24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案
24.1.2 垂直于弦的直径练习 教师版
课后巩固
1．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（ ）
A．3B．6C．4D．8
【分析】先根据垂径定理求出AM=AB，再根据勾股定理求出AD的值．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，
由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．
故选B．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，解题的关键是正确的构造直角三角形．
2．CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，若CM=12，DM=8，则AB等于（ ）
A．4B．8C．8D．4
【分析】根据题意画出图形，先由CM=12，DM=8求出⊙O的半径及OM的长，再由垂径定理得出AB=2AM，在Rt△AOM内利用勾股定理求出AM的长，进而可得出AB的长．
【解答】解：如图所示：
∵CM=12，DM=8，
∴OA=OD=（CM+DM）=×20=10，
∴OM=OD﹣DM=10﹣8=2，
∵弦AB⊥CD于M，
∴AB=2AM，
在Rt△AOM中，
∵AM2=OA2﹣OM2，即AM2=102﹣22，解得AM=4，
∴AB=2AM=8．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为中点，则说法错误的是（ ）
A．AD⊥BC B．=C．AE=DE D．OE=BE
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为中点
垂直于弦的直径-九年级数学人教版(上)(原卷版+解析版)
第二十四章圆
24.1.2垂直于弦的直径
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为
A．B．2
C．2D．
2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则
A．B．
C．D．
3．如图，在半径为5的圆O中，AB，C D是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为
A．3 B．4
C．D．
4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACB O是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为
A．B．
C．r D．2r
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．
7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．
8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问：径几何？”大意是：如图，CD是⊙O的直径，弦A B⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则CD＝________.
9．如图是一个高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=8米,净高CD=8米,则此圆的半径OA为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD．
人教九年级数学上册-垂直于弦的直径(附习题)
A⌒D=B⌒D.
D
知识要点
垂径定理
C
垂直于弦的直径平分弦，并
O
且平分弦所对的两条弧．
E A
B
D
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2
A
E
B
A C
EBiblioteka Baidu
图4 B O
D
垂径定理
C
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
AE＝BE
A⌒C＝B⌒C
A⌒D＝B⌒D
24.1.2 垂直于弦的直径
新课导入 圆是轴对称图形吗？
(1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形. (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论. (3)能利用垂径定理解决相应问题.
知识点1
推进新课 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
D
CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B 圆是轴对称图形，任何一条直径所在
直线都是圆的对称轴.
知识点2 垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如
C
24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案
A.3v2 241.2垂直于弦的直径
一、课前预习（5分神训练）
1 .如图24-1-2-1, AB是。。的弦，CD是。。的直径，CD1AB,垂足为E,则可推出的相等关系是
2. 圆中一条弦把和它垂直的直径分「成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为・
3. 判断正误.（】）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦.
4. 圆O的半径OA=6QA的垂直平分线交圆。于B、C,那么弦BC的长等于•
二、课中强化（1。分仲训练）
1 .圆是轴对称图形，它的对称轴是 _____________ .
2. 如图24-1-2-2,在。。中，直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有，相等的
劣弧有______________
3. 在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm,弦心距O05 cm,则。。的半径区cm.
4. 如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.
图24-1-2-4
三、课后巩固（30分钟训练）
1 .如图24-1-2-5,00的半径OA=3,以点A为圆心QA的长为半径画弧交。。于B、C,则BC等于（）
C
图 24-1-2-5 2. 如图24-1-2-6, AB 是。。的弦，半径OC1AB 于点D,旦AB=8 cm, OC=5 cm,则OD 的长是（）
A.3 cm
B.2.5 cm
C.2 cm
D.l cm
3.00半径为10,弦AB=12, CD=16,旦AB II CD.求AB 与CD 之间的距离.
4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两 边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60。，则秋千踏板与地面的最大距离约为 多少?
垂直于弦的直径 通榆县第二中学 朱艳云
P
B
学以致用：试一试
解决下列问题 ： 1.某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥 下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离 水面的高度2.4米. 现在有一艘宽3米，船舱 顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这 里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？ 说明理由.
C
A
B
谢谢！
C E O B
A
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？ E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
例1、已知圆O的半径为5，弦长为 8，求 AB弦心距的长。 解：过O点作AB 的垂线段OC 交 AB于 C 点, A 连结OA ∵OC AB 1 ∴AC=CB= 2 AB=4( 垂径定理) ∵ AO=5, 有勾股定理得 CO=3
活动4 例题讲解
C
B
.O
如果已知弦的弦心距和圆的半径求弦长, 可用同样的方法来求
小结：求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心到弦的垂线段 这一辅助线，这样就可出现与半径相关的直角三角形，利用 垂径定理来求
例2：已知半径为5的圆中平行弦EF、GH，并且 EF=GH=6,求EF、GH间的距离
证明：过O点作OM EF,并延长MO至 GH于N点,连结EO、GO,有垂径定理得
24.1.2垂径定理
C
符号语言：∵CD是直径
CDAA'
AM=A'M,AC=A'C,AD=A'D.
