高三数学模拟练习题四

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淮阴中学高三数学高考模拟试题4

淮阴中学数学高考模拟试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ）（D ）（4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0P A P BP C ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形第4练二倍角公式及应用(解析版)

B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，

潍坊一中学案高三数学测试四

综合练习四一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂= A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图象与x 轴交于点 A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则=⋅+)(A ．-32B ．-16C ．16D ．323．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x x 甲乙、和中位数y y 甲乙、进行比较，下面结论正确的是 A ．x x y y >>甲乙甲乙， B ．x x y y <<甲乙甲乙， C ．x x y y <>甲乙甲乙， D ．x x y y ><甲乙甲乙， 4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为A ．2-B ．5C ．6D ．7 5．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)2,+∞上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是A. B. C. D.7．已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M={1(x,y )|y x=}②M={1(x,y )|y sin x =+} ③M={2(x,y )|y log x =}；④M={2x (x,y )|y e =-}是“垂直对点集”的是 (A)①②(B)②③(C)①④ (D)②④8．二项式8(2x 的展开式中常数项是 A ．28 B ．-7 C ．7 D ．-289．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅ 的值是A ．12- B ．12C ．34-D ．010．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 11．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 A ．203B ．403C ．20D ．40 12．设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰, 则下列关系式成立的是A ．235a b c << B ．325b a c<< C ．523c a b << D ．253a c b<<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13．若点()1,1A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+的最小值为 . 14．已知抛物线24y x =的焦点F方程为y =15．函数sin()(0)2y x πϕϕ=+> 第15题图第11题图第18题图EA图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠ ．()()()()()()()121116()|21|,(),,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x -=-=== ．则函数()4y f x =的零点个数为．三、解答题:本大题共6小题，共74分. 17． (本题满分12分)已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥ ．（1）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32A f =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．18．(本题满分12分)已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//,AB CD 且,AC BD ⊥O,AC BD 与交于,2,2PO ABCD PO AB CD ⊥===底面E F 、分别是AB AP 、的中点.（1）求证：AC EF ⊥；（2）求二面角F OE A --的余弦值.19． (本题满分12分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+*()n N ∈，等差数列{}n b 满足353,9b b ==.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设*22()n n n b c n N a ++=∈，求证113n n c c +<≤．20．(本题满分12分)某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。

