江苏省涟水中学苏教版高中数学必修一学案：2.2函数的单调性(2)

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高中数学苏教版必修一第2章 2.2 2.2.1 第1课时函数的单调性

2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时函数的单调性学习目标：1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2.会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3.会求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．②I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不能．如图所示，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是单调的．[基础自测]1．思考辨析(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．()[解析](1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．函数f(x)的图象如图2-2-1所示，则函数的单调递增区间是____________________．图2-2-1[解析]在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴为增函数．[答案][－1,2]3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________.【导学号：48612078】[解析]由减函数的定义知a＜b.[答案]a＜b[合作探究·攻重难](1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2，x ≥0，x ＋4，x <0.[思路探究] 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0)，递增区间为(0，＋∞)． (2)y ＝－2x 的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间． (3)f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)．1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________.【导学号：48612079】[解析] (1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． [思路探究] 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[解] 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．2．证明函数f(x)＝x2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．[证明]任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1x1－x22＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫x1x2－1x1x2.∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．[1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？[提示]先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x1<x2时，则f(x1)<f(x2)，如果f(x)在D上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示]能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x的取值范围为________．[思路探究] 根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域． [解] ∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，323．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________.【导学号：48612080】[解析] 由题意可得2m ≤9－m ， ∴m ≤3.[答案] m ≤3[当堂达标·固双基]1．已知函数f (x )的图象如图2-2-2所示，则f (x )的单调减区间为________.【导学号：48612081】图2-2-2[解析] 由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________． (1)f (x )＝－1x ＋1；(2)f (x )＝x 2－3x ； (3)f (x )＝3－x ；(4)f (x )＝－|x |. [解析] 函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故(2)(3)(4)错误．[答案] (1)3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________.【导学号：48612082】[解析] ∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数， ∴k －2＜0，∴k ＜2. [答案] k ＜24．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥1，－2x ，－1<x <1，x ＋2，x ≤－1，则f (x )的单调增区间为________．[解析] f (x )为分段函数，当x ≥1时，f (x )单调递增，当x ∈(－1,1)时，f (x )单调递减，当x ≤－1时，f (x )单调递增．[答案] [1，＋∞)，(－∞，－1]5．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)． (1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008). 【导学号：48612083】[解] (1)设1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得 x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。

苏教版--必修1--函数的单调性(学案设计).doc

实例近六届世界杯进球数的表格与年份。

进球数. 1990. 115P 1994. 137〃 199& 171. 2002『 161P 2006. 147。

2010. 145^实例某国某地某天的气温变化曲实例函数的图(1)/(x)=x+l (2)/"(工)=工第二章函数(4)函数的单调性一、学习目标: 1、理解增函数和减函数的定义 2、会利用定义证明函数的单调性 3、了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象写出的单调区间二、学习过程:1、【实例探究】问题1：实例1中随着年份的变化，进球数有什么变化；实例2中随着时间的变化，温度有什么变化；实例3中随着自变量x 的变化，因变量》有什么变化? 问题2：怎样用数学语言描述“随自变量X 的增大，因变量y 不断增大”和“随自变量X 的增大，因变量y 不断减小” 2、【构建新知】(1)单调性的通俗定义:单调遂增函数单调遂覆函数y图象1 1F图象特征从左到右，图象上升从左到右,图象下降正y随x的瑁大而增大y随x的增大而减小(2)单调性的经典定义:三、例题分析：例1、下图是定义在[-5,5]±的函数y = /(%)的图象，根据图象说出函数y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y = /(x)是增函数还是减函数。

四、巩固练习：1、函数/(%) =| %| (% e R)的增区间为函数/(x) =\X\(XE[-2,3])的增区间为2、函数/(%) = %2 + 2x-3(xe R)的减区间为3、求证：函数/(%) = --在区间(-3,0)上是单调增函数XX + ]4、用定义证明f(x) =——在(l,+oo)上是减函数x-15、用定义证明/(%)=A/^(%>0)在定义域上是增函数五、小结：用定义法证明函数单调性的步骤:1、取值:设任意玉、切属于给定区间，且X] < X?；2、作差运算：/■(>])—f(X)= ....注意：①运算的常用公式:平方差公式、立方和立方差公式%1运算的常用技巧:提取公因式、四项两两结合、通分、分母有理化等%1运算要彻底，3、定号:确定/(%[)-/(%2)的正负号；4、下结论：由定义得出函数的单调性。

江苏省淮安中学高一数学《函数的单调性》学案(2)

