高中数学人教A版选修4-1学案创新应用第一讲知识归纳与达标验收 Word版含解析

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【高中教学案】4-1：第二讲知识归纳与达标验收 - 2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案

[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而 BE ＝ EC .因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE . 由BD ＝BE ，有CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.[对应学生用书P35]接四边形的判定和性质．[例1] 已知四边形ABCD 为平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F.求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°[解析]由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.[答案] C要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3]如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，P A切⊙O于点A，且P A＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知P A＝3，BC＝1，求⊙O的半径．[解](1)证明：如图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠P AB＝∠OBA＋∠PBA，即∠P AO＝∠PBO.又∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线． (2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵P A ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠P AO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OP A ，∴△APO ∽△DP A . ∴AP DP ＝POP A.∴AP 2＝PO ·DP . 又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－P A 2＝1，即⊙O 的半径为1.圆的切线、到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4] 如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．[解] 设CB ＝AD ＝x ，则由割线定理得：CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)，化简得x 2＋6x －16＝0，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即CD ＝6，CE ＝12.连接AB ，因为CA 为小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，即∠ABE ＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D ＝90°，则CD 2＋DE 2＝CE 2，所以62＋DE 2＝122，所以DE ＝6 3.[例5] △ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作圆，交BC 于D ，O 是圆心，DM 是⊙O 的切线交AC 于M (如图)．求证：DC 2＝AC ·CM .[证明] 连接AD 、OD . ∵AB 是直径，∴AD ⊥BC .∵OA ＝OD ， ∴∠BAD ＝∠ODA . 又AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD .则∠CAD ＝∠ODA ，OD ∥AC . ∵DM 是⊙O 切线，∴OD ⊥DM . 则DM ⊥AC ，DC 2＝AC ·CM .[对应学生用书P43] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( ) A ．2个锐角和2个钝角 B ．1个锐角和3个钝角 C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE ＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ，∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°. 答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32.∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°. 答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )A.2143B.289 C.273D.809解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知， AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ， ∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，∴OH ＝OD 2－DH 2＝ 52－(133)2＝2143.答案：A5.如图，P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，P A ＝32，那么BC 的长为( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理P A 2＝PB ·PC ，所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC . 答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3.在Rt △OMA 中，OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)． ∴MN 与小圆相切．答案：A7.如图，P AB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠P AD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B . ∴△P AD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14.又AD ＝2，∴BC ＝8. 答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若P A ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2.所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立．所以CD 的长的最小值为24 cm. 答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )A.252πB.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵tan ∠BAC ＝34，∴sin ∠BAC ＝35.又∵sin ∠BAC ＝BCAB ，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6.AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ； ③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA . 其中能够成立的有( ) A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD＝________， BCD的长＝________. 解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°，∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°，由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3，∴ BCD 的长为2π3. 答案：60° 120°2π312．(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.答案：513.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与⊙O切于点D，E，F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形OECD是正方形．设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ，所以OP ∥BD ，从而OP ⊥l .因为P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线． (2)连接AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以∠BPD ＝∠BAP . 又∠BPD ＋∠PBD ＝90°， ∠BAP ＋∠PBA ＝90°，所以∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆； (2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2. 证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°. ∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A，E，F，M四点共圆．(2)连接CB，由A，E，F，M四点共圆，得BF·BM＝BE·BA.在Rt△ACB中，BC2＝BE·BA，AC2＋CB2＝AB2，∴AC2＋BF·BM＝AB2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP交圆于E，C两点，PD 切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

人教A版高中数学选修4-1 本讲整合1 (共20张PPT)

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专题归纳
高考体验
【例1】如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的 ��2 平行线,与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则 ��· �� = .
解析:延长CK,BA,设它们交于点H,
因为 KO∥HB,
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专题归纳
高考体验
专题二:相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 2.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似. (2)两角对应相等的两个三角形相似. (3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边对应成比例的两个三角形相似.
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专题归纳
高考体验
1 变式训练1如图,已知AE∥BF∥CG∥DH,AB= BC=CD ,AE=12, 2
DH=16,AH交BF于M,求BM和CG的长.
�� 1 �� = , = . �� 4 �� 1 所以 = ,即 BM=4.取 BC 16 4
�� 同理可得�� = ��, �� 2 2 所以�� = ��,即 KO =KE· KF,故��· =1. ��

