【课堂新坐标】高中数学人教版必修四练习：2.3.1平面向量基本定理(含答案解析)

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高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：2.3.1-2.3.2平面向量基本定理及坐标表示.docx

精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品2.3.1 -2.3.2平面向量基本定理及坐标表示班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．已知点P是△ABC所在平面内的一点,边AB的中点为D,若2=(1-λ)+,其中λ∈R,则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.AC边所在的直线上D.△ABC的内部2．若(λ≠-1),则A.a+λbB.λa+(1-λ)bC.λa+bD.3．四边形OABC中,,若,则A. B. C. D.4．在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A,B,C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ,使得=λ+(1-λ)成立,此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),且向量与向量a=(1,1)垂直,则“向量关于和的终点共线分解系数”为精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧A.-3B.3C.1D.-15．已知点G为△的重心，过点G作直线与，两边分别交于两点，且，则___________.6．在△ABC中,若=3,=λ1+λ2(其中λ1,λ2为实数),则λ1+λ2=. 7．如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于E，设，，试用基底a，b表示向量.8．如图,在□OABP中,过点P的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N,若.(1)求y=f(x)的解析式.(2)令,判断F(x)的单调性,并给出你的证明.能力提升如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及线段AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且.(1)求x的取值范围.(2)当时,求y的取值范围.精心制作仅供参考唐玲出品2.3.1 -2.3.2平面向量基本定理及坐标表示详细答案【基础过关】1．C【解析】本题主要考查平面向量的基本定理、三点共线等基础知识.因为边AB的中点为D,所以+=2,因为2=(1-λ)+,所以+=(1-λ)+-,所以=-λ,所以A、C、P三点共线,因此点P一定在AC边所在的直线上,故选C.2．D3．D4．D【解析】设=(x,y),则由⊥a知x+y=0,于是=(x,-x).设=λ+(1-λ),则(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),∴,于是4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.5．3【解析】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心.由于G为三角形的重心，,.由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得,即,即,,即,变形可得.6．-1【解析】由题意可得=+=+=+(-)=--,所以λ1+λ2=--=-1.精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧7．解：易得1133AN AC b ==，1122AM AB a ==，由N 、E 、B 三点共线，设存在实数m ，满足()()1113AE mAN m AB mb m a =+-=+-. 由C 、E 、M 三点共线，设存在实数n ，满足()()1112AE nAM n AC na n b =+-=+-. 所以()()111132mb m a na n b +-=+-，因为a ，b 为基底，所以 11,211,3m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解之得3,54.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2155AE a b =+. 8．（1）OP AB OB OA ==-，NM OM ON xOA yOB =-=-，=()MP OP OM OB OA xOA =---(1)x OA OB =-++，又//NM MP ，有(1)0x y x -+=，即()(01)1x f x x x =<<+. （2）()F x 在(0,1)上为减函数.证明如下：由（1）得11()1(01)x F x x x x x x+=+=++<<，设1201x x <<<，则12121212121111()()11()F x F x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121212121211()1()x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，由1201x x <<<，得120x x -<，1210x x -<，120x x >，得12()()0F x F x ->，即12()()F x F x >.所以()F x 在(0,1)上为减函数.【能力提升】（1）因为OP xOA yOB =+，以OB 和OA 的反延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值范围是(,0)-∞.精心制作仅供参考唐玲出品（2）如图所示，当12x=-时，在OA的反向延长线取点C，使12OC OA=，过C作//CE OB，分别交OM和AB的延长线于点,D E，则12CD OB=，32CE OB=，要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，当点P在点D处时1122OP OA OB=-+，当点P在点E处时1322OP OA OB=-+，所以y的取值范围是13,22⎛⎫⎪⎝⎭.。

高一数学必修四平面向量基础练习题及答案

平面对量根本定理及坐标表示一、选择题1、假设向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),那么 c 等于( )A 、21-a +23bB 、21a 23-bC 、23a 21-bD 、23-a + 21b 2、，A 〔2，3〕，B 〔－4，5〕，那么与AB 共线单位向量是〔〕A 、)1010,10103(-=e B 、)1010,10103()1010,10103(--=或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e3、b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为〔〕 A 、17 B 、18 C 、19 D 、204、向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅最小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、假设向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0方向向量，那么 a, b 值分别可以是〔〕A 、－1 ，2B 、－2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、假设向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α,sin β)，那么a 与b 肯定满意〔〕A 、a 与b 夹角等于α－βB 、(a ＋b )⊥(a －b )C 、a ∥bD 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=，i OQ -=∈),2,0(πθ。

假设用来表示OP 与OQ 夹角，那么等于〔〕A 、θB 、θπ+2 C 、θπ-2 D 、θπ-8、设πθ20<≤，两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP，那么向量21P P 长度最大值是〔〕A 、2B 、3C 、23D 、二、填空题9、点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，那么使BP AP ⋅获得最小值点P 坐标是、10、把函数sin y x x =-图象，按向量(),a m n =- 〔m>0〕平移后所得图象关于y 轴对称，那么m 最小正值为__________________、11、向量=⊥=-=m AB OA m OB OA 则若,),,3(),2,1( 、三、解答题12、求点A 〔－3，5〕关于点P 〔－1，2〕对称点/A 、13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈=x x Q x P 〔1〕求向量OQ OP 和夹角θ余弦用x 表示函数)(x f ；〔2〕求θ最值、14、设，)2cos ,sin 2(x x OA =，x ，OB )1cos (-=其中x ∈[0，2π]、 (1)求f(x)=OB OA ·最大值和最小值； (2)当 OA ⊥OB ，求|AB |、15、定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满意：2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP 、〔1〕求动点P 轨迹方程，并说明方程表示图形；〔2〕当2=k 时，求||−→−−→−+BP AP 最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C二、填空题9、(0，0)10、56m π=11、4 三、解答题12、解：设/A 〔ｘ，ｙ〕，那么有312522x y -+⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩、所以/A 〔1，－1〕。

