上海自招数学专题10 部分分式(原卷版)

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2019年上海中学自主招生数学试卷

2019年上海中学自主招生数学试卷
一、填空题（共11小题，每小题0分，满分0分）
1．已知a≠0，求++＝．
2．因式分解：x3﹣3x+2＝．#MUSTA
3．已知两二次方程ax2+ax+b＝0与ax2+bx+b＝0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为．
4．求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为个．
5．已知点C（3，5），D（0，1），A、B两点在x轴上且AB＝2．已知点A在x轴右侧，求
C ABCCD的最小值为．
6．如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．
7．已知a＞1，解方程：＝x．#MUSTA
8．已知：|x i|＜1（i＝1，2，3，…，n），且|x1|+|x2|+…+|x n|＝1000+|x1+x2+…+x n|，则n的最小值为（）
A．999B．1000C．1001D．1002
9．已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP∥BC，且HP＝BC．联结AP、CP，求证：AP⊥CP．
11．一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？。

2020年上海市上海中学高中自主招生数学模拟试卷及答案解析

系是
．
5．如图，AB 是 ⊙ O 的直径， PA，PC 分别与 ⊙O 相切于点 A，点 C，若∠ P＝ 60°，PA= 2 √3 ，
则 AB 的长为
．
6．一群同学参加学校研学活动需要住宿，若每房间住
4 人，剩 18 人无房住；若每房间住 6
人，则有一间宿舍住不满．则有
间宿舍．
7．已知：
第 1页（共 10页）
，按此规律，计算
Байду номын сангаас
的面积为
．
4．“如果二次函数 y＝ ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相
等的实数根． ”请根据你对这句话的理解，解决下面问题；若
p、q（ p＜ q）是关于 x 的方
程 2﹣（ x﹣a）（x﹣ b）＝ 0 的两根，且 a＜ b，则请用“＜”来表示 a、b、 p、q 的大小关
2020 年上海市上海中学高中自主招生数学模拟试卷
一．填空题（共 8 小题，满分 24 分）
11 1．已知 + =
1
，则
?? +
??的值等于
．
?? ?? ??+?? ?? ??
2．将
a√-
1 根号外面的式子移到根号内是 ??
．
3．如图，点 A 在线段 BG 上，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的面积分别为 3 和 7，则△ CDE

初中数学自招专题10 部分分式(详解版)