高中数学人教A版选修4-1配套课件1章本讲归纳整合

等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念
从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正
射影，简称射影．一般地，一个点集(如线段或其他几何图形 )中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影．如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段．
(1)证明 ∵∠BDE＝60° ，∴∠ADB＝60° ＋∠DBC，∠DEC＝60° ＋∠DBC， ∴∠ADB＝∠DEC，又∵∠A＝∠C＝60° ，∴△DEC∽△BDA. DC EC (2)解 ∵△DEC∽△BDA，∴ BA ＝DA. x 6－y 1 2 ∴ ＝，即 y＝ x －x＋6 (0<x<6)． 6 6－x 6
和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相
似．即：三边对应成比例，两三角形相似．
利用本定理可以证明相似三角形的判定定理．
(4)直角三角形相似的判定定理
定理 1 ：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相
似．定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
(3)相似三角形判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角
与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即：
两角对应相等，两个三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个三角形相似．即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边
1 9 2 配方得 y＝ (x－3) ＋， 6 2 9 ∴当 x＝3 时，y 最小＝， 2 9 即 D 为 AC 的中点时，BE 最短，其长度为2. 3 3 在△BDE 中，BE 边上的高为 4 ×6＝2 3. 1 9 3 27 3 ∴S△BDE＝2×2×2 3＝ 8 .

高中数学全册教案新人教A版选修4-1

高中数学选修4-1全套教案一平行线分线段成比例定理教学目的：1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。

教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。

教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。

教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。

教学过程：（一）旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。

1．求出下列各式中的x ：y 。

（1）3x =5y ；（2）x=y 32；（3）3：2=γ：χ；（4）3：χ=5：γ。

2．已知γχχγχ+=求,27。

3．已知zy x z y x z -+++==32,432求γχ。

其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。

（二）新知识的教学1．提出问题，使学生思考。

在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E 是AB 中点，EF//BC ，交AC 于F 点，则AF=FC ）使学生观察，并予以分析而得出11==FC AF EB AE ，并指出此定理也可谓：如果E 是△ABC 的AB 边上一点，且11=EB AE ，EF//BC 交AC 于F 点，那么11==FC AE EB AE 。

2．引导学生探索与讨论。

就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但EB AE 不等于11，譬如EB AE =32时，FCAF应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。

而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。

高中数学人教A版选修-创新应用教学案：第一讲第节第课时圆的极坐标方程含答案

2
角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键．
1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连接 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程．
解：
以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．设定圆 O 的半径为 r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝ |PA|2.由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcos θ，|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r －ρ，由此可得 a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2.
π 答案：ρ2－4ρcos (θ－ )－1＝0
3
7． (天津高考 )已知圆的极坐标方程为 ρ＝ 4cos θ ，圆心为 C, 点 P 的极坐标为
( )π
4， 3 ，则|CP|＝________．解析：圆 ρ＝4cos θ的直角坐标方程为 x2＋y2＝4x，圆心 C(2，0)．点 P 的直角坐标为
构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除
以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注
意对变形过程的检验．
( )π
3．把极坐标方程 ρcos θ－ 6 ＝1 化为直角坐标方程．
π
3
1
解：由 ρcos (θ－ 6 )＝1 得
(3)ρcos2 ＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝
2
2－cos
θ.
[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 y2＝4x，

数学人教A版选修4-1学案课堂导学第一讲第五节直角三角形的射影定理 Word版含解析

课堂导学
三点剖析
一、射影定理解决有关计算问题
【例】如图△中,∠°是斜边上的高,则△∶△等于( )
图
∶∶∶∶
思路分析：∵△与△同高,∴.
又∵··,
∴.
∴.
答案
温馨提示
射影定理的使用,使问题的解决非常简捷,在使用时要切实注意线段间的关系,有时与勾股定理以及面积等其他性质结合.
二、利用射影定理证等积式
【例】△中,∠°⊥于,作⊥于⊥于.
求证:()··;
()··.
图
证明：()在△中,
∵⊥,
∴·.
在△中,∵⊥,
∴·.
∴··.
()在△中,
∵⊥,∴·.∴.
在△中,∵⊥,
∴·.∴.
∴····
(·)·.①
又∵在△中·,②
△··,
∴.③
将②③代入①得···.
三、射影定理的其他应用
【例】在△中,∠°⊥于△△·△,求证.
图
证明:∵△△·△,
∴.
∴,即.
∴·.
又∵·,
∴.
∴.
各个击破
类题演练
在直角三角形中,斜边上的高为,且把斜边分成∶两段,则斜边上中线的长为()
解析：如图为△斜边上的高为中线.。

