用反证法证明等式和不等式

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2020学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教a版选修45

三反证法与放缩法1．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法 (1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明不等式已知f (x )求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”． (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列．证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 为公差)． ∴ac ＝b 2＝(b －d )(b ＋d )． ∴b 2＝b 2－d 2. ∴d 2＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )，与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )，与已知矛盾．故假设不成立．∴a 32(x ＋y ＋z )．解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2. 同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n.∴将以上n 个不等式相加，得12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜nn ＝1.5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b |＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|. ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1.∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.课时跟踪检测(八)1．设a ，b ，c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．2．若|a －c |<h ，|b －c |<h ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|a －b |<2h B ．|a －b |>2h C ．|a －b |<hD ．|a －b |>h解析：选A |a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |<2h . 3．设x ，y 都是正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：选A 由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∵x ，y 都是正实数，∴x >0，y >0，∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；③显然不正确．5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法证明时作的反设应为________．答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜17．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A ，B 的大小关系是________．解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y ＝B .答案：A ＜B8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知a ，b ，c ，d ∈．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd >1矛盾， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．求证：n n ＋12<a n <n n ＋22.证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴nn ＋1>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1>1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵nn ＋1<n ＋n ＋12，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝n 2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋22.综上得n n ＋12<a n <n n ＋22.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在上的最大值为2，最小值为－52.求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. 证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0. 由题意得f (x )＝bx 在上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |. 由已知条件得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0. ②当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b2a ，知f (x )在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝2，f －1＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝－52，f －1＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. 由①②，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a<2.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．已知b ，m 1，m 2都是正数，a 0，m 1，m 2>0，所以(b ＋m 1)(b ＋m 2)>0. 又a 0. 从而(a －b )(m 2－m 1)<0. 于是a －b m 2－m 1b ＋m 1b ＋m 2<0.所以a ＋m 1b ＋m 1<a ＋m 2b ＋m 2. 综合法证明不等式逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．设a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12.∴1ab≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab≥8.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．已知a >b >0.求证：a －b <a －b . 要证a －b <a －b ，只需证a <a －b ＋b ，只需证(a )2<(a －b ＋b )2，只需证a <a －b ＋b ＋2b a －b ，只需证0<2ba －b .∵a >b >0，上式显然成立，∴原不等式成立，即a －b <a －b .反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A 则B ”，我们可以通过否定B 来达到肯定B 的目的，如果B 只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理或定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．已知：在△ABC 中，∠CAB >90°，D 是BC 的中点．求证：AD <12BC (如右图所示)．假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD .同理∠C >∠CAD .所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD .即∠B ＋∠C >∠A . 因为∠B ＋∠C ＝180°－∠A ，所以180°－∠A >∠A ，即∠A ＜90°，与已知矛盾．故AD ＞12BC 不成立．由①②知AD ＜12BC 成立.放缩法证明不等式作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则达文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

常用不等式及其证明方法

常用不等式及其证明方法不等式作为数学中重要的概念，广泛应用在数学推理、优化问题以及各个领域的研究中。

在本文中，我们将介绍一些常用的不等式及其证明方法，帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、基本不等式1. 平均不等式平均不等式是最基本的不等式之一。

对于任意非负实数$a_1, a_2,\ldots, a_n$，其算术平均和几何平均的大小关系如下：\[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot\ldots \cdot a_n} \]2. 柯西-施瓦兹不等式柯西-施瓦兹不等式是数学分析中常用的不等式之一。

对于实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，其平方和满足以下不等式：\[ (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \]3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式用于描述非负随机变量的概率分布。

对于非负随机变量$X$和任意大于$0$的实数$a$，其概率满足以下不等式：\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a} \]二、常用不等式1. 幂平均不等式幂平均不等式是数学分析中常用的不等式之一。

对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和实数$p$，定义$p$次幂平均如下：\[ M_p = \left(\frac{a_1^p + a_2^p + \ldots +a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}} \]当$p > q$时，有$M_p \geq M_q$。

2. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中常用的不等式之一，用于度量随机变量偏离其期望值的程度。

