1.5应变协调方程

应变协调方程
• 平衡方程—六个应力分量的三个平衡方程 • 几何方程—6个应变分量与3个位移分量
由六个应变分量求解三个位移分量，其方程 个数多于未知数个数，方程组要么矛盾，要么相 关。由于变形连续，弹性体任意一点的变形必须 受到其相邻单元体变形的约束。 ——应变协调方程—反映应变分量之间的关系
• 例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 • 解：
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式
分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加，可得：
2 y 2 x
x2 y2
2 (v u ) xy x y
2 xy
xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y，
求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
yz xz xy 2 2u
x y z
yz
对x求一阶偏导数，则
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z yz
分别轮换x,y,zБайду номын сангаас则可得如下六个关系式
面
2 y
x 2

2 x
y 2

2 xy
xy
内 2 z 2 y 2 yz 2 y z2 yz
面间
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形 不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新 组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满 足一定的关系。
•应变协调方程
•——圣维南方程
2 x 2 z 2 xz
z2 x2 xz
（Saint Venant）
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
x

u x

3x
u 3 x2 f (y) 2

y

v y

2y
v y2 g(x)
xy

v x

u y

f '(y) g'(x)
xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量之间必 须满足一定的条件。
六个应变分量必须满足一定的条件
应变协调是变形连续的
充要条件
如不满足应变协调条件，则
从数序角度讲，几何方程矛盾 从物理角度看，弹性体会产生割裂或嵌入现象。
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