广东省广州市第三中学初高中数学教材衔接导学案：第十一课二次函数的最值

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二次函数的最值”说课

“二次函数的最值”说课一、数学分析1. 所选的内容在初中数学中的作用和地位：二次函数的最值是二次函数性质的重要组成部分，是二次函数性质的综合概括和归宿，有着广泛的应用。

2. 所选的内容在计算能力方面的作用和地位：用配方法求二次函数的最值离不开代数式的加、减、乘、处、乘方等运算，对计算能力有着较高的要求，是初中函数部分教学的重点之一。

3. 所选的内容与数学其他内容的联系：二次函数的最值问题与一元二次方程的解法、代数式的恒等变形、一元二次不等式等知识之间有着紧密的联系，属于初高中衔接内容之一。

二、标准分析《数学课程标准（ 2011 版）》对二次函数的最值问题的要求是：“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向、画出函数的对称轴，并能解决简单实际问题。

”这里的“配方法”在初中阶段涉及程度很高，“解决简单实际问题”往往引申到最值问题，在中考函数综合题中经常出现。

三、重点分析二次函数的最值问题的重点是由一般式的二次函数解析式怎样得道二次函数的最值。

我将以不同方式引导学生解决这个问题，重点放在用运算的方法即“用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式”这种方法上。

教学中我将对关于一个字母（ x）的二次三项式的“配方”方法进行指导和变式训练，进而达到运算的熟练程度，初步形成运算技能。

难点是字母系数二次函数最值的确定。

（对于限定自变量取值范围的二次函数，怎样求函数的最值？可借助二次函数图象直观感受、数形结合加以突破。

）但其中的主线仍是“数学运算”！四、学情分析我现在教的九年级学生已经学过二次函数的图象和基本性质，并且在前面的学习中已理解并掌握了用配方法解一元二次方程的知识，这为探究“用配方法求二次函数的最值问题”打下了坚实的基础。

另外本班的学生，能够主动地思考，并乐于和同伴合作、交流，乐于展示自己的想法，有较强的自我发展意识。

因此，遵循学生的认知规律，针对学生的实际情况，结合课标提出的:“学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者和合作者”，在教学活动中，我采用启发式教学法，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。

高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案.doc

第2讲二次函数的最值二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数y 的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. 2.二次函数的图象和性质3.二次函数的最值（1）.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba -时，函数取最大值y ＝244acb a-．【高效演练】1.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是y ＝________. 【解析】设y ＝a (x －2)2－1(a ＞0)，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，所以y ＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.【答案】12x 2－2x ＋1.2.已知函数y=x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________.【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a<0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a>1时，f(x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 【答案】－1或2.3.已知函数y=x 2﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值（1）2≤x≤3；（2）-2≤x≤2．【分析】（1）根据二次函数y=x 2﹣2x+3的图象和性质，分析当2≤x≤3时，y 递增，进而可得y 的最大值、最小值；（2）根据二次函数y=x 2﹣2x+3的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得y 的最大值、最小值．【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。

《二次函数的最值问题》教案

二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究时含参二次函数在内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。

最全面二次函数的区间最值问题导学案超详细2021

二次函数的区间最值问题导学案【学习目标】(1) 知识与技能：掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。

培养敏锐的观察力、运算的准确性、思维的灵活性、发散性、独立性、合作性。

(2) 思想与方法：数形结合的思想, 分类讨论的思想。

(3) 情感、态度与价值观：培养运用辨证唯物主义观点分析解决数学问题的能力。

培养学生严谨的科学态度、欣赏数学的美学价值，以及探索问题的积极性、主动性和同学互相合作的团队精神。

【自主学习】2f (x)ax bx c(a0) 的顶点式1. 二次函数顶点：对称轴：2f ( x)ax bx c(ax00) 的图像及性质Ra2. 已知二次函数定义域判别式a图像对称性单调性最值【复习巩固】x 2 1. 函数 2x 2 的单调区间是（）y A.( ,1] B.[1, ) C.( ,2] D.[ 2, )2 x 2. 已知函数 ( x ) 2 x 2f （1）判断函数 f ( x) 的单调性；（ 2）求函数 f ( x) 的最值。