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。

反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。

放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

首先介绍反证法。

对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。

具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。

3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。

4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。

举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。

然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。

然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。

因此，假设错误，原不等式成立。

接下来介绍放缩法。

放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。

具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。

2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

3.对新形式的不等式进行证明。

4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。

举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。

我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。

化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。

高中数学：不等式题目的七种证明方法

高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

我就来总结一下不等式的证明方法。

01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。

04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

放缩法的目的性强,必须恰到好处,。

同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。

反证法&整式不等式

整式不等式
• 是不等式两边都是整式（未知数不在分母上） • 一元一次不等式:含有一个未知数(即一元), 并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式. 如3-X>0 • 同理:二元一次不等式:含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式.
反证法是什么啊，亲！
如何用反证法！啊啊啊啊？知道吗？！！！！
反证法1！
在△ABC中∠A的外角平分線與BC的延長線交於D，求證：AB≠AC。

求證：質數有無窮多個。
已知 a3+b3=2，求證：a+b≦2。
求證：在△ABC的內部，不存在點P使PB+PC≧AB+AC。
整式不等式是什么？
• 首先要知道正式是什么？ • 整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。

不等式的证明技巧

不等式的证明技巧不等式是数学中常见的一种重要的数学关系。

证明一个不等式一般有以下几种常用的技巧：1.分析前提条件：首先，我们需要对不等式中的前提条件进行仔细的分析，了解这些条件约束下的数学性质。

在证明过程中，有时可以通过对前提条件的适当利用来简化证明过程，或者削弱不等式的限制，使得问题更容易处理。

2.求导和函数分析：对于一些关于函数的不等式，我们可以通过函数的导数来进行分析。

在求导的过程中，我们可以得到函数的最大值、最小值以及增减性质等重要的信息。

根据这些信息，我们可以判断函数的取值范围和不等式的成立条件。

3.数学归纳法：对于一些具有递推性质的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。

首先，我们可以验证当n=1时不等式的成立，然后假设对于一些n成立，即不等式成立，再通过证明当n+1时也成立来得出结论。

4.分割法：对于一些含有多个变量的不等式，我们可以通过分割法将问题转化为多个单变量的不等式进行分析。

通过分析这些单变量的不等式，可以帮助我们更好地理解原始不等式的性质和结论。

5.套用已知不等式：在证明过程中，我们可以尝试将一些已知的不等式进行变形运用。

通过套用已知的不等式，可以简化证明过程，加快解题速度。

尤其是一些经典的不等式如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等，它们已经被广泛研究和应用，具有较强的普适性。

6.代入与化简：有时我们可以通过代入一些特殊的数值或者特定的变量取值，使得不等式变得更简单。

这样可以进一步分析不等式的性质，加深对问题本质的理解，从而得出证明结论。

7.反证法：给定一个不等式，我们假设其不成立，然后通过一系列逻辑推导和推理来推导出矛盾的结论。

这时我们可以得出原不等式的成立。

总之，证明不等式需要深入理解数学性质和灵活的数学思维。

结合前述的证明技巧，可以帮助我们更好地解决不等式问题。

最重要的是，需要积极锻炼数学证明的能力，通过练习和实践才能够提高。

浅谈“反证法”在高中数学的应用

浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。

这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。

反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。

这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。

根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。

下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。

证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。

根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。

但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。

因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。

通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。

虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。

一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。

如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。

反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。

通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。

使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。

因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。

在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。

这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。

不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。

例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。

2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。

该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。

例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。

由此可知，不等式不成立。

3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。

通过反证法证明。

例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。

假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。

通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。

4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。

例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。

通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。

例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。

5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。

例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。

以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。

在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。

证明不等式的基本方法

恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，
即a的取值范围是________． [答案] a≤10
[点评与警示] 论证过程中，执果索因与由因导果总是不
断变化，交替出现．尤其综合题推理较盲目时，利用分析法从
要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到起始条件为止．
(人教版选修 4—5 第 30 页第 1 题)已知 a， b， c∈(0,1)， 1 求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于4.
[证明]
(反证法)假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于 ①
1 1 (1－b)c· (1－c)a>64 4，则(1－a)b· 1 即[a(1－a)· b(1－b)· c(1－c)]>64
a＋1－a 2 1 而 0<a(1－a)≤[ ]＝， 2 4
1 1 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 1 ∴[a(1－a)][b(1－b)][c(1－c)]≤ 与①矛盾 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于 . 4
) B．a2＞b2 1a 1b D．(2) ＜(2)
1 2 ．若 a ＞ b ＞ 1 ， P ＝ lga· lgb ， Q ＝ (lga ＋ lgb) ， R ＝ 2 a＋b lg( )，则( 2 A．R＜P＜Q C．Q＜P＜R
[解析]
) B．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q 1 ∵lga＞lgb＞0，∴ (lga＋lgb)＞ lga· lgb，即 Q 2

