24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案
部编版人教初中数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径 测试题(含答案)》最新精品优秀
5.如图24 1 20所示,⊙O的直径为10 cm,弦AB=8 cm,点P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
6.本市新建一座圆形人工湖,为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A,B,C三根木柱,使得A,B之间的距离与A,C之间的距离相等,并测得BC长为120米,A到BC的距离为4米,如图24 1 21所示.
请你帮他们求出该湖的半径.
7.有一座圆弧形的拱桥,桥下水面宽度为8 m,拱顶高出水面2 m,现有一货船载一货箱欲从桥下经过,已知货箱宽6 m,高1.5 m(货箱底与水面持平),示意图如图24 1 22所示,问该货船能否顺利通过该桥?
图24 1 22
参考答案
【分层作业】
1.B 2.B 3.C 4.5 5.3 cm≤OP≤5 cm.6.人工湖的半径为452米. 7.该货船不能顺利通过该桥.
A.6B.5
C.4D.3
2.如图24 1 17所示,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不一定正确的是( )
图24 1 17
A.CE=DEB.AE=OE
C. D.△OCE≌△ODE
3.如图24 1 18所示,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( )
前言:
该测试题由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点,精心编辑而成。以高质量的测试题助力考生查漏补缺,在原有基础上更进一步。
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24.1.2 垂直于弦的直径
1.如图24 1 16所示,已知⊙O的半径为13,弦AB的长为24,则点O到AB的距离是( )
图24 1 16
部编版人教初中数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径 同步练习题(含答案)》最新精品优秀
前言:
该同步练习题由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点,精心编辑而成。
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基础导练
1.半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是()
A.3 B.4 C.5 D.
7
2.如图,AB为圆O的弦,圆O的半径为5,OC⊥AB于点D,交圆
O于点C,
且CD=2,则AB的长是 .
能力提升
3.绍兴是著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为()
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4.已知⊙O的半径为5cm,AB和CD是⊙O的弦,AB//CD, AB=6cm,CD=8cm,求AB与CD之间的距离是多少?
1。
人教版九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习题(含答案)
人教版九年级数学上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习题一、选择题1.下列说法中,不正确的是(D)A .圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B .圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与它自身重合C .圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D .圆的每一条直径都是它的对称轴2.下列说法正确的是(D)A .过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B .弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心C .过弦的中点的直径垂直于弦D .平分弦所对的两条弧的直径平分弦3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为M ,下列结论不一定成立的是(D)A .CM =DM B.CB ︵=DB ︵C .∠ACD =∠ADC D .OM =MB4.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,OC =5 cm ,CD =8 cm ,则OE =(C)A .4 cmB .5 cmC .3 cmD .2 cm5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是(B)A.7 B.27 C.6 D.86.如图,⊙O的半径为10,M是AB的中点,且OM=6,则⊙O的弦AB等于(D)A.8 B.10 C.12 D.167.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为(B)A.6 dm B.5 dm C.4 dm D.3 dm8.已知AB,CD是⊙O的两条平行弦,AB=8,CD=6,⊙O的半径为5,则弦AB 与CD的距离为(D)A.1 B.7 C.4或3 D.7或1二、填空题9.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为5.10.如图,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且AB=8 cm,AC=6 cm,那四边形OEAD的周长为14cm.11.如图,小丽荡秋千,秋千链子的长OA为2.5米,秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离AB为3米,则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米.12.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30°,CD=23,则⊙O 的半径是2.13.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为26寸.14.如图,在⊙O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D,则CD的最大值为1 2.15.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为(2,6).三、解答题16.如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米,净高5米,则圆拱形门所在圆的半径是多少米?解:连接OA.∵CD⊥AB,且CD过圆心O,∴AD=12AB=1米,∠CDA=90°.设⊙O的半径为R,则OA=OC=R,OD=5-R.在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=OD2+AD2,即R2=(5-R)2+12,解得R=2.6.故圆拱形门所在圆的半径为2.6米.17.已知⊙O的直径是50 cm,⊙O的两条平行弦AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB与CD之间的距离.解:过点O作直线OE⊥AB于点E,直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD,∴OF⊥CD.①当AB,CD在点O两侧时,如图1.连接AO,CO,则AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.由勾股定理知OE=AO2-AE2=15 cm,OF=CO2-CF2=7 cm.∴EF=OE+OF=22 cm,即AB与CD之间的距离为22 cm;图1 图2②当AB,CD在点O同侧时,如图2.连接AO,CO.则AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.由勾股定理知OE=AO2-AE2=15 cm,OF=CO2-CF2=7 cm.∴EF=OE-OF=8 cm,即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述,AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.。
人教版数学九年级上册24-1-2垂直于弦的直径同步练习题(最新)
24.1.2垂直于弦的直径一、单选题 1.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,⊙O 的半径为4,则AC 的长等于( )A .4√3B .6√3C .2√3D .82.如图,A ,B 是⊙O 上的两点,连接AB ,用尺规按①到③的步骤操作,下列结论正确的有( )①在⊙O 上任取一点C (不与A ,B 重合),连接AC ;②作AB 的垂线平分线交⊙O 于点M ,N ;③作AC 的垂直平分线交⊙O 于点E ,F结论Ⅰ:直线MN 与直线EF 的交点一定与点O 重合;结论Ⅱ:顺次连接M ,E ,N ,F 四点必能得到矩形;结论Ⅲ:⊙O 上存在唯一的点C ,使得MF⌢=2AE ⌢A .3个B .2个C .1个D .0个3.过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ,最短弦长为8cm ,则OM 的长为( )A .9cmB .6cmC .3cmD .√41cm4.如图,⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E .若∠A =30°,AC =2,则CD 的长是( )5.如图,在⊙O中,AE是直径,连接BE,若AB=8,OC⊥AB于点D,CD=2,则BE 的长是()A.5B.6C.7D.86.下列命题:①对角线垂直且相等的四边形是正方形;②垂直弦的直径平分这条弦;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④各边相等的多边形是正多边形;⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.其中真命题有()个.A.1B.2C.3D.47.如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图,阴影部分为有水部分,如果水面AB的宽为8cm,水面最深的地方高度为2cm,则该输水管的半径为()A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm8.在半径为5cm的⊙O中,若弦AB与弦CD平行,且AB=6cm,CD=8cm,则AB与CD 之间的距离为()A.1cm B.7cm C.8cm D.1cm或7cm9.若⊙O的半径为10 cm,且两平行弦AC,BD的长分别为12 cm,16 cm,则两弦间的距离是()A.2 cm B.14 cm C.2 cm或14 cm D.6 cm或8 cm 10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4√3,F是线段AC上一点,过点A的⊙F交AB于点D,E是线段BC上一点,且ED=EB,则EF的最小值为()A.3√3B.2√3C.√3D.2二、填空题11.如图,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60°,点O在∠B内,点D为AC⌢上的动点,点M,N,P别是AD,DC,CB的中点,若⊙O的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是 .12.如图所示是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水的最大深度为2cm,则该输水管的直径为.13.一个圆柱体容器内装入一些水,截面如图所示,若⊙O中的直径为52cm,水面宽AB=48cm,则水的最大深度为cm.14.如图,已知⊙O的半径为5,点P是弦AB上的一动点,且弦AB的长为8.则OP 的取值范围为.15.如图4,点P在半径为3的⊙O内,OP=√3,点A为⊙O上一动点,弦AB过点P,则AB最长为,AB最短为.三、解答题16.凰仪桥始建于嘉泰以前,是绍兴市区的一座古桥,此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥,已知此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为18.2m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为6.2m.求此桥拱圆弧的半径(精确到0.1m)17.如图,在平行四边行ABCD中,AB=5,BC=8,BC边上的高AH=3,点P是边BC 上的动点,以CP为半径的⊙C与边AD交于点E,F(点E在点F的左侧).(1)当⊙C经过点A时,求CP的长;(2)连接AP,当AP//CE时,求⊙C的半径及弦EF的长.18.在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB=0.8米,求油的最大深度.19.如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.(1)若∠AOD=52∘,求∠DEB的度数;(2)若OC=3,BC=3√3,求弧AB^的长.20.如图,AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC.(1)证明:∠BCO=∠ACD;(2)若AE=2,BE=8,求弦CD的长.⌢的中点,在直径CD 21.如图:已知⊙O的直径CD为2,AC⌢的度数为60°,点B是AC上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为多少?。
24.1.2 垂直于弦的直径练习 教师版
课后巩固1.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为4,则弦AB的长是( )A.3B.6C.4D.8【分析】先根据垂径定理求出AM=AB,再根据勾股定理求出AD的值.【解答】解:连接OA,∵⊙O的直径为10,∴OA=5,∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4,由垂径定理知,点M是AB的中点,AM=AB,由勾股定理可得,AM=3,所以AB=6.故选B.【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解,解题的关键是正确的构造直角三角形.2.CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于M,若CM=12,DM=8,则AB等于( )A.4B.8C.8D.4【分析】根据题意画出图形,先由CM=12,DM=8求出⊙O的半径及OM的长,再由垂径定理得出AB=2AM,在Rt△AOM内利用勾股定理求出AM的长,进而可得出AB的长.【解答】解:如图所示:∵CM=12,DM=8,∴OA=OD=(CM+DM)=×20=10,∴OM=OD﹣DM=10﹣8=2,∵弦AB⊥CD于M,∴AB=2AM,在Rt△AOM中,∵AM2=OA2﹣OM2,即AM2=102﹣22,解得AM=4,∴AB=2AM=8.故选C.【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,利用勾股定理求解是解答此题的关键.3.如图,BC为⊙O直径,交弦AD于点E,若B点为中点,则说法错误的是( )A.AD⊥BC B.=C.AE=DE D.OE=BE【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可.【解答】解:∵BC为⊙O直径,交弦AD于点E,B点为中点∴AD⊥BC,故A选项正确;∵BC为⊙O直径,B点为中点,∴=,AE=DE,故B、C选项正确,D选项错误.故选D.【点评】本题考查的是垂径定理,即垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.4.已知如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一个动点,则OP长的取值范围为( )A.OP<5B.8<OP<10C.3<OP<5D.3≤OP≤5【分析】首先明确OP最长时,应该与A或B重合,OP最短时,应该是OP⊥AB时,然后根据垂径定理即可求出.【解答】解:OP最长时,应该与A或B重合,此时OP=5;OP最短时,应该是OP⊥AB时,此时OP==3.故选D.【点评】此题涉及圆中求半径的问题,此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题,常把半弦长,半圆心角,圆心到弦距离转换到同一直角三角形中,然后通过直角三角形予以求解,常见辅助线是过圆心作弦的垂线.5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分OB,则∠BAC等于( )A.15°B.20°C.30°D.45°【分析】连接OC,在直角△OCE中,即可求得∠COE的度数,根据等腰三角形的性质,即可求解.【解答】解:连接OC,∵OE=OB=OC,∴∠OCD=30°,∴∠COB=60°,∵OA=OC,∴∠BAC=30°.故选C.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,正确解直角三角形,求得∠COE的度数是关键.6.如图是一位同学从照片上剪切下来的画面,“图上”太阳与海平线交于A、B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米,AB=16厘米,若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟,则“图上”太阳升起的速度为( )A.0.4厘米/分B.0.6厘米/分C.1.0厘米/分D.1.6厘米/分【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C,交⊙O于D,连接OA,由垂径定理,即可求得OC的长,继而求得CD的长,又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟,即可求得“图上”太阳升起的速度.【解答】解:过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C,交⊙O于D,连接OA,∴AC=AB=×16=8(厘米),在Rt△AOC中,OC===6(厘米),∴CD=OC+OD=16(厘米),∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟,∴16÷10=1.6(厘米/分).∴“图上”太阳升起的速度为1.6厘米/分.故选D.【点评】此题考查了垂径定理的应用.解题的关键是结合图形构造直角三角形,利用勾股定理求解.7.已知⊙O的半径是5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB与CD的距离是( )A.1 cm B.7 cm C.1 cm或7 cm D.无法判断【分析】根据题意画出符合条件的两种情况,过O作OE⊥AB于E,交CD于F,连接OA、OC,根据垂径定理求出AE、CF、根据勾股定理求出OE、OF,结合图形求出EF即可.【解答】解:分为两种情况:①当AB和CD在O的同旁时,如图1,过O作OE⊥AB于E,交CD于F,连接OA、OC,∵AB∥CD,∴OF⊥CD,∴由垂径定理得:AE=AB=3cm,CF=CD=4cm,在Rt△OAE中,由勾股定理得:OE===4(cm)同理求出OF=3cm,EF=4cm﹣3cm=1cm;②当AB和CD在O的两侧时,如图2,同法求出OE=4cm,OF=3cm,则EF=4cm+3cm=7cm;即AB与CD的距离是1cm或7cm,故选C.【点评】本题考查了勾股定理,垂径定理得应用,关键是能正确求出符合条件的两种情况,题目比较典型,是一道比较好的题目.二.填空题(共7小题) 8.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为 5 .【分析】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,AE=CD,在直角△OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可.【解答】解:连接OC,∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=CD=×6=3,设⊙O的半径为xcm,则OC=xcm,OE=OB﹣BE=x﹣1,在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∴x2=32+(x﹣1)2,解得:x=5,∴⊙O的半径为5,故答案为:5.【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解,熟练掌握并应用定理是解题的关键.9.