浙江绍兴中考数学解析

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2019年浙江绍兴中考数学试题(解析版)

2019年浙江省绍兴市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分．{题目}1．（2019•绍兴T1）－5的绝对值是A.5B.－5C.15D.－15{答案}A{解析}本题考查了绝对值的意义，根据负数的绝对值等于它的相反数，得|－5|＝5．因此本题选A．{分值}4{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的意义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019•绍兴T2）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000元用科学记数法可表示为（）A．12.6×107B．1.26×108C．1.26×109D．0.126×1010{答案} B{解析}本题考查了科学记数法的表示方法，126000000=1.26×100000000=1.26×108，因此本题选B．{分值}4{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019•绍兴T3）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．{答案}A{解析}本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019•绍兴T4）为了解某地区九年级男生的身体情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x＜160160≤x＜170170≤x＜180x≥180人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.85B．0.57C．0.42D．0.15{答案}D{解析}本题考查了利用频率估计概率，先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．样本中身高不低于180cm的频率＝15100＝0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．因此本题选D．{分值}4{章节:[1-25-3]用频率估计概率}{考点:利用频率估计概率}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019•绍兴T5）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5°B．10°C．30°D．70°{答案} B{解析}本题考查了三角形内角和定理和对顶角的性质，设a，b所在直线所夹的锐角是∠α，由对顶角相等，得到∠3＝∠2＝100°，再根据∠α＋∠1＋∠3＝180°，求得∠α＝180°－70°－100°＝10°，因此本题选B．{分值}4{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}{考点:三角形内角和定理}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019•绍兴T6）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）α3A . －1B . 0C . 3D . 4{答案}C{解析}本题考查了用待定系数法求一次函数解析式；设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧4＝k ＋b ，7＝2k ＋b .∴⎩⎨⎧k ＝3，b ＝1，∴y ＝3x ＋1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；因此本题选C ． {分值}4{章节:[1-19-2-2]一次函数}{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}7．（2019•绍兴T7）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是（） A .向左平移2个单位 B .向右平移2个单位 C .向左平移8个单位 D .向右平移8个单位{答案}4{解析}本题考查了二次函数图象与几何变换，y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)；y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数图象的平移} {类别:思想方法}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019•绍兴T8）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°，若BC ＝22，则⌒BC 的长为（）A .πB . 2πC .2πD . 22π{答案}A{解析}本题考查了弧长的计算和圆周角定理，如图，连接OB 、OC ，由三角形内角和定理，求得∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－65°－70°＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×45°＝90°，∴OB ＝BC2＝222＝2，∴⌒BC 的长90×π×2180＝π，因此本题选A ．{分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆周角定理} {考点:弧长的计算}{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}9．（2019•绍兴T9）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ．在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（） A ．先变大后变小 B ．先变小后变大 C ．一直变大 D ．保持不变{答案} D{解析}本题考查了相似三角形的性质，由题意，得∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠BCE ＝∠DCF ，又∵∠CBE ＝∠CFD ＝90°，∴△CBE ∽△CFD ，∴CE CD ＝CBCF ，∴CE ⋅CF ＝CB ⋅CD ，即矩形ECFG 的面积＝正方形ABCD 的面积，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}10．（2019•绍兴T10）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（） A .245B .325C .123417D .203417{答案} A{解析}本题考查了勾股定理的应用，解决此题的突破点在于根据题意得到关系式：长方体中水的容积＝倾斜后底面积为ADCB 的四棱柱的体积，列方程，得到DE 的长，如图，设DE ＝x ，则AD ＝8－x，12(8－x ＋8)×3×3＝3×3×6，解得x ＝4．∴DE ＝4．在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2＋EC 2＝42＋32＝5，过点C 作CH ⊥BF 于点H ，则由△CBH ∽△CDE ，得到CH CE ＝CB CD ，即CH 3＝85，∴CH ＝245，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:勾股定理的应用} {考点:相似三角形的应用} {考点:几何选择压轴}{类别:思想方法}{类别:高度原创} {难度:3-中等难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，合计30分．{题目}11．（2019•绍兴T11）因式分解：x 2－1＝ .{答案}(x +1)(x -1){解析}本题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式，有x 2-1＝x 2-12＝(x +1)(x -1). {分值}5{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}12．（2019•绍兴T12）不等式3x －2≥4的解为 . {答案} x ≥2.{解析}本题考查了解一元一次不等式，先移项得，3x ≥4＋2，再合并同类项得，3x ≥6，把x 的系数化为1得，x ≥2． {分值}5{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式}ED C BAHF{类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}13．（2019•绍兴T13）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .{答案}4{解析}本题考查了幻方的特点，数的对称性是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15－2－5＝8，∴m ＝15－8－3＝4． {分值}5{章节:[1-1-3-1]有理数的加法} {考点:有理数加法的实际应用} {类别:数学文化} {难度:2-简单}{题目}14．