专题10 部分分式考点点拨典型精选1．（衢州校级模拟）设S=113+123+133+⋯+1993，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．7【点拨】由于1k3＜1k(k2−1)=12[1(k−1)k−1k(k+1)]，由此可以得到1＜S=1+123+133+⋯+1993＜1+1 2(12−199×100)＜54，然后即可求出4S的整数部分．【解析】解：当k ＝2，3…99，因为1k3＜1k(k 2−1)=12[1(k−1)k−1k(k+1)]，所以1＜S =1+123+133+⋯+1993＜1+12(12−199×100)＜54．于是有4＜4S ＜5，故4S 的整数部分等于4．故选：A ．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了1k ＜1k(k −1)=12[1(k−1)k−1k(k+1)]．2．（浙江校级自主招生）为了求1+2+22+…+22009的值，可令S ＝1+2+22+…+22009，则2S ＝2+22+…+22010，因此2S ﹣S ＝22010﹣1，所以1+2+22+…+22009＝22010﹣1，仿照以上推理计算出1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2009的值是3−3−20092．【点拨】仔细阅读题目中示例，找出其中规律，运用到本题中，先设S ＝1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2009，从而求出3S 的值，然后用3S ﹣S ，错位相减即可求解本题．【解析】解：根据题中的规律，设S ＝1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2009，则3S ＝3+1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2008，所以3S ﹣S ＝（3+1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2008）﹣（1+3﹣1+3﹣2+…+3﹣2009）即2S ＝3﹣3﹣2009，所以S =3−3−20092．故答案为3−3−20092．【点睛】本题主要考查了学生的阅读理解能力，分析、总结、归纳能力，难度中等．解题的关键是弄清所给例子，找到解题的规律．3．（乐清市校级自主招生）若在关于x 的恒等式Mx+Nx 2+x−2=2x+a−c x+b中，Mx+Nx 2+x−2为最简分式，且有a ＞b ，a +b ＝c ，则N ＝ ﹣4 ．【点拨】先将右端通分，根据分母因式的对应性及a ＞b ，可得出a 和b 的值，继而根据a +b ＝c 求出c ，再由分式的加减法，根据对应相等列出N 关于a 、b 、c 的关系式，代入后求出即可．【解析】解：∵Mx+Nx +x−2=2x+2b−cx−ca (x+a)(x+b)=(2−c)x+2b−ca (x+a)(x+b)，且x 2+x ﹣2＝（x ﹣1）（x +2），a ＞b ， ∴a ＝2，b ＝﹣1，则c ＝a +b ＝1，从而可得M ＝2﹣c ＝1，N ＝2b ﹣ca ＝2×（﹣1）﹣1×2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了部分分式的知识，有一定难度，对应相等贯穿了本题的解答，首先根据对应相等得出a 、b 的值，然后利用对应相等得出N 的值．4．（黄冈中学自主招生）已知对于任意正整数n ，都有a 1+a 2+…+a n ＝n 3，则1a 2−1+1a 3−1+⋯+1a 100−1=33100．【点拨】先根据n ≥2时，a 1+a 2+…+a n ﹣1+a n ＝n 3，a 1+a 2+…+a n ﹣1＝（n ﹣1）3，把两式相减，得出a n 的表达式，再根据1a n −1=13（1n−1−1n）进行解答即可．【解析】解：∵当n ≥2时，有a 1+a 2+…+a n ﹣1+a n ＝n 3，a 1+a 2+…+a n ﹣1＝（n ﹣1）3，两式相减，得a n ＝3n 2﹣3n +1， ∴1a n −1=13n(n−1)=13（1n−1−1n），∴1a 2−1+1a 3−1+⋯+1a 100−1，=13（1−12）+13（12−13）+⋯+13（199−1100），=13（1−1100），=33100．故答案为：33100．【点睛】本题考查的是部分分式，属规律性题目，能根据题意得出1a n−1=13（1n−1−1n）是解答此题的关键．精准预测1．设S=113+123+133+⋯+120113，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．7【点拨】由于1k3＜1k(k2−1)=12[1(k−1)k−1k(k+1)]，利用这个都是把已知等式变为1＜S=1+123+133+⋯+120113＜1+12(12−12011×2012)＜54，由此即可求解．【解析】解：当k＝2，3，2011，因为1k3＜1k(k2−1)=12[1(k−1)k−1k(k+1)]，所以1＜S=1+123+133+⋯+120113＜1+12(12−12011×2012)＜54．于是有4＜4S＜5，故4S的整数部分等于4．故选：A．