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC= 5 cm.【分析】连接OA,根据垂径定理求出AD,根据勾股定理R2=42+(R﹣2)2,计算求出R即可.【解答】解:连接OA,∵OC⊥AB,∴AD=AB=4cm,设⊙O的半径为R,由勾股定理得,OA2=AD2+OD2,∴R2=42+(R﹣2)2,解得R=5∴OC=5cm.故答案为5.【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用,掌握垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.10.如图,⊙O的半径为2,弦AB=,点C在弦AB上,AC=AB,则OC的长为 .【分析】过O作OD⊥AB于D,根据垂径定理求出BD,根据勾股定理求出OD,根据勾股定理求出OC即可.【解答】解:过O作OD⊥AB于D,∵OD⊥AB,OD过O,AB=,∴AD=BD=AB=,∵AB=,点C在弦AB上,AC=AB,∴AC=,CD=AD﹣AC=,在Rt△OBD中,由勾股定理得:OD==1,在Rt△OCD中,由勾股定理得:OC===,故答案为:.【点评】本题考查了初级定理和勾股定理的应用,关键是构造直角三角形,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.11.如图,⊙O的半径为5,弦BC=8,点A在⊙O上,AO⊥BC,垂足为D、E为BC延长线上一点,AE=10,则CE的长为 2 .【分析】连接OC,根据垂径定理得到BD=DC=BC=4,根据勾股定理求出OD,根据勾股定理求出DE,计算即可.【解答】解:连接OC,∵AO⊥BC,∴BD=DC=BC=4,∴OD==3,则AD=AO+OD=8,∴DE==6,∴CE=DE﹣DC=2,故答案为:2.【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用,掌握垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.三.解答题(共8小题)12.如图,AB为⊙O的弦,AB=8,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,求⊙O的半径.【分析】根据垂径定理得到直角三角形,然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长.【解答】解:如图:连接OA,由OC⊥AB于D,得:AD=DB=AB=4.设⊙O的半径为r,在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2∴r2=(r﹣1)2+42整理得:2r=17∴r=.所以圆的半径是.【点评】本题考查的是垂径定理,根据垂径定理求出AD的长,连接OA,得到直角三角形,然后在直角三角形中计算出半径的长.13.如图,已知AD是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,AD⊥BC,垂足为点E,AE=BC=16,求⊙O的直径.【分析】连接OB,根据垂径定理求出BE,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.【解答】解:连接OB,设OB=OA=R,则OE=16﹣R,∵AD⊥BC,BC=16,∴∠OEB=90°,BE=BC=8,由勾股定理得:OB2=OE2+BE2,R2=(16﹣R)2+82,解得:R=10,即⊙O的直径为20.【点评】本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,能根据垂径定理求出BE的长是解此题的关键,注意:垂直于弦的直径平分弦.14.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.【分析】过O作OF垂直于CD,连接OD,利用垂径定理得到F为CD的中点,由AE+EB求出直径AB的长,进而确定出半径OA与OD的长,由OA﹣AE求出OE的长,在直角三角形OEF中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长,在直角三角形ODF中,利用勾股定理求出DF的长,由CD=2DF即可求出CD的长.【解答】解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,连接OD,∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=OE=1,在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF==,则CD=2DF=2.【点评】此题考查了垂径定理,勾股定理,以及含30°直角三角形的性质,利用了转化的思想,熟练掌握定理是解本题的关键.15.如图,⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,圆心O位于AB、CD的上方,求AB 和CD间的距离.【分析】过点O作弦AB的垂线,垂足为E,延长AE交CD于点F,连接OA,OC;由于AB∥CD,则OF⊥CD,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、CF的长,在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离.【解答】解:过点O作弦AB的垂线,垂足为E,延长OE交CD于点F,连接OA,OC,∵AB∥CD,∴OF⊥CD,∵AB=30cm,CD=16cm,∴AE=AB=×16=8cm,CF=CD=×12=6cm,在Rt△AOE中,OE===6cm,在Rt△OCF中,OF===8cm,∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm.答:AB和CD的距离为2cm.【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.16.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?【分析】(1)连结OA,利用r表示出OD的长,在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可;(2)连结OA′,在Rt△A′EO中,由勾股定理得出A′E的长,进而可得出A′B′的长,据此可得出结论.【解答】解:(1)连结OA,由题意得:AD=AB=30,OD=(r﹣18)在Rt△ADO中,由勾股定理得:r2=302+(r﹣18)2,解得,r=34;(2)连结OA′,∵OE=OP﹣PE=30,∴在Rt△A′EO中,由勾股定理得:A′E2=A′O2﹣OE2,即:A′E2=342﹣302,解得:A′E=16.∴A′B′=32.∵A′B′=32>30,∴不需要采取紧急措施.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.课堂测试一.选择题(共2小题)1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=10,AE=2,则弦CD的长是( )A.4B.6C.8D.10【分析】连接OC,根据题意得出OC=5,再由垂径定理知,点E是CD的中点,CE=CD,在直角△OCE 中,由勾股定理得出CE,从而得出CD的长.【解答】解:连接OC,∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=CD,在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∵AE=2,AB=10,∴OC=5,OE=3,∴CE=4,∴CD=8,【点评】本题考查了垂径定理,掌握垂径定理的内容是解题的关键.2.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,OD∥AC交BC于点E.若BC=8,ED=2,则AC的长为( )A.5B.5.5C.6D.6.5【分析】根据垂径定理得出OB,进而利用比例关系解答即可.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,∵OD∥AC,∴OD⊥BC,∵BC=8,ED=2,∴OB2=BE2+OE2,即OB2=42+(OB﹣2)2,解得:OB=5,∴,即,解得;AC=6,【点评】此题考查垂径定理,关键是根据垂径定理得出OB .二.填空题(共2小题)3.已知⊙O 的弦AB=8cm ,圆心O 到弦AB 的距离为3cm ,则⊙O 的直径为 10 cm .【分析】连结OA ,先根据垂径定理得到AC=4,然后根据勾股定理计算出OA ,从而得到圆的直径.【解答】解:连结OA ,∵OC ⊥AB ,∴AC=BC=AB=×8=4,在Rt △AOC 中,OC=3,OA==5,∴⊙O 的直径为10cm .故答案为10.【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.4.如图,⊙O 的半径为5,弦AB=8,动点M 在弦AB 上运动(可运动至A 和B ),设OM=x ,则x 的取值范围是 3≤x≤5 .【分析】当M与A或B重合时,OM最长,当OM垂直于AB时,OM最短,即可求出x的范围.【解答】解:当M与A(B)重合时,OM=x=5;当OM垂直于AB时,可得出M为AB的中点,连接OA,在Rt△AOM中,OA=5,AM=AB=4,根据勾股定理得:OM=x==3,则x的范围为3≤x≤5.故答案为:3≤x≤5【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握定理是解本题的关键.三.解答题(共1小题)5.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,联结AO并延长交⊙O于点E,联结EC.已知AB=8,CD=2.(1)求OA的长度;(2)求CE的长度.【分析】(1)根据垂径定理得出AC=BC=AB,根据勾股定理得出方程,求出即可;(2)连接BE,求出OC∥BE且OC=BE,求出BE的长度,根据勾股定理求出CE的长度即可.【解答】(1)解:∵在⊙O中,OD⊥弦AB,∴AC=BC==4,设OA为x,则OD=OA=x,∵CD=2,∴OC=x﹣2在Rt△ACO中,AC2+OC2=AO2∴42+(x﹣2)2=x2,解得x=5,∴OA=5;(2)解:连接BE,∵OA=OE,AC=BC,∴OC∥BE且OC=,∴∠EBA=∠OCA=90°,∵OC=OD﹣CD=5﹣2=3,∴BE=6,在Rt△ECB中,BC2+EB2=EC2∴42+62=EC2,∴CE=2.【点评】本题考查了勾股定理,垂径定理,圆周角定理,三角形中位线的应用,用了方程思想,题目比较典型,难度适中.。
2412垂直于弦的直径精选练习题及答案
、课前预习(5 分钟训练)1. __________________________________________________________________________________________如图24-1-2-1 ,AB 是⊙ O的弦,CD是⊙ O的直径,CD ⊥ AB ,垂足为E,则可推出的相等关系是___________图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24 -1-2-32. __________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分,则这条弦弦长为____________________________________ .3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2) 平分弦的直径垂直于弦.4. __________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于________________________________ .二、课中强化(10 分钟训练)1. _________________________________________ 圆是轴对称图形,它的对称轴是.2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2,在⊙ O中,直径MN 垂直于弦AB ,垂足为C,图中相等的线段有 ___________________________ ,相等的劣弧有 ________________ .3. ____________________________________________________________________________ 在图24-1-2-3 中,弦AB 的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则⊙ O的半径R= ___________________________________ cm.三、课后巩固(30 分钟训练)1. 如图24-1-2-5,⊙ O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙ O于B、C,则BC等于( )33 D.垂直于弦的直径4.如图24-1-2-4 所示,直径为10 cm 的圆中,圆心到弦B.3 3C.3 2AB 的距离为图24-1-2-5 图24-1-2-62图24-1-2-5 图24-1-2-6A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm6.如图 24-1-2-9 ,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点 A 、 B 、C.3.⊙O 半径为 10,弦 AB=12 , CD=16 ,且 AB ∥CD.求 AB 与 CD 之间的距离 .4. 如图 24-1-2-7 所示,秋千链子的长度为 3 m ,静止时的秋千踏板 (大小忽略不计 )距地面 0.5 m. 秋千向两边 摆动时,若最大摆角 (摆角指秋千链子与铅垂线的夹角 )约为 60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?图 24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞 ”,我省利用国债资金修建的, 横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1)已于今年 5月 12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图22 米,如图 (2), 那么这个圆拱所在圆的直径为 __24-1-2-8(1). 最高 的圆拱的跨度为 110 米,拱高为___ 米.图 24-1-2-8(1) 用尺规作图法,找出弧BAC 所在圆的圆心O;( 保留作图痕迹,不写作法(2)设△ ABC 为等腰三角形,底边BC=10 cm,腰AB=6 cm ,求圆片的半径R;(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<m(m、n为正整数),试估算m和n的值.4.(开放题) AB 是⊙O 的直径,AC、AD 是⊙O 的两弦,已知AB=16 ,AC=8 ,AD=8 ,求∠ DAC 的度数..4. 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长图24-1-2-2 图24 -1-2-3参考答案一、课前预习(5 分钟训练)1. __________________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-1 ,AB 是⊙ O的弦,CD是⊙ O的直径,CD ⊥ AB ,垂足为E,则可推出的相等关系是___________思路解析:根据垂径定理可得.答案:OC=OD 、AE=BE 、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2. _________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分,则这条弦弦长为____________________________________ .思路解析:根据垂径定理和勾股定理计算.答案:4 3 cm3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析:(1)圆的对称轴是直线,而不是线段;(2)这里的弦是直径,结论就不成立.由于对概念或定理理解不透,造成判断错误.答案:两个命题都错误.4. ___________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于_ __________________________________ .思路解析:由垂径定理及勾股定理可得或可证△ BCO 是等边三角形.答案:6二、课中强化(10 分钟训练)1. _________________________________________ 圆是轴对称图形,它的对称轴是.思路解析:根据圆的轴对称性回答. 答案:直径所在的直线2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2,在⊙ O中,直径MN垂直于弦AB ,垂足为C,图中相等的线段有 ___________________________ ,相等的劣弧有 ________________ .图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路解析:由垂径定理回答 .答案: OM=ON , AC=BC 弧 AM= 弧 BM3. ____________________________________________________________________________ 在图 24-1-2-3 中,弦 AB 的长为 24 cm ,弦心距 OC=5 cm ,则⊙ O 的半径 R= __________________________________ cm.思路解析:连结 AO ,得 Rt △ AOC ,然后由勾股定理得出 . 答案: 134.如图 24-1-2-4 所示,直径为 10 cm 的圆中,圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长 .图 24-1-2-4思路分析:利用 “圆的对称性 ”:垂直于弦的直径平分这条弦 .1由 OM ⊥AB 可得 OM 平分 AB ,即 AM= AB. 连结半径 OA 后可构造 Rt △,利用勾股定理求解2解:连结 OA. ∵OM ⊥AB , ∴ AM= 1 AB.2∵OA= 1 ×10=5, OM =4,2∴ AM= OA 2OM 2=3.∴ AB=2AM=6(cm).三、课后巩固 (30 分钟训练 )1.如图 24-1-2-5,⊙ O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心 ,OA 的长为半径画弧交⊙ O 于 B 、C,则BC 等于( )思路解析:连结 AB 、BO ,由题意知: AB=AO=OB ,所以△ AOB 为等边三角形 .AO 垂直平分 BC, 所以BC=2× 3 3=3 3.2答案: BB.3 332 C.2图 24-1-2-52. 如图24-1-2-6,AB 是⊙ O的弦,半径OC⊥AB 于点D,且AB=8 cm ,OC=5 cm,则OD 的长是( )思路解析:因为AB 是⊙ O的弦,半径OC⊥AB 于点D,且AB=8 cm ,OC=5 cm,连结OA,在Rt△ODA 中,由勾股定理得OD=3 cm.答案:A3. ⊙ O半径为10,弦AB=12 ,CD=16 ,且AB∥CD.求AB 与CD之间的距离. 思路分析:本题目属于“图形不明确型”题目,应分类求解.解:(1)当弦AB 与CD 在圆心O的两侧时,如图(1)所示. 作OG⊥AB,垂足为G,延长GO交CD于H,连结OA 、OC.∵AB∥CD,GH⊥AB ,∴GH⊥ CD.∵ OG⊥ AB ,AB=12 ,∴ AG= 1 AB=6.21同理,CH= CD=8.2∴Rt△AOG 中,OG= OA2AG2=8.Rt△COH中,OH= OC2CH2=6.∴ GH=OG +OH=14.(2) 当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时,如图(2)所示.GH=OG - OH=8-6=2.4. 如图24-1-2-7 所示,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m. 秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路分析: 设秋千链子的上端固定于 A 处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点 A 、B 的铅垂线分别为 AD 、BE ,点D 、E 在地面上,过 B 作BC ⊥AD 于点 C.解直角三角形即可 . 解:设秋千链子的上端固定于 A 处, 秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于 别为 AD 、BE ,点 D 、E 在地面上,过 B 作BC ⊥AD 于点 C.如图.在 Rt △ABC 中,∵ AB=3 ,∠ CAB=60° ,1∴ AC=3× =( m )2∴ CD=3+ ( m ) . ∴ BE=CD=2 ( m )答:秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 2 m.日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图 24-1-2-8(1). 最高 的圆拱的跨度为 110 米,拱高为22 米,如图 (2), 那么这个圆拱所在圆的直径为 __________ 米.思路解析:本题考查垂径定理的应用,用列方程的方法解决几何问题,会带来许多方便 连结 OC.设圆拱的半径为 R 米,则 OF=(R - 22)(米) .11∵OE ⊥CD ,∴ CF= CD= ×110=55(米) .22根据勾股定理,得 OC 2=CF 2+ OF 2,即 R 2=552+( R - 22) 2. 解这个方程,得 R=(米) .所以这个圆拱所在圆的直径是 ×2=(米) . 答案:6.如图 24-1-2-9 ,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点B 处 .过点 A 、B 的铅垂线分5. “五段彩虹展翅飞 ”,我省利用国债资金修建的, 横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1)已于今年 5月12A 、B 、 C.图 24-1-2-8(1)用尺规作图法,找出弧 BAC 所在圆的圆心 O ;( 保留作图痕迹,不写作法 )(2)设△ ABC 为等腰三角形,底边 BC=10 cm ,腰 AB=6 cm ,求圆片的半径 R ;(结果保留根号 ) (3)若在(2)题中的 R 满足 n <R <m (m 、n 为正整数 ),试估算 m 和 n 的值.思路分析:(1)作 AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心 O ;(2)已知 BC 和 AB 的长度,所以可以构造直 角三角形利用勾股定理可求得半径R ;( 3)根据半径的值确定 m 、n 的值 .(1)作法:作 AB 、AC 的垂直平分线,标出圆心 O.12)解 :连结 AO 交 BC 于 E ,再连结 BO.∵AB=AC ,∴ AB=AC. ∴AE ⊥BC.∴BE= BC=5.2在 Rt △ABE 中,AE= AB 2BE 2= 36 25= 11 .∴ 5< R < 6.∵ n <R <m ,∴ m=6, n=5.7.⊙ O 的直径为 10,弦 AB 的长为 8,P 是弦AB 上的一个动点,求 OP 长的取值范围 . 思路分析:求出 OP 长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理 .该题创新点在于把线段 OP 看作是一个变量,在动态中确定 OP 的最大值和最小值 .事实上只需作 OM ⊥AB ,求得 OM 即 可.在 Rt △OBE 中, R 2=52+(R- 11 ) 2,解得18R=( cm )113)解 :∵ 5<18189 =6,11 解:如图,作OM ⊥AB 于M,连结OB,则BM= AB= ×8=4.22在Rt△OMB 中,OM OB2BM2= 5242=3.当P与M 重合时,OP为最短;当P与A(或B)重合时,OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.。