江苏省淮安中学高一数学《函数的单调性》学案（2）教学目的：使学生巩固函数单调性的概念，会判断函数的单调性。

教学重点：函数单调性的概念及判定教学难点：较复杂函数、含参量函数、复合函数单调性的判断教学内容：函数的单调性课前准备：教学过程：一、导入二、课前预习检查、作业订正讲评三、新授 1、复习回顾（1）单调增函数、单调减函数的概念,判断函数单调性的步骤（2）下列函数的单调性如何?(1)b mx y += (2)xk y = (3))0(2≠++=a c bx ax y .2、例题选讲例1.(1)判断函数xx f 11)(-=的单调性;(2)分别写出函数x x x g xxx f -+=+-=1)(,432)(的单调区间.例2.求函数x x y --=1的最大值.变式:求函数x x y -+=1的最大值.例3. 根据函数图象,写出下列函数的单调区间，并讨论最值。

(1)32)(2++-=x x x f ; (2)|32|)(2++-=x x x g ; (3)3||2)(2++-=x x x h例4. 已知函数)(x f y =的定义域是b c a b a <<],,[.当∈x ],[c a 时,)(x f 是单调增函数;当],[b c x ∈时,)(x f 是单调减函数.试证明)(x f 在c x =时取得最大值.3.填表:(其中)(x g 的值域是)(x f 定义域的子集))(x f y = )(x g y = )]([x g f y =利用例5（1）21y x= （2）234y x x =+- 例5.（选讲题1）探索函数xx x f 1)(+=的单调性,并求此函数在1[,5]2上的值域.例6.（选讲题2）设22)(2+-=ax x x f ,当),1[+∞∈x 时,0)(≥x f 恒成立, 求a 的取值范围.四、课堂小结、学生活动总结和回顾：较复杂函数、含参量函数、复合函数单调性的判断五、板书设计六、教后记七、课外作业班级：姓名：学号：成绩：填空题：1.函数b x a x f +-=)1()(在R 上是减函数,则a 的取值范围是。