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是把已知都是利用1k3＜1k(k2−1)=12[1(k−1)k−1k(k+1)]变形化简即可解决问题．2．先求和12+12×3+13×4+⋯+1(n−1)×n，思考当n 越来越大时，这个和趋向一个数，这个数是 1 ；那么1+11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+n 的和趋向的一个数是 3 ．【点拨】根据1(n−1)×n=1n−1−1n于是可以化简12+12×3+13×4+⋯+1(n−1)×n为1−1n ，根据1+2+3+…+n =n(n+1)2，于是可知11+2+3+⋯+n =2n(n+1)=2（1n −1n+1），即可知1+11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+n =1+2（1−1n+1），当n 越来越大时，和趋向一个数即可求出．【解析】解：∵1(n−1)×n=1n−1−1n，∴12+12×3+13×4+⋯+1(n−1)×n=1−12+12−13+13−⋯+1n−1−1n =1−1n，当n 越来越大时，这个和趋向于1，∵1+2+3+…+n =n(n+1)2， ∴11+2+3+⋯+n=2n(n+1)=2（1n −1n+1），∴1+11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+n =1+2（1−12+12−13+⋯−1n+1），当n 越来越大时，这个和趋向于3．故答案为：1，3．【点睛】本题主要考查部分分式的知识点，解答本题的关键是把题干求和式子进行化简，此题难度不大．3．已知3x 2−7x+2(x−1)(x+1)=3+A x−1+Bx+1，其中A ，B 为常数，则4A ﹣2B ＝ 8【点拨】首先把等式的右边通分，然后加减、化简然后根据分式的分母相等、分式的值相等即可得到分子相等关于A 、B 的方程组，解方程组即可求解．【解析】解：∵3x 2−7x+2(x−1)(x+1)=3+A x−1+Bx+1，∴3x 2−7x+2(x−1)(x+1)=3(x 2−1)+A(x+1)+B(x−1)(x−1)(x+1)，∴3x 2−7x+2(x−1)(x+1)=3x 2+(A+B)x−3+A−B(x−1)(x+1)，∴{A +B =−7−3+A −B =2， ∴A ＝﹣1，B ＝﹣6， ∴4A ﹣2B ＝8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了部分分式的化简计算，解题的关键是通过通分、化简、计算，然后利用恒等式的性质得到关于A 、B 的方程组解决问题．4．已知x 2+3(x−1)(x+2)2=A x−1+B x+2+C(x+2)2，其中A ，B ，C 为常数，则A ＝ 49，B ＝ 59，C ＝ −73【点拨】首先把等式的右边通分，然后根据分母相同，分式值相等，那么分子相等，是恒等式即可得到关于A 、B 、C 的方程组，解方程组即可求解．【解析】解：∵x 2+3(x−1)(x+2)=A x−1+B x+2+C (x+2)，∴x 2+3(x−1)(x+2)2=A(x+2)2+B(x−1)(x+2)+C(x−1)(x−1)(x+2)2，∴x 2+3(x−1)(x+2)2=(A+B)x 2+(4A+B+C)x+4A−2B−C(x−1)(x+2)2，∴{A +B =14A +B +C =04A −2B −C =3，∴A =49，B =59，C =−73．故答案为：A =49，B =59，C =−73．【点睛】此题考查了部分分式的化简计算，解题的关键是通过通分化简计算得到关于A 、B 、C 的方程组解决问题．5．已知60(x+1)(x−2)(x+3)=A x+1+B x−2+Cx+3，其中A ，B ，C 为常数，则A +B +C ＝ 0 ．【点拨】先将Ax+1+B x−2+Cx+3进行通分，然后将问题转化为三元一次方程组的问题，继而求出A +B +C的值．【解析】解：∵Ax+1+B x−2+C x+3=A(x−2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x−2)(x+1)(x−2)(x+3)=A(x 2+x−6)+B(x 2+4x+3)+C(x 2−x−2)(x+1)(x−2)(x+3) =(A+B+C)x 2+(A+4B−C)x−6A+3B−2C (x+1)(x−2)(x+3)=60(x+1)(x−2)(x+3)，∴{A +B +C =0A +4B −C =0−6A +3B −2C =60， ∴A +B +C ＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查部分分式的知识，难度适中，注意掌握此类问题的解答思路和方法．6．已知3x+5x 2−4=A x−2+Bx+2，那么A 2+B 2＝618．【点拨】首先把等式右边通分，公分母为x 2﹣4，然后根据等式左边即可求出A 、B 的值，代入所求代数式计算即可求解．【解析】解：∵3x+5x −4=A x−2+Bx+2，∴3x+5x −4=A(x+2)+B(x−2)x −4，∴3x+5x −4=(A+B)x+2A−2Bx −4，∴{A +B =32A −2B =5， ∴A =114，B =14，∴A 2+B 2=1+12116=618．故答案为：618．