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

第二章平面向量2．1 平面向量的实质背景及基本观点练习（P77）1、略.uuur uuur这两个向量的长度相等，但它们不等 .2、AB，BA .uuur uuur uuur uuur3、 AB2， CD 2.5 ， EF3，GH 2 2.4、（ 1）它们的终点同样；（2）它们的终点不一样 .习题 A 组（P77）1、（ 2 ）B45°O30°CAD.CA Buuur uuur uuuruuur uuur uuur3、与 DE 相等的向量有：AF , FC ；与 EF 相等的向量有： BD , DA ；uuur uuur uuur与 FD 相等的向量有： CE , EB .r uuur uuur uurr uuuur uuur4、与 a 相等的向量有：CO , QP, SR；与 b 相等的向量有： PM , DO ；r uuur uuur uuur与 c 相等的向量有： DC , RQ, STuuur 3 36、（1）×；（2）√；（3）√；（4）× .5、 AD.2习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量 .uuuur2、相等的向量共有24 对.模为 1的向量有 18对 . 此中与 AM 同向的共有 6uuuur uuur uuur对，与 AM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为 2 的向量共有 4 对；模为 2 的向量有 2 对2．2 平面向量的线性运算练习（P84）1、图略 .2、图略 .uuur uuur3、（1） DA ；（2） CB .r ururur 4、（ 1） c ；（ 2） f ；（3） f ；（ 4） g . 练习（P87） uuuruuur uuur1、图略 . uuur uuur3、图略 .2、DB ，CA ， AC ，AD ，BA.练习（P90）1、图略 .5 uuur uuur 2 uuuruuur2、 ACAB ，BCAB .7 7uuur说明：此题可先画一个表示图，依据图形简单得出正确答案. 值得注意的是BCuuur与 AB 反向.rrr7rr1rr8r3、（ 1） b2a ；（2） b4 a ；（3） ba ；（4） ba .294、（ 1）共线；（ 2）共线 .r r（ 2）11r1rr6、图略 .5、（ 1） 3a2b ；12 ab ；（ 3） 2 ya .习题 A 组（P91）31、（ 1）向东走 20 km ；（2）向东走 5 km ；（3）向东北走 10 2 km ；（ 4）向西南走 5 2 km ；（ 5）向西北走 10 2 km ；（6）向东南走 10 2 km.2、飞机飞翔的行程为 700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞翔 500 km.uuur uuur3、解：如右图所示： AB 表示船速， AD 表示河水的流速，以 AB 、 AD 为邻边作 □ ABCD ，则uuurAC 表示船实质航行的速度 .uuur uuur在 Rt △ABC 中， AB 8 ， AD 2 ，uuuruuur 2uuur 2222 17所以 ACAB AD82 因为 tan CAD4 ，由计算器得 CAD 76BCAD水流方向所以，实质航行的速度是 2 17 km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为 76°.r uuur uuur r r uuur4、（1） 0；（2） AB ；（3） BA ；（4）0 ；（5）0 ；（6）CB ；（7） r0 .5、略6、不必定组成三角形 . 说明：联合向量加法的三角形法例，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段必定能组成三角形 .7、略. 8、（1）略； r r r r r r（2）当 a b 时， a b a b9、（1） r r rr r ；r 1 r（ 4）2( xr2a2b ；（ 2）10a 22b 10c （3）3a b ； y)b .r r ur r rur uur r r uruur 210、 a b 4e 1 ， a be 1 4e 2 ， 3a 2b3e 1 10e 2 .uuurr uuur r 11、如下图， OCa ， ODb ，uuur r r uuur r rDCb a ， BCa b .（第 11 题）uuur1ruuurr r uuur 1 r r uuur 3 r12、 AEb ， BCb a ， DE (b a) ， DBa ，44 1 uuuur4uuur3ruuur1 r r uuur 1 r rEC b ， DN8 (b a) ， AN 4 AM (ab) .4813、证明：在ABC 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点，所以 EF //AC 且EF 1AC ，（第 12 题）Guuur 1 uuur2D即 EF 2 AC ；1 uuuruuur同理， HG AC ，H2 uuur uuur所以 EFHG .E习题 B 组（P92） A（第 13 题）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地 1400 km.乙2、不必定相等，能够考证在 r ra,b 不共线时它们不相等 .uuuur uuur uuuuruuur 1 uuur uuuur 1 uuur3、证明：因为 MN AN AM ，而 AN3 AC ， AMAB ，1 uuur1 uuur1 uuur 3uuuur1 uuur uuur所以 MN3 AC3 AB 3 ( AC AB) 3 BC .甲4、（ 1）四边形 ABCD 为平行四边形，证略（第 1 题）（ 2）四边形 ABCD 为梯形 .Cuuur 1 uuur证明：∵ AD BC ，3∴ AD//BC 且 AD BC∴四边形 ABCD 为梯形 .DCFB丙BA（ 3）四边形 ABCD 为菱形 .（第 4 题 (2)）uuur uuurB证明：∵ AB DC ，∴ AB/ /DC 且 AB DC C A∴四边形 ABCD 为平行四边形uuur uuurD又 AB AD（第 4题 (3)）∴四边形 ABCD 为菱形.M5、（ 1）经过作图能够发现四边形ABCD 为平行四边形.uuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：因为 OA OB BA，OD OC CDuuur uuur uuur uuur A D而OA OC OB ODuuur uuur uuur uuur B C 所以 OA OB OD OCuuur uuurO所以 BA CD ，即AB∥CD.所以，四边形 ABCD 为平行四边形.（第 5题）2．3 平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）r r r r r r r r1、（ 1） a b(3,6) ， a b(7,2) ；（ 2） a b(1,11)， a b(7,5)；r r r r(4,6) ；r r r r(3,4) .（ 3） a b(0,0) ， a b（4） a b(3, 4) ， a b r r r r(12,5) .2、 2a 4b( 6,8) ， 4a3buuur(3, 4)uuur( 3,4) ；uuur(9,1)uuur(9,1)3、（ 1） AB， BA（2） AB， BA；uuur(0, 2)uuur(0,2)uuur uuur(5,0)（3） AB， BA；（4） AB(5,0) ， BA4、AB∥CD .uuur uuur(1,uuur uuur证明： AB(1, 1) ， CD1) ，所以 ABCD.所以AB∥CD .5、（1）(3, 2)；（ 2） (1,4) ；（3）(4,5) .6、(10,1)或(14,1)33uuur3uuur uuur3 uuur7、解：设 P( x, y) ，由点P在线段AB的延伸线上，且AP2PB ，得 AP2PBuuur uuur( x, y) (2,3)( x(4,3)(x, y)(4x,3y) AP2, y 3) ， PB3x23(4x)∴ ( x2, y3)x, 3 y)∴2(43( 32y3y)2x 8 ∴，所以点 P 的坐标为 (8, 15) .y15习题A 组（P101）1、（ 1） ( 2,1) ；（ 2） (0,8) ；（ 3） (1,2) .说明：解题时可设 B(x, y) ，利用向量坐标的定义解题 .uur uur uur 2、 F 1 F 2 F 3(8,0)uuur ( 1, uuur (53,6 (1)) (2,7)3、解法一： OA 2)，BCuuuruuur uuur uuuruuur uuur uuur (1,5) .所以点 D 的坐而 ADBC ，ODOAADOA BC标为 (1,5) .uuur ( x( 1), y ( 2)) ( x 1, y2) ，解法二：设 D( x, y) ，则 AD uuur (5 3,6 ( 1)) (2,7)BCuuur uuur1 2，解得点 D 的坐标为 (1,5) .由 ADBC 可得， xy 2 7uuur uuur2,4) .4、解： OA (1,1)， AB (uuur 1 uuuruuuruuuruuur1 uuur(1, 2) .ACAB ( 1,2) ， AD2 AB( 4,8) ， AE2AB2uuur uuur uuur(0,3) ，所以，点 C 的坐标为 (0,3) ； OC OA ACuuur uuur uuur ( 3,9) ，所以，点 D 的坐标为 (3,9)OD OA AD；uuur uuur uuur(2, 1) ，所以，点 E 的坐标为 (2,1) .OE OA AE r r (2,3)(x,6)，所以23，解得 x 4 .5、由向量 a,b 共线得x 6uuur (4, 4) uuur ( 8,uuur uuur uuuruuur 6、 AB ， CD 8)，CD 2AB ，所以 AB 与CD 共线 .uuuruuur(2, 4) ，所以点 A 的坐标为 (2, 4) ；7、 OA2OAuuur uuur ( 3,9)B 的坐标为( 3,9)OB 3OB ，所以点；故uuuur( 3,9) (2, 4) ( 5,5)A B 习题B 组（P101）uuur (1,2)uuur (3,3) . 1、 OA ， AB当 tuuur uuur uuur uuur(4,5) ，所以 P(4,5) ； 1时， OP OA AB OB当 t1 uuur uuur1 uuur(1,2) 3 35 7 ) ，所以 5 , 7时， OPOAAB( , ) ( , P( ) ；222 2 2 2 2 2uuur uuuruuur( 5, 4) ，所以 P( 5, 4)；当 t2时， OP OA 2AB(1,2) (6,6) 当 tuuur uuur uuur (7,8) ，所以 P(7,8) .2时， OP OA 2 AB (1,2) (6,6)uuur ( 4, 6) uuur uuur uuur2、（1）因为 AB ， AC (1,1.5) ，所以 AB4AC ，所以 A 、B 、C 三点共线；uuuruuuruuur uuur（ 2）因为 PQ(1.5,2)，PR(6, 8) ，所以 PR 4PQ ，所以 P 、Q 、R 三点共线；uuuruuur( 8,( 1, uuur uuur（ 3）因为 EF4) ，EG 0.5) ，所以 EF 8EG ，所以 E 、F 、G三点共线 .uruur r ur uur3、证明：假定10 ，则由 1 e 12 e 2 0 ，得 e 12e 2 .1ur uurur uur 是平面内的一组基底矛盾 ,所以 e 1 ,e 2 是共线向量，与已知 e 1,e 2 所以假定错误，10 .