2 第2讲不等式的证明

第2讲不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b.证明：a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以（a －b ）（ab －1）ab >0.即a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b >0，所以a ＋1a >b ＋1b.已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋acb≥2bc a ·acb＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】法一(综合法)：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.法二(分析法)：(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2，再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6，再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立．故原不等式成立．(2)要证a ＋b ≤2成立，只需证(a ＋b )3≤8，再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8，再证ab (a ＋b )≤2，再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立．故原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．(2019·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6，解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9. (2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0，所以⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16，当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy .2．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c>1.放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k ＞1. (2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－a ）＋a 22＝14.同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0. 证明：①设a <0，因为abc >0，所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾，所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2019·长春市质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎨⎧3－2x ＋6－3x ⎝⎛⎭⎫x <322x －3＋6－3x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤22x －3＋3x －6（x >2）＝⎩⎨⎧－5x ＋9⎝⎛⎭⎫x <32－x ＋3⎝⎛⎭⎫32≤x ≤25x －9（x >2），其图象如图，由图象可知：f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115.(2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1，由基本不等式可知a ＋b2≤a ＋b2＝14＝12，当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc＋2ca ＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)． 2．(2019·新疆自治区适应性检测)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －4|，g (x )＝9＋2x －x 2. (1)解不等式f (x )>1；(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )．解：(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ＋1－(2x －4)＝5>1恒成立，所以x ≥2. 当－12≤x <2时，f (x )＝2x ＋1－(4－2x )＝4x －3>1，得x >1，所以1<x <2.当x <－12时，f (x )＝－2x －1－(4－2x )＝－5>1不成立．综上，原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)证明：|8x －16|≥g (x )－2f (x )⇔|8x －16|＋2f (x )≥g (x )，因为2f (x )＋|8x －16|＝|4x ＋2|＋|4x －8|≥|(4x ＋2)－(4x －8)|＝10，当且仅当－12≤x ≤2时等号成立，所以2f (x )＋|8x －16|的最小值是10，又g (x )＝－(x －1)2＋10≤10，所以g (x )的最大值是10，当x ＝1时等号成立．因为1∈⎣⎡⎦⎤－12，2，所以2f (x )＋|8x －16|≥g (x )，所以|8x －16|≥g (x )－2f (x )．3．(2019·四川成都模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|，m ∈R ，且f (x ＋2)＋f (x －2)≥0的解集为[－2，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.解：(1)由f (x ＋2)＋f (x －2)≥0得，|x ＋1|＋|x －3|≤2m ，设g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3，数形结合可得g (－2)＝g (4)＝6＝2m ，得m ＝3. (2)证明：由(1)得1a ＋12b ＋13c＝3.由柯西不等式，得(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝32，所以a ＋2b ＋3c ≥3.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值．(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

高中不等式的证明方法

高中不等式的证明方法在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的内容。

在解决不等式问题的过程中，常常需要使用一些证明方法。

下面我将介绍一些高中不等式的证明方法。

一、计算法对于一般的不等式，我们可以通过计算来证明。

该方法常常适用于直接证明不等式的正确性。

示例：对于不等式a + b ≥ 2√(ab)，我们可以对其两边进行平方运算，化简得到(a + b)² ≥ 4ab，继续化简得到a² + 2ab + b² ≥ 4ab，最后得到a² + b² ≥ 2ab。

