2015-2016学年高中数学第二、三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4

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高中数学三角恒等变换专项练习(含答案)

高中数学三角恒等变换专项练习一、选择题1．2sin15°cos15°=（） A ． B ．C ．D ．2．已知3cos(),sin 245x x π-=则=（） A ．1825 B ．725C ．725-D ．1625-3．计算sin 77cos 47sin13cos 43-o o o o 的值等于（）A ．12B 3．22 D 34．cos42cos78sin 42cos168+=o o o o （）A ．12 B ．12- C ．32- D ．325．已知α，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（） A ．4π- B ．4πC ．34π-D ．34π6．sin 20cos10cos160sin10-=o o o o（）A ．32-B ．32C ．12-D ．127．已知tan()25πα+=，4tan()35πβ-=-，则tan()αβ-=（） A ．1 B ．57- C ．57D ．1-8．=-8sin 8cos 44ππ（）A ．0B ．－22C ．1D ．22 9．已知角βα,均为锐角，且,31)tan(,53cos -=-=βαα=βtan 则A ．31B ．139C ．913D ．310．已知1027)4(sin =-πα，257cos2=α，=αsin （）A ．54 B ．54- C ．53- D ．53 11．若sin 3cos αα=，则2sin 2cos αα=（）A.2B.3C.4D.6 12．化简2cos ()4πα--2sin ()4πα-得到（） A ．α2sin B ．α2sin - C ．α2cos D ．α2cos -13．若41)3sin(=-απ，则)23cos(απ+等于（）A ．87-B ．41- C ．41 D ．8714．已知α为第二象限角，3sin cos αα+=，则cos2α=（） A ．5 Ｂ．5- C ．5 D ． 5- 15．(cos sin)(cossin)12121212ππππ-+= （）A ．3-B ．12-C ．12D ．316．已知角α为第二象限角，,53sin =α则=α2sin （） A.2512- B.2512 C.2524- D.252417．计算1﹣2sin 222.5°的结果等于（） A ． B ． C ．D ．18．若1tan()47πα+=，则tan α=（）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-19．函数2cos 2sin y x x =+，R ∈x 的值域是( )A ．]1,0[B ．]1,21[ C ．]2,1[- D ．]2,0[二、填空题20．sin 215°﹣cos 215°= ．21．已知4cos(),25πθ+=则cos2θ的值是． 22．若3sin()25πα+=，则cos2α= ．23．cos 43cos77sin 43cos167+oo o o 的值为．24．若π1sin +123α=（），则7πcos +12α=（）． 25．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________．26．若1cos()33απ-=，则sin(2)απ-6的值是． 27．若1sin cos 3αα-=，则sin2α= .28．已知tan 125tan αα+=-，则sin cos sin 2cos αααα+=-________________．三、解答题29．已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（1）求方程()f x =0的根；（2）求()f x 的最大值和最小值.30．已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.参考答案1．A【解析】试题分析：直接利用二倍角的正弦函数化简求值即可．解：2sin15°cos15°=sin30°=．故选：A ．考点：二倍角的正弦． 2．C 【解析】试题分析：有已知可得：3cos cos cos sin sin cos sin 44455x x x x x πππ⎛⎫-=+=⇒+=⎪⎝⎭，平方可得：()22cos sin 12sin cos 1sin 2x x x x x =+=+=+⎝⎭，解得7sin 225x =-，故选择C 考点：三角恒等变换 3．A 【解析】试题分析：根据诱导公式得：οο13cos 77sin =，οο43sin 47cos =，所以原式=οοοο13sin 43cos 13cos 43sin -2130sin )1343sin(==-=οοο。

人教版数学高二第三章三角恒等变换单元测试精选(含答案)1

1 3
x
6
,
x
R
.
（I）求
f
5 4
的值；
试卷第 6页，总 9页
（II）设 ,
0,
2
,
f
3
2
10 13
,
f
(3
2
)
6 5
,求 cos( )
的值．
16
【答案】（I）
2
；（II）
65
41．如图，在 ABC 中， B ， AB 8 ，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 ， 3
B．30°
C．60°
试卷第 2页，总 9页
D．30°或 150°
【答案】A
15． 4sin 80
cos10 sin10
（
）
A． 3
B． 3
C． 2
D． 2 2 3
【答案】B
sin 16．若 sin
cos cos
1 2
，则 tan 2
等于（
）
A． 3 4
3
B．
4
C． 4 3
4
D．
3
【答案】B
驶 4h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为
km
【答案】 30 2 28．下列四个命题：①存在实数 a ，使 sin cos 1成立；②存在实数 a ，使
sin
cos
7 5
；③函数
y
cos
3 2
x
是奇函数；④直线
x
2
是
y
cos
x 3
6
图像的一条对称轴.其中真命题的序号是___________________.

高一数学三角恒等变换单元测试题

高一数学三角恒等变换测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．sin 47°cos 43°＋cos 47°sin 43°等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.122．log 2sinπ12＋log 2cos π12的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( ) A ．－47B.47C.18D ．－184．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19 C.19D.535．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 6．若f (sin x )＝2－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．2－sin 2x B ．2＋sin 2x C ．2－cos 2xD ．2＋cos 2x7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.458．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15B.14C.13D.129．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β∈(π，32π)，则cos β2为( )A ．－55B ．±55C ．－255D ．±25510．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝26(0＜θ＜π2)，则sin 2θ的值为( )A.23B.73 C.76D.346二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝1－2sin 2(x －π6)的最小正周期是________．12．已知α、β均为锐角，sin α＝35，cos β＝513，则tan(α－β)的值是________．13．已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos(π4＋α)sin(π4－α)的值为________．14．(2011·重庆高考)已知sin α＝12＋cos α，且α∈(0，π2)，则cos 2αsin （α－π4）的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分)．15．(本小题满分12分)证明下列恒等式． sin α＝2tanα21＋tan 2α2，cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；16．(本小题满分12分)已知cos(α－β2)＝－277，sin(α2－β)＝12且α∈(π2，π)，β∈(0，π2)．求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．17．(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．18．(本小题满分14分)已知f (x )＝sin x ＋2sin(π4＋x 2)cos(π4＋x2)．(1)若f (α)＝22，α∈(－π2，0)，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈(π2，π)，求f (x )的值．一、选择题 BCABD DCDA1．解析：原式＝sin(47°＋43°)＝sin 90°＝1. 2．解析：原式＝log 2(sinπ12cos π12)＝log 2(12sin π6)＝log 214＝－2. 3．解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3＋51－3×5＝－47.4．解析：∵sin α＝23，∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×(23)2－1＝－19.5．解析：∵sin 2αcos 2α＝2sin α·cos αcos 2α＝2tan α＝6. 6．解析：f (sin x )＝2－cos 2x ＝2－(1－2sin 2x )＝2sin 2x ＋1， ∴f (cos x )＝2cos 2x ＋1＝2cos 2x －1＋2＝cos 2x ＋2. 7．解析：由条件可知，32cos α＋12sin α＋sin α＝45 3. ∴32(cos α＋3sin α)＝453. ∴sin(α＋π6)＝45， ∴sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.8．解析：∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin2θ＝12.9．解析：由条件知sin[(α－β)－α]＝45，即sin β＝－45，∵β∈(π，32π)，∴cos β＝－35，又β2∈(π2，34π)．且cos β＝2cos 2β2－1＝－35，∴cos β2＝－55. 10．解析：∵(π4－θ)＋(π4＋θ)＝π2， ∴cos(π4＋θ)＝sin(π4－θ)．由已知得cos(π4－θ)sin(π4－θ)＝26，∴sin(π2－2θ)＝23，即cos 2θ＝23，∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，∴sin 2θ＝73. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．解析：y ＝1－2sin 2(x －π6)＝cos(2x －π3)，∴T ＝2π2＝π. 答案：π12．解析：由α为锐角，sin α＝35，得：cos α＝45tan α＝34，由β为锐角，cos β＝513，得：sin β＝1213tan β＝125，故tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－3356. 答案：－3356 13．解析：cos(π4＋α)sin(π4－α)＝cos 2(π4＋α)＝1＋cos （π2＋2α）2＝12－12sin 2α.∵sin α＝35，α∈(π2，π)， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴原式＝12－sin αcos α＝12－35×(－45)＝4950. 答案: 495014．解析：由题意知sin α－cos α＝12，两边平方可得sin 2α＝34，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝74，又α∈(0，π2)，所以sin α＋cos α＝72.cos 2αsin （α－π4）＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案：－142 三、解答题15．证明：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2 α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan2α2.16．解：(1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，∴sin(α－β2)＝1－cos 2（α－β2）＝217， cos(α2－β)＝1－sin 2（α2－β）＝32.∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)·cos(α2－β)＋sin(α－β2)·sin(α2－β)＝(－277)×32＋217×12＝－2114.(2)∵π4＜α＋β2＜34π，∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cos α＋β2＝－533，∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5311.17．解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)．所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，π8]上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数．又f (－π4)＝－1，f (π8)＝2，f (π4)＝1，故函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2，最小值为－1.18．解：(1)f (x )＝sin x ＋2sin(π4＋x 2)cos(π4＋x 2)＝sin x ＋sin(x ＋π2)＝sin x ＋cos x ＝2sin(x＋π4)，由f (α)＝22，得2sin(α＋π4)＝22.∴sin(α＋π4)＝12.∵α∈(－π2，0)，∴α＋π4∈(－π4，π4)． ∴α＋π4＝π6.∴α＝－π12.(2)∵x ∈(π2，π)，∴x 2∈(π4，π2)．又sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725.∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.。