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，解答本题时，主要用到了通分的方法来计算分式的加减法．7．已知6x 3+10xx +x +1=Ax+B x +x+1+Cx+Dx −x+1，其中A ，B ，C ，D 为常数，则A +B +C +D ＝ 6 ．【点拨】由于x 4+x 2+1＝（x 2+1）2﹣x 2＝（x 2+1+x ）（x 2+1﹣x ），利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A 、B 、C 、D 的方程组，解方程组即可求解．【解析】解：∵6x 3+10xx +x +1=Ax+B x +x+1+Cx+Dx −x+1，并且x 4+x 2+1＝（x 2+1）2﹣x 2＝（x 2+1+x ）（x 2+1﹣x ），∴6x 3+10x x 4+x 2+1=(Ax+B)(x 2+1−x)+(Cx+D)(x 2+1+x)x 4+x 2+1∴6x 3+10x ＝（Ax +B ）（x 2+1﹣x ）+（Cx +D ）（x 2+1+x ） ∴当x ＝0时，B +D ＝0 ①当x ＝1时，A +B +3（C +D ）＝16 ② 当x ＝﹣1时，3（B ﹣A ）+D ﹣C ＝﹣16 ③ 依题意得A +C ＝6 ④ 联立①②③④解之得 A ＝C ＝3、B ＝﹣2、D ＝2， ∴A +B +C +D ＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题．8．已知2x 2+x−11x (x−1)=A x+B x +Cx−1，其中A ，B ，C 为常数，则A +B +C ＝ 13 ．【点拨】将分式的右边通分，可得分母相同，再根据二次项系数、一次项系数、常数项分别相等即可得到关于ABC 的方程组，求出A 、B 、C 的值即可．【解析】解：将等式的右边通分得，Ax(x−1)+B(x−1)+Cx 2x 2(x−1)=(A+C)x 2+(B−A)x−Bx 2(x−1)，∵2x 2+x−11x (x−1)=A x+B x +Cx−1，∴2x 2+x−11x 2(x−1)=(A+C)x 2+(B−A)x−Bx 2(x−1)，∴{A +C =2B −A =1−B =−11，解得{A =10B =11C =−8，∴A +B +C ＝10+11﹣8＝13．故答案为13．【点睛】本题考查的是部分分式，根据题意得出关于A 、B 、C 的方程组是解答此题的关键．9．已知2x 3−3x 2+6x+1(x +1)(x +3)=Ax+B x +1+Cx+D x +3，其中A 、B 、C 、D 为常数，则A ＝ 2 ．【点拨】先把等式右边的式子统分，再令等式两边的分子相等，比较x 3及x 的系数即可得到关于A 、C 的方程组，求出A 的值即可．【解析】解：∵原式可化为：2x 3−3x 2+6x+1(x 2+1)(x 2+3)=(Ax+B)(x 2+3)+(Cx+D)(x 2+1)(x 2+1)(x 2+3)，∴2x 3﹣3x 2+6x +1＝（Ax +B ）（x 2+3）+（Cx +D ）（x 2+1），即2x 3﹣3x 2+6x +1＝（A +C ）x 3+Dx 2+（3A +C ）x +3B +D ，∴{A +C =23A +C =6，解得A ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是部分分式，能根据题意得出关于A 、C 的二元一次方程组是解答此题的关键． 10．（1）将下列各题分解为部分分式： ①x−5(x+1)(2x−1)②6x 2+16x+18(x+1)(x+2)(x+3)（2）已知：x 2+2(x−1)3≡A (x−1)+B (x−1)2+C (x−1)3，求A 、B 、C 的值．【点拨】（1）仔细观察两个分式的分母都是积的形式，所以，根据分式通分的逆过程，将原分式化为几个分式的和的形式来解答；（2）先将原分式通分，然后根据分子的特点将对应的二次项系数、一次项系数及常数项找出来组成方程组来解答．【解析】解：（1）①设x−5(x+1)(2x−1)=A x+1+B 2x−1=(2A+B)x−(A−B)(x+1)(2x−1)∴{2A +B =1B −A =5 解得，{A =2B =−3∴x−5(x+1)(2x−1)=2x+1−32x−1②设6x 2+16x+18(x+1)(x+2)(x+3)=A x+1+B x+2+Cx+3=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+3)=(A+B+C)2+(5A+4B+3C)x+6A+3B+2C (x+1)(x+2)(x+3) ∴{A +B +C =65A +4B +3C =166A +3B +2C =18，∴解得，{A =4B =−10C =12∴原式=4x+1−10x+2+12x+3（当A 、B 、C 的值也可用x 的特殊值来求）（2）设x 2+2(x−1)3=A x−1+B (x−1)2+C (x−1)3 =A(x−1)2+B(x−1)+C (x−1)3#/DEL/#=Ax 2−2Ax+Bx+A−B+C (x−1)3#/DEL/#=Ax 2+(B−2A)x+A−B+C(x−1)3#/DEL/# ∴{A =1B −2A =0A −B +C =2，解得，{A =1B =2C =3【点睛】解答本题时，主要用到了通分的方法来计算分式的加减法．。

