数学分析中辅助函数的构造及其作用

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辅助函数在微分中值问题中的构造及应用

辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(，将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(，两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''，即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。

辅助函数的构造及应用

’ 证明 !构造辅助函数 B# & # ’$, I ’$< ! " , 7 ) ’/ S#
!! 原函数积分法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过观察分析 ! 做积分找出适当的原函数作为辅助函数! 将所要证明的结论中的2看成自变量 " 将含 2的因式等价移往等式的同一侧 ! 求出其一族原函数 ! 令积分常数为零! 找出所需辅助函数 B# " ’$ 例 !! 若函数 S# 在闭区间& ’上连 ’$满足下列条件 % ;! F 续! 在开区间 # $内可导 ! 则在开区间# $内至少存在一 ;! F ;! F #$ #$ 点 2! 使S $, S F <S ; " A# 2 F<; # $ F ;$ <S# 分析 ! 结论恒等变形为 S $ 将2 看 WS A# , %" 2 F<; $ F ;$ <S# S# 作自变量 ! 在& 上做积分得 % # %! ’’ ’$ ’ ,E" < S# F<; $ F ;$ ! <S# S# " 令E , %! 令 B# E 为常数 $ ’$, S# ’$ ’ 验证 < F<; 易知 B# 在& ’ 上连续 ! 在# $ 内可导且 B# $ " ’$ ;! F ;! F ;$ F , B# 即在开区间 # $内 B# ’$在该区间上满足 ( X 8 8 I 中值定理 ! ;! F #$ #$ 至少存在一点2! 使S $, S F <S ; " 则 B# A# ’$即为所需 2 F<; 辅助函数 "
微积分中中值定理的证明应用是一个难点,构造辅助函数是证题常用的手段之一,本文主要介绍构造辅助函数的三种方法:作差法、观察法和不定积分法.

构造辅助函数证明微分中值定理及应用

构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。

为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。

我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。

辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。

现在我们来分析这个辅助函数g(x)。

首先，考虑端点a和b处的函数值。

根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。

如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。

也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。

接下来，我们考虑辅助函数的导数。

根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。

由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。

因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。

同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。

根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。

根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。

现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。

如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。

由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。

辅助函数基本知识点总结

辅助函数基本知识点总结辅助函数是编程中常用的一种函数类型，它们通常用于辅助其他函数完成一些特定的任务。

辅助函数可以帮助我们提高代码的可读性、复用性和维护性。

本文将总结一些关于辅助函数的基本知识点，包括定义、使用场景、参数传递、返回值等内容。

定义辅助函数是一种用于辅助实现其他函数的函数。

在编程中，我们经常会遇到一些通用的功能，比如数据处理、格式化输出、错误处理等，这些功能可以被抽象为辅助函数，然后在需要的地方进行调用。

辅助函数通常只完成一个特定的任务，以提高代码的模块化和可维护性。

使用场景辅助函数通常用于以下几个场景：1. 数据处理：对传入的数据进行一些处理，比如格式化、验证、转换等；2. 错误处理：对可能出现的错误进行处理，比如抛出异常、记录日志等；3. 格式化输出：对输出的内容进行格式化，比如添加时间戳、分隔符等；4. 数据校验：对传入的数据进行校验，判断是否符合要求；5. 其他通用功能：比如计算数学运算、生成随机数、操作数组等。

参数传递辅助函数的参数传递通常包括以下几种方式：1. 位置参数：通过位置顺序传递参数，调用时参数的顺序要和定义时一致；2. 关键字参数：通过参数名传递参数，调用时参数的顺序可以任意；3. 默认参数：在函数定义时给参数指定默认值，调用时可以不传递该参数；4. 可变参数：接受不定数量的参数，可以是位置参数、关键字参数或混合参数。

参数传递的选择取决于函数的具体需求和调用者的习惯，一般来说，应尽量避免过多的参数传递，以减少函数的复杂性。

返回值辅助函数的返回值可以是任意类型的数据，包括基本类型、对象、函数等。

返回值的选择取决于具体的需求，可以根据需要返回单个值或多个值，并且可以根据需求选择是否需要返回值。

一般来说，我们应该尽量避免在函数内部直接对数据进行修改，而是通过返回值将处理后的数据返回，以提高函数的可测试性和可复用性。

示例下面是一个简单的示例，演示了一个辅助函数的基本使用方式：```pythondef format_data(data):if not isinstance(data, list):raise ValueError('data must be a list')return ', '.join(str(item) for item in data)data = [1, 2, 3, 4, 5]formatted_data = format_data(data)print(formatted_data)```在这个示例中，format_data函数接受一个列表data作为参数，然后将列表中的元素转换为字符串，并使用逗号分隔连接起来，最后返回处理后的字符串。

