1.5应变协调方程
第2章 应变分析(修改)
因此，如沿径向和环向都有位移，则根据叠加原理可得 式（2－10）。 对于轴对称问题：
u u (r ) ，v 0，则式（ 2－10）的
平面极坐标几何方程为（2－11）
u r ， r
u r ， r
2016/4/5周书敬
u r
u r
（2－11）
对于球对称问题：变形的几何方程为式（2－12）
所以有：
r
1 u r
17
2016/4/5周书敬
第二章 应变分析
其次，假定只有环向位移而没有径向位移:
见图2－7，由于P
点的环向位移v，径向线 段PA移段到了 P A，环 向线段PB移到了 PB ， 则P，A，B三点的位移 分别为：
o
d
r
B
p
x
u v y x
v w z y u w z x
（2－7） 说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y, z )表示夹角变小 ij 0(i, j x, y, z )表示夹角变大
12
第二章 应变分析
所以，正应变和剪应变的表达式为（2－8）：
w 则B点在Z 轴方向的位移为 w1 f 2 ( x dx, y, z ) w dx ， x B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为:
弹性力学公式
2°斜截面上的正应力：
全应力矢量p N 在外法线方向n 上的投影即为斜截面上的正应力σN ：
=r r m n ⋅r r r r r r n
σ=n p n ⋅()()
x y z p i
p j p k li j k ++++(){}{}x T x y z y n p p l p m p n l
m
n p n p ⎧⎫⎪⎪
=++==⎨⎬l zx yx
x ττσ⎫⎧⎟⎞⎜⎛z p ⎪⎪⎩⎭
}){(}{)(n n n m n m
l ij T
z
yz
xz
zy y xy
σστττστ=⎪⎭
⎪⎬⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝=即}
){(}{n n ij T N σσ=（2-15）
j 3°斜截面上的切应力：
全应力矢量p N 在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为：
||n n n p τ=×r r ++216或
2222222()()
n n n x y z x y z p p p p p l p m p n τσ=−=++−（2-16）
τx
σz
4-4、弹塑性力学中常用的简化力学模型44、弹塑性力学中常用的简化力学模型
σ
A B
分析计算有困难
与实际符合较好1、理想弹塑性模型：
o ε
ε
s
σ⎨
⎧>=≤=s
s s
E E εεεσεεεσ当当s
理想弹塑性力学模型
⎩B
σ
1tg −2、线性强化弹塑性力学模型
A
s σ1
E 计算复杂
⎨
⎧>−+=≤=s
s s s E E εεεεσσεεε
σ当当)(1ε
o
E
tg 1−s
ε⎩型
线性强化弹塑性力学模
3、幂强化力学模型：
σ
1
=n 参数少
想弹性模型n A n
<<=εσ1
00
=n 便于分析
理想塑性模型
1.2 应变分量和协调方程
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z) M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
•利用位移和转动分量的全微分，则
d u u x d x u y d y u z d z x d x ( 1 2 x yz ) d y ( 1 2 x zy ) d z
dx xxdx yxdy zxdz
轮换x , y, z，可得du，
dv和dy，dz
如通过积分，计算出
y dx y dy y dz
x
y
z
续的条件是 积分与积分 路径无关
z
0 z
P0 P
z dx z dy z dz
x
y
z
是单值连续的，则问题可证。
根据格林公式
1(xzxy)yz
2 y z y z 1[(uw )(vu)
2yz x zx y
1(wv)x
2x y z x
x 1(xzxy)
x单值连续的必要与充分条件是
材料力学变形协调方程
材料力学变形协调方程
材料力学变形协调方程是描述弹性体或塑性体在外力作用下的变形规律的基本方程。其表达式为：
$$\epsilon_{ij}=\frac{1+\mu}{E}\sigma_{ij}-
\frac{\mu}{E}\delta_{ij}\sigma_{kk}$$
其中，$\epsilon_{ij}$为应变张量，$\sigma_{ij}$为应力张量，$\mu$为泊松比，$E$为杨氏模量，$\delta_{ij}$为克罗内克符号。
此协调方程是材料力学中非常重要的基本方程之一，可以用来求解弹性体和塑性体的变形和应力分布问题。
1.2 应变分量和协调方程
1
2
xy
y
12zy
1212xyzz
z
11 21 31
12 22 32
13 23 33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴 • 应变主轴—— 切应变为0的方向 • 主应变—— 应变主轴方向的正应变
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求
其位移。
• 解：
x
u x
3x
u3x2 f(y) 2
y
v y
2y
vy2g(x)
x
v u yxyf'(y)g'(x)xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
saint-venant应变协调方程
saint-venant应变协调方程
1.圣文南应变协调方程描述了固体材料中应变场的变化规律。
The Saint-Venant strain compatibility equation describes the variation of strain field in solid materials.