O
M
A
A'
D
世上无难事，只怕有心人。
二、探究新知
在下列图形中，哪些图形可用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧？
╳
╳
世上无难事，只怕有心人。
╳
二、探究新知
wenku.baidu.com讨论：
如图，当直径CD平分弦AA'时,CD与AA'垂直吗？
AC=A'C,AD=A'D吗？
M
A
A'
直于弦,并且平分弦所对的两条弧. D
世上无难事，只怕有心人。
六、课后作业
如图，☉O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝， 直径CE⊥AB于D，求弦AB的长.
E
O
D
A
B
C
世上无难事，只怕有心人。
OA=OA' △ OAA'是等腰三角形 又∵CDAA'
AM=A'M 又∵圆是轴对称图形 当把圆沿着直径CD折叠时， 直径CD两侧的两个半圆重合。
C
O
M
A
A'
AC=A'C，AD=A'D
D
即得证。
世上无难事，只怕有心人。
24.1.2-垂直于弦的直径(第二课时)
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E B
A D
在a,d,r,h中，已知其中任 意两个量,可以求出其它 两个量.
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 以点A为圆心，4cm为半径的圆 _____________________________。
2.（07· 广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径 OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请找 出线段OE与OF的数 量关系，并给予证明。
练 习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm， 求⊙O的半径．
解： OE AB
A E B
在Rt AOE中
1 1 AE AB 8 4 2 2
O
·
AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦; C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练 5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径
1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为了到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃选择的应该是( A )
第1题图
(A)第①块(B)第②块(C)第③块(D)第④块
2.同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知AB=4,CD=2,点O到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为( C )
(A)3∶2 (B)∶2
(C)∶(D)5∶4
3.☉O中,直径AB⊥弦CD于点P,AB=10 cm,CD=8 cm,则OP的长为 3 cm.
4.(遵义中考)如图,AB是☉O的直径,AB=4,点M是OA的中点,过点M
的直线与☉O交于C,D两点.若∠CMA=45°,则弦CD的长为.
第4题图
5.已知:☉O半径为6 cm,弦AB与直径CD垂直,且将CD分成1∶3两部分,求弦AB的长.
解:∵☉O半径为6 cm即OA=OC=OD=6 cm,
∴CD=12 cm.
∵弦AB将CD分成1∶3两部分,
∴CE=3 cm,
∴OE=OC-CE=3 cm.
在Rt△OAE中,AE==3 cm,
∵弦AB与直径CD垂直,即OC⊥AB,
∴AE=BE,
∴AB=2AE=6 cm,
即弦AB的长为6 cm.
6.已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图所示).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
证明:(1)过点O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE.
∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.
(2)连接OA,OC.
滨州市七中九年级数学上册 第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径同步练习新人
一．选择题（共15小题）
1．下列说法中正确的是（）
A．平分弦的直径一定垂直于弦
B．长度相等的弧是等弧
C．平行弦所夹的两条弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
2．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于（）
A．6 B．6C．3D．9
3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）
A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD 4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
5．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（）
A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm 7．下列说法中正确的个数有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（）
A．B．5 C．D．6
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）
A．4 B．5 C．6D．6
10．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺
2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷及答案解析
2020-2021学年人教版数学九年级上学期
《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷
一．填空题（共1小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长
为
二．解答题（共48小题）
2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
3．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？
4．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm．
（1）求油槽的半径OA；
（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度．
5．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．
6．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
7．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．
8．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB＝CD＝8．
（1）求证：AC＝BD；
人教版 九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径解答题
垂直于弦的直径
1．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长．
2．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
圆周角
3．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=112°，求∠CDE．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD=3，求⊙O的半径．
切线
5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．
（1）求证：BC平分∠ABD．
（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）BD=DC吗？说明理由；
（2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
7．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；
（2）求证：直线AB是⊙O的切线．
8．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
9．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
2021年人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》课时练习(含答案)
人教版数学九年级上册
24.1.2《垂直于弦的直径》课时练习
一、选择题
1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）
A.2
B.4
C.6
D.8
2.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,
那么OD的长是（）
A.2
B.
C.1
D.