构造辅助函数在解决数学问题中的作用

众所周知，解决几何问题时如果我们恰当的建立一条辅助在线，问题就会迎韧而解，同样道理，解决数学问题时也经常需要在辅助函数。函数思想是一种通过构造辅助函数实现问题转化的思想，几乎渗透到数学的各个领域，学学习中函数也是重要内容之一。数根据题设条件，把所求解的问题转化为对一函数性质的讨论，而使从所求解答问题得到答案，为构造辅助函数解题。确、理的构称正合造辅助函数需要深刻的理解方程、等式、数等知识之间的关不函系，且针对某些问题的具体特点加以分析。并研究构造辅助函数解题，目的在于培养学生观察、析、想分联的思想方法以及创造性思维能力。察是思维的入口，解题的第观是能力，五光十色的交叉干扰信号中，从能迅速地找到自己需要的光点，是观察能力中最基础最珍贵的直觉思维能力。这联想是一种特定的想象，它是把某一领域的事物与其他领域的事物联系起来思考并由此激发的新的认识得的思维方式，想的过联
３构造辅助函数求解参数的取值范围
对于求参数取值范围的问题是数学教学的又一个难点，造构辅助函数法在解答此类问题不失为是一种好方法。（）１以方程为载体。在含有参数的方程中，参数是为主变元的函数，能通过适将若

浅谈辅助函数的构造及其应用

浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ，由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211，即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在：（1）微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决．（2）定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3）多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4）多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5）常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证．注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决．例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。