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（）A 0 B12 C 2 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665-3. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++的值为（）A 1 B3C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y x x =+的值域是（）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10.函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是（）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x -+=-++，则x tan 的值为（）A 、34B 、34-C 、43D 、43-12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2 （） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为。

高考数学总复习16三角恒等变换与平面向量试题

卜人入州八九几市潮王学校三角恒等变换与平面向量后考卷一、选择题 1、平面向量)2,1(=a ，),2(m b -=，且b a //，那么=+b a 32〔〕212，且a b a ⊥-)(，那么a 与b 的夹角为〔〕3、平面上有四个互异点D C B A ,,,,0))(2(=--+AC AB DA DC DB ,那么ABC ∆的形状是〔〕.A 直角三角形.B 等腰三角形.C 等腰直角三角形.D 不能确定4、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，假设0324=++AB c CA b BC a ，那么=B cos 〔〕5、函数ax ax ax y 2cos cos sin 5+=〔0>a 〕的最小正周期为π，那么=a 〔〕6、向量c b a ,,1，21-=⋅b a ，︒>=--<60,c b c a二、填空题 71_______8、假设),2(ππα∈，55)4sin(=+πα，那么______sin =α 9、在锐角三角形ABC ∆中，B A x sin sin =,B A y cos cos =，那么y x ,的大小关系是____10、在ABC ∆中，B A B A tan tan 33tan tan=++，那么_______tan =C班级__________选择填空题答案填入下表三、解答题 11、在ABC ∆中，︒=60B ,3=AC ,求BC AB 2-的取值范围。

解：12、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，向量),(cos ),0,1(),1,2(t B A aθ=，AB a //〔1OB 的坐标；〔2〕求22cos sin t y +--=θθ的最小值三角恒等变换与平面向量后考卷答案选择填空题答案填入下表解：设在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，由正弦定理得：π320<<A ,那么πππ<+<33A,所以3232<-<-BC AB12、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，向量),(cos ),0,1(),1,2(t B A a θ=，AB a //〔1OB 的坐标；〔2〕求22cos sin t y +--=θθ的最小值解：由),(cos ),0,1(),1,2(t B A a θ=，),1(cos t AB -=θ,AB a //得到：1cos 2-=θt〔15)1(cos 22=-+θt且1cos 2-=θt ，代入上式得5)2(22=+t t ，那么1±=t当1=t时，3cos =θ矛盾；当1-=t 时，1cos -=θ矛盾即)1,1(--=OB〔2〕4)1(cos 1cos cos cos sin 2222-+--=+--=θθθθθt y当53cos =θ时，=min y 5643)53(23)53(452-=-⨯-⨯。