同理 2 0 .综上 120 .uuuruuur ur uur4、（1） OP19 .（ 2）关于随意愿量 OP xe 1 ye 2 ， x, y 都是独一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理 .2．4 平面向量的数目积练习（P106）ur rur r ur r 8 6124 .1、 p q p q cos p, q2r rr rABC 为直角三角形 .2、当 a b 0 时，ABC 为钝角三角形；当 a b 0 时，3、投影分别为 3 2 ， 0， 3 2 . 图略练习（P107）r( 3)2 42r 52 22r r35427 .1、 a 5 ， b29 ， a br rr r rrr r rr r49 .2、 a b8 ， (a b)(a b)7 ， a (b c) 0 ， (a b)2r r rr74，88 . 3、 a b 1， a13 ， b习题 A 组（P108）r r r rr 2 r r r 2r r25 12 3.1、 a b6 3 ， (a b)2 a2a b b25 12 3 ， a buuur uuuruuur uuur 20 .2、 BC 与 CA 的夹角为 120°， BC CAr rr 2 r r r 2r rr 2 r r r 2 35 .3、 a ba 2ab b23 ， a ba 2ab br r4、证法一：设 a 与 b 的夹角为 .（ 1）当 0 时，等式明显建立；（ 2）当r r rr时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为，所以( r r r r r ra) b a b cosa b cos r rr r( a b)a b cosr r r r r r a ( b)ab cosa b cosr rr r r r所以 ( a) b(a b) a ( b) ；（ 3）当r r r r180时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为，则 (r r r r ) r r a) b a b cos(180 a b cosr r r r r r ( a b)a b cosa b cosr r r r )r r a ( b)ab cos(180a b cosr rr r r r 所以 ( a) b(a b) a ( b) ；综上所述，等式建立 .r r证法二：设 a (x 1, y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，r r那么 ( a) b ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1 x 2 y 1 y 2 r r( a b) ( x 1 , y 1 ) ( x 2, y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2r r a ( b) (x 1, y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2所以 (r rr r r ra) b (a b)a ( b) ；5、（ 1）直角三角形， B 为直角 .uuur( 1, 4)(5, 2) ( 6, 6)uuur(3, 4)(5, 2) ( 2, 2)证明：∵ BA ， BCuuur uuur 6 ( 2) ( 6)2 0∴ BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ，（ 2）直角三角形， A 为直角uuur (19,4) ( 2, 3) (21,7)uuur ( 1, 6) ( 2,3) (1, 3)证明：∵ AB ， ACuuur uuur21 1 7 ( 3) 0∴ AB ACuuur uuur A 为直角，ABC 为直角三角形∴ ABAC ，（ 3）直角三角形， B 为直角uuuruuur证明：∵ BA (2,5) (5, 2)( 3,3) ， BC(10,7) (5, 2) (5,5)uuur uuur 3 5 3 5 0∴BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， 6、 135 . 7、120 .r r r r r 2 r r r 2 r r 6 ，(2a 3b)(2 a b)4a 4a b 3b 61 ，于是可得 a br r 1cosa b，所以 120 .r r2a b8、 cos23 ， 55 .40uuuruuur9、证明：∵ AB(5, 2) (1,0) (4, 2) ， BC(8, 4)(5, 2) (3,6) ，uuur(8, 4) (4,6) (4, 2)DCuuur uuur uuur uuur 4 3 ( 2) 6 0∴ AB DC ，AB BC∴ A, B,C , D 为极点的四边形是矩形 .r( x, y) ，10、解：设 ax 2y 2 9x 3 5x 3 5则y ，解得6 5 ，或 5 .x2y5 y6 55 5rr 3 5 , 6 5).于是 a (3 5 , 6 5) 或 a (5 55 5r r11、解：设与 a 垂直的单位向量 e (x, y) ，则 x2y 21x5或 x5，解得 5 5 . 4x2 y 0 y2 5 2 55 y 5r 5 ,r 5,2 5). 于是 e (2 5) 或 e (5555习题 B 组（P108）r r r r r rr rr r rr r r 1、证法一： a b a ca b a ca (b c)a(b c)rr r证法二：设 a( x 1 , y 1) ， b (x 2 , y 2 ) ， c ( x 3 , y 3 ) .r r r rr r r 先证 a b a ca(b c)r rr ra b x 1 x 2y 1 y 2 ， a c x 1 x 3 y 1 y 3r r r r由a b a c得x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3，即x 1( x 2 x 3 ) y 1 ( y 2y 3 ) 0r rr r r而 b c ( x 2 x 3 , y 2y 3 ) ，所以 a (b c) 0rr r r r r r 再证 a(b c)a b a cr r r由 a (b c)0 得 x 1 (x 2x 3 ) y 1 ( y 2 y 3 )0 ，r rr r 即 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3 ，所以 a ba cuuur uuur2、 cos AOBOA OB cos cos sinsin .uuur uuurOA OBr r (c, d) .3、证明：结构向量 u (a,b) ， vr r r r r r，所以 acbda 2b 2c 2d 2 cos r ru v u v cos u,vu, v∴ (ac bd )2 (a 2 b 2 )(c 2d 2 ) cos 2 r r ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 )u, vuuur uuur 4、 AB AC 的值只与弦 AB 的长相关，与圆的半径没关 .C证明：取 AB 的中点 M ，连结 CM ，则 CMuuuur 1 uuurAB，AM AB2uuuuruuur uuur uuur uuurBAC AM又AB AC AB AC cos BAC ，而uuurAC uuur uuur uuur uuuur1uuur 2所以 AB AC AB AM2ABuuur uuur 2uuur 25、（ 1）勾股定理：Rt ABC中，C902，则 CA CB ABuuur uuur uuur证明：∵ AB CB CAuuur 2uuur uuur uuur 2uuur uuur uuur 2∴ AB(CB CA)2CB2CA CB CA .uuur uuur由 C 90 ，有 CA CB，于是CA CB 0uuur 2uuur2uuur2∴ CA CB AB（2）菱形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：∵ AC AB AD， DB AB AD ,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur 2∴ AC DB (AB AD) (AB AD)AB AD .∵四边形 ABCD 为菱形，∴ ABuuur 2uuur 2 AD ，所以AB AD0uuur uuurBD∴ AC DB 0，所以AC（3）长方形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur 证明：∵ 四边形 ABCD 为长方形，所以 AB0AD ，所以AB ADuuur 2uuur uuur uuur 2uuur 2uuur uuur uuur 2.∴ AB2AB AD AD AB2AB AD ADuuur uuur uuur uuur uuur2uuur2BD ∴ (AB AD )2 (AB AD )2，所以 AC BD，所以 AC （4）正方形的对角线垂直均分. 综合以上（ 2）（ 3）的证明即可 .2．5 平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设 P(x, y) ， R( x1 , y1)uuur uuur则 RA(1,0)(x1, y1 )(1x1,y1 ) ，AP(x, y)(1,0)( x1,0)uuur uuurx1,y1)2( x1, y) ，即x12x3由 RA2AP 得(1y12y代入直线 l 的方程得 y 2x . 所以，点 P 的轨迹方程为 y2x .A2、解：（1）易知， OFD ∽ OBC ， DF1BC ,2BF .2DF所以 BOuuur uuur 32 uuurr 2 1 r rr1rrOuuurAOBOBABF a3 ( ba)a(a b)uuurr323BCr E（2）因为 AE1(ab)2（第 2 题） uuur 2 uuurAO 所以 AOAE ，所以 A,O, E 三点共线，并且23OE同理可知：BO2,CO2 ，所以AOBO CO 2r uur uurOFODOEOFOD3、解：（1） v v B v A( 2,7) ；uurr uurrv v A 13 . （2） v 在 v A 方向上的投影为uurv A5（第 4题）uuruur ur ur uur4、解：设 F 1 ， F 2 的协力为 F ， F 与 F 1 的夹角为，ur uur uur uur则 F 3 1， 30 ； F 3 3 1 ， F 3 与 F 1 的夹角为 150°. 