(完整版)数系的扩充与复数的引入知识点总结,推荐文档

数系的扩充与复数的引入知识点总结

一．数系的扩充和复数的概念

１．复数的概念

(1)复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.

(,)a bi a R b R +∈∈a b (2)分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做

(,)a bi a R b R +∈∈0b =0b ≠0,0a b =≠纯虚数.

(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

即：如果：，那么：，特别地: .

,,,a b c d R ∈=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

即：=+=-(,)

z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义（１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数

复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；

反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，

也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

（２）复数的几何意义

坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即.３．复数的运算

（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行

设则

12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈

12()()z z a c b d i ±=±+±

12()()z z ac bd ad bc i ∙=-++

1222

2()()(0)z ac bd ad bc i z z c d -++=≠+（２）几个重要的结论

2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+

22||||z z z z ∙==若为虚数,则z 22

||z z ≠（３）运算律

m n m n

z z z +∙=()m n mn

z z =1212()(,)

n n n z z z z m n R ∙=∙∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：

21i =-

3i i =-

41i =2340

n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小　（２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用

二．同步检测

１．复数ａ＋ｂ与ｃ＋ｄ的积是实数的充要条件是

i i Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０

　Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ２．复数

的共轭复数是5-2

i Ａ．＋２ Ｂ．－２ Ｃ．－２－ Ｄ．２－i i i i ３．当时，复数ｍ（３＋）－（２＋）在复平面内对应的点位于2<<13m i i Ａ．第一象限　Ｂ．第二象限　Ｃ．第三象限　Ｄ．第四象限

４．复数

＝

3

12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

５．已知复数ｚ与都是纯虚数，求ｚ()2+2-8z i

６．已知，求ｚ及(1+2=4+3i z i ）z

z

７．已知＝５＋１０，＝３－４，，求ｚ

1z i 2z i 12

1

1

1=+z z z ８．已知２－３是关于的方程２＋ｐ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值i x 2x x