2009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及参考答案

2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2016.4本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共三页，选择题部分1至2页，非选择题2至3页。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知(){}R M ∈+-+-=λλλ42,31,(){}R N ∈+-=λλλ3,1,则N M = ( ) A. ∅ B. {}2 C. (){}2,2 D. ()2,22. 在平面直角坐标系XOY 中，若点P 的坐标为()3cos 2,3sin 2-，则POX ∠= ( )A. 3B. 3-πC. 23π+- D. 23π-3. 在ABC ∆1=，2=⋅AC AB ,若ABC S ∆=1，则BC = ( ) A. 5 B.3 C. 1 D. 24. 函数x x y -+-=43的值域是 ( )A. []2,1B. []3,1C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1 D. []2,15. 如果一个函数()x f 在其定义域内对任意的y x ,都满足()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则称这个函数为下凸函数，下列函数是下凸函数的是 ( )①()x x f 2log -=②()3x x f =③()xx f -=2④()⎩⎨⎧><=0,20,x x x x x fA. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6. 函数()()β+=x a x f 2sin 2的值域为[]2,2-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ上单调递减，则常数a 和β的值可以是 ( )A. 32,1πβ==a B. 34,1πβ==a C. 34,1πβ=-=a D. 32,1πβ=-=a7. 已知3,*≥∈k N k ，若一元二次方程()0212=+--k px x k 的两根都是正整数，则k p += ( )A. 12B. 11C. 10D. 98. 化简85sin 65cos 55cos 15cos = ( ) A. 4 B. 3 C. 34 D. 33 9. 平面直角坐标系中()()()()a a AC AB AP C B A ≤≤≤≤+=-μλμλ1,1,2,2,0,4,1,1若动点P 组成的区域面积为32，则a 等于 ( ) A. 27 B. 3 C. 2 D. 23 10. 设[]2,2,...,,201621-∈a a a ，且0...201621=+++a a a ,则320163231...a a a f +++=的最大值是 ( )A. 2016B. 3024C. 4032D. 5040第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分. 11. 函数()()22123log x x x f -+=的单调递减区间是12. 定义在R 上的奇函数()()⎩⎨⎧<≥+=0,20,22x x g x x x x f ，则()()2-g f =13. 指数函数()1,0≠>=a a a y x 和对数函数()1,0log ≠>=a a y a 的图像分别为1C 和2C ，点M 在曲线1C 上，线段OM (O 为坐标原点）交曲线1C 与另一点N ,若曲线2C 存在点P ，满足点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 的两倍，则点P 的坐标是14. 已知21,e e 是两个相互垂直的单位向量，若21e y e x a +=，且32=+y x 的最小值是15. 已知函数()()x x x m x f 4cos 21cos sin 4++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 有最大值27，则实数m的值是16. 函数()xxx x x x x x x x x f ++++++++++++++=20152014....4332211图像的对称中心是 17. 设[]x 表示不超过x 的最大整数,集合[][][][]{}100,432≤≤+++==x x x x x y y A 中的元素个数为个三、解答题：本大题共三小题，共51分. 18. （本题满分15分）已知函数()()03sin 32cos 62>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图像如图所示，A 为图像最高点，C B ,为图像与x 轴的交点且ABC ∆为正三角形.Ⅰ、求ω的值及函数()x f 的值域； Ⅱ、若()5380=x f 且⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,3100x , 求()10+x f .19. （本题满分18分）已知函数()x f 是定义在R 上且5=T 的周期函数,当[]1,0∈x 时，()()*343N n x x f n ∈=-, 当[]4,1x 时,()b x x f a +=log ,又函数()x f y =在[]1,1-上时奇函数且在区间[]1,0上单调递增. Ⅰ、求函数()x f y =在[]4,1上的解析式； Ⅱ、求函数()x f y =在R 上的解析式.20. （本题满分18分）已知函数()a x x x f -++=12,其中a 为常数.Ⅰ、求函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21的单调区间；Ⅱ、若不等式()a x x f ->2对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1. C2. D3. A4. D5. D6. B7. B8. A9. C(图解法) 10. C二、填空题11. ()1,1-或(]1,1- 12. -1513. ()4log ,4a 14. 55315. 116. ()0152,1008- 17. 61(提示：分k x k +<≤41，k x k +<≤+3141，k x k +<≤+2131，k x k +<≤+121，10=x ，*,100N k k ∈<≤五种情况进行讨论)三、解答题18. Ⅰ、[]32,32- Ⅱ、56719. Ⅰ、()[]4,1,3log 32∈+-=x x x f (临界取值)Ⅱ、()[]()(]()Z k k k x k x k k x k x x f ∈⎩⎨⎧++∈+--+-∈-=45,15,35log 315,15,153220.Ⅰ、当2321<<a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21a 上递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1a 上递增；当23≥a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上递减；当21≤a 时，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上递增. Ⅱ、2141-<<-a(提示：由a x a x x ->-++212得到a x a x x -+-->122，比较a x a x y x y -+--==122与的图像)。