24.1.2 垂直于弦的直径(练习)(解析版)
第二十四章圆24.1.2 垂直于弦的直径精选练习答案一、单选题(共10小题)1.(2019·广东铁一中学初三期中)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,则∠AOB的度数为()A.90°B.120°C.135°D.150°【答案】B【详解】过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知,OD12=OC12=OA,由此可得.在Rt△AOD中,∠OAD=30°,同理可得∠OBD=30°.在△AOB中,由内角和定理,得:∠AOB=180°﹣∠OAD﹣∠OBD=120°.故选B.【名师点睛】本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形.2.(2019菏泽市期末)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知4EF CD ==,则球的半径长是( )A .2B .2.5C .3D .4【答案】B【详解】如图:EF 的中点M ,作MN⊥AD 于点M ,取MN 上的球心O ,连接OF ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDMN 是矩形,∴MN=CD=4,设OF=x ,则ON=OF ,∴OM=MN -ON=4-x ,MF=2,在直角三角形OMF 中,OM 2+MF 2=OF 2,即:(4-x )2+22=x 2,解得:x=2.5,故选:B .【名师点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.3.(2018·扬州中学教育集团树人学校初三期中)已知⊙O 的直径为,弦AB 为8cm ,P 为弦AB 上的一动点,若OP 的长度为整数,则满足条件的点P 有( )A .2个B .3个C .5个D .7个【答案】C【详解】解:①当点P与点A或点P重合时,OP=r=2cm;②如图所示:∵OP⊥AB,∴AP=PB=12AB=4,在Rt△OPB中,==2(cm).综上可得OP的取值范围为:2cm≤OP≤.则OP的整数值是2,3,4.其中长度是2cm的只有当OP⊥AB时一种情况,当OP=3cm、4cm各自有2种情况.则总计有5种.故选:C.【名师点睛】本题考查了垂径定理的知识,平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,需要同学们熟练掌握.4.(2017长沙市期末)如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为点D,E,若AC=2cm,则⊙O的半径为()A.1 cmB.2 cm cm D.4 cm【答案】C【详解】∵OD⊥AB,∴AD=BD=12 AB.同理AE=CE=12 AC.∵AB=AC,∴AD=AE.连接OA,∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC,∴∠OEA=∠A=∠ODA=90°,∴ADOE为矩形.又∵AD=AE,∴ADOE为正方形,(cm).故选:C.【名师点睛】考查垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质等知识,解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.5.(2019·山东省东营市河口区义和镇中心学校初三期中)如图,圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,22.5A∠=,4OC=,则CD的长为()A.B.4 C.D.8【答案】C【详解】∵∠A=22.5°,∴∠BOC=2∠A=45°,∵⊙O的直径AB垂直于弦CD,∴CE=DE,△OCE为等腰直角三角形,,∴CE=2.【名师点睛】考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理.6.如图,图O半径为10cm,弓形高为4cm,则弓形的弦AB的长为()A.8cm B.12cm C.16cm D.20cm【答案】C【详解】解:如图,过O作OD⊥AB于C,交⊙O于D,∵CD=4,OD=10,∴OC=6,又∵OB=10,∴Rt△BCO中∴AB=2BC=16.故选:C.【名师点睛】本题考查圆的弦的知识,掌握勾股定理是解题关键.7.(2018·重庆市期末)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为()A B.C.D.8【答案】C【详解】作OH⊥CD于H,连结OC,如图,∵OH⊥CD,∴HC=HD,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA﹣AP=2,在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,∴∠POH=30°,∴OH=12OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,故选C.【名师点睛】本题主要考查圆中的计算问题,熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点,掌握数形结合的思想是解答的关键8.(2018·天津市期中)8.(2018·天津初三期中)下列说法中正确的有()①垂直平分弦的直线经过圆心;②平分弦的直径一定垂直于弦;③一条直线平分弦,那么这条直线垂直这条弦;④平分弦的直线,必定过圆心;⑤平分弦的直径,平分这条弦所对的弧.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】垂直于弦的直径平分弦,符合垂径定理,故①正确;在命题②中,两条直径是相互平分的,所以②是错误的;平分弦的直线不是直径一定不垂直这条弦,故③错误;平分弦的直线不是直径一定不过圆心,故命题④错误;平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧,因为当弦是直径时,任意两条直径互相平分,但不垂直,也不平分这条弦所对的弧,故⑤错误;正确的一个,故选A.9.(2018·杭州市期中)如图,已知圆O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为( )A.6B.6√2C.8D.8√2【答案】B【详解】作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OP,OB,OD,∵AB=CD=16,∴BM=DN=8,∴OM=ON=√102-82=6,∵AB⊥CD,∴∠DPB=90°,∵OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形,∵OM=ON,∴四边形MONP是正方形,∴OP=√62+62=6√2.故选B.【名师点睛】本题考查的是垂径定理,正方形的判定与性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.10.(2018扬州市期末)如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是()A.8πB.4πC.64πD.16π【答案】D【解析】试题解析:如图,设AB与小圆切于点C,连结OC,OB.∵AB与小圆切于点C,∴OC⊥AB,118 4.22BC AC AB∴===⨯=∵阴影的面积2222πππ().OB OC OB OC=⋅-⋅=-又∵直角△OBC中, 222.OB OC BC=+∴阴影的面积22222πππ()π16πOB OC OB OC BC=⋅-⋅=-=⋅=,故选D.二、填空题(共5小题)11.(2018春南昌市期中)如图,⊙O的直径垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为__.【答案】2【详解】根据圆周角定理,∵∠A=15°,∴∠BOC=30°,∴CE=OC⋅sin∠BOC=2×=1,∵⊙O的直径垂直于弦CD,垂足为E,∴CD=2CE=2.【名师点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理,熟练掌握这些知识是解答本题的关键. 12.(2018·甘肃省武威第五中学初三期末)某排水管的截面如图,已知截面圆半径OB=10cm,水面宽AB是16cm,则截面水深CD为_____.【答案】4cm.【详解】由题意知OD⊥AB,交AB于点E,∵AB=16cm,∴BC=12AB=12×16=8cm,在Rt△OBE中,∵OB=10cm,BC=8cm,(cm),∴CD=OD-OC=10-6=4(cm)故答案为4cm.【名师点睛】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键.13.(2018春南开区期末)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是____.【答案】【解析】试题解析:连接OC,由题意,得=-=-=,OE OA AE413==CE ED==CD CE2故答案为:14.(2018春蚌埠市期中)如图所示,⊙O的半径OA=4,∠AOB=120°,则弦AB长为____________.【答案】【详解】如图,作OC垂直弦AB于点C,∴AC=BC,∵∠AOB=120°,∴∠AOC=60°,即∠OAC=30°,又∵OA=4,∴OC=12OA=2,∴AB=2AC=故答案为15.(2017春厦门市期中)如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,已知CD=4,AE=1,则⊙O的半径为______.【答案】2.5【解析】连接OC,则OC=r,OE=r-1,CE=12CD=2,根据Rt△OCE的勾股定理可得:22+(r−1)2=r2,解得:r=2.5.三、解答题(共3小题)16.(2017春宜昌市期中)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点F在⊙O上,FD恰好经过圆心O,连接FB.(1)若∠F=∠D,求∠F的度数;(2)若CD=24,BE=8,求⊙O的半径.【答案】(1)30°;(2)13.【解析】(1)∵OF=OB,∴∠B=∠F,∴∠DOB=∠B+∠F=2∠B,∵∠DOE+∠D=90°∴2∠B+∠D=90°,∵∠B=∠D,∴2∠D+∠D=90°,∴∠D=30°;(2)设⊙O的半径为r,∵AB⊥CD,∴CE=DE=12CD=12×24=12,在Rt△ODE中,OE=OB-BE=r-8,OD=r,∵OE2+DE2=OD2,∴(r-8)2+122=r2,解得r=13,∴⊙O的半径为13.17.(2018春怀化市期末)如图⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高AD上,AB=10,BC=12,求⊙O的半径.【答案】25 4【详解】如图,连接OB.∵AD是△ABC的高.∴BD= 12BC=6在Rt△ABD中,.设圆的半径是R.则OD=8﹣R.在Rt△OBD中,根据勾股定理可以得到:R2=36+(8﹣R)2解得:R= 254.【名师点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理,解题关键是根据勾股定理转化成方程问题.18.(2017·湖北郯城红花初中初三期中)如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否要采取紧急措施?【答案】(1)r=34;(2)不需要采取紧急措施.【解析】(1)连结OA,由题意得:AD=12AB=30,OD=(r-18)在Rt△ADO中,由勾股定理得:r2=302+(r-18)2,解得,r=34;(2)连结OA′,∵OE=OP-PE=30,∴在Rt△A′EO中,由勾股定理得:A′E2=A′O2-OE2,即:A′E2=342-302,解得:A′E=16.∴A′B′=32.∵A′B′=32>30,∴不需要采取紧急措施.。
24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案
A.3v2 241.2垂直于弦的直径一、课前预习(5分神训练)1 .如图24-1-2-1, AB是。
的弦,CD是。
的直径,CD1AB,垂足为E,则可推出的相等关系是2. 圆中一条弦把和它垂直的直径分「成3 cm和4 cm两部分,则这条弦弦长为・3. 判断正误.(】)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.4. 圆O的半径OA=6QA的垂直平分线交圆。
于B、C,那么弦BC的长等于•二、课中强化(1。
分仲训练)1 .圆是轴对称图形,它的对称轴是 _____________ .2. 如图24-1-2-2,在。
中,直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有,相等的劣弧有______________3. 在图24-1-2-3中,弦AB的长为24 cm,弦心距O05 cm,则。
的半径区cm.4. 如图24-1-2-4所示,直径为10 cm的圆中,圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1 .如图24-1-2-5,00的半径OA=3,以点A为圆心QA的长为半径画弧交。
于B、C,则BC等于()C图 24-1-2-5 2. 如图24-1-2-6, AB 是。
的弦,半径OC1AB 于点D,旦AB=8 cm, OC=5 cm,则OD 的长是()A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.l cm3.00半径为10,弦AB=12, CD=16,旦AB II CD.求AB 与CD 之间的距离.4.如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两 边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60。
,则秋千踏板与地面的最大距离约为 多少?5. “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5 月】2日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1).最高.的圆拱的跨度为110米, 拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为 米.⑴ ⑵图 24-1-2-8图 24-1-2-6图 24-1-2-76. 如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法,找出弧BAC所在圆的圆心。
2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷及答案解析
2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷一.填空题(共1小题)1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,弦DE∥CB.若AB=10,CD=6,则DE的长为二.解答题(共48小题)2.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.3.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE =4米时,是否要采取紧急措施?4.往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB和油的最大深度都为80cm.(1)求油槽的半径OA;(2)从油槽中放出一部分油,当剩下的油面宽度为60cm时,求油面下降的高度.5.已知:如图⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为H,OG⊥BC,垂足为G,求证:弦AD=2OG.6.如图,为一圆洞门.工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑,点A、B、C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AB=2,EF=,=120°.(1)求出圆洞门⊙O的半径;(2)求立柱CE的长度.7.如图,在⊙O中,DE是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm,CD=2cm(1)求⊙O的面积;(2)连接AE,过圆心O向AE作垂线,垂足为F,求OF的长.8.如图,⊙O的半径为5,弦AB⊥CD于E,AB=CD=8.(1)求证:AC=BD;(2)若OF⊥CD于F,OG⊥AB于G,试说明四边形OFEG是正方形.9.如图,已知AB是圆O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA=30°,OE=4,DE=5,求弦CD及圆O的半径长.10.如图,已知OC是⊙O半径,点P在⊙O的直径BA的延长线上,且OC⊥PC,垂足为C.弦CD垂直平分半径AO,垂足为E,P A=6.求:(1)⊙O的半径;(2)求弦CD的长.11.如图所示,射线AM交一圆于点B,C,射线AN交该圆于点D,F,且BC=DE,求证:AC=AE.12.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,且PD∥CB,弦PB与CD交于点F(1)求证:FC=FB;(2)若CD=24,BE=8,求⊙O的直径.13.如图,AB为圆O的直径,CD为弦,AM⊥CD于M,BN⊥CD于N.(1)求证:CM=DN.(2)若AB=10,CD=8,求BN﹣AM的值.14.如图,在半径为5的四分之一圆中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=6时,求线段OD的长;(2)连接AB,求DE的长.15.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB 为半径的圆交AB于点D,求BD的长.16.如图,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,AE=BF,请找出线段OE 与OF的数量关系,并给予证明.17.已知AB为⊙O的弦,C、D在AB上,且AC=CD=DB,求证:∠AOC=∠DOB.18.已知:如图,OA=OB,AB交⊙O于C、D两点,求证:AC=BD.19.已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.20.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD.