1.1 集合及其表示法

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1.1集合及其表示方法

用小写字母a,b,c…表示集合中的元素。
例1、下列各组对象能否构成集合？
（1）我们班成绩好的学生；（2）小于10的自然数；（3）和1非常接近的数；小于1的奇数。
（6）我国所有的小河流
二、集合元素的特征
（1）确定性；
设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x 或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
观察下列实例有什么共同特征:
（1） 1，3，5，7，9；
（2）我校高中一年级全体学生；
（3）满足x－3＞2 的实数；
（4）我国古代四大发明；
（5）抛物线y=x2上的点．
一、集合的含义
一般地，我们把某些能够确切指定的一些对象组成的整体叫集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。
通常用大写字母A，B，C…来表示集合，
（3）不等式3x+2>0的解组成的集合；
（二）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，在划一竖线，在竖线后面写上集合中元素所共有的特征，即：一般形式：
A={x|x满足的性质p}
其中x表示元素的一般形式
例如，由不等式x-3>2的所有的解组成的集合（即不等式x-3>2的解集），可以表示为
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合 A；（2）偶数组成的集合B; （3)被3除2的自然数全体组成的集合C；（4）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合D
注意： 1、元素个数较少的有限集用列举法表示。 2、a与{a}的含义不同：a表示一个元素，而{a}表示一个集合 3、元素个数较多的有限集或无限集用描述法表示。
（2）互异性；
一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

1.1 集合及其表示

中国古代四大发
明可以组成一个集合．
图书馆专区内所
有数学书可以组成一个集合．
平面上到原点O的距离等于1的所有点可以组成一个集合．
人们常会将一些研究对象组成一个整体，并且用“集合”这个词表示这个整体．
1.1.1 集合的概念
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素．
小于6的正整数组成一个集合，大于3的实数也组成一个集合．那么，除了用这种自然语言表示集合，还可以如何表示集合呢？
1.1.2 集合的表示法
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法．
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
有些集合适宜用列举法表示，有些集合适宜用描述法表示，有些集合两种方法都适用，要根据需要具体问题选择适当的方法．
1.1.2 集合的表示法
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
练习
1.用列举法表示下列集合：（1）大于-5且小于9的所有奇数组成的集合；（2）方程x²-2x-3=0的解集． 2.用描述法表示下列集合．（1）大于-1且小于3的所有实数组成的集合；（2）平方等于9的所有实数组成的集合．
1.1.1 集合的概念
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．
小于6的所有自然数组成的集合、方程 x2+3x−4=0的所有实数解组成的集合都是有限集；所有的平行四边形组成的集合、不等式 x−3<０的所有解（画数轴）组成的集合都是无限集．

1.1集合及其表示法

1、观察下列研究的各个整体
(1)奉贤中学2013学年高一(为班全体学生；
(2)所有的锐角三角形；
(3)申花队所有现役球员；
(4)古华公园内所有好看的花。

思考：分析上述研究对象是否确定.
2、集合的表示方法有哪些？举出一些数学中、生活中的集合例子。

【例1】判断下列能否组成集合，为什么？
(1)20元左右的书；
(2)数学成绩名列前茅的学生；
(3)身高低于1米的小孩；
(4)《福布斯》2010全球20大富豪。

【例2】用符号•或一填空：
(1)0 _______ 0} ；(2) 0 ________ •一；(3) 0 _______ N；(4) 0 _______ Z；(5) 42 _______ Q ；(6) _ 2 _______ Z .
【例3】将下列用描述法表示的集合，改为用列举法来表示：
(1) {x| X C3且x E Z} ；(2) {y|y = x2—1, X 兰2且Z}；
(3){( X, y)| x y =5,x N
*, y N*}；变式：{x|—「N*,且
x Z}
x —2
【例4】用适当的方法表示下列集合
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合 A ；
(2)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合B ；
(3)直角坐标平面上第二象限的点组成的集合 C ；
(4)全体偶数组成的集合D ；
变式1:全体奇数组成的集合D ；6 *
(4) {x|— N ,且x Z}；x。

1.1集合及其表示方法(学生版)

（3）函数221y x x =-+的图像上所有的点（4）12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭例5、用列举法表示下列集合：（1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N（2）{}2230,x x x x --=∈R（3）{}2230,x xx x -+=∈R例6、用符号∈或∉填空：（1）{}23____11x x <（2）{}2*3____1,x x n n =+∈N（3）(){}21,1____y y x-=（4）()(){}21,1____,x y y x -=1.下列说法：①地球周围的行星能确定一个集合；②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．32. 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}，(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B3. 集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,0}D ．{－1,1}4. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为。

5．用另一种方法表示下列集合：（1）11325,,,,32537⎧⎫⎨⎬⎩⎭= 。

（2）{}3绝对值不大于的整数= 。

6. 集合{},5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为。

7. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为。

8.已知集合{}2,,A x x a b a b ==+∈Z ，若12,x x A ∈，判断：A x x ∈⋅21是否成立．1. 若集合A 含有两个元素0,1，则( )A ．1∉AB ．0∈AC ．0∉AD ．2∈A2. 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．103. 已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x ＝________.4. 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________．5.（2015上海模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}={0，，b}，则b-a=（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-26. 已知集合A 中含有三个元素m －1,3m ，m 2－1，若－1∈A ，求实数m 的值．7. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．8. 若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；10. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．。