人教A版2019高中数学选修4-1教学案：第一讲一平行线等分线段定理_含答案

一平行线等分线段定理[对应学生用书P1]1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′(如图)，如果AB ＝BC ，那么A ′B ′＝B ′C ′.[说明](1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论[对应学生用书P1][例1] 已知如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，l ，l ′分别交l 1，l 2，l 3，l 4于A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，AB ＝BC ＝CD .求证：A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝BC ， ∴A 1B 1＝B 1C 1.∵直线l 2∥l 3∥l 4且BC ＝CD ， ∴B 1C 1＝C 1D 1， ∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．已知：如图，l1∥l 2∥l 3，那么下列结论中错误的是( ) A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝12FH 可得CD ＝DE解析：OB 、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段．答案：B2．如图，已知线段AB ，求作线段AB 的五等分点．作法：如图，(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上依任意长顺次截取AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ；(3)连接HB ；(4)过点G ，F ，E ，D 分别作HB 的平行线GA 1，F A 2，EA 3，DA 4，分别交AB 于点A 1，A 2，A 3，A 4.则A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的五等分点．证明：过点A 作MN ∥HB ，则MN ∥DA 4∥EA 3∥F A 2∥GA 1∥HB . 又AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，∴AA 4＝A 4A 3＝A 3A 2＝A 2A 1＝A 1B (平行线等分线段定理)．[例2] 交AD 的延长线于E .求证：AG ＝2DE .[思路点拨] AF ＝FC ，GF ∥EC →AG ＝GE →△BDG ≌△CDE →AG ＝2DE [证明] 在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE .故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ，因此AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 又因为AB ∥DC ，OE ∥AB ，所以DC ∥OE ∥AB . 又因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F . 求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于G .在△BCF 中，D 是BC 的中点， DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点．即CG ＝GF .在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ， ∴F 是AG 的中点．即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .[例3] 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD的中点，求证： AM ＝BM .[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥EM ∥BC .又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∵ME ⊥AB ，∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，∴M 为CD 的中点．6．已知：如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点A ，B ，C ，D ，O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，D ′，O ′；求证：A ′D ′＝B ′C ′.证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵AA ′⊥a ，OO ′⊥a ，CC ′⊥a ， ∴AA ′∥OO ′∥CC ′.∴O ′A ′＝O ′C ′. 同理：O ′D ′＝O ′B ′.∴A ′D ′＝B ′C ′.[对应学生用书P3]一、选择题1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF ＝2 cm ，则AB ＋CD 等于( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm解析：由梯形中位线定理知EF ＝12(AB ＋CD )，∴AB ＋CD ＝4 cm. 答案：D2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . 又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点，即BF ＝FD .又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .答案：A3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm.∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm. 答案：A4．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE＝12×5×24＝60 (cm 2)．答案：D 二、填空题5．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析：直接利用平行线等分线段定理．答案：326.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，则AC ＝3EG ＝6(cm)．由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm)．答案：6 cm 5 cm7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝2 2 cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________cm 2.解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ，所以EF 为梯形ABCD 的中位线，所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半，所以S 梯形ABCD ＝4S △EGF ＝4×2 2 ＝82(cm 2)．答案：8 2 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE 、CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点．证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF .即F 是CD 的中点．9．如图，先把矩形纸片ABCD 对折后展开，并设折痕为MN ；再把点B 叠在折痕线上，得到Rt △AB 1E .沿着EB 1线折叠，得到△EAF .求证：△EAF 是等边三角形．证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，所以B1E＝B1F.又因为∠AB1E＝∠B＝90°，所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图，连接BE交AF于O，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BO＝OE.又∵AF∥BC，∴EF＝FC.法二：如图，延长ED交BC于点H，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED，AB∥DH，AB＝ED.又∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE. ∴EF＝FC.。

人教A版2019高中数学选修4-1教学案：第一讲四直角三角形的射影定理_含答案

四直角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书P14][例1]如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨]在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解]∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，∴BC＝BD·AB＝4×29＝229.又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.且AC2＝AB2－BC2，∴AC＝AB2－BC2＝292－4×29＝529.∵CD2＝AD·BD，∴CD＝AD·BD＝25×4＝10.2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25 cm，求CD的长．解：(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD·AB BD·AB＝AC2BC2.∴ADBD＝(ACBC)2＝(34)2＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).[例2]DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨]先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明]∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∴CA·CD＝AD2·BD·AB＝AD·BD·AB，BC·AD＝AD·AB·BD.即CA·CD＝BC·AD.4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A作AH⊥BC于H.则DE∥AH∥GF.∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FC CH . ∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC . 而DE ＝GF ＝EF ， ∴EF 2＝BE ·FC .[对应学生用书P15]一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm解析：如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ， ∴AD AB ＝DEBC， DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28.答案：C2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 答案：C3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)， ∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．答案：B4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t . 又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3. 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．在△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝6，BD ＝12，则CD ＝__________，AC ＝__________，AB 2∶AC 2＝__________.解析：如图，AB 2＝AD 2＋BD 2，又AD ＝6，BD ＝12， ∴AB ＝6 5.由射影定理可得，AB 2＝BD ·BC ， ∴BC ＝AB 2BD＝15.∴CD ＝BC －BD ＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC 2＝CD ·BC ， ∴AC ＝3×15＝3 5. ∴AB 2AC 2＝BD ·BC CD ·BC ＝BD CD ＝123＝4. 答案：3 35 4∶1 三、解答题8．如图：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt △BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ，所以CD 2＝16，因为BD 2＝BE ·BC ，所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， CD ⊥AB ，所以由射影定理可得： CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝1643＝433.9．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且CD 2＝AD ·BD ，求证：∠ACB＝90°.证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠BDC ＝90°. 又∵CD 2＝AD ·BD ，即AD ∶CD ＝CD ∶BD ，∴△ACD ∽△CBD .∴∠CAD ＝∠BCD . 又∵∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠CAD ＝90°.10．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得， DE ＝3x ，BE ＝4x ， ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于F 点， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3，得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ，于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝ 8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ，AC AB∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝EC AE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF .CF CB又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD)2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC .∴BD CE ＝ABAC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD .∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝ABAC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4，即x ＝1(负值舍去)，则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ，即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例．答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13. ∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5， DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10，又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CDDE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ，故∠PCE ＝∠PFC ， ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ，故PC PF ＝PE PC，即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD .∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元． (2)S △ABM S △AMD ＝BM DM ＝BC AD ＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S △DMC ＝40(m 2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S △ABM ＋S △DMC )＝10(元/m 2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第一讲三相似三角形的判定-含答案