(1)求证:AD=AN;(2)若AE=,ON=1,求⊙O的半径.21.如图,AB为⊙O上,过点O作OD⊥BC于点E,交⊙O于点D,CD∥AB.(1)求证:E为OD的中点;(2)若CB=6,求四边形CAOD的面积.22.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为△ABC角平分线的交点,以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G.(1)求证:CD=EF;(2)若⊙O的半径为4,AE=2,求AB的长.23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB与点D,以A为圆心,AD长为半径画弧,交边AC于点E,连接CD.(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数;(2)设BC=a,AC=b.①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗?为什么?②若AD=EC,求的值.24.如图,⊙O的两条弦AB∥CD(AB不是直径),点E为AB中点,连结EC,ED (1)直线EO与AB垂直吗?请说明理由;(2)求证:EC=ED.25.如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,13为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D,连结OA,且OA∥PE.(1)求证:AP=AO;(2)若弦AB=24,求OP的长.26.如图,AB是⊙O直径,弦CD⊥AB于点E,过点C作DB的垂线,交AB的延长线于点G,垂足为点F,连结AC.(1)求证:AC=CG;(2)若CD=8,OG=10,求⊙O的半径.27.如图,某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道,污水水面宽度为30cm,污水深度为50cm,则修理人员应准备的新管道内径为多大?28.如图,矩形ABCD的四个顶点在⊙O上,过O作OE⊥AD于F,交⊙O于E点,连AE、DE(1)求证:AE=DE;(2)若AB=AE=2,求⊙O的半径.29.已知⊙O中ABC为等边三角形,点O在AB上,点A在弦CD上;(1)如图(1)连接OD,OC,在BC上取一点M,使MB=OB,连接OM,求证:OB+BC =CD;(2)如图(2),在(1)的条件下,过O作OE⊥AC于E,若CD=4OB,OE=2,求⊙O半径.30.如图,在⊙O中,直径AB交弦CD于点E,OF⊥CD,垂足为F,AE=1,OE=2,OF =1.求ED,EC的长.31.如图,已知⊙O的半径长为4,弦AB垂直平分半径OC,弦DE∥AB,过点B作AD的平行线交直线DE于点F.(1)当点E,F不重合时,试说明△BEF是等腰三角形.(2)填空:当AD=时,四边形ABFD是菱形.32.如图所示,要把残破的轮片复制完整,已知弧上的三点A,B,C.(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心;(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC是等腰三角形,底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R.33.如图,A、B、C为⊙O上的点,PC过O点,交⊙O于D点,PD=OD,若OB⊥AC于E点.(1)判断A是否是PB的中点,并说明理由;(2)若⊙O半径为8,试求BC的长.34.如图,AB为⊙O直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为弧ABD中点,连接CD,CA.(1)求证:∠ABD=2∠BDC;(2)过点C作CE⊥AB于H,交AD于E,求证:EA=EC;(3)在(2)的条件下,若OH=5,AD=24,求线段DE的长35.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=1时,求线段OD的长;(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.36.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣3,O),C(,O).(1)求⊙M的半径;(2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.37.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,求线段OE 的长.38.如图,AB是⊙O的直径,延长BA到D,使DA=AO,AE垂直于弦AC,垂足为点A,点E在DC上,求S△AEC:S△AOC.39.如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥BC于E,CF⊥AB于F,交AD于G,BE=3,CE =2,且tan∠OBC=1,求四边ABDC的面积.40.如图,⊙O的半径为10cm,G是直径AB上一点,弦CD经过点G,CD=16cm,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求AE﹣BF的值.41.如图,已知⊙O的直径CD垂直于弦AB,∠ACD=22.5°,若CD=6cm,求AB的长.42.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.试探究∠OBA与∠OCD的关系,并说明理由.43.如图,四边形ABCD是矩形,以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F,AB=4,AD=12.求线段EF的长.44.如图,AB是圆O的直径,作半径OA的垂直平分线,交圆O于C、D两点,垂足为H,连接BC、BD.(1)求证:BC=BD;(2)已知CD=6,求圆O的半径长.45.如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD、BC,AB=5,AC =4,求:BD的长.46.如图,AB,CD是⊙O的两条弦,AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,求证:OE =OF.47.如图,点A,B是⊙O上两点,点P是⊙O0上的动点(P与A,B不重合),连接AP,BP,过点O分别作OE⊥AP,OF⊥BP,点E、F分别是垂足.(1)求证:∠OEF+∠OFE=∠P;(2)EF=5,点O到AB的距离为2,求⊙O的半径的长.48.如图,在Rt△A0B中,∠O=90°,OA=6,OB=8,以点O为圆心,OA为半径作圆交AB于点C,求BC的长.49.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于D,交⊙O于E,且AC=6,AB=8,求CE的长.2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷参考答案与试题解析一.填空题(共1小题)1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,弦DE∥CB.若AB=10,CD=6,则DE的长为【分析】设AB与CD交于H,连接OD,作OM⊥DE,交BC于N,作DG⊥BC,根据垂径定理得出CH=DH,DM=EM,BN=CN,利用勾股定理求得OH,即可求得BH,进而求得BC,求得ON,根据三角形函数求得DG,因为MN=DG,即可求得OM,根据勾股定理求得DM,得出DE.【解答】解:设AB与CD交于H,连接OD,作OM⊥DE,交BC于N,作DG⊥BC,∵DE∥BC,∴MN⊥BC,DG⊥DE,∴DG=MN,∵OM⊥DE,ON⊥BC,∴DM=EM=DE,BN=CN,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,弦DE∥CB.∴CH=DH=CD=3,∴OH===4,∴BH=9,∴BC==3,∴BN=BC=,∴ON==,∵sin∠BCH==,即=,∴DG=,∴MN=DG=,∴OM=MN﹣ON=,∴DM==,∴DE=2DM=.故答案为.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.二.解答题(共48小题)2.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.【分析】过O作OF垂直于CD,连接OD,利用垂径定理得到F为CD的中点,由AE+EB 求出直径AB的长,进而确定出半径OA与OD的长,由OA﹣AE求出OE的长,在直角三角形OEF中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长,在直角三角形ODF中,利用勾股定理求出DF的长,由CD=2DF即可求出CD的长.【解答】解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,连接OD,∴F为CD的中点,即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=OE=1,在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF==,则CD=2DF=2.【点评】此题考查了垂径定理,勾股定理,以及含30°直角三角形的性质,利用了转化的思想,熟练掌握定理是解本题的关键.3.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE =4米时,是否要采取紧急措施?【分析】(1)连结OA,利用r表示出OD的长,在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可;(2)连结OA′,在Rt△A′EO中,由勾股定理得出A′E的长,进而可得出A′B′的长,据此可得出结论.【解答】解:(1)连结OA,由题意得:AD=AB=30,OD=(r﹣18)在Rt△ADO中,由勾股定理得:r2=302+(r﹣18)2,解得,r=34;(2)连结OA′,∵OE=OP﹣PE=30,∴在Rt△A′EO中,由勾股定理得:A′E2=A′O2﹣OE2,即:A′E2=342﹣302,解得:A′E=16.∴A′B′=32.∵A′B′=32>30,∴不需要采取紧急措施.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.4.往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB和油的最大深度都为80cm.(1)求油槽的半径OA;(2)从油槽中放出一部分油,当剩下的油面宽度为60cm时,求油面下降的高度.【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理进行解答即可;(2)利用垂径定理和勾股定理进行解答即可.【解答】解:(1)设OA为xcm,根据勾股定理可得:x2=402+(80﹣x)2,解得:x=50,答:油槽的半径OA为50cm,(2)设油面下降的高度为y,根据勾股定理可得:502=302+(80﹣50﹣y)2,解得:y=70或y=﹣10(舍去),答:油面下降的高度为70cm.【点评】此题考查了垂径定理的应用.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.5.已知:如图⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为H,OG⊥BC,垂足为G,求证:弦AD=2OG.【分析】作直径CM,连接BM,DM,AM,根据垂径定理求出CG=BG,根据三角形中位线的性质求出BM=2OG,求出AB∥DM,求出∠BAM=∠AMD即可.【解答】证明:作直径CM,连接BM,DM,AM,∵OG⊥BC,OG过O,∴CG=BG,∵CO=OM,∴BM=2OG,∵CM为⊙O直径,∴∠CDM=90°,∵AB⊥CD,∴∠CHB=90°,∴∠CHB=∠CDM,∴AB∥DM,∴∠BAM=∠AMD,∴AD=BM,∴AD=2OG.【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,三角形的中位线的性质,平行线的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.6.如图,为一圆洞门.工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑,点A、B、C、D在⊙O上,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且AB=2,EF=,=120°.(1)求出圆洞门⊙O的半径;(2)求立柱CE的长度.【分析】(1)作OH⊥AB于H,连接OB、OA.在Rt△BOH中,解直角三角形即可解决问题;(2)作OM⊥EC于M,连接OC.在Rt△OMC中,解直角三角形即可;【解答】解:(1)作OH⊥AB于H,连接OB、OA.∵的度数为120°,AO=BO,∴∠BOH=×120°=60°,∴AH=BH=,在Rt△BOH中,sin∠BOH=,∴OB=2,即圆洞门⊙O的半径为2;(2)作OM⊥EC于M,连接OC.∵Rt△BOH中,OH=1,∵EH=,易证四边形OMEH是矩形,∴OM=EH=,ME=OH=1,在Rt△OMC中,CM==,∴CE=ME+CM=1+=,∴立柱CE的长度为.【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.7.如图,在⊙O中,DE是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm,CD=2cm(1)求⊙O的面积;(2)连接AE,过圆心O向AE作垂线,垂足为F,求OF的长.【分析】(1)连接OA,根据AB=8cm,CD=2cm,C为AB的中点,设半径为r,由勾股定理列式即可求出r,进而求出面积.(2)在Rt△ACE中,已知AC、EC的长度,可求得AE的长,根据垂径定理可知:OF ⊥AE,FE=F A,利用勾股定理求出OF的长.【解答】解:(1)连接OA,如图1所示∵C为AB的中点,AB=8cm,∴AC=4cm又∵CD=2cm设⊙O的半径为r,则(r﹣2)2+42=r2解得:r=5∴S=πr2=π×25=25π(2)OC=OD﹣CD=5﹣2=3EC=EO+OC=5+3=8∴EA===4∴EF===2∴OF===【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理,作出辅助线是解题的关键.8.如图,⊙O的半径为5,弦AB⊥CD于E,AB=CD=8.(1)求证:AC=BD;(2)若OF⊥CD于F,OG⊥AB于G,试说明四边形OFEG是正方形.【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断=,再得到=,从而判断AC=BD;(2)先证明四边形OFEG为矩形,连结OA、OD,如图,再根据垂径定理得到CF=DF,AG=BG,则利用CD=AB得到AG=DF,然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG 是正方形;【解答】(1)证明:∵AB=CD,∴=,∴﹣=﹣,即=,∴AC=BD(2)四边形OFEG是正方形理由如下:如图,连接OA、OD.∵AB⊥CD,OF⊥CD,OG⊥AB,∴∠GEF=∠OFE=∠OGE=90°∴四边形OFEG是矩形,,.∵AB=CD,∴DF=AG.∵OD=OA,∴在Rt△OFD与Rt△OGA中,∴Rt△OFD≌Rt△OGA(HL),∴OF=OG.∴矩形OFEG是正方形.【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系;掌握正方形的判定方法.9.如图,已知AB是圆O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA=30°,OE=4,DE=5,求弦CD及圆O的半径长.【分析】过点O作OM⊥CD于点M,联结OD,根据垂径定理解答即可.【解答】解:过点O作OM⊥CD于点M,联结OD,∵∠CEA=30°,∴∠OEM=∠CEA=30°,在Rt△OEM中,∵OE=4,∴,,∵,∴,∵OM过圆心,OM⊥CD,∴CD=2DM,∴,∵,∴在Rt△DOM中,,∴弦CD的长为,⊙O的半径长为.【点评】此题考查了垂径定理和直角三角形.有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究,所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法.10.如图,已知OC是⊙O半径,点P在⊙O的直径BA的延长线上,且OC⊥PC,垂足为C.弦CD垂直平分半径AO,垂足为E,P A=6.求:(1)⊙O的半径;(2)求弦CD的长.【分析】(1)设OC=x,证明△CEO∽△PCO,得,代入x可得结论;(2)由勾股定理得CE的长,根据垂径定理可得CD的长.【解答】解:(1)设OC=x,∵弦CD垂直平分半径AO,∴OE=OA=x,∵PC⊥OC,CD⊥OP,∴∠PCO=∠CEO=90°,∴∠P+∠COP=90°,∠ECO+∠COP=90°,∴∠P=∠ECO,∴△CEO∽△PCO,∴,∴=,x=6则⊙O的半径为6;(2)由(1)得:OC=6,OE=3,由勾股定理得:CE==3,∵CD⊥OA,∴CD=2CE=6.【点评】本题考查了垂径定理,线段垂直平分线的性质,相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.11.如图所示,射线AM交一圆于点B,C,射线AN交该圆于点D,F,且BC=DE,求证:AC=AE.【分析】作OP⊥AC于P,OQ⊥AE于Q,连接OB、OD、OA,根据垂径定理得出PB =DQ,PC=QE,根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD,RT△OP A≌RT△OQA,得出AP =AQ,进而即可证得结论.【解答】证明:作OP⊥AC于P,OQ⊥AE于Q,连接OB、OD、OA,则PB=BC,DQ=DE,∵BC=DE,∴PB=DQ,PC=QE,在RT△OPB和RT△OQD中,,∴RT△OPB≌RT△OQD(HL),∴OP=OQ,在RT△OP A和RT△OQA中,,∴RT△OP A≌RT△OQA(HL),∴AP=AQ,∴AP+PC=AQ+QE,即AC=AE.【点评】本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.12.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,且PD∥CB,弦PB与CD交于点F(1)求证:FC=FB;(2)若CD=24,BE=8,求⊙O的直径.【分析】(1)根据两平行弦所夹的弧相等,得到=,然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边,可以证明FC=FB.(2)连接OC,在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径,然后求出直径.【解答】(1)证明:∵PD∥CB,∴=,∴∠FBC=∠FCB,∴FC=FB.(2)解:如图:连接OC,设圆的半径为r,在Rt△OCE中,OC=r,OE=r﹣8,CE=12,∴r2=(r﹣8)2+122,解方程得:r=13.所以⊙O的直径为26.【点评】本题考查的是垂径定理,(1)题根据平行弦所夹的弧相等,等弧所对的圆周角相等,等角对等边,可以证明两条线段相等.(2)题根据垂径定理得到CE=12,然后在直角三角形中用勾股定理求出半径,再确定圆的直径.13.如图,AB为圆O的直径,CD为弦,AM⊥CD于M,BN⊥CD于N.(1)求证:CM=DN.(2)若AB=10,CD=8,求BN﹣AM的值.【分析】(1)过O作OF⊥CD于F,根据平行线分线段成比例定理得到MF=NF,根据垂径定理得到CF=FD,结合图形计算即可;(2)连结OD,根据勾股定理求出OF,设OE=x,根据相似三角形的性质列式计算即可.【解答】(1)证明:过O作OF⊥CD于F,∵AM⊥CD于M,BN⊥CD于N,∴AM∥FO∥NB,∵OA=OB,∴MF=NF,∵OF⊥CD,O为圆心,∴CF=FD,∴CF﹣MF=FD﹣FN,即MC=ND;(2)解:连结OD,∵AB=10,CD=8,∴OD=5,FD=4,∴OF=3,设OE=x,则EB=x+5,AE=5﹣x,∵NB∥FO,∴△EBN∽△EOF,∴=,即BN:3=(5+x):x,∴BN=,①∵MA∥FO,∴△AME∽△OFE,∴AM:3=(5﹣x):x,∴AM=②两式相减即可得到,BN﹣AM=6.【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质,掌握垂径定理是解题的关键.14.如图,在半径为5的四分之一圆中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=6时,求线段OD的长;(2)连接AB,求DE的长.【分析】(1)如图(1),根据垂径定理可得BD=BC,然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长;(2)如图(2),用勾股定理可求出AB的长,根据垂径定理可得D和E分别是线段BC 和AC的中点,根据三角形中位线定理就可得到DE=AB,可得DE的长.【解答】解:(1)如图(1),∵OD⊥BC,∴BD=BC=×6=3,∵∠BDO=90°,OB=5,BD=3,∴OD==4,即线段OD的长为4.(2)如图(2),∵∠AOB=90°,OA=OB=5,∴AB==5,∵OD⊥BC,OE⊥AC,∴D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=AB=.