辅助函数在数学分析解题中的应用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２１２９辅助函数在数学分析解题中的应用辅助函数在数学分析解题中的应用Һ童雷雷㊀王良晨㊀（重庆邮电大学理学院，重庆㊀４０００６５）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造辅助函数是数学中常用的解题技巧之一，在解答一些条件与结论的逻辑关系并不直接的问题时起着重要的作用．在本文中，我们主要归纳总结几类需要通过构造辅助函数解答的题型，并针对相应的题型介绍一些辅助函数的构造方法．ʌ关键词ɔ辅助函数；微分中值定理；不等式证明；计算极限ʌ基金项目ɔ重庆邮电大学博士启动基金（Ａ２０１８－１２８）；重庆市教委科学技术研究项目（ＫＪＱＮ２０２０００６１８）；重庆邮电大学教育教学改革重点项目（ＸＪＧ１９１０５）数学分析是数学专业的基础课程，内容比较抽象，习题解答的技巧性较强，而函数思想在数学分析解题中发挥着重要作用，尤其是辅助函数的构造，往往能把相对复杂的问题变得简单，适用于解决一些不易直接从条件推导出结论的题目，如闭区间上连续函数有界性㊁介值定理的证明，某些区间上函数一致连续性的证明，方程组根的存在性证明，微分中值定理㊁积分中值定理的证明，极限㊁定积分的计算，等式或不等式的证明，条件极值等等．然而，辅助函数的构造技巧性比较强，又没有固定的构造方法，其构造过程需充分利用猜想㊁归纳㊁类比㊁化归思想㊁逆向思维等数学思想，针对不同的题目，是否需要构造辅助函数以及构造什么样的辅助函数就成为解题的难点和关键．因此，归纳一些适合通过构造辅助函数解答的题型，让学生掌握一些构造辅助函数的方法和技巧，利于学生打开解题的思路，节约解题时间，也能为数学专业老师备课提供一些帮助．在本文中，我们将归纳总结几类需要构造辅助函数解答的题型，并针对相应的题型介绍一些辅助函数的构造方法．一㊁涉及微分中值定理的题型在一些中值存在性问题的证明题中，题目给出的条件与需要证明的结论之间没有直接的逻辑关系，直接利用题目给出的条件，不能或不易得出结论，这就需要借助已有知识，构造一个从未知到已知的桥梁，即尝试通过构造辅助函数并结合罗尔定理㊁拉格朗日中值定理或柯西中值定理等理论工具进行解答．例１［１］㊀假设ｆ（ｘ）在［０，π／２］上具有一阶连续导数，在（０，π／２）上二阶可导，且满足ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３，ｆ（π／２）＝１．证明：存在ξɪ（０，π／２），使得ｆᶄ（ξ）＋ｆᵡ（ξ）ｔａｎξ＝０．证明：令Ｆ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）㊃ｅʏ１ｔａｎｔｄｔ＝ｆᶄ（ｘ）ｓｉｎｘ，则Ｆ（０）＝ｆᶄ（０）ｓｉｎ０＝０．由于ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３，由连续函数的介值定理知存在αɪ（０，１），使得ｆ（α）＝１．又由于ｆ（π／２）＝１，由罗尔定理知存在ηɪ（α，π／２）使得ｆᶄ（η）＝０，即Ｆ（η）＝０．所以，Ｆ（ｘ）在［０，η］上满足罗尔定理的条件，故存在ξɪ（０，η）⊂（０，π／２），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）ｃｏｓξ＋ｆᵡ（ξ）ｓｉｎξ＝０两边同除ｃｏｓξ，即得证．例２［２］㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）上可导且ｆᶄ（ｘ）ʂ０．证明：存在ξ，ηɪ（ａ，ｂ）使ｆᶄ（ξ）ｆᶄ（η）＝ｅｂ－ｅａｂ－ａ㊃ｅ－η．分析：结论可改写为ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆᶄ（η）ｅη，由拉格朗日中值定理可知ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ），从而可知ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆᶄ（η）ｅη，该结论可由柯西中值定理得到．证明：设ｇ（ｘ）＝ｅｘ．因函数ｆ（ｘ）满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在ξɪ（ａ，ｂ），使ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．由于ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足柯西中值定理的条件，故存在ηɪ（ａ，ｂ）使得ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）＝ｆᶄ（η）ｇᶄ（η）＝ｆᶄ（η）ｅη．总结：需要利用微分中值定理解答的题目类型，一般在构造辅助函数的时候可以选用解微分方程的方法或利用逆向思维法找到原函数．如果结论中需要证明的是形如ｆᶄ（ξ）＋ｇ（ξ）ｆ（ξ）＝０的形式，则在构造函数的时候，我们将其中的ξ改为ｘ，即得ｆᶄ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）＝０．解上述微分方程，可知ｆ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ．对于这类题型，我们可做辅助函数如下：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＋Ｃ，再根据题目条件和微分中值定理的条件确定常数Ｃ的取值．如果结论中需要证明的是形如ｆᵡ（ξ）＋ｇ（ξ）ｆᶄ（ξ）＝０的形式，则可通过解类似的微分方程得到ｆᶄ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ，从而可构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ．类似地，如果结论是形如ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０的形式，我们可将ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ记为ｈ（ｘ），从而可构造函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ㊃ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ．更一般地，如果结论是形如ｆᶄ（ｘ）＋ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｑ（ｘ）＝０的形式，我们可以通过解这个微分方程得到原函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅʏｐ（ｘ）ｄｘ＋ʏｑ（ｘ）㊃ｅʏｐ（ｘ）ｄｘ()ｄｘ．