2022年上海浦东新区上海中学自主招生数学试卷(标准版)

12平方差公式”、 C ．“完全3★★的值是一个正整数的整数一共有个．
4★★★与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数” 与在上是“逼近函数”；与在上是“逼近函数”；与在是“逼近函数”．
年上海浦东新区上海中学自主招生第3题
年上海浦东新区上海中学自主招生第4题
其中，正确的命题序号是．
5★★★
如果方程
的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数．
6★★★
如图，一个较大的圆内有个半径为的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为
．
7★★★
如图，在平面直角坐标系上，
，，动点在直线上，动点在
轴上，则的最小值为
．
8★★
2022年上海浦东新区上海中学自主招生第5题
2022年上海浦东新区上海中学自主招生第6题
2022年上海浦东新区上海中学自主招生第7题
2022年上海浦东新区上海中学自主招生第8题
9
斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由．
10
沿对角线对折后放于桌面上，探究其
11
存在唯一的实数，使得
为同一直线上顺次四点．
为调和点列，请探究此时，，这三。

自主招生历年数学真题专题讲解(上海)

一、专题讲解 (2)专题1、巧算 (2)专题2、找规律 (4)专题3、二次根式 (7)专题4、化简求值 (9)考点5、有理数无理数反证法 (152)考点6、不等式 (18)考点7、整式方程 (18)一、专题讲解考点1、巧算往届真题回顾【2015华二】【2015交大】2017考题预测考点2、找规律往届真题回顾：2017考题预测7、如图，直线l 1：1-=x y 与直线l 2：12-=x y 交于点P ，直线l 1与x 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 1，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 1；再沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 2，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 2，…依此规律，则动点C 到达点A 10所经过的路径总长为（）A ．1210- B ．2210- C ．1211- D ．2211-10、现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个小正方形．(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值．xyOB3B2A2A1B1l2l1PA（第7题图）考点3、二次根式往届真题回顾【2015交大】【2013交大】【2012复旦】【2015华二】已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2= 。

【2014建平】有________个实数x ，可以使得120x -为整数.x 为1,2,3，……，2014，使得100x -为有理数的x 有_______个. x 为1,2,3，……，2014，使得5x 为有理数的x 有_______个.有________个整数x ，可以使得1202x -为整数 2017考题预测.考点4、化简求值往届真题回顾【2013华二】【2015复旦】【2016复旦】【2013交大】【2015黄冈】2017考题预测1.已知111a b a b+=+，则b aa b+=___________.【变式】已知：114a b a b+=+，则b aa b+=___________.【变式】已知：114a b a b-=+，则b aa b-=___________.【变式】已知：22114a b a b+=+，则22b aa b+=___________.【变式】已知：1baa b+=+，则aba+=___________.5、使得381n+是完全平方数的正整数n有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个考点5、有理数无理数反证法往届真题回顾：【2013交大】【2016华二】2017考题预测考点6、不等式往届真题回顾【2015上海中学】【2015交大】【2014交大】2017考题预测考点7、整式方程往届真题回顾【2014华二】【2015交大】【2015交大】【2016交大】2017考题预测。