由于a²，b²为非负数，所以a² + b² ≥ 2ab成立，从而不等式得到证明。

二、数轴法数轴法是一种简便的证明不等式的方法。

示例：对于不等式x+1>2，我们可以画出数轴，将不等式变形为x>1，即x的取值范围在1的右侧。

通过观察数轴即可发现x的取值大于1，所以不等式成立。

三、加减法对于含有多个项，且项之间存在加减关系的不等式，我们可以通过加减法将不等式转化为一个已知不等式来证明。

示例：对于不等式a+b+c>3，我们可以将不等式两边都减去c，得到a+b>3-c。

由于c是一定的，所以不等式a+b>3-c成立，即不等式得到证明。

四、乘法当不等式中存在连续的乘法关系时，我们可以通过乘法来证明不等式。

示例：对于不等式(x+1)(x+2)>0，我们可以使用因式分解法将不等式化简为(x+1)(x+2)≠0。

由于(x+1)(x+2)的乘积肯定不为0，所以不等式成立。

五、数学归纳法对于有一定规律的不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。

示例：对于不等式2ⁿ>n²，我们首先验证n=1时不等式成立，然后假设对于一些自然数k，不等式成立。

即2ᵏ>k²。

然后再证明当n=k+1时，也成立。

即2^(k+1)>(k+1)²。

解答数学证明题的方法

解答数学证明题的方法数学证明题是数学学科中重要的一部分，通过证明题目，可以加深对数学原理和定理的理解，并提高分析问题、推理论证的能力。

然而，许多学生在解答数学证明题时常常感到困惑和无措。

本文将介绍几种常见的解答数学证明题的方法，希望能够帮助读者更好地应对这类题目。

一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一。

在使用直接证明法时，首先阐述待证明的命题，并给出证明的思路，然后逐步推导出结论。

这种证明方法通常涉及到基本的数学运算和定理，需要熟悉相关的数学知识和技巧。

例如，我们要证明一个数列的通项公式。

可以先通过数学归纳法证明当n=k时成立，然后利用数学运算和推导，证明当n=k+1时也成立。

这样，就可以得出数列的通项公式。

二、反证法反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明“如果A不成立，那么B也不成立”的命题。

在使用反证法时，首先假设待证明的命题不成立，然后通过推理和推导得出矛盾的结论，从而证明原命题的成立。

例如，我们要证明一个命题：“如果n是一个奇数，那么n的平方也是奇数”。

可以假设n是一个奇数，然后推导得出n的平方是偶数，这与假设相矛盾，因此原命题成立。

三、归谬法归谬法（也称为演绎反证法）是一种证明方法，常用于证明“如果A成立，则B不成立”的命题。

在使用归谬法时，首先假设待证明的命题成立，然后通过推理和推导得出矛盾的结论，从而证明原命题不成立。

例如，我们要证明一个命题：“如果n是一个偶数，那么n的平方也是偶数”。

可以假设n是一个偶数，然后推导得出n的平方是奇数，这与假设相矛盾，因此原命题不成立。

四、数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，适用于证明递推关系或者对于一切正整数n成立的命题。

使用数学归纳法时，首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例如，我们要证明一个递推关系的命题：“对于任意正整数n，都有1+2+3+...+n = n(n+1)/2”。