-全国高中数学联赛试题及答案

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M相交，得d 解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为．【答案】 2009【解析】设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x ya b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，， ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a bOP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，2122x k ⎡=-⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥． (ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯ ……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯． 8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）【答案】 27 【解析】旅客候车的分布列为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nn a n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+； (5)分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-． (15)分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---． (10)分(Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y 【解析】函数的定义域为[]013，.因为y ==当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2010年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r . 解答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41-提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的. 当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7.4提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11,.OEPC 1B 1A 1CBA设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即21434302≤++++≤c b a z a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. 当且仅当20202249y y -=+，即0y =,66((33A B +-或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,66((33A B +-或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设ba ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．yOPAB2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅.３．设,,[0,1]x y z ∈，则||||||M x y y z z x =-+-+-的最大值是 .解:不妨设01,x y z ≤≤≤≤则.M y x z y z x =-+-+-因为2[()()]2().y x z y y x z y z x -+-≤-+-=-所以2()(21)2 1.M z x z x z x ≤-+-=+-≤-当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 2 1.M =+ 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥ 所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯= 131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。

历年温州市摇篮杯数学竞赛

温州市摇篮杯数学竞赛训练题2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合{}2,1,0=A ，则集合B 不可能．．．是（） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0-2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（）条件Ａ、充分不必要Ｂ、必要不充分Ｃ、充要Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（）A 、21a a- B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（）A 、1:1 B 、4:π C 、π:4 D 、π:25、设正整数集N *，已知集合{}*∈==Nm m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（）A 、c b a ++=2006B 、abc =2006C 、bc a +=2006D 、)(2006c b a += 6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。

若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（）位数。

A 、13 B 、12 C 、11 D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（）A 、x x g sin )(= B 、x x g =)( C 、2)(x x g = D 、x x g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（）A 、502501B 、520502C 、502503D 、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)2009年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（ A ）。

A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集解：由于{21}{1,3}N M a a ∈=-=，所以{1}M N ⋂=。

答案为 A 。

2. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425-=x 的距离为（ C ）。

A ．4 B ． 6 C ．152 D ．54解：因为5,3a b ==，则4c =。

于是P 到另一个焦点(4,0)-的距离等于2546⨯-=。

由于直线425-=x 为椭圆的左准线方程，则P 到直线425-=x 的距离为667.545d e ===。

答案为 C 。

3. 等差数列{}na 中，01>a，13853a a=，则部分和nS 中最大的是（ C ）A ． 10S B ． 11S C ． 20S D ． 21S解：由题意知，13853a a =1113(7)5(12392)0a d a d d a ⇒+=+⇒=-<。

所以{}n a 是单调递减数列。

又11122(1)2039(1)()[1]039naa n a a n n =+--=->≤⇒-。

由此可得当20n =时，nS 最大。

答案为 C4. 已知平面上单位向量51243(,),(,)131355a b ==r r ，则下列关系式正确的是（ B ） A ．a b⊥r rB.()()a b a b +⊥-r r r r C.()//()a b a b +-r r r r D.()a ab ⊥+r r r解：因为,a br r 都是非零单位向量，以,ab r r 为边，,a b a b -+r r r r为对角线构成一个菱形。

2009浙江省高中数学竞赛参考答案

2009年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（）。

A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集解：由于{21}{1,3}N M a a ∈=-=，所以{1}M N ⋂=。

答案为 A 。

2. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425-=x 的距离为（）。

A ．4B ． 6C ．152D ．54解：因为5,3a b ==，则4c =。

于是P 到另一个焦点(4,0)-的距离等于2546⨯-=。

由于直线425-=x 为椭圆的左准线方程，则P 到直线425-=x 的距离为667.545d e ===。

答案为 C 。

3. 等差数列{}n a 中，01>a ，13853a a =，则部分和n S 中最大的是（） A ． 10S B ． 11S C ． 20S D ． 21S解：由题意知，13853a a =1113(7)5(12392)0a d a d d a ⇒+=+⇒=-<。