x 2 3. 函数 f ( x ) 2mx 3 在区间 [1,2] 上单调，求 m 的取值范围。

【典型题探索】一、抛物线开口方向定、对称轴定、区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

2 x 例 1 求函数 f (x ) 2 x3 的最值x 2, 0 （ 2） x 0,3 （ 3） x 2, 4（ 1） x 2 变式 . 已知函数 y 4 x ，求满足下列条件的函数的最值：① x 4,0 ② x 1, 4▲总结：求一元二次函数在闭区间上的最值的思路：1 、对称轴不在区间内时，函数在区间上具有2 、对称轴在区间内时，其中一个最值一定在性，可由此求得；取到，另一个最值要分成对称轴在区间中点的左侧时，时，最值在取到。

最值在取到，对称轴在区间中点右侧二、抛物线开口方向定、对称轴动、区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

高一数学《二次函数的最值》教案

高一数学《二次函数的最值》教案
高一数学《二次函数的最值》教案分课题二次函数的最值课型新授课
教学目标熟练地掌握二次函数的最值及其求法。

重点二次函数的的最值及其求法。

难点二次函数的最值及其求法。

一、复习引入
二次函数的最值：
二、例题分析：
例1：求二次函数的最大值以及取得最大值时的值。

变题1：⑴、⑵、⑶、
变题2：求函数（）的最大值。

变题3：求函数（）的最大值。

例2：已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围。

例3：若，是二次方程的两个实数根，求的最小值。

三、随堂练习：
1、若函数在上有最小值，最大值2，若，
则 =________， =________。

2、已知 , 是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（）
A、0
B、1
C、－1
D、2
3、求函数在区间上的最大值。

二次函数最值问教学设计与反思

二次函数的运用（1）教学设计何时获得最大利润教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。

教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？教学反思何时获得最大利润1、本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法．在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，在这节课中我引导学生从多个角度体会了函数的最值的求法。

二次函数的最值和像知识点总结

二次函数的最值和像知识点总结二次函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

其中，最值和像是二次函数的重要知识点之一。

通过对二次函数的最值和像的深入了解，我们可以更好地理解和使用二次函数。

本文将对二次函数的最值和像进行总结，帮助读者掌握相关知识。

1. 最值知识点总结二次函数的最值是指函数在定义域内的最大值和最小值。

要求最值时，需要先找到函数的导数，然后求导得到的一次函数的解，再将解带入原函数中求得最值点及最值。

首先，我们来看一下二次函数的标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

在这个函数中，a、b、c是常数，a≠0。

（1）最大值二次函数的最大值只可能出现在开口向下的抛物线上。

当a>0时，对应的二次函数开口向上，没有最大值；当a<0时，对应的二次函数开口向下，存在最大值。

要求最大值时，我们可以通过求导的方式来找到最值点。

对函数f(x)求导，得到的一次函数f'(x) = 2ax + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。

将x = -b/2a代入原函数f(x)中，得到函数的最大值点为(-b/2a, f(-b/2a))。

（2）最小值二次函数的最小值只可能出现在开口向上的抛物线上。

当a>0时，对应的二次函数开口向上，存在最小值；当a<0时，对应的二次函数开口向下，没有最小值。

求最小值的方法与求最大值类似。

我们同样对函数f(x)求导，得到一次函数f'(x) = 2ax + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。

将x = -b/2a代入原函数f(x)中，得到函数的最小值点为(-b/2a, f(-b/2a))。

总结：二次函数存在最值的条件是开口朝下时存在最大值，开口朝上时存在最小值。

求最值的方法是通过求导得到一次函数，然后求解一次函数的解，最后代入原函数得到最值点。

2. 像知识点总结二次函数的像是指定义域内的所有函数值。

【数学】广东省广州市第三中学初高中数学教材衔接导学案第十一课二次函数的最值

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【关键字】数学
第十一课二次函数的最值
一、知识点：
二次函数的最值
2、例题
例1求二次函数的最大值以及取得最大值时的值．
变式1：⑴⑵⑶
变题2：求函数（）的最大值．
变题3：求函数（）的最大值．
例2 已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．
例3 若，是二次方程的两个实数根，求的最小值．
三、练习：
1．函数的最小值是4，且当=2时，=5，则=______，=_______．
2．试求关于的函数在上的最大值．
3．已知函数当时，取最大值为2，求实数的值．
、
4．已知是方程的两实根，求的最大值和最小值．
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二次函数的最值问题教案