苏教版数学高一苏教版必修1学案函数的单调性第2课时

第2课时函数的最值1．理解函数最值的定义，知道最值是函数定义域上的一个整体性质．2．会求一些简单函数的最值．3．了解函数最值与函数单调性的关系．1．最大值一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y ma x＝f(x0)．【做一做1】函数y＝－x2＋5的最大值为________．答案：52．最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．【做一做2】函数y＝3x＋1，x∈［1,4］的最小值为________．答案：43．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．(1)函数的值域是指函数值的集合．函数最大(小)值一定是值域中的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值．(2)函数的值域和最值既有区别又有联系．一般来讲，对于图象是连续不断的函数，知道函数在定义域上的最大值和最小值，可知函数的值域，而知道了函数的值域，不一定能确定最值．【做一做3－1】函数y＝－3x＋1，x∈［－2,3］时的值域是__________．解析：当x∈［－2,3］时，y ma x＝－3×(－2)＋1＝7，y min＝－3×3＋1＝－8．答案：［－8,7］【做一做3－2】函数y＝－x2－4x＋1，x∈［－3,3］的值域是__________．解析：y＝－(x＋2)2＋5，当x＝－2时，y有最大值5；当x＝3时，y有最小值－20．答案：［－20,5］求函数最值的三种方法剖析：(1)作出函数的图象，从图象直接观察可得最值；(2)求出函数的值域，其边界值即为最值，此时要注意边界值能否取到(即是否存在)的问题；(3)由函数的单调性求最值．①最大值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调增函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调减函数，则f(x)在x＝c时取得最大值．②最小值：已知函数y ＝f (x )的定义域是［a ，b ］，a ＜c ＜b ，当x ∈［a ，c ］时，f (x )是单调减函数；当x ∈［c ，b ］时，f (x )是单调增函数，则f (x )在x ＝c 时取得最小值．题型一函数的最值【例1】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当x ∈［－1,3］时，y ma x ＝5，y min ＝－3．试求函数解析式．解：若k ＞0，则由条件得⎩⎨⎧－k ＋b ＝－3，3k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝－1，y ＝2x －1．若k ＜0，则由条件得⎩⎨⎧3k ＋b ＝－3，－k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝3，y＝－2x ＋3．反思：因一次函数y ＝kx ＋b 的单调性由k 来确定，所以当x ∈［m ，n ］时，y 的最值应根据k 来确定，若k ＞0，则y ∈［km ＋b ，kn ＋b ］；若k ＜0，则y ∈［kn ＋b ，km ＋b ］．【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈［－1,1］，求函数f (x )的最小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且开口向上，如图，当a ＞1时，f (x )在［－1,1］上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在［－1,1］上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在［－1,1］上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a ．综上，可知f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a >1，2－a 2，－1≤a ≤1，3＋2a ，a <－1.反思：求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解．运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题．题型二含参不等式恒成立问题【例3】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈［1，＋∞)，(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈［1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．分析：问题(1)中，由a ＝12可确定函数解析式，由函数的单调性可确定最值；问题(2)为恒成立问题，常结合函数性质，合理构建．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2是［1，＋∞)上的任意两个值，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)12112x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2x 1x 2＞2,0＜12x 1x 2＜12，所以1－12x 1x 2＞0．又x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间［1，＋∞)上为增函数，则f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72．(2)方法一：在区间［1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x＞0恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈［1，＋∞)．则y ＝(x ＋1)2＋a －1在区间［1，＋∞)上递增，所以当x ＝1时，y min ＝3＋a ．于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3．方法二：f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈［1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，当a ＜0时，函数f (x )递增，故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3．反思：求函数的最值，先求函数的定义域．函数的最值及值域经常与函数的单调性联系在一起，所以有时先求函数单调性再根据单调性求函数最值．不等式f (x )≥a 恒成立的条件是f (x )min ≥a ，f (x )≤a 恒成立的条件是f (x )ma x ≤a ．题型三最值的应用【例4】某工厂拟建造一座平面图如图所示为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且无池盖)．求污水处理池的长和宽各为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．解：设污水处理池的长为x 米，0＜x ≤16，则宽为200x 米，0＜200x≤16．根据题意，总造价为y ＝400×2×200(+)x x ＋248×2×200x＋80×200＝800×324(+)x x＋16 000．由0<16,2000<16,x x ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得定义域为［12．5,16］．∵函数y ＝800×324(+)x x＋16 000在［12．5,16］上是单调减函数，∴当x ＝16时，y 取最小值为45 000．故当污水处理池的长为16米，宽为12．5米时，总造价最低，最低总造价为45 000元．反思：在利用函数的单调性处理有关实际问题的最值时，一定要注意函数的定义域要使实际问题有意义．1函数f (x )＝3x ＋a ，x ∈［－1,2］的最大值与最小值的差为__________．解析：由题意知f (x )为增函数，最大值与最小值的差为f (2)－f (－1)＝3×2＋a －3×(－1)－a ＝9．答案：92函数f (x )＝11－x (1－x )的值域是__________．解析：因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋34≥34，从而f (x )ma x ＝43．又f (x )＞0，所以f (x )的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦．答案：40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦3以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开(如图)，已知篱笆总长为定值L ，写出场地面积y 为一边长x 的函数，并求出函数的定义域及面积的最大值．解：根据题意，可得y ＝(L －3x )x ，由题意知⎩⎨⎧x ＞0，L －3x ＞0.解得0＜x ＜L3．∴函数y ＝(L －3x )x 的定义域为(0,)3L． ∵y ＝(L －3x )x ＝－3x 2＋Lx＝－32()6L x -＋L 212．∴当x ＝L 6时，y ma x ＝L 212．4若不等式|x －2|＋|x ＋3|≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由f (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝21,2,5,3<<2,21,3,x x x x x +≥⎧⎪-⎨⎪--≤-⎩得其图象如图所示，所以f (x )min ＝5，从而a ∈(－∞，5］．5已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求函数在区间［t ，t ＋2］上的最值．解：f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，作出如图所示的图象，图象的对称轴为x ＝2．①当t ＋2＜2，即t ＜0时，f (x )在区间［t ，t ＋2］上单调递减，所以f (x )ma x ＝f (t )＝t 2－4t ＋3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2－1；②当2≤t ＋2＜3，即0≤t＜1时，f (x )ma x ＝f (t )＝t 2－4t ＋3，f (x )min ＝f (2)＝－1． ③当3≤t ＋2＜4，即1≤t ＜2时，同上可知f (x )min ＝f (2)＝－1， f (x )ma x ＝f (t ＋2)＝t 2－1．④当t ＋2≥4，即t ≥2时，f (x )在区间［t ，t ＋2］上单调递增，所以f (x )min ＝f (t )＝t 2－4t ＋3，f (x )ma x ＝f (t ＋2)＝t 2－1．。

高中数学 “函数的单调性”的教学设计教案苏教版必修1

“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大下降：函数()y f x =随x 的增大而减小师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的．例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略）巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间．解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。

苏教版高中数学必修1《函数的单调性》导学案

1 / 22.2.1 函数的单调性学习目标：1．理解函数的单调性、最大（小）值的概念及其几何特征，；2．会运用定义判断或证明一些简单函数在给定区间上的单调性；3．掌握判断一些简单函数的单调性的常用方法。

学习过程：一、知识梳理二、诊断练习1.已知函数()y f x =是定义在区间I 上的增函数，那么12,x x I ∀∈，且12x x ≠，式子1212()()f x f x x x --的符号为。

