发现图像上升或下降时函数值的变化规律，推广到一般函数，得出增减函数定义。

通过对函数单调性的定义进行探究，引导学生进行推理论证，提高学生的推理论证能力。

布置课后练，让学生巩固所学知识。

中处处都有数学，因为数学是一门广泛应用于各个领域的学科。

其中，气温变化也蕴含着丰富的数学知识，例如函数的单调性。

函数的单调性指的是在一个区间范围内，函数上升或下降的趋势。

观察函数图像和变量的变化可以帮助我们理解函数的单调性。

上节课的作业中，我们观察了三个函数图像，可以看出它们的变化趋势。

例如，从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从点到4点，14点到24点温度是下降的。

通过这样的观察，我们可以感受到生活中处处都蕴含着数学，激发学生的研究热情。

除了观察函数图像，我们还可以通过增减函数的概念来判断函数的单调性。

增减函数是指函数在某个区间内的导数为正或负。

通过这种方法，我们可以更清楚地表述函数的单调性。

需要注意的是，函数的单调性具有局部性，必须在一个区间范围内进行观察和判断。

因此，无论是从图像上还是从变量上，我们都需要借助函数图像来观察和判断函数的单调性。

学中随机选择m个同学回答）。

函数的单调性与增减性是密切相关的，通常我们把具有单调性的函数称为增函数或减函数。

函数的性质专题讲义

函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲

高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容：函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间（1）增函数：对任意，则为上的增函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。

图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。

注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。

2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。

，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。

（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。

（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。

（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。

3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明）（3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳第6讲导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)

第6讲导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。

第6讲函数的单调性与最值

变式 (2)函数 y＝－x2＋3x－2的单调递增区间为_________．
()
()
目标 3 函数单调性的应用
3 (1)已知函数f(x)＝－x ln 2－x3，则不等式f(3－x2)＞f(2x－5)的解集为( )
A．(－4，2)
B．(－2，2)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
M为最小值
4．求函数最值的依据：我们知道连续函数在闭区间内一定存在最大值和最小值． (1) 当函数为单调函数时，区间两端点处的函数值分别为 ____最_大__(小__)值_____； (2)当函数不单调时，函数的极大(小)值与区间端点处的较大 (小)值中最大(小)的函数值为函数在给定区间的 ___最__大_(_小_)_值_____．
目标 1 函数单调性的判断
1 (1)判断并证明 f(x)＝x2＋x 4在(0，＋∞)上的单调性． (2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：ⅰ)对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy) ＝f(x)＋f(y)；ⅱ)当且仅当x＞1时，f(x)＜0成立． ①求f(1)的值；
②用定义证明f(x)的单调性．
3．(人A必一P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋3在R上是减函数，则实数k的取值范
围是______________．
4．(人 A 必一 P79 例 3 改编)函数 y＝x＋4x(x＞0)的单调递增区间是______________． 5．函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为__________．
第二章基本初等函数
第6讲函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
定义