二次函数的最值问题教案
教学目标：
1. 理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。

2. 学会分析和解决实际问题，培养创新思维和数学应用能力。

3. 培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。

教学内容：
1. 二次函数最值的概念。

2. 求解二次函数最值的方法。

3. 应用实例。

教学重点：
1. 掌握二次函数最值的概念和求解方法。

2. 运用二次函数解决实际问题。

教学难点：
1. 分析实际问题中的数学模型。

2. 灵活运用二次函数解决实际问题。

教学方法：
1. 讲解法：通过讲解二次函数的最值概念和求解方法，帮助学生理解掌握。

2. 练习法：通过练习，让学生熟练掌握求解二次函数最值的方法。

3. 案例分析法：通过案例分析，培养学生分析和解决实际问题的能力。

教具准备：
1. 黑板和粉笔。

2. 多媒体课件：用于展示二次函数的图像和求解过程。

3. 教学范例：用于学生分析和解决问题。

教学过程：
1. 导入新课：通过复习已学知识，引出二次函数的最值概念。

2. 新课学习：讲解二次函数最值的概念和求解方法，结合实例进行讲解。

3. 练习巩固：让学生练习求解二次函数最值的题目，检验学生的掌握情况。

4. 案例分析：通过分析实际问题的数学模型，让学生了解如何运用二次函数解决实际问题。

5. 小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。

高一暑假班课程讲义-初高中衔接-二次函数的最值-学生版

①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；
②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；
【知识精要】
1．二次函数的最值．
二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．
2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。
[2]若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：
①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；
②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；
【精解名题】
例1求下列函数的最大值或最小值．
（1）；（2）．
例2当时，求函数的最大值和最小值．
例3当时，求函数的取值范围．
6．对于函数y= –x(2–x)，当x0时，求y的取值范围．
7．（1）求函数y=2x26x+1在1x1上的最小值和最大值．
（2）函数在2x3上有最大值5及最小值2，求a，b的值．
9．已知y=x2+2ax+1a在0x1上最大值是2，求实数a的值．
10．已知函数在上的最大值为4，求的值．
11．求关于的二次函数在上的最大值( 为常数)．
例4当时，求函数的最小值(其中为常数)．
思考：如果是求函数的最大值呢？
例5当时，求函数的最大值（其中为常数）
例6某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售价 (元)满足一次函数．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

初高中衔接06二次函数的最值

课题：《初高中衔接06二次函数的最值》教材分析高中数学中函数是高中数学的重要组成部分，也是历年高考的考查重点，考查既全面又深入，选择题和填空题等小题考查的内容覆盖了函数的大部分知识。