【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识,运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第(2)小题的关键.15.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB 为半径的圆交AB于点D,求BD的长.【分析】连接DC,过点C作CE⊥BD交BD于点E,根据三角形内角和定理求出∠B,根据直角三角形的性质求出CE,根据勾股定理求出BE,根据垂径定理计算.【解答】解:连接DC,过点C作CE⊥BD交BD于点E,则DE=EB,∠B=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=180°﹣130°﹣20°=30°,∴CE=BC=1,由勾股定理得,BE==,∴BD=2BE=2.【点评】本题考查的是垂径定理,勾股定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.16.如图,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,AE=BF,请找出线段OE 与OF的数量关系,并给予证明.【分析】过点O作OH⊥AB于点H,根据垂径定理得到OE=OF即可.【解答】解:OE=OF理由如下:过点O作OH⊥AB于点H,∵OH过圆心,OH⊥AB∴AH=BH,又∵AE=BF∴AH﹣AE=BH﹣BE即EH=FH,∵EH=FH,OH⊥EF∴OH垂直平分EF,∴OE=OF.【点评】本题主要考查了垂径定理,关键是根据圆的性质,垂径定理等知识的综合应用及推理论证能力.17.已知AB为⊙O的弦,C、D在AB上,且AC=CD=DB,求证:∠AOC=∠DOB.【分析】先根据等腰三角形的性质由OA=OB得到∠A=∠B,再利用“SAS”证明△OAC ≌△OBD,然后根据全等三角形的性质得到结论.【解答】证明:∵OA=OB,∴∠A=∠B,在△OAC和△OBD中,,∴△OAC≌△OBD(SAS),∴∠AOC=∠DOB【点评】本题考查了圆的认识:掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了全等三角形的判定与性质.18.已知:如图,OA=OB,AB交⊙O于C、D两点,求证:AC=BD.【分析】过点O作OE⊥AB,由等腰三角形的性质可知AE=BE,再由垂径定理可知CE =DE,故可得出结论.【解答】证明:过点O作OE⊥AB,∵OA=OB,∴AE=BE,又∵在⊙O中,∴CE=DE,∴AC=BD.【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,利用垂径定理求解是解答此题的关键.19.已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.【分析】(1)过O作OE⊥AB,根据垂径定理得到AE=BE,CE=DE,从而得到AC=BD;(2)由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,再根据勾股定理求出CE及AE的长,根据AC=AE﹣CE即可得出结论.【解答】(1)证明:过O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,AE=BE,∴BE﹣DE=AE﹣CE,即AC=BD;(2)解:由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,连接OC,OA,∴OE=6,∴CE===2,AE===8,∴AC=AE﹣CE=8﹣2.【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.20.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD.(1)求证:AD=AN;(2)若AE=,ON=1,求⊙O的半径.【分析】(1)先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD,再由直角三角形的性质得出∠ANE =∠CNM,故可得出∠BCD=∠BAM,由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE,故可得出结论;(2)先根据AE的长,设NE=x,则OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1,连结AO,则AO=OD=2x﹣1,在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值,进而得出结论;【解答】(1)证明:∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,∴∠BAD=∠BCD,∵AE⊥CD,AM⊥BC,∴∠AMC=∠AEN=90°,∵∠ANE=∠CNM,∴∠BCD=∠BAM,∴∠BAM=BAD,在△ANE与△ADE中,,∴△ANE≌△ADE,∴AD=AN;(2)∵AE=2,AE⊥CD,又∵ON=1,∴设NE=x,则OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1连结AO,则AO=OD=2x﹣1,∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x﹣1,AO=2x﹣1,∴(2)2+(x﹣1)2=(2x﹣1)2,解得x=2,∴r=2x﹣1=3;【点评】本题考查的是垂径定理,勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.21.如图,AB为⊙O上,过点O作OD⊥BC于点E,交⊙O于点D,CD∥AB.(1)求证:E为OD的中点;(2)若CB=6,求四边形CAOD的面积.【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可;(2)根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可.【解答】证明:(1)在⊙O中,OD⊥BC于E,∴CE=BE,∵CD∥AB,∴∠DCE=∠B,在△DCE与△OBE中,∴△DCE≌△OBE(ASA),∴DE=OE,∴E是OD的中点;(2)连接OC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵OD⊥BC,∴∠CED═90°=∠ACB,∴AC∥OD,∵CD∥AB,∴四边形CAOD是平行四边形,∵E是OD的中点,CE⊥OD,∴OC=CD,∵OC=OD,∴OC=OD=CD,∴△OCD是等边三角形,∴∠D=60°,∴∠DCE=90°﹣∠D=30°,∴在Rt△CDE中,CD=2DE,∵BC=6,∴CE=BE=3,∵CE2+DE2=CD2=4DE2,∴DE=,CD=2,∴OD=CD=2,∴四边形CAOD的面积=OD•CE=6.【点评】本题考查了垂径定理,关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答.22.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为△ABC角平分线的交点,以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G.(1)求证:CD=EF;(2)若⊙O的半径为4,AE=2,求AB的长.【分析】(1)作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,OH⊥CG于G,连接OE、OD,根据角的平分线的性质得出OE=OD=OC,进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND得出ME =ND,然后根据垂径定理即可证得结论;(2)根据角平分线的性质,得出OM=ON=OH,进一步证得四边形ONCH是正方形,证得OM=ON=OH=CD=EF=CG,进而证得OH=CD=2,EF=CD=CG=4,AC=6,设BM=BH=x,则BC=x+2,AB=x+4,然后根据勾股定理列出方程,求得即可.【解答】(1)证明:作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,OH⊥CG于G,连接OE、OD,∵点O为△ABC的角平分线交点,∴OM=ON,∵OE=OD=OC,∴RT△OME≌RT△OND(HL),∴ME=ND,∵EF=2ME,CD=2ND,∴CD=EF;(2)解:由(1)可知CD=EF=CG,∵点O为△ABC的角平分线交点,∴OM=ON=OH,∵∠ACB=90°,∴四边形ONCH是正方形,∴OM=ON=OH=CD=EF=CG,∵OC=4,∴OH=OC=4,∴EF=CD=CG=8,易证得AM=AN=6,BM=BH,∴AC=10,设BM=BH=x,则BC=x+4,AB=x+6,∵∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2,即(6+x)2=102+(4+x)2,解得x=20,∴BM=20,∴AB=AM+BM=20+6=26.【点评】本题考查了角平分线的性质和垂径定理,熟练掌握垂径定理和角平分线的性质是解题的关键.23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB与点D,以A为圆心,AD长为半径画弧,交边AC于点E,连接CD.(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数;(2)设BC=a,AC=b.①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗?为什么?②若AD=EC,求的值.【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠B,根据等腰三角形的性质求出∠BCD,计算即可;(2)①根据勾股定理求出AD,利用求根公式解方程,比较即可;②根据勾股定理列出算式,计算即可.【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°,∴∠B=62°,∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=59°,∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°;(2)①由勾股定理得,AB=,∴,解方程x2+2ax﹣b2=0得,x=,∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根;②∵AD=AE,∴AE=EC=,由勾股定理得,a2+b2=,整理得,.【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.24.如图,⊙O的两条弦AB∥CD(AB不是直径),点E为AB中点,连结EC,ED (1)直线EO与AB垂直吗?请说明理由;(2)求证:EC=ED.【分析】(1)连接EO,根据垂径定理得出即可;(2)根据垂径定理求出CF=DF,根据线段垂直平分线性质得出即可.))【解答】(1)解:直线EO与AB垂直,理由是:连接OE,并延长交CD于F,∵EO过O,E为AB的中点,∴EO⊥AB;(2)证明:∵EO⊥AB,AB∥CD,∴EF⊥CD,∵EF过O,∴CF=DF,∴EC=ED.【点评】本题考查了垂径定理和线段垂直平分线的性质,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.25.如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,13为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D,连结OA,且OA∥PE.(1)求证:AP=AO;(2)若弦AB=24,求OP的长.【分析】(1)由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO,由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP,从而有∠APO=∠AOP,则有AP=AO.(2)过点O作OH⊥AB于H,如图.根据垂径定理可得AH=BH=12,从而可求出PH,在Rt△AHO中,运用勾股定理可求出OH的长,从而进一步可得OP的长.【解答】(1)证明:如图,∵PG平分∠EPF,∴∠CPO=∠APO.∵AO∥PE,∴∠CPO=∠AOP,∴∠APO=∠AOP,∴AP=AO.(2)解:过点O作OH⊥AB于H,如图.根据垂径定理可得AH=BH=AB=12,∴PH=P A+AH=AO+AH=13+12=25.在Rt△AHO中,OH===5,由勾股定理得:OP====5.则OP的长为5.【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识,综合性比较强.26.如图,AB是⊙O直径,弦CD⊥AB于点E,过点C作DB的垂线,交AB的延长线于点G,垂足为点F,连结AC.(1)求证:AC=CG;(2)若CD=8,OG=10,求⊙O的半径.【分析】(1)想办法证明∠A=∠G即可解决问题.(2)设⊙O的半径为r.则AG=OA+OG=r+10,在Rt△OEC中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【解答】(1)证明:∵DF⊥CG,CD⊥AB,∴∠DEB=∠BFG=90°,∵∠DBE=∠GBF,∴∠D=∠G,∵∠A=∠D,∴∠A=∠G,∴AC=CG.(2)解:设⊙O的半径为r.则AG=OA+OG=r+10,∵CA=CG,CD⊥AB,∴AE=EG=,EC=ED=4,∴OE=AE﹣OA=,在Rt△OEC中,∵OC2=OE2+EC2,∴r2=()2+42,解得r=或(舍弃),∴⊙O的半径为.【点评】本题考查垂径定理,勾股定理,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.27.如图,某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道,污水水面宽度为30cm,污水深度为50cm,则修理人员应准备的新管道内径为多大?【分析】连接OC,OA,根据C为AB中点可知OC⊥AB,AC=AB,设圆形管道的半径为r,则OC=50﹣r,再根据勾股定理求出r的值即可.【解答】解:连接OC,OA,∵污水面宽AB=30m,C为AB中点,∴OC⊥AB,AC=AB=15cm.∵C点距管道底部的距离为50cm,∴OC=50﹣r,在Rt△OAC中,∵AC2+OC2=OA2,即152+(50﹣r)2=r2,解得r=27.25(cm),∴圆形管道的直径=2r=54.5cm.答:圆形管道的直径为54.5cm.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.28.如图,矩形ABCD的四个顶点在⊙O上,过O作OE⊥AD于F,交⊙O于E点,连AE、DE(1)求证:AE=DE;(2)若AB=AE=2,求⊙O的半径.【分析】(1)根据垂径定理即可证得;(2)延长EO交⊙O于H,连接BH,从而证得四边形ABHE是等腰梯形,根据直径所对的圆周角是直角证得∠EAH=90°,然后通过等腰三角形和平行线的性质即可证得∠AHE=30°,根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得直径,于是得到结论.【解答】(1)证明:∵OE是⊙O的半径,OE⊥AD,∴OE平分AD,∴AE=DE;(2)解:如图,延长EO交⊙O于H,连接BH∵AB⊥AD,OE⊥AD,∴AB∥EH,∴BH=AE,∠BAH=∠AHE,∵AB=AE=2,∴AB=AE=BH=2,∴四边形ABHE是等腰梯形,∴∠AEH=∠BHE,连接AH,∵EH是直径,∴∠EAH=90°,∵AB=BH,∴∠BAH=∠AHE,∴∠BHA=∠AHE,设∠BHA=∠AHE=∠BAH=x,∴∠AEH=2x,∵∠EAB+∠AEH=180°,∴x+90°+2x=180°,解得x=30°,∴∠AHE=30°,∴EH=2AE=2×2=4,∴⊙O的半径=2.【点评】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角的性质,等腰梯形的判定和性质,平行线的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半的性质等,作出辅助线构建等腰梯形以及直角三角形是关键.29.已知⊙O中ABC为等边三角形,点O在AB上,点A在弦CD上;。
24.1.2垂直于弦的直径 练习
24.1.2垂直于弦的直径一.选择题1.如图,⊙O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为点E,若OE=3,则AB的长是()A.4 B.6 C.8 D.102.如图,圆O过点A、B,圆心O在正△ABC的内部,AB=2,OC=1,则圆O的半径为()A.B.2 C.D.3.已知⊙O的半径为4,则垂直平分这条半径的弦长是()A.B.C.4 D.4.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是()A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<55.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,下列结论不一定成立的是()A.CM=DM B.C.∠BOD=2∠A D.OM=MB6.⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为()A.1cm B.7cm C.3cm或4cm D.1cm或7cm二.填空题7.如图,AB是⊙O的直径,AB=4,点M是OA的中点,过点M的直线与⊙O交于C,D两点.若∠CMA=45°,则弦CD的长为.8.如图,⊙O的半径是4,△ABC是⊙O的内接三角形,过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线,垂足为E、F、G,连接EF.若OG﹦1,则EF为.9.如图,⊙O的半径为5,弦BC=8,点A在⊙O上,AO⊥BC,垂足为D、E为BC延长线上一点,AE=10,则CE的长为.10.如图,在半径为2的⊙O中,弦AB=2,⊙O上存在点C,使得弦AC=2,则∠BOC= °.三.解答题11.如图,AB为⊙O的弦,AB=8,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,求⊙O的半径.12.已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且OE=OF.求证:AE=BF.参考答案一.选择题1.C;2.D;3.B;4.B;5.D;6.D;二.填空题7.;8.;9.2;10.30°或150°;三.解答题11.解:如图:连接OA,由OC⊥AB于D,得:AD=DB=1 2 AB=4.设⊙O的半径为r,在Rt△OAD中,OA2=AD2+OD2 ∴r2=(r-1)2+42整理得:2r=1712.证明:如图,过点O作OM⊥AB于点M,则AM=BM.又∵OE=OF∴EM=FM,∴AE=BF.。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径同步测试及答案