若结论中需要证明的是形如ｆ（ξ）／ｇ（ξ）＝ｆᵡ（ξ）／ｇᵡ（ξ）的形式，则我们可将结论进行变形，得到ｆ（ξ）ｇᵡ（ξ）－ｆᵡ（ξ）ｇ（ξ）＝０，从而得其原函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）－ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ），即为要构造的辅助函数．对于需要利用柯西中值定理解答的题目，在构造辅助. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２１２９函数的时候需要格外注意观察结论的形式，通过逆序思维构造辅助函数．如果结论中含有函数的高阶导数（二阶㊁三阶或更高阶导数）时，我们还可以考虑用泰勒公式构造辅助函数．二㊁涉及一些不等式证明或者方程根的存在性问题的题型在处理一些不等式证明相关的习题时，需适当地将不等式移项，通过构造辅助函数，利用函数的单调性㊁拉格朗日中值定理或函数的凸凹性，比较不等式两边的大小，证明不等式．此外，通过构造辅助函数也能证明某些等式成立．例３［３］㊀若ｐ＞１，证明：对于任一ｘɪ［０，１］，有ｘｐ＋（１－ｘ）ｐȡ１２ｐ－１．证明：设Ｆ（ｘ）＝ｘｐ＋（１－ｘ）ｐ，则Ｆᶄ（ｘ）＝ｐｘｐ－１－ｐ（１－ｘ）ｐ－１＝ｐｘｐ－１－（１－ｘ）ｐ－１[]．当ｘ＜１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＜０．当ｘ＞１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＞０．当ｘ＝１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＝０．从而，可知Ｆ（ｘ）在ｘ＝１／２处取得极小值，即Ｆ（ｘ）＝ｘｐ＋（１－ｘ）ｐȡＦ（１／２）＝１２ｐ－１．在证明方程组根的存在性问题时，也常通过构造辅助函数，利用连续函数的介值定理或罗尔定理证明解的存在性．例４［３］㊀当ａ０ｎ＋１＋ａ１ｎ＋＋ａｎ－１２＋ａｎ＝０时，证明：方程ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋＋ａｎ＝０在（０，１）上至少有一个实根．证明：令Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ａ０ｔｎ＋ａ１ｔｎ－１＋＋ａｎ()ｄｔ，则Ｆ（ｘ）＝ａ０ｎ＋１ｘｎ＋１＋ａ１ｎｘｎ＋＋ａｎ－１２ｘ２＋ａｎｘ．显然Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理，在（０，１）上至少有一点ξ，使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即Ｆᶄ（ｘ）＝ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋＋ａｎ＝０在（０，１）上至少有一个根ξ．三㊁通过构造辅助函数，补充连续性条件在运用已学知识解答题目的过程中，会遇到缺少某个条件的情况，比如利用含参变量积分的性质计算某些极限或积分问题时，要求含参变量积分的被积函数连续或要求被积函数的导函数连续（若是参变量反常积分，还需再加上一致收敛的条件），此时积分运算与极限运算㊁求导运算可交换．利用这些性质解答一些积分或极限问题时，需严谨地验证这些条件是否满足，如果不满足，我们要构造一个既能满足所缺条件又与所证结论相联系的辅助函数．例５［４］㊀求极限ｌｉｍｙң０＋ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ．解：构造辅助函数ｆ（ｘ，ｙ）＝１１＋（１＋ｘｙ）１ｙ，㊀０ɤｘɤ１，０＜ｙɤ１，１１＋ｅｘ，０ɤｘɤ１，ｙ＝０．ìîíïïïï因为对任意的ｘɪ［０，１］有ｌｉｍｙң０＋１１＋（１＋ｘｙ）１ｙ＝１１＋ｅｘ所以ｆ（ｘ，ｙ）在［０，１］ˑ［０，１］上连续．从而ʏ１０ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ在［０，１］上连续，极限运算与积分运算可进行交换，因此ｌｉｍｙң０＋ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ＝ʏ１０ｌｉｍｙң０＋１１＋（１＋ｘｙ）１ｙæèçöø÷ｄｘ＝ʏ１０１１＋ｅｘｄｘ＝ｌｎ２ｅ１＋ｅ．在利用所学定理或已有的结论解答某些题目时，需严谨地验证这些定理或结论所应满足的条件，当某些条件缺失时，需通过辅助函数补充．类似的构造辅助函数的方法也适用于推广的罗尔中值定理的证明．例６［５］㊀若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上可导且ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），证明：至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆᶄ（ξ）＝０．证明：构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆａ＋()，ｘ＝ａ，ｆ（ｘ），ａ＜ｘ＜ｂ，ｆｂ－()，ｘ＝ｂ，{则Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）＝０．结束语现有的许多教材，在通过构造辅助函数进行解题时，通常会直接给出辅助函数．由于数学题型多变，学生常常把握不住辅助函数的具体构造方法和经验，对于哪些类型的题目适合通过构造辅助函数来求解，常常也会模糊不清的，不能很好地将所学知识进行融合，长此以往，学生渐渐会失去学习的信心和兴趣．因此，高校教师需要调整或改进教学方法，在讲授相关知识点时，积极引导和帮助学生建立知识的衔接，注意整理不同辅助函数的构造方法，学会总结解题技巧，积累解题经验．通过构造辅助函数解题，既能使学生更好地熟悉和掌握所学知识，又利于打开解题思路，提高解题能力，还能培养良好的观察能力及严谨的思维能力，提高学习效率．ʌ参考文献ɔ［１］张宇．高等数学１８讲［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１７．［２］张天德，蒋晓芸．吉米多维奇高等数学习题精选精解（第二版）［Ｍ］．济南：山东科技技术出版社，２０１９．［３］钱吉林，郭金海，熊骏．数学分析解题精粹（第三版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２０１９．［４］李克典，马云苓．数学分析选讲［Ｍ］．厦门：厦门大学出版社，２００６．［５］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．. All Rights Reserved.。