而二次函数又是函数中的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。

同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．一教学目标：①复习二次函数的性质，讨论二次函数的最值问题；②培养学生全面的分析能力，渗透数形结合的思想．二教学重点：二次函数的最值问题；三教学难点：二次函数在约束条件下或含有参数的最值问题．四教学过程：1、复习引入（由学生讨论完成）例题. 已知函数24y x x =-+，求满足下列条件的函数的最值： ①[]40,x ∈- ②[]35,x ∈ ③[]13,x ∈- ④[]14,x ∈问题：（1）哪些对称轴在给定的区间内？哪些不在？（2）若对称轴在区间内的，最大值在取到；若对称轴在区间中点的左侧，则最小值在取到；若对称轴在区间中点的右侧，则最小值在取到.（3）对称轴不在区间内的，函数在给定区间上是否具有单调性？说明：若区间为[]b a ,则区间中点为2b a +. 总结：求一元二次函数在闭区间上的最值的思路：1、对称轴不在区间内时，函数在区间上具有______性，可由此求得；2、对称轴在区间内时，其中一个最值一定在取到，另一个最值要分成对称轴在区间中点的左侧时，最值在取到，对称轴在区间中点右侧时，最值在取到.2、例题分析例1 已知函数22y x ax =-+，[]24,x ∈，求： ① 函数的最小值()g a ；② 函数的最大值()h a .说明：抛物线“开口方向定、对称轴动、区间定”类型.例2 已知2()23f x x x =-+，求当x 满足下列条件时()f x 的最小值与最大值．① [0]x t ∈，； ② [1]()x t t t ∈+∈R ，.说明：抛物线“开口方向定、对称轴定、区间动”类型.例3 已知函数22y x ax =-，[]4,x a a ∈--+，求： ① 函数的最小值()g a ；② 函数的最大值()h a .说明：抛物线“开口方向定、对称轴动、区间动”类型.例4 已知函数220()y ax ax a =-≠， ① 函数在区间上[]03,有最大值3，求a 的值；② 函数在区间上[]03,有最小值3-，求a 的值.说明：抛物线“开口方向动、对称轴定、区间定”类型.《初高中衔接06二次函数的最值》作业班级学号姓名1. 函数4)1(2+--=x y ----------------------------------------------（）(A)有最大值4 (B)有最小值4 (C)有最大值3 (D)有最大值22. 函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是------------------（）(A) 1 ,3 (B) 43 ,3 (C) 21- ,3 (D) 41-, 3 3. 函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是-----------------------（）(A) 7- (B) 4- (C) 2- (D) 24. 若α,β是关于x 的方程0122=--kx x 的两实根，则22βα+的最小值是（）(A) 0 (B) 1 (C) －1 (D) 25. 若322+-=x x y 在],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是---（）(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞6. 二次函数2()22f x x x =++的最小值为 .7. 二次函数12--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为 .8. 函数()(0)f x x x =≥的最大值为 .9. 已知函数()f x =M ，最小值为m ，则M+m= . 10.已知函数2()22f x x x =++.（1）若x R ∈，求()f x 的最小值；（2）若[1,3]x ∈，求()f x 的最小值；（3）若[,2],x a a a R ∈+∈，求()f x 的最小值.。

人教版高中数学教案-二次函数的最值

二次函數中的最值問題【學習目標】1.鞏固二次函數的常規的性質。

2.掌握求二次函數的最值常見方法。

3.體會高中數學中數形結合的思想。

4.以極度的熱情投入學習，體會成功的快樂。

【學習重點】二次函數中含參數問題【學習難點】二次函數中含參數問題[自主學習]1．二次函數解析式的三種形式一般式：頂點式：零點式：2.二次函數圖像y=ax2+bx+c (a≠0)開口方向a>0時函數在x= 時區的最值a<0時函數在x= 時區的最值[典型例析]例1已知函數f(x)=2x2-2ax+3在區間[-1，1]上有最小值，記為g(a).(1)求g(a)的運算式；（2）求g(a)的最大值。

變式訓練1：已知函數f(x)=2x2-2ax+3在區間[-1，1]上有最小值2，求a的值。

變式訓練2：函數f(x)=x2-4x-4在閉區間[t,t+1] （x R）的最小值記為g(t), （1）寫出g(t)的函數運算式，（2）作出g(t)的圖像；（3）求出g(t)的最小值。

例3設=)x (f ,2ax 2x 2+- 當x ∈),1[∞-時, a )x (f ≥恒成立, 求實數a 的取值範圍。

變式訓練1：當(1,2)x ∈時，不等式240x mx ++<恒成立，則m 的取值範圍是 .小結：[當堂檢測]1.設函數=)x (f ) 0a ( c bx ax 2≠++, 對任意實數t 都有) t 2 (f ) t 2 (f -=+成立. 問:在函數值)1(f -、)1(f 、)2(f 、)5(f 中, 最小的一個不可能是2.已知函數y ＝) 3x 1 ( ax 4x 2≤≤-是單調遞增函數, 則實數a 的取值範圍是3. 已知函數f(x)=（x-a)2+2，a ∈ R ，當x ∈[1，3] 時，求函數f(x)的最小值。

4.已知函數f(x)=x2-2x-3，若x∈[t，t+2]時，求函數f(x)的最值。

[學後反思]____________________________________________________ _______ __________________________________________________________________________________________________________________________。