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第一讲三相似三角形的判定-含答案相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定[对应学生用书P7]1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．[说明] 1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．2．引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．[说明]对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．[对应学生用书P8][例1]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.[思路点拨]已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.[证明]∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1．如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：△AED 与△AFG 相似，△AED 与△ABC 相似，△AFG 与△ABC 相似．答案：C2．如图，O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC .证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点， ∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，FD ＝12CA .∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA ＝12. ∴△DEF ∽△ABC .3．如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB ，求证：△AEF ∽△ACD .证明：∵DE ∥BC ，∴AC AE ＝AB AD .①∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AF ＝ABAD .②由①②两式得AC AE ＝ADAF ，又∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ACD .[例2] ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .[思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQCP即可．[证明] 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴ADQC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BC PC ＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQ CP ＝2.在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ＝DQCP ＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定．(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似．4．如图，∠C ＝90°，D 是AC 上的一点，DE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC .证明：∵DE ⊥AB ， ∴∠DEA ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠DEA ＝∠C . ∵∠A ＝∠A . ∴△ADE ∽△ABC5．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形．解：∵∠ACE 为公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt △FDC ∽Rt △ACE . 又∠A 为公共角，∴Rt △ABD ∽Rt △ACE . 又∵∠A ＋∠ACE ＝90°，∠A ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ACE ＝∠ABD .∴Rt △FBE ∽Rt △ACE .故共有三个直角三角形，即Rt △ABD ，Rt △FBE ， Rt △FCD 与Rt △ACE 相似.[例3] 如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .[思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB 成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．[证明] ∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CF FB . 又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CF FB .∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EH EB . 又∠GEH ＝∠DEB ， ∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD . ∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．6．如图，△ABC 的三边长是2、6、7，△DEF 的三边长是4、12、14，且△ABC 与△DEF 相似，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝________.AB ( )＝( )EF ＝AC ( )＝________.解析：∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝F . AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. 答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 127.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△F AE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF .证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上， ∴∠DCF ＝∠F ，∠D ＝∠F AE . ∴△CDE ∽△F AE .(2)∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 由△CDE ∽△F AE ，得CD F A ＝DEAE .∴CD ＝F A .∴AB ＝CD ＝AF .∴BF ＝2CD .又∵BC ＝2CD ，∴BC ＝BF .∴∠F ＝∠BCF .8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F .求证：AB AC ＝DFAF.证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点， ∴AE ＝EC ＝ED . ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF . 又∵AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C . ∴∠BAD ＝∠BDF .又∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF ， ∴DB AD ＝DF AF. 又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中，AB AC ＝DBAD ，∴AB AC ＝DF AF.[对应学生用书P10]一、选择题1．如图所示，AD ∥EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中与△BOC 相似的三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据相似三角形的判定定理可得： △OEF ∽△OBC (∵EF ∥BC )； △CHG ∽△CBO (∵HG ∥OB )； △OAD ∽△OBC (∵AD ∥BC )．故与△BOC 相似的三角形共有3个．答案：C2．下列判断中，不．正确的是( )A ．两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B ．斜边和一直角边长分别是25，4和5，2的两个直角三角形相似C ．两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D ．两个等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A 、B 、D 正确．答案：C3．如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( )A.AC AB ＝AD BCB.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CBAC ，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .答案：C4.如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝13，则有( ) A ．△AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD解析：因为∠A ＝∠C ，BC AE ＝CDAD ＝2，所以△AED ∽△CBD . 答案：B 二、填空题5．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AB ，DE ，GF 交于点O ，则图中与△ABC 相似的三角形共有________个，它们分别是____________________．解析：与△ABC 相似的有△GFC ，△OGE ，△ADE . 答案：3 △GFC ，△OGE ，△ADE6．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则AD ＝________，BD ＝________.解析：由题设可求得AB ＝5， ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ， ∴AB AC ＝AC AD .∴AD ＝AC 2AB ＝165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ， ∴AB CB ＝BC BD .∴BD ＝BC 2AB ＝95. 答案：165 957．已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF ＝4，BC ＝5，则DF ＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠F AD ＝∠FDA .又∵∠F AD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ，且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CF A ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BF A . ∴AF CF ＝BFAF. ∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 的中点，E 在AB 的延长线上，且BE ＝AB ，求证：△ADC ∽△ACE .