高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的表示

第2课时集合的表示考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象理解描述法格式及其适用情况，并会数学抽象描述法表示集合用描述法表示相关集合区间及其表示会用区间表示集合数学抽象学会在集合的不同表示法中作出选择集合表示法的简单应用数学抽象和转换问题导学预习教材P5倒数第4行－P8的内容，思考以下问题：1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？4．如何用区间表示集合？1．列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．■名师点拨(1)应用列举法表示集合时应关注以下四点①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物．(2)a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．2．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．■名师点拨(1)应用描述法表示集合时应关注以下三点①写清楚集合中元素的符号，如数或点等；②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；③不能出现未被说明的字母．(2)注意区分以下四个集合①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y ＝x2＋1的图像上的点组成的集合；④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.3．区间的概念及表示(1)区间的定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)关于无穷大的两点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．( )(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．( )(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×方程x2－1＝0的解集用列举法表示为( )A．{x2－1＝0} B．{x∈R|x2－1＝0}C．{－1，1} D．以上都不对解析：选C.解方程x2－1＝0得x＝±1，故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}解析：选B.因为x－3<2，x∈N*，所以x<5，x∈N*，所以x＝1，2，3，4.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1<x<5}．答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1<x<5}(1){x|－1≤x≤2}可用区间表示为________；(2){x|1<x≤3}可用区间表示为________；(3){x|x>2}可用区间表示为________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为________；答案：(1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ； (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N . 【解】 (1)因为－2≤x ≤2，x ∈Z ，所以x ＝－2，－1，0，1，2，所以A ＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根，所以M ＝{2，3}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. 所以B ＝{(3，2)}．(4)因为15的正约数有1，3，5，15，所以N ＝{1，3，5，15}．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N ”可以表示为{0，1，2，3，…}．[注意] (1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ； (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ； (3)小于8的质数组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点组成的集合D .解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A ＝{2，3，4，5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3，3，所以B ＝{－3，3}．(3)小于8的质数有2，3，5，7，所以C ＝{2，3，5，7}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图像的交点为(1，4)，所以D ＝{(1，4)}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合； (2)不等式2x －3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图像上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，xy≥0}．(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．使用描述法表示集合应注意的问题(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同属性． (3)不能出现未被说明的字母．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2小于7的整数．解：(1)用描述法表示为{x ∈R |x (x 2－2x －3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}． (2)用描述法表示为{x ∈Z |2<x <7}，用列举法表示为{3，4，5，6}．区间及其表示把下列数集用区间表示：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－12；(2){x |x ＜0}； (3){x |－2＜x ≤3}； (4){x |－3≤x ＜2}； (5){x |－1＜x ＜6}．【解】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞； (2)(－∞，0)； (3)(－2，3]； (4)[－3，2)； (5)(－1，6)．解决区间问题应注意的五点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b －a 称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a }．(2)注意开区间(a ，b )与点(a ，b )在具体情景中的区别． (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示． (5)要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号．1．若[2a ＋1，3a －1]为一确定区间，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知3a －1＞2a ＋1，即a ＞2. 答案：(2，＋∞)2．不等式2x ＋3≤0的解集可用区间表示为________．解析：由2x ＋3≤0，得x ≤－32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 3．使15－x有意义的x 的取值范围为________(用区间表示)．解析：要使15－x有意义，则5－x ＞0，即x ＜5. 答案：(－∞，5) 集合表示方法的简单应用已知集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围．【解】 ①当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，x ＝32，符合题意．②当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得m ≥13，即当m ≥13时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m ＝0或m ≥13.1．(变条件)若将本例中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？解：当m ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，即集合A 中只有一个元素32，符合题意；当m ≠0时，Δ＝4－12m ＝0，即m ＝13.综上可知，m ＝0或m ＝13.2．(变条件)若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当m ＝0或m ＝13时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－12m >0，即m <13且m ≠0.所以A 中至少有一个元素时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤13.此题容易漏解m ＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m ＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m ≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m 进行分类讨论.已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}解析：选D.由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出，p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3；即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出，x ＝1或x ＝5. 所以集合B ＝{1，5}．1．已知集合A ＝{x |－1<x <3，x ∈Z }，则一定有( ) A ．－1∈A B ．12∈A C ．0∈AD ．1∉A解析：选C.因为－1<0<3，且0∈Z ，所以0∈A .2．将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1用列举法表示，正确的是( ) A ．{2，3} B ．{(2，3)} C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)解析：选B.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1＝{(2，3)}． 3．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x ，y )|x >0，y >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }与{y |y ＝x －1，x ∈R }是不相同的；④不等式2x ＋1>0的解集可用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 其中正确的是________(填序号)．解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x ，y )，所以①正确；对于②，方程x －2＋|y ＋2|＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，所以②不正确；对于③，集合{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，集合{y |y ＝x －1，x ∈R }＝R ，这两个集合不相同，所以③正确；对于④，不等式2x ＋1>0的解集为{x |x >－12}，用区间表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，所以④正确．答案：①③④4．设集合A ＝{4，a }，集合B ＝{2，ab }，若A 与B 的元素相同，则a ＋b ＝______．解析：因为集合A 与集合B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，ab ＝4，即a ＝2，b ＝2.故a ＋b ＝4.答案：4[A 基础达标]1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合解析：选D.本题中的集合是点集，其表示一次函数y ＝2x －1的图像上的所有点组成的集合．故选D.2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C 中t ＝0时，x ＝－3，不属于给定的集合；只有D 是正确的．故选D.3．已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0，1}，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选A.由题意，x 2＋ax ＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a ，所以a ＝－1.4．(2019·襄阳检测)已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A ，则集合B 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.因为A ＝{1，2，4}．所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，14，2，4，所以集合B 中元素的个数为5. 5．下列说法中正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．只有②和④解析：选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．不等式3x －13≤x 的解集可用区间表示为________．解析：由3x －13≤x ，得x ≤16，故不等式的解集为{x |x ≤16}，可用区间表示为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，16. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，167．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为____________．解析：集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1，故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－3x ＋a ＝0}用列举法表示为________．解析：因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，所以(－5)2＋5a －5＝0，解得a ＝－4.所以x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4，所以{x |x 2－3x ＋a ＝0}＝{－1，4}．答案：{－1，4}9．用列举法表示下列集合：(1){x |x 2－2x －8＝0}；(2){x |x 为不大于10的正偶数}；(3){a |1≤a <5，a ∈N }；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ； (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．解：(1){x |x 2－2x －8＝0}，列举法表示为{－2，4}．(2){x |x 为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}．(3){a |1≤a <5，a ∈N }，列举法表示为{1，2，3，4}．(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪169－x ∈N ，列举法表示为{1，5，7，8}． (5){(x ，y )|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}，列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．10．用描述法表示下列集合：(1){0，2，4，6，8}；(2){3，9，27，81，…}；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，56，78，…； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．解：(1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}．(2){x |x ＝3n ，n ∈N *}．(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －12n ，n ∈N *. (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．[B 能力提升]11．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选C.集合A 中只有一个元素，即方程kx 2＋4x ＋4＝0只有一个根．当k ＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k ＝0，即k ＝1.所以实数k 的值为0或1.12．设P 、Q 为两个实数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故选B.13．(2019·襄阳检测)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A.设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.14．设a ∈N ，b ∈N ，a ＋b ＝2，集合A ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －a )2＝5b }，(3，2)∈A ，求a ，b 的值．解：由a ＋b ＝2，得b ＝2－a ，代入(x －a )2＋(y －a )2＝5b 得：(x －a )2＋(y －a )2＝5(2－a )①，又因为(3，2)∈A ，将点代入①，可得(3－a )2＋(2－a )2＝5(2－a )，整理，得2a 2－5a ＋3＝0，得a ＝1或1.5(舍去，因为a 是自然数)，所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.[C 拓展探究]15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？解：若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．所以共有11＋4＝15(个)．。