63.怎样用反证法证初中代数问题 ---刘培杰代数

63 怎样用反证法证初中代数问题反证法是数学中一种很重要的证题方法，它是“数学家的最精良的武器之一”．反证法不仅可以用来证明几何命题，还可以用来证明代数命题．有些代数命题用直接证法无从下手，但是用反证法就会得心应手、轻松愉快．反证法分以下三个步骤．(1)反设：就是否定结论，即把结论的全部相反情况假设出来，做到既不遗漏，也不重复．(2)推导出矛盾的结论：把假设当成新的已知条件进行推导，推出与已知条件、定义、公理、定理、假设相矛盾或两个自相矛盾的结论来，从而指出假设的不成立．(3)结论：给所证命题下结论，不是中间结论，而是全题结论．下面举出反证法在初中代数中的应用例子．一、证明整数问题例1 已知2m 是偶数，求证：m 必为偶数．证明假设m 不为偶数，则必为奇数2n+1(n 是整数)，表示为m=2n+1，平方后整理为,1)1(42++=n n m 显然右端是奇数，左端2m 也应为奇数，这与已知条件矛盾，所以m 是偶数．例2 n 是自然数，求证：22++n n 不能被l5整除．证明假设能被l5整除，则有k n n 1522=++(k 为自然数)，即 0)152(2=-++k n n276012)152(411-±-=--±-=k k n 60k 一7末尾的一位数是3，故根号内不是一个整数的平方，与已知条件n 是自然数矛盾，所以22++n n 不能被15整除．例3 求证：4n 一1(n 是自然数)不是两个自然数的平方和．证明假设4n 一1是两个自然数的平方和．b a b a n ,(1422+=-都是自然数)，因4n 一1是奇数，故2a 和2b 为一奇一偶．设a2为奇数，b2为偶数，于是a 为奇数，b 为偶数(例1已证)，设a=2k+1，b=2m ，则.1)(2,)2()12(142222=---++=-m k k n x m k n上式左端为偶数，右端为奇数，互相矛盾，所以原命题得证．二、证明整式问题例4 已知),1,0(=/>=a a a a n m 求证：m=n ．证明假设m≠n，用n=m+r 表示(r≠0)．若,.r m r m n a a a a ==+因为,n m a a =所以.1=r a因为a≠1，r≠0，与a r =1是矛盾的，m≠n,不成立，所以m=n ．例5 已知二次三项式,22221121c x b x a c x b x a ++≡++求证：,21a a =⋅==2121,c c b b证明由已知得.0)()()(2121221≡-+-+-c c x b b x a a假设,21a a =/则.021=/-a a这时即为一个一元二次方程，最多只有两个x 的值能满足，这与恒等式意义矛盾，所以⋅===212121,,c c b b a a三、证明无理数问题例6 已知自然数m 不是一个平方数，求证：m 是无理数．证明假设m 是有理数，且用既约分数qp 表示成,q p m =即有m=,22q p 即 ①22p mq =可知P 是m 的倍数，令P=km 代入①得,222m k mq =即 ②22mk q =可知q 是m 的倍数．P ，q 同为m 的倍数，这与假设q p 是既约分数相矛盾，所以m 是无理数．例7 已知m 与n 都是正有理数，n m 与都是无理数，且m ≠n ．求证：n m +是无理数．证明因为m≠n,，故 ①n m n m n m +-=- 假设n m +为有理数，由①可知n m -也为有理数．这样（n m +）-（n m -）=2m 两个有理数的和仍为有理数，因而m 应为有理数，这与已知矛盾，所以n m +为无理数．四、证明不等式问题例8 已知：a>b>0，求证：1(>>n b a n 的整数)．证明因为a>0，b>0，所以.0,0>>n n b a 假设.0>>/n n b a 下分两种情况：(1)当n n b a =时，则.)()(n n n n b a =所以a=b ，与已知矛盾，n n b a =不成立． (2)当n n b a <时，则.)()(n n n n b a <所以a成立．例9 已知：,233=+q p 求证：P+q ≤2．证明假设P+q>2，则q<2一p ，两端立方后，整理为+>+233q p ,)1(62-p 这与已知矛盾，即P+q>2不成立，所以P+q≤2．五、证明方程问题例10 不解方程，求证：方程0589119853=+-x x 没有整数根．证明假设方程有两个整数根α和β ，则有α+β=1985，α·β=5891．由此知两个整数的和为奇数，且其积也为奇数，这样的整数不存在，所以方程没有整数根．例11 已知两个二次方程(a>2，b<2) ①0)(2=++-b a abx x②0)(2=++-ab x b a x求证：这两个方程没有公共根．证明假设这两个方程有公共根x 1，则有③0)(121=++-b a abx x④0)(121=++-ab x b a x③一④得0)1)((1=+--x b a ab因为a>2，b>2，所以ab —a —b>0．所以.1,0111-==+x x 代入③得01=+++b a ab ⑤但a>2，b>2，故⑤不成立，即有公共根的假设不成立，所以这两个方程没有公共根．六、证明函数问题例12 对于任意的x 值，函数与22m x x y ++=的值至少有一个永远大于零．证明 “至少有一个”就是“有一个”“有两个”，它的反面是“一个都没有”．假设这两个二次函数的值都不永远大于零，由于a>0，只须△≥0，因此有,044)1(4122≥-+=-+=∆m m m m 解得222--≤m 或①221+-≥m,04122≥-=∆m 解得②2121≤≤-m 因①和②无公共部分，故不存在实数m ，使两个二次函数的值都为永远大于零，于是原命题得证．例13 a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：++=++=cx bx y c bx ax y 2,222b ax y a ++=2,2α 这三条抛物线中至少有一条和x 轴的交点不是只有一个．证明 “至少有一条不是”包含“一条不是”“两条不是”等，其反面情况是“全部都是”．假设这三条抛物线全部都是和x 轴只有一个交点，即△=0，有 0442=-ac b0442=-ab c0442=-bc a三式相加除以2得022*******=---++ac bc ab c b a0)()()(222=-+-+-a c c b b a由此可推出a=b=c ．这与已知条件矛盾，假设不成立，所以原命题得证．。