（2019•绍兴T14）如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，∠PAD ＝30°，以点B为圆心，AB 为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则∠ADE 的度数为 .{答案}45°或15°.{解析}本题考查了以正方形为背景的角度计算，正确画出图形是解题的关键．如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，∵∠PAD ＝30°，∴∠BAM ＝60°，又∵BA ＝BM ，∴△ABM 是等边三角形．当点E 在直线PA 的上方时，点E 与点B 重合，显然∠ADE ＝∠ADB ＝45°；当点E 在直线PA 的下方时，∠BDE ＝180°－∠BME ＝180°－2×60°＝60°，∴∠ADE ＝∠BDE －∠ADB ＝60°－45°＝15°，因此答案为45°或15°．{分值}5{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:等边三角形的判定} {考点:正方形的性质} {考点:几何综合} {类别:发现探究} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}15．（2019•绍兴T15）如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y ＝kx （常数k ＞0，x ＞0）上，若顶点D 的坐标为（5，3），则直线BD 的函数表达式是 .{答案}y ＝35x .{解析}本题考查了反比例函数中几何图形问题，设C (5，k 5)，A (k 3，3)，则A (k 3，k5)；设直线BD 的函数表达式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 3a ＋b ＝k 5，5a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝0，因此直线BD 的函数表达式是y ＝35x ．{分值}5{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:矩形的性质}{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:双曲线与几何图形的综合} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}16．（2019•绍兴T16）把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的中心，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是．{答案}10或6＋22或8＋22．{解析}本题考查了图形的剪拼，抓住图形的特征是解题的关键，如下图，共有3种周长不同的拼法，拼成的四边形的周长分别为10或6＋22或8＋22．E{分值}5{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:勾股定理的应用} {考点:图形的剪拼} {考点:几何填空压轴} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计80分．{题目}17．（2019•绍兴T17（1））（1）计算：4sin 60°＋(π－2)0－(－12)－2－12.{解析}本题考查了实数的运算，根据实数运算法则直接解答．{答案}解：原式＝4×32＋1－4－23＝－3.{分值}4{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:正弦}{考点:简单的实数运算}{题目}17．（2019•绍兴T17（2））（2）x 为何值时，两个代数式x 2＋1，4x ＋1的值相等？ {解析}本题考查了一元二次方程的解法，由题意得到x 2＋1＝4x ＋1，利用因式分解法解方程即可．{答案}解：由题意，得x 2＋1＝4x ＋1，x 2－4x ＝0，x (x －4)＝0，x 1＝0，x 2＝4． {分值}4{章节:[1-21-2-3] 因式分解法} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:解一元二次方程－因式分解法}{题目}18．（2019•绍兴T18）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x ≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x ≤200时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．{解析}本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把x ＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．{答案}解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060－35＝6千米；（2）设y ＝kx ＋b （k ≠0），把点(150，35)，(200，10)代入，得⎩⎨⎧150k ＋b ＝35，200k ＋b ＝10，∴⎩⎨⎧k ＝－0.5，b ＝100，∴y ＝－0.5x ＋110．当x ＝180时，y ＝－0.5×180＋110＝20．答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝－0.5x ＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时． {分值}8{章节:[1-19-4]课题学习选择方案} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:分段函数的应用}{题目}19．（2019•绍兴T19）小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束市进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法. {解析}本题考查了条形统计图、折线统计图、算术平均数，抓住图中信息是解题的关键．（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信息和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．{答案}解：（1）这5期的集训共有：5＋7＋10＋14＋20＝56（天），小聪这5次测试的平均成绩是：（11.88＋11.76＋11.61＋11.53＋11.62）÷5＝11.68（秒），答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；（2）一类：结合已知的两个统计图的信息及体育运动实际，如：集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下滑．二类：结合已知的两个统计图的信息，如：集训时间为10天或14天时，成绩最好．三类：根据已知的两个统计图中的其中一个统计图的信息，如：集训时间每期都增加．{分值}8{章节:[1-20-1-1]平均数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:条形统计图}{考点:折线统计图}{考点:算术平均数}{题目}20．（2019•绍兴T20）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H，则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF－DE即可解决问题．{答案}解：（1）如图2中，作BO⊥DE，垂足为O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝40•sin60°＝203（cm），∴DF＝OD＋OE＝OD＋AB＝203＋5≈39.6（cm）．（2）下降了．如图3，过点D作DF⊥l于F，过点C作CP⊥DF于P，过点B作BG⊥DF于G，过点C作CH⊥BG 于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC sin60°＝103（cm），DP＝CD sin45°＝102（cm），∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝102＋10＋5（cm），∴下降高度：DE－DF＝203＋5－102－103－5＝103－102≈3.2（cm）．{分值}8{章节:[1-28-2-1]特殊角}{难度:3-中等难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{题目}21．（2019•绍兴T21）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答．{解析}本题考查了切线的性质及应用，添加过切点的半径是常用辅助线．（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长；本题答案不唯一．{答案}解：（1）连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D ＝30°，∴OD ＝2OC ＝2，∴AD ＝AO +OD ＝1+2＝3；（2）本题答案不唯一，如：添加∠DCB ＝30°，求AC 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACO +∠OCB ＝90°，∠OCB +∠DCB ＝90°，∴∠ACO ＝∠DCB ，∵∠ACO ＝∠A ，∴∠A ＝∠DCB ＝30°，在Rt △ACB 中，BC ＝12AB ＝1， ∴AC ＝3BC ＝3．