1.1集合与集合的表示方法

看下面一些集合的例子：
(1)1～20以内的所有质数； (2)我国从1991～2013年的23年内所发射的所有人造卫星；
(3)上海大众汽车厂2013年生产的所有汽车；
(4)2013年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
看下面一些集合的例子： (5)所有的正方形； (6)到直线l的距离等于定长d的所有的点； (7)方程 x 3x 2 0 的所有实数根；
2．选择题 ⑴ 以下说法正确的( C
)
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定
2 0 , a , a 3a 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a为( c )
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…..表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…..表示集合中的元素。元素与集合的关系有两种:

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作： a A 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作： a A
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定
解：∵ ＝2＋ 3＝2＋ 3×1，而 2,1∈Z， 2－ 3 ∴2＋ 3∈A，即 1 2－ 3 ∈A.，所以 1 2－ 3 是集合 A 中的元素．
1
能力提高题 1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}. ① {x|x=3n-2, n ∈ N* 且 n≤5} 解： n ② {x|x= , n ∈ N*且n≤5} 请同学回答：已知a+b+c=m， A={x|ax2+bx+c=m}，判断1与A的关系。 2.用列举法表示下列集合：

1.1集合及其表示方法

∉
填空：例2.用∈ 或 ∉填空：用 (1) 0____{0} ; (2) 0____ Ø ; (3) 0____N ; (4) -1____Z ; (5) π____Q ; (6) 0____N* .
例3．用适当的方法表示集合： (1) |x|<5的所有整数； (2) 所有奇数构成的集合； (3) 方程(x-1)(x2+x-2)=0的解的集合； (4) 直角坐标平面上第三象限的点； (5) 函数y=|x|-3的所有函数值组成的集合.
，（0 分别与集合A={x|y=x 例4.判断元素 0，1，（0，1）分别与集合A={x|y=x2 +1}, 4.判断元素 +1}之间的关系之间的关系。 B={y|y=x2 +1}, C={(x,y)|y=x2 +1}之间的关系。
的取值范围. 例5.已知 A={ , x2-x}, 求x的取值范围. 5.已知 A={2x },
记作“a ∈ A”，读作“a属于A”
如果a不是集合的元素如果不是集合A的元素不是集合
记作“a ∉ A”，读作“a不属于A”
2．集合元素的三个特性： (1)确定性：元素与集合的从属关系是明确的；
(a ∈ A, a ∉ A二者必居其一)
元素的属性是明确的（不能模棱两可） (2)互异性：集合中的元素是互不相同的；（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象） (3)无序性：不考虑元素之间的顺序.
3．集合的分类：（1）有限集：只含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：不含任何元素的集合。记作: Ø 另外，另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等把集合分成数集、
4．集合的表示方法： (1)列举法：将集合中的元素一一列出(不考虑元素的顺序)，元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。 (2)描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性