24.1.2 垂直于弦的直径1.下列命题错误的是( B )A .平分弧的直径平分这条弧所对的弦B .平分弦的弦垂直于这条弦C .垂直于弦的直径平分这条弦D .弦的中垂线经过圆心2.如图24-1-13,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为P ,若CD =8,OP =3,则⊙O 的半径为( C )图24-1-13A .10B .8C .5D .33.如图24-1-14,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为M ,下列结论不成立的是( D )图24-1-14 A .CM =DM B.CB ︵=DB ︵C .∠ACD =∠ADC D .OM =MD【解析】∵AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为M ,∴M 为CD 的中点,即CM =DM ,选项A 成立;B 为CD ︵的中点,即CB ︵=DB ︵,选项B 成立;在△ACM 和△ADM 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AM =AM ,∠AMC =∠AMD =90°,CM =DM ,∴△ACM ≌△ADM (SAS),∴∠ACD =∠ADC ,选项C 成立;而OM 与MD 不一定相等,选项D 不成立. -1-15,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C .若AB =23,OC =1,则半径OB 的长为__2__.15【解析】 ∵AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ,AB =23,∴BC =12AB = 3.∵OC =1,∴在Rt △OBC 中,OB =OC 2+BC 2=12+(3)2=2.5.如图24-1-16,在⊙O 中,直径AB ⊥弦CD 于点M ,AM =18,BM =8,则CD 的长为__24__.【解析】 如图,连接OD ,∵AM =18,BM =8,∴OD =AM +BM 2=18+82=13,∴OM =13-8=5. 在Rt △ODM 中,DM =OD 2-OM 2=132-52=12,∵直径AB 丄弦CD ,∴CD =2DM =2×12=24.第56.如图24-1-17,在半径为13的⊙O 中,OC 垂直弦AB 于点D ,交⊙O 于点C ,AB =24,则.图24-17第6题答图【解析】 如图,连接OA ,∵OC ⊥AB ,AB =24,∴AD =12AB =12. 在Rt △AOD 中,∵OA =13,AD =12,∴OD =OA 2-AD 2=132-122=5,∴CD =OC -OD =13-5=8.7.如图24-1-18,AB 是⊙O 的弦,AB 长为8,P 是⊙O 上一个动点(不与A ,B 重合),过点O ,OD ⊥PB 于点D ,则CD 的长为__4__.【解析】 ∵OC ⊥AP ,OD ⊥PB ,∴由垂径定理得AC =PC ,PD =BD ,∴CD 是△APB 的中位线,∴CD =12AB =12×8=4. 8.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm ,测得钢珠顶端离零件,如图24-1-19所示,则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__8__mm.第8题答图【解析】如图,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD.∵钢珠的直径是10 mm,∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,∴OD=3 mm.在Rt△AOD中,∵AD=OA2-OD2=52-32=4(mm),∴AB=2AD=2×4=8(mm).9.如图24-1-20所示,AB是⊙O的弦(非直径),C,D是AB上的两点,并且AC=BD.求证:OC=OD.图24-1-20第9题答图证明:如图,过O作OE⊥AB于E,则AE=BE,又∵AC=BD,∴CE=DE,∴OE是CD的中垂线,∴OC=OD.10.绍兴是著名的桥乡,如图24-1-21,圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC 为5 m,则水面宽AB为(D)图24-1-21A.4 m B.5 mC.6 m D.8 m11.如图24-1-22,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=22,BD=3,则AB的长为(B)图24-1-22A.2 B.3C.4 D.5【解析】连接OD.∵直径AB⊥CD于H,∴DH=12CD=12×22= 2.在Rt△BDH中,BH=BD2-DH2=(3)2-(2)2=1.设⊙O的半径为R,则在Rt△ODH中,OH2+DH2=OD2,∴(R -1)2+(2)2=R 2,∴2R =3,故选B.12.[2013·吉林]如图24-1-23,AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于点C ,连接OA ,OB .点P 是半径OB 上任意一点,连接AP .若OA =5 cm ,OC =3 cm ,则AP 的长度可能是__答案不唯一,5≤AP ≤8__cm(写出一个符合条件的数值即可).图24-1-2313.如图24-1-24,两个圆都以点O 为圆心.求证:AC =BD .图24-1-24第13题答图证明:过点O 作OE ⊥AB 于E ,在小⊙O 中,∵OE ⊥AB ,∴EC =ED ,在大⊙O 中,∵OE ⊥AB ,∴EA =EB ,∴AC =BD .14.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为了更换管道,需要确定管道圆形截面的半径,图24-1-25是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB =16 cm ,水面最深地方的高度为4 cm ,求这个圆形截面的半径.图24-1-25第14题答图解:(1)作出图形,如图所示;(2)如图,过O 作OC ⊥AB 于D ,交弧AB 于C ,连接OB ,∵OC ⊥AB ,∴BD =12AB =12×16=8(cm). 由题意可知CD =4 cm.设这个圆形截面的半径为x cm,则OD=(x-4)cm.在Rt△BOD中,由勾股定理得OD2+BD2=OB2,即(x-4)2+82=x2,解得x=10,∴这个圆形截面的半径为10 cm.15.如图24-1-26,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF两边相交于A,B和C,D,连接OA,此时有OA∥PE.(1)求证:AP=AO;(2)若弦AB=102,求点O到直线PF的距离;(3)若以图中已标明的点(即P,A,B,C,D,O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为第15题答图解:(1)∵PG平分∠EPF,∴∠DPO=∠BPO.∵OA∥PE,∴∠DPO=∠POA,∴∠BPO=∠POA,∴AP=AO.(2)如图,过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB,∵AB=102,∴AH=52∵OA=10,∴OH=OA2-AH2=102-(52)2=5 2.(3)P,A,O,C A,B,D,C或P,A,O,D或P,C,O,B。
24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习 2021-2022学年人教版数学九年级上册(含答案)
24.1.2 垂直于弦的直径一、单选题1.如图,破残的轮子上,弓形的弦AB 为4m ,高CD 为1m ,则这个轮子的半径长为( )A mBC .5mD .52m 2.学习圆的性质后,小铭与小熹就讨论起来,小铭说:“被直径平分的弦也与直径垂直”,小熹说:“用反例就能说明这是假命题” .下列判断正确的是( )A .两人说的都对B .小铭说的对,小燕说的反例不存在C .两人说的都不对D .小铭说的不对,小熹说的反例存在 3.P 为⊙O 内一点,3OP =,⊙O 半径为5,则经过P 点的最短弦长为( ) A .5 B .6 C .8 D .104.在O 中,直径10AB =,弦DE AB ⊥于点C ,若:4:5OC OA =,则ODE 的周长为( )A .13B .14C .15D .165.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,6AB =,以点C 为圆心,BC 为半径的圆与AB 相交于点D ,则AD 的长为( )A .2B .C .3D .6.往水平放置的半径为13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后,截面图如图所示,若水面宽度24cm AB =,则水的最大深度为( )A .5cmB .8cmC .10cmD .12cm7.如图,O 是Rt ABC △的外接圆,OE AB ⊥交O 于点E ,垂足为点D ,AE ,CB 的延长线交于点F .若3OD =,8AB =,则FC 的长是( )A .10B .8C .6D .48.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A ,B 两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米,16AB =厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟,则“图上”太阳升起的速度为( ).A .1.0厘米/分B .0.8厘米分C .12厘米/分D .1.4厘米/分9.点P 是O 内一点,过点P 的最长弦的长为10cm ,最短弦的长为6cm ,则OP 的长为( )A .3cmB .4cmC .5cmD .6cm10.如图,在O 中,弦//AB CD ,OP CD ⊥,OM MN =,18AB =,12CD =,则O 的半径为( )A.4 B .C .D .11.如图,O 的直径CD 为26,弦AB 的长为24,且AB CD ⊥,垂足为M ,则CM 的长为( )A .25B .8C .5D .1312.如图,武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m 的圆弧,桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB 长度为300m ,那么这些钢索中最长的一根为( )A .50mB .45mC .40mD .60m二、填空题 13.小明很喜欢钻研问题,一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在园的半径,小明连接瓦片弧线两端AB ,量的弧AB 的中心C 到AB 的距离CD =1.6cm ,AB =6.4cm ,很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm .14.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”,其卷九勾股篇记载:今有圆材埋于壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?如图,大意是,今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深CD等于1寸,锯道AB长1尺,问圆形木材的直径是多少?(1尺=10寸)答:圆形木材的直径___________寸;15.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=12m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为_____m.16.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=2m,水面宽AB=2.4m,某天下雨后,水管水面上升了0.4m,则此时排水管水面宽CD等于_____m.17.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,彰显了我国古代劳动人民的智慧,如图1,点P表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时,盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心,5m 为半径的圆,且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦AB长为8m,则筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为_____m.三、解答题18.如图:O内一点p,求作:O中经过点P的最短弦AB.19.如图,一宽为2cm的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切于点C时,另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm)求该圆的半径.20.如图,已知AB是O的直径,CD⊙AB,垂足为点E,如果BE=OE,AB=10cm,求⊙ACD 的周长.21.如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为16m,拱高CD为4m.(1)求拱桥的半径;(2)有一艘宽为10m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面2m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由.22.如图所示,某地欲搭建一座圆弧型拱桥,跨度AB=32米,拱高CD=8米(C为AB的中点,D为弧AB的中点).(1)求该圆弧所在圆的半径;(2)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑,求桥墩的高度.参考答案1.D解:连接OB,如图所示:由题意得:OC⊙AB,⊙AD=BD=12AB=2(m),在Rt⊙OBD中,根据勾股定理得:OD2+BD2=OB2,即(OB﹣1)2+22=OB2,解得:OB=52(m),即这个轮子的半径长为52 m,故选:D.2.D解:由垂径定理的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”可知:小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件,因为一个圆中的任意两条直径都互相平分,但不垂直,所以小铭说法错误,小熹所说的反例即为两条直径的情况下;故选D.3.C解:在过点P的所有⊙O的弦中,如图,当弦与OP垂直时,弦最短,此时4CP=,得其半弦长为4,则弦长是8,4.D解::4:5OC OA =,54OA OC ∴=, 又1110522OA AB ==⨯=, 4OC ∴=,在Rt DCO 中,3DC =,又OA 为半径且OA DE ⊥,3,26DC CE DE DC ∴====,ODE ∴的周长为:55616OD OE DE ++=++=, 故选:D .5.C解:过C 点作CH ⊙AB 于H 点,如下图所示:⊙⊙ACB =90°,⊙A =30°,⊙⊙ABC 、⊙CBH 均为30°、60°、90°直角三角形,其三边之比为2, Rt⊙ABC 中,132BC AB ==, Rt⊙BCH 中,1322BH BC ==, 由垂径定理可知:32DH BH , ⊙2633ADAB BH ,6.B解:连接OA ,过点O 作OD ⊙AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ,⊙OC ⊙AB ,由垂径定理可知,⊙AC =CB =12AB=12,在Rt⊙AOC 中,由勾股定理可知: ⊙222213125OC OA AC ,⊙()1358CD OD OC cm =-=-=,故选:B .7.A解:,8OE AB AB ⊥=,142AD AB ∴==, 3OD =,5OA ∴,5OE ∴=,OE AB ⊥,90A ADO BC =︒∠∴∠=, //OE FC ∴,又OA OC =,OE ∴是ACF 的中位线,210FC OE ∴==,故选:A .8.A解:过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C,交⊙O于D,连接OA,⊙AC=12AB=12×16=8(厘米),在Rt⊙AOC中,6OC=(厘米),⊙CD=OC+OD=16(厘米),⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟,⊙16÷16=1(厘米/分).⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分.故选:A.9.B解:如图所示,CD⊙AB于点P.根据题意,得AB=10cm,CD=6cm.⊙OC=5,CP=3⊙CD⊙AB,⊙CP=12CD=3cm.根据勾股定理,得OP.故选B.10.C解:连接OA,OC,⊙//AB CD ,OP CD ⊥,⊙OP AB ⊥,⊙18AB =,12CD =,⊙CN =6,AM =9,设O 的半径为x ,⊙OM MN =,=x =-,经检验是方程的根,且符合题意,⊙O 的半径为故选C .11.B解:连接OA .⊙直径CD AB ⊥,24AB =, ⊙1122AM BM AB ===, 在Rt AOM 中,13OA =,12AM =,根据勾股定理得:5OM .则1358CM OC OM =-=-=.故选:B .12.A解:设圆弧的圆心为O ,过O 作OC ⊙AB 于C ,交AB 于D ,连接OA ,如图所示: 则OA =OD =250,AC =BC =12AB =150,⊙OC 200(m ),⊙CD =OD ﹣OC =250﹣200=50(m ),即这些钢索中最长的一根为50m ,故选:A .13.4解:如图,连接OA ,⊙CD 是弦AB 的垂直平分线, ⊙1 3.22AD AB ==, 设圆的半径是r .在直角⊙ADO 中, 3.2 1.6AO r AD DO r ===-,, .根据勾股定理得,()2223.2 1.6r r =+- , ⊙4r =故答案为:414.26解:延长DC ,交⊙O 于点E ,连接OA ,如图所示:由题意得CD ⊙AB ,点C 为AB 的中点,1CD =寸,10AB =寸,⊙DE 为⊙O 的直径,⊙5AC =寸,设OA =x 寸,则()1OC x =-寸,⊙在Rt ⊙AOC 中,222AC OC OA +=,即()22251x x +-=,解得:13x =,⊙圆形木材的直径为26寸;故答案为26.15.2解:⊙CD 是中间柱,⊙AC BC =,⊙OC ⊙AB ,⊙AD =BD =12AB =12×12=6(m ),在Rt⊙AOD 中,由勾股定理得:OD 8(m ),⊙CD =OC ﹣OD =10﹣8=2(m ).故答案为:2.解:如图:连结OC,过O作OE⊙AB,交CD于F,垂足为E,⊙AB=2.4m,OE⊙AB,OA=2m,⊙AE=1.2m,⊙ 1.6=m,⊙水管水面上升了0.4m,⊙OF=1.6﹣0.4=1.2m,⊙CF 1.6=m,⊙CD=3.2m.故答案为:3.2.17.2解:过O点作半径OD⊙AB于E,如图,⊙AE=BE=12AB=12×8=4,在Rt⊙AEO中,OE3,⊙ED=OD﹣OE=5﹣3=2(m),答:筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为2m.故答案为:2.解:如图所示:线段AB即为所求O中经过点P的最短弦AB.19.圆的半径为134cm解:连接OC,交AB于E,由切线性质可得OC垂直于直尺两边,且CE=2,⊙AB=8﹣2=6cm,OE⊙AB,⊙BE=12AB=12×6=3cm,设OB=r,⊙(r﹣2)2+9=r2解得r=134,⊙该圆的半径为134cm.20.解:连接OC.⊙AB是O的直径,CD⊙AB,⊙12CE DE CD==.⊙AB=10cm,⊙AO=BO=CO=5cm.⊙BE=OE,⊙1522BE OE OB===cm,5151022AE AB BE=-=-=cm.在Rt⊙COE中,⊙CD⊙AB,⊙OE2+CE2=OC2.⊙CE==.⊙DE=CE=.⊙2CD CE==.在Rt⊙ACE中⊙222AE CE AC+=⊙AC==cm.在Rt⊙ADE中⊙222AE DE AD+=⊙AD=⊙⊙ACD的周长=AD+DC+AC=.21.(1)10米;(2)能,理由见解析解:(1)如图,连接ON,OB.⊙OC⊙AB,⊙D为AB中点,⊙AB=16m,⊙BD=1AB=8m.2又⊙CD=4m,设OB=OC=ON=r,则OD=(r-4)m.在Rt⊙BOD中,根据勾股定理得:r2=(r-4)2+82,解得r=10,即拱桥的半径为10m;(2)⊙CD=4m,船舱顶部为长方形并高出水面2m,⊙CE=4-2=2m,⊙OE=r-CE=10-2=8m,在Rt⊙OEN中,EN=m,⊙MN=2EN=12m>10m,⊙此货船能顺利通过这座拱桥.22.(1)20米;(2)4米解:(1)设弧AB所在的圆心为O,C为弧AB的中点,CD⊙AB于D,延长CD经过O点,设⊙O的半径为R,在Rt⊙OBD中,OB2=OD2+DB2,⊙R2=(R﹣8)2+162,解得R=20;(2)在圆弧型中设点F′在弧AB上,作F′E′⊙AB于E′,OH⊙F′E′于H,则OH=DE′=16﹣4=12,OF′=R=20,在Rt⊙OHF′中,HF′16,⊙HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12,E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4(米),⊙在离桥的一端4米处,圆弧型桥墩高4米.。
人教版九年级数学上24.1.2垂直于弦的直径同步练习卷含答案
()
A. B.2
C. D.3
9.如图,半径为 3 的⊙O 内有一点 A,OA= ,点 P 在⊙O 上,当∠OPA最大时,PA的长等于
()
A. B. C.3 D.2 10.已知⊙O 的直径 CD=10cm,ABA. cm B. cm C. cm或 cm D. cm或 cm 11.已知⊙O 的面积为 2π,则其内接正三角形的面积为( )
A.AC=AB B.∠C= ∠BOD C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD 7.如图,AB为圆 O 的直径,BC为圆 O 的一弦,自 O 点作 BC的垂线,且交 BC于 D 点.若 AB=16, BC=12,则△OBD的面积为何?( )
A.6 B.12
C.15 D.30
8.⊙O 过点 B,C,圆心 O 在等腰直角△ABC内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O 的半径为
A.4 B.6
C.2 D.8
4.如图,已知⊙O 的直径 AB⊥CD于点 E,则下列结论一定错误的是( )
A.CE=DE B.AE=OE C. = D.△OCE≌△ODE 5.在⊙O 中,圆心 O 到弦 AB的距离为 AB长度的一半,则弦 AB所对圆心角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如图,在⊙O 中,直径 CD⊥弦 AB,则下列结论中正确的是( )
A.3 B.3
C.
D.
12.如图,⊙O 是△ABC的外接圆,∠AOB=60°,AB=AC=2,则弦 BC的长为( )
A. B.3 C.2 D.4 13.如图,⊙O 的直径 AB垂直于弦 CD,垂足为 E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为( )
A.2 B.4 C.4 D.8 二、填空题(共 16小题) 14.如图,AB是⊙O 的直径,CD为⊙O 的一条弦,CD⊥AB于点 E,已知 CD=4,AE=1,则⊙O 的半径 为______.