{分值}10{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:圆周角定理}{考点:切线的性质}{题目}22．（2019•绍兴T22）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB ＝AE ＝6，BC ＝5，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝135°，∠E ＞90°．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．{解析}本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF ⊥AE 于F ，得出S 1＝AB •BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作EF ∥AB 交CD 于F ，FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥FG 于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出△CHF 为等腰三角形，得出AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ，求出BG ＝CH ＝FH ＝FG －HG ＝1，AG ＝AB －BG ＝5，得出S 2＝AE •AG ＝6×5＝30；（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM ⊥AB 于M ，FN ⊥AE 于N ，过点C 作CG ⊥FM 于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出△CGF 为等腰三角形，得出MG ＝BC ＝5，BM ＝CG ，FG ＝DG ，设AM ＝x ，则BM ＝6－x ，FM ＝GM +FG ＝GM +CG ＝BC +BM ＝11－x ，得出S ＝AM ×FM ＝x (1－x )－x 2+11x ，由二次函数的性质即可得出结果．{答案}解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示：过点C 作CF ⊥AE 于F ，S 1＝AB •BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6－x，∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，∴S＝AM×FM＝x(11－x)＝－x2+11x＝－(x－5.5)2+30.25，∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．{分值}12{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{难度:3-中等难度}{类别:高度原创}{考点:矩形的性质}{考点:与平行四边形有关的面积问题}{考点:二次函数与平行四边形综合}{题目}23．（2019•绍兴T23）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM ＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．{解析}本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识．（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2－DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2＋DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．{答案}解：（1）①AM＝AD＋DM＝40，或AM＝AD－DM＝20．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∴AM＝202或（AM＝－202舍去）．当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∴AM＝1010或（AM＝－1010舍去）．综上所述，满足条件的AM的值为202或1010．（2）如图2中，连接CD1．由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝302，∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，∴CD1＝CD22＋D1D22＝306，∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1，又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1＝306．{分值}12{章节:[1-17-1]勾股定理}{难度:4-较高难度}{类别:发现探究}{考点:勾股定理}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:几何综合}{题目}24．（2019•绍兴T24）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k ＝MN ∶EF ．（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．（2）若a ：b 的值为12，求k 的最大值和最小值．（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE ＝60°，MP ＝EF ＝3PE 时，求a ∶b 的值．{解析}本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，是一道几何综合题．（1）作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ．证明△FHE ≌△MQN （ASA ），即可解决问题．（2）由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值＝5，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为255．（3）连接FN ，ME ．由k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ，推出MN PM ＝EF PE ＝3，推出PN PM ＝PF PE＝2，由△PNF ∽△PME ，推出NF ME ＝PN PM＝2，ME ∥NF ，设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，接下来分两种情形①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．②如图3中，当点N 与C 重合，分别求解即可．{答案}解：（1）如图1中，作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形，∴FH ＝AB ，MQ ＝BC ，∵AB ＝CB ，∴EH ＝MQ ，∵EF ⊥MN ，∴∠EON ＝90°，∵∠ECN ＝90°，∴∠MNQ +∠CEO ＝180°，∠FEH +∠CEO ＝180°，∴∠FEH ＝∠MNQ ，∵∠EHF ＝∠MQN ＝90°，∴△FHE ≌△MQN （ASA ），∴MN ＝EF ，∴k ＝MN ∶EF ＝1．（2）∵a ∶b ＝1∶2，∴b ＝2a ，由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值＝5，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为255．（3）连接FN ，ME ． ∵k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ，∴MN PM ＝EF PE ＝3，∴PN PM ＝PF PE＝2， ∵∠FPN ＝∠EPM ，∴△PNF ∽△PME ，∴NF ME ＝PN PM＝2，ME ∥NF ，设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．作FH ⊥BD 于H ．∵∠MPE ＝∠FPH ＝60°，∴PH ＝2m ，FH ＝23m ，DH ＝10m ，∴a b ＝AB AD ＝FH HD ＝35． ②如图3中，当点N 与C 重合，作EH ⊥MN 于H ．则PH ＝m ，HE ＝3m ，∴HC ＝PH ＋PC ＝13m ，∴tan ∠HCE ＝MB BC ＝HE HC ＝313， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB ＝∠FCB ＝∠CFD ，∵∠B ＝∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD MB ＝FC ME ＝2，∴a b ＝CD BD ＝2MB BC ＝2313，综上所述，a ∶b 的值为35或2313． {分值}14{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:5-高难度}{类别:发现探究}{考点:矩形的性质}{考点:相似三角形的性质}{考点:其他二次函数综合题}{考点:几何综合}。

