高考总复习数学课件：第六章 第2讲 一元二次不等式及其解法

当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； 当2a＜－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当 a＞0 时，不等式的解集为xx≥2a，或x≤－1 ； 当－2＜a＜0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1 ； 当 a＝－2 时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当 a＜－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a .
题考查一元二次不 范围几乎涉及高中数学
等式解法与集合间 的所有章节，且常考常
的关系；
新，“三个二次”之间
2014年大纲第3题 的联系的综合应用等问
考查一元二次不等 题是高考的热点.
式及绝对不等式的 2.由于本节内容涉及的计
解法
算较多，因此学习时应
注意运算能力的训练
一元二次不等式(a>0)与相应的二次函数(a>0)及一元二次 方程的关系
由①②，得 b＝12，c＝12－a.
∴f(x)＝ax2＋12x＋12－a. 故 x≤ax2＋12x＋12－a≤x2＋2 1对一切 x∈R 成立，
也即ax2－12x＋12－a≥0， 恒成立 1－2ax2－x＋2a≥0
Δ1≤0， ⇔Δa>2≤0，0，
1－2a>0
⇒141－ －48aa121－－a2a≤≤0，0， a>0， 1－2a>0.
Δ＝0
有两相同实根
x1,2＝－2ba
xx≠－2ba

∅
Δ<0 没有实根
R ____∅____
1.(2014 年大纲)不等式组|xx|x＜＋12＞0， 的解集为( C )
A.{x|－2＜x＜－1}
B.{x|－1＜x＜0}
C.{x|0＜x＜1}
D.{x|x＞1}
解析：由 x(x＋2)＞0，得 x＞0 或 x＜－2；由|x|＜1，得－1 ＜x＜1.所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}.故选 C.
解得 a＝14.∴c＝12－a＝14. ∴存在一组常数 a＝14，b＝12，c＝14， 使不等式 x≤f(x)≤x2＋2 1对一切实数 x 都成立. 【规律方法】赋值法(特殊值法)可以使“探索性”问题变
得比较明朗，是解决这类问题比较常用的方法.
【互动探究】
2.对于函数f(x)，若f(x0)＝x0，则称(x0，x0)是函数f(x)的不动点. (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx－b有两个不动点(1,1)和(－3， －3)，求a，b的值； (2)若对于任意实数b，函数f(x)＝ax2＋bx－b总有两个相异的不动点，求实 数a的取值范围.
得 x<1a或 x>1.
综上所述，当 a<0 时，不等式的解集为xx<1a，或x>1
；

当 a＝0 时，不等式的解集为x|x>1；
当 0<a<1 时，不等式的解集为x1<x<1a ；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a>1 时，不等式的解集为x1a<x<1
答案：x<0或x>1
【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标 准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②确 定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二 次方程的根；若Δ＜0，则对应的一元二次方程无根；④结合二 次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的 左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.
(2)对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则 实数x的取值范围是__________.
解析：x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立， 即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0， 在k∈[－1,1]时恒成立.
只需 g(－1)>0 且 g(1)>0，即xx22－ －53xx＋ ＋62>>00， ， 解得 x<1 或 x>3. 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)
解：(1)因为ff－ 1＝3＝ 1，－3， 所以a9＋ a－b－ 3bb－＝b1＝，－3， 所以ab＝ ＝13， .
(2)因为f(x)＝ax2＋bx－b有两个相异的不动点， 所以ax2＋bx－b＝x有两个相异的解. 所以ax2＋(b－1)x－b＝0有两个相异的解. 所以Δ＝(b－1)2＋4ab>0对任意的实数b都成立. 所以b2＋(4a－2)b＋1>0对任意的实数b都成立. 所以(4a－2)2－4<0.所以0<a<1.
考点 1 解一元二次、分式不等式
例 1：(1)(2015 年 广 东 ) 不 等 式 － x2 － 3x ＋ 4&解析：由－x2－3x＋4＞0，得－4<x<1.所以不等式－x2－3x ＋4>0的解集为(－4,1).
答案：(－4,1)
(2)(2015 年上海)下列不等式中，与不等式x2＋x＋2x8＋3＜2 解
考点 3 一元二次不等式的应用 例3：已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，是否存在 常数 a，b，c，使不等式 x≤f(x)≤x2＋2 1对一切实数 x 都成立？
解：∵f(x)的图象过点(－1,0)， ∴a－b＋c＝0. ① ∵x≤f(x)≤x2＋2 1对一切 x∈R 均成立，
∴当x＝1时也成立，即1≤a＋b＋c≤1. 故有 a＋b＋c＝1. ②
k1－k2，或x＞1－
1－k2 k
；

当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R.
【规律方法】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨 论：
①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)； ②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)； ③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2).
所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， 所以 m<67.所以 0<m<67；
当 m＝0 时，－6<0 恒成立；
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以 g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以 m<6.所以 m<0.
综上所述，实数
m
的取值范围是
6 m<7.
方法二，因为 x2－x＋1＝x－122＋34>0，
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象
(续表)
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根
有两相异实根x1,2＝
－b± b2－4ac _____2_a________
ax2＋bx＋c>0 解集 ax2＋bx＋c<0解集
{x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2}
)
CB.{x|x≤2}
C. {0,1}
D. {1,2}
解析：因为 A＝{x∈N|3－2x>0}＝x∈Nx<32
＝{0,1}，

B＝{x|－2≤x≤2}，所以 A∩B＝{0,1}.
4.(2015 年江苏)不等式2x2x＜4 的解集为____(_－__1_,2_)__.
解析：由题意，得x2－x＜2⇒－1＜x＜2.解集为(－1,2).
(3)设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋ 5 恒成立，求实数 m 的取值范围.
解：要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，即 mx－122＋ 34m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法： 方法一，令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]. 当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数，
【互动探究】
1.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1. ②当 a＞0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0， 解得 x≥2a或 x≤－1. ③当 a＜0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0. 当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2a；
2.(2017年四川武胜中学统测)若不等式ax2＋x＋c>0的解集 为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2＋x＋c的图象大致为( A )
A
B
C
D
解析：由已知，得 a<0，且 y＝ax2 ＋x＋c 两零点为－2,1.
故选 A.
3.(2017年江西南昌二模)已知集合A＝{x∈N|3－2x>0}，
B＝{x|x2≤4}, 则A∩B＝( A.{x|－2≤x<1}
又因为
m(x2－x＋1)－6<0，所以
6 m<x2－x＋1.
因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，
所以只需 m<67即可.
所以实数 m 的取值范围是 m<67.
若 Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠－1.
综上所述，当 k≥1 时，不等式的解集为∅；
当 0＜k＜1 时，不等式的解集为
x1－
k1－k2＜x＜1＋
1－k2 k
；

当 k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0 时，不等式的解集为
xx＜1＋

.

(3)①当 k＝0 时，不等式的解为 x＞0. ②当 k＞0 时， 若 Δ＝4－4k2＞0，即 0＜k＜1 时， 不等式的解为1－ k1－k2＜x＜1＋ k1－k2； 若 Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解. ③当 k＜0 时， 若 Δ＝4－4k2＞0， 即－1＜k＜0 时，x＜1＋ k1－k2或 x＞1－ k1－k2； 若 Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R；