习题 B 组（P113）uuruuruur1、解：设 v 0 在水平方向的速度大小为v x ，竖直方向的速度的大小为v y ，uur uur uur uursin .则 v x v 0 cos ， v y v 0设在时刻 t时的上升高度为 h ，抛掷距离为 s，则uur1gt,( g 为重力加快度 )hv 0 t sinuur2sv 0 t cosuur 2 uur 2v 0 sin2v 0 sin 2所以，最大高度为，最大扔掷距离为g.2guruur r uur r，行驶距离为 d .2、解：设 v 1 与 v 2 的夹角为，合速度为 v ， v 2 与 v 的夹角为 ur r则 sin v 1 sin 10sin ， d 0.5 v . d 1 .r r sin20sin ∴ r 20sinv v v所以当90 ，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短 .3、（ 1） (0, 1)uuur( x 1, y 2) . uuur2 2) .解：设 P( x, y) ，则 APAB(2,uuuruuur 7 将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转到 AP ，相当于沿逆时针方向旋转到44uuur AP ，uuur7 2 7 7 2 7 (1,3)于是 AP( 2 cos2 sin, 2 sin2 cos )4444所以x1 1，解得 x0, y1y233（ 2） y2 xuuur后，点 P 的坐解：设曲线 C 上任一点 P 的坐标为 ( x, y) ， OP 绕 O 逆时针旋转4标为 (x , y )x x cosysin x2( x y)则44，即2yx siny cosy2y)4( x42又因为 x2y23，所以1( xy) 21( xy) 2 3 ，化简得 y32 22x第二章复习参照题 A 组（ P118）1、（ 1）√；（2）√；（3）×；（4）× .2、（1） D ；（2） B ；（3） D ；（4）C ；（5）D ；（6） B.uuur1rruuur 1 r r3、 AB(a b) ， AD 2( a b)2uuur uuur uuur uuur2 r 1r4、略解： DEBAMA MBab3 3uuur 2 r2 ruuur1 r1 rAD ab ， BC a b333 3uuur 1r1ruuuruuur 1 r 2rEFab ， FA DC ab3333uuur 1r2ruuur 2r1rCDab ， ABab33 3 3uuur r r CE abuuur (8, 8) uuur8 2 ；5、（ 1） AB ， AB（第 4题）uuur uuur( 8,8) ；uuur uuur（2） OC (2, 16) ， OD （3） OA OB 33.uuur uuur6、AB与CD共线.uuur uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为 AB(1, 1) ， CD(1, 1) ，所以 AB CD.所以 AB与CD 共线.7、D(2,0) .8、n 2 .9、1,0.30,cos C 410、cos A ,cos B55r ur ur r ur ur 21r ur ur11、证明：(2 n m) m2n m m 2cos600 ，所以 (2n m)m .12、 1 .r r r r1.14、cos5,cos19 13、a b13 ， a b820第二章复习参照题B组（P119）1、（1） A；（2）D；（3）B；（4）C；（5）C；（6）C；（7）D .r r r r r r2、证明：先证a b a b a b .r r r r r 2r 2r ra b(a b)2a b2a b，r r r r r2r2r ra b( a b)2a b2ab .r r r r r r r 2r 2r r因为 a b ，所以 a b0 ，于是 a b a b a b .r r r r r r再证 a b a b a b .r r r 2r r r 2r r r 2r r r 2因为 a b a2a b b， a b a2a b br r r r r r r r由 a b a b 可得 a b0 ，于是 a br r r r r r所以 a b a b a b .【几何意义是矩形的两条对角线相等】r r r ur3、证明：先证a b c dr ur r r r r r2r 2c d(a b) (a b)a br r r ur r ur又 a b，所以 c d0 ，所以 c dr ur r r再证 c d a b .r ur r ur r r r r r 2r 20（第 3题）由 c d 得 c d0，即 ( a b) (a b) a br r所以 a b【几何意义为菱形的对角线相互垂直，如图所示】uuur uuur uuuruuur 1rr uuur1r1r4、 AD AB BCCDa b ， AEa b P 3242uuur 3ruuuur 1 ruuuur uuuruuuur 1 r1 r1 r1 r r 而 EF4 a ， EM4 a ，所以 AM AEEMa b a (a b)4 2 4 25、证明：如下图，uuur uuur uuuuruuur uuuur uuur rOD OP OP ，因为 OP OPOP0 ，12 1 23 Ouuuruuuruuur所以 OP 3 OD ，OD 1uuuruuur uuurP 1P 2所以 ODOP PD11所以 OPP 1 2 30 ，同理可得OPP 1330D（第 5题）所以3 1 260 ，同理可得1 2360， 23 160 ，所以123为P PPPP PP P PPP P正三角形 .6、连结 AB.uuuur uuur r rN.由对称性可知， AB 是 SMN 的中位线， MN 2AB 2b 2a7、（ 1）实质行进速度大小为 42 (4 3) 2 8（千米／时），沿与水流方向成 60°的方向行进；（ 2）实质行进速度大小为 4 2 千米／时，MBA沿与水流方向成 90arccos 6的方向行进 .OSuuur uuuruuur uuur 3uuur uuur uuur uuur uuur （第 6题）8、解：因为 OA OBOB OC ，所以 OB (OA OC ) 0 ，所以 OB CA uuur uuur0 ， uuur uuur0 ，所以点 O 是 ABC 的垂心 .同理， OA BCOC AB9、（ 1） a 2 x a 1 y a 1 y 0 a 2 x 0 0 ；（2）垂直；（ 3）当 A 1B 2 A 2B 1 0时， l 1 ∥ l 2 ；当 A 1 A 2 B 1B 2 0时， l 1 l 2 ，夹角的余弦 cosA 1A 2B 1B 2；A 1 2B 12A 22B 22Ax 0 By 0 C（ 4） dA 2B 2第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、 cos()coscossin sin0 cos1 sinsin .222cos(2) cos2 cossin2 sin 1 cos 0 sincos.2、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 cos()cos cossin sin 2 ( 3 ) 2 42 .4442 5 25 103、解：由 sin15 ，是第二象限角，得 cos 1 sin 21(15 )28 ；171717所以 cos() cos cossin sin8 1 153 8 15 3 .33317 2 172344、解：由 sin2 , ( ,3) ，得 cos1 sin 21 (2 )25 ；3 23 3 又由 cos3 , (3,2 ) ，得 sin1 cos21 (3)27 .4244所以cos()cos cossin sin3 (5 ) ( 7) ( 2) 3 5 2 7 .43 4 312练习（P131）1、（ 1）6 2；（2）6 2；（3）62；（4）2 3.4442、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1 cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 sin() sin coscos sin4 1 ( 3 ) 3 4 3 3 .3335 2 5 210 3、解：由 sin12 ，是第三象限角，得 cos 1 sin 21( 12) 25 ；131313所以cos()cos cossinsin 3 ( 5 ) 1 (12) 5 3 12 .666213 2 1326tantan3 14、解： tan()4 2 .41 tantan 1 3 145、（ 1）1；（2）1；（3）1；（4）3 ；22（ 5）原式 = (cos34 cos26sin34 sin 26 )cos(3426 )cos601 ；2（6）原式= sin20cos70 cos20 sin70 (sin 20 cos70 cos20 sin70 ) sin901 .6、（ 1）原式 = cos cosx sinsin x cos( x) ；333（ 2）原式 = 2(3sin x1cosx)2(sin x coscosxsin) 2sin( x) ；22666（ 3）原式 = 2(2sin x2cos x) 2(sin x cos cos xsin 4) 2sin( x ) ；22 44（ 4）原式 = 2 2( 1cos x3sin x)2 2(cos3 cosx sin sin x)2 2 cos(x) .22337、解：由已知得 sin()cos cos()sin3 ，5即 sin[()]3， sin()355所以 sin3. 又是第三象限角，5于是 cos1 sin 21 (3) 2 4 .55因此sin(5 ) sin cos 5cos sin 5( 3 )( 2 ) ( 4 )(2 ) 7 2 .444 52 5 210练习（P135）31、解：因为 812 ，所以82443sin 335 又由 cos，得 sin1 (2， tan85)5 84 4 885cos85所以 sinsin(2) 2sin cos2 (3) ( 4)24 488 85525 coscos(2) cos 2 sin 28( 4 )2 ( 3 )2 7 48 85 5 252tan82 3 3 16 24tantan(2)432 774821 (21 tan8 )42、解：由 sin()3，得 sin3，所以 cos 21 sin 21 ( 3)2 16555 25所以 cos2cos 2sin 216 ( 3) 2 725 5 253、解：由 sin2sin 且 sin0 可得 cos1 ，2又由( 2 , )，得sin1 cos 21 ( 1 )23，所以2 2tansin 3 ( 2) 3 .cos24、解：由tan21 ，得 2tan1.