2022年浙江省绍兴市中考数学试卷和答案解析

2022年浙江省绍兴市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）实数﹣6的相反数是（）A．B．C．﹣6D．62．（4分）2022年北京冬奥会3个赛区场馆使用绿色电力，减排320000吨二氧化碳．数字320000用科学记数法表示是（）A．3.2×106B．3.2×105C．3.2×104D．32×104 3．（4分）由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）下列计算正确的是（）A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a2•a＝a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a56．（4分）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．（4分）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5 8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC ＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（4分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）A．若x1x2＞0，则y1y3＞0B．若x1x3＜0，则y1y2＞0C．若x2x3＞0，则y1y3＞0D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 10．（4分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2+x＝．12．（5分）关于x的不等式3x﹣2＞x的解集是．13．（5分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是．14．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是．16．（5分）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）（1）计算：6tan30°+（π+1）0﹣．（2）解方程组：．18．（8分）双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长x（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．八年级学生每日完成书面作业所需时长情况的统计表组别所需时长（小时）学生人数（人）A0＜x≤0.515B0.5＜x≤1mC1＜x≤1.5nD 1.5＜x≤25（1）求统计表中m，n的值．（2）已知该校八年级学生有800人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满足0.5＜x≤1.5的共有多少人．19．（8分）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.51 1.52y1 1.52 2.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝kx+b（k≠0），y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．20．（8分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）21．（10分）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C 重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．23．（12分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．24．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．参考答案与解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：D．【解析】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．【解答】解：320000＝3.2×105，故选：B．【解析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．3．【解答】解：由图可得，题目中图形的主视图是，故选：B．【解析】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出相应的图形．4．【解答】解：∵总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，∴摸到红球的概率P＝，故选：A．【解析】本题考查了概率公式，掌握P（摸到红球的概率）＝红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．5．【解答】解：A选项，原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故该选项符合题意；B选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；故选：A．【解析】本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．6．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【解析】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．7．【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．【解析】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．8．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．【解析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．9．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3，∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A 不符合题意；若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意；故选：D．【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．10．【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．【解析】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．【解答】解：x2+x＝x（x+1）．故答案为：x（x+1）．【解析】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．12．【解答】解：∵3x﹣2＞x，∴3x﹣x＞2，即2x＞2，解得x＞1，故答案为：x＞1．【解析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．13．【解答】解：设良马x天追上劣马，根据题意得：240x＝150（x+12），解得x＝20，答：良马20天追上劣马；故答案为：20．【解析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．14．【解答】解：如图，点D即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣80°）＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，∴∠ACD′＝∠AD′C，∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，∴∠AD′C＝40°，∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．故答案为：10°或100°．【解析】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．15．【解答】解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．【解析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．16．【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案为：5或．【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．【解答】解：（1）原式＝6×+1﹣2＝＝1；（2），①+②得：3x＝6，解得x＝2，把x＝2代入②，得：y＝0，∴原方程组的解是．【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，二次根式的性质与化简，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握以上知识熟练运算．18．【解答】解：（1）被调查总人数：15÷15%＝100（人），∴m＝100×60%＝60（人），n＝100﹣15﹣60﹣5＝20（人），答：m为60，n为20；（2）∵当0.5＜x≤1.5时，在被调查的100人中有60+20＝80（人），∴在该校八年级学生800人中，每日完成书面作业所需时长满足0.5＜x≤1.5的共有800×＝640（人），答：估计共有640人．【解析】本题考查统计图和统计表，解题的关键是掌握从图表中寻找“完整信息”从而求出被调查的总数．19．【解答】解：（1）函数的图象如图所示：根据图象可知：选择函数y＝kx+b，将（0，1），（1，2）代入，得解得∴函数表达式为：y＝x+1（0≤x≤5）；（2）当y＝5时，x+1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【解析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．20．【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，答：∠BAD的度数是47°．（2）在Rt△ABC中，，∴．在Rt△ADC中，，∵BD＝4，∴，∴，∴AC≈3.3（米），答：表AC的长是3.3米．【解析】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．21．【解答】（1）解：连结OA，如图：∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴＝＝；（2）证明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠OAD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ODA，∴AD平分∠BDO．【解析】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．22．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P与E重合，∴D在AB边上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度数为25°；（2）①当点P在线段BE上时，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．【解析】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形内角和定理．23．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m＝或m＝（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．【解析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．24．【解答】解：（1）∵DE＝2，∴AE＝AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°．由对称性知∠BEM＝45°，∴∠AEM＝90°．（2）如图2，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，∴CN＝2．由对称性得，∠ENC＝∠BDC，∴cos∠ENC＝，得EN＝，∴DE＝EN＝．∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），∴∠DBC＝∠BNM，∴MN∥BD．（3）如图3，当E在边AD上时，∴∠BMC＝90°，∴MC＝．∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∴△BCM≌△CED（AAS），∴DE＝MC＝．如图4，点E在边CD上时，∵BM＝6，BC＝8，∴MC＝，CN＝8﹣．∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，∴△BMC∽△CNE，∴，∴EN＝，∴DE＝EN＝．综上所述，DE的长为或．【解析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键．。