1.1集合及其表示法

2
“物以类聚，人以群分”
（1）我校高一年级的全体学生；
（2）平面上到定点距离等于定长的点的全体；（3）1，3，5，7，9；（4）不等式3x+2>0的解的全体；（5）方程x2+2x-3=0的解的全体 ……
3
一、集合：
把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集集合中的各个对象叫做这个集合的元素
无限集：含有无限个元素的集合
空集：不含任何元素的集合，记作举法
将集合中的元素一一列出来，用逗号隔开，并
写在大括号内；例如{1，3，5，7，9}
描述法
A
x x
满足的性质
p
8
例 1 ：用符号、填空； 0 7 0 y | y x 1 0 ________
说明：本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有更好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
1
第一章集合与命题
初中数学
1.1集合及其表示方法
二、集合的元素的性质：
确定性：互异性：无序性：
4
三、符号及关系表示
集合：A、B、C…… 元素：a、b、c……
若 a 是集合 A 的元素，记作
a A a A
读作“a属于A”
若 a 不是集合 A 的元素，记作
读作“a不属于A”
例如：由1,3,5,7,9组成的集合A
A 1,3,5,7,9
2
12
七、课堂小结：
13

1.1 集合及其表示法

学习目标：
1.了解集合的含义，掌握常用数集及其记法. 2.体会元素与集合之间的关系，能判断某一元素“属于”或“不属于”某一集合. 3.能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
重难点：
重点集合的基本概念与表示方法难点选择恰当的方法表示一些简单的集
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
二、集合中元素的特征
提出问题
1. “我们班中高个子的同学”“接近0的数”“咱们必修1教材中所有的难题”能否分别组成一个集合？为什么？
结论:不是9种，而是7种.对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素.这体现了集合中元素的互异性.
3.我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？
结论:因为班级的同学没有变化，只是每个人的位置发生了变化，所以还是原来的班集体.这体现了集合中元素的无序性.
合一、概念提出来自题1.对于群体这个概念，我们知道象群、鸟群、人群，你能再举出一些类似的例子吗？结论:我们经常像这样在一定范围内，对所讨论的事物进行分类，分类后常用一些术语来描述它们，例如“群体”“全体”“集合” 等.
2.观察下列对象：（1）1～20以内所有的质数；（2）我国在1991～2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程x^2+3x－2=0的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体. 这些例子都能组成集合吗？它们有什么共同的特征？

1.1.1集合及其表示方法(新教材教师用书)