高中数学三角恒等变换习题及答案

第三章三角恒等变换一、选择题1．函数y ＝sin α＋cos α⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜＜ 0α的值域为( )．A ．(0，1)B ．(－1，1)C ．(1，2]D ．(－1，2)2．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )． A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞23．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ2sin ＋12cos 的值为( )．A ．3B ．－3C ．－2D ．－214．已知 α∈⎪⎭⎫⎝⎛2π3 ，π，并且sin α＝－2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－345．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )． A ．－47B ．47 C ．－74 D ．74 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形7．若0＜α＜2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，则sin α 的值是( )．A ．271B ．275C ．31D ．2723 8．若cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，则cos 2 α－sin 2 β 的值是( )．A ．－32B ．31C ．－31D ．32 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝010．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( )．A ．周期为 π 的偶函数B ．周期为π 的奇函数C ．周期为2 π的偶函数D ．周期为2π的奇函数二、填空题 11．已知设α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，若sin α＝53，则2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝． 12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为． 13．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝534，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α的值是． 14．已知tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝21，则ααα2cos ＋1cos －2sin 2的值为．15．已知tan α＝2，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛2π3＋2α的值等于． 16．sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，α∈⎪⎭⎫⎝⎛ π，2π，则sin 4α 的值为．三、解答题17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．18．求值：①(tan10°－3)︒︒50sin 10cos ； ②︒︒︒20cos 20sin －10cos 2．19．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．20．若sin α＝55，sin β＝1010，且α，β 均为钝角，求α＋β 的值.参考答案一、选择题 1．C解析：∵ sin α＋cos α＝2sin (α＋4π)，又 α∈(0，2π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A解析：∵ a ＝2sin (α＋4π)，b ＝2sin (β＋4π)，又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π．而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴ sin (α＋4π)＜sin (β＋4π)．即a ＜b ．3．A 解析：由θθtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21，∴ θθ2sin ＋12cos ＝222sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛21 －＋ 121 －－ 1＝3． 4．D解析：sin α＝－2524，α∈(π，2π3)，∴ cos α＝－257，可知tan α＝724．又tan α＝2tan － 12tan22αα＝724．即12 tan 22α＋7 tan 2α－12＝0．又 2α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ，2π，可解得 tan 2α＝－34． 5．C解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－74．6．C解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos (A ＋B )＞0⇒cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C解析：由0＜α＜2π＜β＜π，知2π＜α＋β＜23 π 且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，得sin β＝322，cos (α＋β)＝－924． ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝31．8．B解析：由cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，得cos 2α cos 2 β－sin 2α sin 2 β＝31，即cos 2 α(1－sin 2 β)－(1－cos 2 α)sin 2 β＝31，∴ cos 2 α－sin 2 β＝31．9．A解析：由tan A －A 2sin 1＝tanB ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )(⇒cos B ＝2sin A sin (A －B )⇒cos [(A －B )－A ]＝2sin A sin (A －B ) ⇒cos (A －B )cos A －sin A sin (A －B )＝0，即cos (2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 10．B解析：由sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x ＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x －4π＝cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋4π，得f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋4π＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋2x ＝sin 2x ．二、填空题 11．15．解析：由α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，sin α＝53得cos α＝54，2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝cos α－sin α＝51． 12．1．解析：sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°·︒︒︒10cos 10sin 3＋10cos＝sin50°·︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒10 cos 10sin 23＋10 cos 212＝sin50°·︒︒10cos 50cos 2＝︒︒10cos 100sin ＝︒︒10cos 10cos ＝1． 13．－45．解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πα＋sin α＝23cos α＋21sin α＋sin α ＝23( cos α＋3sin α)＝534，所以cos α＋3sin α＝58． sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α＝sin αcos6π7＋cos αsin 6π7 ＝－23sin α－21cos α＝－21(3sin α＋cos α)＝－54． 14．－65．解析：由tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝ααtan 4πtan －1tan ＋4πtan ＝ααtan －1tan ＋1＝21，解得tan α＝－31，∴ ααα2cos ＋1cos －2sin 2＝αααα22cos 2cos －cos sin 2 ＝αααcos 2cos －sin 2＝tan α－21 ＝－31－21＝－65． 15．45．解析：tan α＝ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α．又sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以sin 2 α＝54，又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2π32α＝sin 2α＝2sin αcos α＝sin 2α＝54． 16．－924．解析：∵ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 4π＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π － 2π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α2 ＋ 2π＝31．∴ cos 2α＝31，又 α∈(2π，π)，∴ 2α∈(π，2π)．∵ sin 2α＝－α2cos －12＝－322， ∴ sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－924．三、解答题17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos (43°＋77°)＝cos 120°＝－21． 18．①解法1：原式＝(tan 10°－tan 60°)︒︒50sin 10cos ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒︒cos60sin60 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝︒︒︒60cos 10cos 50－sin )(·︒︒50sin 10cos＝－2．解法2：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒3 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒cos10cos103－sin10︒︒50sin 10cos ＝︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒50 sin 10 cos 23－10 sin 212 ＝︒︒︒50sin 60－10sin 2　)(＝－2． ②解：原式＝︒︒︒︒20cos 20sin －20－30cos 2 )(＝︒︒︒︒︒︒20cos 20sin －20sin 30sin 2＋20cos 30cos 2＝︒︒︒20cos 20cos 30cos 2＝3．19．解：∵127π＜x ＜47π，∴ 65π＜4π＋x ＜2π．又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53＞0，∴ 23π＜4π＋x ＜2π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－54，tan ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝－34．又 sin 2x ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2 ＋ 2π＝－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＋1＝257，∴ 原式＝xx xx cos sin －1sin 2＋2sin 2＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2＝xx x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(＝xx x tan －1tan ＋12sin )(＝sin 2x ·tan (4π＋x ) ＝－7528．20．解：∵ α，β 均为钝角且sin α＝55，sin β＝1010， ∴ cos α＝－α2sin 1-＝－552，cos β＝－β2sin 1-＝－10103， ∴ cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010355-×1010＝22．又 2π＜α＜π， 2π＜β＜π，∴ π＜α＋β＜2π，则α＋β＝4π7．。

高中数学-三角恒等变换综合练习(苏教版必修第二册)(解析版)