辅助函数的构造

F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数，但不涉
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质，要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
例 5：（P146 习题 3.1 第 7 题）设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k，【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
bf (b ) a f (a ) x，【证明 1】令 F ( x ) xf ( x ) ba

辅助函数构造

辅助函数构造
辅助函数构造是一种软件技术，允许软件程序员以更加有效的方式编写程序。

与基础类似，它不是一种基础构造，而是一种补充构造，程序员可以用它来更轻松地实现特定结构的特定功能。

辅助函数构造的最大优势是它可以帮助软件程序员更轻松地实
现特定的功能。

它把原本需要更复杂的程序结构和更复杂的代码分解成一系列更容易理解的步骤，使软件程序员能够更快地完成任务并实现自己的思路。

另外，辅助函数构造还有助于开发维护容易和管理可靠的软件系统。

它可以帮助改善软件系统的可读性，使软件构建变得更容易维护和更可靠。

例如，软件程序员可以使用辅助函数来规范软件程序的语法，使它更易于理解和管理。

此外，辅助函数构造还可以帮助软件程序员更容易地重用特定的功能。

它可以帮助程序员实现最佳实践，而不需要重复编写相同的代码，这样可以节省大量时间和精力。

因此，软件工程师可以用少量的时间和精力开发出高质量的软件产品。

辅助函数构造还可以帮助软件工程师更容易地实现复杂的功能。

因为它们把复杂的程序结构分解成更容易理解的步骤，软件工程师可以更好地理解并处理复杂问题，并实现该功能。

最后，辅助函数构造在软件开发过程中可以帮助改善代码质量。

由于它可以帮助改善软件程序的可读性，软件工程师可以更轻松地查看代码，更快速地解决问题，并且可以更好地控制软件产品的质量。

总之，辅助函数构造是一种重要的软件技术，能够帮助软件程序员更快、更高效地实现特定功能。

它可以帮助改善软件程序的可读性，使软件程序员可以更容易地查看、管理和维护软件系统，从而提高软件开发的效率。

武忠祥辅助函数公式

武忠祥辅助函数公式
武忠祥辅助函数是一种用于优化算法中的非线性约束问题的方法。

它的一般形式可以表示为：
f(x) = g(x) + h(x)。

其中，g(x)是目标函数，h(x)是约束函数。

辅助函数的目标是将原问题转化为一个无约束问题，使得优化算法能够更好地处理。

具体来说，辅助函数的形式如下：
F(x, t) = g(x) + t h(x)。

其中，x是优化变量，t是辅助参数。

辅助参数t的作用是控制约束的严格程度。

当t趋近于无穷大时，辅助函数F(x, t)趋近于目标函数g(x)，此时约束变得无关紧要。

当t趋近于零时，辅助函数F(x, t)趋近于约束函数h(x)，此时约束变得非常重要。

辅助函数的优化过程一般分为两个步骤，首先固定t的值，将问题转化为一个无约束优化问题，然后使用优化算法求解；然后逐
步减小t的值，直到满足约束条件为止。

这个过程可以通过迭代的方式进行。

辅助函数的优点是能够将约束问题转化为无约束问题，使得优化算法更加高效和灵活。

然而，辅助函数的选择和参数调节需要一定的经验和技巧，不同的问题可能需要不同的辅助函数形式和参数设置。

总结起来，武忠祥辅助函数是一种用于优化算法中处理非线性约束问题的方法，通过引入辅助参数和辅助函数，将原问题转化为无约束问题进行求解。

这种方法在实际应用中具有一定的优势，但需要根据具体问题进行适当的调节和选择。

辅助函数法的构造及应用-推荐下载

a
b
a
b
所以 f (t)dt g(t)dt (b a) f (t)g(t)dt .
a
a
如下的命题也可以用这一方法来证明：
a
如果 f (x) 是在[a,b] 上连续函数，且 f (x) 0 ，则 f (x)dx
b
a
b
3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数
1 引言
辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.
2 辅助函数的基本特点及构造原则
所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.
辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.

数学分析中辅助函数的构造及其作用

数学分析中辅助函数的构造及其作用作者：杨云苏来源：《课程教育研究·中》2013年第10期【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。

【关键词】辅助函数构造应用【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。

构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。

使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。

1.数学分析中如何构造辅助函数1.1 辅助函数的基本特点a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。

b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。

c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。

1.2 构造辅助函数的基本方法1.2.1 联想分析要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。

高等数学辅助函数的构造方法及应用

1 利用 “几何意义” 构造辅助函数
高等数学中 ,有些概念或命题具有特殊的几何意义。比如函数在某点处的导数值为曲线对应点处切线的斜率 ; 定积分的几何意义为曲边梯形的面积 ; 罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等。有些问题 ,根据其几何意义构造函数 ,然后利用已有知识便迎刃而解。
f = 0) 于是得
(ξ )
) g (ξ
=
(ξ ) f″ 。 (ξ ) g″
a+ b
例 2. 2 设函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b) 内可导 ,且 f ( a) f ( b) > 0 , f ( a) f (
(ξ ) ξ∈( a , b) 使得 = f ′ = k 。 ) f (ξ (ξ ) - kf (ξ ) = 0。分析 : 显然只需证存在 ξ∈( a , b) 使得 f ′
ξ ξ ξ (ξ ) - ke - k ) = 0 ,即 ( e - kx f ( x ) ) ′ 上式的两端乘以 e - k 得 e - k f ′ f (ξ | x =ξ = 0 。
2
) < 0. 试证 : 对任意实数 k ,存在
令 F ( x ) = e - kxf ( x ) ,由题设及介值定理易知 : 存在点 c1 , c2 ,使
( x) > 0 。证明 : 存在唯一的 ξ∈( a , b) 使曲线 y = f ( x ) 例 1. 1 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b) 内可导 ,且 f ′ ) 所谓成的图形面积 S 1 是 y = f ( x ) 与直线 x = b 及 y = f (ξ ) 所围成的面积 S 2 的三倍。与直线 x = a 及 y = f (ξ

几种构造辅助函数的方法及应

几种构造辅助函数的方法及应构造辅助函数是在编程过程中，为了简化代码、提高可读性和可维护性而创建的功能函数。

它们通常用于处理常见的、重复的或复杂的操作，以减少重复性代码的编写和维护工作。

下面将介绍几种常见的构造辅助函数的方法及其应用。

1.检查函数参数的有效性在函数内部，可以构造一个辅助函数用于检查传递给函数的参数的有效性。

这种辅助函数可以验证参数的类型、范围和必要性，并返回一个布尔值或抛出一个异常来指示参数的有效性。

通过使用这种辅助函数，可以减少代码重复，提高代码的可读性和可维护性。

例如，考虑以下函数：```pythondef divide(a, b):if isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0:return a / belse:raise ValueError("Invalid arguments")```这里可以构造一个辅助函数来检查参数的有效性：```pythondef check_valid_args(a, b):if not (isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0):raise ValueError("Invalid arguments")def divide(a, b):check_valid_args(a, b)return a / b```2.格式化数据```pythondef format_date(date):year = date[:4]month = date[4:6]day = date[6:]return f"{year}-{month}-{day}"```这里可以构造一个辅助函数来处理日期的格式化：```pythondef format_date(date):return f"{date[:4]}-{date[4:6]}-{date[6:]}"def format_data(data):formatted_data = []for date in data:formatted_date = format_date(date)formatted_data.append(formatted_date)return formatted_data```3.实现常用算法或数据结构为了简化代码，可以构造辅助函数来实现常用的算法或数据结构。