2.这个方程是连续介质力学中非常重要的方程之一。
This equation is one of the most important equations in continuum mechanics.
3.它可以被用来分析材料的变形和应变。
It can be used to analyze the deformation and strain of materials.
4.圣文南应变协调方程是基于连续体力学的基本原理推导出来的。
The Saint-Venant strain compatibility equation is derived from the fundamental principles of continuum mechanics.
5.它对力学工程领域有着广泛的应用。
It has a wide range of applications in the field of mechanical engineering.
6.这个方程可以帮助工程师设计和分析结构和材料。
This equation can help engineers design and analyze structures and materials.
应力协调方程
应力协调方程
应力协调方程是固体力学中的重要理论基础之一，它描述了固体内部的应力分布与变形关系。在物理学和工程领域中，研究应力协调方程可以帮助我们理解和解决许多与力学有关的问题。
我们来了解一下什么是应力。在固体力学中，应力是指单位面积上的力。当外力作用于一个物体时，物体内部会产生应力，这些应力会导致物体发生变形。根据牛顿第三定律，物体内部的应力是相互平衡的，即任何一个体积元素内部的应力都是相等且相反的。应力协调方程正是基于这一原理建立起来的。
应力协调方程的一般形式可以表示为：
∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = ρa
∂τyx/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z + fy = ρb
∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂σz/∂z + fz = ρc
其中，σx、σy、σz分别表示x、y、z方向上的正应力；τxy、τxz、τyz分别表示x、y、z方向上的剪应力；fx、fy、fz分别表示x、y、z方向上的体积力；ρa、ρb、ρc分别表示x、y、z方向上的体积密度。
应力协调方程的含义是，对于一个体积元素来说，其受到的外力与其内部应力之和应该等于体积元素的质量与加速度之积。这个方程描述了物体内部应力的平衡关系，可以帮助我们计算物体在外力作
用下的变形情况。
应力协调方程在实际应用中有着广泛的用途。例如，在工程结构设计中，我们可以利用应力协调方程来计算各个构件的应力分布，从而确定结构的稳定性和安全性。在地震工程中，应力协调方程可以用来分析地震作用下建筑物的应力分布，进而评估其抗震性能。在材料科学中，应力协调方程可以用来研究材料的力学性能和变形行为。
应变分量与协调方程
u v dx dx dx dx A ' B ' AB x x AB dx
2
2
u dx dx dx x dx
2
u x x
v 根据小变形假设，x
是微量，故
u v dx dx dx x x
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy 2 2 2 2 yz z v w 同理： y 2 ( ) 2 z y yz z y yz
Venant）方程
2 2 2 z y yz 2 2 y z yz 2 2 2
（Saint
x z xz 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场
a,
A
2
a2
C
4a2
1 b2
1 a2
1
,
b
a, C
4
对于第二类边界条件： 引入应力函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
应力分量：
双调和函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
应力函数的解基本形式： 应力分量：
考虑边界条件：
将两类解相加，即可得到无限大板孔洞周边的应力分布
一些特殊情况
2) As =0, r=a
1 2
2
4
c
os
2
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
-1.00
-2.00 0.00
0.79
1.57
2.36
3.14
Y
r
X
2a
3) As =0, a 0
xx 0 yy xy 0
Kirsh的研究 （1898）
2
Y
r
r
X 2a
The general stress field in dimension less form has the structure:
变形协调方程、应力函数与应变函数注记
变形协调方程、应力函数与应变函数注记
变形协调方程：
变形协调方程是一种衡量和调整物体之间变形和应力差值的力学方程，它是指对对象的变形量达到最大的平衡要求，以便它的变形量保持尽