所以 tan 26tan1 0，所以3 1 tan 23tan3 105、（1）1sin30 1 ；（2）cos2sin2cos2 ；sin15 cos1582484 2（ 3）原式 = 1 2tan 22.51 tan45 1 ；（ 4）原式 = cos452 .2 1 tan 2 22.5 222习题A 组（P137）1、（ 1） cos(3)cos3cossin3sin0 cos( 1) sinsin；222（ 2） sin(3) sin3coscos3sin1 cos0 sincos ；222（ 3） cos() cos cos sin sin1 cos 0 sincos ；（ 4） sin( ) sin coscos sin0 cos( 1) sinsin .2、解：由 cos3,0，得 sin1 cos21 (3)24 ，55 5所以 cos() cos cos 6sinsin6 4 3 3 1 4 3 3 .65 25 2 103、解：由 sin2 , ( , ) ，得 cos1 sin 21( 2)25 ，3 233又由 cos3 , ( ,3) ，得 sin1 cos 21 ( 3) 27 ，4244所以cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 ) 3 5 2 7 .34 3 4 124、解：由 cos1 ，是锐角，得 sin1 cos21 (1)24 3777因为 , 是锐角，所以 (0, ) ，又因为sin( )1 cos2 ()1 (所以 coscos[( )( 11) 1 5 314 7 14 5、解：由 60150 ，得 90cos()11 ，所以1411)25 3 1414] cos()cossin()sin4 3 17230 180又由 sin(30)3，得 cos(30)1 sin 2(30)1 (3)2455 5所以 coscos[(30 ) 30 ] cos(30)cos30 sin(30)sin304 3 3 1 4 3 35 252106、（ 1）6 2 ；（2）24 6 ；（3） 2 3 .47、解：由 sin2 , (, ) ，得 cos 1 sin21 (2)25 .3233又由cos 3 ，是第三象限角，得4sin1cos 21 ( 3) 27 .4 4所以 cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 )3 4 3 4 3 52 712 sin() sincos cos sin2 ( 3) (5 ) ( 7 )3 4 3 46 35128、解：∵ sin A5 ,cos B3且 A, B 为 ABC 的内角13 5∴ 0 A,0 B， cos A12,sin B42135当 cos A12 时， sin( A B) sin AcosB cos Asin B 135 3 ( 12) 4 33 013 5 13565A B，不合题意，舍去∴ cos A12,sin B4135∴ cosCcos( A B)(cos AcosB sin Asin B)(123 5 4) 1613 5 13 5659、解：由 sin3 , ( , ) ，得 cos 1 sin21 (3)24 . 5255∴ tansin 3 ( 5 ) 3 . cos 5 44tantan 3 1 2∴ tan()43 21.1 tan tan1 ( )114 2tantan3 1tan()43 212 .1 tantan1 ( )4 210、解：∵ tan ,tan 是 2x 23x 7 0 的两个实数根 .∴ tantan3， tantan7 .22tantan3 1 ∴ tan( )21 tantan7.1 () 3211、解：∵ tan() 3,tan( ) 5∴ tan2tan[( )()]tan( ) tan()3 5 41 tan() tan( ) 1 3 57tan 2tan[()( )]tan() tan( ) 3511 tan() tan()1 3 5812、解：∵ BD : DC : AD2:3:6B∴ tanBD 1,tanDC 1AD3AD2D1 1tan tan∴ tan BAC tan(3 21)tantan1 111α3 2 AβC又∵ 0BAC180 ，∴ BAC45（第 12 题）13、（ 1）6 5 sin( x) ；（2） 3sin( x) ；（3） x) ；（4） 27 x) ；3 2sin(2sin(62612（5）2；（ 6） 1；（7）sin() ；（ 8） cos()；（9） 3 ；（10）22tan() .14、解：由 sin0.8,(0,) ，得 cos1 sin 21 0.820.62∴ sin22sin cos 2 0.8 0.6 0.96cos2 cos 2sin 20.620.820.2815、解：由 cos3,180270 ，得 sin1 cos 21( 3 ) 26333∴ sin 22sincos2 ( 6 ) ( 3)2 2333cos2cos 2sin 2(3 )2 ( 6 ) 2 13 3 3tan 2sin 2 2 2 (3)2 2cos2 316、解：设 sin Bsin C5，且0B 90 ，所以 cosB12 .1313∴ sin A sin(1802B) sin2 B 2sin Bcos B25 12 12013 13169cos A cos(1802B)cos2B(cos 2 Bsin 2 B)(( 12 )2 ( 5 )2 ) 11913 13169sin Atan Acos Atan 22tan 17、解： 1 tan 2120(169) 169 1192131 (1)2 3120 1193 ，tantan 21 3 7 41 . tan(2 )tan2141 tan 314718、解： cos()cossin()sin1cos[()]1，即 cos1333又( 3 ,2 ) ，所以 sin1 cos21 (1)22 2 233∴ sin 22sin cos2 ( 2 2 ) 14 23 39cos2cos 2sin 2( 1 )2( 2 2 ) 2733 9∴cos(2) cos2 cossin 2 sin7 2 4 2272 892(9 )184 44219、（1） 1 sin2；（2） cos2 ；（3） 1sin 4x ；（4） tan2 .4习题 B 组（P138）1、略.2、解：∵ tan A,tan B 是 x 的方程 x 2 p(x 1) 1 0 ，即 x 2px p 1 0 的两个实根∴ tan A tan B p ， tan A tan B p 1∴ tan C tan[(A B)]tan(A B)tan A tan B p 1 tan A tan B11 ( p 1)因为 0 C，所以 C3 .43、反响一般的规律的等式是（表述形式不独一）sin 2cos 2 (30 )sincos(30 )3 （证明略）4 此题是开放型问题，反应一般规律的等式的表述形式还能够是：sin 2 (30 ) cos 2sin(30 )cos34sin 2 (15 ) cos 2 (15 ) sin( 15 )cos(15 ) 34 sin2cos2sincos3，此中30 ，等等4思虑过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面找寻共同特色，进而作出概括 . 对认识三角函数式特色有帮助，证明过程也会促使推理能力、运算能力的提升 .4、因为 PAPP ，则 (cos() 1)2 sin 2 ()(coscos ) 2 (sinsin )21 2即 2 2cos() 2 2cos cos 2sin sin所以 cos() cos cossinsin3．2 简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略 .3、略 .4、（ 1） y1sin 4x . 最小正周期为，递加区间为 [8k , k ], k Z ，最222 82大值为 1；2（ 2） y cosx 2 . 最小正周期为 2 ，递加区间为 [2k ,22k ], k Z ，最大值为 3；（ 3） y 2sin(4 x) . 最小正周期，增区 [5k , k ], k Z ，最32242 24 2大 2.A （ P143）1、（ 1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（ 3）略；（ 4）提示：用 sin 2 cos 2 取代 1，用 2sincos 取代 sin 2；（ 5）略；（ 6）提示：用 2cos 2 取代 1 cos2 ；（ 7）提示：用 2sin 2 取代 1 cos2 ，用 2cos 2 取代 1 cos2 ；（8）略.2、由已知可有 sincoscos sin1⋯⋯①， sincoscos sin1⋯⋯②23（1）②× 3－①× 2 可得 sin cos 5cos sin（2）把（ 1）所得的两同除以 cos cos 得 tan5tan注意：里 coscos0 含与①、②之中1. 于是 tan22tan2 (1) 4 3、由已知可解得tan221 tan 21 ( 1 ) 232tan tan1 11tan()42 141 tantan 1 ( ) 1 342∴ tan24tan()44、由已知可解得 x sin ， ycos ，于是 x 2 y 2 sin 2cos 21.5、 f ( x) 2sin(4 x) ，最小正周期是，减区 [k , 7 k ], k Z .2 2423224B （P143）1、略.2、因为 76 2790 ，所以 sin76 sin(9014 ) cos14 m即 2cos 2 71 m ，得 cos7m 123、存在角,使22，所以23， tan(2)3 ，3tan tan又 tan tan23 ，又因 tan(2 ) 2，21 tan tan2所以 tantan tan()(1 tantan ) 33222由此可解得 tan1 ，4 ，所以.6经查验6 ，是切合题意的两锐角 .41(cos cos ), 1(sin sin)). 过M 作MM 1 垂4、线段 AB 的中点 M 的坐标为 (22直于 x 轴，交 x 轴于 M 1 ， MOM 1 1 ()1 () .y22B在 Rt OMA 中， OMOA cos2 cos2.CMA在 Rt OM 1 M 中， OM 1 OM cos MOM 1cos 2 cos ，2M 1 M OM sin MOM 1sincos .OM 1x22于是有1cos ) coscos，(cos2 221(sinsin ) sin2cos2（第 4题）25、当 x2 时， f ( ) sin 2 cos 2 1 ；当 x 4 时， f ( ) sin 4cos 4(sin 2cos 2 )2 2sin 2 cos 21 1 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；2 2当x 6时，f ( ) sin 6cos 6(sin 2 cos 2 )33sin 2 cos 2 (sin 2 cos 2 )1 3 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；4 4 由此猜想，当 x2k,k N 时，k11 ≤ f ( ) ≤ 126、（ 1） y 5( 3sin x4cosx) 5sin( x) ，此中 cos3,sin45 555所以， y 的最大值为 5，最小值为﹣ 5；（ 2） ya 2b 2 sin( x) ，此中 cosa ,sin a 2ba 2b 2b 2所以， y 的最大值为a 2b 2 ，最小值为a 2b 2 ；第三章复习参照题 A 组（ P146）。