证明：∵D 是AB 的中点，∴AD AB ＝12.∵AB ＝AC ，∴AD AC ＝12.∵ BE ＝AB ，∴AB AE ＝12.又AB ＝AC ，∴AC AE ＝12.∴AD AC ＝AC AE. 又∠A 为公共角，∴△ADC ∽△ACE .9.如图，直线EF 交AB 、AC 于点F 、E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD . ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A ＝∠D .又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE ＝EF CE . ∴AE ·CE ＝DE ·EF .10．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 是∠CAB 的角平分线，CD 与AE 相交于点F ，EG ⊥AB 于G .求证：EG 2＝FD ·EB .证明：因为∠ACE ＝90°，CD ⊥AB ，所以∠CAE ＋∠AEC ＝90°，∠F AD ＋∠AFD ＝90°. 因为∠AFD ＝∠CFE ，所以∠F AD ＋∠CFE ＝90°. 又因为∠CAE ＝∠F AD ，所以∠AEC ＝∠CFE . 所以CF ＝CE .因为AE 是∠CAB 的平分线，EG ⊥AB ，EC ⊥AC ，所以EC ＝EG ，CF ＝EG .因为∠B ＋∠CAB ＝90°，∠ACF ＋∠CAB ＝90°，所以∠ACF ＝∠B .因为∠CAF ＝∠BAE ，所以△AFC ∽△AEB ，AF AE ＝CF EB .因为CD ⊥AB ，EG ⊥AB ，所以Rt △ADF ∽Rt △AGE . 所以AF AE ＝FD EG ，CF EB ＝FD EG.所以CF ·EG ＝FD ·EB ，EG 2＝FD ·EB .2．相似三角形的性质[对应学生用书P11]1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． [说明] 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．[对应学生用书P11][例1] 已知如图，△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，若S△ABC ＝36 cm 2，S △AEF ＝4 cm 2，求sin A 的值．[思路点拨] 由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．[解] ∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝AC AB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴(AE AC )2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k . ∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点．AB ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，若△ADE 和△ABC 相似，且S △ABC ∶S △ADE ＝4∶1，则AE ＝________cm.解析：因为△ADE ∽△ABC ，且S △ABC ∶S △ADE ＝4∶1，所以其相似比为2∶1，即AE AC ＝12或AEAB ＝12，所以AE ＝5或4(cm)．答案：5或42.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23，∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25.∴AE CD ＝25.又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25，又S △AEF ＝8，∴S △CDF ＝50.[例2] 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？[思路点拨] 此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．[解] 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x 米，才能看到水塔．连接FD ，由题意知，点A 在FD 上，过F 作FG ⊥CD 于G ，交AB 于H ，则四边形FEBH ，四边形BCGH 都是矩形．∵AB ∥CD ，∴△AFH ∽△DFG . ∴AH ∶DG ＝FH ∶FG .即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x ∶(x ＋30)，解得x ＝55.2(米)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝200 mm ，高AD ＝300 mm ，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，求这个矩形零件的边长．解：设矩形EFGH 为加工成的矩形零件，边FG 在BC 上，则点E 、H 分别在AB 、AC 上，△ABC 的高AD 与边EH 相交于点P ，设矩形的边EH 的长为x mm.因为EH ∥BC ，所以△AEH ∽△ABC . 所以AP AD ＝EH BC .所以300－2x 300＝x 200，解得x ＝6007(mm)，2x ＝1 2007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007 mm 和1 2007mm.4．已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm ，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积．解：设边长为3 cm,4 cm,5 cm 的三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，因为该三角形为直角三角形，所以R ＝52，且12(3＋4＋5)r ＝12×3×4，即r ＝1.∴S 内切圆＝π(cm 2)，S 外接圆＝π·(52)2＝25π4(cm 2)．又两三角形的相似比为512，∴S ′内切圆＝(125)2S 内切圆＝144π25(cm 2)，S ′外接圆＝(125)2S 外接圆＝36π(cm 2)．[对应学生用书P12]一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC . ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．答案：D2．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( )A ．13和22B ．14和21C ．15和20D ．16和19 解析：由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得．∴周长之比l 1l 2＝34.又l 1＋l 2＝35，∴l 1＝15，l 2＝20，即两个三角形的周长分别为15,20. 答案：C3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：∵△CBF ∽△CDE ，∴BF DE ＝CBCD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.答案：D4．如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( )A ．50 cmB ．500 cmC ．60 cmD ．600 cm解析：图中的两个三角形相似．设屏幕上小树的高度为x cm ，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得x 10＝30＋15030，解得x ＝60 cm.答案：C 二、填空题5．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则这块土地的实际周长是________m ，实际面积是________m 2.解析：这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为1500，则实际周长是12×500＝6 000(cm)＝60 m ；实际面积是6×5002＝1 500 000(cm 2)＝150 m 2.答案：60 1506．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．解析：∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE . ∴BF ∶AE ＝BG ∶GA ＝3∶1. ∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝ADDC＝1. ∴AE ＝CF .∴BC ∶AE ＝2∶1.∵BC ＝10，∴AE ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S矩形ABCD ＝40 cm 2.S△ABE∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ，所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ，则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ·2k ＝40，所以k ＝25(cm)．所以BD ＝5k ＝10 (cm)．AD ＝45(cm)．又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)．答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 中点，E 是AC 上的点，BE 、CD 交于M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于F ，设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC .∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8，∴S 四边形BCDF ＝S △BCE －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，点P沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm /s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么：(1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果无关的结论． (3)当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？解：(1)由题意可知：AQ ＝6－t (cm)，AP ＝2t (cm)．若△QAP 为等腰直角三角形，则AQ ＝AP ，即t ＝2(s)．(2)S 四边形QAPC ＝S 矩形ABCD －S △DQC －S △PBC ＝12×6－12×12×t －12×6×(12－2t )＝72－6t －36＋6t ＝36(cm 2)，结论：无论P 、Q 运动到何处， S 四边形QAPC 都不变，为36 cm 2. (3)①△QAP ∽△ABC ， ∴AQ AB ＝AP BC .∴6－t 12＝2t6. ∴t ＝1.2 s. ②△QAP ∽△CBA ，∴AQ BC ＝AP AB .∴6－t 6＝2t 12.∴t ＝3 s. 即t 为1.2 s 或3 s 时，以Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．。