2024年华南师大附中高三数学4月高考模拟练习卷附答案解析

2024年华南师大附中高三数学4月高考模拟练习卷2024.04一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合1{03},lg 2A xx B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎩⎭∣，则（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B = R2．在等差数列{}n a 中，若25192228a a a a +++=，则12a =（）A ．45B ．6C ．7D ．83．81x ⎫+⎪⎭的展开式中4x -的系数为（）A ．70B ．56C ．28D ．84．设x ∈R ，向量()(),1,1,2a x b ==- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b a -= （）A ．5B ．5C ．10D ．25．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()1,0F ，准线为,l P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点,Q PQF 为等边三角形，过PQ 的中点M 作直线MR //QF ，交x 轴于R 点，则直线MR 的方程为（）A 0y +-=B 0y +-=C ．x -=D ．0x -=6．若将函数()2sin f x x =的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()1g x =-在[)0,π内有两个不同的解,αβ，则()sin αβ+=（）A ．14-B ．14C ．22D ．22-7．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()2,2f x f x f x =--+为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则253f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．329B ．113C ．43-D ．179-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为1，现有一个动平面α，且α 平面1A BD ，当平面α截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S ，周长为l ，则（）A ．S 不为定值，l 为定值B ．S 为定值，l 不为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图所示，已知三棱锥D ABC -的外接球的半径为3,O 为球心，F 为ABD △的外心，E 为线段AB 的中点，若π2,,6AB AC BC ADB ∠=⊥=，则（）A ．线段FA 的长度为2B ．球心O 到平面ABD 的距离为2C ．球心O 到直线AB 的距离为D ．直线OE 与平面ABD 10．下列命题正确的是（）A ．:p “α是第二象限角或第三象限角”，:q “cos 0α<”，则p 是q 的充分不必要条件B ．若α2=C ．在ABC 中，若tan tan 1A B ⋅>，则ABC 为锐角三角形D ．已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos23α=，则35tan 2α=11．已知双曲线222:1(0),3x y E b F b-=>为其右焦点，点F 到渐近线的距离为1，平行四边形ABCD 的顶点在双曲线E 上，点F 在平行四边形ABCD 的边上，则（）A ．bB ．AF CF -=C ．若平行四边形ABCD 各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为D ．四边形ABCD 的面积ABCD S ≥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设复数z 的共轭复数为z ，若13i 2z z -=-，则z =.13．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于1810-秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为8310⨯米/秒，lg20.3,lg30.48≈≈）14．若0x >，关于x 的不等式22ln 41ea x xa x x ≥-+恒成立，则正实数a 的最大值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且4cos cos cos a B b C c B -=.(1)求cos B 的值；(2)若ABC b =ABC 的周长.16．如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B ===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.(1)求证：1C P //平面1A AB .(2)求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.17．已知函数()()e ,xf x x kx k =-∈R .(1)当0k =时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在()0,∞+上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.18．已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G 是1EB 的中点，且121EB GB ⋅= .(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.19．卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若B ，C ，D 三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）．已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立．(1)若A 球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．(2)已知该小组的前三场比赛结果如下：A 与B 比赛，B 胜；C 与D 比赛，D 胜；A 与C 比赛，A 胜．设小组赛阶段A ，D 球队的积分之和为X ，求X 的分布列及期望．1．A【分析】先化简集合B ，再根据集合间关系判断.【详解】由1lg 2x <，得0x <<{0B x x =<<∣，所以A B ⊆.故选：A.2．C【分析】利用等差数列的性质求解.【详解】因为()()25192222251912428a a a a a a a a a +++=+++==，所以127a =.故选：C.3．B【分析】利用81x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式84318C (08,N)r r r T x r r -+≤≤∈=，即可求出结果.【详解】因为81x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为8483188(0C )1C 8,N rrr r rr T r xx r --+⎛⎫==≤≤ ⎝∈⎪⎭，令8443r -=-，解得=5r，故81x ⎫⎪⎭的展开式中41x 的系数为58C 56=，故选：B.4．D【分析】由向量垂直得2x =，再利用向量夹角的坐标运算求解cos ,a b a -即可.【详解】因为()(),1,1,2a x b ==-，又a b ⊥，所以20x -=，得到2x =，所以()2,1a = ，得到()1,3a b -= ，所以()cos ,a b a a b a a b a -⋅-=-22=.故选：D 5．B【分析】设直线l 与x 轴交于点H ，连接,MF QF，说明QHMF 为矩形，得(1,M ，求得MR的斜率为，直线方程可求.【详解】设直线l 与x 轴交于点H ，连接,MF QF ，因为焦点()1,0F ，所以抛物线的方程为24y x =，准线为=1x -，则2,FH PF PQ ==，因为PQF △是等边三角形，PQ 的中点为M ，则,MF PQ MF x ⊥⊥轴，所以准线为//l MF ，QHMF 为矩形，则2FH MQ ==，故PQF △是边长为4的等边三角形，易知60,PFQ PFR QFH MF ∠=∠=∠==(1,M .因为MR //QF，所以直线MR 的斜率为,直线MR0y +-=.故选：B6．D【分析】由三角函数的伸缩和平移变化得到()π2sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据条件得到5π4αβ+=，即可求出结果.【详解】由函数()2sin f x x =的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数π2sin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因为[)0,πx ∈，所以ππ9π2,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，由()1g x =-，可得π1sin 242x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππ3π222442αβ+++=⨯，得到5π4αβ+=，所以()5π2sin sin 42αβ+==-，故选：D.7．A【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出()2f x ax b =+，进而利用对称性和周期性求253f ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】因为()()=2f x f x --①，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称.因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x -+=+②，则函数()f x 的图象关于直线2x =对称.由①②得()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 的周期为4，所以25118333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()10f =，即0a b +=③，已知()()036f f +=，由函数()f x 的图象关于直线2x =对称，得()()310f f ==.又函数()f x 的图象关于点()1,0对称，得()()02f f =-所以()()()0326f f f +=-=，即()26f =-，所以46a b +=-④，联立③④解得2a =-，2b =，故当[]1,2x ∈时，()222f x x =-+.由()f x 的图象关于点()1,0对称，可得13f ⎛⎫⎪⎝⎭2553222339f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--⨯+=⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A.8．A【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形.如图所示，可计算出周长为定值，计算正三角形1A DB 的面积和截而为正六边形时的截面面积通过比较即可得答案.【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，与面1A DB 平行的面且截面是六边形时满足条件，如图所示，正方体边长为1，即//EF 1A B设1EFA B λ=，则1111B E B E A B λ==，)111111,1A E NEEF NE B D A B λλ∴==-∴+-，∴六边形的周长l 为定值正三角形1A DB 的面积为12 当,,,,,M N E F G H 均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，此时NG ,截面面积为2211sin606622⨯⨯⨯=⨯=⎝⎭⎝⎭∴截面从1A DB 平移到11B CD 的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长l 为定值，面积S 不为定值.故选：A 9．ACD【分析】对于ABC ，根据三棱锥外接球的概念、结构特征和球的截面性质以及已知条件研究判断即可；对于D ，根据球的截面性质找到直线OE 与平面ABD 所成的角即可计算求解.【详解】对于A ，在ABD △中，F 为ABD △的外心，π2,6AB ADB ∠==，则222sin30FA FB FD ====，故A 正确；对于B 、C ，连接OE ，EF ，OF ，则由三棱锥D ABC -的外接球的半径为3以及球的截面性质可得：球心O 到平面ABD 的距离为OF ==B 错误；由E 为AB 的中点，知OE AB ⊥，1EA EB ==，所以OE ===C 正确；由球的截面性质OF ⊥平面,DAB EF ⊂平面DAB ，所以OF EF ⊥，且EF 为OE 在面DAB 上的射影，所以OEF ∠为直线OE 与平面ABD 所成角，且Rt OEF △中，sin4OF OEF OE ∠===，故D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】对A ，根据充分，必要条件的概念判断；对B ，利用二倍角余弦公式化简求解；对C ，将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对D ，利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦化切求解.【详解】对于A ，若α是第二象限角或第三象限角，则cos 0α<.若cos 0α<，取π,cos 10αα==-<，此时α不是第二象限角或第三象限角，则p 是q 的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，由于α为第一象限角，则cos 0,sin 0αα>>，=B 错误；对于C ，在ABC 中，若sin sin tan tan 1cos cos A B A B A B ⋅⋅=>⋅，则sin sin cos cos 0cos cos A B A BA B⋅-⋅>⋅，所以()cos cos 0cos cos cos cos A B CA B A B-+=>⋅⋅，故cos cos cos 0A B C ⋅⋅>，所以cos 0,cos 0,cos 0A B C >>>，故ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D，由222222cos sin 1tan cos2cos sin 1tan 3ααααααα--===++，所以2233tan αα-=，则22(3tan 4α-=，由π0,4α⎛⎫∈⎪⎝⎭，知3tan 2α=，故D 正确.故选：ACD.11．BCD【分析】由点到线的距离判断A ，由对称性结合双曲线定义判断B ，由渐近线性质判断C ，联立直线与双曲线，表示面积利用函数单调性求得范围判断D.