函数的单调性

函数的单调性一、函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数(0)y kx k =≠：○1当0k >时，函数y kx =在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx =在定义域R 上是减函数.(2)反比例函数(0)k y k x=≠： ○1当0k >时，函数k y x=的单调递减区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间；○2当0k <时，函数k y x=的单调递增区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间.(3)一次函数(0)y kx b k =+≠：○1当0k >时，函数y kx b =+在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx b =+在定义域R 上是减函数.（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠：○1当0a >时，函数2y ax bx c =++的图像开口向上，单调递减区间是(,]2b a -∞-，单调递增区间是[,)2b a-+∞；○2当0a <时，函数2y ax bx c =++的图像开口向下，单调递增区间是(,]2b a -∞-，单调递减区间是[,)2b a-+∞.注意：3()y f x x ==在定义域R 上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数()()f x af x 与，当0a >时有相同的单调性，当0a <时有相反的单调性；如函数()f x x =与3()3f x x -=-的单调性相反，函数()f x x =与3()3f x x =的单调性相同；（2）当函数()f x 恒为正（或恒为负）时()f x 与1()f x 有相反的单调性，如：函数1()0f x x =->((,0))x ∈-∞是递增函数，则111()x f x x==--在区间(,0)-∞是递减函数；（3）若()0f x ≥，则()f x与如：函数2()234f x x x =++，在定义域R 上，()0f x >，且()f x 是3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数，所以函数=3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数；（4）若()f x ，()g x 的单调性相同，则()()f x g x +的单调性与()f x ，()g x 的单调性相同.如211()x F x x x x -+==-+，令1(),()f x x g x x=-=，即 ()()()F x f x g x =+，因为函数()f x 在R 上单调递减，()g x 的单调递减区间是(,0),(0,-∞+∞），所以函数211()x F x x x x-+==-+的单调递减区间是 (,0),-∞(0,+∞）； (5) 若()f x ，()g x 的单调性相反，则()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.因为()g x -与()f x 的单调性相同，所以()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意,(0,)x y ∈+∞，恒有()()()f xy f x f y =+，且当01x <<时()0f x >，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性. 解设,(0,),0x x h h +∈+∞>，则()()()[()]x f x h f x f x h f x h x h+-=+-⋅++ ()[()()]()x x f x h f f x h f x h x h =+-++=-++.01,()0,()0x x x f f x h x h x h<<∴>∴-<+++，()()0f x h f x ∴+-<，所以函数 ()f x 在(0,)+∞上的单调递减.二、复合函数单调性的判定方法求复合函数(())y f g x =的单调性的步骤：（1）求出函数的定义域；（2）明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()y f u u g x ==;（3）确定简单函数的单调性；（4）若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())y f g x =为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())y f g x =为减函数简记为“同增异减”.实例2 求函数()f x =解：由解析式得2340x x +-≥，即函数的定义域为{|41}x x x ≤-≥或.令234t x x =+-，则y =y t =是增函数，而234t x x =+-在(,4]-∞上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，∴函数()f x =[1,)+∞，递减区间为(,4]-∞.三、单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数()y f x =在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,x x 且 12x x <，则12()()f x f x <.减函数也有类似的性质.示例3 已知函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数，试比较3()4f 与2(1)f a a -+的大小.解：221331()244a a a -+=-+≥，34∴与21a a -+都在区间[0,)+∞内.又()y f x =在区间[0,)+∞上是减函数，23()(1).4f f a a ∴≥-+ 注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例4 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围.解()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，∴可得不等式组111,1131,113,x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩即02,20,31.2x x x ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪<⎪⎩解得102x ≤<，所以所求1[0,)2x ∈. 