中考数学一轮复习第11课二次函数导学案

二次函数【考点梳理】：1、理解二次函数的概念；2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4、会用待定系数法求二次函数的解析式；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容：（1）二次函数及其图象，如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向；抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h.【思想方法】数形结合，分类讨论【考点一】：二次函数的图象和性质【例题赏析】（1）（2015，广西柳州，11，3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x 的取值范围是（）A ． x ＜﹣2B ． ﹣2＜x ＜4C ． x ＞0D ． x ＞4 考点：抛物线与x 轴的交点．分析：利用当函数值y ＞0时，即对应图象在x 轴上方部分，得出x 的取值范围即可．解答：解：如图所示：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是：﹣2＜x ＜4．故选：B ．点评：此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．（2）（2015•齐齐哈尔,第9题3分）抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①﹣b 2＜0；②2a ﹣b=0；③a+b+c ＜0；④点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）在抛物线上，若x 1＜x 2则y 1≤y 2，其中正确结论的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．解答：解：函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正确；函数的对称轴是x=﹣1，即﹣=﹣1，则b=2a，2a﹣b=0，故②正确；当x=1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；则y1和y2的大小无法判断，则④错误．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出a，b，c值的代入能得到特殊的式子．【考点二】：二次函数表达式的确定【例题赏析】（1）（2015福建龙岩15，3分）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转解析式是y=﹣2x2﹣4x﹣3 ．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．（2）（2015•黔西南州）（第9题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cmP从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．专题：压轴题；动点型．分析：解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．解答：解：∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；∴S△CPO=CP•CO=x•2x=x2．∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），故选：C．点评：解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式．【考点三】：二次函数和其它函数的应用【例题赏析】（1）（2015•辽宁省朝阳,第15题3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6 m．考点：二次函数的应用．分析：首先由题意得：t=4时，h=0，然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得a的值，再利用函数解析式计算出h的最大值即可．解答：解：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案为：19.6．点评：此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，经过的点必能满足解析式（2）（2015•福建第22题 10分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB的对称轴交于点P，求点P的坐标．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．.分析：（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，直线y=﹣x+3即可得到结果．解答：解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0，∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，点评：本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．【考点四】：二次函数和三角形的应用【例题赏析】（2015•福建第24题 12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB似时，请你直接写出点M的坐标．考点：二次函数综合题．.分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，∴∠OAB=90°，（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．①当△MND∽△OAB 时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO 时，=，即=，化简，得b=12﹣4a ③，联立②③，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，M2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．点评：本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．【考点五】：二次函数和四边形的应用【例题赏析】（2015•甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣23x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5b；（2满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB 代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣23x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣23x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=32b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=94b2﹣24∴94b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣23x2﹣x﹣4=﹣23（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣72，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0）点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣23x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣23×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3但这一点不在抛物线上点评：【考点六】：二次函数和圆的应用【例题赏析】（2015，广西柳州，26，12分）如图，已知抛物线y=﹣12（x2﹣7x+6坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M 标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N 切线．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；（3）设点P坐标为（x，﹣12x2+72x﹣3）．根据NP=12AB=列出方程（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2，解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是⊙N的切线．解答：（1）解：∵y=﹣12（x2﹣7x+6）=﹣12（x2﹣7x）﹣3=﹣（x﹣72）2+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣12（x﹣72）2+，顶点M的坐标是（72，）；（2）解：∵y=﹣12（x2﹣7x+6），∴当y=0时，﹣12（x2﹣7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==3．