2020高中数学人教A版必修四课时训练：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 Word版含答案

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个__________a 和b ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 22．等边△ABC 中，AB→与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP2→(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB等于( )A.112B.13C.15D.110二、填空题7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)9．在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.10．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.三、解答题11. 如图所示，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AD→，AE→，AF→.12. 如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，→＝2DB→，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.OD(1)用a和b表示向量OC→、DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．能力提升13. 如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP→＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________；当x ＝－12时，y 的取值范围是____________．§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理答案知识梳理1．(1)不共线任意有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线所有 2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0°，180°] ②同向 ③反向 (2)90° a ⊥b作业设计1．D 2.D 3.B4．D [∵P 1P →＝λPP2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →) ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→ ∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .] 5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]6．D [设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC → ＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE→＝CA →＋AE → ＝CA →＋λ1＋λAB → ＝λ1＋λAB →－AC → ＝λ1＋λa －b . ∵CF→∥CE →， ∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110.]7．－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74y ＝138.8．①②解析对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 9.23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 10.43 解析设AB→＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ， AF →＝a ＋12b ，又∵AC→＝a ＋b ， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b . 12．解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB→＋OC →＝2OA →. ∴OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.13．(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32 解析由题意得：OP→＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1) ＝a ·λAB→＋b ·OB → ＝a λ(OB→－OA →)＋b ·OB → ＝－a λ·OA→＋(a λ＋b )·OB →(λ>0)．由－a λ<0，得x ∈(－∞，0)．又由OP→＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，解得y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32.。

必修四平面向量基本定理(附答案)