数学分析中辅助函数的作法与应用

数学分析中辅助函数的作法与应用摘要:辅助函数法不仅是转化数学问题的一种重要手段，而且是综合运用多种数学思维进行理论分析的具体体现.通过系统的探讨辅助函数在微分中值定理的证明、定积分不等式证明、利用函数单调性证明不等式、数值不等式证明中的作法，对相关结论进行了证明，并用多个例子论述并总结了辅助函数法在硕士研究生考试命题中的应用.理论结合实例的分析与总结，结果表明经由辅助函数法这样一种巧妙的数学变换，我们可以将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，进而提高解题的效率.关键词:辅助函数法；理论分析；定理证明；不等式证明Auxiliary function in the practice and application of mathematical analysisAbstract：Method of auxiliary function is not only a kind of transformation mathematical problems, but also is an important means of comprehensive use of mathematical thinking a theoretical analysis of the concrete embodiment of systematic discussion. Through the auxiliary function in the mid-value theorem of proof, definite integral inequality proof, using functional monotonicity proof, inequality, the numerical inequality proof of relevant conclusion practice proved, and multiple example demonstrating and summarizes the method of auxiliary function in the application of exam of master graduate student proposition. Theory of analysis and summary examples, the result shows that through the method of auxiliary function such a clever mathematical transformation, we can will generally problem into special problems, will complex problem into a simple question, thus improving the efficiency of solving problems.Key words：Method of auxiliary function; Theoretical analysis; Theorem proof; Inequality proof0 引言辅助函数是数学解题中构造的辅助手段的一种，它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数.通常情况下，我们可以利用这个函数的特性进行有关的证明或求[]1-3解.之所以要构造辅助函数，是因为通过这样一种巧妙的数学变[]4-6换，我们可以将原来不易解决的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题.在数学分析中，微分中值定理扮演了极其重要的角色，而有关辅助函数的构造问题是应用微分中值定理解决问题的关键.在近几年的数学类硕士研究生考试[]7-9中，有关微分中值定理的命题屡见不鲜，而解决这类问题的关键正是有关辅助函数的构造问题.如果我们对辅助函数的构造原理有一个清晰的认识和理解，那么对于这类问题的解决无疑是种莫大的帮助.因而，探究有关辅助函数的构造及应用问题对于我们具有重要的理论意义和实用价值.本文将从四个方面探讨有关辅助函数的作法与应用问题.首先将给出微分中值定理中辅助函数的三种作法，并且对于每一种作法都将相应的给出几个例题予以应用，以便使大家不仅能够理解并掌握这种方法，而且能够饶有兴趣地继续研究其它的方法，以拓宽思维；其次将探讨定积分不等式证明中辅助函数的作法与应用问题；再次将讨论利用函数单调性证明不等式中辅助函数的作法与应用问题；最后我们讨论数值不等式证明中辅助函数的作法与应用问题.全文大体分为这四个部分，旨在对于辅助函数在数学分析中的作法与应用作一个初步的探究.1 微分中值定理中辅助函数的作法与应用在微分中值定理中，辅助函数()F x 的作法常见的有以下三种：1.1 原函数法（又称微分方程法）应用原函数法构造辅助函数的步骤如下：第一步：将欲证结论中的ξ或0x 改写为x ；第二步：通过恒等变形将欲证结论化为易消除导数符号的形式（或称为易积分形式）；第三步：用观察法或积分法求出原函数（即不含导数符号的式子）.为简便起见，积分常数取作“0”；第四步：移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所求的辅助函数()F x .下面，首先我们以拉格朗日中值定理和柯西中值定理为例，利用原函数法来构造辅助函数()F x ，以得到这两个定理的证明.定理[]71.1.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理设函数f 满足如下条件：（i ）在闭区间[],a b 上连续；（ii ）在开区间(),a b 内可导；则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()-()()f b f a f b aξ'=- 分析：拉格朗日中值定理的结论：=0()()()()()()()()()()()()-=0x c f b f a f b f a f f x b a b af b f a f b f a f x c x f x x b a b a ξξ=--''=−−−→⇒=----−−−→⇒+=−−−→⇒--令积分令并移项于是得到辅助函数()-()()=()-f b f a F x f x x b a- 证明：令[]()-()()=()-,,f b f a F x f x x x a b b a ∈- 则()F x 在闭区间[],a b 上连续；在开区间(),a b 内可导；且()()()()()()-,()()()()()()-,f b f a bf a af b F a f a a b a b af b f a bf a af b F b f b b b a b a --==----==--即 ()()F a F b = 所以函数()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()=0F ξ'又 ()-()()=()f b f a F f b aξξ''-- 故 ()-()()0f b f a f b a ξ'-=-，即 ()-()()f b f a