所以{}n a 是单调递减数列。

又11122(1)2039(1)()[1]039n a a n a a n n =+--=->≤⇒-。

由此可得当20n =时，n S 最大。

答案为 C 4. 已知平面上单位向量51243(,),(,)131355a b ==，则下列关系式正确的是（）A ． a b ⊥ B. ()()a b a b +⊥- C. ()//()a b a b +- D.()a a b ⊥+解：因为 ,a b 都是非零单位向量，以,a b 为边，,a b a b -+为对角线构成一个菱形。

所以()()a b a b +⊥-。

答案为 B 。

5. 方程3120x x a -+=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A. ()16,16-B.[]16,16- C. (),8-∞- D. ()8,+∞解：令3()12f x x x a =-+，则2()312f x x '=-。

2011-2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

2011-2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈，则1sin 21sin 2θθ-+可化简为（）A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（）A. 2B. 22C. 2±D. 22± 3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（）26464243A ．64B ．32C ．16D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（）A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420xa x a +-+->的解为（）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数()2sin 3cos 2xf x x=-的最小正周期为__________。

2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

【分析】前次总共取了项，满足不等式的最大整数为，前62次取了1953项，所以子数列中的第2008项必是奇数，而且是第63次取出的第55个奇数，前62次取数在正整数数列中有个整数没有被取到，所以第63次取的第一个数为1953+1891+1=3845，第55个为3953
14．设，则函数的最小值为___10_______.
A．2B．4C．6D．8
2．设为△ 的边的中点，为△ 内一点，且满足, ，则（）
A. B. C. D.
3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则（）
A． B． C． D．
4．已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为（）
【分析】
取等号当且仅当，∵ ，∴ ，即：。
三、解答题：本大题共3小题，共54分。
得分
评卷人
15．（本小题16分）已知函数 .
（1）求函数单调递增区间；
（2）若，不等式的解集为B，，求实数的取值范围。
【解】（1），
……5分
由解得：，
∴ 在区间上单调递增。……8分
（2） ∴ ，∴ ，又解得 ……12分
（2）若都为正整数，求的最小值。
17．（本小题20分）在平面上有一系列点 …，．对每个正整数 ,以点为圆心的⊙ 与轴及射线）求证：数列是等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）设数列的各项为正，且满足
，
得分
评卷人
求证：
（3）当时，求证：
A． B． C． D．
【分析】因为函数在其定义域内为增函数，则若函数为“好函数”，方程必有两个不同实数根，∵

2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)

2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =，则集合B 不可能．．．是（）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（）A 、3aB 、334a a -C 、334a a +D 、2-3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于（） A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于（） A 、114B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（） A 、x y b a =∙B 、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（） A 、2()f x x = B 、()1sin f x x =+ C 、()ln 26f x x x =+- D、())f x x =8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是（）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M相交，得d 解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为．【答案】 2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111ab OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27 【解析】旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y 【解析】函数的定义域为[]013，.因为y =当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11…………………………………………………………………………………15分。