2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1）若()f x 在定义域[,]a b 是增函数，则当x a =时，()f x 取得最小值()f a 当x b =，()f x 取得最大值()f b 如图2.（2）若()f x 在定义域[,]a b 是减函数，则当x a =时，()f x 取得最大值()f a ，当x b =，()f x 取得最小值()f b 如图3.（3）已知函数(),[,],y f x x a b a c b =∈<<，如果()f x 在[,]a c 上是单调递增（减）函数，在[,]c b 上是单调递减（增）函数，则()f x 在x c =时取得最大（小）值，在x a =或x b =时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5 求函数32y x =--.解：令()32f x x =-，()g x =()()y f x g x =-.由题意得函数的定义域为(,2]-∞.()32f x x =-在(,2]-∞上递增，()g x =在(,2]-∞上递减，但()g x -=(,2]-∞上递增，∴32y x =-(,2]-∞上为递增函数，∴当2x =时，y 有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“f ”的不等式根据函数()y f x =在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),f x f x <则12x x <；若已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为减函数，若12()(),f x f x <则12x x >，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6 已知函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，求实数x 的取值范围. 解：函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，2356x x ∴-<+，(3,)x ∴∈-+∞.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数(())y f g x =的定义域，是函数()g x 的定义域中，使中间变量()u g x =属于函数()f u的定义域全体.示例1若函数()f x的定义域为[1,4]，求函数(4)f x+的定义域.解：函数()f x的定义域为[1,4]，∴使得(4)f x+有意义的条件是144x≤+≤,即30x-≤≤，则(4)f x+的定义域为[3,0]-.注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.示例2已知f的定义域为[0,3]，求函数()f x的定义域.解题分析：函数f和()f x中的x并不是同一个量，若设u=，则f变成()f u，那么u的取值范围才是函数()f x的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：f的定义域为[0,3]，03x∴≤≤，则≤≤函数()f x的定义域为.二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如ax bycx d+=+（0c≠且分式不可约）的值域为{|}ay yc≠.示例3求函数311xyx-=+的值域解：函数311xyx-=+，∴331y≠≠，∴311xyx-=+的值域为{|3}y y≠.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如225((,2])y x x x=--∈-∞的图像如右图所示，所以值域为[6,)-+∞.3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x或通过变形能化成只出现“一个”x的函数，如1||,y x=-由||0x≥，则1||1x-≤，可得(,1]y∈-∞；又如2211172()24yx x x==-+-+，因为2177()244x-+≥，所以2140177()24x <≤-+，所以4(0,]7y ∈. 示例4求函数23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域解：232(1)55()2111x x f x x x x -+-===-+++，由221x x -≤≤≠-且，得 11310x x -≤+≤+≠且.令1t x =+，则130t t -≤≤≠且.结合反比例函数5y t=-的图像可知，当 130t t -≤≤≠且，即[1,0)(0,3]t ∈-时，55553t t-≤--≥或. ∴5555131x x -≤--≥++或.515()2()27131f x f x x x =-≤=-≥++或. ∴23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域为1-][7,)3∞+∞（，. 4.换元法：适用于无理式中含自变量的函. 示例5求函数y x =+.解：函数的定义域是{|1}x x ≤.t =，则[0,)t ∈+∞，2+1x t =-， 22212(21)2(1)2y t t t t t ∴=-++=--++=--+，0t ≥，结合二次函数的图像2y ∴≤，∴原函数的值域为∞（-，2].注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如22(,)ax bx c y a d dx ex f++=++不全为零且分式不可约的函数. 示例6 求函数2224723x x y x x +-=++的值域.解：由2224723x x y x x +-=++得2(2)2(2)370y x y x y -+-++=，当2y =时，方程无解；当2y ≠时，要使关于x 的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0y y y ∆=---+≥，解得9 2.2y -≤< ∴原函数的值域为92[-，2). 6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x 的解析式的函数.示例7 求函数2211x y x -=+的值域解：由2211x y x-=+得2(1)10y x y ++-=，当1y =-时，方程无解：当1y ≠-时，要使关于x 的方程有解，必须04(1)(1)0y y ∆=-+-≥，解得11y -≤≤.∴原函数的值域为[-1，1].示例7：求函数311x y x -=+的值域. 解：由311x y x -=+得1(1)31(3)103y y x x y x y x y ++=-⇒-++=⇒=--，只要30,3y y -≠≠即，就有13y x y +=--.∴原函数的值域为{y |3}y ≠.。