（填“正”或“负”） 2函数1-=x x y 的单调减区间是。

3已知函数()y f x =在R 上是增函数，且()()2f m f m >-，则实数m 的取值范围为。

4函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为___________________。

5若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是。

三、问题探究探究一：如何准确地求单调区间例题1. 求下列函数的单调区间（1）2432x x y -+-=（2）)34(log 221-+-=x x y（3）212ln 2y x x x =-- 探究二：如何证明单调性例题2. 已知f (x )＝x x －a(x ≠a )。

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围。

四、课堂小结五、达标检测1函数231xyx-=+在区间(,1)-∞-上是函数。

（填“增”或“减”）2.已知函数1()2axf xx+=+在区间(2,)-+∞上为增函数，则实数a的取值范围是________。

2/ 2。

苏教版高中数学必修一函数的单调性学案(2)

2012高一数学函数的单调性（2）学案学习目标：1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．课前预复习：1．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b＞0，则有下列关系式：（1）f (a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；（2）f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；（3）f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)；（4）f(a)－f(b)＜f(－a) －f(－b)；其中一定正确的有．2．用单调性求函数的最值的要求是什么？问题解决：一、问题情境1．情境．（1）复述函数的单调性定义；（2）表述常见函数的单调性．2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．二、学生活动1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况；三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在x0∈A，使得对任意x∈A， f(x)≤f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．若存在定值x 0∈A ，使得对任意x ∈A ，f (x )≥f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝ f (x 0)．注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y ＝ax 2＋bx －c (a ≠0)，当a ＞0时，函数有最小值；当a ＜0时，函数有最大值．（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y ＝f (x )的定义域是[a ，b ]，a ＜c ＜b ．当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调增函数；当x ∈[c ，b ] 时，f (x )是单调减函数．则f (x )在x ＝c 时取得最大值．反之，当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调减函数；当x ∈[c ，b ] 时，f (x )是单调增函数．则f (x )在x ＝c 时取得最小值．练习反馈：例1、求出下列函数的最小值：（1）y ＝x 2－2x ；（2）y ＝1x，x ∈[1，3]．变式：（1）将y ＝x 2－2x 的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．（2）将y ＝1x的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？跟踪练习：求f (x )＝－x 2＋2x 在[0，10]上的最大值和最小值．例2、求函数f (x )＝x 2－2ax 在[0，4]上的最小值．课堂小结：利用图形，感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．课后巩固：1.已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ．当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调增函数；当x ∈[c ，b ]时，f (x )是单调减函数．试证明f (x )在x ＝c 时取得最大值．变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．2.如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．3.求下列函数的值域：（1）yx∈[0，3]；（2） y＝11x-，x∈[2，6]；（3）y（4）y＝11(1)x x--．学习反思：。

江苏省涟水县高中数学第二章函数2.2.1函数的单调性1学案苏教版

函数的单调性（1）
一、教学重、难点
1．教学重点：函数单调性的判断、证明，会求一些函数单调区间；
2．教学难点：函数单调性的证明
二、新课导航
1．问题展示
（1）2.1.1节开头第三个问题如P37图：气温与时间的函数图像：怎样用数学语言刻画“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I ⊆A.
如果对于，当，时，都有，那么就说是单调增函数，I 称为的。

如果对于，当，时，都有，那
么就说是单调减函数，I 称为的。

（2）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
2．基础测评
（1）2()1f x x =-在(0,)+∞上是单调函数。

（2）()1f x x =+的单调增区间为，单调减区间为。

三、合作探究
活动1 画出下列函数的图像，并写出单调区间:
2(1)2;y x =-+ 1(2)(0).y x x =
≠
活动2 求证：函数1()1f x x
=-
-在区间(),0-∞上是单调增函数.
活动3 P7 6. 7. 8
四、提高拓展
1．指出下列函数的单调区间：（1）x x x f =)( （2）⎪⎩
⎪⎨⎧<≥-=0 x 2,-x -0 x ,2)(x x f
2.求证：函数32)(2+-=x x f 在区间](0,∞-上是单调增函数。

五、知识网点。

苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案函数的单调性(2)