【详解】对A ，易知渐近线方程为0bx ±=，焦点F 坐标为)，点F1=，故1,A b =项错误；对B ，若F '为双曲线的左焦点，又点F 在平行四边形ABCD 上，则根据对称性知点F '也在平行四边形ABCD 上，且AF CF '=，所以||||||||||||2AF CF AF AF a -=-=='B 项正确；对C ，由双曲线2213x y -=的渐近线方程为33y x =±，若平行四边形ABCD各边所在直线的斜率均存在，当其值为3±时，则平行四边形ABCD 各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C 项正确；对D，如上图，设直线:2,CD x ty t =+<<联立双曲线方程得()223410t y ty -++=，且()2Δ1210t =+>，所以2241,33C D C Dt y y y y t t +=-=--，则)2213t CD t +==-，由对称性知(),C C A x y --，则点A 到直线CD的距离d ==，所以ABCD S d CD =⋅[)1,2m =，则4ABCD S m m==-又()4f m m m=-在[)1,2m ∈上单调递减，故ABCD S 在[)1,2m ∈上单调递增，所以ABCD S ≥D 项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是利用对称性解决B ，合理表示面积结合函数单调性求得面积范围.12【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，代入已知式利用复数相等的定义求得,a b ，得z ，再由复数模的概念求得结论．【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-.因为13i 2z z -=-，所以13i 3i a b -=+，所以1,33,a b =⎧⎨=-⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以1i z =-，所以z =.．13．31【分析】依题意可得尺子经过n 天后，剩余的长度()12nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭米，结合对数运算可得结果.【详解】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为18810210310610--⨯⨯⨯=⨯米，经过n 天后，剩余的长度()12n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭米，由()10610f n -<⨯，得1016102n-⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭，两边同时取对数，得()()()101012lg 61010lg2lg310lg6100.78log 61030.731lg2lg20.3lg 2n --⨯-+-->⨯===≈≈，而*N n ∈，则31n =，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.故答案为：31.14．2e【分析】先将不等式同构变形为ln 2e 2ln 41a x x a x x -≥-+，构造函数()e 21t g t t =--，求导判单调性转化为解不等式()f x ≤0或()0f x t ≥，令()ln 2f x a x x =-，求导求得最大值小于等于0即可求解.【详解】22ln 41eax x a x x ≥-+，即ln 2e 2ln 41a x x a x x -≥-+，令()ln 2f x a x x =-，则()()e 210f x f x --≥.设()e 21t g t t =--，其中()t f x =，则()e 2t g t '=-，令()0g t '=，得ln2t =，所以当ln2t <时，()()0,g t g t '<单调递减，当ln2t >时，()()0,g t g t '>单调递增，所以()min ()ln212ln20g t g ==-<，又()()200,2e 50g g ==->，所以存在()0ln2,2t ∈，使得()00g t =，所以若()0g t ≥，则0t ≤或0t t ≥，即()f x ≤0或()0f x t ≥恒成立，当(),x f x ∞∞→+→+，故()0f x t ≥不可能，()22,0a a x f x x x x-=-'=>，所以在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()()0,f x f x '>单调递增，在,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上，()()0,f x f x '<单调递减，所以max ()ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以只有ln 02a a a -≤才能满足要求，即ln 102a a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，又0a >，解得02e a <≤，所以正实数a 的最大值为2e .故答案为：2e【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.15．(1)1cos 4B =(2)+【分析】（1）利用正弦定理将条件式边化角，化简求出cos B ；（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出,a c 的值，从而求出ABC 周长.【详解】（1）因为4cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得4sin cos sin cos sin cos A B B C C B -=，所以()()4sin cos sin cos sin cos sin sin πsin A B B C C B B C A A =+=+=-=，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1cos 4B =.（2）由（1）易知sin B =，因为1sin 2ABC S ac B == 所以12ac =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-.又因为b =，所以代入得2224a c +=，所以222()2242120a c a c ac -=+-=-⨯=，所以a c =.又因为12ac =，所以a c ==所以ABC 的周长为.16．(1)证明见解析(2)17【分析】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，证明四边形11A C PH 为平行四边形，进而得1C P //1A H ，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】（1）取AB 的中点H ，连接1,A H PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH //1,2AC PH AC =.在等腰梯形11A ACC 中，11A C //111,2AC A C AC =，所以HP //1111,A C HP A C =，所以四边形11A C PH 为平行四边形，所以1C P //1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，所以1C P //平面1A AB .（2）因为,AB BC =故2O B AC ⊥，以直线22,O A O B ，21O O 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA A C ===，此梯形的高为h =因为11111,2A C AC A C =//AC ，则()()(()210,0,0,2,0,0,,0,2,0,O A A B ()(12,0,0,1,0,C C --，所以11(1,(2,2,0),(2,2,0),(1,2,BC BC AB A B =--=--=-=- .设平面1A AB 的法向量为(),,m x y z =，则220,20,x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，得31,1,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1C CB 的法向量为(),,n a b c = ，则20,220,a b a b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩令a =1)n =- .设平面1A AB 与平面1C CB 的夹角为θ，则1cos cos ,7m n m n m nθ⋅=== .17．(1)极小值为1e -，无极大值(2)()e,+∞【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；（2）把原函数有两个零点转化为()e x g x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】（1）当0k =时，()e (x f x x x =∈R ），所以()()1e x f x x ='+，令()0f x '=，则=1x -，x(),1∞--1-()1,∞-+()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以()1min 1()1e ef x f -=-=-=-，所以()f x 的极小值为1e -，无极大值.（2）函数()()e x f x x kx =-在()0,∞+上仅有两个零点，令()e x g x kx =-，则问题等价于()g x 在()0,∞+上仅有两个零点，易知()e x g x k '=-，因为()0,x ∞∈+，所以e 1x >.①当(],1k ∈-∞时，()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g >=，所以()g x 在()0,∞+上没有零点，不符合题意；②当()1,k ∞∈+时，令()0g x '=，得ln x k =，所以在()0,ln k 上，()0g x '<，在()ln ,k ∞+上，()0g x '>，所以()g x 在()0,ln k 上单调递减，在(ln ,)+∞k 上单调递增，所以()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-⋅.因为()g x 在()0,∞+上有两个零点，所以()ln ln 0g k k k k =-⋅<，所以e k >.因为()()()222010,ln ln 2ln g g k k k k k k k =>=-⋅=-，令()2ln h x x x =-，则()221x h x x x '-=-=，所以在()0,2上，()0h x '<，在()2,∞+上，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()222ln2lne ln40h x ≥-=->，所以()()2ln 2ln 0g k k k k =->，所以当e k >时，()g x 在()0,ln k 和(ln ,)+∞k 内各有一个零点，即当e k >时，()g x 在()0,∞+上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是()e,∞+.【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x 的定义域.（2）计算导数()f x '.（3）求出()0f x '=的根.（4）用()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内()f x '的符号，进而确定()f x 的单调区间.()0f x '>，则()f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；()0f x '<，则()f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.18．(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,)1,2,2222a b a b EB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M MM M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.19．(1)281(2)分布列见解析，10【分析】（1）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜1场，负2场，则A 球队参与的3场比赛中，A 球队和其余两队胜，另一队负，然后获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论即可求；（2）分情况讨论小组赛阶段A ，D 球队的积分之和，并求出概率，进而写出分布列，求出期望.【详解】（1）不妨假设A 球队参与的3场比赛结果为A 与B 比赛，B 胜；A 与C 比赛，C 胜；A 与D 比赛，A 胜．此时，A ，B ，C 各积3分，D 积0分．在剩下的三场比赛中：若B 与C 比赛平局，则B ，C 积分各加1分，都高于A 的积分，A 淘汰．若B 与D 比赛平局，C 与D 比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于A ，A 淘汰．若C 与D 比赛平局，同理可得A 一定会淘汰．综上，若要A 出线，剩下的三场比赛不可能出现平局．若B 与C 比赛，B 胜；B 与D 比赛，B 胜；C 与D 比赛，D 胜，则B 出线，A ，C ，D 争夺第二名，A 出线的概率为11111333381⨯⨯⨯=．若B 与C 比赛，C 胜；B 与D 比赛，D 胜；C 与D 比赛，C 胜，则C 出线，A ，B ，D 争夺第二名，A 出线的概率为11111333381⨯⨯⨯=．其他情况A 均淘汰．故A 最终出线的概率为112818181+=．（2）前三场比赛中A ，D 球队的积分之和为6．剩下的三场比赛为A 与D 比赛，B 与D 比赛，B 与C 比赛，其中B 与C 比赛的结果与A ，D 球队的积分之和无关．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，则12X =，其概率为212339⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为1，则10X =，其概率为212339⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为0，则9X =，其概率为212339⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为2，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为3，则11X =，其概率为131139⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为2，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为1，则9X =，其概率为131139⨯=．若A 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为2，B 与D 比赛中，A ，D 球队得到的积分之和为0，则8X =，其概率为131139⨯=．X 的分布列为X89101112P 1913291929()11212891011121093999E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】关键点睛：本题关键是根据比赛规则讨论各队得分情况，分类求解，注意各种情况考虑全面.。