f b a ξ'=- 定理[]71.1.2 柯西（Cauchy ）中值定理设函数,f g 满足如下条件：（i ）在闭区间[],a b 上都连续；（ii ）在开区间(),a b 内都可导；（iii ）(),()f x g x ''在(),a b 内不同时为零；（iv ）()()g a g b ≠；则至少存在一点(),a b ξ∈，使得 ()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 分析：柯西中值定理的结论：=0()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+()()()()()()()()-()=0()()x c f f b f a f x f b f a g g b g a g x g b g a f b f a f b f a f x g x f x c g x g b g a g b g a f b f a f x g x g b g a ξξξ=''--=−−−→⇒=''----''−−−→⇒=−−−→⇒=---−−−→⇒-令变形积分令并移项于是得到辅助函数()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=-- 证明：令[]()()()()(),,()()f b f a F x f xg x x a b g b g a -=-∈- 则()F x 在闭区间[],a b 上都连续；在开区间(),a b 内都可导；且()()()()()()()()-(),()()()()()()()()()()()()-(),()()()()f b f a f a g b f b g a F a f a g a g b g a g b g a f b f a f a g b f b g a F b f b g b g b g a g b g a --==----==-- 即 ()()F a F b =所以函数()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()=0F ξ'又 ()()()()()()()f b f a F fg g b g a ξξξ-'''=-- 故 ()()()()0()()f b f a f g g b g a ξξ-''-=-，即 ()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 以上所给出的利用原函数法来构造辅助函数，以证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，较教材中所构造的那个辅助函数更易于我们掌握运用.因为这种方法本身为我们阐明了有关这类问题辅助函数的构造原理，具有一定的科学探究性和推理性.微分中值定理在微分学中应用非常广泛，我们经常会遇到类似“至少存在一点ξ,使得(),()f f ξξ'''等满足……”的证明问[]8-10题.有关这类问题的解决常常要用到中值定理,而应用中值定理时往往需要构造出辅助函数.若辅助函数构造的巧妙适当,则问题很快便能迎刃而解;否则,我们有时会感到无从下手.以下，我们利用微分中值定理证明一些恒等式，其方法仍然是构造辅助函数.为直观地说明这种方法的巧妙性，我们以一些考研真题为例来继续讨论原函数法在构造辅助函数方面的精妙之处.例1.1.1 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且有()()0f a f b ==.试证：至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.分析：由原结论()()0[()]0xf x f x xf x ''⇒+=⇒=于是得到辅助函数()()F x xf x =显然()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的条件证：令[]()(),,F x xf x x a b =∈则()F x 在闭区间[],a b 上连续；在开区间(),a b 内可导；且()()0,()()0F a af a F b bf b ====，即 ()()F a F b =所以函数()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()=0F ξ'又 ()()()F f f ξξξξ''=+故 ()()0f f ξξξ'+=例1.1.2 设函数()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上二阶可导，且1(0)(0),()02f f f '==.试证：至少存在一点10,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得3()()12f f ξξξ'''=- 分析：由原结论3()()()(12)3()()(12)2()()12[()(12)]()f x f x f x x f x f x x f x f x xf x x f x ''''''''''⇒=⇒-=⇒--=-'''⇒-= 两边积分，得()(12)()f x x f x c '-=+.令0c =，并移项，得()(12)()0f x x f x '--= 于是得到辅助函数()()(12)()F x f x x f x '=--显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔中值定理的条件证：令1()()(12)(),0,2F x f x x f x x ⎡⎤'=--∈⎢⎥⎣⎦则()F x 在闭区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续；在开区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导；且11111(0)(0)(10)(0)(0)(0)0,()()(12)()()0,22222F f f f f F f f f '''=--=-==-⨯-=-= 即 1(0)()02F F == 所以函数()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点10,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()=0F ξ' 又 ()()(12)2()()F f f f ξξξξξ'''''=---故 ()(12)3()0f f ξξξ'''--=，即 3()()12f f ξξξ'''=- 例1.1.3设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导.试证：至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()lnb f b f a f aξξ'-=，这里0a b << 分析：由原结论⇒()()()()1ln ln (ln )f b f a f x f x b a x x ''-=='- 于是得到辅助函数()ln g x x =显然(),()f x g x 在[],a b 上满足柯西中值定理的条件。