平面向量基本定理[学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答案通过观察，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 思考在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC →的夹角为60°；②AB →与CA →的夹角为120°； ③BA →与CA →的夹角为60°； ④AB →与BA →的夹角为180°.题型一对向量的基底认识例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④解析对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2 ＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底．题型二用基底表示向量例2 如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .题型三向量夹角问题例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°，即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.跟踪训练3 若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°. 题型四平面向量基本定理的应用例4 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →. 解 OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b ，因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎨⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎨⎧t ＝910，s ＝35.所以OP →＝310a ＋35b .跟踪训练4 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →. 解易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足：AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，由于a ，b 为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，所以AE →＝25a ＋15b .向量夹角概念不清致误例5 已知OA →＝2a ，OB →＝2b ，OC →＝－a ＋3b ，求向量BA →与BC →的夹角．错解由已知得，BA →＝OA →－OB →＝2a －2b ，BC →＝OC →－OB →＝(－a ＋3b )－2b ＝－a ＋b ，显然BA →＝－2BC →，可见BA →与BC →共线，故BA →与BC →的夹角为0°.错因分析两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错．正解由已知得，BA →＝OA →－OB →＝2a －2b ，BC →＝OC →－OB →＝(－a ＋3b )－2b ＝－a ＋b .显然BA →＝－2BC →，可见BA →与BC →共线，且是反向共线，故BA →与BC →的夹角为180°.1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 22．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 3．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°4．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.5．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.一、选择题1．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③ 2．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)3．如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →等于( )A.14a ＋14bB.13a ＋13bC.34a －14b D.34a ＋34b 4．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( )A ．3B ．4C ．－14D ．－345．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45二、填空题6．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．7．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用a 和b 表示)．8．若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________．9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题11．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．12．如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，求λ＋μ的值．13．已知单位圆O 上的两点A 、B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →不共线． (1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值； (2)P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．当堂检测答案1．答案 B解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 2．答案 B解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .3．答案 D解析由向量夹角定义知，AC →、BA →的夹角为150°. 4．答案－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.5．解连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a .课时精练答案一、选择题 1．答案 C解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．2．答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．3．答案 D解析易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得 CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G 、F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．4．答案 B解析因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B. 5．答案 C解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.二、填空题6．答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线． a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 即得λ≠4.7．答案 23a ＋13b 解析设AO →＝λAC →，则AO →＝λ(AD →＋DC →)＝λ(AD →＋12AB →)＝λAD →＋12λAB →. 因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23，所以AO →＝23AD →＋13AB →＝23a ＋13b . 8．答案 60°解析作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝60°.9．答案 43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 10．答案 12解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →. 所以λ1＋λ2＝12.三、解答题11．解 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线矛盾．所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．12．解如图，以OC 为对角线作▱OMCN ，使得M 在直线OA 上，N 在直线OB 上，则存在λ、μ，使OM →＝λOA →，ON →＝μOB →，即OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.在Rt △COM 中，|OC →|＝23，∠COM ＝30°，∠OCM ＝90°，∴|OM →|＝4，∴OM →＝4OA →.又|ON →|＝|MC →|＝2，∴ON →＝2OB →， ∴OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＝4，μ＝2. ∴λ＋μ＝6.13．解 (1)∵AP →＝2PB →，∴AP →＝23AB →， ∴AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又∵AP →＝rOB →＋sOA →，∴r ＝23，∴s ＝－23，∴r ＋s 的值为0. (2)∵四边形OABP 为平行四边形， ∴OB →＝OP →＋OA →，又∵OP →＝mOA →＋OB →，∴OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →、OB →是非零向量且不共线， ∴m ＋1＝0，解得m ＝－1.。

【同步练习】必修四 2.3.1 平面向量基本定理-高一数学人教版(必修4)(解析版)

第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是A ．a =（0，0），b =（1，–2）B ．a =（–1，2），b =（2，–4）C ．a =（3，5），b =（6，10）D ．a =（2，–3），b =（6，9）【答案】D2．已知平面直角坐标系内的两个向量a =（1，2），b =（m ，3m –2），且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c =λa +μb （λ，μ为实数），则m 的取值范围是 A ．（–∞，2） B ．（2，+∞）C ．（–∞，+∞）D ．（–∞，2）∪（2，+∞）【答案】D【解析】根据题意，向量a 、b 不共线，∵a =（1，2），b =（m ，3m –2），∴3212m m -≠，解得m ≠2，所以实数m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠2}．故选D ．3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m +n =1，则A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB 与AP 的方向一定相同【答案】A【解析】已知m +n =1，则m =1–n ，故有OP =（1–n ）OA +n OB OA =–n OA +n OB ，可得–OP OA = n （–OB OA ），即AP =n AB ．因为AB ≠0，所以AP 和AB 共线，即点A ，P ，B 共线，故选A ．4．如图所示，矩形ABCD 中，若BC =61e ，DC =42e ，则OC 等于A ．31e +22eB ．31e –22eC ．21e +32eD ．21e –32e【答案】A【解析】由图得，1122OC AC ==（AB +BC ）=12（DC +BC ）=31e +22e ．故选A ． 5．已知在ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，设AB =a ，AD =b ，AO =λ1a +λ2b ，则λ1+λ2等于A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】由图得，12AO =（AB +AD ）=12a +12b ，∴λ1=λ2=12，λ1+λ2=1．故选C ． 6．在△ABC 中，G 为重心，记AB AC ==，a b ，则CG =A ．1233-a bB ．1233+a bC ．2133-a bD ．2133+a b【答案】A【解析】设AB 的中点为D ，由12CD =（CA +CB ），G 为重心，得2133CG CD ==（CA +CB ）= 13（–AC +–AB AC ）=13（AB –2AC ）12–33a b ，故选A ．7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =x CA +y CB ，则y 等于A ．23B ．13 C ．–13D ．–23【答案】A【解析】∵AD =2DB ，∴222–333AD AB CB CA ==，∴13CD CA AD CA =+=+23CB ．∵CD = x CA +y CB ，∴x =13，y =23．故选A ．8．下列四个选项中，哪一个能判断四边形ABCD 是矩形 A ．AD BC = B ．AB DC =，|AC |=|BD | C ．AB =2DC D ．12AB CD =，|AC |=|BD | 【答案】B9．如图，已知CA =a ，CB =b ，AD =2DB ，用a 、b 表示DC 为A．5233DC=-+a b B．1123DC=--a bC．2133DC=--a b D．1233DC=--a b【答案】D【解析】DC=––CA AD=–2–3CA AB=–2–3CA（–CB CA）=–21–33CB CA=–12–33a b，故选D．10．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC=λAM+μBN，则λ+μ=A．2 B．83C．65D．85【答案】D【解析】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图．设正方形边长为1，则AM=（1，12），BN=（–12，1），AC=（1，1）．∵AC=λAM+μBN，∴112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴λ+μ=85．故选D．二、填空题11．在ABC △中，D 为BC 边上的点，BD BCλ=，AD AB AC αβ=+，若13λ=，则实数36αβ+=__________．【答案】4【解析】∵BD BC λ=，∴()AD AB AC AB λ-=-，∴(1)AD AB AC λλ=-+，又∵AD AB ACαβ=+且AB 与AC 不共线，∴由平面向量基本定理得1αλβλ=-⎧⎨=⎩．∵13λ=，∴2313αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴364αβ+=．12．点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且CE =2DE ，若BE AB AD λμ=+，则λ+μ=__________．【答案】13【解析】如图，∵CE =2DE ，∴23CE CD =，∴BE BC CE AD =+=+23CD AD =+()23AB -∴λ= –23，μ=1，∴13λμ+=，故答案为：13．13．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足()()2452x y x y -+=+-a b a b ，则x +y =__________．【答案】1【解析】∵()()2452x y x y -+=+-a b a b ，∴2524x y x y -=⎧⎨-=⎩，∴两式相减可得x +y =1，故答案为：1．14．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且12AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为__________．【答案】13【解析】如图，∵12AN NC =，∴13AN AC =，则2293AP mAB AC mAB AN =+=+，又∵B ，P ，N 三点共线，∴213m +=，故得m =13．故答案为：13．三、解答题15．如图，已知OA 和OB 是不共线向量，AP =t AB （t ∈R ），试用OA 、OB 表示OP ．【解析】OP OA =+AP OA =+t AB =OA +t （–OB OA ）=（1–t ）OA +t OB ．16．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD =a ，AB =b ，试用a ，b 为基底表示DC 、BC 、EF ．【解析】∵AB ∥DC 且AB =2CD ，∴1122DC AB ==b ．由向量加法的三角形法则，有BC BA =+AD +DC =–b +a +11–22=b a b ．同理，EF EC =+CB +111–––224BF DC BC AB ==b a ． 17．已知△ABC 中，D 是BC 的中点，2AE EB =，AD 和CE 相交于点P ，设AB =a ，AC =b ．（1）用a ，b 表示向量AD ，CE ；（2）若AP AD λ=，求实数λ的值．。