第6课时函数的单调性(2)教学过程一、问题情境引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温θ是关于时间t的函数,记为θ=f(t).提出问题:观察这个气温变化图(如图1),你能求出函数的值域吗?通过观察你还能发现什么?[3](图1)学生从图象上可以看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9℃.从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值-2℃.二、数学建构(一)生成概念问题1如何用数学语言来刻画图1中的“气温于14时达到最大值”、“气温于4时达到最小值”?解可以看出:对于任意的x∈[0,24],都有f(x)≤f(14)=9;对于任意的x∈[0, 24],都有f(x)≥f(4)=-2.问题2如何抽象出函数最大值的定义?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).思考你能仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(minimumvalue)的定义吗?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).(二)理解概念1.函数最大(小)值的定义中的不等式f(x)≤M(f(x)≥M)必须对定义域中的任意x都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质.2.仅满足“对任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)”,不能得出M是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在x0∈I,使得f(x0)=M”.针对这一点,可以举个生活中的例子,如:我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗?3.函数的最大值不一定唯一,比如:这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(160分)的同学有5个,那么这次考试成绩的最大值是多少?显然,最大值是160分,且有五人取最大值.(三)巩固概念问题3“即时体验”中的第2题有最大值、最小值吗?如果有,那么是多少?[4]解根据其函数图象可以发现:该函数没有最大值,但有最小值,最小值是0.三、数学运用【例1】(教材P39例3)函数y=f(x),x∈[-4, 7]的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间.[5](见学生用书课堂本P21)(例1)[处理建议]在学生正确回答完本题后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗?”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆.[规范板书]解观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点(-1.5,-2).所以当x=3时,函数y=f(x)取得最大值,即y max=3;当x=-1.5时,函数y=f(x)取得最小值,即y min=-2.函数的单调增区间为[-1.5, 3],[5, 6];单调减区间为[-4,-1.5],[3, 5],[6, 7].[题后反思]本例是为了让学生体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义,引导学生通过函数的单调性研究最大(小)值,同时要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小.变式(教材P40例5)已知函数y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b.当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数.试证明f(x)在x=c时取得最大值.[处理建议]引导学生逐步应用适当的数学概念及符号语言进行推理和证明.如果学生从“数”的视角回答(利用单调性的定义),教师就引导学生尝试从“形”入手(画出满足题意的一个图象);如果学生从“形”的视角回答,则引导学生再从“数”的角度进行检验.[规范板书]证明因为当x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数,所以对于任意x∈[a,c],都有f(x)≤f(c).又因为当x∈[c,b]时,f(x)是单调减函数,所以对于任意x∈[c,b],都有f(x)≤f(c).因此,对于任意x∈[a,b]都有f(x)≤f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.[题后反思]本题没有涉及具体函数,求这类题目的最值可以从“形”与“数”两个方向切入:利用“形”直观判断,利用“数”具体验证.同时,要让学生体验函数的单调性与函数最值的关系,感受量变和质变的辩证过程,并感受最值的奇异美.【例2】(教材P39例4)求下列函数的最小值:(1)y=x2-2x;(2)y=,x∈[1, 3].(见学生用书课堂本P22)[处理建议]可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法代替数学的严谨性.[规范板书](1)∵y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当x=1时y=-1,∴函数取得最小值-1,即y min=-1.(2)∵对于任意实数x∈[1, 3],都有≥,且当x=3时=,∴函数取得最小值,即y min=.[题后反思]这两个函数的最值也可以通过图象来解决.函数y=x2-2x没有最大值,但可以让学生讨论,看看题目怎样改可以有最大值.变式求函数y=x2-2x+5,x∈[-1, 2]的值域.[规范板书]解y=(x-1)2+4,∵x∈[-1,2],由二次函数图象的性质可知:当x=1时,y min=4;当x=-1时,y max=8.故该函数的值域是[4, 8].【例3】判断函数f(x)=x-,x∈(0,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[6](见学生用书课堂本P22) [处理建议]如果学生不能作出正确的判断,教师可以将题目进行分解,如可以先问:f1(x)=x,x∈(0,+∞)和f2(x)=-,x∈(0,+∞)这两个函数有单调性吗?若学生回答均是单调增函数时,再问:f(x)=f1(x)+f2(x),x∈(0,+∞)的单调性能确定吗?会用定义证明吗?进而引导学生进一步地巩固函数单调性的概念.[规范板书]解f(x)=x-,x∈(0,+∞)是单调增函数.设x1,x2是(0,+∞)内的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-x2-=(x1-x2).∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=x-在(0,+∞)上是单调增函数.[题后反思]本题中的函数f(x)可视作函数y=x和y=-的和函数,这两个函数在(0,+∞)上都是单调增函数,f(x)也是(0,+∞)上的单调增函数.由此可见:如果两个函数在同一区间上都是单调增(减)函数,那么它们的和在该区间上也是单调增函数.变式判断函数f(x)=x2-,x∈(0,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[处理建议]引导学生模仿例3独立完成.[规范板书]函数f(x)=x2-,x∈(0,+∞)是单调增函数.设x1,x2是(0,+∞)内的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2)x1+x2+.∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2+>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=x2-在区间(0,+∞)上是单调增函数.[题后反思]本题中的函数f(x)也可视作函数y=x2和y=-的和函数,这两个函数在(0,+∞)上都是单调增函数,f(x)也是(0,+∞)上的单调增函数.一般地,判断“f(x)=f1(x)+f2(x)”型函数的单调性,可以先分别判断f1(x),f2(x)的单调性,如果f1(x), f2(x)都是单调增函数,则f(x)亦为单调增函数;如果f1(x),f2(x)都是单调减函数,则f(x)亦为单调减函数.*【例4】(根据教材P45第13题改编)已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的x∈G,g(x)∈F,试根据下表中所给的条件,用“单调增函数”、“单调减函数”、“不能确定”填空:f(x)g(x)f(g(x))f(x)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函单调减函数数单调减函数单调增函数[处理建议]对于基础好的班级,教师在学生正确回答后可以“追问”,如:你判断f(g(x))是单调增函数,能用定义证明吗?你判断f(x)+g(x)是单调减函数,能用定义证明吗?怎样证?你能举个具体的函数例子吗?等等.一方面,可以帮助学生巩固概念;另一方面,可以拓展学生的视野,提高学生演绎推理的能力.需要说明的是,这类题目学生初次接触,不宜增加定义域的限制,从而加深难度,要以判断为主.[规范板书]f(x)g(x)f(g(x))f(x)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函数不能确定单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数不能确定[题后反思]①本题是对前两题判断函数单调性的一种归纳,旨在提高学生运用数学符号、利用数学语言的能力,提高学生演绎推理的能力.对于判断函数f(g(x))的单调性,可以采用“换元法”,例如:“已知f(x)是单调增函数,g(x)是单调减函数,求证:f(g(x))是单调减函数.证明:对于y=f(g(x)),设t=g(x),∴y=f(t).设x1,x2∈R,且x1<x2.∵t=g(x)是单调减函数,∴t1=g(x1)>t2=g(x2).∵y=f(x)是单调增函数,∴f(t1)>f(t2),即f(g(x1))>f(g(x2)).∴f(g(x))是单调减函数”.②视情况,还可以让学生判断f(x)·g(x)与的单调性.变式求函数y=的单调区间.[规范板书]解函数的定义域为(-∞,-)∪[,+∞).y=可看成由y=,t=x2-2复合而成的函数.因为t=x2-2在(-∞,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,而y=是单调增函数,所以y=在(-∞,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.即函数y=的单调减区间为(-∞,],单调增区间为[,+∞).四、课堂练习1.求下列函数的最大值、最小值以及值域:(1)y=x2-4x+1;(2)y=x2-4x+1,x∈[3, 4].解(1)∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,∴当x=2时,y min=-3.函数无最大值,值域为[-3,+∞).(2)如图,由图象可知,函数在[3,4]上单调递增,∴当x=3时,y min=-2;当x=4时,y max=1.∴函数的值域为[-2, 1].(第1(2)题)2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是单调减函数,则实数a的取值范围是a≤-3.提示借助图象得-≥4,解得a≤-3.3.若f(x)在R上是单调增函数,且a+b>0,则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).(填“<”、“>”或“=”)提示由a+b>0得a>-b,b>-a,又∵f(x)在R上是单调增函数,∴f(a)>f(-b), f(b)>f(-a),∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).五、课堂小结1.函数最大(小)值及其几何意义.2.求函数最值的一般方法:①对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数,可以先画出其图象,再根据函数的性质来求最值;②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数,可以先判断函数的单调性,再用定义证明,然后利用函数的单调性求出函数的最值.3.熟练掌握函数单调性的其他运用.。