高中数学人教A版选修4-1学案第1讲 4 直角三角形的射影定理 Word版含解析

四直角三角形的射影定理
．了解射影定理的推导过程．
．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理射影的相关概念
阅读教材“探究”以上部分，完成下列问题．
．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
．线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
．射影：点和线段的正射影简称为射影．
教材整理射影定理
阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．
．文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
．图形语言
如图--，在△中，为斜边上的高，
图--
则有＝·.
＝·.
＝·.
如图--，在△中，⊥，⊥于且＝，则·＝( )
图--
．．
．．不确定
【解析】由射影定理·＝＝＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
. ()求∶的值；
()若＝，求的长．。

高中数学人教A版选修4-1学案创新应用第二讲知识归纳与达标验收 Word版含解析

[对应学生用书]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．．(湖南高考)如图，已知，是⊙的两条弦，⊥，＝，＝，则⊙的半径等于．解析：设，的交点为，由已知可得为的中点，则在直角三角形中，＝＝，设圆的半径为，延长交圆于点，由圆的相交弦定理可知·＝·，即()＝－，解得＝.答案：.(新课标全国卷Ⅱ)如图，是⊙外一点，是切线，为切点，割线与⊙相交于点，，＝，为的中点，的延长线交⊙于点.证明：()＝；()·＝.证明：()连接，.由题设知＝，故∠＝∠.因为∠＝∠＋∠，∠＝∠＋∠，∠＝∠，所以∠＝∠，从而＝.因此＝.()由切割线定理得＝·.因为＝＝，所以＝，＝.由相交弦定理得·＝·，所以·＝.．(新课标全国卷Ⅱ)如图，为△外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且·＝·，，，，四点共圆．()证明：是△外接圆的直径；()若＝＝，求过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.解：()证明：因为为△外接圆的切线，所以∠＝∠，由题设知＝，故△∽△，所以∠＝∠.因为，，，四点共圆，所以∠＝∠，故∠＝∠＝°.所以∠＝°，因此是△外接圆的直径．()连接，因为∠＝°，所以过，，，四点的圆的直径为.由＝，有＝.又＝·＝，所以＝＋＝.而＝·＝，故过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为.[对应学生用书]内接四边形的判定和性质．[例]已知四边形为平行四边形，过点和点的圆与、分别交于、.求证：、、、四点共圆．[证明]连接，因为四边形为平行四边形，所以∠＋∠＝°.因为四边形内接于圆，。