3.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠OAC=22.5°,OC=4,则CD的长为( )
A.2
B.4
C.4
D.8
4.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的
最大深度为（）
A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
5.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
6.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁
中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )
A.12.5寸
B.13寸
C.25寸
D.26寸
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB=40m ，点C 是
的中点，且CD=10m ，则这段弯路所在圆的半径为( )
A ．25m
B ．24m
C ．30m
D ．60m
8.如图，CD 为⊙O 直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M.若AB=12，OM ∶MD=5∶8，则⊙O 周长为( )
24.1.2垂径定理1
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它 的对称轴．
数学活动 活动二：
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E． C （1）圆是轴对称图形吗？如 果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相 O · E
等的线段和弧？为什么？
A
B
D
数学活动
用数学语言如何表达？
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧． A ①经过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧
A
B
C
B
4、基本图形：
平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦 _____________， 并且平分弦所对的另一条弧 __________________________．
思维拓展 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
B
回顾反思
双基训练 半径 圆心 1.确定一个圆的条件是————和————
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个 3.下列说法中正确的个数是（ B ） ①.直径是弦 ②.半圆是弧 ③.平分弦的直径垂直于弦 ④.圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
24.1.2 垂直于弦的直径作业2
人教版九年级（上）数学
第24 章圆作业
24.1.2 垂直于弦的直径2
时间：总作业数：
A组：
1．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，
其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的
半径长是（）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
2．如图，下水道的横截面是圆形，水面CD的宽度
为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交
⊙O于点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（）
A．m B．m C．m D．m
3.如图,图中是一个下水道的横截面.为了测量下
水道的水深，先测得了水管的直径为10m,然后又测
得了水面的宽度为8m，你能根据所提供的数据求
得最深的水深吗？
B组：
1．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，
拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）
A．B．2m C．D．3m
2.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，
拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下
经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面
持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?
C组：
1.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60
米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取
紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4
米时，是否要采取紧急措施？
垂径定理及其推论练习题
第四页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
1.直径是圆的对称轴.( ) 2.圆有无数条对称轴.( )
3.平分弦的直径垂直于弦.( ) 4.弦的垂直平分线必过圆心.( )
5.垂直于弦的直径平分弦（ ）
第五页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
知二推三
C
1.如图所示:
A M└
B
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
2.如图，⊙O的直径为10，
弦AB=8,P为AB上的一个动
点，那么OP长的取值范围
是
。
第十页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
3.某圆直径是10,内有两条平行 弦，长度分别为6和8。求这两条平 行弦间的距离。
第十一页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
1、两条辅助线：
·O
半径、圆心到弦的垂线段
2、一个Rt△：
C
·O
AE
D
∵ CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
第三页，编辑于星期六：十八点 四十五分。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
2019年人教版九年级上《24.1.2垂直于弦的直径》同步练习(含答案解析)
2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习
24.1.2 垂直于弦的直径
一．选择题（共15小题）
1．下列说法中正确的是（）
A．平分弦的直径一定垂直于弦
B．长度相等的弧是等弧
C．平行弦所夹的两条弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
2．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于（）
A．6B．6C．3D．9
3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）
A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD
4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）
A．2B．3C．4D．3.5
5．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（）
A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm
7．下列说法中正确的个数有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；
④直径是弦；
⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（）
A．B．5C．D．6
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）
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24.1.2 垂直于弦的直径
一、课前预习(5分钟训练)
1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.
图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3
2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.
3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.
4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.
2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣
弧有______________.
3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.
4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.
图24-1-2-4
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )
A.32
B.33
C.
22
3
D.
23
3图24-1-2-5 图24-1-2-6
2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )
A.3 cm
B.2.5 cm
C.2 cm
D.1 cm
3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边
摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？
图24-1-2-7
5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12
日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.
图24-1-2-8
6.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
图24-1-2-9
7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.
4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，
求∠DAC的度数．
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
参考答案
一、课前预习(5分钟训练)
1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.
图24-1-2-1
思路解析：根据垂径定理可得.
答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD
2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.
思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.
答案：43cm
3.判断正误.
(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.
思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.
答案：两个命题都错误.
4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.
思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.
答案:6
二、课中强化(10分钟训练)
1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.
思路解析：根据圆的轴对称性回答.
答案：直径所在的直线
2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣
弧有______________.
图24-1-2-2 图24-1-2-3
思路解析：由垂径定理回答.
答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM
3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm.
思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：13
4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.
图24-1-2-4
思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=2
1
AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ，
∴AM=
21AB. ∵OA=2
1×10=5，OM =4，
∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )
A.32
B.33
C.
22
3 D.2
33
图24-1-2-5 图24-1-2-6
思路解析：连结AB 、BO ，由题意知：AB=AO=OB ，所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×
2
3
3=33.