人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习(含答案)
24.1.2垂直于弦的直径同步练习一.选择题1.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则BE的长为()A.2 B.4 C.6 D.82.如图,△ABC中,AB=5,AC=4,BC=2,以A为圆心AB为半径作圆A,延长BC交圆A于点D,则CD长为()A.5 B.4 C.D.23.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48cm,则水的最大深度为()A.8cm B.10cm C.16cm D.20cm4.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为()A.13 B.24 C.26 D.285.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,∠AOB=60°,点C是的中点,且CD=5m,则这段弯路所在圆的半径为()A.(20﹣10)m B.20m C.30m D.(20+10)m 6.如图,已知⊙O的半径为6,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB 与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为()A.6 B.8 C.3D.67.小名同学响应学习号召,在实际生活中发现问题,并利用所学的数学知识解决问题,他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处,他测量了台阶高a为160mm,直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm,请帮小名计算轮胎的直径为()mm.A.350 B.700 C.800 D.4008.如图,⊙O中,弦AB⊥CD于E,若已知AD=9,BC=12,则⊙O的半径为()A.5.5 B.6 C.7.5 D.89.如图,AB是⊙O的弦,半径OD⊥AB于点C,AE为直径,AB=8,CD=2,则线段CE 的长为()A.B.8 C.D.10.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点P,且∠APC=45°,若PC2+PD2=8,则⊙O 的半径为()A.B.2 C.2D.4二.填空题11.已知⊙O的半径为13cm,弦AB的长为10cm,则圆心O到AB的距离为cm.12.在半径为的⊙O中,弦AB垂直于弦CD,垂足为P,AB=CD=4,则S△ACP=.13.如图,射线PB,PD分别交圆O于点A,B和点C,D,且AB=CD=8.已知圆O半径等于5,OA∥PC,则OP的长度为.14.如图,BC为半圆O的直径,EF⊥BC于点F,且BF:FC=5:1,若AB=8,AE=2,则AD的长为.15.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,点C是的中点,且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为m.三.解答题16.如图,点A,D,B,C在⊙O上,AB⊥BC,DE⊥AB于点E.若BC=3,AE=DE=1,求⊙O半径的长.17.如图,在一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为60m,拱高PM为18m,当洪水泛滥到跨度只有30m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有4m,即PN=4m时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施.18.如图,A,B,C,D在⊙O上,AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F,与CD交于点E.(1)如图1,当⊙O半径为5,CD=4,若EF=BF,求弦AB的长;(2)如图2,当⊙O半径为,CD=2,若OB⊥OC,求弦AC的长.参考答案1.解:∵CE=2,DE=8,∴CD=10,∴OB=5,∴OE=3,∵AB⊥CD,∴在△OBE中,BE===4,故选:B.2.解:如图,过点A作AE⊥BD于点E,连接AD,∴AD=AB=5,根据垂径定理,得DE=BE,∴CE=BE﹣BC=DE﹣2,根据勾股定理,得AD2﹣DE2=AC2﹣CE2,∴52﹣DE2=42﹣(DE﹣2)2,解得DE=,∴CD=DE+CE=2DE﹣2=.故选:C.3.解:连接OB,过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,如图所示:∵AB=48cm,∴BD=AB=×48=24(cm),∵⊙O的直径为52cm,∴OB=OC=26cm,在Rt△OBD中,OD===10(cm),∴CD=OC﹣OD=26﹣10=16(cm),故选:C.4.解:设圆心为O,过O作OC⊥AB于C,交⊙O于D,连接OA,如图所示:∴AC=AB=×10=5,设⊙O的半径为r寸,在Rt△ACO中,OC=r﹣1,OA=r,则有r2=52+(r﹣1)2,解得r=13,∴⊙O的直径为26寸,故选:C.5.解:∵点O是这段弧所在圆的圆心,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=OB,设AB=OB=OA=rm,∵点C是的中点,∴OC⊥AB,∴C,D,O三点共线,∴AD=DB=rm,在Rt△AOD中,∴OD=r,∵OD+CD=OC,∴r+5=r,解得:r=(20+10)m,∴这段弯路的半径为(20+10)m故选:D.6.解:作OE⊥AB于点E,∵⊙O的半径为6,弦CD=6,∴OC=OD=CD,∴△DOC是等边三角形,∴∠DOC=60°,∵∠AOB与∠COD互补,∴∠AOB=120°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∵OA=6,OE⊥AB,∴AE=OA•cos30°=6×=3,∴AB=2AE=6,故选:D.7.解:如图,连接OB,OC,作CD⊥OB于D.设⊙O半径为xmm,在Rt△OCD中,由勾股定理得方程,(x﹣160)2+3202=x2,解得,x=400,∴2x=800,答:车轱辘的直径为800mm.故选:C.8.解:连接DO并延长DO交圆O于点F,连接BD,AF,BF,∵∠DAE=∠DFB,∠AED=∠FBD=90°,∴∠ADC=∠FDB,∴∠ADF=∠CDB,∴,∴AF=BC=12,∵∠DAF=90°,∴DF=,∴⊙O的半径为7.5.故选:C.9.解:连结BE,如图,∵OD⊥弦AB,AB=8,∴AC=AB=4,设⊙O的半径OA=r,∴OC=OD﹣CD=r﹣2,在Rt△OAC中,r2=(r﹣2)2+42,解得:r=5,∴AE=2r=10;∵OD=5,CD=2,∴OC=3,∵AE是直径,∴∠ABE=90°,∵OC是△ABE的中位线,∴BE=2OC=6,在Rt△CBE中,CE===2.故选:D.10.解:作CM⊥AB于M,DN⊥AB于N,连接OC,OD,∴∠NDP=∠MCP=∠APC=45°又∵OC=OD,∴∠ODP=∠OCP,∵∠COM=45°+∠OCD,∠ODB=45°+∠ODC,∴∠NDO=∠COM,在Rt△ODN与Rt△COM中,,∴Rt△ODN≌Rt△COM,∴ON=CM=PM,OM=ND=PN又∵OC2=CM2+OM2,OD2=DN2+ON2∴OC2=CM2+PN2,OD2=DN2+PM2∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2=8∴OC2=4,∴OC=2,故选:B.11.解:如图,作OC⊥AB于C,连接OA,则AC=BC=AB=5,在Rt△OAC中,OC==12,所以圆心O到AB的距离为12cm.故答案为12.12.解:作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连结OD、OB,则AE=BE=AB=2,DF=CF=CD=2,如图1,在Rt△OBE中,∵OB=,BE=2,∴OE==1,同理可得OF=1,∵AB⊥CD,∴四边形OEPF为矩形,∴PE=PF=1,∴P A=PC=1,∴S△APC==;如图2,同理:S△APC==;如图3,同理:S△APC==;故答案为:或或.13.解:作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连接OP,如图,∵AB=CD,∴OE=OF,而OE⊥AB,OF⊥CD,∴PO平分∠BPD,∴∠APO=∠OPC,∵OA∥PC,∴∠AOP=∠OPC,∴∠APO=∠AOP,∴P A=AO=5,∵OE⊥AB,∴AE=BE=AB=4,在Rt△AOE中,OE==3,在Rt△POE中,PO==3.故答案为3.14.解:连接BE.∵BC是直径.∴∠AEB=∠BEC=90°在直角△ABE中,根据勾股定理可得:BE2=AB2﹣AE2=82﹣22=60.∵=5∴设FC=x,则BF=5x,BC=6x.又∵BE2=BF•BC即:30x2=60解得:x=,∴EC2=FC•BC=6x2=12∴EC=2,∴AC=AE+EC=2+2,∵AD•AB=AE•AC∴AD===.故答案为.15.解:∵OC⊥AB,∴AD=DB=20m,在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,设半径为r得:r2=(r﹣10)2+202,解得:r=25m,∴这段弯路的半径为25m.故答案为:25.16.解:如图,连接AD,AC,连接CD与AB交于点F,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.∴AC为直径.∴∠ADC=90°.∵AE=DE,DE⊥AB,∴∠DAB=∠ADE=45°.∴∠BCF=∠DAB=45°.∴BC=BF=3.在△ADF中,∠DAB=∠AFD=45°,∴EF=ED=1.∴AB=5.∴AC==.∴⊙O半径的长.17.解:设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA′,设半径为x米,则OA=OA′=OP,由垂径定理可知AM=BM,A′N=B′N,∵AB=60米,∴AM=30米,且OM=OP﹣PM=(x﹣18)米,在Rt△AOM中,由勾股定理可得AO2=OM2+AM2,即x2=(x﹣18)2+302,解得x=34,∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30(米),在Rt△A′ON中,由勾股定理可得A′N===16(米),∴A′B′=32米>30米,∴不需要采取紧急措施.18.解:(1)如图1中,连接OB,OC.设BF=EF=x,OF=y.∵AB∥CD,EF⊥AB,∴EF⊥CD,∴∠CEF=∠BFO=90°∴AF=BF=x,DE=EC=2,根据勾股定理可得:,解得(舍弃)或,∴BF=4,AB=2BF=8.(2)如图2中,作CH⊥AB于H.∵OB⊥OC,∴∠A=∠BOC=45°,∵AH⊥CH,∴△ACH是等腰直角三角形,∵AC=CH,∵AB∥CD,EF⊥AB,∴EF⊥CD,∠CEF=∠EFH=∠CHF=90°,∴四边形EFHC是矩形,∴CH=EF,在Rt△OEC中,∵EC=,OC=,OE===2,∵∠EOC+∠OCE=90°,∠EOC+∠FOB=90°,∴∠FOB=∠ECO,∵OB=OC,∴△OFB≌△CEO(AAS),∴OF=EC=,∴CH=EF=3,∴AC=EF=6.。
九年级上《24.1.2垂直于弦的直径》同步练习含答案
24.1圆(第二课时)24.1.2垂直于弦的直径◆随堂检测1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.如图,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.4、如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm.求:⊙O的半径.◆典例分析已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上,如果底边BC的长为8,求BC边上的高.分析:等腰△ABC的三个顶点都在圆上,底边BC的位置可以有两种可能,即点A在弦BC所对的优弧或劣弧上.注意不能只考虑圆心在△ABC内部的情况.解:作AD⊥BC,则AD即为BC边上的高.设圆心O到BC的距离为d,则依据垂径定理得BC=4,d2=52-42=9,所以d=3.CED OF 当圆心在三角形内部时BC 边上的高为5+3=8;当圆心在三角形内外部时BC 边上的高为5-3=2.◆课下作业●拓展提高1、如图,将半径为4cm 的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为( )A 、43cmB 、23cmC 、3cmD 、2cm2、如图,在⊙O 中,P 是弦AB 的中点,CD 是过点P 的直径,•则下列结论中不正确的是( ) ⊥CD B 、∠AOB=4∠ACD C 、AD BD = D 、A 、ABPO=PD3、如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ,水深GF=2cm.若水面上升2cm (EG=2cm ),则此时水面宽AB 为多少?4、如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD ,点O 是CD 的圆心,•其中CD=600m ,E 为CD 上一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF=90m ,求这段弯路的半径.5、如图,⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD 长. ●体验中考 1、(2009年)如图,一条公路的转变处是一段圆弧(图中的AB ),点O 是这段弧的圆心,C 是AB 上一点,OC AB ⊥,垂足为D ,300m AB =,50m CD =,则这段弯路的半径是_________m .2、(2009年)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.为美化校园,学校准备在如图所示的三角形(ABC △)空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.参考答案:◆随堂检测1、B.2、A. 3、答案:OC=OD 、AE=BE 、弧AC=弧BC 、弧AD=弧BD4、解:过点O 作OE ⊥AB 于E.∵弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离OE=3cm ,∴依据垂AOCB D5径定理得AE=4cm,在Rt △AOE 中,由勾股定理得OA=5cm.即⊙O 的半径为5cm. ◆课下作业●拓展提高1、C .2、D.3、 解:连结OA 、OC ,在Rt △OCG 中,22210(2)r r =+-, Rt △26r =,在Rt △OAE 中,222(4)r AE R =+-,∴解得83AE =,∴2163AB AE cm ==.4、解:由图可得,在Rt △OCF 中,222(90)300R R --=,解得545R =. ∴这段弯路的半径是545R m =.5、解:过点O 作OH ⊥CD ,垂足为H ,∵AE=2,EB=6,∴OA=OB=4,OE=2,∵∠DEB=30°,∴OH=1,HD=224115-=,∴CD=215.●体验中考1、250. 依据垂径定理和勾股定理可得.2、解:先画出两条角平分线,其交点即为圆心;再确定半径;最后画出圆形花坛.。
人教版九年级上数学24.1.2垂直于弦的直径练习题含答案
24.1.2 垂直于弦的直径01 基础题 知识点1 圆的对称性 1.下列说法正确的是(B)A .直径是圆的对称轴B .经过圆心的直线是圆的对称轴C .与圆相交的直线是圆的对称轴D .与半径垂直的直线是圆的对称轴 2.圆是轴对称图形,它的对称轴有(D)A .1条B .2条C .4条D .无数条 知识点2 垂径定理3.(黄石中考)如图所示,⊙O 的半径为13,弦AB 的长度是24,ON ⊥AB ,垂足为N ,则ON =(A)A .5B .7C .9D .114.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为M ,下列结论不一定成立的是(D)A .CM =DM B.CB ︵=DB ︵C .△OCM ≌△ODMD .OM =MB5.(大同期中)如图,在半径为5 cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为4 cm ,则AB =6__cm .6.(长沙中考)如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,已知CD =6,EB =1,则⊙O 的半径为5.7.如图,已知⊙O的半径为4,OC垂直弦AB于点C,∠AOB=120°,则弦AB的长为43.知识点3垂径定理的推论8.如图,⊙O的半径为10,M是AB的中点,且OM=6,则⊙O的弦AB等于(D) A.8 B.10 C.12 D.16知识点4垂径定理的应用9.(金华中考)如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB 的长为(C)A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm10.(茂名中考)如图,小丽荡秋千,秋千链子的长OA为2.5米,秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离AB为3米,则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米.11.如图是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为2米,净高5米,求圆拱形门所在圆的半径是多少米.解:连接OA.∵CD ⊥AB ,且CD 过圆心O , ∴AD =12AB =1米,∠CDA =90°.设⊙O 的半径为R ,则 OA =OC =R ,OD =5-R. 在Rt △OAD 中,由勾股定理,得 OA 2=OD 2+AD 2,即R 2=(5-R)2+12,解得R =2.6. ∴圆拱形门所在圆的半径为2.6米.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 12.下列说法正确的是(D)A .过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B .弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心C .过弦的中点的直径垂直于弦D .平分弦所对的两条弧的直径平分弦 02 中档题13.(呼和浩特中考)如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为M.若AB =12,OM ∶MD =5∶8,则⊙O 的周长为(B)A .26πB .13π C.96π5 D.3910π514.如图,在⊙O 中,AB ,AC 是互相垂直的两条弦,OD ⊥AB 于点D ,OE ⊥AC 于点E ,且AB =8 cm ,AC =6 cm ,那么⊙O 的半径OA 长为5__cm.15.(宿迁中考)如图,在△ABC 中,已知∠ACB =130°,∠BAC =20°,BC =2,以点C 为圆心,CB 为半径的圆交AB 于点D ,则BD 的长为23.16.如图,AB 是⊙O 的弦,AB 长为8,P 是⊙O 上一个动点(不与A ,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C ,OD ⊥PB 于点D ,则CD 的长为4.17.(雅安中考)⊙O 的直径为10,弦AB =6,P 是弦AB 上一动点,则OP 的取值范围是4≤OP ≤5. 18.如图,已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ,连接CO 并延长交AD 于点F ,且CF ⊥AD.(1)求证:点E 是OB 的中点; (2)若AB =8,求CD 的长. 解:(1)证明:连接AC. ∵OB ⊥CD ,∴CE =ED ,即OB 是CD 的垂直平分线. ∴AC =AD. 同理AC =CD.∴△ACD 是等边三角形. ∴∠ACD =60°,∠DCF =30°. 在Rt △COE 中,OE =12OC =12OB.∴点E 是OB 的中点. (2)∵AB =8,∴OC =12AB =4.又∵BE =OE ,∴OE =2.∴CE =OC 2-OE 2=16-4=2 3.∴CD=2CE=4 3.19.(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图所示).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.解:(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E.则CE=DE,AE=BE.∴AE-CE=BE-DE,即AC=BD.(2)连接OA,OC.由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,∴CE=OC2-OE2=82-62=27,AE=OA2-OE2=102-62=8.∴AC=AE-CE=8-27.03综合题20.太原市城市风貌提升工程正在火热进行中,检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻,现准备制作一批新的候车亭,查看了网上的一些候车亭图片后(如图1),设计师画出了如图2所示的侧面示意图,FG为水平线段,PQ⊥FG,点H为垂足,FG=2 m,FH=1.2 m,点P在弧FG上,且弧FG所在圆的圆心O到FG,PQ的距离之比为5∶2,则PH的长约为0.6__m.。
新人教版初中数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径精编习题
24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5分钟训练)1如图24-1-2-1,AB是⊙O的弦,D是⊙O的直径,D⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32圆中一条弦把和它垂直的直径分成 3 c和 4 c两部分,则这条弦弦长为__________3判断正误(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦4圆O的半径OA=6OA的垂直平分线交圆O于B、那么弦B的长等于___________ 二、课中强化(10分钟训练)1圆是轴对称图形,它的对称轴是______________2如图24-1-2-2,在⊙O中,直径MN垂直于弦AB,垂足为,图中相等的线段有__________,相等的劣弧有______________3在图24-1-2-3中,弦AB的长为24 c,弦心距O=5 c,则⊙O的半径R=__________ c4如图24-1-2-4所示,直径为10 c的圆中,圆心到弦AB的距离为4 c求弦AB 的长图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1如图24-1-2-5⊙O的半径OA=3以点A为圆心OA的长为半径画弧交⊙O于B、则B等于( )A32 B33223D233图24-1-2-5 图24-1-2-62如图24-1-2-6,AB是⊙O的弦,半径O⊥AB于点D,且AB=8 c,O=5 c,则OD 的长是( )A3 c B25 c 2 c D1 c3⊙O半径为10,弦AB=12,D=16,且AB∥D求AB与D之间的距离4如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 ,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面05 秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?图24-1-2-75“五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1)最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2)那么这个圆拱所在圆的直径为___________米图24-1-2-86如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A、B、(1)用尺规作图法,找出弧BA所在圆的圆心O;(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△AB为等腰三角形,底边B=10 c,腰AB=6 c,求圆片的半径R;(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<(、n为正整数),试估算和n的值图24-1-2-97⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,求OP长的取值范围思路分析:求出OP长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理该题创新点在于把线段OP看作是一个变量,在动态中确定OP的最大值和最小值事实上只需作OM⊥AB,求得OM即可。
