3.2 坐标变换和动态数学数学模型的简化

N3 N2
2 3

代入式（3-37），得
1 1 2 iα 2 i 3 3 β 0 2
1 i A 2 i B 3 iC 2
（3-37-1)
三相—两相坐标系的变换矩阵
（2）转子电流也产生旋转磁场，它和定子旋转磁场相位不同，但稳 态时都是同步旋转的，在空间上不存在垂直关系。
（3）三相异步电动机（鼠笼式）的转子是短路的，只能调节定子电 流。 （4）异步电动机的数学模型至少是一个七阶的模型，其输入量为电 压（电流）和频率，输出量为磁链和转速，是一个多变量系统。在 静止的A、B、C坐标系中，异步电动机的数学模型为时变方程组。
或 iC= iA iB 。代入式（3-38）并整理后得
3 i α 2 i 1 β 2 0 i A i 2 B

2 iA 3 i 1 B 6
CuT Ci= I
式中 I为单位矩阵。 这里对Cu和Ci的选择并没有加任何约束，它们可以是任意的。
（3-35）

在一般情况下，为了使变换阵简单易记，令 Cu = Ci = C 即把电压和电流变换阵取为同一矩阵，则式（3-35）变成 CT C = I 或 CT = C-1 （3-36） 式（3-36）就是坐标变换满足功率不变的约束条件，且取 电压和电流变换阵相同时对变换矩阵的要求，这样的坐标 变换属于正交变换。


q
is iβ iq
φ
ω1
iq cos
d
θ1
φ
id cos
id iα
i d sin

it sin

图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。由于
各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用
三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量

B

N2iβ
60o 60o
N3iB
N2i N3iA

N3iC
C

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相
总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、 轴上的投
影都应相等，
1 1 N 2iα N3iA N3iB cos 60 N3iC cos 60 N3 (iA iB iC ) 2 2 3 N 2iβ N 3iB sin 60 N 3iC sin 60 N 3 (iB iC ) 2

设在某坐标系下的电路或系统的电压和电流向量分别为u和 i，在新的坐标系下，电压和电流向量变成u′和i′，定义新 向量与原向量的坐标变换关系为 Cu u = u′ Ci i = i′ 其中Cu和Ci分别为电压和电流变换阵。 （3-33） （3-34）
当满足功率不变的约束条件时，Cu和Ci的关系为
当两个旋转磁动势大小 和转速都相等时，即认为图b 的两相绕组与图a的三相绕组 等效。

ω1 i

F
i

图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型

T
T
1
it
M
F M im
图c 旋转的直流绕组

再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组 M
2s/2r变换公式

由图可见， i、 i 和 id、iq 之间存在下列关系
iα id cos iq sin
iβ id sin iq cos
ห้องสมุดไป่ตู้
两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵

写成矩阵形式，得
iα cos i β sin sin id id i C2r / 2s i cos q q

写成矩阵形式，得
1 1 i α N 3 2 i 3 β N 2 0 2
1 i A 2 i B 3 iC 2
（3-37）

当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，并考虑变换前 后总功率不变，得 匝数比应为
电流表示，例如 Fs 可以直接标成 is 。但必须注意，这 里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。

M，T 轴和矢量 Fs（is）都以转速1旋转，分量 id、 iq 的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。 但 、 轴是静止的， 轴与 d轴的夹角 随时 间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长短也随时 间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。

令 C3s/2s 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵， 则
C3 s / 2 s
1 1 2 2 3 3 0 2
1 2 3 2
（3-38）

如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有 iA+iB+iC=0，
旋转磁动势的产生

然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外， 二相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多 相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。 不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的 磁动势完全一致。

和 T，其中分别通以直流电流 im 和it，产生合成磁动
势 F ，其位置相对于绕组来说是固定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速 旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁 动势。

把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组 也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察 者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，M 和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。 如果控制磁通的位置在 M 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组M相 当于励磁绕组，T 相当于伪静止的电枢绕组。
现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与 i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。
注意:
在这里，不同电机模型彼此等效的原则是：在
不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
2. 三相--两相变换（3/2变换）

现在先考虑上述的第一种坐标变换—-在三相静 止绕组A、B、C和两相静止绕组、 之间的变换，或 称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称 3/2 变换。
将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式， 分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路 进行的。 根据电机学原理，异步电动机三相绕组的作用，完全可以 用在空间上互相垂直的两个静止的、绕组来代替，如 图3-6所示。由三相ABC轴系变换到两相轴系以产生同 样的旋转磁势为准则，并需要满足功率不变的约束条件。
（一）坐标变换的原则 由机电能量转换的基本原理可知，电动机内气隙磁场是进 行能量转换的媒介，由定子侧输入的能量正是通过气隙磁 场传递到转子的。
在进行坐标变换时，只要能使变换前后产生的气隙基波合 成磁势不变（幅值和空间相位相同），两者就是等效的。 因此，磁势不变是不同坐标系间进行变换的一项基本原则。
等效的概念

由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图a 的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图c中整体旋转 的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的 iA、 iB 、iC，在两相坐标系下的 i、i 和在旋转两相坐标系 下的直流 im、it 是等效的，它们能产生相同的旋转磁动 势。

直流电动机调速性能优异且便于控制是因为其具备以下几个条件：
（1）直流电动机的主磁场由直流励磁电流产生，补偿绕组基本上克 服了电枢反应，所以一般认为其主磁场是一个稳定的直流磁场。
（2）当电刷位于几何中性线上时，电枢磁场与主磁场在空间是垂直 的（互差90电角度），是自然解耦的。

有意思的是：就图c的M、T两个绕组而言，当观
察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的 旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就 的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系 的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模 型。


由以上分析可以推想： 如果能够简化异步电动机的动态数学模型，从 而像直流电动机那样分别独立控制励磁电流和 转矩电流，并使它们的磁场在空间位置上也互 差90电角度，就可以获得像直流电动机那样优 异的调速性能 。
坐标变换
二、坐标变换

坐标变换：从一种坐标轴系转换到另一种坐标轴系的变换 交流电机的物理模型 矢量控制相关的三种坐标系：静止的三相ABC坐标系、静 止的二相、坐标系和旋转的二相d、q坐标系；
（3）励磁电流和电枢电流互相独立，各自在不同的回路中，控制简 单，易于实现。 （4）直流电动机的动态数学模型只有一个输入/输出变量——电枢电 压/转速，在工程允许的一些假定条件下，直流电动机可以描述成单 输入单输出的二阶线性系统。

异步电动机和直流电动机相比有着本质上的区别： （1）三相异步电动机的定子通以三相平衡正弦交流电流，产生一个 随时间和空间都在变化的旋转磁场。
（二）3s/2s变换

众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、B 、C ，通 以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁 动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速 1（即电流的 角频率）顺着 A-B-C 的相序旋转。 B iB
B
F ω1
A
iA
A
iC C
C
图a 三相交流绕组
0 i α 1 iβ 2
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，
同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）

从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模 型的图 b 和图 c 中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系 d、q 变换称作两相—两相旋转变换，简称 2s/2r 变换 其 中 s 表示静止，r 表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得下图。