1.1.1集合及其表示方法(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3.在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5.区间的概念．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.【情境导学】(教师独具内容)一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？”由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天，数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！”你能理解这位数学家的话吗？【知识导学】知识点一集合与元素的定义(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素．(3)表示：通常用英文大写字母A，B，C，…表示集合，用英文小写字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就记作□01a∈A，读作“a属于A”．(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就记作□02a∉A，读作“a不属于A”．知识点三空集□01空集(empty set)，记作□02∅.知识点四集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．知识点五集合的分类(1)有限集；(2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示知识点七集合的表示方法集合常见的表示方法有：□01自然语言、□02列举法、□03描述法、□04“区间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法)．(1)列举法：把集合中的元素□05一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．(2)描述法：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个□06特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．知识点八区间实数集R可以用区间表示为□01(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为□02[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示；例如，大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只居其一．()(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.()(4)对于区间[2a，a＋1]，必有a<0.()(5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，∉)填空．0________∅，0________{0},0________N，－2________N*，13________Z，2________Q，π________R.(3)不等式2x－1≥3的解集可以用区间表示为________．答案(1)A(2)∉∈∈∉∉∉∈(3)[2，＋∞)题型一集合概念的理解例1下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②高一数学必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数全体；④某校高一年级的全体女生；⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合；⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员；⑦a，b，a，c.[解析]①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．③不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合．④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”．⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”．⑥不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合．⑦不能构成集合．因为两个a是重复的，不符合集合元素的互异性．[答案]①④⑤金版点睛判断一组对象能否构成集合的方法(1)关键：看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素．(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1]判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合．解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故正确．(2)中的“高科技”标准是不确定的，所以不能构成集合，故错误．(3)中由于0.5＝12，不符合集合中元素的互异性，故错误．(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故正确.题型二元素与集合关系的判断与应用例2(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4(2)集合A中的元素x满足66－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析](1)∵π是实数，3是无理数，∴①②正确；∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|＝4是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．(2)∵66－x∈N，x∈N，∴⎩⎪⎨⎪⎧66－x≥0，x≥0，即⎩⎨⎧6－x>0，x≥0，∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5.当x分别为0,3,4,5时，66－x相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5.[答案](1)B(2)0,3,4,5金版点睛1.常用数集之间的关系2.确定集合中元素的三个注意点(1)判断集合中元素的个数时，注意集合中的元素必须满足互异性.(2)集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性.(3)若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.[跟踪训练2](1)用符号“∈”或“∉”填空．①0________N*；②1________N；③1.5________Z；④22________Q；⑤4＋5________R；⑥若x2＋1＝0，则x________R.(2)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.①求实数x应满足的条件；②若－2∈A，求实数x的值．答案 (1)①∉ ②∈ ③∉ ④∉ ⑤∈ ⑥∉ (2)见解析解析 (1)①∵0不是正整数，∴0∉N *. ②∵1是自然数，∴1∈N .③∵1.5是小数，不是整数，∴1.5∉Z . ④∵22是无理数，∴22∉Q .⑤∵4＋5是无理数，无理数是实数，∴4＋5∈R . ⑥∵满足x 2＋1＝0的实数不存在， ∴x 为非实数，∴x ∉R .(2)①根据集合元素的互异性，可知⎩⎨⎧x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3，即x ≠0，且x ≠3且x ≠－1.②∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，且－2∈A ，∴x ＝－2. 题型三集合中元素的特性例3 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值．[解] (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求．得a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. 金版点睛利用集合元素互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(也是本讲易错问题)(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] 已知集合A 包含三个元素：a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值．解因为A 包含三个元素a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，解得a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，A 中三个元素为：－3，－3,12，不符合集合中元素的互异性，舍去．当a ＝－32时，A 中三个元素为：－72，－3,12，满足题意．故a ＝－32. 题型四集合的分类例4 下列各组对象能否构成集合？若能，请指出它们是有限集、无限集，还是空集． (1)非负奇数；(2)小于18的既是正奇数又是质数的数； (3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点； (4)在实数范围内方程(x 2－1)(x 2＋2x ＋1)＝0的解集； (5)在实数范围内方程组⎩⎨⎧x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1的解构成的集合．[解] (1)能构成集合，是无限集．(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数，其余的都是正奇数，所以能构成集合，是有限集．(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能构成集合，是无限集．(4)能构成集合，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1，1，是有限集． (5)由x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，方程无实根，由此可知方程组⎩⎨⎧x 2－x ＋1＝0，x ＋y ＝1无解，能构成集合，是空集．金版点睛集合的分类方法判断集合是有限集，还是无限集，关键在于弄清集合中元素的构成，从而确定集合中元素的个数．[跟踪训练4] 指出下列各组对象是否能组成集合，若能组成集合，则指出集合是有限集、无限集，还是空集．(1)平方等于1的数；(2)所有的矩形；(3)平面直角坐标系中第二象限的点；(4)被3除余数是1的正数；(5)平方后等于－3的实数；(6)15的正约数．解 (1)中对象能组成集合，它是一个有限集；(2)中对象能组成集合，它是一个无限集；(3)中对象能组成集合，它是一个无限集；(4)中对象能组成集合，它是一个无限集；(5)中对象能组成集合，它是一个空集；(6)中对象能组成集合，它是一个有限集.题型五用列举法表示集合例5 用列举法表示下列集合：(1)方程x 2－4x ＋2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的质数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－4x ＋2＝0的实数根为2，故其实数根组成的集合为{2}．(2)不大于10的质数有2,3,5,7，故不大于10的质数集为{2,3,5,7}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图像的交点组成的集合为{(1,1)}．金版点睛用列举法表示集合应注意的三点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复．(3)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．[跟踪训练5] 用列举法表示下列集合：(1)不等式组⎩⎨⎧ 2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合； (2)式子|a |a ＋|b |b (a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解 (1)由⎩⎨⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5得3<x ≤6，又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．(2)∵a≠0，b≠0，∴a与b可能同号也可能异号，则：①当a>0，b>0时，|a|a＋|b|b＝2；②当a<0，b<0时，|a|a＋|b|b＝－2；③当a>0，b<0或a<0，b>0时，|a|a＋|b|b＝0.故所有值组成的集合为{－2,0,2}.题型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：(1)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合；(2)所有被3除余1的整数的集合；(3)使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合．[解](1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．(2)因为被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}．(3)要使y＝1x2＋x－6有意义，则x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.所以使y＝1x2＋x－6有意义的实数x的集合为{x|x≠2且x≠－3，x∈R}．金版点睛用描述法表示集合的注意点(1)用描述法表示集合，首先应弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．[跟踪训练6] 试用描述法表示下列集合：(1)方程x 2－x －2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解 (1)方程x 2－x －2＝0的解可以用x 表示，它满足的条件是x 2－x －2＝0，因此，方程的解集用描述法表示为{x ∈R |x 2－x －2＝0}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x 表示，它满足的条件是x ∈Z ，且－1<x <7，因此，该集合用描述法表示为{x ∈Z |－1<x <7}.题型七列举法和描述法的综合运用例7 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .[解] ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0，∴x ＝2，此时A ＝{2}，符合题意．②当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根．即Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1，从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合．解由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等的实根．∴⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1且k ≠0.∴k 的取值范围的集合为{k |k ＜1且k ≠0}．金版点睛分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．②由kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0两种情况，注意做到不重不漏．(2)解答与集合描述法有关的问题时，明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点．[跟踪训练7] (1)设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪ 62＋x ∈N . ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B .(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．解 (1)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N .所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6， ∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．(2)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6.题型八集合中的新定义问题例8 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B 中的元素有9个，故选D.[答案]D金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表(含树形图)使用.[跟踪训练8]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 中的所有元素之和为()A．0 B．2 C．3 D．6答案D解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知A*B＝{0,2,4}，故集合A*B中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.1．下列所给的对象不能组成集合的是()A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．我班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点答案C解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性．故选C.2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为()A．2 B．2或4 C．4 D．0答案B解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，∴a＝2符合题意；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4符合题意；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A，综上所述，a＝2或4.故选B.3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.4．用适当符号(∈，∉)填空．(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．答案(1)∈(2)∈解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A＝{1，a}．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案D解析因为集合S＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a，b，c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D.2．下列集合的表示方法正确的是()A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R答案D解析A中应是xy<0；B中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，应为{x|x<5}；C中的“{}”与“全体”意思重复．故选D.3．下列集合恰有两个元素的是()A．{x2－x＝0} B．{x|y＝x2－x}C．{y|y2－y＝0} D．{y|y＝x2－x}答案C解析A为一个方程集，只有一个元素；B为方程y＝x2－x的定义域，有无数个元素；C为方程y2－y＝0的解，有0,1两个元素；D为函数y＝x2－x的值域，有无数个元素．故选C.4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9答案C解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，由上表可知B＝{0，－1，－2，1,2}，因此集合B中共含有5个元素．故选C.5．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是()A．a≠2 B．a＞2 C．a≥2 D．a＝2答案C解析因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2，故选C.二、填空题6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________.答案{4,9,16}解析由题意，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，依次计算出B中元素，用列举法表示可得B＝{4,9,16}，故答案为{4,9,16}．7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．答案a＝0或a≤－9 16解析当a＝0时，A＝{x|x＝－43}；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，所以Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916.故所求的a 的取值范围是a ＝0或a ≤－916.8．已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析根据“孤立元”的定义，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．故答案为6.三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y ＝2x －3图像上所有点的集合；(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集．解 (1){－2,0,2}．(2){m |m ＝3n ＋1，n ∈N }．(3){(x ，y )|y ＝2x －3}．(4){(0,1)}．10．已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值．解 ①若a ＋3＝1，则a ＝－2，此时A ＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2.当a ＝0时，A ＝{3,1,2}，满足题意；当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1，此时A ＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a 的值为－1或0.B 级：“四能”提升训练1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)不一定．证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.2．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.(1)求证：若a∈S，则1－1a∈S；(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．解(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，即a≠0.由a∈S，则11－a∈S可得11－11－a∈S，即1 1－11－a ＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.故若a∈S，则1－1a∈S.(2)由2∈S，知11－2＝－1∈S；由－1∈S，知11－(－1)＝12∈S，当12∈S时，11－12＝2∈S，因此当2∈S时，S中必含有－1和1 2.(3)证明：由(1)，知a∈S，11－a∈S,1－1a∈S.下证：a，11－a，1－1a三者两两互不相等．①若a＝11－a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠11－a；②若a＝1－1a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠1－1 a；③若11－a＝1－1a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴11－a≠1－1a.综上所述，集合S中至少有三个不同的元素．。