2019-2020学年苏教版高中数学必修一学案：2.2函数的单调性(2)

2019-2020学年苏教版数学精品资料第六课时函数的单调性（2）【学习目标】1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性； 3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．【重点】证明函数单调性的方法；【难点】利用函数的单调性解决一些简单的问题。

【活动过程】活动一：回顾判断或证明函数单调性的步骤1．复习回顾函数单调性的有关知识与方法：2. 判断函数xxx f 1)(在（０，１）的单调性.．3.求证：函数2()1f x xx 在R 上是单调减函数．活动二：函数的最值设函数)(x f y 的定义域为A ，如果存在A x 0，使得对于，都有，则称)(0x f 则称函数)(x f y的最大值，记为；如果存在A x 0，使得对于，都有，则称)(0x f 则称函数)(x f y的最小值，记为。

例1．下列函数的最小值：（1）x2xy2（2）]3,1[x ,x1y（3）y=kx －2 ( k0),]3,1[x 例2．求函数32)(2x xx f 分别在下列区间上的最值：（1）]3,1[x；（2）]1,2(x；（3）[2,]x a ；（4）]2,[t t x 。

变1：函数32)(2x xx f 在区间]2,[tt 上有最大值3，求t 的取值集合。

变2：求函数232)(2xx xx f 在区间]2,1-[上有最小值。

例3．已知函数)(x f 的定义域是b c a b a ],,[，当],[c a x 时，)(x f 是单调增函数，当],[b c x时，)(x f 是单调减函数，试证明)(x f 在c x时取得最大值。