可能接近某种量标准（有时也称为“理想变形”）。它的本质是要在确
保应力和变形之间是经济而可控的同时满足物体的受力要求，通俗地说，它是用来表示受力和变形之间的匹配关系的，以此来保证对象能
得到较高的结构稳定性。
应力函数：
应力函数是指物体上任何点的应力与该点所处的位置、位移量之间的
函数关系，描述物体处于力学活动状态时各点的应力变化的函数，它
是求解物体受力分布的有力途径，也是识别物体的重要手段。
应变函数：
应变函数是指物体上任何点的应变与该点所处的位置和位移量之间的
函数关系，它可以用来衡量物体变形量的程度，也是物体在力学活动
状态下的变形变化情况的有效函数，作为一种系统的定位物体的有效
方法，可以帮助我们更好地把握物体的力学活动情况。
1.2 应变分量与协调方程
• 由于外部因素 —— 载荷或温度 • 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x ' x u u x, y , z z ' z w w x, y , z y ' y v v x, y , z
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。 • 应变不变量就是应变状态性质的表现
•应力张量——应变张量
公式比较
•应力不变量——应变不变量
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
• 体积应变
i ' j ' nii ' n jj ' ij
1 xz 2 11 12 13 1 yz 21 22 23 2 31 32 33 z
• 应变张量
x 1 ij yx 2 1 2 zx
x 1 xz xy ( ) x 2 y z
材料力学变形协调方程
材料力学变形协调方程
材料力学变形协调方程是材料力学中的一个重要概念，它描述了材料在受力作用下的变形情况。在材料力学中，变形是指材料在受力作用下发生的形状、大小、方向等方面的变化。变形协调方程则是描述这种变形的数学公式。
变形协调方程的基本形式是：
ε = εe + εp
其中，ε表示总变形，εe表示弹性变形，εp表示塑性变形。弹性变形是指材料在受力作用下发生的可逆变形，而塑性变形则是指材料在受力作用下发生的不可逆变形。
变形协调方程的意义在于，它可以帮助我们理解材料在受力作用下的变形机制。通过对变形协调方程的分析，我们可以了解材料的弹性和塑性特性，以及材料在不同受力条件下的变形情况。
在实际应用中，变形协调方程也具有重要的意义。例如，在工程设计中，我们需要对材料的变形进行预测和控制，以确保工程的安全性和可靠性。变形协调方程可以帮助我们计算材料在受力作用下的变形量，从而为工程设计提供重要的参考依据。
材料力学变形协调方程是材料力学中的一个重要概念，它描述了材料在受力作用下的变形情况。通过对变形协调方程的研究和应用，
我们可以更好地理解材料的变形机制，为工程设计提供重要的参考依据。
弹塑性力学2应变分析详解
x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
w dx x
w x
AB dx u dx 1 u
A
o
u
B
x
u u dx x
在分母中 u（
x
x
x
x）与1相比是一个微量，故可以略去，因而
得出，
w
x
9
同理可得： 所以有剪应变：
u
z
zx
u z
w x
同理可得另外两个剪应变 xy， yz 。即有剪应变的表达
式（2－7）
xy
u y
v x
yz
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 二维情况变形协调条件即应变协调方程
将x对y, y对x的二阶导数相加得
2x
y2
2x2y
x3uy2
y3xv2
x2yuyxv2xxyy
即
2x
2y
2x2y
2xy
xy
(3-6)
二维情况下用应变分量表示的应变协调方程
就能保证得到单 值连续的位移函数
2020/7/3
2 2 z yz
x
yz x
xz y
xy z
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 应变分量只确定物体中各点间的相对位置 ➢ 刚体位移不包含在应变分量之中 ➢ 无应变状态下可以产生任一种刚体移动 ➢ 如能正确地求出物体各点的位移函数u、v、w。根据应变位移 方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。 ➢ 因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理 意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调。 因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足， 而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。
2020/7/3
弹性与塑性
弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 ➢ 受力的薄板取出一个微小的正平行六面体 ➢ x和y方向尺寸分别为dx和dy，z方向的尺寸取为一个单位长度.