9年级数学上册(人教版)优化训练(24.1.2 垂直于弦的直径)
24.1.2 垂直于弦的直径5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.如图24-1-2-1,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析:根据垂径定理可得.答案:OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分,则这条弦弦长为__________.思路解析:根据垂径定理和勾股定理计算.答案:43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析:(1)圆的对称轴是直线,而不是线段;(2)这里的弦是直径,结论就不成立.由于对概念或定理理解不透,造成判断错误.答案:两个命题都错误.4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC 的长等于___________.思路解析:由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:610分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是______________.思路解析:根据圆的轴对称性回答.答案:直径所在的直线2.如图24-1-2-2,在⊙O中,直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有__________,相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析:由垂径定理回答.答案:OM=ON,AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中,弦AB的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则⊙O的半径R=__________ cm. 思路解析:连结AO,得Rt△AOC,然后由勾股定理得出.答案:134.如图24-1-2-4所示,直径为10 cm 的圆中,圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析:利用“圆的对称性”:垂直于弦的直径平分这条弦.由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ,即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △,利用勾股定理求解.解:连结OA.∵OM ⊥AB , ∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5,OM =4, ∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm).快乐时光医学院的口试教授问一学生某种药每次口服量是多少?学生回答:“5克.”一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?” 教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析:连结AB 、BO ,由题意知:AB=AO=OB ,所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC,所以BC=2×233=33. 答案:B2.(北京丰台模拟)如图24-1-2-6,AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,且AB=8 cm ,OC=5cm ,则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析:因为AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,且AB=8 cm ,OC=5 cm ,连结OA ,在Rt △ODA 中,由勾股定理得OD=3 cm.答案:A3.⊙O 半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析:本题目属于“图形不明确型”题目,应分类求解.解:(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时,如图(1)所示.作OG ⊥AB ,垂足为G ,延长GO 交CD 于H ,连结OA 、OC.∵AB ∥CD ,GH ⊥AB ,∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ,AB=12,∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8. ∴Rt △AOG 中,OG=22AG OA -=8.Rt △COH 中,OH=22CH OC -=6.∴GH=OG +OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时,如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.4.(江苏连云港模拟)如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 m ,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?图24-1-2-7思路分析:设秋千链子的上端固定于A 处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ,点D 、E 在地面上,过B 作BC ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解:设秋千链子的上端固定于A 处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B的铅垂线分别为AD 、BE ,点D 、E 在地面上,过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中,∵AB=3,∠CAB=60°,∴AC=3×21=1.5(m ). ∴CD=3+0.5-1.5=2(m ).∴BE=CD=2(m ).答:秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5.(经典回放)“五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析:本题考查垂径定理的应用,用列方程的方法解决几何问题,会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米,则OF=(R -22)(米).∵OE ⊥CD ,∴CF=21CD=21×110=55(米). 根据勾股定理,得OC 2=CF 2+OF 2,即R 2=552+(R -22)2.解这个方程,得R=79.75(米).所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5(米). 答案:159.56.如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法,找出弧BAC 所在圆的圆心O ;(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形,底边BC=10 cm ,腰AB=6 cm ,求圆片的半径R ;(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R 满足n <R <m(m 、n 为正整数),试估算m 和n 的值.思路分析:(1)作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ;(2)已知BC 和AB 的长度,所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ;(3)根据半径的值确定m 、n 的值.(1)作法:作AB 、AC 的垂直平分线,标出圆心O.(2)解:连结AO 交BC 于E ,再连结BO.∵AB=AC ,∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中,AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中,R 2=52+(R-11)2,解得R=1118(cm ).(3)解:∵5<39=1218<1118<918=6,∴5<R <6.∵n <R <m ,∴m=6,n=5.7.⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,P 是弦AB 上的一个动点,求OP 长的取值范围.思路分析:求出OP 长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量,在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ,求得OM 即可.解:如图,作OM ⊥AB 于M ,连结OB ,则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中,OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时,OP 为最短;当P 与A (或B )重合时,OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP ≤5.试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理,目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便!附:如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆,也是所有失败者的帮凶.伟人之所以伟大,得益于习惯的鼎力相助,失败者之所以失败,习惯的罪责同样不可推卸.”由此可知,良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝.良好的数学学习习惯有哪些呢?初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯.一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地.课堂学习习惯主要表现为:会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作.1.会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写,而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理.做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼.要经常翻阅笔记,加强理解,巩固记忆.另外,做笔记还能使你的注意力集中,学习效率更高.2.会比较在学习基础知识(如概念、定义、法则、定理等)时,要运用对比、类比、举反例等思维方式,理解它们的内涵和外延,将类似的、易混淆的基础知识加以区分.如找出“同类项”和“同类二次根式”,“正比例函数”和“一次函数”,“轴对称图形”和“中心对称图形”,“平方根”和“立方根”,“半径”和“直径”,等概念的异同点,达到合理运用的目的.3.会质疑“学者要会疑”,要善于发现和寻找自己的思维误区,向老师或同学提问.积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径,同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑,锻炼自己的批判性思维.学习中哪怕有一点点的问题,也要大胆提问,不能留下知识上的“死角”,否则问题就会积少成多,为后续学习设置障碍.4.会分析一是要认真审题:先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题,把一些已知条件填在图形上,并将一些关键词做好标记,达到显露已知条件,同时又挖掘隐含条件的目的.如做几何体时,将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记,避免忘记.再如做应用题时,象“不超过”“不足”等字眼,就暗示着存在不等量关系.只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题;二是要认真思索:依据题目中题设和结论,寻找它们的内在联系,由题设探求结论,即“由因求果”,或从结论入手,根据问题的条件找到解决问题的方法,即“由果索因”,或将两种方法结合起来,需找解题方法.要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等,拓展思路,训练自己的求异思维.5.会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果,我给你一个苹果,我们每人只有一个苹果;你给我一个思想,我给你一个思想,我们每人就有两个思想了”,这足以说明合作、交流的学习方式的重要性.我们主要的学习方式是自主学习,在独立思考的基础上,要适时地和同桌交流意见.在小组学习期间,要积极发表自己的观点和见解,倾听他人的发言,并作出合理的评判,以锻炼自己的表达能力和鉴别能力.二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分,它包括:复习、作业等.1.复习及时复习当天学过的数学知识,弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容.首先凭大脑的追忆,想不起来再阅读课本及笔记.在最短的时间内进行复习,对知识的理解和运用的效果才能最好,相隔时间长了去复习,其效果不明显,“学而时习之”就是这个道理.同时,要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习,使复习层层递进、环环紧扣,这样才能在正确理解知识的基础上,熟练地运用知识.2.作业会学习的同学都是当天作业当天完成,先复习,后做作业.一定要独立完成,决不能依赖别人.书写一定要整洁,逻辑一定要条理.对作业要自我检查,及时改正存在的错误,三、测试、检查的习惯1.认真总结测试、检查前,可以借助于笔记,把某一阶段的知识加以系统化、深化,弥补知识的缺陷,进一步掌握所学知识.2.认真反思测试、检查后,通过回顾反思,查清知识缺陷和薄弱环节,寻找失误的原因,改进学习方法,明确努力方向,使以后的测试、检查取得成功.良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素,但必须持之以恒.。
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24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分,则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是______________.2.如图24-1-2-2,在⊙O中,直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有__________,相等的劣弧有______________.3.在图24-1-2-3中,弦AB的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图24-1-2-4所示,直径为10 cm的圆中,圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233图24-1-2-5 图24-1-2-62.如图24-1-2-6,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?图24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-86.如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法,找出弧BAC所在圆的圆心O;(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形,底边BC=10 cm,腰AB=6 cm,求圆片的半径R;(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<m(m、n为正整数),试估算m和n的值.图24-1-2-97.⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,求OP长的取值范围.4.(开放题)AB是⊙O的直径,AC、AD是⊙O的两弦,已知AB=16,AC=8,AD=8,求∠DAC的度数.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图24-1-2-1,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析:根据垂径定理可得.答案:OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分,则这条弦弦长为__________.思路解析:根据垂径定理和勾股定理计算.答案:43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析:(1)圆的对称轴是直线,而不是线段;(2)这里的弦是直径,结论就不成立.由于对概念或定理理解不透,造成判断错误.答案:两个命题都错误.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析:由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是______________.思路解析:根据圆的轴对称性回答.答案:直径所在的直线2.如图24-1-2-2,在⊙O中,直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有__________,相等的劣弧有______________.图24-1-2-2 图24-1-2-3思路解析:由垂径定理回答.答案:OM=ON ,AC=BC 弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中,弦AB 的长为24 cm ,弦心距OC=5 cm ,则⊙O 的半径R=__________ cm.思路解析:连结AO ,得Rt △AOC ,然后由勾股定理得出. 答案:134.如图24-1-2-4所示,直径为10 cm 的圆中,圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长.图24-1-2-4思路分析:利用“圆的对称性”:垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ,即AM=21AB.连结半径OA 后可构造Rt △,利用勾股定理求解. 解:连结OA. ∵OM ⊥AB ,∴AM=21AB. ∵OA=21×10=5,OM =4,∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( )A.32B.33C.223 D.233图24-1-2-5 图24-1-2-6思路解析:连结AB 、BO ,由题意知:AB=AO=OB ,所以△AOB 为等边三角形.AO 垂直平分BC, 所以BC=2×233=33.答案:B2.如图24-1-2-6,AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,且AB=8 cm ,OC=5 cm ,则OD 的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm思路解析:因为AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,且AB=8 cm ,OC=5 cm ,连结OA ,在Rt △ODA 中,由勾股定理得OD=3 cm. 答案:A3.⊙O 半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB ∥CD.求AB 与CD 之间的距离.思路分析:本题目属于“图形不明确型”题目,应分类求解.解:(1)当弦AB 与CD 在圆心O 的两侧时,如图(1)所示. 作OG ⊥AB ,垂足为G ,延长GO 交CD 于H ,连结OA 、OC. ∵AB ∥CD ,GH ⊥AB , ∴GH ⊥CD.∵OG ⊥AB ,AB=12,∴AG=21AB=6. 同理,CH=21CD=8.∴Rt △AOG 中,OG=22AG OA -=8. Rt △COH 中,OH=22CH OC -=6. ∴GH=OG +OH=14.(2)当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时,如图(2)所示. GH=OG -OH=8-6=2.4.如图24-1-2-7所示,秋千链子的长度为3 m ,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?图24-1-2-7思路分析:设秋千链子的上端固定于A 处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ,点D 、E 在地面上,过B 作B C ⊥AD 于点C.解直角三角形即可.解:设秋千链子的上端固定于A 处,秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点A 、B 的铅垂线分别为AD 、BE ,点D 、E 在地面上,过B 作BC ⊥AD 于点C.如图.在Rt △ABC 中,∵AB=3,∠CAB=60°, ∴AC=3×21=1.5(m ). ∴CD=3+0.5-1.5=2(m ). ∴BE=CD=2(m ).答:秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2 m.5. “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析:本题考查垂径定理的应用,用列方程的方法解决几何问题,会带来许多方便. 连结OC.设圆拱的半径为R 米,则OF=(R -22)(米).∵OE ⊥CD ,∴CF=21CD=21×110=55(米). 根据勾股定理,得OC 2=CF 2+OF 2,即R 2=552+(R -22)2.解这个方程,得R=79.75(米).所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5(米). 答案:159.56.如图24-1-2-9,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A 、B 、C.图24-1-2-9(1)用尺规作图法,找出弧BAC 所在圆的圆心O ;(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC 为等腰三角形,底边BC=10 cm ,腰AB=6 cm ,求圆片的半径R ;(结果保留根号) (3)若在(2)题中的R 满足n <R <m(m 、n 为正整数),试估算m 和n 的值.思路分析:(1)作AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心O ;(2)已知BC 和AB 的长度,所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R ;(3)根据半径的值确定m 、n 的值. (1)作法:作AB 、AC 的垂直平分线,标出圆心O.(2)解:连结AO 交BC 于E ,再连结BO.∵AB=AC ,∴AB=AC.∴AE ⊥BC.∴BE=21BC=5. 在Rt △ABE 中,AE=22BE AB -=2536-=11.在Rt △OBE 中,R 2=52+(R-11)2,解得R=1118(cm ).(3)解:∵5<39=1218<1118<918=6,∴5<R <6.∵n <R <m ,∴m=6,n=5.7.⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,P 是弦AB 上的一个动点,求OP 长的取值范围.思路分析:求出OP 长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP 看作是一个变量,在动态中确定OP 的最大值和最小值.事实上只需作OM ⊥AB ,求得OM 即可.解:如图,作OM ⊥AB 于M ,连结OB ,则BM=21AB=21×8=4. 在Rt △OMB 中,OM 22BM OB -=2245-=3.当P 与M 重合时,OP 为最短;当P 与A (或B )重合时,OP 为最长.所以OP 的取值范围是3≤OP≤5.。