第6讲函数的单调性问题(原卷版)

第6讲函数的单调性问题方法总结：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。

即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式典型例题：例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值为（） A ．45B ．75C ．95D ．115例2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（）A ．15a <≤B ．25a <≤C ．25a ≤≤D ．35a <≤例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭例4．（2022·江苏·高三专题练习）若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）.A ．()+∞B ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D ．)+∞例5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））若函数()()()sin sin 2cos 2f x x x a x πππ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(-∞C ．(D ．[)1,+∞例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A ．(],2-∞B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()2,-+∞例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()331132ln 1222x t x a f t x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，若对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．16,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例8．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数()3,2,xx x mf x x x m ⎧<=⎨⋅≥⎩，若对任意120x x <<，恒有()()1221121x f x x f x x x -<-成立，则实数m 的取值范围是___________.例9．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知函数()e sin xf x x =.求函数()f x 的单调递增区间：例10．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数2()e (e)x f x a x ax =-++. 当a e =-时，求()f x 的单调区间；过关练习：1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，那么（）A ．可能不存在单调区间B ．()f x 是R 上的增函数C ．不可能有单调区间D ．一定有单调区间2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（） A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．()0,33．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()(21)3f x mx m x m =-+++恰有4个单调区间，则实数m 的取值范围为（）A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，0）∪（0，18）C ．（0，18]D ．（18，1]4．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3log a f x x ax =-（0a >且1a ≠）在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，则a 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．91,4⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1，2]D ．[1，2)6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,17．（2022·全国·高三专题练习）已知0>ω，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））已知函数()314cos 3f x x mx =-在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．,⎛-∞ ⎝⎦B ．,⎛-∞ ⎝⎦C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．,⎛-∞ ⎝⎦9．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知R a ∈，则“3a ≤”是“()22ln f x x x ax =+-在()0,∞+内单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题10．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 8mf x x x=+，若12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，都有()()12120.5f x f x x x -<-，则实数m 的值可以为（）A ．5B ．4C ．3D ．e三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x )＝1＋12x ＋cos x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递增区间是________.13．（2022·全国·高三专题练习）若函数3211()2332f x x x x =+-+在区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．四、解答题14．（2022·陕西武功·二模（文））已知函数()2()1e xf x ax x =--（a R ∈且0a ≠）.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调区间.15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝1xx+－a ln(1＋x )(a ∈R)，求函数f (x )的单调区间. 16．（2022·江西宜春·高三期末（文））已知函数()()()x xf x e sinx ax a Rg x e cosx =-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.17．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数()sin f x x a x =-的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-. (1)求a ；(2)求()f x 在[0,2]π的单调区间.18．（2022·河北·高三阶段练习）设函数2()e mx f x x mx t =+-+在(0,(0))f 处的切线经过点(1,1). (1)求t 的值，并且讨论函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，,()0x ∈+∞时，不等式(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->--恒成立，求b 的取值范围. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()1ln 1,01xf x ax x x-=+++，其中0a >． (1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．20．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()21ln 2f x a x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.(1)若02a <<，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在实数[)1,a ∈+∞，使得()()2f x f x '+≤对于任意的x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.21．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()()2e R xf x ax x a a -=++∈.(1)当=0a 时，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)若0a ≥，求函数()f x 的单调区间；。

函数单调性讨论16种题型(解析版)

第6讲函数单调性含参讨论16类【题型一】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数()()ln 1f x a x x a R =+-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()e 1x y f ax =-+与()e ln ay x a =+的图像有两个不同的公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()1,+∞【分析】（1）、先求出()f x '，对a 分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;（2）、由题意将问题转化为()e e ln x a x a =+有两个不同的实根，构造()e x g x x =，判断()g x 的单调性；要使()()ln g x g x a =+有两个不同的实根，则需ln x x a =+有两个不同的实根；构造()ln h x x x a =--，对a 分类讨论判断()h x 的单调性，判断()h x 的零点，得出a 的取值范围. 解（1）()()ln 1f x a x x a R =+-∈，()1a x af x x x+'∴=+=，()0x >. ①、当0a ≥，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；①、当0a <，令()0f x '=，得x a =-，∴()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.综上所述：当0a ≥，()f x 的单调递增为()0,+∞，无单调递减区间；当0a <，()f x 的单调递增为(),a -+∞，()f x 的单调递减为()0,a -.【变式演练】1.已知函数()ln af x x x=+，()sin x g x e x =+，其中a ∈R . （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：()()g x f x x<. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证()()g x f x x<，只要证sin ln 10x e x x x +-->，由于(0,1)x ∈时，sin ln 1110x e x x x +-->-=，当[1,)x ∈+∞时，令()sin ln 1x g x e x x x =+--，再利用导数求出其最小值大于零即可（1）()ln af x x x=+的定义域为(0,)+∞221()a x a f x x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得x a >；令()0f x '<，解得0x a <<；综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增； 2.已知函数()(2)e x f x x a =-. （1）求()f x 的单调区间（2）若()f x 的极值点为12-，且()()()f m f n m n =≠，证明：3()0ef m n -<+<.【答案】（1）单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）证明见解析【分析】（1）求导()(22)e xf x x a +-'=，由()0f x '<，()0f x '>求解；（2）由（1）结合()f x 的极值点为12-，由2122a -=-，得到1a =，()(21)e x f x x =-，作出函数()f x 的大致图象，不妨设m n <，根据()()()f m f n m n =≠，得到1122m n <-<<，再由 3(1)ef -=-，将证明3()0ef m n -<+<，转化为证明1m n +<-即可. 解：()f x 的定义域为R ，()(22)e xf x x a +-'=，由()0f x '=，得22a x -=.当2,2a x -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当2,2a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【题型二】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析】已知函数()()2ln f x x a x a =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax =++的两个极值点，证明：()21g x x >.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数；当0a <时，若()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数；（2）证明见解析. 【分析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求导()2f x ax x+='，分类讨论0a ≥和0a <两种情况，研究()'f x 的正负，从而求得函数的单调区间；（2）由题得2()2ln ()g x x x a =++，则()221()x ax g x x++'=，由()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax=++的两个极值点，可知120x x <<，所以1201x x <<<，要证()21g x x >，需证()2221212ln 1g x x x x x =+>，构造函数1()2ln (1)h x x x x x=+>，即证 ()1h x >，从而证得()21g x x >.【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,∞+，22()ax a x xf x +=+='. 当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上为单调递增函数；当0a <时，若20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，所以()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数.【变式演练】1.已知函数f (x )=alnx +1x +4，其中a ∈R ．（1）讨论函数f (x )的单调性；（2）对任意x ∈[1,e ]，不等式f (x )≥1x +(x +1)2恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）[(e +1)2−4,+∞) 【分析】（1）求出导函数f ′(x)，分类讨论确定f ′(x)的正负得单调区间；（2）不等式变形为(x +1)2−alnx −4≤0．引入新函数g (x )=(x +1)2−alnx −4(x ∈[1,e ])，求出导函数g ′(x)，分类讨论a ≤0时，不等式不恒成立，a >0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e )和g(1)的大小得到，从而得出参数范围．解（1）函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ax −1x 2=ax−1x 2，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，函数f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，①函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增.2.己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）(],1-∞ 【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x +≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x+=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.（1）解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ①0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减。