高中数学解题思路大全：正难则反,巧用反证法证明不等式

正难则反，巧用反证法证明不等式杨伟强反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。

反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。

用反证法证明不等式就是最好的应用。

要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。

要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

例1. 设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a ＋b ＜c ＋d ，②()()a b c d ab cd ++<+，③()()a b cd ab c d +<+中至少有一个不正确。

证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以由不等式①、②得，()()()a b a b c d ab cd +<++<+2。

由不等式③得，()()()()a b cd ab c d a b c d +<+≤++22· 因为a b +>0，所以4cd a b c d <++()()综合不等式②，得43cd ab cd cd ab <+<，，即cd ab <13 由不等式④，得()a b ab cd ab +<+<243，即a b ab 2223+<-，显然矛盾。

∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。

例2. 已知a b c ab bc ca abc ++>++>>000，，，求证：a b c >>>000，，。

证明：由abc >0知a ≠0，假设a <0，则bc <0又因为a b c ++>0，所以b c a +>->0，即a b c ()+<0从而ab bc ca a b c bc ++=++<()0，与已知矛盾。

数学一轮总复习中的不等式求解与证明方法总结

数学一轮总复习中的不等式求解与证明方法总结不等式在数学的学习中占据着重要的地位，是数学分析、几何、代数等多个领域的基础知识。

对于数学一轮总复习来说，不等式的求解与证明方法是必不可少的内容。

本文将总结数学一轮总复习中的不等式求解与证明方法，帮助同学们理清思路，更好地应对考试。

一、一元不等式求解方法1. 移项法：移项法是最常用的不等式求解方法之一，适用于简单的一元不等式。

通过运用加减等运算，将不等式中的未知数移到一边，得到不等式的解。

2. 约束法：约束法是一种通过给不等式添加额外的约束条件来加以求解的方法。

通过在不等式两边同时添加一个约束条件，可以得到更接近实际情况的解。

3. 分类讨论法：分类讨论法适用于一元不等式存在多个参数的情况。

通过按照参数的不同取值范围进行分类讨论，可以求解出不等式的所有解。

二、多元不等式求解方法1. 利用性质法：多元不等式求解时，可以利用不等式的性质来加以求解。

比如利用对称性、单调性、凸性等性质，简化求解过程。

2. 代换法：多元不等式求解时，可以通过引入新的变量代换，将不等式转化为一元不等式进行求解。

3. 线性规划法：线性规划法是一种通过线性规划理论来求解多元不等式的方法。

通过构建线性规划模型，可以得到多元不等式的最优解。

三、不等式证明方法1. 数学归纳法：数学归纳法适用于证明一般性不等式。

通过证明基本情况成立，并假设某一情况成立时下一情况也成立，再利用这个假设去证明下一情况成立，依次类推，最终证明整个不等式成立。

2. 反证法：反证法适用于证明存在性不等式。

通过假设不等式不成立，引出矛盾，从而证明不等式一定成立。

3. 极值法：极值法适用于证明不等式的最值。

通过求导或者其他方式找到不等式的极值点，证明这个极值点是最值，从而证明不等式成立。

综上所述，数学一轮总复习中，不等式求解与证明方法的掌握对于提高解题的效率和准确性至关重要。

希望同学们能够熟悉各种求解方法，并通过练习不同类型的例题，提高自己的解题能力。

用反证法证明不等式

用反证法证明不等式一、反证法的含义反证法是指“证明某个命题时，先假定它的结论的否认建立，而后从这个假定出发，依据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公义、定义、定理、法例、公式等）相矛盾的结果．这样，就证了然结论的否认不建立，进而间接地一定了原命题的结论建立．”这类证明的方法，叫做反证法．二、反证法的严实性数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，依据已有的公义、定义、法例、公式，经过一系列的推理，向来推到所要证明的命题的结论，这类证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可经过证明它的等价命题真，进而判定原命题真，这类证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．既然反证法是间接证法，那么反证法也是经过证明原命题的等价命题进而证明原命题的．三、反证法证题的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1、假定数题的结论不建立；2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假定不正确，进而一定数题的结论正确．即：提出假定——推出矛盾——一定结论．四、反证法的分类反证法中有归谬法和穷举法两种．原命题的结论的否认只有一种状况，只需把这类状况颠覆，就能够一定原命题结论建立，这类反证法叫做归谬法；假如原命题的结论的否认不只一种状况，那么就一定把这几种状况一一否认，才能一定原命题结论建立，这类反证法叫做穷举法．五、反证法中常有的矛盾形式（1）与已知条件即题设矛盾；（2）与假定即反设矛盾；（3）与已知的定义、公义和定理矛盾，即得出一个恒假命题； `（4）自相矛盾．六、反证法的合用范围（1）已知条件极少或由已知条件能推得的结论极少；（2）命题的结论以否认形式出现时；（3）命题的结论以“至多” 、“起码”的形式出现时；（4）命题的结论以“独一”的形式出现；（5）命题的结论以“无穷”的形式出现时；（6）对于存在性命题；（7）某些定理的逆定理．总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会许多、较详细、较简单．反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．七、用反证法证明不等式举例例已知、、、，且. 求证：、、、中起码有一个是负数..选题企图：此题考察利用反证法证明不等式证明：假定、、、都是非负数，∵，∴.又∴.这与已知矛盾 .∴、、、中起码有一个是负数.。