构造辅助函数在解决数学问题中的作用

构造辅助函数在解决数学问题中的作用摘要：构造辅助函数来解决数学中的作用，利用扎实的数学基本知识，并灵活运用来解决实际问题，以提高数学能力。

本文通过一系列的实际例子来呈现构造辅助函数在解决数学问题中的能力，及通过该过程，更加清晰的了解数学、认识数学，从而喜欢上数学。

关键词：构造辅助函数；解决能力；数学问题；数学应用一、概念函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。

这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

构造函数（constructor）是一种特殊的方法。

主要用来在创建对象时初始化对象，即为对象成员变量赋初始值，总与new运算符一起使用在创建对象的语句中。

二、构建辅助函数的研究2.1构造辅助函数求取值范围学生们每次遇到求取值范围的数学习题，样样都会犯难，不知从何入手，也不知道该如何解决，而通过学习构造辅助函数的使用方法，从某个方面来建设一个辅助函数，也很好的解决了这个问题，且解答起来更加直观。

1.例子:(积分)设函数f在区间[0,1]上可微,且满足1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx(其中∫(1/2,0)表示定积分在[0,1/2]上),证明至少存在一点a属于（0，1），使f'(a)=-f(a)/a解答:即af'(a)+f(a)=0注意到左边＝[xf(x)]'|x=a ,转化为证此函数的导函数有零点，当然用罗尔中值定理，只需证明函数有两点值相同即可现在有1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx构造g(x)=∫（x,0）tf(t)dtg(1/2)=1/2f(1)g'(x)=xf(x),则有点b使得g'(b)=[g(1/2)-g(0)]/1/2=f(1)=bf(b) （拉格朗日中值定理）即有一点b，其bf(b)等于1f（1）那么在(b,1)中有点a使[xf(x)]'|（x=a）＝02.例题：已知函数f(x)=log2[ax^2+(a-1)x+1/4],若值域为R，求实数a的取值范围解题：函数f(x)=log2[ax^2+(a-1)x+1/4],若值域为R则真数t=ax^2+(a-1)x+1/4“能够”取遍一切正实数a=0，t=-x+14, 真数t“能够”取遍一切正实数.(至于有非正实数，可以用定义域来限制它）a>0,△≤0,真数t才“能够”取遍一切正实数.(至于有非正实数，可以用定义域来限制它）（3-√5）/2≤a≤（3+√5）/2a<0,真数t不可能取遍一切正实数综上所述（3-√5）/2≤a≤（3+√5）/2 or a=03.例题：求使函数f(x)=x^3+3kx^2-kx-1 没有极值的实数k的取值范围.解题：解题：f'(x)=3x^2+6kx-k方程3x^2+6kx-k=0的解是：x=-k±[√(9k^2+3k)]/3当9k^2+3k<0 ==> -1/3<k<0时，方程没有实根，即f(x)没有驻点，所以没有极值；当9k^2+3k=0，即k=-1/3或k=0时，有唯一驻点x=-k，因为f''(x)=6x+6k,f''(-k)=0；f'''(x)=6≠0，所以x=-k不是极值点，函数没有极值；当9k^2+3k>0时，f(x)有两个驻点：x=-k±[√(9k^2+3k)]/3，因为f''(-k±[√(9k^2+3k)]/3)≠0，都是极值点；所以当-1/3≤k≤0时，函数f(x)没有极值。

微分中值定理中辅助函数的构造及应用

微分中值定理中辅助函数的构造及应用微分中值定理中辅助函数的构造及应用摘要：本文围绕数学分析微分中值定理这一章节的内容，结合作者的实际学习及应用定理的经验，介绍了在学习微分中值定理和解决一些实际问题的过程中，辅助函数的重要作用以及其广泛应用。

关键词：辅助函数微分中值定理1、构造辅助函数构造辅助函数是一种重要的数学思想方法。

无论是在初等数学还是高等数学中都具有广泛的应用。

它属于数学思想方法中的构造法。

所谓构造法，就是在数学解题中．不能直接运用逻辑推理一步—步地导出必要条件而最后得出问题的结论时。

就要跳出原来问题的圈子，从新的角度、用新的观点观察分析，别开生面地依据题设条件的特点，用已知条件中的元素为“原件”，用已知数学关系式为“支架”。

在思维中构造出一种新的数学形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题。

辅助函数是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解。

构造辅助函数是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题。

在我们学习数学分析和应用数学分析的若干定理去解决一些数学问题的时候，经常会发现，构造一个合适的辅助函数，可以起到事半功倍的效果。

尤其是在学习微分中值定理和在利用微分中值定理的相关知识去解决一些实际问题的时候，构造合适的辅助函数就显得尤为重要了。

利用构造辅助函数来证明中值定理是辅助函数用以解决数学命题的精彩典范;通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊（特殊情况先证明），将复杂问题化为简单问题的论证思想在我们学习数学分析或者高等代数时有很深的影响。

2、构造辅助函数的方法综上所述，在微分中值定理的学习及应用的过程中，构造合适的辅助函数不仅可以便于我们理解领会，在某些实际问题的解决上，构造合适的辅助函数去进行证明和计算，往往就能够化难为易，使问题迎刃而解。

参考文献：[1]华东师大数学系，数学分析[M]，高等教育出版社，1999.[2]黄先开.曹显兵.简怀玉，2009年考研数学经典讲义(理工类)，2008.[3]辅助函数在数学分析中的应用一二，张宣，西安文理学院幼儿师范学院，2009.[4]高等数学中辅助函数的构造，蔡凤仙，昭通师范高等专科学校学报，2009.K常数法。

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃兰州 730070）摘要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。

关键词：辅助函数弧弦差法原函数法几何直观法微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。

构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。

但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。

但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。

2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1：设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF即:()()θθθf f -='.证毕2.2 原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:(1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设分析: ()()ξξξf ab f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-= ()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,,故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF亦即： ()()ξξξf ab f '⋅-= 证毕2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。