1.1 集合及其表示法

合的一个元素”.
我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、
正实数集、负实数集分别表示为 Z 、 Z 、 Q 、 Q 、 R 、 R .
从上面 7 个例子可以看出，有些集合，如（1）、（2）、（6），它们都只含有有限个元素；而有些集合如（3）、（4）、（5）、（7），它们都含有无限个元素.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.
（2） B 对运算“ ”不是封闭的，举反例：若 a 1 2 ， b 1 2 ，则 a,b B ，而 a b 1 B ，不满足定义.
【高考真题】
1、设 P x x 3m,m Z ， Q x x 3m 1,m Z ， S x x 3m 1,m Z ，
（1）设 A x x p 2q, p,q Z ，判断 A 对运算“ ”是否封闭？（2）设 B x x p 2q, p,q Z ,q 0 ，判断 B 对运算“ ”是否封闭？
【解】（1）任取 a,b A ，则必存在 m, n, p, q Z ，使得 a m 2n ， b p 2q ，而 a b (m 2n) ( p 2q) mp 2nq 2(np mq) ， m, n, p, q Z ， mp 2nq Z ， np mq Z ， a b A ， A 对运算“ ”是封闭的；
E；
【解】（1）；（2）；（3）；（4），；（5）.
6、已知 A x x2 ( p 1)x q 0 ， B x x2 px q 0 ，当 A 2 时，求 B .
【解】由题意可知 x2 ( p 1)x q 0 有两个相等的根 x1 x2 2 ，

高一数学重点知识点整理

第一章集合与命题1.1 集合及其表示法我们把能够确切指定一些对象组成的整体叫做集合，简称集(set)集合中的各个对象叫做这个集合的元素（element ）如果a 是集合A 的元素，就记作a∈A ，读作“a 属于（belong to ）A”如果a 不是集合A 的元素，就记作a∈A ，读作“a 不属于A”数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N不包括零的自然数组成的集合，记作N *全体整数组成的集合即整数集，记作Z全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q全体实数组成的集合即实数集，记作R我们还把正整数集，负整数集，正有理数集，负有理数集，正实数集，负实数集分别记作 Z +，Z -，Q +，Q -，R +，R -我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集空集是没有任何元素的集合，记作∈将集合中的元素一一列出来，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即A=「x|x 满足性质P 」，这种表示集合的方法叫做描述法1.2 集合之间的关系1.子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都属于子集B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B 或B ⊇A ，读作A 包含于B 或B 包含A用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图，是A ⊆B 或B ⊇A 的文氏图 2.相等的集合对于两个集合A 和B ，如果A⊆B 且B⊆A ，那么就叫做集合A 和集合B 相等，记作A=B ，读作“集合A 等于集合B”。