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题09 三角形

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题09三角形选择题1. （2001年浙江绍兴3分）如图，∆ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，若ED=3，则AB 等于【】（A ）23 （B ）6 （C ）9 （D ）492. （2001年浙江绍兴3分）∆ABC 中，∠C=900，若BC=4，sin A 23，则AC 的长是【】（A ）6 （B ）52 （C ）53 （D ）1323. （2002年浙江绍兴3分）边长为a 的正六边形的边心距为【】（A ）a （B ）（C （D ）2a4. （2003年浙江绍兴4分）已知点G 是△ABC 的重心，GP ∥BC 交AB 边于点P ，BC=33，则GP 等于【】A ．33B ．3C ．23D ．3325. （2003年浙江绍兴4分）身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面交角如过后下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中【】A ．甲的最高【答案】B 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据正弦函数定义，甲所放风筝的高度为100sin40°；乙所放风筝的高度为100sin45°≈70米；丙所放风筝的高度为90sin60°≈78米。

而 100sin40°＜100sin45°，因此可知丙的风筝飞得最高，乙次之，而甲最低。

故选B 。

6. （2008年浙江绍兴4分）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为【】A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米二、填空题1. （2001年浙江绍兴3分）如图，∆ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于点D，若AD=6，BD=2，则BC 的长是▲ 。

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题11 圆

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题11圆一、选择题1. （2001年浙江绍兴3分）如图，⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB 于点E ，若AB=4，CE=1，则⊙O 的半径是【】（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.52. （2002年浙江绍兴3分）已知关于x 的一元二次方程()221x R r x d 04-++=没有实数根，其中R ，r 分别为是⊙O1，⊙O2的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为【】（A ）外离（B ）相切（C ）相交（D ）内含【答案】【考点】一元二次方程根的判别式，，不等式的性质，圆与圆的位置关系【分析】∵方程()221x R r x d 04-++=无实数根，∴()221=R r 41d 04<∆⎡-+⎤-⋅⋅⎣⎦。

∴()()R r d R r d 0<+++-。

∵R r d ++＞0，∴R r d +-＜0，即：d ＞R r +。

∴两圆外离。

故选A 。

3. （2004年浙江绍兴4分）在平面直角坐标系中，两圆的圆心坐标分别为（0，1）和（1，0），半径都是1，那么这两圆的位置关系是【】A．外离 B．相切 C．相交 D．内含4. （2004年浙江绍兴4分）圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m，∠CAD=30°，则大棚高度CD约为【】A．2.0 m B．2.3 m C．4.6 m D．6.9 m∴大棚高度CD约为2.3m。

故选B。

5. （2005年浙江绍兴4分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是【】（A）43（B）34（C）35（D）456. （2006年浙江绍兴4分）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为350，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于【】A．150 B．200 C．250 D．3007. （2007年浙江绍兴4分）如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【】A．内含 B．相交 C．相切 D．外离8. （2008年浙江绍兴4分）如图，量角器外缘边上有A 、P 、Q 三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ 的大小为【】A ．010B ．020C ．030D ．0409. （2009年浙江绍兴4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M ，N 两点．若点M 的坐标是（2，－1），则点N 的坐标是【】A ．（2，－4）B ．（2，－4.5）C ．（2，－5）D ．（2，－5.5）10. （2010年浙江绍兴4分）已知⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是【】A．3 B．4 C．6 D．811. （2010年浙江绍兴4分）如图为某机械装置的截面图，相切的两圆⊙O1，⊙O2均与⊙O的弧AB相切，且O1O2∥l1（l1为水平线），⊙O1，⊙O2的半径均为30mm，弧AB的最低点到l1的距离为30mm，公切线l2与l1间的距离为100mm．则⊙O的半径为【】A．70mm B．80mm C．85mm D．100mm。

中考数学专题复习第31章尺规作图(含解析)

第三十一章尺规作图1.（浙江省绍兴，7，3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（）A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确【解析】将圆三等分，依次连结各等分点，即可作出圆内接正三角形．【答案】A【点评】本题主要考查圆内接正三角形的作法和判定以及圆的有关知识．19．( 山东德州中考,19,8,)有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）AB19．【解析】分析此题的条件可知，要想到A 、B 两点的距离相等，可知点C 必在AB 的垂直平分线上；要想到两公路的距离相等，必须在两公路夹角的角平分线上．作出二者的交点即为所求．注意两公路夹角的角平分线不止一条．解：根据题意知道，点C 应满足两个条件，一是在线段的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C 应是它们的交点. ⑴ 作两条公路夹角的平分线或；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点，就是所求的位置.…………………（8分）注：本题学生能正确得出一个点的位置得6分，得出两个点的位置得8分．【点评】此题综合考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解答此类题不要漏电所有符合条件的点，要注意在角的外部也有符合条件的点．（2）（贵州铜仁，19（2），5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）ABFGDOE 19(2)题图【分析】根据垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，连接AB 并作AB 的垂直平分线，然后以C 点为圆心，以AB 的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点，即为所求的点M 位置【解析】作图1、连结AB2、作出线段AB 的垂直平分线3、以C 点为圆心，以AB 的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点M4、在矩形中标出点M 的位置【点评】此题看出来图形设计作图与实际应用，本题主要利用垂直平分线的作法，属于基本作图，应牢固掌握。

2023年浙江绍兴中考数学真题(解析版)