高中数学人教A版选修4-1课件：本讲整合3

提示:本题综合考查了圆锥曲线的定义、几何性质(焦点、顶点、中心、准线、离心率),只要画出平面示意图是比较容易求解的.
��1 ��2
= �� , 其中��是椭圆的离心率,
知识建构
专题一专题二
综合应用
解析:如图,设 l 是椭圆的准线,焦距为 2c,长轴长为 2a.
知识建构
专题一专题二
综合应用
应用1
如图,点O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,点E为面BCC1B1的中心,点F为B1C1的中点,则空间四边形D1OEF在该正方体的面上的正射影可能是 .
知识建构
专题一专题二
综合应用
提示:要画出四边形D1OEF在该正方体各个面上的正射影,只要画出四个顶点D1,O,E,F在每个面上的射影,再顺次连接即得在该面上的射影. 解析:在面DCC1D1上的射影是图①;在面BCC1B1上的射影是图②; 在面ABCD上的射影为图③. 答案:①②③
本讲整合
-1-
知识建构
综合应用
知识建构
专题一专题二
综合应用
专题一正射影问题正射影的要求较平行射影要高,在以前的学习中也有一定的介绍, 要求会作出某个图形在平面上的正射影(尤其是在三视图中更明显),而平行射影只要求了解即可.常与简单几何体相联系,在选择题、填空题、解答题中均有可能出现,预计将来还会保持这种形式. 画出一个图形在一个平面上的射影的关键是确定该图形的关键点如顶点等,画出这些关键点的射影,再依次连接即可得,此图形在该平面上的射影.如果对平行投影理解不充分,对该类题目容易不知所措.避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义,借助于空间想象来完成.

数学人教A版选修4-1学案课堂探究第一讲四直角三角形的射影定理 Word版含解析

课堂探究探究一与射影有关的计算问题在利用直角三角形的射影定理求解线段的长度时，往往需要创造应用射影定理的条件，即构造垂直关系，可以构造直角三角形，也可以构造垂直关系．【典型例题】如图，在△中，，分别在，上，且⊥，⊥，＝＝＝，求.思路分析：由题意可得，△是直角三角形，为斜边上的高线，是直角边在斜边上的射影，为所求，已知＝＝，即△是等腰三角形．因此，可以过作⊥.由于，均垂直于，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得.解：在△中，设＝.∵⊥，⊥，又＝，根据射影定理，得＝·，即＝.再由射影定理，得＝·＝(－)·，即＝－.∴＝.在△中，过作⊥于.∵＝＝，∴＝.又∵⊥，∴∥.∴＝.∴＝＝.在△中，∵＋＝，即＋＝，∴＋＝.整理得＝.∴＝.∴＝.点评本题在直角三角形中两次利用射影定理找到边之间的关系，最后再利用勾股定理求解．探究二与射影定理有关的证明问题利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见，在解题过程中，应弄清射影定理中成比例的线段，再结合比例的基本性质加以灵活运用．【典型例题】如图所示，∠＝°，⊥，△，△是正三角形．求证：⊥.思路分析：由于图中所给的等角比较多，则转化为证明∠＝°，即只需证∠＋∠＝°.又⊥，则只需证明∠＝∠，从而转化为证明△∽△.证明：∵∠＝°，⊥，∴＝·，即＝.又∠＝∠，∴△∽△，∴＝.又＝，＝，∴＝，即＝.又∠＝∠，∠＝°＋∠，∠＝°＋∠，∴∠＝∠.∴△∽△.∴∠＝∠.∴∠＝∠＋∠＝∠＋∠.又∵⊥，∴∠＋∠＝°.∴∠＝°.∴⊥.规律总结证明与直角三角形有关的问题时，常用到射影定理来构造出比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．探究三易错辨析易错点：射影定理应用有误【典型例题】若是△的斜边上的高，＝，＝，试确定和的长．错解：∵⊥，⊥，∴由射影定理得＝·＝×＝，∴＝.∴＝－＝－，又＝·＝(－)×＝－＝(－)，∴＝.错因分析：用错了射影定理，应该为＝·.正解：∵⊥，⊥，由射影定理可知，＝·，＝·，。