数学人教A版必修4课后训练：2.3.1 平面向量基本定理1

课后训练1．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．若D 在△ABC 的边BC 上，且CD ＝4DB ＝r AB ＋s AC ，则3r ＋s ＝( )A ．165B ．125C ．85D ．453．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定4．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP ＝x OA ＋y OB ，则实数对(x ，y )可以是( )A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c AC ＋a PA ＋b PB ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形6．已知e 1，e 2是非零的不共线向量，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k 2e 2，且a ∥b ，则k ＝__________．7．向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a ＝2e 1＋3e 2，若a 在基底{e 1＋e 2，e 1－e 2}下可表示为a ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(e 1－e 2)，则λ＝________，μ＝________．8．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为__________．9．如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB ＝a ，AD ＝b ，用a ，b 表示AG ．10．设AB ＝a ＋5b ，BC ＝－2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．参考答案1答案：B 解析：由于任意不共线的向量a ，b 都可以作为基底，故①是错的，而②③是对的，故选B ．2答案：C 解析：由题意得CD ＝45CB ＝45AB －45AC ， ∴r ＝45，s ＝45-，∴3r ＋s ＝85． 3答案：B 解析：a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝6e 1－2e 2＝2(a ＋b )．∴c 与a ＋b 共线．4答案：C 解析：由图观察并根据平面向量基本定理，可知x ＜0，y ＜0，故选C ． 5答案：A 解析：如图，由c AC +a PA +b PB =0，得c (PC －PA )＋a PA －b PC ＝(a －c )PA ＋(c －b )PC ＝0，而PA 与PC 为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c ．故选A ．6答案：1 解析：∵a ∥b ，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k 2e 2，∴a ＝λb ，即k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k 2e 2)．∴k e 1＋e 2＝λe 1＋λk 2e 2．∴2,1,k k λλ=⎧⎨=⎩∴k 3＝1．∴k ＝1． 7答案：52 12- 解析：由条件可知2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩ 解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8答案：90° 解析：作平行四边形ABCD ，设AB ＝α，AD ＝β，则由|α＋β|＝|α－β|，得|AC |＝|DB |，∴四边形ABCD 为矩形，∴α与β的夹角为90°．9答案：解：易知CF ＝12CD ，CE ＝12CB ．设CG ＝λCA ，则由平行四边形法则可得CG ＝λ(CB ＋CD )＝2λCE ＋2λCF ，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG＝14CA，从而AG＝34AC＝34(a＋b)．10答案：证明：要证A，B，D三点共线，只需证明AD＝λAB中的实数λ存在．由AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，得AB＋BC＋CD＝λAB，即(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝λ(a＋5b)，得2a＋10b＝λa＋5λb．若a与b共线，则显然A，B，D三点共线；若a，b不共线，由平面向量基本定理有2, 510,λλ=⎧⎨=⎩∴λ＝2，即AD＝2AB，∴A，B，D三点共线．。

人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.3.1 平面向量基本定理 Word版含答案

姓名，年级：时间：2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3。

1 平面向量基本定理[教材研读］预习课本P93～94，思考以下问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．如何定义平面向量基底？3．两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？[要点梳理］1．平面向量基本定理2．向量的夹角作向量错误!＝a,错误!＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角0°≤θ≤180°[自我诊断］判断(正确的打“√"，错误的打“×”）1．任意两个向量都可以作为基底．( )2．一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ）3．零向量不可以作为基底中的向量．（)[答案］ 1.× 2.× 3.√错误!思考：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1,e2表示?为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD,M，N分别是DC和AB 的中点，若错误!＝a，错误!＝b，试用a，b表示错误!，错误!，错误!。

[解] 如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则错误!＝错误!＝错误!错误!＝错误!a ； BC →＝错误!－错误!＝错误!－错误!错误!＝b －错误!a ；错误!＝错误!－错误!＝－错误!－错误!错误!＝－错误!－错误!错误!＝错误!a －b 。

用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[跟踪训练］如图所示，已知在▱ABCD 中,E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点．若错误!＝a ，错误!＝b ，试用a ,b 为基底表示向量错误!，错误!。

[解］ ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴错误!＝错误!＝2错误!，错误!＝错误!＝2错误!.∴错误!＝错误!错误!＝错误!b,错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝－错误!错误!＝－错误!a。

人教A版高中数学必修4练习手册：2-3-1平面向量基本定理 Word版含答案

1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .答案：A3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________.解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝62x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3. ∴x －y ＝3. 答案：34．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为________．解析：如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，因为|a |＝|b |＝|a －b |，即得|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，所以∠BOA ＝60°.又因为OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，所以a 与a ＋b 的夹角为30°.答案：30° 5.如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：由H ，M ，F 所在位置有： AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC → ＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH → ＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .。

人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4含答案

2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13题号 1 2 3 4 5 6 答案7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA→＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________.1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．2．3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α.∴tan α＝2.故选A.]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D.]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.] 6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.] 7.12解析由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12. 8．(－4，－8)解析由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴P A →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3.10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．解由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解方法一由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6(x －4)＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.]14．(2,3)解析设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ. 把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1含答案

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理课时目标 1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹角与垂直．1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________.(2)基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个__________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________． ②当θ＝0°时，a 与b ________. ③当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．一、选择题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 22．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 3．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb5．如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数多对； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若实数λ、μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②6．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB等于( )A.112B.13C.15D.110 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.8．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)9．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.10．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.三、解答题11. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.12. 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．能力提升13. 如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________；当x ＝－12时，y 的取值范围是____________．14. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理答案知识梳理1．(1)不共线任意有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线所有 2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0°，180°] ②同向 ③反向 (2)90° a ⊥b 作业设计1．D 2.D 3.B4．D [∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .]5．B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]6．D [设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC → ＝λ1＋λa －b . ∵CF →∥CE →，∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110.]7．－74m ＋138n解析设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74y ＝138.8．①②解析对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 9.23b ＋13c 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .10.43 解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .12．解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.13．(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，32 解析由题意得： OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ·λAB →＋b ·OB →＝aλ(OB →－OA →)＋b ·OB →＝－aλ·OA →＋(aλ＋b )·OB →(λ>0)．由－aλ<0，得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，解得y ∈⎝⎛⎭⎫12，32.14．解设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →＝23c ，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线，∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。