分式的运算及题型讲解

分式的运算及题型讲解§ 17.2分式的运算一、分式的乘除法1法则:（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

a c acb，d bd用式子表示：（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

a . c a d ad—~ = •-= ---b d bc bc用式子表示:2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

/ ■-n na \ a 1 =用式子表示: lb丿b n（其中n为正整数，a M 0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示:2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，a c ad bc ad - bc——土——= -- 土----- —再加减。

用式子表示：b d bd bd bd 。

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1然后进行通分。

（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。

遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

2例计算：（1）T「O2 士a +2 a — 2【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例计算x^ +蛋分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

1 1 1= 1 + x2 -3x 2 -1- x2-5x 6- x2-4x 31 1(x—1)(x—2) - (x — 2)(x—1• (x-1)(x-3)x-3_(x_1)_(x_2) - ________ ____________ x =(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x-2)(x-3) =- (xT)(x-2)(x-3)(2) 「X(3) i 2一」二x x-2 x -2x解: 原式= X 1(x 1)(x 2)x(x-2)(x-2)(x 2) = x 2x+ T~22、分离整数技巧例计算x2 -3x 3x2 -3x 2x2 -5x 7x2-5x 61x2-4x 3解: 原式=2(x -3x 2) 1x2-3x 22(x -5x 6) 1x2 -5x 61x2-4x 31 2 33、裂项相消技巧例计算 x(x+1) + (x+1)(x+3) + (x+3)(x+6)消计算1 6 x 6= x( x 6)x 2 +3x+6 _ x 2+ 5x+2练习：".一…一一 ..4、分组计算技巧例 计算土 +无-右-壮 分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积 为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取 分组计算简捷。

解：原式=（花-壮）+（詐-吕） 4 -412=a 2-4+ a 2-1 = （a 2-4）（a 2-1）1111 练习： + — —7? + x + 2X+1 F+3X +2 F +5、分式求值问题全解1) 字母代入法 例 1.b=a+1,c=a+2,d=a+3, 求九丘十诜的值【解析】仔细观察已知条件，虽然出现的字分析：此类题可利用1_丄 n(nm) = m (n - m )裂项相解:原式=（2 -的）+2 （靑1 3 1x 3) +3 ( x 3 - x 6 )母很多，但都可以用一个字母代替:a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代 数式的化简 」bcLa d abc b cd a d=」 「 ^2 」a a 3 a a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a a 3=a a 1 a 2 a 3—2a 3 3a 3 3a 6 2a 3=a a 3 a 1 a 2 =2a 3 3(a 1) 3(a 2)=11 13 35 - 3【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用 一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母 带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某 个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结 果就在于自己的分式化简能力了。

2) 设值代入法例2.已知^=-y a b 二，求证:cxy yz zx ab bc ca2 x 2a【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得y=bx, z = £x '代入后分式的分子分母中有分式， a ay、z连等，让它们都等于k贝V x=ak y=bkb cz=ck代入得xy yz zx = akbk bkck ckakab bc caab bc caab be ca ’ 2 = kab bc ca2=k 2二a【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件则(1) y = ^a x , z = c x(2) 设-=^ — k 贝y x=ak y=bk z=cka b c(3) 设-y =Z=k 则十二k 其中a b 『0a b ca 十b 十c3）整式代入法例3.已知：丄-丄弋，求分式竺仝口的值.a ba —ab — b化简麻烦。

我们用一种新的代入方式，考虑到上a【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式，得呼=3，再将分式ab稍化简变为2(a-b) 3ab，可以发现分子分母中只有(a _b) _ab(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-ab -a = 3ab2a 3ab -2b _ 2(a -b) 3ab _ - 6ab 3ab _ 3a-ab-b (a-b)-ab -3ab-ab 4【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab的关系，题目很快就解出来了。

4)变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。

例4(方程变形).已知a+b+c=O,a+2b+3c=0, 且abc 工0,求也戶的值.【解析】对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果这道题已知条件是两个等式，三个字母，所 以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条 件变形得到方程组 : a+b+c=0{b=-2cJi ==>a+2b+3c=0a=c用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出 来ab bc ca— -2c 2-2c 2c 2 _ 3 b 2= 4c 2- 4例5 (非负变形).已知：a 2b 2-8a 6b 25 = 0，求【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以 化成平方的形式2 2 2 2a b -8a 6b 25 =(a-4) (b 3) =0其中(a- 4)2乏0(b+3)2乏 0 所以(a-4)2=0 (b + 3)2=0得 a =4,b = -3再带入原式很容易求出解。

例6 (对应变形).证明：若 a+b+c=0,则11—+1—■ 2 2 2 2 2 ■ 2 2 ■ 2 2b c -a c a 「b a b 「c2a 2-ab -6b 2a2 -4ab 4b 2的值.【解析】这题可以用整式代入法，比如用 -b-c 代替a ,但是代数式a 的符号和位置在三个分式 中不同，如果用a 2=（b ，c ）2代入得到的分母截然不 同，增大化简的难度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形 式，反而化简方便，比如：用a=-b-c 代入b 2c^a 2中的a ，得到-2bc用b=-a-c 代入+a -b 中的b ，得到-2ac 用c=-a-b 代入a 2+b 2-c 2中的c ，得到-2ab原式=二 1「=艷^ = 0-2bc -2ac -2ab -2abc例7 （倒数变形）.已知旦=玄,旦"上“，且abc"求证x =2abcx+yx + zy+zbc + ac —ab【解析】已知条件是 旦的形式，不能化简, x 十y=3」丄的形式，使得x 、y 相互独立，简化 xy x y已知条件—-1=(--)(-丄)-2c y z x y x z x如果颠倒分子分母，将xy x y改写成写出变化后的形式1 1 1—=——r —1 1 1 —=——十1 1 2十——a b x2 丄 1 1x a b c=be ac - ababc则x = b^，得证。

例8 （归类变形）.已知a -；=b -e 1，且a、b、C互不相等，求 b c al证:a2b2c2 = 1【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b、c,能不能求出b、c的代数式都是问题。

因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。

这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：a_b」丄口，可以发现分式形式大致消失了, c b bc剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来, b「c , c「a a「ba「b , b _c ,c「a 二be ac ab左边和左边相乘，右边和右边相乘得所以 a 2b 2c 2=1【结论】给已知条件变形是用代入法的前提， 变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上 来化简：S消元的角度：方程变形、非负变形——减少字母数量，方便化简化简结构的角度：对应、倒数、归类变形 ---调整关系式结构，方便化简代入的方法多种多样，在此不可能—列举出 来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适 当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外， 比如习题4,代数式并不是最简形式，可以先化 简代数式再代用条件，事办功倍。