因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等3.真子集对于两个集合A ，B ，如果A⊆B ，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 就叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B”或“B 真包含于A”对于数集N ，Z ，Q ，R 来说，有N Z Q R1.3 集合的运算一般的，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B ，读作“A 交B”即A∩B=「x|x ∈A 且x∈B 」由所属集合A 或者所属集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作AUB ，读作“A 并B”，即B AAUB=「x|x∈A或x∈B」在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个集合叫做全集，常用符号U表示设U为全集，A是U的子集，则有U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作U A，读作“A补”A=「x|x∈U，X∈A」U1.4 命题的形式及等价关系1.命题与推出关系确定一个命题是假命题，只要举出一个满足条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例确定一个命题是真命题，就必须做出证明，证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论一般地说，如果命题a成立可以推出命题b也成立，那就可以说由a推出b，并用记号a⇒b，读作“a推出b”2.四种命题形式一个数学命题用条件a，结论b表示就是如果a，那么b，如果把结论和条件互换，就得到一个新命题：“如果b，那么a”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题，显然它们互为逆命题一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另外一个命题叫做原命题的否命题如果把原命题“如果a，那么b”结论的否定作为条件，把条件的否定作为结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题如果A、B是两个命题，A⇒B，B⇒A，那么A、B叫做等价命题，原命题与逆否命题就是等价命题1.5 充分条件，必要条件一般地，用a，b分别表是两个命题，如果命题a成立，可以推出命题b也成立，即a⇒b，那么a叫做b的充分条件，b叫做a的必要条件，也就是说，为了使b成立，具有条件a就足够了如果既有a⇒b，又有b⇒a，那么a就是b的充分条件，又是b的必要条件，这时我们就说a是b的充分必要条件，简称充要条件第二章不等式2.1 不等式的基本性质性质1 如果a>b,b>c，那么a>c性质2 如果a>b,那么a+c>b+c性质3 如果a>b,c>0,那么ac>bc如果a>b,c<0，那么ac<bc如果a>b>0，那么a n>b n2.2 一元二次不等式的解法一个整式不等式，只含有一个未知数，并且未知数的指数最高次是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式设a，b都是实数，并且a<b，我们规定：1）集合{x|a≦x≦b}叫做闭区间，表示为[a.b]2）集合{x|a<x<b}叫做开区间，表示为（a，b）3）集合{x|a≦x<b}或者{x|a<x≦b}叫做半开半闭区间，分别表示为[a.b)或(a,b]2.3 其他不等式的解法>0的不等式称为分式不等式形如f（x）φ（x）含绝对值的不等式的解法X （当x>0时）我们知道，|x|= 0 （当x=0时）-x （当x<0时）2.4 基本不等式及其应用基本不等式1 对于任意实数a和b，有a²+b²≧2ab，且仅当a=b时，等号成立≧√ab，有且仅当a=b时，等基本不等式2 对于任意实数a和b，对任意正实数a，b有a+b2号成立和√ab分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数我们把a+b22.5 不等式的证明要证明a>b，只要证明a-b>0；同样，要证明a<b只要证明a-b<0，这种证明不等式的方法叫做比较法从要求证的结论出发，经过适当地变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题。

高中数学 1.1集合的含义及其表示

1.1集合的含义及其表示一.课标解读1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.二.要点扫描1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。

2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。

设集合A 给定，若有一具体对象x ，则x 要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。

⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。

设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。

3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于)(∈”或“不属于)(∉”。

例如：a 是集合的元素，记作A a ∈，读作“属于”；不是集合的元素，记作A a ∉，读作“不属于”。

4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。

特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。

⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。

A A A A A a A a A a A例如：集合A 可以用它的特征性质)(x p 描述为{)(x p I x ∈}，这表示在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质)(x p 。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法第2课时集合的表