高三数学题型练习题

高三数学题型练习题题一：函数的定义与性质1. 已知函数$f(x)=2x+3$，求函数$f(5)$的值。

解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得$f(5)=2(5)+3=13$。

2. 函数$f(x)$的图像在直线$y=x$上方，$f(0)=-1$，求函数$f(x)$的解析式。

解析：由函数图像在直线$y=x$上方可知，对于任意$x$，都有$f(x)>x$。

又已知$f(0)=-1$，代入函数得$-1>f(0)=2(0)+3=3$，矛盾。

因此，不存在满足条件的解析式。

题二：函数的图像与性质1. 函数$f(x)=(x-2)^2+1$的图像在平面直角坐标系中的形状是什么？解析：函数$f(x)$是二次函数，图像为抛物线。

由$(x-2)^2$的形式可以知道顶点坐标为$(2,1)$，开口方向向上。

2. 函数$f(x)=\sqrt{x^2-3x}$的定义域是什么？解析：由于根号下的表达式必须大于等于0，即$x^2-3x\geq 0$。

对不等式进行因式分解得$x(x-3)\geq 0$，解得$x\leq 0$或$x\geq 3$。

因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0]\cup [3,+\infty)$。

题三：函数的求导与应用1. 已知函数$f(x)=3x^2+2x+1$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

解析：对多项式函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=6x+2$；再对$f'(x)$求导，得到$f''(x)=6$。

2. 函数$y=x^3-4x^2+2$在$x=2$处的切线方程是什么？解析：在$x=2$处，函数$y=x^3-4x^2+2$的导数为$y'=3x^2-8x$。

代入$x=2$得$y'=3(2)^2-8(2)=-10$，即切线的斜率为$-10$。

又因为切线经过点$(2,f(2))=(2,2)$，所以切线方程为$y-2=-10(x-2)$。

高三数学练习题加答案

高三数学练习题加答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x + 1，下面哪个选项是它的导函数？A. f'(x) = 6x^2 + 3B. f'(x) = 3x^2 + 3C. f'(x) = 6x^2 + 3xD. f'(x) = 6x^2 - 3答案：A2. 设集合A = {2, 4, 6, 8}，B = {3, 6, 9}，下面哪个选项是A与B的交集？A. {2, 4, 6, 8}B. {6}C. {3, 6, 9}D. {2, 3, 4, 6, 8, 9}答案：B3. 若sinθ = 1/2，且θ位于第二象限，那么θ的值是多少？A. π/6B. π/3C. π/2D. 2π/3答案：D二、填空题1. 已知sin(π/3 + α) = cosβ，且α + β = π/3，那么α的值是多少？答案：α = π/62. 若a + b = 5，ab = 6，那么a^2 + b^2 的值是多少？答案：a^2 + b^2 = 25三、解答题1. 某超市原价卖出一款商品，现在决定打8折促销。

如果原价为x 元，应该卖多少钱才能打8折？解答：打8折意味着商品的价格降低了20%，因此打折后应该卖出0.8x元。

2. 某地有一条直角边长为3单位的直角三角形，将直角边分别延长2单位和4单位，形成一个大的直角三角形。

求大直角三角形的面积与小直角三角形面积的比值。

解答：小直角三角形的面积为 1/2 * 3 * 3 = 4.5 平方单位。

大直角三角形的面积为 1/2 * 7 * 5 = 17.5 平方单位。

所以它们的比值为 17.5/4.5 ≈ 3.89。

四、应用题某高三班级参加数学竞赛，共有60个人参加。

其中40%的学生参加了数学竞赛A，30%的学生参加了数学竞赛B，20%的学生同时参加了A和B。

求没有参加任何竞赛的学生人数。

解答：设同时参加了A和B竞赛的学生人数为x，则参加了A竞赛的学生人数为0.4 - 0.2x，参加了B竞赛的学生人数为0.3 - 0.2x。

大学生高三数学练习题

大学生高三数学练习题在大学生高三学习阶段，数学练习题是非常重要的一部分。

通过练习题，学生们可以巩固数学知识，提高解题能力，并为高考做好充分准备。

本文将介绍一些适合大学生高三阶段的数学练习题，旨在帮助学生们提高数学水平。

一、代数与函数1. 设函数 f(x) = 3x - 2，求解方程 f(x) = 0 的解。

2. 已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求解方程 f(x) = 4 的解。

3. 计算方程组：{ 2x + 3y = 5{ x - y = -14. 求函数 f(x) = -2x^3 + 3x^2 - x + 1 的极大值和极小值。

二、几何与三角函数1. 在三角形 ABC 中，已知∠B = 60°，AB = 3，BC = 4，求AC 的长度。

2. 在平面直角坐标系中，点 A(2, 1) 和点 B(4, -3) 为一条直线的两个点，求这条直线的斜率。

3. 已知直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，求斜边 c 的长度。

4. 已知 sin x = 1/2，cos y = -1/2，且 x 和 y 均位于第一象限，求sin(x + y) 的值。

三、概率与统计1. 掷两个均匀硬币，求至少得到一个正面的概率。

2. 一袋中有6个红球和4个蓝球，从袋中随机取出3个球，求恰好取出两个红球的概率。

3. 某高中120名学生参加一次数学考试，成绩平均分为80分，标准差为5分。

求成绩高于85分的学生人数。

4. 一批产品中有10%的次品，从中随机抽取5个产品进行检验，求至少有一个次品的概率。

四、数学证明1. 证明：若 a 和 b 为正实数，则(a + b)^2 ≥ 4ab。

2. 证明：若 a > b > 0，则 a^2 + 1 > b^2 + 1。

3. 证明：根号2 的值为无理数。

4. 证明：若 a、b、c 为正整数且 a + b = c，则 a、b 和 c 不能同时为奇数。

2024届高三新高考改革数学适应性练习(4)(九省联考题型)