第6讲函数的性质--分段、复合函数单调性

t的范围 y t 2 2t 3的单调性 y x4 2x2 3的单调性
， 1
1，
1，0
0，1
0，1 1，
同增
0，1 1，
异减
复合函数的单调性
f x gx
f gx
增区间 A1
A2
x
gx
A2
A1
或
x g
B2
x
B1
同增
减区间
B1
B2
x A2
g x
B1
或
x B2
F
x在定义域上是减函数.
f b gc
f b gc
c b 0c
dx
归纳概括
设函数F
x
f g
x, x,
x a,b x b,c
.
f x , x a,b单调递增
F x是增函数
g
x
,
x
b,
c
单调递增
fmax
x
gmin
x
f x , x a,b单调递减
F
x
是减函数
g
x
,
x
b,
c
gx
A1
异减
x A1
复合函数的单调性
f x gx
f gx
增区间 A1
A2
x
gx
A2
A1
或
x g
B2
x
B1
同增
减区间
B1Leabharlann B2x A2g x
B1
或
x B2
gx
A1
Q x A2 x 时 g x
又 Q g x A1 g x 时 f g x
异减
综上得 x 时 f g x

26函数的单调性【精选】

第6讲函数的单调性
【学习目标】
了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间，并能运用函数单调性解决有关问题．
【基础检测】
1．下列说法正确的是( D )
A．定义在 (a， b)上的函数 f(x)，若存在 x1<x2，有 f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
减函数．
(5) 导数法：若 y ＝ f(x) 的导数为 y′ ＝ f′(x) ，则 f′(x)>0时，函数递增；f′(x)<0时，函数
递减．
一、判断函数的单调性例1试讨论f(x)＝x2a－x 1，x∈(－1,1) 的单调性(a≠0)．
【解析】解法一：设x1，x2∈(－1,1)且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝xa22－x21－xa12－x11＝axx1－ 22－x12xx121x－2＋11，
三、函数单调性的综合应用
例3已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的导函数的图象关于直线x＝2对称． (1)求b的值； (2)若f(x)在x＝t处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域．
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 因为函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称，
5．已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立 ”的不等式，同时要注意定义域的这一隐性的限制条件．
x
e (2011 北京)已知函数 f(x)＝(x－k)2 k .
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的 x∈[0，＋∞)，都有 f(x)≤1e，求 k
的取值范围．

第06讲函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法

精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【反馈检测4】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ．（1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<CBPOAD【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三复合函数分析法使用情景较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【反馈检测7】已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1) 求w ；(2)(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间．方法四图像法使用情景函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【反馈检测8】已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值；（3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。