2014浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题综述

2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2014.4一、选择题：本大題共10小題，每小题5分，共50分.1.设集合 A = = + b 、B = {x\x = 4k + Z k E Z}9C = {x|x = 4&+3,ke Z}9若“S bgB, c e C,则(▲)A. obc € AB. abc G BC. abc wCD. abc ^A\JB\jC2.函数y = 0(x_l)十点的定义域为(▲)A. {x|x$0}B. |X|X^1JC. {" | x $ 1} (J {0} D・{x 10 W xW 1}i3.设x = ln;r, y = log2 5 > Z =则(▲)A. < y < z B・ Z < v < y C・z<y <x D. x v z v y£•若直线x = l是函数/(x) = JIsiiidA + cosE的图像的•条对称轴，则当e取然小正数时,/(X)在(▲〉单调递减6.设a, b9 c都是非零平面向呈，且a, 〃不共线，则关于x的方程x2a + xb+c=()的解的悄况是(▲)A.至多有一个解B.至少有一个解C.至多有两个解D.可能有无数个解7.设函数/(x) =smx+x+l t若过点F(0J)的动宜线与该函数图像交于代个点，则这&个点的纵坐标之和为(▲)A. 1B. 3C.-2y/x, X>0J1-x2, xWocos(a + 0) = sina,则tan(a+0)= ( ▲〉B. 1C. 225D・k则关于8•设函数/(X)= X2-4-V+3, g(x)个数为(▲)A. 2B. 3C. 4D. 5X 相同的集合有(▲) A ・1个B. 2个C ・3个D ・4个10.在平面直角坐标系xOy 中，将函数y = |x_3|_|x_l|的图像绕坐标原点O 顺时针旋转角 &(OW&va),得到曲线C,若对于每一个旋转角0, lit ］线C 都是一个函数的图像，记兔为Q 的最大彳11,则tail a°=( ▲〉二、填空题：本大题共7小題，毎小题7分，共49分.11 •设扇形的周长为8讪,而枳为4"用，则该厨形的圆心角的弧度数是_ ▲ _• 12.已知％勺均为单位向量,且％勺的夹角为60°，若4=竹+勺，〃 =%+2勺・则a 与〃的夹角为 ▲・13.方程(x 2_x_l)r-r-<5=l 的解集为—14•如图，扇形OAB 的半径为2,圆心角为120°, Q 为AB 上一点, 15. 若关于x 的方程呼+加+ q=i (a>o )有R 仅有四个实根冲勺 ® % 其中卜"｝中，和9.设Q 是竹理(1){2X + 1|X G X},X1 < X2 < S < X4 且尤4一珀=2，则d的取值范国为▲・16.求值：sill2 1024-siir 30° + sill2 5O3 + sill2 70°= A .(用数字作答)17.函数f (x) = Vl-siii2x + ,/2sinx 的值域是▲.三、解答题：本大题共3小题，共51分.18.（本题满分15分）己知函数/（x） = 2sin（x +彳卜苧tanacos冷，aw（0,刃，且g）"_2. <1）求a ；<ii）当牝［彳,”时，求函数y = /（%+«）的值域.19.（木题满分18 分）已知向呈加=（acosx,sinx）, "=（1,0）,函数/（x）=|w_w|.<1）当a = 2时，求/（x）的值域：<11）当且仅当x = 2—（«wZ）时，/（X）取最小值，求正数a的取值范围：<111）是否存在正数"，使得对于任意的兀，/（、）为定值?若存在，求岀"的值：«-cosx若不存在，说明理由.20.（本题满分18分）己知a、0是关于x的二次方程x2 -/.r-l = 0的两个实根，且a<fi，函数/（X）二菩斗•昭+ 1（I）求"a）-S的值：a_ p<II）试判断/（x）在区间（a,0）内的单调性，并说明你的理由:（III）求证：对任总的正数2，“，都有2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.设集合A = {x\x = 4k + l k E Z}9 B = {x\x = 4k +2.C = {x\x = 4k +3, 2兀「若 6/e A , b E B 9 c E C 9 则(▲) 解析：设 « = 4^ +1, h = 4/H + 2 . C ・ = 4H + 3, k, m 9 y 则血? = 4 (16hnn + ^nn + ^kin +1 Ikin + 6^ + 3加 + 2〃 +1) + 2 ,故选 B ・ 2.函数y =Jx (x_i )+ JT 的定义域为(▲〉 B. {x|xMl}C.{x| 毎 l}U{0}D. {x|0WxWl}解析：J l 丿，即x$l 或x = 0,故选C ・ x^O13.设= hi • y = log 2 5, z = /2,则(▲) A. x<y<z B . z<x<y c. z<y<x解析：e 5<l<hi^<2< log 2 5 .故选 B ・4.若直线x = £是函数/（x ） = dsiiig + cosg 的图像的•条对称轴，则当。