2024年新高考改革适应性练习（4）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.8）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为aa，中位数为bb，第75分位数为cc，则A．aa<bb<cc B．bb<aa<cc C．bb<aa=cc D．aa=cc<bb2. 已知两条直线ll1和ll2，其斜率分别是一元二次方程kk2+2024kk=1 的两不等实数根，则其位置关系是A．平行B．垂直C．重合D．异面3. 已知复数zz1和zz2满足|zz1|zz2|=2 ，zz1+zz2=√3+i ，则|zz1zz2|=A．1 B．2 C．4 D．84. 在三棱锥VV−AAAAAA中，若顶点VV到底面三边距离相等，则顶点VV在平面AAAAAA上的射影为△AAAAAA的A．内心B．外心C．垂心D．重心5. 已知aa,bb∈RR，aabb<0 ，函数ff(xx)=aaxx2+bb(xx∈RR)．若ff(ss−tt)，ff(ss)，ff(ss+tt)依次成等比数列，则平面OOxxOO上的点(ss,tt)的轨迹是A．直线和焦点在xx轴的双曲线B．直线和焦点在xx轴的椭圆C．直线和焦点在OO轴的双曲线D．直线和焦点在OO轴的椭圆6. 若 sinππ10是函数ff(xx)=aaxx3−bbxx+1 (aa,bb∈NN∗)的一个零点，则ff(1)=A．2 B．3 C．4 D．5��⃗·PPAA��⃗=0 ，则|OOPP|的最7. 已知OO为坐标原点，点AA(2,0)，设动点AA满足|OOAA|≤2 ，动点PP满足PPAA大值是A．√3+1B．2√2C．2 D．√28. 已知△AAAAAA的三个顶点的横纵坐标均在集合{1,2,3,4}内，则这样的三角形共有A．64个B．125个C．432个D．516个二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 以下函数ff(xx)满足对任意其定义域上的xx,OO，都有(xx−OO)[ff(xx)−ff(OO)]≥0 的有A．ff(xx)=xx B．ff(xx)=sin xxC．ff(xx)=xx|xx|D．ff(xx)=xx sin xx10. 已知抛物线ΓΓ的焦点为FF，点PP在其准线上运动，过PP作ΓΓ的两条切线与ΓΓ相切于AA,AA两点，则以下说法正确的有A．AA,AA,FF三点共线B．△AAAAPP可能是直角三角形C．|AAFF|,|PPFF|,|AAFF|构成等比数列D．△AAPPFF一定不是等腰三角形11. 若三角形的面积为有理数，三条边的长度都是整数，则其一条边的长度可以是A．1 B．2 C．3 D．4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 数学中有很多公式都是数学家欧拉发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中．任意一个凸多面体的顶点数VV、棱数EE、面数FF之间，都满足关系式VV−EE+FF=2 ，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数是_________．13. 已知数列{aa nn}的前nn项和SS nn=nn2+kknn+kk(kk∈ZZ)，且{aa nn}恰好有一项是负项，则kk的值是_________．14. 已知椭圆EE的一个焦点为�√7,0�，且过点(4,0)，过原点OO作两条互相垂直的射线交椭圆于AA、AA两点，则弦长|AAAA|的取值范围为_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）如右图，已知正方体AAAAAAAA−AA1AA1AA1AA1的棱长为1，点EE,FF分别为AA1AA1,AA1AA1的中点，点QQ为AAFF与AAEE的交点．（1）求三棱锥QQ−AAAAAA的体积；（2）求直线AAQQ与平面AAEEFF夹角的余弦值．16.（15分）已知数列{aa nn}的首项aa1=5 ，前nn项和为SS nn，且SS nn+1=3SS nn+2nn+5(nn∈NN∗)．（1）证明：数列{aa nn+1}是等比数列；（2）令ff(xx)=aa1xx+aa2xx2+⋯+aa nn xx nn，求函数ff(xx)在xx=1 处的导数ff′(1).17.（15分）公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢kk(kk≥1,kk∈NN∗)局，谁便赢得全部赌注aa元．每局甲赢的概率为pp(0<pp<1)，乙赢的概率为 1−pp，且每局赌博相互独立．在甲赢了mm(<kk)局，乙赢了nn(nn<kk)局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢kk局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比PP甲:PP乙分配赌注．（1）甲、乙赌博意外终止，若aa=243 ，kk=4 ，mm=2 ，nn=1 ，pp=23，求甲应分得的赌注；（2）记事件AA为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当kk=4 ，mm=2 ，nn=1 时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率ff(pp)；当pp≥45时，求事件AA发生的概率的最大值．18.（17分）已知以原点OO为中心的椭圆ΩΩ过点(2,0)，且与抛物线ωω:OO2=4xx有相同的焦点．（1）求ΩΩ的标准方程；（2）点PP在ωω上，ωω过点PP的切线ll交ΩΩ于MM,NN两点，求△OOMMNN面积的最大值．19.（17分）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’s Inequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数xx∈(−1,+∞)，在nn∈[1,+∞)时，有不等式(1+xx)nn≥1+nnxx成立；在nn∈(0,1)时，有不等式(1+xx)nn≤1+nnxx成立．（1）猜想伯努利不等式等号成立的条件；（2）当nn≥1 时，对伯努利不等式进行证明；（3）考虑对多个变量的不等式问题．已知aa1,aa2,…,aa nn(nn∈NN∗)是大于-1的实数（全部同号），证明：(1+aa1)(1+aa2)…(1+aa nn)≥1+aa1+aa2+⋯+aa nn。