10.4 三角恒等变换综合练习（基础）一．选择题（共8小题）1．已知α是第二象限角,sin α=45,则sin2α＝（） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．1225【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值,进而根据二倍角的正弦公式即可求解．【解答】解：因为α是第二象限角,sin α=45, 所以cos α=−√1−sin 2α=−35,则sin2α＝2sin αcos α＝2×45×(−35)=−2425．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．2．已知cos （θ−π2）=45,−π2＜θ＜π2,则sin2θ的值等于（） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．1225【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos θ的值,进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值．【解答】解：因为cos （θ−π2）＝sin θ=45,−π2＜θ＜π2, 所以cos θ=√1−sin 2θ=35,则sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×35=2425．故选：B ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题． 3．已知tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα的值为（）A ．−25B ．45C ．23D ．25【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：因为tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1=2+23×2−1=45．故选：B ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．4．cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝（） A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12【分析】结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求值．【解答】解：cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝cos10°cos20°﹣sin10°sin20°＝cos30°=√32．故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和的余弦公式及诱导公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础试题． 5．已知sin(π6+α)=−45,则cos(π3−α)=（） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sin(π6+α)=−45,∴cos(π3−α)=cos[π2−（π6+α）]=sin(π6+α)=−45,故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题． 6．计算1−cos 270°1+cos40°=（）A ．45B ．34C ．23D ．12【分析】利用二倍角公式,诱导公式即可化简求解．【解答】解：1−cos 270°1+cos40°=1−1+cos140°21+cos40°=1−cos140°2(1+cos40°)=1+cos40°2(1+cos40°)=12．故选：D ．【点评】本题主要考查了二倍角公式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．7．若12sin2α﹣sin 2α＝0,则cos （2α+π4）＝（）A ．1B ．√22C ．−√22D ．±√22【分析】由已知结合二倍角公式可求sin α＝0或tan α＝1,然后分类讨论,结合同角基本关系即可求解．【解答】解：因为12sin2α﹣sin 2α＝0,所以sin αcos α﹣sin 2α＝0, 所以sin α＝0或sin α＝cos α, 当sin α＝0时, cos （2α+π4）=√22（cos2α﹣sin2α）=√22(1−2sin 2α−2sinαcosα)=√22,当sin α＝cos α即tan α＝1时,cos （2α+π4）=√22（cos2α﹣sin2α）,=√22×（cos 2α﹣sin 2α﹣2sin αcos α）, =√22（1−tan 2α1+tan 2α−2tanα1+tan 2α）=−√22．故选：D ．【点评】本题以三角函数为背景,主要考查了三角恒等变换,考查了运算求解能力,考查了数学运算的核心素养．8．已知α∈（0,π2）,sin2α1+cos2α=12,则cos α＝（）A ．√55B ．2√55C ．√1010D ．3√1010【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos α＝2sin α,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：由于sin2α1+cos2α=12,可得4sin αcos α＝2cos 2α,因为α∈（0,π2）,cos α≠0,所以cos α＝2sin α,联立{cosα=2sinαsin 2α+cos 2α=1,解得cos α=2√55．故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角公式,同角三角函数基本关系式,考查推理论证能力,运算求解能力,考查了数学运算核心素养,属于基础题．二．多选题（共4小题） 9．下列各式中值为12的是（）A ．2sin75°cos75°B ．1﹣2sin 2π12C ．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°D ．tan20°+tan25°+tan20°tan25° 【分析】根据对应的公式求出判断即可．【解答】解：对于A ：2sin75°cos75°＝sin150°=12, 对于B ：1﹣2sin 2π12=cosπ6=√32, 对于C ：sin45°cos15°﹣cos45°sin15°＝sin30°=12,对于D ：tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝tan （20°+25°）（1﹣tan20°tan25°）+tan20°tan25°＝1, 故选：AC ．【点评】本题考查了三角的恒等变换,属于基础题． 10．下列化简正确的是（） A ．tan （π+1）＝tan 1 B ．sin(−α)tan(360°−α)=cos αC ．sin(π−α)cos(π+α)=tan αD ．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子,可的结果．【解答】解：∵由诱导公式可得 tan （π+1）＝tan1,故A 正确；sin(−α)tan(360°−α)=−sinα−tanα=cos α,故B 正确；sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tan α,故C 不正确； cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=−cosα⋅(−tanα)−sinα=−1,故D 不正确,故选：AB ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题． 11．若α∈[0,2π],sin α3sin4α3+cos α3cos4α3=0,则α的值是（）A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π2【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．【解答】解：因为α∈[0,2π],sin α3sin4α3+cos α3cos4α3=cos α＝0,则α=12π或α=3π2, 故选：CD ．【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式的简单应用,属于基础试题． 12．若tan2x ﹣tan （x +π4）＝5,则tan x 的值可能为（） A ．−√63B ．−√62C ．√63D ．√62【分析】利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．【解答】解：设tan x ＝t ,因为tan2x −tan(x +π4)=2t 1−t 2−t+11−t =2t−(t+1)21−t 2=t 2+1t 2−1=5,所以t 2=32,故tanx =t =±√62．故选：BD ．【点评】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力,属于基础题．三．填空题（共4小题）13．已知α、β均为锐角,且cos α=17,cos （α+β）=−1114,则β＝π3．【分析】先利用同角三角函数的基本关系求得sin α和sin （α+β）的值,然后利用cos β＝cos p [（α+β）﹣α],根据两角和公式求得答案．【解答】解：α,β均为锐角,∴sin α=√1−149=4√37,sin （α+β）=√1−(−1114)2=5√314,∴cos β＝cos p [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1114×17+4√37×5√314=12． ∴β=π3．故答案为π3．【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．熟练记忆三角函数的基本公式是解题的基础．14．若cos （α﹣β）=12,cos （α+β）=−35,则tan αtan β＝ ﹣11 ．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求cos αcos β,sin αsin β的值,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为cos （α﹣β）=12, 所以cos αcos β+sin αsin β=12, 因为cos （α+β）=−35,所以cos αcos β﹣sin αsin β=−35,所以cos αcos β=12（12−35）=−120,sin αsin β=12（12+35）=1120,则tan αtan β=1120−120=−11．故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．15．若0＜α＜π2,﹣π＜β＜−π2,cos （π4+α）=13,cos （π4−β2）=−√33,则cos （α+β2）＝ √33．【分析】由已知先求出,的范围,再根据正弦和余弦的平方关系和为1求出对应的正弦值,然后再利用凑角的方法即可求解．【解答】解：因为0＜α＜π2,−π＜β＜−π2, 所以π4＜α+π4＜3π4,π2＜π4−β2＜3π4,所以sin （π4+α）=√1−(13)2=2√23, sin （π4−β2）=1−(−√33)2=√63,所以cos （α+β2）＝cos[（π4+α）﹣（π4−β2）]＝cos （π4+α）cos （π4−β2）+sin （π4+α）sin （π4−β2）=13×(−√33)+2√23×√63 =√33, 故答案为：√33．【点评】本题考查了两角和与差的的三角函数求值问题,考查了学生的运算能力,属于基础题． 16．已知α∈R ,3sin α+cos α＝3,则sin2α﹣cos 2α＝35或0．．【分析】由已知可得,（3sin α+cos α）2=9sin 2α+6sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α,然后利用同角基本关系弦化切可求tan α,进而可求．【解答】解：因为3sin α+cos α＝3, 当cos α≠0时,所以（3sin α+cos α）2=9sin 2α+6sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=9tan 2α+6tanα+11+tan 2α=9,解得,tan α=43,所以sin2α﹣cos 2α=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=2×43−1(43)2+1=35．当cos α＝0时,sin2α﹣cos 2α＝0 故答案为：35或0．【点评】本题主要考查了三角恒等变换,考查了运算求解能力,数据处理的能力．四．解答题（共8小题）17．已知0＜α＜π2,0＜β＜π2,sin α=45,cos （α+β）=513．（1）求cos β的值；（2）求sin 2α+sin2αcos2α−1的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α,sin （α+β）的值,进而根据β＝（α+β）﹣α,利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin2α,cos2α的值,进而即可代入求解．【解答】解：（1）因为0＜α＜π2,sin α=45, 所以cos α=35,又因为0＜β＜π2,cos （α+β）=513, 所以sin （α+β）=1213, 所以cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=513×35+1213×45=6365．（2）因为cos α=35,sin α=45,所以sin2α＝2sin αcos α＝2×45×35=2425,cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（35）2﹣1=−725,所以sin 2α+sin2αcos2α−1=(45)2+2425−725−1=−54．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的余弦函数公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 18．已知cosα=−45,α为第三象限角．（1）求sin α,tan α的值；（2）求cos(π4−2α)的值．【分析】（1）先根据α所在的象限,判断出sin α的正负,进而根据同角三角函数的基本关系,利用cos α的值求得sin α,进而求得tan α的值．（2）由（1）利用二倍角公式可求sin2α,cos2α的值,进而根据两角差的余弦函数公式即可求解．【解答】解：（1）∵cosα=−45,α为第三象限角, ∴sin α＜0,∴sin α=−√1−cos 2α=−√1−1625=−35,tan α=sinαcosα=34．（2）∵由（1）可得sin2α＝2sin αcos α=2425,cos2α＝2cos 2α﹣1=725, ∴cos(π4−2α)=cos π4cos2α+sin π4sin2α=√22×725+√22×2425=31√250．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系,二倍角公式,两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用．注意根据角的范围确定三角函数的正负号,属于基础题． 19．已知cosα=35,,．（Ⅰ）求tan α,sin2α的值；（Ⅱ）求sin(π3−α)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α,tan α的值,利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．（Ⅱ）利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵cosα=35,,, ∴sinα=−√1−cos 2α=−45, ∴tanα=sinαcosα=−43,sin2α=2sinαcosα=−2425．（Ⅱ）∴sin(π3−α)=sin π3cosα−cos π3sinα=√32×35−12×(−45)=3√3+410．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式,两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 20．（1）已知sinα=−13,且α为第四象限角,求sin(α−π2)与tan α值；（2）已知tan α＝2,求cos αsin α的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式,诱导公式,即可求解．（2）利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：（1）因为sinα=−13,且α为第四象限角, 所以cosα=√1−sin 2α=2√23, 可得sin(α−π2)=−cos α=−2√23,tanα=−√24．（2）因为tan α＝2, 可得sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 21．已知α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．（1）求sin2β；（2）求tan （α+2β）．【分析】（1）利用同角三角函数关系以及倍角公式进行转化求解即可．（2）先求出对应的正切值,利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．【解答】解：（1）∵α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．∴sin α=2√55,cos β=35．则sin2β＝2sin βcos β＝2×45×35=2425．（2）∵cos2β＝1﹣2sin 2β=−725, ∴tan2β=sin2βcos2β=−247,tan α=sinαcosα=2,∴tan （α+2β）=tanα+tan2β1−tanαtan2β=2−2471+2×247=−211．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,同角三角函数关系以及两角和差的三角公式是解决本题的关键,比较基础．22．已知sin （π3−x ）=13,且0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,求得cos （π3−x ）的值,再利用诱导公式、两角和差的三角公式,求得要求式子的值．【解答】解：∵0＜x ＜π2,∴−π6＜π3−x ＜π3,∵已知sin （π3−x ）=13,∴cos （π3−x ）=√1−sin 2(π3−x)=2√23．且 0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的∴sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）＝cos （π3−x ）+cos （π3−x ）＝2cos （π3−x ）=4√23．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式、两角和差的三角公式的应用,属于基础题． 23．已知tan α,,β是第三象,角．（1）求,的值；（2）求cos （α﹣β）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得 sin α和cos α的值,进而即可代入求解．（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin β的值,再利用两角差的余弦公式求得cos （α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵tan α=sinαcosα=−43,α∈（π2,π）,sin 2α+cos 2α＝1, ∴sin α=45,cos α=−35,可得3sinα+cosαsinα−cosα=3×45+(−35)45−(−35)=97．（2）∵cos β=−513,β是第三象限角, ∴sin β=−√1−cos 2β=−1213,∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−35•（−513）+45•（−1213）=−3365．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的余弦公式的应用,属于基础题．24．已知tanα,tanβ为方程式x2+6x+2＝0的两根,求下列各式之值：（1）1cos2(α+β)；（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）．【分析】（1）由题意得,tanα+tanβ＝﹣6,tanαtanβ＝2,然后结合两角和的正切公式及同角基本关系可求．（2）由sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）＝cos2（α+β）[tan2（α+β）+4tan（α+β）+2],代入可求．【解答】解：（1）由题意得,tanα+tanβ＝﹣6,tanαtanβ＝2,∴tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−61−2=6,∴1cos2(α+β)=cos2(α+β)+sin2(α+β)cos2(α+β)=1+sin2(α+β)cos2(α+β),＝1+tan2（α+β）＝1+36＝37,（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）,＝cos2（α+β）[tan2（α+β）+4tan（α+β）+2],=137（36+4×6+2）=6237．【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,解题的关键是公式的灵活应用．。