上海七宝中学自招数学试题

上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。

题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。

这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。

不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。

上海中考自招试卷(数学)及答案要点(pdf版)

高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

上海高中自主招生—专题讲座·数学(试读文档)

高中自主招生是每一位初中学生都可以尝试的活动鉴于现在市面

上自招的材料比较少而且多数培训机构都打着自招的牌子这或许会

让大家很难去选择所以我们就想着尽我们的能力编写一套复习材料给大家一些帮助
我们建议大家可以从七年级升八年级的暑假开始学习这套材料本
书分为!"讲难度在课本以上竞赛以下每讲都分为知识要点例题
%第一讲!代数式 !
已知是方程的一根求的值 !!$" 8
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已知求的值例题"!
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解析!这样的题目在自招的试卷中出现的次数也是非常的多应熟练选用合适的公式!
熟用完全平方公式注意符号

2020年上海交大自主招生数学试卷含答案

2020年上海交大自主招生数学试卷一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为．2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有个．4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE 和CD的夹角为．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有种不同的取法．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为．10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c212．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有对．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有条．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有个．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是．参考答案一、填空题1．（c，1﹣c）；2．1个；3．686；4．60°；5．7x﹣y﹣17＝0；6．11；7．0；8．当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．；9．3，4，6；10．C；11．B；12．2；13．0；14．；15．7；16．；17．174；18．无穷多条；19．3；20．；21．310；22．0；23．A；24．2；试题解析一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为（c，1﹣c）．【解答】解：由题意可得，，解可得，，因为0＜c＜，所以﹣c＜c＜1﹣c＜1+c，所以c＜x＜1﹣c．故函数的定义域（c，1﹣c），故答案为：（c，1﹣c）2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有1个．【解答】解：由2x﹣sin x＝1，得2x﹣1＝sin x，作出函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象如图：当x＝时，sin＝，＜＜＝，可知函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象在（0，1）上一定有一个交点，且唯一，故（1）错误，（3）（4）正确；由图可知，方程有无穷多个解，故（2）正确．∴其中错误的判断有1个．故答案为：1个．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有686个．【解答】解：因为小于1000的正整数中，5的倍数有1000÷5＝200个，1000÷7＝142…6即7的倍数有142个，因为1000÷35＝28…20即35的倍数有28个，故既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有1000﹣（200+142﹣28）＝686个故答案为：6864．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE 和CD的夹角为60°．【解答】解：以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，可得A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），由AD＝BE＝，可得E（﹣a，0），又＝，可得D（，a），即为（﹣a，a），则直线AE的斜率为k AE＝＝3，直线CD的斜率为k CD＝＝﹣，可得两直线AE，CD的夹角的正切为||＝，则所求夹角为60°．故答案为：60°．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为7x ﹣y﹣17＝0．【解答】解：由A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），所以|AB|＝＝5，|AC|＝＝10，设角A的平分线AT交BC于点T，则点T分BC所成的比为λ＝＝，由定比分点坐标公式，得x T＝＝，y T＝＝﹣；所以点T（，﹣），所以AT所在的直线方程为＝，即7x﹣y﹣17＝0．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有11种不同的取法．【解答】解：根据题意，从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，有以下情况：1、2个红球，3个黑球，1个白球；2、2个红球，2个黑球，2个白球；3、2个红球，1个黑球，3个白球；4、2个红球，4个白球；5、1个红球，3个黑球，2个白球；6、1个红球，2个黑球，3个白球；7、1个红球，1个黑球，4个白球；8、1个红球，5个白球；9，3个黑球，3个白球；10、2个黑球，4个白球；11、1个黑球，5个白球；共11种情况；故答案为：11．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝0．【解答】解：图象过A，B两点，可知该函数一定是二次函数，对称轴方程为，所以b＝﹣2a，b+2a＝0．故答案为0．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．．【解答】解：设直线方程为x＝ty+，联立整理可得y2﹣2pty﹣p2＝0，y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，t•2pt+p＝5∴，当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为3，4，6．【解答】解：设m个正n边形可以无重叠，无缝隙地平铺平面如图所示，则，化简可得：2（m+n）＝mn，则满足条件的有，，，因此满足条件的n的值为3，4，6，故答案为：3，4，610．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值【解答】解：若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则k＝﹣2或k＝0，或者三条直线经过同一个点，即x﹣2y+2＝0和x＝2的交点（2，2）在直线x+ky＝0上，此时k＝﹣1．综上，k＝﹣2 或k＝0或k＝﹣1，故选：C．