数学卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分1.计算23-的结果是（）A.1- B.3- C.1D.3【答案】A 【解析】【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可．【详解】解：231-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法计算法则．减去一个数等于加上它的相反数．2.据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（）A.727.410⨯B.82.7410⨯ C.90.27410⨯ D.92.7410⨯【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案．【详解】解：8274000000 2.7410=⨯，故选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．3.由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，中间没有，右边1个小正方形，故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．4.下列计算正确的是（）A.623a a a÷= B.()52a a-=- C.()()2111a a a+-=- D.22(1)1a a+=+【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂相除法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选项C；根据完全平方公式判断选项D即可．【详解】解：A．6243a a a a÷=≠，原计算错误，不符合题意；B．()5210a a a-=-≠-，原计算错误，不符合题意；C．()()2111a a a+-=-，原计算正确，符合题意；D．222(1)211a a a a+=++≠+，原计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键．5.在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（）A.25 B.35 C.27D.57【答案】C【解析】【分析】根据概率的意义直接计算即可．【详解】解：在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，共有7种可能，摸到红球的可能为2种，则摸出红球的概率是27，故选：C ．【点睛】本题考查了概率的计算，解题关键是熟练运用概率公式．6.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y 斛，则可列方程组是（）A.5352x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.5352x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.5352x y x y =+⎧⎨=+⎩ D.5253x y x y =+⎧⎨=+⎩【答案】B 【解析】【分析】设大容器的容积为x 斛，小容器的容积为y 斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x 、y 的二元一次方程组．【详解】解：设大容器的容积为x 斛，小容器的容积为y 斛，根据题意得：5352x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x 、y 的二元一次方程组是解题的关键．7.在平面直角坐标系中，将点(),m n 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A.()2,1m n -- B.()2,1m n -+ C.()2,1m n +- D.()2,1m n ++【答案】D 【解析】【分析】把(),m n 横坐标加2，纵坐标加1即可得出结果．【详解】解：将点(),m n 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是()2,1m n ++．故选：D ．【点睛】本题考查点的平移中坐标的变换，把(),a b 向上（或向下）平移h 个单位，对应的纵坐标加上（或减去）h ，，把(),a b 向右上（或向左）平移n 个单位，对应的横坐标加上（或减去）n ．掌握平移规律是解题的关键．8.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上，动点F 在线段OD 上，点,E F 同时从点O 出发，分别向终点,B D 运动，且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E ；点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分别证明四边形1212E E F F 是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，90BAD ABC ∠=∠=︒，∴60BDC ABD ∠=∠=︒，906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒，∵OE OF =、OB OD =，∴DF EB =∵对称，∴21DF DF BF BF ==，，21,BE BE DE DE ==∴1221E F E F =∵对称，∴260F DC CDF ∠=∠=︒，130EDA E DA ∠=∠=︒∴160E DB ∠=︒，同理160F BD ∠=︒，∴11DE BF ∥∴1221E F E F ∥∴四边形1212E E F F 是平行四边形，如图所示，当,,E F O 三点重合时，DO BO =，∴1212DE DF AE AE ===即1212E E EF =∴四边形1212E E F F 是菱形，如图所示，当,E F 分别为,OD OB 的中点时，设4DB =，则21DF DF ==，13DE DE ==，在Rt △ABD 中，2,AB AD ==，连接AE ，AO ，∵602ABO BO AB ∠=︒==，，∴ABO 是等边三角形，∵E 为OB 中点，∴AE OB ⊥，1BE =，∴AE =，根据对称性可得1AE AE ==∴2221112,9,3AD DE AE ===，∴22211AD AE DE =+，∴1DE A 是直角三角形，且190E ∠=︒，∴四边形1212E E F F 是矩形，当,F E 分别与,D B 重合时，11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形∴在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．9.已知点()()()4,2,2,,2,M a N a P a ---在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】点()()()4,2,2,,2,M a N a P a ---在同一个函数图象上，可得N 、P 关于y 轴对称，当0x <时，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵()()2,,2,N a P a -，∴得N 、P 关于y 轴对称，∴选项A 、C 错误，∵()()4,2,2,M a N a ---在同一个函数图象上，∴当0x <时，y 随x 的增大而增大，∴选项D 错误，选项B 正确．故选：B ．10.如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点（不与点,B C 重合）．过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ；过点D 作DF AC ∥交AB 于点F ．N 是线段BF上的点，2BN NF =；M 是线段DE 上的点，2DM ME =．若已知CMN 的面积，则一定能求出（）A.AFE △的面积B.BDF V 的面积C.BCN △的面积D.DCE △的面积【答案】D 【解析】【分析】如图所示，连接ND ，证明FBD EDC ∽，得出FB FD ED EC =，由已知得出NF BFME DE=，则FD NFEC ME=，又NFD MEC ∠=∠，则NFD MEC ∽，进而得出MCD NDB ∠=∠，可得MC ND ∥，结合题意得出1122EMC DMC MNC S S S == ，即可求解．