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。

A。

0.B。

1/2.C。

1/4.D。

1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。

1/2.B。

2/3.C。

3/4.D。

4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。

π。

B。

2π。

C。

4π。

D。

π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。

3/5.B。

4/5.C。

5/6.D。

5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。

-2/3.B。

-1/3.C。

1/3.D。

2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。

-7/24.B。

-1/8.C。

1/8.D。

7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。

[0,1]。

B。

[-1,1]。

C。

[-1/2,1/2]。

D。

[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。

向右平移π/4个单位。

B。

向左平移π/4个单位C。

向右平移π/2个单位。

D。

向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。

3/5.B。

4/5.C。

5/6.D。

5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。

x=π/4.B。

x=π/6.C。

x=π/2.D。

x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。

12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。

三角恒等变换练习题及答案

1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3 D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.2．3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( )A.12B.22C ．1 D. 2 解析：选D 3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝4 2. 4．已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010 B.1010 C ．－31010 D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D. 6．已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B ．－79 C.19 D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，因而cosα≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则c b sin B＝( ) A.32 B.233 C.33 D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233.故选B. 9．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 10．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A.725 B.925 C.1625 D.2425解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案：3212．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里．答案：7a13．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3. 由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：8。

三角恒等变换测试题

三角恒等变换测试题1、下列哪个选项是正确的？A. sin(2π - α) = sinαB. cos(π - α) = - cosαC. tan(3π - α) = - tanαD. tan(4π - α) = - tanα答案：C. tan(3π - α) = - tanα2、下列哪个选项是正确的？A. sin(-π - α) = - sinαB. cos(-π - α) = - cosαC. tan(-π - α) = - tanαD. tan(-π - α) = tanα答案：A. sin(-π - α) = - sinα3、下列哪个选项是正确的？A. sin(π/2 + α) = cosαB. cos(π/2 + α) = sinαC. tan(π/2 + α) = secαD. tan(π/2 + α) = cscα答案：A. sin(π/2 + α) = cosα4、下列哪个选项是正确的？A. sin(3π/2 - α) = cosαB. cos(3π/2 - α) = sinαC. tan(3π/2 - α) = secαD. tan(3π/2 - α) = cscα答案：A. sin(3π/2 - α) = cosα二、填空题1、请填写下列空白：sin(π - α) = ______；cos(π - α) = ______；tan(π - α) =______。

答案：sinα；-cosα；-tanα2、请填写下列空白：sin(2π - α) = ______；cos(2π - α) = ______；tan(2π - α) = ______。

答案：sinα；cosα；-tanα一、选择题1、下列哪个选项正确描述了正弦函数的角度和其相对应的数值？A.当角度增加时，正弦函数的值也增加B.当角度增加时，正弦函数的值减少C.当角度减少时，正弦函数的值增加D.当角度减少时，正弦函数的值减少答案：D.当角度减少时，正弦函数的值减少。

高三数学三角恒等变换试题

高三数学三角恒等变换试题1.已知，则的值为( )A．18B．C．16D．【答案】D【解析】，选D【考点】三角函数恒等变形2.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）.【解析】（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2）在中，利用同角基本关系得由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.（1）由得，，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.【考点】1.解三角形；2.三角恒等变换.3.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．【答案】－π【解析】解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<．又tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1．∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－π．4.（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．【答案】﹣【解析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5.（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【答案】C【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C6.已知，且，则= ．【答案】-【解析】tan()=tan= -∴sin2===-cos2===又tan= -cos2==又,所以cos=∴sin=-∴cos(-)=cos+sin=∴==-7.计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式=，故选B．8.已知，则tan为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。