11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c2【解答】解：∵由题意得+＝，即2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，∴b2≤|ac|，∴，即|b|≤，又2b2c2＝（a2+c2）b2．∴，∴≤≤，或，即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．故选：B．12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为2．【解答】解：两个实数的和差积商仍然是实数，故R是一个封闭集合；两个有理数的和差积商仍然是有理数，故Q是一个封闭集合；注意到，而，故∁R Q不是封闭集合；令，注意到，而，故不是封闭集合；综上可得，封闭集合的个数为2．故答案为：2．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有0．【解答】解：由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣x2＝x+1，∵x为正整数，∴x+1＞1，即y2﹣x2＞1，则y＞x，由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣1＝（y﹣1）（y+1）＝x（x+1），∵y+1＞x+1，∴y﹣1＜x，则x＜y＜x+1，满足该式的正整数y不存在，则方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．故答案为：0．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝．【解答】解：∵a，b＜0，且满足+＝，∴＝，整理得a2﹣b2＝ab，∴＝1，∴（）2﹣﹣1＝0，由a，b＜0，解得＝．故答案为：．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是7．【解答】解：将所考虑的四面体记作ABCD．若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件；只考虑以下两种情形．（i）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点．不妨设点A，B，C在平面的一侧，点D在另一侧，则A，B，C三点所确定的平面必平行与，由点D作平面ABC的垂线DD1，D1为垂足．则中位面必为经过DD1的中点且与DD1垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面ABC．这种类型的中位面共有4个．（ii）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点A，B在平面α的一侧，点C，D在另一侧，显然，易知，AB与CD为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）．由于四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组，于是这种类型的中位面共有3个．综上，一个四面体的中位面由7个互不相同的中位面．故答案为：7．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为．【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；①当a≤0时，f（x）＝x2﹣a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）＝f（1）＝1﹣a≥1．②当1＞a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，所以f（x）在[0，]内的最大值为M（a）＝f（0）＝a，而f（x）在[，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝1﹣a．若f（1）＞f（0）得，则1﹣a＞a，求得0＜a＜．故当a∈（0，）时，M（a）＝f（1）＝1﹣a＞；若f（1）≤f（0）得，则1﹣a≤a，求得1＞a≥．故当a∈[，1）时，M（a）＝f（0）＝a，③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）＝f（0）＝a≥1．综上，M（a）＝1﹣a，（当a＜时）；或M（a）＝a，（当a≥时）．所以M（a）在[0，]上为减函数，且在[，1]为增函数，易得M（a）的最小值为M（）＝．故答案为：．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有174对．【解答】解：立方体中有8个顶点，任意两个顶点所构成的直线有：＝28，其中不在同一个平面上的4个点的个数有C84﹣12＝58，4个点中异面直线的对数是：3，所以过正方体任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有：58×3＝174对．故答案为：174．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有无穷多条条．【解答】解：在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，如右图所示在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，则由面面平行的性质定理，得QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．故答案为：无穷多条．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为3．【解答】解：如图示：，则结合对称性可知，六边形的周长最小值是6×＝3，故答案为：3．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为．【解答】解：设AF＝FE＝EC＝x，则，，解得，故．故答案为：．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有310个．【解答】解：由给定的五个点两两连线共有＝10条，记五个点为A1，A2，A3，A4，A5，则以A1为例进行研究：A2，A3，A4，A5四个点共产生＝6条连线，由A1向6条连线可引出6条垂线，则推广到其他点共可得到6×5＝30条垂线．若每两条垂线均相交，则可得到个交点，易知每一条线段的垂线互相平行且每一条线段共有3条垂线，则应减去30个交点，又A1，A2，A3，A4，A55点共可得到个三角形，三角形的三边垂线交于一点，故要减去20个点，而由A1，A2，A3，A4，A55点中任一点引出的垂线必交于该点，故减去点，则最终有435﹣75﹣20﹣30＝310个点．故答案为310．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝0．【解答】解：依题意，由（a+b）59＝﹣1，可知a+b＝﹣1，∵（a﹣b）60＝1，∴a﹣b＝±1，∴，或，解得，或，当时，a n+b n＝（﹣1）n；当时，a n+b n＝（﹣1）n，∴（a n+b n）＝（﹣1）n＝（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）60＝＝0．故答案为：0．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA【解答】解：由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可知乙的职业为B，进而乙比甲的年龄小，又因为乙的年龄比C大，所以甲的职业不可能为C，从而甲的职业为A，所以丙的职业为C，所以甲乙丙的职业分别为ABC，故选：A．24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是2．【解答】解：令t＝sin x+cos x＝sin（x+），x∈（﹣，），则t∈（0，]，2sin x cos x＝t2﹣1，∴y＝＝2t+，t∈（0，]，∴y≥2＝2（当且仅当t＝时取等号）．故答案为：2．。