【详解】解：如图所示，连接ND ，∵DE AB ∥，DF AC ∥，∴,ECD FDB FBD EDC ∠=∠∠=∠，,BFD A A DEC ∠=∠∠=．∴FBD EDC ∽,NFD MEC ∠=∠．∴FB FDED EC=．∵2DM ME =，2BN NF =，∴11,33NF BF ME DE ==，∴NF BFME DE =．∴FD NFEC ME=．又∵NFD MEC ∠=∠，∴NFD MEC ∽．∴ECM FDN ∠=∠．∵FDB ECD ∠=∠∴MCD NDB ∠=∠．∴MC ND ∥．∴MNC MDC S S = ．∵2DMME =，∴1122EMC DMC MNC S S S == ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明MC ND ∥是解题的关键．卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11.因式分解：m 2﹣3m ＝__________．【答案】()3m m -【解析】【分析】题中二项式中各项都含有公因式m ，利用提公因式法因式分解即可得到答案．【详解】解：()233m m m m -=-，故答案为：()3m m -．【点睛】本题考查整式运算中的因式分解，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键．12.如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若100D ∠=︒，则B ∠的度数是________．【答案】80︒##80度【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180BD �邪＝，∵100D ∠=︒，∴18080B D ∠︒∠︒＝﹣＝．故答案为：80︒．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．13.方程3911x x x =++的解是________．【答案】3x =【解析】【分析】先去分母，左右两边同时乘以()1x +，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．【详解】解：去分母，得：39x =，化系数为1，得：3x =．检验：当3x =时，10x +≠，∴3x =是原分式方程的解．故答案为：3x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．14.如图，在菱形ABCD 中，40DAB ∠=︒，连接AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E ，连接CE ，则AEC ∠的度数是________．【答案】10︒或80︒【解析】【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得1202CAD DAB ∠=∠=︒，再进行分类讨论：当点E 在点A 上方时，当点E 在点A 下方时，即可进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，40DAB ∠=︒，∴1202CAD DAB ∠=∠=︒，连接CE ，①当点E 在点A 上方时，如图1E ，∵1AC AE =，120CAE ∠=︒，∴()1118020802AE C ∠=︒-︒=︒，②当点E 在点A 下方时，如图2E ，∵1AC AE =，120CAE ∠=︒，∴211102AE C CAE ∠=∠=︒，故答案为：10︒或80︒．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为180︒；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数k y x=（k 为大于0的常数，0x >）图象上的两点()()1122,,,A x y B x y ，满足212x x =．ABC 的边AC x ∥轴，边∥BC y 轴，若OAB 的面积为6，则ABC 的面积是________．【答案】2【解析】【分析】过点A B 、作AF y ⊥轴于点F ，AD x ⊥轴于点D ，BE x ⊥于点E ，利用6AFO ABO BOE FABEO S S S S k =++=+ 五边形，AFOD FABEO ADEB ADEB S S S k S =+=+矩形五边形梯形梯形，得到6ADEB S =梯形，结合梯形的面积公式解得11=8x y ，再由三角形面积公式计算2112111111111()()22224ABC S AC BC x x y y x y x y =×=-×-=×=，即可解答．【详解】解：如图，过点A B 、作AF y ⊥轴于点F ，AD x ⊥轴于点D ，BE x ⊥于点E，6AFO ABO BOE FABEO S S S S k =++=+ 五边形AFOD FABEO ADEB ADEBS S S k S =+=+矩形五边形梯形梯形6ADEB S ∴=梯形2121()()62y y x x +-∴= 212x x =2112y y ∴=11112121111()(2)()()32==6224y y x x y y x x y x +-+-∴=11=8x y ∴8k ∴=21121111111111()()82222244ABC S AC BC x x y y x y x y =×=-×-=×==´=故答案为：2．【点睛】本题考查反比例函数中k 的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．16.在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-≤≤的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数()21034y x bx c x =++≤≤图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =________．【答案】712或2512-【解析】【分析】根据题意求得点()3,0A ，()3,4B ，()0,4C，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．【详解】由()2(2)03y x x =-≤≤，当0x =时，4y =，∴()0,4C ，∵()3,0A ，四边形ABCO 是矩形，∴()3,4B ，①当抛物线经过O B ，时，将点()0,0，()3,4B 代入()21034y x bx c x =++≤≤，∴019344c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得：712b =②当抛物线经过点,A C 时，将点()3,0A ,()0,4C 代入()21034y x bx c x =++≤≤，∴419304c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得：2512b =-综上所述，712b =或2512b =-，故答案为：712或2512-．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.（1）计算：0(1)π---．（2）解不等式：324x x ->+．【答案】（1）1；（2）3x >【解析】【分析】（1）根据零指数幂的性质、二次根式的化简、绝对值的性质依次解答；（2）先移项，再合并同类项，最后化系数为1即可解答．【详解】解：（1）原式1=-+1=．（2）移项得36x x ->，即26x >，∴3x >．∴原不等式的解是3x >．【点睛】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的化简和解一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．18.某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生调查内容你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A ．篮球B ．乒乓球C ．足球D ．排球E ．羽毛球调查结果建议……结合调查信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了多少名学生？（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．（3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．