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的解析式为：y=12x﹣3，令x=72，得y=12×72﹣3=﹣54，∴R点坐标为（72，﹣54）；（3）证明：设点P坐标为（x，﹣12x2+72x﹣3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（72，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=52，∴NP=52，即（x ﹣72）2+（﹣x 2+72 x ﹣3）2=（52）2，化简整理得，x 4﹣14x 3+65x 2﹣112x+60=0，（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣5）（x ﹣6）=0，解得x 1=1（与A 重合，舍去），x 2=2，x 3=5（在对称轴的右侧，舍去），x 4=6（与B 重合，舍去），∴点P 坐标为（2，2）． ∵M （72，），N （72，0）， ∴PM 2=（2﹣72）2+（2﹣）2=，PN 2=（2﹣72）2+22==，MN 2=（）2=，∴PM 2+PN 2=MN 2， ∴∠MPN=90°， ∵点P 在⊙N 上，∴直线MP 是⊙N 的切线．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、函数的解析式、（3）问求出点P 的坐标是解题的关键．【考点七】：二次函数和图形变换的应用【例题赏析】（2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2的对称轴为x=34，且经过点A （2，1），点P 是抛物线上的动点，P 的横坐标为m （0＜m ＜2过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，PB 交OA 于点C ，点O 关于直线PB 的对称点为D ，连接CD AD ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m 的式子表示点C ，D 的坐标：C （ m ， m ），D （ 2m ， 0 ）； ②当m= 1 时，△ACD 的周长最小；（3）若△ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a ，b 的方程组，线的解析式；（2）①设OA 所在的直线解析式为y=kx ，将点A （2，1）代入求得OA 所在的解析式为y=x 因为PC ⊥x 轴，所以C 得横坐标与P 的横坐标相同，为m ，令x=m ，则y=12m C （m ，12m ），又点O 、D 关于直线PB 的对称，所以由中点坐标公式可得点D 的横坐标为2m 则点D 的坐标为（2m ，0）；②因为O 与D 关于直线PB 的对称，所以PB 垂直平分OD ，则CO=CD ，因为，△ACD =AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO ，AO===，所以当AD 最小时，△ACD 长最小；根据垂线段最短，可知此时点D 与E 重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC ，再将OC 、AC 、AD 用m 表示，然后分情况讨论分别得到关于m 方程，解得m ，再根据已知条件选取复合体艺的点P 坐标即可．解答：解：（1）依题意，得，解得∴y=x 2﹣32x （2）C （m ，12m ），D （2m ，0），m=1（3）依题意，得B （m ，0）在RT △OBC 中，OC 2=OB 2+BC 2=m 2+=m 2，∴OC=m 又∵O ，D 关于直线PC 对称， ∴CD=OC=m在RT △AOE 中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD ，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P （，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P （，）综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，P3（，）．点评：此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．【真题专练】1.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第11题3分）二次函数y=（x+2）2﹣1（）A．B． C．2.（2015•天津,第12题3分）（2015•天津）已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B 与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．92C．D．3.（2015•贵州省贵阳,第10题3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y 围是（）A．y≥3 B．y≤3C． y＞3 D． y＜34．（2015•贵州省黔东南州,第10题4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.（2015•甘南州第17题 7分）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．6.（2015•宁德第24题 4分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．7. （2015•辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x （元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y 与x 之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？8. （2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线y=﹣x 2经过点A 、C 、A ′三点．（1）求A 、A ′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC 和平行四边形A ′B ′OC ′重叠部分△C ′OD 的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA 积是多少？并写出此时M 的坐标．9.（2015•北海,第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x 轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT 腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2015•梧州,第26题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G 其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N 的横坐标．【真题演练参考答案】1.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第11题3分）二次函数y=（x+2）2﹣1的图象大致为（）A．B． C．考点：二次函数的图象．分析：根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可．解答：解：a=1＞0，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选：D．点评：本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2.（2015•天津,第12题3分）（2015•天津）已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．考点：抛物线与x轴的交点．分析：令y=0，则﹣x2+x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．解答：解：令y=0，则﹣x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD==．故选：D．点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．3.（2015•贵州省贵阳,第10题3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3C． y＞3 D． y＜3考点：二次函数的性质．分析：先求出x=2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．解答：解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3，故选B．点评：本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的应用．4．（2015•贵州省黔东南州,第10题4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣32，可得﹣，b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据此解答即可．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣32，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．5.（2015•甘南州第17题 7分）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．.分析：（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．