2024届高三新高考改革数学适应性练习(4)(九省联考题型)【参考答案】

2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A C D B D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案AC ACD CD【附】评分表三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案12 -2或-1 �245,5�四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点 DD 1 为坐标原点，DD 1AA 1��⃗ 为 xx 轴正方向，DD 1CC 1��⃗ 为 yy 轴方向，DD 1DD ��⃗ 为 zz 轴正方向，建立空间直角坐标系 OOxxyyzz ．（1）连接 EEEE ，由三角形的中位线得 EEEE //BB 1DD 1 ，且 EEEE =12BB 1DD 1 ，由 BB 1DD 1//BBDD ，所以 EEEE //BBDD ，△EEEEEE ~△DDBBEE ，EEEE DDEE=EEEE BBDD=12，知 EE �12,1,0� ，DD (0,0,1) ，所以 DDEE��⃗=�12,1,−1� ，DDEE ��⃗=23DDEE ��⃗=�13,23,−23� ，所以 EE �13,23,13� ，三棱锥 EE −AABBCC 的高（以平面 AABBCC 为底面）为点 EE 到平面 AABBCC 的距离，即 1−13=23，所以VV EE−AABBAA =13·ℎ·SS △AABBAA =13×23×12=19故三棱锥 EE −AABBCC 的体积是 19．（2）由（1）EE �13,23,13� ，又 AA (1,0,1) ，所以 AAEE��⃗=�−23,23,−23� ，由 CC (0,1,1) ，EE �12,1,0� ，EE �0,12,0� ，得 CCEE ��⃗=�12,0,−1� ，CCEE��⃗=�0,−12,−1� ，设平面 CCEEEE 的一个法向量 nn 11=(xx ,yy ,zz ) ，则 nn 11·CCEE ��⃗=nn 11·CCEE��⃗=0 ，即 �12xx −yy =0−12yy −zz =0 令 xx =4 ，则 �yy 1=2zz 1=−1，所以 nn 11=(4,2,−1) 是平面 CCEEEE 的一个法向量．cos <nn 11,AAEE ��⃗>=nn 11·AAEE��⃗|nn 11|·�AAEE��⃗�=−2√21·�43=−√77故直线 AAEE 与平面 CCEEEE 夹角的余弦值为 −√77．16.（15分）（1）证明：由已知 SS nn+1=3SS nn +2nn +5(nn ∈NN ∗) ，当 nn ≥2 时，SS nn =3SS nn−1+2nn +3 ，两式相减得 SS nn+1−SS nn =3(SS nn −SS nn−1)+2 ，即 aa nn+1=3aa nn +2 ，则 aa nn+1+1=3(aa nn +1) (nn ≥2) ，当nn=1 时，SS2=3SS1+7 ，所以aa2+aa1=3aa1+7 ，因为aa1=5 ，所以aa2=17 ，从而aa2+1=3(aa1+1)，所以aa nn+1+1=3(aa nn+1)，又因为aa1=5 ，可得aa1+1=6 ，所以aa nn+1+1aa nn+1=3 ，所以数列{aa nn+1}是以6为首项，3为公比的等比数列．（2）解：由（1）得aa nn+1=6×3nn−1，所以aa nn=2×3nn−1 ，因为ff(xx)=aa1xx+aa2xx2+⋯+aa nn xx nn，所以ff′(xx)=aa1+2aa2xx+⋯+nnaa nn xx nn−1，则ff′(1)=aa1+2aa2+⋯+nnaa nn，记bb nn=nnaa nn=2nn×3nn−nn，可得ff′(1)=bb1+bb2+⋯+bb nn，记TT nn=2×31+4×32+⋯+2nn×3nn，则 3TT nn=2×32+4×33+⋯+2nn×3nn+1，两式相减得：−2TT nn=2×31+2×32+2×33+⋯+2×3nn−2nn×3nn+1=6(1−3nn)1−3−2nn×3nn+1=(1−2nn)×3nn+1−3所以TT nn=(2nn−1)×3nn+1+32，又因为 1+2+⋯+nn=nn(nn+1)2，所以ff′(1)=(2nn−1)×3nn+1+32−nn(nn+1)2．17.（15分）（1）设赌博再继续进行XX局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当XX=2 时，甲以 4:1 赢，所以PP(XX=2)=�23�2=49，当XX=3 时，甲以 4:2 赢，所以PP(XX=3)=CC21×23×�1−23�×23=827，当XX=4 时，甲以 4:3 赢，所以PP(XX=4)=CC31×23×�1−23�2×23=427，于是得甲赢得全部赌注的概率为49+827+427=2427=89，所以，甲应分得的赌注为 243×89=216 元．（2）设赌博继续进行YY局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当YY=3时，乙以 4:2 赢，PP(YY=3)=(1−pp)3，当 YY =4 时，乙以 4:3 赢，PP (YY =4)=CC 31pp (1−pp )3=3pp (1−pp )3 ，从而得乙赢得全部赌注的概率为 PP (AA )=(1−pp )3+3pp (1−pp )3=(1+3pp )(1−pp )3 ，于是甲赢得全部赌注的概率 ff (pp )=1−PP (AA )=1−(1+3pp )(1−pp )3， ff ′(pp )=−3(1−pp )3−(1+3pp )⋅3(1−pp )2(−1)=12pp (1−pp )2 ，因 45≤pp <1 ，即 ff ′(pp )>0 ，从而有 ff (pp ) 在�45,1� 上单调递增，于是得 ff (pp )min =ff �45�=608625 ，乙赢的概率 PP (AA ) 最大值为 1−608625=17625=0.0272 ，所以事件 AA 发生的概率的最大值为0.0272．18.（17分）P308（1）易知 ωω 的焦点为 (1,0) ，所以 cc =√aa 2−bb 2=1 ，又由题意，aa =2 ，所以 bb =√3 ，故椭圆 ΩΩ 的标准方程为xx 24+yy 23=1 ．（2）设 PP (tt 2,2tt ) ，显然切线 ll 的斜率存在，设切线 ll 的方程为 yy −2tt =kk (xx −tt 2) ，联立�yy −2tt =kk (xx −tt 2)yy 2=4xx得关于 yy 的方程 kkyy 2−4yy −4kktt 2+8tt =0 ，则 ΔΔ=16−16kk (−4kktt 2+8tt )=0 ，得 kk =1tt，从而切线方程 ll :xx =tt yy −tt 2 ，联立�xx =tt yy −tt 2xx 24+yy 23=1 得关于 yy 的方程 (3tt 2+4)yy 2−6tt 3yy +3tt 4−12=0 ，由韦达定理⎩⎨⎧yy 1+yy 2=6tt 33tt 2+4yy 1yy 2=3tt 4−123tt 2+4所以|MMNN |=�1+tt 2|yy 1−yy 2|=�1+tt 2�(yy 1+yy 2)2−4yy 1yy 2=�1+tt 2��6tt 33tt 2+4�2−43tt4−123tt 2+4=4√3�1+tt 2�−tt 4+3tt 2+4(3tt 2+4)2 因为原点到切线 ll 的距离dd =tt 2√1+tt 2所以SS△OOOOOO=2√3�tt4(−tt4+3tt2+4)(3tt2+4)2令 3tt2+4=uu，因为 0<tt2<4 ，所以 4<uu<16 ，则SS△OOOOOO=2√39�−�uu+16uu�2+25�uu+16uu�−136令yy=uu+16uu，因为 4<uu<16 ，所以 8<yy<17 ，SS△OOOOOO=2√39�−yy2+25yy−136当yy=252时，SS max=√3 ．由yy=uu+16uu得uu=25+3√414，则有tt=�3+√412．故当PP�3+√414,�3+√41�时，SS△OOOOOO取最大值√3 ．19.（17分）（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是nn= 0,1 ，或xx= 0 ．（2）当nn≥1 时，我们需证(1+xx)nn≥1+nnxx设ff(xx)=(1+xx)nn−nnxx−1 (xx<−1,aa≥1)，注意到ff(0)=0 ，ff′(xx)=nn(1+xx)nn−1−nn=[(1+xx)nn−1−1]，令(1+xx)nn−1−1=0 得xx=0 ，即ff′(0)=0 ，xx= 0 是ff(xx)的一个极值点．再对ff′(xx)求导：ff′′(xx)=nn(nn−1)(1+xx)nn−2>0所以ff′(xx)单调递增．当−1<xx<0 时，ff′(xx)<ff(0)=0 ，ff(xx)单调递减；当xx>0 时，ff′(xx)>ff(0)=0 ，ff(xx)单调递增．所以在xx=0 处ff(xx)取得极小值ff(0)=0 ，即ff(xx)≥0 恒成立，(1+xx)nn≥nnxx+1 ．伯努利不等式对nn≥1 得证．（3）当nn=1 时，原不等式即 1+aa1≥1+aa1，显然成立．当nn≥2 时，构造数列{xx nn}：xx nn=(1+aa1)(1+aa2)…(1+aa nn)−(1+aa1+aa2+⋯+aa nn)，则xx nn+1−xx nn=aa nn+1[(1+aa1)(1+aa2)…(1+aa nn)−1]．若aa ii>0 (ii=1,2,…,nn+1)，由上式易得xx nn+1−xx nn>0 ，即xx nn+1>xx nn；若−1<aa ii≤0 (ii=1,2,…,nn+1)，则 0<1+aa ii<1 ，所以(1+aa1)(1+aa2)…(1+aa nn)−1<0 ，故xx nn+1−xx nn=aa nn+1[(1+aa1)(1+aa2)…(1+aa nn)−1]>0即此时xx nn+1>xx nn也成立．所以{xx nn}是一个单调递增的数列（nn≥2），由于xx2=(1+aa1)(1+aa2)−(1+aa1+aa2)=aa1aa2> 0 ，所以xx nn>xx2>0 (∀nn>2)，故原不等式成立．。

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷(4)

2024届甘肃省陇东中学高三下学期数学试题练习卷（4）考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数()3sin ,f x xa x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -3．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．22D ．64．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（）A 51+ B 51+ C 51RD - D 51RC - 5．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．96．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-8．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,29．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（） A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-10．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（） A ．12B ．35C ．25D ．31011．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为A B C ．52D ．512．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省滨州市2023届高三模拟练习数学试题

试卷第61 页，共33 页
(3)在（1）基础上，在直线 y = 2x ， y = -2x 上分别取点 G，Q，当 G，Q 分别位于第一、
二象限时，若
uuur GP
=
l
uuur PQ
，
l
Î
é êë
1 2
, 3ùúû
，求
△GOQ
面积的取值范围．
22．设函数 f (x) 的导函数为 f '(x) .若不等式 f (x) ³ f '(x) 对任意实数 x 恒成立，则称函
【分析】利用复数相等列方程组，解方程组求得 a, b ，由此求得 z 的虚部.
【详解】设 z = a + bi ， a,b Î R ，则 z = a - bi ，
∵ zi = 2z + i ，
∴(a + bi)i = 2(a - bi) + i ， -b + ai = 2a + (1- 2b)i
即
ì-b = 2a íîa = 1- 2b
（2）若 ÐBAD = 60° ，求 D 点到面 B1BC 的距离． 20．第五届中国国际进口博览会于 2022 年 11 月 4 日在上海开幕，本次进口博览会共有 145 个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取 400 名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：
_______.
15．过点 M (1,1) 且与曲线 f ( x) = x3 +1相切的直线方程为______．

高三数学构造函数练习题

高三数学构造函数练习题构造函数在数学中扮演着重要的角色，它们被用来描述数学模型以及解决各种实际问题。

本文将提供一些高三数学构造函数的练习题，帮助读者巩固和加深对该知识点的理解。

练习题一：线性函数已知函数f(x) = 2x + 3，求它的图像与y轴的交点以及与x轴的交点。

解答：1. 与y轴的交点：当x = 0 时，f(x) = 2(0) + 3 = 3。

因此，函数与y轴的交点为(0, 3)。

2. 与x轴的交点：当f(x) = 0 时，2x + 3 = 0。

解这个方程可得 x = -3/2。

因此，函数与x轴的交点为(-3/2, 0)。

练习题二：二次函数已知函数g(x) = x^2 + 4x + 2，求它的顶点坐标以及与x轴的交点。

解答：1. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 来求得，其中 a = 1，b = 4。

代入公式可得 x = -4/(2*1) = -2。

将 x = -2 代入函数中可得，g(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) + 2 = 0。