反证法,放缩法,代换法证明不等式

a b c d 证明： + + + a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c
a b c d > + + + =1 a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a b c d + + + a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c
a b c d < + + + =2 a+b a+b c+d c+d
证明：假设 p + q > 2，则 q > 2 − p ⇒ q 3 > (2 − p )3。
∴ p 3 + q 3 > p 3 + (2 − p )3 = 6 p 2 − 12 p + 8 = 6( p − 1) 2 + 2 ≥ 2，
即 p 3 + q 3 > 2，与已知矛盾。
3.已知 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证： a > 0， > 0，c > 0。 b
再证左端不等式：
1 3 5 2n − 1 3 5 7 2n − 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅L ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅L ⋅ ⋅ > > 2 4 6 2n 2 4 6 2n − 2 2n 2n 2n + 1
8.已知 a , b , c , d ∈ R +，求证： a b c d 1< + + + < 2。 a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c

反证法在初中数学解题中的运用分析

反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。

通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。

这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。

在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。

通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。

它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。

在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。

反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。

它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。

熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。

1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。

这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。

反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。

假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。

我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。

这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。

反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。

在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。

了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。

反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。

2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。

不等式的性质与不等式的证明

不等式的性质与不等式的证明不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。

在不等式中，我们需要根据已知条件推导出新的不等式，这就需要借助不等式的性质进行证明。

本文将重点介绍不等式的性质以及不等式的证明方法。

1.不等式的性质(1)传递性：如果a<b，b<c，那么可以推出a<c。

这个性质可以简单地通过比较大小关系来理解，如果a比b小，b比c小，那么a当然比c 小。

(2)加法性：如果a<b，那么对于任意的c，有a+c<b+c。

这个性质也比较直观，如果a比b小，那么加上同一个正数c，a+c就会变得小于b+c。

同样地，如果a>b，那么对于任意的c，有a+c>b+c。

(3)乘法性：如果a<b，那么对于任意的正数c，有a×c<b×c。

这个性质也比较直观，正数的乘法会拉大不等式之间的差距。

同样地，如果a>b，那么对于任意的正数c，有a×c>b×c。

需要注意的是，如果c是负数，那么不等号的方向会发生翻转。

(4)反身性：任何数a都满足a=a。

这个性质是显然的，每个数都等于它自己。

2.不等式的证明方法(1)数学归纳法：对于一些给定的自然数n，如果我们可以证明当n=1时不等式成立，且对于任意的n=k时成立，那么我们就可以证明当n=k+1时不等式也成立。

这种方法通常用于证明关于自然数的不等式，其中k为任意自然数。

(2)反证法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明不等式是正确的。

反证法通常用于证明数学问题中的一些结论。

(3)矛盾法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的前提，从而证明不等式是正确的。

矛盾法通常用于证明的过程中需要排除一些条件才能得到结论的情况。

(4)代入法：将不等式中的符号用具体的数值代入，通过对具体的数值进行计算来验证不等式的正确性。

代入法相对于其他方法来说，更直观、容易理解。