2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛考试试题

1 / 4高一数学竞赛试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（） A ．.72B ．.72-C ．3D ．0.3-2．设集合12{|log (1)2}A x x =+>-，2{|21}x x B x -=<，则AB 等于（）A ．{|0,13}x x x <<<或B ．{|3}x x >C ．{|10,13}x x x -<<<<或D ．{|01}x x << 3．已知sin sin αβ=，则α与β的关系是（） A ．αβ=或απβ=- B ．2,k k Z απβ=+∈ C ．(21),k k Z απβ=+-∈D ．(1),k k k Z απβ=+-∈4．下列函数中在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（）A ．21log sin 62y x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．21log sin 262y x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C．y =D ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．若()()()()sin50tan50sin50tan50yxxy--︒︒-︒≤-︒则（）A ．0x y +≥B ．0x y -≥C ．0x y +≤D ．0x y -≤6．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．37．记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，又有点C ，满足52AC =，则ABC ∠ 的取值范围为（） A ．06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ． 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ． 3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6 8．已知k Z ∈，(2,2)AC =，(,2)AB k =，5AB ≤，则ABC ∆是直角三角形的概率是（）A ．19B ．29C ．18D ．142 / 49．设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，则S 的最小值为（）A ．1B ． 1-C ．34-D ．010．点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数2x y =的图象于,A B 两点，满足QA AB =，则称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（）A ．x 轴上仅有有限个点是“Ω点”；B ．x 轴上所有的点都是“Ω点”；C ．x 轴上所有的点都不是“Ω点”；D ．x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为．13．函数[sin ]()3x f x =的值域是．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）14. 已知定义域为R 的函数()y f x =对任意x R ∈都满足条件 4f x f x -（）+（）=0与22f x f x +--（）（）=0，则对函数()y f x =，下列结论中必定正确的是．（填上所有正确结论的序号） ①()y f x =是奇函数； ②()y f x =是偶函数； ③()y f x =是周期函数； ④()y f x =的图象是轴对称的．15．若n 为整数，关于x 的方程2011(2011)()10x x n --+=有整数根，则n = ． 16．()y f x =是定义域为R 的函数，(1)5g x f x f x =++-（）（），若函数y g x =（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为． 17．求值：sin6sin78sin222sin294︒+︒+︒+︒= ．(12题图)3 / 4三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期和()f x 的值域；⑵若0x x =002x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0(2)f x 的值．19．（本题满分17分）设函数2()3f x x bx =+-，对于给定的实数b ，()f x 在区间[]2,2b b -+上有最大值()M b 和最小值()m b ，记()()()g b M b m b =-． ⑴求()g b 的解析式；⑵问b 为何值时，()g b 有最小值？并求出()g b 的最小值．4 / 420. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ； ②对任意实数m , 当x R +∈时，有()()m f x mf x =． ⑴求证：对于任意正数,x y ，()()()f xy f x f y =+； ⑵证明：()f x 在正实数集上单调递减；⑶若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（） A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈二、填空题2．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量(1,2)OA =， (2,1)OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则点P 所有可能的位置所构成的区域面积是． 4．某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心； ③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立．其中正确的结论是．参考答案1．D【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．2．20462047【解析】3．52【详解】解：作22OG OAOE OB ==，，22OF OA OB =+,M N 为,OF EF 中点，则P 在MNF ∆内，面积为524．④【解析】解：()2cos f x x x =⋅为奇函数，则函数()f x 在 [],0π-，[]0,π上单调性相同，所以①错； (0)0,()2f f ππ==-，所以②错； (0)0,(2)4f f ππ==，所以③错； ()2cos 2cos 2f x x x x x x =⋅=⋅≤，令2M =，所以④对。