薄板受力图
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立
➢ 由微分体力矩平衡方程，将得出r=r ，又一次证明剪应力互等
性。因此，二维极坐标系下的平衡微分方程为：
r 1r r r 1 r r r
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-5 应变协调方程
3.5.2 应变协调方程 ➢ 二维情况变形协调条件即应变协调方程
将x对y, y对x的二阶导数相加得
2x
y2
2x2y
x3uy2
y3xv2
x2yuyxv2xxyy
即
2x
2y
2x2y
2xy
xy
(3-6)
变形 状态 分析
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
形变协调方程
形变协调方程
形变协调方程是研究形变规律的基本方程。在高中课本上，它被称为基本变量方程。所谓形变，即指当载荷移动时，不仅可以改变形状而且还会产生各种能量的过程。例如，我们举起手臂，骨骼发生变化，肌肉也会有所收缩，这些都会导致能量消耗。正是这个原因，骨骼才能承受重量，使肌肉得到放松。
方程的一般表达式为： ds=du/dt这里， du为最大形变， ds
为最大载荷， dt为最大速度， du为最大形变和载荷的乘积， t为时间。根据这一关系，可以用公式解答出来。
“整体是由部分组成”，所以每个人都必须首先认识自己的缺点和优点，扬长避短。这样，身体才会越来越好，健康的孩子们开始爱吃饭了！一般孩子挑食，厌食，是由于这几个原因造成的： 1、消化功能差。 2、胃肠道感染疾病，寄生虫。 3、脾胃虚弱或某些慢性疾病。 4、情绪不良，烦躁。 5、摄入量不足。 6、睡眠不佳。 7、过度劳累或长期紧张。 8、精神创伤。
“加热棒”是一种对人体有危害的物品。由于不法商贩经常用这种材料制作热宝，使用时将电源插座直接连接在电源插座上，很容易引起短路事故。我曾经听说过一些学校在课堂上充电的现象，所以建议家长在买回这种电器后立即取下。目前，市场上有很多电源保护器。孩子们应该根据具体情况适当选择。
以上三种原因造成了孩子们厌食症。总之，现在孩子们没有吃的就不想吃。这不仅给孩子带来痛苦，而且影响了孩子的发育。家长朋
友必须注意这个问题，并通过以下方法解决孩子们吃不饱的问题： 1、营养要合理，荤素搭配要均衡。 2、必须教育孩子养成良好的饮食习惯。 3、父母必须掌握正确的烹饪技术，做饭要香，色泽诱人。 4、学会激发孩子的食欲，调动他们的进食兴趣。 5、安排合理的膳食，及时补充足够的营养。只有掌握这些方法，我们才能使孩子们吃得更多，吃得更好，健康成长。俗话说：“不怕不识货，就怕货比货。”孩子们现在需要的是更多的营养，不能挑剔食物。我们必须不断探索科学的饮食方法，促进儿童的健康成长。形变协调方程告诉我们吃东西对我们来说很重要，如果我们想让我们的孩子们有一个良好的身体，那么我们必须知道吃什么，吃多少，怎么吃。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 平衡方程—六个应力分量的三个平衡方程 • 几何方程—6个应变分量与3个位移分量
由六个应变分量求解三个位移分量，其方程 个数多于未知数个数，方程组要么矛盾，要么相 关。由于变形连续，弹性体任意一点的变形必须 受到其相邻单元体变形的约束。 ——应变协调方程—反映应变分量之间的关系
• 例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 • 解：
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式
分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加，可得：
2 y 2 x
x2 y2
2 (v u ) xy x y
2 xy
xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y，
求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
yz xz xy 2 2u
x y z
yz
对x求一阶偏导数，则
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z yz
分别轮换x,y,zБайду номын сангаас则可得如下六个关系式
面
2 y
x 2
2 x
y 2
2 xy
xy
内 2 z 2 y 2 yz 2 y z2 yz
面间
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形 不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新 组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满 足一定的关系。
•应变协调方程
•——圣维南方程
2 x 2 z 2 xz
z2 x2 xz
（Saint Venant）
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
x
u x
3x
u 3 x2 f (y) 2
y
v y
2y
v y2 g(x)
xy
v x
u y
f '(y) g'(x)
xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量之间必 须满足一定的条件。
六个应变分量必须满足一定的条件
应变协调是变形连续的
充要条件
如不满足应变协调条件，则
从数序角度讲，几何方程矛盾 从物理角度看，弹性体会产生割裂或嵌入现象。
下一内容，物理方程与材料常数