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲知识归纳与达标验收

[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE . 由BD ＝BE ，有CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.[对应学生用书P35]接四边形的判定和性质．[例1]已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆．[证明]连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2]如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°[解析]由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.[答案] C要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，P A 切⊙O 于点A ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知P A ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB . ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA . ∵P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠PBA . ∴∠OAB ＋∠P AB ＝ ∠OBA ＋∠PBA ，即∠P AO ＝∠PBO .又∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AO ＝90°. ∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线． (2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵P A ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠P AO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OP A ，∴△APO ∽△DP A . ∴AP DP ＝POP A.∴AP 2＝PO ·DP . 又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－P A 2＝1，即⊙O 的半径为1.圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4]如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解]设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5]△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明]连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( ) A ．2个锐角和2个钝角 B ．1个锐角和3个钝角 C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE ＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ，∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°. 答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32.∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°. 答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )A.2143B.289 C.273D.809解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知， AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ， ∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－(133)2＝2143.答案：A5.如图，P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，P A ＝32，那么BC 的长为( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理P A 2＝PB ·PC ，所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC . 答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3.在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切．答案：A7.如图，P AB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠P AD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B . ∴△P AD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14.又AD ＝2，∴BC ＝8. 答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若P A ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2.所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立．所以CD 的长的最小值为24 cm. 答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )A.252πB.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°， ∵tan ∠BAC ＝34，∴sin ∠BAC ＝35.又∵sin ∠BAC ＝BCAB ，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6.AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ； ③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA . 其中能够成立的有( ) A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°，∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°，由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3，∴BCD 的长为2π3.答案：60°120°2π312．(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.答案：513.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与⊙O切于点D，E，F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，∴四边形OECD是正方形．设BF＝x，则BE＝x.∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD ，求证：(1)l 是⊙O 的切线；(2)PB 平分∠ABD .证明：(1)连接OP ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以AC ∥BD .又OA ＝OB ，PC ＝PD ，所以OP ∥BD ，从而OP ⊥l .因为P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线．(2)连接AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以∠BPD ＝∠BAP .又∠BPD ＋∠PBD ＝90°，∠BAP ＋∠PBA ＝90°，所以∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

高中数学人教A版选修4-1课件：本讲整合1

=
�� , 只需证明△AMD∽△EMA ��
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点, ∴AM=CM,∴∠MAC=∠C. ∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°. 又∵∠BAM+∠MAC=90°, ∴∠E=∠BAM. ∵∠EMA=∠AMD, ∴△AMD∽△EMA.
知识网络
专题一专题二专题三
专题归纳
高考体验
证明 :∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE. ∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠ CAE,
∴△CPQ∽△CEA.∴ �� = ��.
同理可得
��
��
�� ∴ = . ��
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专题一专题二专题三
专题归纳
高考体验
专题一证明等积线段或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式,是解决这类问题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步: (1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似. (2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.
= 2��
专题归纳
高考体验
证明:过点 C 作 CF∥AB 交 ED 于点 F.∴
��
=
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高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案第一讲章末小结与测评 Word版含答案

()利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的轴，轴(坐标原点)．()坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．舰在舰正东，距离，舰在舰的北偏西°，距离，它们准备围捕海洋动物，某时刻发现动物信号，后，、同时发现这种信号，于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为 .空气阻力不计，求炮击的方位角．[解]如图，以为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则(－，)，(，)，(－，)．设动物所在位置(，)，在中垂线上．∵＝＝－，中点(－，)，∴的中垂线方程为－＝(＋)．即＝(＋)．①∵－＝＜＝，∴在双曲线－＝②的右支上．由①②得(，)，设∠＝α，则α＝，∴α＝°.∴炮弹发射的方位角为北偏东°.设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：（λ＞），′＝μ·（μ＞）))的作用下，点(，)对应点′(′，′)称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线(′－)＋(′＋)＝，求曲线的方程，并判断其形状．[解]将代入(′－)＋(′＋)＝中，得(－)＋(＋)＝.化简，得＋(＋)＝.该曲线是以为圆心，半径为的圆.()在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程(ρ，θ)＝，如果曲线是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程(ρ，θ)＝为曲线的极坐标方程．()由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．()求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意。

高中数学人教A版选修4-1 (1)

若像例1中那样用矩阵M＝表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】矩阵M＝表示由点(0,0)，(1,2)，(3,2)，(2,0)四个点构成的一个平行四边形. 用矩阵表示实际问题某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A、B、C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A、B、C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．【思路探究】求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素．【自主解答】设甲、乙两个矿区分别向A，B，C三个城市的送煤量组成行向量±，² ，则 ±＝，² ＝. 故甲、乙两个矿区向A，B，C三个城市的送煤量用矩阵表示为 .
【解】矩阵可以表示为
矩阵相等的确定与应用设A＝，B＝，且A＝B，求p，q，x，y. 【思路探究】利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解．【自主解答】 ∵A＝B， ∴ 得
根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的方程(组)从而求解．
已知矩阵A＝，B＝，若A＝B，试求a，b，c，d的值．【解】因为A＝B，即＝，从而有
1．二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：左乘这样一个二阶矩阵的作用是把向量变成了另一个向量 2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？【提示】由本节的知识点知，一个二阶矩阵可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量表示平面上的点P(x，y)，变成另一个列向量表示的新的点P′(ax ＋by，cx＋dy)．反过来，现有平面上的一个变换T：→，如果＝，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标线性表示出来，这时变换T应为矩阵. 3．矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别．函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.

高中数学人教A版选修4-1学案创新应用第一讲 知识归纳与达标验收 Word版含解析

【高中教学案】4-1：第二讲 知识归纳与达标验收 - 2018数学人教A版选修4-1创新应用教学案

人教A版高中数学选修4-1 本讲整合1 (共20张PPT)

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高中数学人教A版选修-创新应用教学案： 第一讲 第节 第课时 圆的极坐标方程含答案

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