上海初升高重点高中自招数学考试题型专题

上海初升高重点高中自招数学考试题型专项训练上海重点高中自招数学命题较为广泛,几乎涵盖小学初中高中知识点内容,变化形式多样,比较考验学生的综合能力,命题方面各个中学也不尽相同,四校八大以及市重点区重点中学各有相应的难度档次,每年题型方面也可能发生变化,因此本专题也只是对各个中学重点常考和易考内容方面做重点讲解和练习〖自招考点1〗找规律(小学奥数)〖自招考点2〗综合创新题〖自招考点3〗计算题巧算和化简求值〖自招考点4〗根式开方及其运算〖自招考点5〗等式证明及其反证法〖自招考点6〗复杂方程和方程组的求解〖自招考点7〗方程的应用〖自招考点8〗绝对值,正反比例函数,一次函数的性质(数形结合题)〖自招考点9〗函数的实际运用〖自招考点10〗二次方程和韦达定理,根的判别式〖自招考点11〗二次函数综合注意:和高一内容有关,函数单调性,增减性问题〖自招考点12〗动点问题〖自招考点13〗圆的内容较多,尤其是初中考纲范围外的如:四点共圆,圆周角定理,切线长定理,弦切角定理,相交线定理等〖自招考点14〗不等式和最值问题高一不等式〖自招考点15〗平面几何面积问题(割补法,加减法,等面积法等)〖自招考点16〗平面几何计算和证明(初中九年级内容一般难度较大)〖自招考点17〗组合与概率问题(高中内容排列组合)〖常用思想〗分类讨论思想,数形结合思想,放缩思想,归纳类比,合情推理等思想专题1 一次函数 (3)专题二二次函数 (10)专题3 二次方程根的分布 (15)专题4 函数的最大、最小值 (20)专题5 利用函数图像判定方程根的个数 (24)专题6 多项式 (28)专题7 一元二次方程 (33)专题8 一元二次方程根与系数关系 (38)专题9 解一元整式方程 (43)专题10 求代数式的值 (46)专题11 解不等式 (50)专题12 高斯函数 (55)专题13 函数的基本概念 (61)专题14 锐角三角比 (65)专题14 锐角三角比 (70)专题15 图形的面积 (75)专题16 圆 (80)专题1 一次函数前言：把函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，其中自变量x 的取值范围是任意实数。

上海中学自招数学真题(含答案)

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________．【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．【答案】454．【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -．其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡，按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404mx -=-<，则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥．则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤，又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立．方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2．【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）．（2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

自招上海自主招生数学试题

B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39