【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4

【成才之路】2014-2015学年高中数学第二、三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．) 1．有下列四个命题：①存在x∈R，2＋2＝；②存在x、y∈R，(x－y)＝－；③x∈[0，π]，＝；④若＝，则x＋y＝.其中不正确的是( )A．①④B．②④C．①③D．②③[答案] A[解析] ∵对任意x∈R，均有2＋2＝1，故①不正确，排除B、D；又x∈[0，π]，＝＝，故③正确，排除C，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a＝(2α，－1)，b＝(，α)，且a∥b，则α＝( )A．B．－C．±D．－[答案] B[解析] ∵a∥b，∴2α·α＝－，即α＝－.3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y＝22x－1是( )A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y＝22x－1＝2x，故函数y＝22x是最小正周期为π的偶函数．4．在△中，若4＋2＝1,2＋4＝3，则的大小是( )A．－B．C．或D．[答案] D[解析] 由条件，得(4＋2)2＝1，(2＋4)2＝27，∴20＋16＋16＝28.∴＋＝.即(A＋B)＝.∴＝[π－(A＋B)]＝(A＋B)＝.5．函数y＝(＋)2＋1的最小正周期是( )A．B．πC．D．2π[答案] B[解析] y＝(＋)2＋1＝1＋2＋1＝2＋2x.∴最小正周期T＝π.6．设5π<θ<6π，＝a，则的值等于( )A．－B．－C．－D．－[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，∴<0，∴＝－＝－.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则＋＝( ) A．B．C．2 D．10[答案] B[解析] ∵a⊥c，∴a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.又∵b∥c，∴－4＝2y，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴＋＝＝.8．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，＝1，则＋2＝( )A．B．2C．4 D．12[答案] B[解析] ∵a＝(2,0)，∴＝2，＋2＝＝，∵a·b＝·60°＝1，∴＋2＝＝2.9．275°＋215°＋75°15°的值为( )A．B．C．D．1＋[答案] C[解析] 原式＝215°＋215°＋15°15°＝1＋30°＝.10．设△的三个内角为A、B、C，向量m＝(，)，n＝(，)，若m·n＝1＋(A＋B)，则C＝( )A．B．C．D．[答案] C＝(A＋B)＝1＋(A＋B)，∴(A＋B)－(A＋B)＝1，∴＋＝1，即2＝1，∴＝，∴C＋＝，∴C＝.11．在△中，已知2A＋2B＋2C＝2，则△为( ) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得＋＋2C＝2，∴1－(2A＋2B)＋2C＝2，∴2A＋2B＋22C＝0，∴(A＋B)·(A－B)＋2C＝0，∴[－(A－B)－(A＋B)]＝0，∴··＝0，∴＝0或＝0或＝0.∴△为直角三角形．12．若f()＝3－2x，则f()＝( )A．3－2x B．3－2xC．3＋2x D．3＋2x[答案] C＝3－(1－22x)＝2＋22x，∴f(x)＝2＋2x2∴f()＝2＋22x＝2＋1＋2x＝3＋2x.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13的值为．[答案] －[解析] 原式＝＝－·＝－.14．已知向量a、b夹角为45°，且＝1，|2a－＝，则＝.[答案] 3[解析] ∵＝1，〈a，b〉＝45°，|2a－＝，∴42－4a·b＋2＝10，∴4－4×1×45°＋2＝10，∴2－2－6＝0，∴＝3.15．若＝2 014，则＋2α＝.[答案] 2 014[解析] ＋2α＝＋＝＝＝＝＝2 014.16．在△中，＝，则2A的值为．[答案][解析] 在△中，＝>0，∴＝＝.∴2A＝＝2＝2＝2××＝.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(5°－5°)·.[解析] 解法一：原式＝·＝·＝－2··＝－210°·10°＝－2.解法二：原式＝·＝·＝－·＝－2.解法三：原式＝·＝·＝·＝－2.18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a、b满足＝2，＝1，且a与b的夹角为，求：(1)a在b方向上的投影；(2)(a－2b)·b.[解析] (1)a在b方向上的投影为〈a，b〉＝2×＝2×(－)＝－1.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝2×1×－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且(＋α)＝2.(1)求α的值；(2)求的值．[解析] (1)(＋α)＝＝2，∴α＝.(2)∵α为锐角，α＝，∴α＝，α＝.∴2α＝2αα＝2××＝，2α＝1－22α＝1－2×＝.∴＝＝＝.20．(本小题满分12分)已知＝－，＝，且<α<π，0<β<，求的值．[解析] ∵<α<π，0<β<，∴<α－<π.∵＝－，∴＝.又∵<<，∴－<－β<.∵＝，∴＝.故＝＝－＝×－×＝，＝＝＋＝×＋×＝，∴＝＝＝.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b，且＝2，＝1，k、t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－＋垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(x)的最小值．[解析] (1)∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－＋)＝0，∴－2＋t(t－3)b2－k(t－3)a·b＋·b＝0.由＝2，＝1，a·b＝0，可得－4k＋t(t－3)＝0.∵k、t不同时为0，则t≠0，∴k＝，即f(t)＝(t≠0)．【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4(2)f(t)＝＝.故当t＝时，f(t)＝－.22．(本小题满分14分)已知向量a＝(θ，θ－2θ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求θ的值；(2)若＝,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a∥b，∴2θ＝θ－2θ，∴4θ＝θ，∴θ＝.(2)由＝，得2θ＋(θ－2θ)2＝5，∴1－22θ＋42θ＝5.∴－22θ＋2(1－2θ)＝4，即2θ＋2θ＝－1，∴＝－.又∵0<θ<π，∴<2θ＋<，∴2θ＋＝或.∴θ＝或θ＝.11 / 11。

三角恒等变换常考题(含答案)

三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B7．若．．8．已知，，且，那么．B．C D．9．若α，﹣．B C．D．10．若αcosα=A．B12．已知﹣，则）D．﹣13．已知，且∈（，）等于（．D．715．已知，则16． B17．若，则sin19．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017?泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B【解答】解：由于：所以：故选：D5．（焦作二模）若A．B【解答】解：由，可得：sinα=∵cos（π1=．故选D6．（+），﹣＜）A．﹣ B．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017?商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017?德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B【解答】，得到cosα=）=，所以，﹣=﹣，则=cos（β﹣=×所以β=故选：C9．（∈（，﹣）A．B．C．．【解答】∈（，∵（﹣∴3（cos2=（∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017?大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017?腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】﹣cosα=+）=，∴+）=﹣，则cos（））故选：C13．（，且，+）等于（A．﹣ B【解答】∈（）得﹣，∴tan（α+==，故选C．15．（全国三模）已知，则A．B．．．【解答】解：∵已知，则平方可得故选：C．16．（2017?山西一模）cos15°?cos105°﹣cos75°?sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°?cos105°﹣cos75°?sin105°=cos15°?cos105°﹣sin15°?sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春?陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（A．【解答】=cos43°=cos43°=cos（43°=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（cosα=，则A．﹣ B．﹣ C．．【解答】cosa=，∴（sina+=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016?新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016?肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得∴sin2θ+==1故选A．25．（），则的值为（A．B2【解答】=得tanα=3则=．故选：B26．（全国二模）已知，则A．﹣1 B．【解答】解：∵，∴cosαsinα=cosα∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017?玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（A，﹣C）上为减函数x=【解答】﹣sinx?sinx=sin2x=（sin）令x=+=，为函数x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故在区间（，）上，+∈（，），+不正确，故选：D。

2015年高考总复习三角恒等变换专题习题(附解析)

三角恒等变换专题习题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17.答案 B2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析 cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案 C 3．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118C.79D ．－1解析 ∵cos2θ＝23，∴sin 22θ＝79，∴sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12(sin2θ)2＝1118.答案 B4．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析 ∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 答案 C 5.(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A ．－2425B ．－725C ．0D.2425解析 cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35·(－45)－45·35＝－2425.选A.答案 A6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos2α＝－2，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72解析 ∵22(sin α－cos α)＝－2(cos 2α－sin 2α)，∴sin α＋cos α＝12.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， ∴5tan α＋5＝2－2tan α. ∴7tan α＝－3，∴tan α＝－37.答案－378．(2013·江西卷)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋ 3 ＝2sin(2x －π3)＋3，所以T ＝π.答案 π9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )＝5sin(x －φ)而sin φ＝25，cos φ＝15，当x －φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值5，即θ＝φ＋π2＋2k π时，f (x )取最大值．cos θ＝cos(φ＋π2＋2k π)＝－sin φ＝－25＝－255. 答案－255三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值．解 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34， ∴tan θ＝－3或tan θ＝13.又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3.∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. 11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解 (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－65.∴sin α＝35，cos α＝45.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝2cos β＝1617， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. 12．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)设cos A cos B ＝325，cos α＋A cos α＋B cos 2α＝25，求tan α的值．解 (Ⅰ)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(Ⅱ)由题意得sin αsin A －cos αcos A sin αsin B －cos αcos B cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。

