牛顿科特斯公式资料

k0
3)插值型求积公式：
Ak
b a
l
k
x
d
x
其 中 ： lk ( x )
n j0
x xj xk x j
jk
此求积公式的截断误差为：
Rn ( f )
b a
b
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
b a
f (
(n
n
1
) (
1)!
)
n
1
(
x
)d
x
4)代数精度：
对求积公式 :
b
f (x)dx
：C
(n k
)
( 1) n k k!(n k )! n
nn
(t j)dt
0 j0
jk
Ak
(b
a
)C
(n) k
b a
f ( x)dx
b a
n
C
n
k
f
(
x
k
)
k0
称为牛顿-柯特斯公式.
式
中
C
k
n
称
为
柯
特
斯
系
数.
求积公式
当n 1时,
C
1
0
C
1
1
1 2
,这时的求积公式为：
b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
b 6
a
f
a 4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式
误差估计
Rs[ f ]
b a
f
(x)dx
b 6
a
f
(a)
4
f
(a
b) 2
f
(b)
(b a)5 f (4) () [a,b]
x
)d
x
R1( f )
b a
b
f ( x )dx L1 ( x )dx
a
b a
f
(2) (
2!
)
2
(
x
)dx
b f ( )
a
2!
( x a)( x b)dx
f
''( ) [
2
x3 3
(a
b)
x2 2
abx ]ba
f '' ( ) (b a )3
12
6) 积分公式的收敛性和稳定性
n
b
定义：
在求积公式中，若
lim
n h0
k
0
Ak
f (xk )
a
f (x)dx,
其中h= m1iaxn {xi xi1},则称求积公式是收敛的。
定义： 对任给 0，若 0,只要 f (xk ) fk (k 0,1,..., n)就
n
n
有求积公式 Ak f (xk ) Ak fk 成立，则称积分公式是稳定的.
k 0
k 0
定理：若求积公式中系数 Ak 0(k 0,1,..，., n则) 此求积公式是稳定的。
证明：对于任给定的 0,
n
记：In(f)= Ak f (xk ) k 0
n
n
In(f)In(f) Ak ( f (xk ) fk ) Ak f (xk ) fk
k 0
k 0
n
Ak (b a) k 0
2
当 f (x) x，
b f (x)dx b xdx b2 a2 b a (a b )
但当 f (x) x2 时，a
a
2
2
b f (x)dx b x2dx b3 a3 b a (a2 b2 )
a
a
3
2
因此代数精确度是 1
b
R1( f )= a f (x)dx T kf ''()
取 f (x) x2 代入，得：
b x2 dx (b a) (b2 a2 ) k 2!
a
2
得：
1
b3 (
a3
(b
a)
(b2
a2 ))
k
2! 3
2
k (b a)3 12
Rn ( f )
b a
b
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
b a
f (
(n
n1) ( Nhomakorabea1)!)
n
1
(
nb
n
定 理 形 如 f (x)dx a
a lk (x)dx f (xk ) Ak f (xk )
的 求 积 公 式 至k少0 有n次 代 数 精 k度0
的 充 分 必 要 条 件 是 它 是插 值 型 的.
证明……
5) 求积公式的余项：
1） 基于代数精度证明 2） 基于插值余项证明
T b a f a f b
2!
)
2
(
x
)dx
b f ( )
a
2!
( x a)( x b)dx
f
''( ) [
2
x3 3
(a
b)
x2 2
abx ]ba
f ''( ) (b a )3
12
求积公式
当n 2时, 这时柯特斯系数为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
2
1
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
a
kh, h
b
n
a
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
b
b
nb
a f ( x)dx a Ln ( x)dx a lk ( x)dx f ( x k )
k0
注 意 到 ：Ak
b
a lk ( x)dx
b n x x j dx a j0 xk x j
jk
b n a th a jh d (a th) n n t j hdt h n
则存在 / (b a),使得 In(f)In(f) 恒成立.
所以，求积公式稳定.
主要内容
一、 牛顿-科特斯公式 二、 复化梯形公式 三、 复化辛普森求积公式
一、 牛顿－柯特斯求积公式
设将积分区间a, b,n等分, 记步长h b a ,
n
选 取 等 距 节 点x k a kh
将xk
1
nn
(t j)dt
a j0 a kh a jh
0 j0 k j
j0 k j 0 j0
jk
jk
jk
jk
求积公式
(1)nk h
n n (t j)dt (1)nk (b a) n n (t j)dt
k!(n k )! 0 j0
k!(n k )! n
0 j0
jk
jk
令
a
n
Ak f (xk )
k 0
只要当 f ( x ) 分别为 {1, x , x 2 ,... x m } 时，求积公式精确成
立，而当 f ( x )为 x m 1时 , 不能成立.
n
插值求n积+1公个式节的点求的积插系值数求A积k ,公总式有至: k少0 具Ak 有 bn次 a代数精度。
b
§4.2 牛顿-科特斯公式
复习回顾
一、 数值求积的基本思想 二、 数值求积分的一般形式 三、插值型的求积公式 四、代数精度问题 五、求积公式的余项 六、求积公式的收敛性和稳定性
1)基本思想：
利用函数在有限个结点处的函数值去计算的积分!
2)数值积分的一般形式：
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk ),
a
2
梯形公式
称梯形公式 y y=f()
y=P1()
直边梯形代替曲边梯形
0
误差估计
Rn ( f )
b a
b
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
b a
f (
(n
n
1
) ( )
1)!
n
1
(
x
)d
x
R1( f )
b a
b
f ( x )dx L1 ( x )dx
a
b a
f
(2) (