第2课时集合的表示方法必备知识·探新知基础知识1．列举法把集合中的元素__一一列举__出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法．思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以．但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．2．描述法(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．(2)特征性质描述法(简称为描述法)：集合A可以用它的特征性质p(x)表示为__{x|p(x)}__.(3)集合__{x|p(x)}__中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}．思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：列举法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，a n}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括3．区间及其表示(1)一般__区间__的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b)半开半{x|a≤x<b}[a，b)闭区间半开半(a，b]{x|a<x≤b}闭区间(2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考3：区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．基础自测1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为( D )A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．2．第一象限的点组成的集合可以表示为( C )A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．3．能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为__{x|x＝2n，n∈N*}__.4．下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．其中，集合表示方法正确的是__③__(填序号)．5．(1){x |－1≤x ≤2)}可用区间表示为__[－1,2]__； (2){x |1<x ≤3}可用区间表示为__(1,3]__； (3){x |x >2}可用区间表示为__(2，＋∞)__； (4){x |x ≤－2}可用区间表示为__(－∞，－2]__.关键能力·攻重难类型用列举法表示集合 ┃┃典例剖析__■典例1 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根构成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图像的交点构成的集合．思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式．解析：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}．(3)方程y ＝x －1与y ＝－23x ＋43可分别化为x －y ＝1与2x ＋3y ＝4，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合可表示为{(75，25)}．归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示．又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合．┃┃对点训练__■1．用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合． (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解析：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}． (2)因为a ≠0，b ≠0，所以a 与b 可能同号也可能异号，所以①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2；③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2,0,2}．类型用描述法表示集合 ┃┃典例剖析__■典例2 用描述法表示以下集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合； (3)使y ＝2－xx有意义的实数x 组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合； (5)方程x 2－5x －6＝0的解组成的集合．思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x ∈N ”等条件．解析：(1)集合可表示为{x ∈R |2≤x ≤20}．(2)第二象限内的点(x ，y )满足x <0，且y >0，故集合可表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(3)要使该式有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ≠0，解得x ≤2，且x ≠0.故此集合可表示为{x |x ≤2，且x ≠0}． (4){x |x ＝2k ＋1，x <200，k ∈N }． (5){x |x 2－5x －6＝0}．归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式． 2．准确说明集合中元素所满足的特征．3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．┃┃对点训练__■ 2．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②所有奇数组成的集合为{x |x ＝2n ＋1}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合．其中正确的有( A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①正确；②不正确，应为{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }；③不正确，{(x ，y )|y ＝1－x }表示的是点集，而{x |y ＝1－x }表示的为数集．类型集合与方程的综合问题 ┃┃典例剖析__■典例3 (1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则a ＝( D )A ．1B ．2C ．0D ．0或1(2)设12∈{x |x 2－ax －52＝0}，则集合{x }x 2－192x －a ＝0}中所有元素之积为__92__.思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一根；(2)先求出a 的值，再求元素之积．解析：(1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素． (2)因为12∈{x |x 2－ax －52＝0}．所以(12)2－12a －52＝0，解得a ＝－92，当a ＝－92时，方程x 2－192x ＋92＝0的判别式Δ＝(－192)2－4×92＝2894>0，由x 2－192x ＋92＝0，解得x 1＝12，x 2＝9，所以{x |x 2－192x ＋92＝0}＝{12，9}，故集合{x |x 2－192x ＋92＝0}的所有元素的积为12×9＝92.归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0，b ≠0时，方程有一个解；当a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．┃┃对点训练__■3．(1)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a 的取值范围．解析：(1)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，9－3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.因此a ＝5，b ＝6.(2)A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a ＝0或a ＝1时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－4a >0，即a <1且a ≠0.所以A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为(－∞，1]．易混易错警示对集合中的代表元素认识不到位┃┃典例剖析__■典例4 用列举法表示下列集合：(1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；(3)C ＝{方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，的解}．错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y ，习惯认为是x ，误认为A ＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B ＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C ＝{1,2}．解析：(1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ，所以当x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意，所以用列举法表示为A ＝{2,5,6}．(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，满足条件，所以用列举法表示为B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，用列举法表示为{(1,2)}．误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么．学科核心素养集合中的“新定义”问题 ┃┃典例剖析__■“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题．由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解．典例5 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中所有元素之和为( D )A．0 B．2C．3 D．6分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含义．解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，∴只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可．∵1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，∴A*B＝{0,2,4}，∴所有元素之和为0＋2＋4＝6.规律方法：(1)理解新定义．例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的．(2)运用新定义．例如，本例给出具体的A、B，求A*B.(3)不要被新符号迷惑．例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“＋”“－”“×”“÷”一样，用符号表示运算法则．课堂检测·固双基1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( C )A．{x|x＝2 019} B．{y|(y－2 019)2＝0}C．{x＝2 019} D．{2 019}解析：选项A，B，D中都只有一个元素“2019”，故它们都是相同的集合；而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x＝2 019，而不是实数 2 019，故此集合与其他三个集合不同．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( D )A．{x|－3<x<11，x∈Q}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选项A 表示的是所有大于－3且小于11的有理数；选项B 表示的是所有大于－3且小于11的实数；选项C 表示的集合中不含有－2这个偶数．3．用列举法表示集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x 2y ＝－x 正确的是( B )A ．(－1,1)，(0,0)B ．{(－1,1)，(0,0)}C ．{x ＝－1或0，y ＝1或0}D ．{－1,0,1}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以已知集合可用列举法表示为{(－1,1)，(0,0)}．4．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n －m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中的元素个数为__4__. 解析：当n ＝2，m ＝3时，n －m ＝－1；当n ＝2，m ＝4时，n －m ＝－2；当n ＝3，m ＝4时，n －m ＝－1；当n ＝3，m ＝2时，n －m ＝1；当n ＝4，m ＝2时，n －m ＝2；当n ＝4，m ＝3时，n －m ＝1.所以集合B 中的元素共4个：－2，－1,1,2.5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集． (1)由方程x 2＋x －2＝0的根组成的集合；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)不等式3x ＋4≥x 的解集．解析：(1)因为方程x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1，所以由方程x 2＋x －2＝0的根组成的集合为{－2,1}．有限集．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．有限集．(3)由3x ＋4≥x 得2x ≥－4，所以x ≥－2，所以不等式3x ＋4≥x 的解集是[－2，＋∞)．无限集．。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法新人教B版必修第一册

集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用 “，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.
2．用描述法表示下列集合： (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.
3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实
数a的取值范围是________．
[0,4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0
时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝ 0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}． (2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为 {(x，y)|y＝x2－10}．
集合的表示法的应用角度一方程、不等式问题【例 3】若集合 A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则 a＝ () A. －4 B. 0 C. 4 D. 0 或－4 A [依题意，得关于 x 的方程 ax2＋ax－1＝0 只有一个实根，所以aΔ≠＝00，，即aa≠ 2＋04，a＝0，解得 a＝－4，选 A.]
合作探究提素养
用列举法表示集合
【例 1】 (1)若集合 A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合 A 中元素的个数
是( )
A．1
B．2
C．3

1.1 集合及其表示法

1.1集合及其表示方法

1.1 集合及其表示

1.1集合及其表示法

1.1集合及其表示方法(学生版)

高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的表示

1.1集合与集合的表示方法

1.1集合及其表示方法

1.1集合及其表示法

1.1 集合及其表示法

1.1.1集合及其表示方法(新教材教师用书)

1.1 集合及其表示法

高一数学重点知识点整理

高中数学 1.1集合的含义及其表示

高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第2课时 集合的表

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法新人教B版必修第一册

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法第2课时集合的表