2009学年浙江省温州市八校高一下学期期末联考试卷

2009学年浙江省温州市八校高一下学期期末联考试卷物理一．单项选择题（本题共10小题，每题3分，共30分。

每个小题的4个选项中只有一个符合题意，选对的得3分，错选或不选项的得0分） 1．在下列几种运动过程中，机械能守恒的是( ) A ．物体沿粗糙斜面下滑 B ．小球做自由落体运动 C ．雨滴在空中匀速下落D ．汽车在水平路面上做减速运动2．下列说法中正确的是（）A ．变速运动一定是曲线运动B ．匀速圆周运动是速度不变的运动C ．平抛运动是匀变速运动D ．物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定发生变化 3． 2007年9月14日，日本成功发射了月球探测卫星“月亮女神”，其环月轨道高度为100km ；10月24日中国成功发射了月球探测卫星“嫦娥一号”，其环月轨道高度为200km ，根据以上的已知条件，下列说法中正确是（） A ．“月亮女神”的周期小于“嫦娥一号”的周期 B ．“月亮女神”的角速度小于“嫦娥一号”的角速度 C ．“月亮女神”的加速度小于“嫦娥一号”的加速度 D ．“月亮女神”的线速度小于“嫦娥一号”的线速度4．在一次汽车拉力赛中，汽车要经过某半径为R 的圆弧形水平轨道，地面对汽车的最大静摩擦力为车重的0.2倍，汽车要想通过该弯道时不发生侧滑，那么汽车的行驶速度不应大于（） A ．R 5g B ．gR C ．R 5g D ．5gR 5．当重力对物体做正功时,物体的( )A ．重力势能一定增加，动能一定减小B ．重力势能一定增加，动能不一定减小C ．重力势能一定减小，动能不一定增加D ．重力势能一定减小，动能一定增加 6．一只小船在静水中的速度为3m/s ，它要渡过一条宽度为30m 的河，河水的流速为4m/s ，则下列说法正确的是( ) A ．小船不能渡过河B ．小船过河的最短时间为10sC ．小船运动的轨迹可能垂直河岸D ．小船过河的速度一定为5m/s7．质量为m 的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑的水平桌面上，现把其中一个水平方向的力从F 突然增大到F 4,保持其它力不变，则在t 秒末物块的动能为( )A ．m 2t F 322B ．m 2t F 622 Ｃ．m 2t F 922 D ．m2t F 12228．设航行中的轮船所受的阻力与其速度成正比，如果轮船以速度v 匀速航行时，其发动机的功率为P ，则轮船以2v 速度匀速航行时，其发动机的功率为（） A ．2P B ．4P C ．6P D ．8P9．以初速度v 0竖直向上抛出一质量为m 的小物块，假定物块所受的空气阻力为f 大小不变，已知重力加速度为g ，则物块上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（） A ．fmg fmg v )mgf1(g 2v 020+-+和 B ．fmg mgv )mgf 1(g 2v 020++和C ．fmg fmg v )mgf 21(g 2v 020+-+和 D ．fmg mgv )mgf 21(g 2v 020++和10．如图所示，物体以100J 的初动能从斜面底端向上运动，当它通过斜面某一点M 时，其动能减少80J ，机械能减少32J ，如果物体能从斜面上返回底端，则物体返回斜面低端时的动能为（）A ．20JB ．36JC ．60JD ．68J二．不定项选择题（本题共5小题，每题4分，共20分。

2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题与答案

第7题图第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有12022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题个正确答案．） 1．设集合N ==+∈A x x n n 21,}{，N ==+∈B x x n n 41,}{，则=B A（ ▲ ）A ．N =+∈x x n n 41,}{B ．N =+∈x x n n 42,}{C ．N =+∈x x n n 43,}{D ．∅2．已知复数=-+z 22i 13（其中i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则下列说法错误．．的是（ ▲ ） A ．=z z 2B ．=z z ()2C ．=z 13D ．=-z ()133．C 地发生地震时，相距d km 的A B ,两地都能感受到，已知C 地位于A 地的正东方向上，C 地位于B 地的东偏南30方向上，且C 地距离A B ,两地分别为100km 和200km ，则d 的值是（ ▲ ） A ．-100523B ．1003C ．1007D ．+1005234．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为=x i i (1,2,3)，则++x x x 123为奇数的概率是（ ▲ ）A ．10529B ．10553C ．10557D ．215．设=⨯a 2021202020222，=⨯b 2022202120232，=⨯c 2023202220242，则（ ▲ ） A ．<<a b c B ．<<a c b C ．<<c a b D ．<<c b a6．已知p x y +>:0，q x x y y +++++>:lg(1)lg(1)022，则p 是q 的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知矩形ABCD 中，AB =2,AD =4．E ,F 分别在边AD ,BC 上,且AE =1,BF =3．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成EFB A 11，在翻折过程中，二面角--CD E B 1的大小为θ，则θtan 的最大值是（ ▲ ）A ．532B ．533C ．432D ．4338．已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点，则PA PB PC PD PE ++++的最大值是（ ▲ ） A ．2cos 361B ．2sin 361C ．2cos 365D ．2sin 365二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2009年全国高中数学联合竞赛一试

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 144424443，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++L 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009【解析】设()1111221f n n n n =++++++L ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，， ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27【解析】旅客候车的分布列为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=u u u r u u u r，所以()()42310x x xx -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=L ，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =L ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==L ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =L ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =L ，，． ①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =L ，，变为11n n n a a αα++=+()12n =L ，，．整理得，111n nn n a a αα++-=，()12n =L ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =L ，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =L ，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++L234112341222222n n n n s n ++=+++++L 以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=L ，，由12a α=，223a α=得 ()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=L ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y 【解析】函数的定义域为[]013，.因为y == 当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分。