解答：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0，∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∴16a﹣8a﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，则（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b的值是解题关键．6.（2015•宁德第24题 4分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标．解答：解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y=x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BO=OC=3，∴∠ABC=45°；（3）过点P作PD⊥x轴于点D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，∴△ABP∽△CBA，∴=，∵BO=OC=3，∴BC=3，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∴=，解得：BP=，由题意可得：PD∥OC，则△BDP∽△BOC，故==，则==，解得：DP=BD=，∴DO=，则P（，﹣）．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键．7.（2015•辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得60×5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×0.8=360元；（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；（3）利用最大利润=y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．解答：解：（1）由题意知：当蔬菜批发量为60千克时：60×5=300（元），当蔬菜批发量为90千克时：90×5×0.8=360（元）．故答案为：300，360；（2）设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得，解得．故该一次函数解析式为：y=﹣30x+240；（3）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（2）知，w=（﹣30x+240）（x﹣5×0.8）=﹣30（x﹣6）2+120，当x=6时，当日可获得利润最大，最大利润为120元．点评：此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键．8.（2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；计算自变量为0时的函数值可得到A（0，3）；（2）先由平行四边形的性质得AB∥OC，AB=OC，易得B（1，3），根据勾股定理和三角形面积公式得到OB=，S△AOB=32，再根据旋转的性质得∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，接着证明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性质得=（）2，则可计算出S△C′OD；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，求出直线AA′的解析式为y=﹣x+3，则N（m，﹣m+3），于是可计算出MN=﹣m2+3m，再利用S△AMA′=S△ANM+S△MNA′和三角形面积公式得到S△AMA′=﹣32m2+92m，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时刻确定此时M点的坐标．解答：解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，则C（﹣1，0），A′（3，0）；当x=0时，y=3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB=OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）∴OB==，S△AOB=12×3×1=32，又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，又∵∠ACO=∠ABO，∴∠ABO=∠OC′D．又∵∠C′OD=∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴=（）2=（）2=，∴S △C ′OD =×32=；（3）设M 点的坐标为（m ，﹣m 2+2m+3），0＜m ＜3，作MN ∥y 轴交直线AA ′于N ，易得直线AA ′的解析式为y=﹣x+3，则N （m ，﹣m+3），∵MN=﹣m 2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2+3m ， ∴S △AMA ′=S △ANM +S △MNA ′=12MN•3 =32（﹣m 2+3m ） =﹣32m 2+92m=﹣32（m ﹣32）2+，∴当m=时，S △AMA '的值最大，最大值为，此时M 点坐标为（）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点和二次函数的最值问题；会运用旋转的性质和平行四边形的性质；会利用相似三角形的性质计算三角形的面积．9. （2015•北海,第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x 2+4x+5的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C ′恰好落在y 轴上．（1）直接写出D 点和E 点的坐标；（2）点F 为直线C ′E 与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C ′E 交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x 2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）首先根据抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，求出点D的坐标是多少即可；然后设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E 点的坐标是多少即可．（2）令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐标，然后再根据S△HGF：S△BGF=5：6，得到：，然后再证明△HGM∽△ABN，，从而可证得，所以HG=5，设点H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；（3）分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9∴D点的坐标是（2，9）；∵E为对称轴上的一点，∴点E的横坐标是：﹣=2，设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，∴△CEC′是等腰直角三角形，∴解得或（舍去），∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．（2）如图1所示：令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0，解得：x1=﹣1，x2=5，所以点A（﹣1，0），B（5，0）．设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得，解得：，∴直线C′E的解析式为y=x+1，将y=x+1与y=﹣x2+4x+5，联立得：，解得：，，∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上．∵直线C′E的解析式为y=x+1，∴∠FAB=45°．过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．又∵∠NAD=∠HNM=45°．∴△HGM∽△ABN∴，∵S△HGF：S△BGF=5：6，∴．∴，即，∴HG=5．设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），∴﹣m2+4m+5﹣（m+1）=5．解得：m1=，m2=．（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4（x﹣1）+5=﹣x2+6x．将x=5代入y=﹣x2+6x得：y=5，∴点T的坐标为（5，5）．设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，∴直线OT的解析式为y=x，①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得：x2﹣6x+5=0，解得：x1=1，x2=5．∴点P的坐标为（1，5）．将x=1代入y=x得：y=1，∴点Q的坐标为（1，1）．②如图3所示：由①可知：点P的坐标为（1，5）．∵△PTQ为等腰直角三角形，∴点Q的横坐标为3，将x=3代入y=x得；y=3，∴点Q得坐标为（3，3）．③如图4所示：设直线PT解析式为y=kx+b，∵直线PT⊥QT，∴k=﹣1．将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，∴直线PT的解析式为y=﹣x+10．将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得：x1=2，x2=5 ∴点P的横坐标为2．将x=2代入y=x得，y=2，。