归纳总结：活动三：已知函数单调性，求参数范围例4、若函数2()45f x xmx m 在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数，则实数m 的值为；变1：若函数2()45f x xmx m 在[2,)上是增函数，则实数m 的取值范围为；变2：若函数2()45f x xmx m 的单调递增区间为[2,)，则实数m 的值为．例5、已知函数()y f x 的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f xd f x ，求满足(1)(21)f a f a 的a 的取值范围．变：若函数1)(x axx f 在区间（，1）上是增函数，试求a 的取值范围活动四：求复合函数的单调区间例6、已知函数()f x 是R 上的减函数，2()4g x xx ，求函数()[()]H x f g x 的单调递区间.变1：求函数228)(x x x f 的单调区间。

苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时函数的单调性和奇偶性

第十二课时函数的单调性和奇偶性【学习导航】学习要求：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。

2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。

3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。

【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32.(1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。

思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。

二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。

思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断. 三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) A.4 B.2 C.0 D.不知解析式不能确定四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。

追踪训练1、函数f(x)=x x +-12的值域是( )A.[21，+∞) B.(－∞，21]C.(0,+∞)D.[1,+ ∞)2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A.y=1+x 1B.y=－(x+1)2C.y=xD.y=x 33、设f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1)，求a 的取值范围。

4、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x ∈R 且x≠±1}，若f(x)+g(x)=11-x ，则f(x)=________,g(x)=__________.5、函数f(x)=21xbax ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(21)=52.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t －1)+f(t)<0；。

苏教版高中数学必修一学案：2.2 函数的单调性2

函数的单调性02使用时间【课前检测】1.已知函数y ＝(x －1)2，则x ∈(－1，5)上的最小值为________．2.已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －1)<f (2x －1)，求x 的取值范围．【新课学习】一、学习目标1．函数最值的概念以及一些简单函数的最值的求法2．简单的含参数的最值问题3．函数单调性的应用二、知识构建设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0，使得对于，都有，则称)(0x f 则称函数)(x f y =的最大值，记为；如果存在A x ∈0，使得对于，都有，则称)(0x f 则称函数)(x f y =的最小值，记为．三、典型例题例1 如图是函数(),4,7y f x x =∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．例2 求下列函数的最小值．（1）[]1,1,3y x x =∈ （2）y =kx －2 (k ≠0), ]3,1[-∈x例3 求函数32)(2+--=x x x f 分别在下列区间上的最值：（1）]3,1[∈x ；（2）]1,2(-∈x ；课堂练习1.函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为________，________．2.函数y ＝－x 2＋2x －1在[0，3]上的最小值为________．3.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2的最大值是________．4、已知函数)(x f 在(]0,π上单调递增，且满足()()f x f x -=，则(),(),(2)2f f f ππ--之间的大小关系是_______________________学习反思1、单调函数在闭区间上必存在最大、最小值；2、函数的单调性的应用体现在两个方面：一是由自变量的大小关系可得函数值的大小关系；二是函数值的大小关系可得自变量的大小关系；3、研究函数的单调性，要善于借助函数的图像。

江苏省涟水中学苏教版高中数学一学案：2.2函数的单调性(2)

§13函数的单调性（2）一、教学重、难点1．教学重点:函数单调性的判断、证明2．教学难点：函数单调性的应用二、新课导航1．问题展示（1)函数单调性概念：（2）定义法证明函数单调性：①取值②作差③变形④定号⑤结论(3）常见函数的单调性:①一次函数：()0y kx b k =+≠②二次函数:()20y axbx c a =++≠ ③反比例函数：()0k y k x =≠三、合作探究活动1 (1）已知()()2321f x k x k =-++在R 上为减函数，求k 的取值范围（2）已知()245f x x mx =-+在()2,-+∞上为增函数，在(),2-∞-上为减函数，求m 的值(3）已知()245f x x mx=-+在()2,-+∞上为增函数，求m的取值范围活动2 定义在[]1,4上的函数()f x为减函数,()()1220f a f a--->，求a 的取值范围活动3 判断并证明函数1()f x xx 单调性(小结：函数()af x xx单调性）活动4：求函数228xxy--=的单调区间四、知识网点§13函数的单调性（2)作业班级姓名学号日期得分一、填空题1．已知)(),(x g x f 都是单调函数，如下四个命题中正确的是 ①)(x f 单调递增，)(x g 单调递增,则)()(x g x f -单调递增②)(x f 单调递增,)(x g 单调递减,则)()(x g x f -单调递增③)(x f 单调递减，)(x g 单调递增,则)()(x g x f -单调递减④)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减2．若)(x f 在],[b a 是增函数，对于任意的)](,[212,1x x b a x x≠∈，下列结论中正确的是（1）0)()(2121>--x x x f x f (2）0)]()()[(2121>--x f x f x x。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》2