高中数学三角恒等变换练习

高中数学三（一）角恒等变换练习一．选择题（共12小题）1．（2016•福建模拟）已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B． C．﹣D．2．（2016•郑州一模）cos160°sin10°﹣sin20°cos10°（）A．﹣B． C．﹣D．3．（2015•天津校级一模）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或 D．或4．（2015•保定一模）sin15°﹣cos15°=（）A． B．C．﹣D．﹣5．（2015•江西一模）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣B．﹣C．D．6．（2015•哈尔滨校级二模）若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=（）A．﹣B． C．﹣D．7．（2015•吉林校级四模）在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B． C．D．8．（2015•烟台一模）已知α，β∈（0，π）且，则2α﹣β=（）A． B．C．D．9．（2015•大连校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．310．（2015•江西一模）已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±11．（2015春•沈阳期末）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．12．（2015秋•南昌校级期末）已知tanx=﹣，则sin2x+3sinxcosx﹣1的值为（）A．﹣B．2 C．﹣2或2 D．﹣2二．填空题（共15小题）13．（2016春•南京校级月考）cos（α+β）=，tanαtanβ=，求cos（α﹣β）=．14．（2016•凉山州模拟）设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且∥，则cos2x=．15．（2015•张掖模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=．16．（2015•天水校级四模）若cos2（α+）=，则sin2α=．17．（2015•温州三模）已知sinα﹣cosα=（0＜α＜），则sin2α=，sin（2α﹣）=．18．（2015•大连模拟）若，则cos2α=．19．（2015•一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．20．（2015春•黄冈月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=，则cos2α=．21．（2016•苏州一模）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=．22．（2015•模拟）若sinαcosα=﹣，α∈（，π），则sinα﹣cosα=．23．（2015秋•广安期末）若tanα=2，则的值为．24．（2015春•邗江区期中）sin40°（tan10°﹣）=．25．（2015春•校级期中）化简=．26．（2012•校级模拟）=．27．（2012•南通模拟）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=．三．解答题（共3小题）28．（2016•一模）设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．29．（2016•宜宾模拟）已知向量=（sinA，cosA），=（，1），•=，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．30．（2016•一模）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，a+b=3，求△ABC的面积S．04月06日****************的高中数学三角变换组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•福建模拟）已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B． C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B．【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式，属于基础题．2．（2016•郑州一模）cos160°sin10°﹣sin20°cos10°（）A．﹣B． C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出．【解答】解：cos160°sin10°﹣sin20°cos10°，=﹣cos20°sin10°﹣sin20°cos10°，=﹣（cos20°sin10°+sin20°cos10°），=﹣sin30°，=﹣，故选：C．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题．3．（2015•天津校级一模）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos（β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．4．（2015•保定一模）sin15°﹣cos15°=（）A． B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式，进行化简即可．【解答】解：sin15°﹣cos15°=sin（15°﹣45°）==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．5．（2015•江西一模）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值．【解答】解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=；故选C．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点，熟练运用．6．（2015•哈尔滨校级二模）若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=（）A．﹣B． C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．【解答】解：∵⊥，∴•=0，即sin（α+）+cosα﹣=0，即sinα+cosα=，即sinα+cosα=，即sin（α+）=，∴sin（α+）=sin（α++π）=﹣sin（α+）=﹣，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键．7．（2015•吉林校级四模）在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC=（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan（A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值．【解答】解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB﹣1，∴tan（A+B）==﹣1，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣1，∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（2015•烟台一模）已知α，β∈（0，π）且，则2α﹣β=（）A． B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据已知条件配角：α=（α﹣β）+β，利用两角和的正切公式算出tanαtan[（α﹣β）+β]═，进而算出tan（2α﹣β）=1．再根据α、β的范围与它们的正切值，推出2α﹣β∈（﹣π，0），即可算出2α﹣β的值．【解答】解：∵，∴tanα=tan[（α﹣β）+β]===，由此可得tan（2α﹣β）=tan[（α﹣β）+α]===1．又∵α∈（0，π），且tanα=＜1，∴0＜α＜，∵β∈（0，π），＜0，∴＜β＜π，因此，2α﹣β∈（﹣π，0），可得2α﹣β=﹣π=﹣．故选：C．【点评】本题已知角α﹣β与角β的正切值，求2α﹣β的值．着重考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．解决本题时，请同学们注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想方法的运用．9．（2015•大连校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由 sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即 tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．10．（2015•江西一模）已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到α=θ++2kπ，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sinα﹣5cosα=13，得sinα﹣cosα=1，设cosθ=，则sinθ=，则tanθ==，则方程等价为sin（α﹣θ）=1，则α﹣θ=+2kπ，即α=θ++2kπ，则tanα=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==；故选B【点评】本题主要考查三角函数求值，利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键11．（2015春•沈阳期末）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正切．【专题】计算题．【分析】利用公式对四个选项进行化简求值，所得的结果是的选项即为正确选项，A选项可用正弦的2倍角公式化简，B选项可用余弦的2倍角公式化简，C选项可用正切的2倍角公式化简，D选项中是特殊角，计算即可【解答】解：A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；B选项，=，不正确；C选项，=，正确；D选项，≠，不正确．综上知C选项正确故选C【点评】本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式，及特殊角的函数值，由此对三角函数进行化简．本题涉及公式较多，知识性强，对基本公式要熟练掌握．12．（2015秋•南昌校级期末）已知tanx=﹣，则sin2x+3sinxcosx﹣1的值为（）A．﹣B．2 C．﹣2或2 D．﹣2【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】化tanx=﹣为=，得出，cosx=﹣2sinx．由sin2x+cos2x=1，求得sin2x=，将原式化为关于sin2x的三角式求解．【解答】解：tanx=﹣，即=，cosx=﹣2sinx．由sin2x+cos2x=1，得5sin2x=1，sin2x=所以原式=sin2x﹣6sin2x﹣1=5sin2x﹣1=﹣1﹣1=﹣2故选D【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查公式应用能力，运算求解能力．二．填空题（共15小题）13．（2016春•南京校级月考）cos（α+β）=，tanαtanβ=，求cos（α﹣β）=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】首先利用两角和与差的余弦公式以及基本关系式的商数关系，得到关于sinαsinβ、cosαcosβ的方程解之，然后逆用两角和与差的余弦公式求值．【解答】解：由cos（α+β）=，即cosαcosβ﹣sinαcsinβ=①，又tanαtanβ=得2sinαsinβ=cosαcosβ②；由①②得cosαcosβ=，sinαsinβ=，所以cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=；故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用，属于基础题目．14．（2016•凉山州模拟）设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且∥，则cos2x=．【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值．【解答】解：∵向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且∥，∴3cos2x﹣5sinx﹣1=0，即 3sin2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，则cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量平行的条件，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．15．（2015•张掖模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．16．（2015•天水校级四模）若cos2（α+）=，则sin2α=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．【点评】本题主要考查半角公式的应用，属于基础题．17．（2015•温州三模）已知sinα﹣cosα=（0＜α＜），则sin2α=，sin（2α﹣）=．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】把所给的等式平方求得sin2α的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，可得cos2α的值，从而利用两角差的正弦公式求得sin（2α﹣）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=（0＜α＜），平方可得，1﹣2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=．由以上可得sinα=，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，∴sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=×+=，故答案为：；．【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．18．（2015•大连模拟）若，则cos2α=．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．【解答】解：因为sinα=，所以cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．19．（2015•一模）已知θ∈（，π），sin﹣cos=，则cosθ=．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由θ∈（，π），sin﹣cos=，求出sin2θ，然后求出cos2θ．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos=，∴1﹣sinθ=，∴sinθ=，∵θ∈（，π），∴cosθ=﹣=﹣．故答案为：．【点评】本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正确选取．20．（2015春•黄冈月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=，则cos2α=．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα==，②∴①+②可解得：cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题．21．（2016•苏州一模）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=﹣．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由已知得sin2θ+cos2θ=（2cosθ﹣）2+cos2θ=1，由此求出cosθ，进而求出sinθ，由此能求出结果．【解答】解：∵θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（2cosθ﹣）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣或cosθ=，（舍）∴sinθ=﹣=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数诱导公式的合理运用．22．（2015•模拟）若sinαcosα=﹣，α∈（，π），则sinα﹣cosα=．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知先确定sinα﹣cosα的符号，根据同角三角函数的关系即可求值．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，sinα﹣cosα＞0∵sinαcosα=﹣，∴sinα﹣cosα===故答案为：【点评】本题主要考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基本知识的考查．23．（2015秋•广安期末）若tanα=2，则的值为．【考点】弦切互化．【专题】计算题．【分析】把所求的式子分子、分母都除以cosα，根据同角三角函数的基本关系把弦化切后，得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：因为tanα=2，则原式===．故答案为：．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切，是一道基础题．24．（2015春•邗江区期中）sin40°（tan10°﹣）=﹣1．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】首先切化弦，然后通分变形为两角差的正弦公式，逆用化简求值．【解答】解：原式=sin40°（）=sin40°=2sin40°sin（10°﹣60°）==﹣=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；一般首先切化弦，然后配凑两角差的正弦公式，逆用化简公式求值．25．（2015春•校级期中）化简=﹣4．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】对已知通分，逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简．【解答】解：===﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；利用了两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式；属于基础题．26．（2012•校级模拟）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】先令tan60°=tan（25°+35°）利用正切的两角和公式化简整理求得tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°），整理后求得tan25°+tan35°+tan25°tan35°的值．【解答】解：∵tan60°=tan（25°+35°）==．∴tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°）∴tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和公式的应用和二倍角公式的应用．考查了学生对三角函数基础公式的理解和灵活一运用．27．（2012•南通模拟）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=1．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】常规题型；计算题．【分析】根据三角形内角和，可得A+B=π﹣C，从而tan（A+B）=﹣tanC，再由两角和的正切公式展开，化简整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由此不难得到要求的值．【解答】解：∵在△ABC中，A+B+C=π∴A+B=π﹣C，可得tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，由两角和的正切公式，得=﹣tanC∴tanA+tanB=﹣tanC（1﹣tanAtanB），即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC∵tanA+tanB+tanC=1，∴tanAtanBtanC=1故答案为：1【点评】本题在三角形中已知三个内角的正切的和，求它们的积，着重考查了两角和的正切公式和诱导公式等知识，属于基础题．三．解答题（共3小题）28．（2016•一模）设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由，化简得 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．【解答】解：（1）由，得．…（2分）即，亦即 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），即 4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB﹣5sinAsinB …（4分）所以，9sinAsinB=cosAcosB，求得．…（6分）（2）因，…（8分）而，所以，tan（A+B）有最小值，…（10分）当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．…（13分）【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．29．（2016•宜宾模拟）已知向量=（sinA，cosA），=（，1），•=，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（x∈R）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）根据•=列出方程解出A；（2）使用二倍角公式化简f（x）=﹣2（sinx﹣1）2+3，根据二次函数的性质得出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵=sinA+cosA=2sin（A+）=，∴，∵A为锐角，∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴f（x）=cos2x+4sinx=1﹣2sin2x+4sinx=﹣2（sinx﹣1）2+3，∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，∴当sinx=1时，f（x）有最大值3；当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣5，∴函数f（x）的值域是[﹣5，3]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数化简求值，一元二次函数的最值，属于中档题．30．（2016•一模）已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，a+b=3，求△ABC的面积S．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f（x），再利用三角函数的图象与性质即可得出；（2）利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵=．…（3分）∴f（x）的最小正周期是T=π．…（4分）由，k∈Z，…（6分）得函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…（7分）（2）由f（C）=2，得，…（1分）∵0＜C＜π，所以，∴，．…（3分）在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，…（4分）得3=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即ab=2，…（5分）∴△ABC的面积．…（7分）【点评】本题了考查了数量积运算性质、倍角公式与和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