二次函数的最值问题--初升高数学衔接课程 (教师版含解析)

第7章二次函数的最值问题【知识衔接】————初中知识回顾————二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少．二次函数的最值一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。

————高中知识链接————给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

具体归纳如下：1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y044,02min<-=>••a a b ac y a 时，ab ac y 442max -=2、一元二次函数)0()(2>++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值。

1°当m ab<-2 ，)()(),()(min max m f x f n f x f ==2°当22n m a b m +≤-≤，a b ac x f n f x f 44)(),()(2min max -==3°当n ab n m ≤-<+22时， a bac x f m f x f 44)(),()(2min max -==4°n ab>-2时， )()(),()(min max n f x f m f x f ==3、一元二次函数)0()(2<++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值类比2可求得。

【经典题型】初中经典题型1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为．【答案】152．2．已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数21y x mx 2=+对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是．【答案】5m >2-．3．已知二次函数2y x bx c =++(b ，c 为常数)． (Ⅰ)当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； (Ⅲ)当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】(Ⅰ)二次函数取得最小值-4． (Ⅱ)542++=x x y 或542+-=x x y ．(Ⅲ)772++=x x y 或1642+-=x x y ．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=，它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即2b-＜b ；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤2b-≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即2b -＞b+3，根据列出的不等式求得b 的取值范围，再根据x 的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y 的最小值为21可列方程求b 的值(不合题意的舍去)，求得b 的值代入也就求得了函数的表达式．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=．它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线． ①若2b-＜b 时，即b ＞0，在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大，故当x=b 时，2223b b b b b y =+⋅+=为最小值．∴2132=b ，解得 71=b ，72-=b (舍去)．②若b≤2b-≤b+3，即-2≤b≤0，当x=2b -时，22243)2()2(b b b b b y =+-⋅+-=为最小值．∴21432=b ，解得 721=b (舍去)，722-=b (舍去)．高中经典题型1．二次函数213222y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是( )A ．3．125B ．4C ．2D ．0【答案】C ．2．已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81 【解析】根据题意， ()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知， 126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦， ()()21123,398,9x x <<∴--+∈， ()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81． 3．已知函数，其中为常数．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x 轴上方，即，解得实数的取值范围．详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是． (2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是．4．如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．(4，3)B ．(5，3512)C ．(4，3512) D ．(5，3) 【答案】C ．【分析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++)，根据S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++) 令x =0，则y =53，点C 坐标(0，53)，令y =0则212501233x x -++=，解得x =﹣2或10，∴点A 坐标(10，0)，点B 坐标(﹣2，0)，∴S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC =21511251510()10232123323m m m ⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=25125(5)1212m --+，∴x =5时，△P AC 面积最大值为12512，此时点P 坐标(5，3512)．故选C ．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或3 【答案】B ．【分析】由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值1、x ＞h 时，y 随x 的增大而增大、当x ＜h 时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．2．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为( )A．15 B．-15 C．16 D．-16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函数的解析式为：，∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．4．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD 间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：m=−；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=<2(舍)；③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，解得：m=或m=−<−1(舍)，∴m的值为−或，故答案为：−或．点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键．6．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．详解：∵∴，∴∵∴∴当，即b=0时，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3【解析】分析：(1)根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n 的值；(2)表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；(3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值．详解：(1)当y=x+3=0时，x=﹣3，∴点A的坐标为(﹣3，0)．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴当m=4时，n=3m﹣9=3．(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣，当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．(3)①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，有，解得：或(舍去)，∴m=2、n=﹣3；③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，有，解得：(舍去)．综上所述：m=2，n=﹣3．点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想．8．如图, 已知抛物线经过A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；(3)若点D(2，m)在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．学科-网【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或．【解析】分析：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；(3)先将点D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．详解：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；(2)∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴抛物线有最大值，最大值为；(3)∵点D(2，m)在抛物线y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D(2，4)，∵B(4，0)，∴BD=．假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD，那么42+y2=22+(y-4)2，解得y=，所以P1(0，)；②如果BP=BD ，那么42+y 2=20，解得y=±2(负值舍去)，所以P 2(0，2)；③如果DP=DB ，那么22+(y-4)2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，(0，8)与D ，B 三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P 点的坐标为P 1(0，)，P 2(0，2)．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是( )A 、－7B 、－4C 、－2D 、2 2、已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A 、),1[+∞B 、[0,2]C 、[1,2]D 、]2,(-∞ 3、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么( )A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<4、若0,0≥≥y x ，且12=+y x ，那么232y x z +=的最小值为( )A 、2B 、43C 、32D 、05、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实数根，则2221x x +的最小值是。