函数的单调性知识梳理：一、单调性的相关概念1．增函数与减函数的定义：一般地，设函数的定义域为，〔1〕如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是．区间成为函数的〔2〕如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是．区间成为函数的2．用导数定义函数的单调性：题型一、函数单调性的定义的应用例1．判断以下说法是否正确：〔1〕假设定义在上的函数满足，那么函数是上的单调增函数；〔2〕假设定义在上的函数满足，那么函数在上不是单调减函数；〔3〕假设定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，那么函数在上的单调增函数；〔4〕假设定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，那么函数在上的单调增函数．变式判断：在定义域内为减函数根底自测：＝f是定义在[－2，2]上的单调减函数，且，那么实数的取值范围是________．变式拓展〔3〕函数f＝错误!那么不等式fa2－4>f3a的解集为____．变式：函数在定义域上是递增的，假设，比拟与的大小二．证明函数单调性的方法：〔1〕定义法〔2〕导数法1利用函数的单调性定义根本步骤是：错误!-错误!-错误!-错误!2利用导数的根本步骤是：错误!-错误!-错误!题型二、证明函数单调性例2．函数，证明函数在上为增函数三．判断函数单调性的方法：〔1〕利用函数的运算性质：如假设函数为增函数，那么①为增函数；②为减函数；③为增函数；④为减函数．〔2〕利用复合函数判断单调性：两个简单函数的单调性相同，那么这两个函数的复合函数为_________；两个简单函数的单调性相反，那么这两个函数的复合函数为___________规律：“同增异减〞．〔3〕图象法：利用图象进行判断．〔4〕奇函数在两个对称的区间上有________单调性；偶函数在两个对称的区间上有________单调性．〔5〕导数法：假设在某个区间内可导，当__________时，为该区间上的增函数；当_____________时，为该区间上的减函数．题型三、求函数的单调区间【变式拓展】1．函数的单调增区间为___________．〔1〕函数的单调递减区间是．〔2〕求函数的单调区间2函数在区间上是递增的，那么实数的取值范围为__________〔1〕假设函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是___ __．〔2〕函数是上的增函数，那么实数的取值范围是．〔3〕函数＝og2a－1在1,2上单调递增，那么实数a的取值范围为______________．课堂反应：1．函数的单调增区间为______ __．2．假设f＝－2＋2a与g＝错误!在区间[1,2]上都是减函数，那么a的取值范围是____________．3．假设函数的单调增区间是，那么=____________．4．二次函数，假设在区间[]上不单调，那么的取值范围是5．函数, 假设, 那么实数的取值范围6 函数f＝错误!＋5在[－2，＋∞上递增，在－∞，－2]上递减，那么f1＝_______ _．3．函数f＝og2＋错误!，假设1∈1,2，2∈2，＋∞，那么f1_______f2填“>〞或“0且f在1，＋∞内单调递减，求a的取值范围．11．函数〔1〕当时，求函数的值域；〔2〕假设函数在区间上是减函数，求实数取值范围．12．函数假设存在，使得成立，求实数的取值范围．。

2.2.函数的单调性-苏教版必修1教案

2.2.函数的单调性-苏教版必修1教案一、教学目标1.理解函数的单调性概念。

2.掌握函数单调性的判定方法。

3.能够应用函数单调性解决实际问题。

二、教学重点1.函数单调性的定义和判定方法。

2.函数单调性在实际问题中的应用。

三、教学难点1.函数单调性在实际问题中的应用。

2.判定复合函数的单调性。

四、教学准备1.教师准备教案和课件。

2.学生准备笔记和教材。

五、教学过程5.1. 函数单调性概念的引入请学生回顾前面的知识，回答以下问题：•什么是函数的定义域？•什么是函数的值域？•什么是函数的图像？回答以上问题后，引出函数的单调性概念，说明单调性是描述函数变化的一种性质。

5.2. 函数单调性的定义介绍单调递增和单调递减的定义。

并通过图像和表格的形式进行演示。

5.3. 函数单调性的判定方法介绍用导数和数列来判定函数单调性的方法。

并通过例题讲解。

5.4. 函数单调性在实际问题中的应用通过实例讲解函数单调性在实际问题中的应用，如销售收益、消费选择等。

5.5. 判定复合函数的单调性在前面教学的基础上，介绍复合函数单调性的判定方法，并举例说明。

六、课堂练习对前面的知识进行巩固和拓展，设计练习题，帮助学生深入理解函数单调性的概念和判定方法。

七、作业留下一定数量的练习题，以检测学生是否掌握了函数单调性的概念和判定方法。

八、教学后记总结本课中教学的难点、重点和易错点，为下次课的教学做好准备。

同时，了解学生的学习状况，及时做好反馈和调整。