因此，顶点坐标为 (-2, 0)。

2. 与x轴的交点：当g(x) = 0 时，x^2 + 4x + 2 = 0。

解这个方程需要使用配方法或求根公式，解得 x = -2 ± √2。

因此，函数与x轴的交点为 (-2 + √2, 0) 和 (-2 - √2, 0)。

练习题三：指数函数已知函数h(x) = 2^x，求它的图像与y轴的交点以及与x轴的交点。

解答：1. 与y轴的交点：当x = 0 时，h(x) = 2^0 = 1。

因此，函数与y轴的交点为(0, 1)。

2. 与x轴的交点：当h(x) = 0 时，2^x = 0。

由于指数函数不存在对应的 x 值使整个函数为 0，所以不存在与x轴的交点。

练习题四：对数函数已知函数k(x) = log2(x + 1)，求它的定义域和值域。

解答：1. 定义域：由于对数函数的底数不能为 0 或 1，所以 x + 1 > 0。

河北省正定中学2014届高三三轮模拟练习(四)数学(理)试题 Word版含答案

14.在直角梯形中， ,将沿向上折起，使面垂直于面 ,则三棱锥的外接球的体积为________.
15.已知是椭圆上的点，，是椭圆的焦点，是坐标原点，若是角平分线上一点，且则的取值范围是.
16.对于定义在区间上的函数 ,若存在闭区间和常数，使得对任意 ,都有，且对任意 ,当时，恒成立，则称函数为区间上的“平顶型”函数.给出下列说法：
的分布列为
0
1
2
3
6分
12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）因为侧面 , 侧面，故 ,
在中, 由余弦定理得：
，
所以，……3分
故 ,所以 ,而平面 .……5分
（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为
轴建立空间直角坐标系.则， , .……7分
所以 ,所以 ,
则 .设平面的法向量为，
（I）求随机变量的分布列及其数学期望；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知侧面，
，，
(1)求证： ⊥平面；
（2）设= (0≤≤1)，且平面与所成的锐二面角的大小为30°，试求的值.
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，已知曲线
,过点的直线与曲线相交于点两点．
（I）求曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）若成等比数列，求实数的值
24．（本小题满分10分）已知均为正实数，且 .
求证：；
三轮复习模拟练习数学(四）答案高三0-14班
一．选择题1-5.CBC B A 6-10.D C A D A 11-12.D B

高三数学理科模拟练习4

高三数学（理）模拟试题4第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．设集合2{|560},{|57}A x x x B x x =--<=≤≤，则A B = （）A ．[5，7]B ．[5，6）C ．[5，6]D ．（6，7] 2．命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是（）A ．2,20x R x x ∀∈-= B ． 2,20x R x x ∃∈-≠C ．2,20x R x x ∀∈-≠D ． 2,20x R x x ∃∈-> 3．如图所示，程序框图运行后输出k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．74．直线0x +-=与圆224x y +=交于A ，B 两点，则OA ·OB =（） A ．4 B ． 3C ．2D ．－25．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π 6．已知函数21||()n x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（）7．数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若b 4·b 5=2，则a 9= （） A ．4 B ． 8 C ．16 D ． 32 8．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b=0，则|a+b －c|的最小值为（）A1 B ．1 C1+ D9.双曲线22212:1(0,0)x y C m b b m -=>>与椭圆22222:1(0)x y C a b b a+=>>有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则221211e e +=（）A ．12B ． 1CD ． 210．已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0)()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立若a=（20.2）·0.2(2),(12)f b n =·)41(log )41(log ),2(ln 2121f c f ⋅=,则a,b,c 的大小关系是A ． a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸的相应位置。

2024学年山东省烟台第二中学高三数学试题综合练习(四)含附加题

2024学年山东省烟台第二中学高三数学试题综合练习（四）含附加题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（）． A ．3-B ．6-C ．4D ．92．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．423CD 4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 6．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 7．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（）A ．640B ．416C ．406D ．236-8．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.369．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，，则双曲线C 的焦距为（）A ．3B ．C ．6D ．10．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，31log2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>11．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（） A ．5B ．10C ．20D ．3012．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市2023届高考模拟练习(四)数学试题

重重重2023重重重重重重重重重重重重重重数学测试卷共4页满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设1i2i 1i z -=++ 则||z =A ．0B ．12 C ．1 D 22．已知全集为R 集合A ＝{x|x ≥0} B ＝{x|x2－6x ＋8≤0} 则A ∩(∁RB)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4} 3．（2020·全国高三月考（文））已知向量()2,1m =-(),2n λ= 若()2m n m -⊥ 则λ=（）A ．94 B ．94-C ．7-D ．74．（2020·河南郑州市·高二期中（理））如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的其中11223781OA A A A A A A ===⋯== 如果把图2中的直角三角形继续作下去记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a 则此数列的通项公式为（）A ．n a n = *n N ∈ B ．1n a n =+*n N ∈C ．n a n = *n N ∈D ．2n a n = *n N ∈5．（2020·全国高三月考（理））已知正实数a b 满足1a b += 则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为（）A ．146+B ．25C ．24D ．1236．（2020·河南高二月考（理））在ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 已知()2sin 232BA C +=.2a = 3c = 则sin 2A 的值为（） A ．27B ．33C ．43D ．321147．（2020·全国高三月考（理））已知a 、b 满足0a b e <<< 则ln +b a a a 与ln +a bb b 的大小关系为（）A ．ln ln +>+a b a b a b a b B ．ln ln +=+a b a ba b a b C ．ln ln +<+a b a b a b a b D ．不能确定8．（2020·小店区·山西大附中高二月考）在正方体1AC 中 E 是棱1CC 的中点 F 是侧面11BCC B 内的动点且1A F与平面1D AE的垂线垂直如图所示下列说法不正确的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F与BE 是异面直线C ．1A F与1D E不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值多项选择题(本大题共4小题每小题5分共20分．全部选对的得5分部分选对的得3分有选错的得0分)9．（2020·重庆市万州第二高级中学高一期中）德国数学家狄里克雷()18051859-在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值 y 总有一个完全确定的值与之对应那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵只要有一个法则使得取值范围内的每一个x 都有一个确定的y 和它对应就行了不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数()D x 即：当自变量x 取有理数时函数值为1 当自变量x 取无理数时函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识也使数学家们更加认可函数的对应说定义下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（）A ．()0D π= B ．()D x 是奇函数C ．()D x 的值域是{}0,1D ．()()1D x D x +=10．（2020·江苏海安市·高三期中）若2nx x ⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大则n 的可能值为（）A ．9B ．10C ．11D ．1211．（2020·烟台市福山区教育局高三期中）已知函数()sin xf x x =(]0,x π∈ 则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤ 则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x'=+ 且()1g π=-()g x 在(]0,π上单调递减12．（2021·福建省福州第一中学高三期中）如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3 线段11B D 上有两个动点,E F 且1EF = 以下结论正确的有（）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题每小题5分共20分． 13．二项式()nx x 2+的二项式系数之和为64 则展开式中的6x 的系数是（填数字）14．己知βα，为锐角 211)tan(-=+βα 54cos =β 则=αsin 15．已知点P 是椭圆14:22=+y x C 上一点椭圆C 在点P 处的切线l 与圆4:22=+y x O交于A B 两点当三角形AOB 的面积取最大值时切线l 的斜率等于 16．已知四边形ABCD 为平行四边形 4=AB 3=AD 3π=∠BAD 现将ABD ∆沿直线BD 翻折得到三棱锥BCD A -' 若13='C A 则三棱锥BCD A -'的内切球与外接球表面积的比值为 .四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 中内角,,A B C 的对边分别为a b c 2a b = 1cos 4C =. （1）求sin B ；（2）若ABC 的外接圆面积为8π5求ABC 面积.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()11nn n a a n +=+-⋅ 25S =. （1）证明：{}2n a 是等差数列；（2）求100S .19. 为了保障学生们的合法权益并保证高考的公平性重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩其中地理成绩均在[]30,100（单位：分）将收集到的地理成绩按[)[)[)[]30,40,40,50,,80,90,90,100⋅⋅⋅分组得到频率分布直方图如下.（1）求a 并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20% 物理类考生占80% 历史类考生中选考地理的占90% 物理类考生中选考地理的占5% 历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8% 若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）. 20. 如图在三棱柱111ABCA B C 中 1BC CC = 1AC AB =.（1）证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）若2BC = 1AB B C = 160CBB ∠=︒ 求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.21. 已知函数()1ln f x x x =--. （1）证明：()0f x ≥；（2）已知函数()21ln 2g x x x a =--与函数()y af x =图象恰有两个交点求实数a 的取值范围.22. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F 过点F 引圆M ：()()221114x y ++-=的一条切线切点为N192 FN .（1）求抛物线C的方程；（2）过圆M上一点A引抛物线C的两条切线切点分别为P Q是否存在点A使得APQ△的面积为332若存在求点A的个数；否则请说明理由.。

高三的数学练习题加答案

高三的数学练习题加答案为了帮助高三学生更好地进行数学复习和训练，以下提供了一些高三数学练习题以及详细的答案解析。

希望这些题目能够对同学们的数学学习有所帮助。

1. 一台机器在4小时内能生产200个零件。

如果每个小时它都比前一个小时多生产5个零件，那么在第1小时它生产了多少个零件？答案解析：设第1小时生产了x个零件，则第2小时生产了x+5个零件，第3小时生产了x+10个零件，第4小时生产了x+15个零件。