高中数学新人教A版：三角恒等和平面向量单元测试卷(含答案)

三角函数和平面向量单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)，所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25. 答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度解析：因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．答案：D5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C. 答案：C6．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．答案：D7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限．答案：B8．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．答案：B9．(2015·课标全国Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z. 答案：D10．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12， s 的最小值为π6B ．t ＝32， s 的最小值为π6C ．t ＝12， s 的最小值为π3D ．t ＝32， s 的最小值为π3解析：因为点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝⎛⎭⎫π4，12.将点P 向左平移s (s ＞0)个单位长度得P ′⎝⎛⎭⎫π4－s ，12. 因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6. 答案：A11．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z) 解析：由题意可得y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ，所以原函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)．答案：C12．化简cos 2⎝⎛⎭⎫x 2－7π8－cos 2⎝⎛⎭⎫x 2＋7π8＝( ) A ．－22sin x B.22sin x C ．－22cos x D.22cos x 解析：cos 2⎝⎛⎭⎫x 2－7π8－cos 2⎝⎛⎭⎫x 2＋7π8＝ ⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x 2－7π8＋cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋7π8.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x 2－7π8－cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋7π8＝ ⎝⎛⎭⎫2cos x 2cos 7π8·⎝⎛⎭⎫2sin x 2sin 7π8＝⎝⎛⎭⎫2sin 7π8cos 7π8·⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＝sin7π4·sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π4·sin x ＝－sin π4·sin x ＝－22sin x .答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ×1－cos 2θ＝0，所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0，因为0<θ<π2，所以cos θ >0，所以2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12. 答案：1215．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°，所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝±2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin （α＋π）·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)因为|OP |＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫－352＝1，所以点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，所以由已知条件得cos α＝45.所以原式＝54.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角 β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos( β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝⎛⎭⎫x 1，45，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1213，则x 21＋⎝⎛⎭⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝⎛⎭⎫35，45. x 22＋⎝⎛⎭⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513，所以B ⎝⎛⎭⎫－513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos( β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365.(2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1，又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形．又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形，又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形，所以∠AOC ＝60°，所以∠AOB ＝120°，即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．解：(1)f (x )＝23sin (π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎣⎡⎦⎤或⎝⎛⎭⎫k π－π12＞k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(2015·重庆卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，从而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦⎤12，1，那么y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.。