根据题目提供的信息，我们可以得到方程：x + (x+5) + (x+10) + (x+15) = 200，解得x = 40。

所以在第1小时它生产了40个零件。

2. 已知正方形的一个顶点坐标为(1, 1)，边长为4个单位长度，求另外三个顶点的坐标。

答案解析：由正方形的性质可知，对角线相等且垂直平分。

正方形的对角线长度为4√2，所以对角线的中点坐标为(3, 3)。

设另外三个顶点的坐标为(x, y)，由中点公式可得：(1+x)/2 = 3，(1+y)/2 = 3。

解得x = 5，y = 5。

所以另外三个顶点的坐标分别为(5, 1)，(5, 5)，(1, 5)。

3. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，求函数的对称轴和顶点坐标。

答案解析：函数的对称轴为x = -b/2a，带入a = 1，b = -2，得到x = 1。

将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = 2，所以顶点坐标为(1, 2)。

4. 已知函数g(x) = |x-3|，求函数的定义域和值域。

答案解析：函数g(x)的定义域为所有使得|x-3|有定义的x的集合，即实数集R。

函数g(x)的值域为所有满足条件的|x-3|的值构成的集合。

当x ≥ 3时，|x-3| = x-3；当x < 3时，|x-3| = -(x-3) = -x+3。

综合起来，函数g(x)的值域为(-∞, 0]∪[0, +∞)。

5. 在等差数列中，已知前两项的和为5，公差为2，求这个等差数列的首项。

2023-2024学年北京市东城区高三综合练习数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年北京市东城区高三综合练习数学模拟试题一、单选题1．已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞【正确答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合(){}{}{}lg 222M x y x x x x x ==-=-=，即(2,)M =+∞，e 11x +>，则(1,)N =+∞，所以()1,M N =+∞U .故选：B 2．已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥ ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a b + 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=- ，又()a b b +⊥ ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）A ．()sin f x x=B ．()2x f x =C ．()3f x x x =+D ．()()1e e 2x x f x -=-【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数()sin f x x =为奇函数，但在定义域R 上函数不单调，故A 不符合；对于B ，()2x f x =的定义域为R ，()()22x x f x f x --===，则()2x f x =为偶函数，故B 不符合；对于C ，()3f x x x =+的定义域为R ，()()3f x x x f x -=--=-，则()3f x x x =+为奇函数，又函数3,y x y x ==在R 上均为增函数，故()3f x x x =+在R 上为增函数，故C 不符合；对于D ，()()1e e 2x x f x -=-的定义域为R ，()()()1e e 2x x f x f x --=-=-，则()()1e e 2x x f x -=-为奇函数，又函数e x y -=在R 上为减函数，e x y =在R 上为增函数，故()()1e e 2x x f x -=-在R 上为减函数，故D 符合.故选：D.4．若实数a 、b 满足220a b >>，则下列不等式中成立的是（）A ．a b >B ．22a b>C ．a b >D ．2222log log a b >【正确答案】D【分析】对于D ，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC ，取2a =-，1b =-即可判断.【详解】由题意，220a b >>，所以2222log log a b >，故D 正确；当2a =-，1b =-时，220a b >>，但a b <，22a b <，a b <，故A ，B ，C 错误.故选：D.5．已知322()nx x +的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A ．60B ．80C ．100D ．120【正确答案】B【分析】根据各项系数和求出n ，再由二项展开式通项公式求解即可.【详解】当1x =时，3243n =，解得5n =，则322()n x x +的展开式第1r +项351532155152552C ()()C 2C 2r r rr r r r r r r r T x x x x x ----+===，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880=⨯=，故选：B6．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，若F 是线段AB 的中点，则AB =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果.【详解】由题可知：线段AB 为抛物线的通径所以AB 4=故选：D7．已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（）A ．7B ．8C ．15D ．31【正确答案】C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件求出1a 、q 的值，再利用等比数列的求和公式可求得4S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21213S a a a =+=，则212a a =，所以，212a q a ==，因为223a a =，即()21124a a =，10a ≠ ，解得11a =，因此，()441411215112a q S q --===--.故选：C.8．已知非零向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“||a b a b -≤- ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【正确答案】B 【分析】取,a b 为方向相反的单位向量，得到不充分，根据()()22a b a b -≤- 得到0θ=，得到必要性，得到答案.【详解】若a 与b 共线，取,a b 为方向相反的单位向量，则||2a b -= ，0a b -= ，a b a b ->- ，不充分；若||a b a b -≤- ，则()()22a b a b -≤- ，整理得到a b a b ⋅≤⋅ ，若0a ≠ 且0b ≠r r ，设,a b 夹角为θ，则[]0,πθ∈，即cos a b a b θ⋅≤⋅ ，即1cos θ≤，即0θ=，故a与b 共线，必要性成立.综上所述：“a 与b 共线”是“||a b a b -≤- ”的必要不充分条件.故选：B9．血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.其中正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：C ．10．已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠相交于点P ，则PM 的取值范围是（）A ．1]-B ．1]-C ．1]-+D ．1]【正确答案】B 【分析】根据给定条件确定出点P 的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【详解】依题意，直线1:(3)(1)0l m x n y ---=恒过定点(3,1)A ，直线2:(1)(3)0l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，显然直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心(2,2)N ，半径2r =C 的圆心(0,0)C ，半径11r =，如图：12||NC r r =+，两圆外离，由圆的几何性质得：min 12||||1PM NC r r =---，max 12||||1PM NC r r =++=，所以PM 的取值范围是.1]+故选：B思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.二、填空题11．已知a ，b 均为实数.若()i i i b a +=+，则ab =_____________.【正确答案】1-【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，1ab =-.故答案为.1-三、双空题12．已知1F 、2F 分别是双曲线()222:109x y C a a -=≠的左、右焦点，P 是C 上的一点，且12216PF PF ==，则12PF F △的周长是___________，双曲线的离心率是___________.【正确答案】3454【分析】利用双曲线的定义求出a 的值，可求得c 的值，进而可求得12PF F △的周长以及该双曲线的离心率的值.【详解】因为12216PF PF ==，则28PF =，由双曲线的定义可得1221688a PF PF =-=-=，则4a =，则5c ===，所以，12210F F c ==，故12PF F △的周长为12121681034PF PF F F ++=++=，该双曲线的离心率为54c e a ==.故34；54.四、填空题13．在ABC 中，a =2b c =，1cos4A =-，则ABC S = ______.【分析】由余弦定理求解,b c ，由同角函数基本关系求出sin A ，代入面积公式求解即可.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得222212444()64c c c c =+-⨯-=，解得2c =，则24b c ==，又sin A =所以411sin 222ABC S bc A ==⨯⨯=五、双空题14．若函数sin (0,0)y A x A ωω=>>在[0,1]上取到最大值A ，则ω的最小值为___________.若函数sin (0,0)y A x A ωω=>>的图象与直线y A =-在[0,1]上至少有1个交点，则ω的最小值为__________.【正确答案】2π32π【分析】利用正弦函数的图象和周期即可求解.【详解】要使sin (0)y A x ωω=>在区间[]0,1上取到最大值A ，则12ωπ≤，2πω≥，则ω的最小值为π2；又函数sin (0,0)y A x A ωω=>>与y A =-在[]0,1上至少有1个交点，即函数sin (0)y A x ωω=>在区间[]0,1上至少出现1次最小值，332144T ωπ∴=⋅≤，解得：32ω≥π，则ω的最小值是32π.故2π；32π.六、填空题15．在数列{}n a 中，对任意的*n ∈N 都有0n a >，且211n n n a a a ++-=，给出下列四个结论：①对于任意的3n ≥，都有2n a ≥；②对于任意10a >，数列{}n a 不可能为常数列；③若102a <<，则数列{}n a 为递增数列；④若12a >，则当2n ≥时，12n a a <<.其中所有正确结论的序号为_____________.【正确答案】③④【分析】对数列递推关系变形得到()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+，得到2n a -与12n a +-同号，当102a <<时，02n a <<，①错误；当12a =时，推导出此时{}n a 为常数列，②错误；作差法结合102a <<时，102n a +<<，求出数列{}n a 为递增数列，③正确；由2n a -与12n a +-同号，得到当12a >，有2n a >，结合作差法得到{}n a 为递减数列，④正确.【详解】因为211n n n a a a ++-=，所以()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+，因为任意的N n *∈都有0n a >，所以110n a ++>，所以2n a -与12n a +-同号，当102a <<，则3n ≥时，都有02n a <<，①错误；当12a =时，1222201a a a -=+=-，所以22a =，同理得：()23n a n =≥，此时{}n a 为常数列，②错误；()221111211n n n n n a a a a a ++++-=--=++-，由A 选项知：若102a <<，则102n a +<<，所以()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+>-+-==，则数列{}n a 为递增数列，③正确；由2n a -与12n a +-同号，当12a >，则2n ≥时，都有2n a >，且此时()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+<-+-==，所以数列{}n a 为递减数列，综上：若12a >，则当2,n ≥时，12n a a <<，④正确.故③④七、解答题16．已知函数()()2cos 2sin 102f x x x x ωωωω=-+<<.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：条件①：在()f x 图象上相邻的两个对称中心的距离为π2；条件②：()f x 的一条对称轴为π6x =.(1)求ω；(2)将()f x 的图象向右平移π3个单位（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【正确答案】(1)1ω=(2)[]2,1-【分析】（1）由三角函数的恒等变换对()f x 进行化简，再分别由条件①②求ω的值．（2）由三角函数的平移变换得()g x 的解析式，再由函数的定义域求值域即可．【详解】（1）()2cos 2sin 1f x x x x ωωω=-+2cos 2x xωω+π2sin(26x ω=+选①：()f x 图象上相邻两个对称中心的距离为π2，则2ππ2T ω==，则1ω=，选②：()f x 的一条对称轴为π6x =，则πππ2πZ 662k k ω⋅+=+∈，，31k ω∴=+，又02ω<<，则1ω=，于是()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将()2sin(2)6f x x π=+的图象向右移π3个单位长度（纵坐标不变），得到函数πππ()2sin[2(2sin(2)2cos 2362g x x x x =-+=-=-的图象 ππ[,]33x ∈-，∴2π2π2[,]33x ∈-，∴cos 2[,1]12x ∈-，()g x ∴的值域为[]2,1-．17．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，E 为线段AD 的中点.PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G .(1)求证：BE FG ∥；(2)若PC 与AB 所成的角为π4，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为E为AD中点，所以112DE AD==．又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DE//BC，所以四边形BCDE为平行四边形．所以BE//CD．又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，所以BE//平面PCD．因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BE//FG．.（2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，所以PE⊥AE，且PE⊥BE．因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，所以AE⊥BE．以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0E A B C D --．设()()0,0,0P m m >，所以()1,1,CP m =- ，()1,1,0AB =-uu u r ．因为PC 与AB 所成角为π4，所以πcos ,cos 42CP AB CP AB CP AB ⋅===⋅ ．所以m =则(P，11,222F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以()0,1,0EB =，11,22EF ⎛=- ⎝⎭，(0,1,PB = ．设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则00n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0110.22y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =，则1z =，所以)n = ．所以cos ,3PB n PB n PB n⋅==⋅ ．所以直线PB 与平面BEF的所成角的正弦值为3．18．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E 评分9.69.59.68.99.7（1）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E （X ）与E （Y ）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分．请直接写出x 与122x x +的大小关系．【正确答案】（1）10.3,2；（2）见解析；（3）122x x x +＜.【分析】（1）由频率和为1可得a 的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望．（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知10.20.50.3a =--=，某场外观众评分不小于9的概率是12．（2）X 的可能取值为2，3．P （X =2）=21413535C C C =；P （X =3）=343525C C =．所以X 的分布列为X23P 3525所以E （X ）=2×32123555+⨯=．由题意可知，132Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，所以E （Y ）=np =32．（3）122x x x +＜．本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．19．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.【正确答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞【详解】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时，1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-='曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=，（i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >；（ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-+由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <.综上，a 的取值范围是(],2.-∞导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y ＝f （x ）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x ）；（3）解不等式f′（x ）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x ）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A B ，，||4AB =，离心率为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点D 为线段AB 上的动点，过D 作线段AB 的垂线交椭圆C 于不同的两点E 和F ，N 为线段AE 上一点（异于端点）.当NDE DBF ∠=∠时，求||||AN AE 的值.【正确答案】(1)22142x y +=(2)23【分析】（1）根据题意，可得2a =，再由离心率可得c =再由椭圆中,,a b c 的关系即可得到b ，从而得到椭圆的方程；（2）根据题意，设出点,E F 的坐标，然后表示出点N 的坐标，再由tan tan NDE DBF ∠=∠列出方程，即可得到结果.【详解】（1）由已知||4AB =，可得24a =，则2a =，因为2c e a ==，所以c =且222422b a c =-=-=，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）设||||AN AE λ=，则()01AN AE λλ=<< ，由已知可得()()2,0,2,0A B -，设(),E m n ，则(),F m n -，(),N N N x y ，则()()2,,2,N N AN x y AE m n =+=+ ，所以22N x m λλ=+-，N y n λ=，即()22,N m n λλλ+-，又因为90NDE DBF ∠=∠≠︒，所以tan tan NDE DBF ∠=∠，所以222m m n n mλλλ--+=-，即122m n n m λλ-⋅+=⋅-，化简可得2214n m λλ-=-，又因为22142m n +=，所以2242m n -=，所以112λλ-=，解得23λ=或2λ=（舍），所以||2||3AN AE =.关键点睛：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，难度较难，解答本题的关键是利用好ND 与BF 之间的关系，然后由tan tan NDE DBF ∠=∠列出方程，再通过计算，即可求解.21．对非空数集A ，B ，定义{},A B x y x A y B -=-∈∈，记有限集T 的元素个数为T .（1）若{}13,5A =,，{}1,2,4B =，求A A -，B B -，A B -；（2）若4A =，*A ⊆N ，{}1,2,3,4B =，当A B -最大时，求A 中最大元素的最小值；（3）若5A B ==，21A A B B -=-=，求A B -的最小值.【正确答案】（1）5,7,7A A B B A B -=-=-=；（2）13；（3）15（1）根据新定义求出,,A A B B A B ---，进而可得答案；（2）设{},,,A a b c d N *=⊆，a b c d <<<，当A 中元素与B 中元素的差均不相同时，A B -可取到最大值，进而可求出最大值，再通过4,4,4b a c b d c -≥-≥-≥得到12d a -≥，可得A 中最大元素的最小值；（3）对非空数集T ，定义运算{}|,,T x y x y T x y *=-∈≠，首先确定A 中不同的元素的差均不相同，B 中不同的元素的差均不相同，由12A B A B A B **-≥-可得A B -的最小值，然后验证最小值可以取到即可.【详解】解：（1）{}13,5A = ,，{}1,2,4B =，{}{}{}4,2,0,2,4,3,2,1,0,1,2,3,3,1,0,1,2,3,4A A B B A B ∴-=---=----=--，5,7,7A A B B A B ∴-=-=-=;（2）设{},,,A a b c d N *=⊆，a b c d <<<，①4A B == ，2416A B ∴-≤=，当A 中元素与B 中元素的差均不相同时等号成立，所以A B -最大值为16；②当16A B -=时，A 中元素与B 中元素的差均不相同，()(){}0A A B B ∴--= ，又因为{}3,2,1,0,1,2,3B B -=---，4,4,4b a c b d c ∴-≥-≥-≥，12d a ∴-≥，则13d ≥，综上，A B -最大值为16，A 中最大元素的最小值为13；（3）对非空数集T ，定义运算{}|,,T x y x y T x y *=-∈≠，①5A =,()551121A A ∴-≤⨯-+=，当且仅当()55120A *=⨯-=时取等号，又因为21A A -=，所以A 中不同的元素的差均不相同，同理，B 中不同的元素的差均不相同，若,,,a a A b b B''∈∈因为a b a b a a b b a a b b ''''''-=-⇔-=-⇔-=-，1155201522A B A B A B **∴-≥-≥⨯-⨯= ，②令{}1,2,4,8,16A =，{}1,2,4,8,16B =-----，所以5A B ==，A 中不同元素的差均不相同，B 中不同元素的差均不相同，所以21A A B B -=-=，经检验，15A B -=符合题意，综上A B -的最小值为15.本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.。

江苏省苏州大学2024届高三下学期数学试题练习卷(4)

江苏省苏州大学2024届高三下学期数学试题练习卷（4）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．11743．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（）A ．170B ．10C ．172D ．124．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．13±B ．22C ．±1D ． 3±5．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（）A ．10B ．11C ．12D ．136．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（）A ．102B ．10C ．52D ．57．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π8．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．9．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（） A ．－2B ．－4C ．3D ．－310．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（） A ．427B ．13C ．127D ．1911．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省9+1高中联盟长兴中学2024学年高三练习题四(全国卷)数学试题

浙江省9+1高中联盟长兴中学2024学年高三练习题四（全国卷）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A．48 B．36 C．24 D．122．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒3．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．13C ．43D ．565．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（） A ．1-B ．1C ．i -D ．i6．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．134-B ．54C ．5D ．1547．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（） A ．13B ．23C ．33D ．238．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．329．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（） A ．B ．C ．D ．10．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（）A ．23B 6C 3D ．1311．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n、x的值分别为3、1，则输出v的值为（）A．7B．8C．9D．1012．执行如图所示的程序框图若输入12n ，则输出的n的值为（）A．32B．2C．52D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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