【答案】（1）100（2）360（3）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数；（2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可；（3）从图中观察或计算得出，合理即可．【小问1详解】被抽查学生数：3030%100÷=，答：本次调查共抽查了100名学生．【小问2详解】被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：1005%5⨯=，∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100301015540----=，∴40900360100⨯=（人）．答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360．【小问3详解】答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题．19.图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA 垂直地面OB ，支架CD 与OA 交于点A ，支架CG CD ⊥交OA 于点G ，支架DE 平行地面OB ，篮筺EF 与支架DE 在同一直线上， 2.5OA =米，0.8AD =米，32AGC ∠=︒．（1）求GAC ∠的度数．（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin 320.53,cos320.85,tan 320.62︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）58︒（2）该运动员能挂上篮网，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长,OA ED 交于点M ，根据题意得出32ADM ∠=︒，解Rt ADM △，求得AM ，根据OM OA AM =+与3比较即可求解．【小问1详解】解：∵CG CD ⊥，∴90ACG ∠=︒，∵32AGC ∠=︒，∴903258GAC ∠=︒-︒=︒．【小问2详解】该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长,OA ED 交于点M ，∵,OA OB DE OB ⊥∥，∴90DMA ∠=︒，又∵58DAM GAC ∠=∠=︒，∴32ADM ∠=︒，在Rt ADM △中，sin 320.80.530.424AM AD =︒≈⨯=，∴ 2.50.424 2.9243OM OA AM =+=+=<，∴该运动员能挂上篮网．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20.一条笔直的路上依次有,,M P N 三地，其中,M N 两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从,M N 两地同时出发，去目的地,N M ，匀速而行．图中,OA BC 分别表示甲、乙机器人离M 地的距离y （米）与行走时间x （分钟）的函数关系图象．（1）求OA 所在直线的表达式．（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？（3）甲机器人到P 地后，再经过1分钟乙机器人也到P 地，求,P M 两地间的距离．【答案】（1）200y x=（2）出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇（3）,P M 两地间的距离为600米【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求出BC 所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；（3）列出方程即可解决．【小问1详解】∵()()0,0,5,1000O A ，∴OA 所在直线的表达式为200y x =．【小问2详解】设BC 所在直线的表达式为y kx b =+，∵()()0,1000,10,0B C ，∴10000,010,b k b =+⎧⎨=+⎩解得100,1000k b =-⎧⎨=⎩．∴1001000y x =-+．甲、乙机器人相遇时，即2001001000x x =-+，解得103x =，∴出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇．【小问3详解】设甲机器人行走t 分钟时到P 地，P 地与M 地距离200y t =，则乙机器人()1t +分钟后到P 地，P 地与M 地距离()10011000y t =-++，由()20010011000t t =-++，得3t =．∴600y =．答：,P M 两地间的距离为600米．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．21.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点C 作O 的切线CD ，交AB 的延长线于点D ，过点A 作AE CD ⊥于点E ．（1）若25EAC ∠=︒，求ACD ∠的度数．（2）若2,1OB BD ==，求CE 的长．【答案】（1）115︒（2）CE =【解析】【分析】（1）根据三角形的外角的性质，ACD AEC EAC ∠=∠+∠即可求解．（2）根据CD 是O 的切线，可得90OCD ∠=︒，在Rt OCD △中，勾股定理求得CD 根据OC AE ∥，可得CD OD CE OA=，进而即可求解．【小问1详解】解：∵AE CD ⊥于点E ，∴90AEC ∠=︒，∴9025115ACD AEC EAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【小问2详解】∵CD 是O 的切线，OC 是O 的半径，∴90OCD ∠=︒．在Rt OCD △中，∵2,3OC OB OD OB BD ===+=，∴CD ==．∵90OCD AEC ∠=∠=︒，∴OC AE∥∴CD OD CE OA =，即32CE =，∴CE =．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．22.如图，在正方形ABCD 中，G 是对角线BD 上的一点（与点,B D 不重合），,,,GE CD GF BC E F ⊥⊥分别为垂足．连接,EF AG ，并延长AG 交EF 于点H ．（1）求证：DAG EGH ∠=∠．（2）判断AH 与EF 是否垂直，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）AH 与EF 垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质，得到AD CD ⊥，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得AD GE ∥，再根据平行线的性质解答即可；（2）连接GC 交EF 于点O ，由SAS 证明ADG CDG ≌，再根据全等三角形对应角相等得到DAG DCG ∠=∠，继而证明四边形FCEG 为矩形，最后根据矩形的性质解答即可．【小问1详解】解：在正方形ABCD 中，AD CD⊥GE CD⊥ ∴AD GE ∥，∴DAG EGH ∠=∠．【小问2详解】AH 与EF 垂直，理由如下．连接GC 交EF 于点O ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴45ADG CDG ∠=∠=︒，又∵,DG DG AD CD ==，∴ADG CDG ≌，∴DAG DCG ∠=∠．在正方形ABCD 中，ECF ∠=︒，又∵,GE CD GF BC ⊥⊥，∴四边形FCEG 为矩形，∴OE OC =，∴OEC OCE ∠=∠，∴DAG OEC ∠=∠．又∵DAG EGH ∠=∠，∴90EGH GEH OEC GEH GEC ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90GHE ∠=°，∴AH EF ⊥．【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．23.已知二次函数2y x bx c =-++．（1）当4,3b c ==时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x -≤≤时，求y 的取值范围．（2）当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】（1）①()2,7；②当13x -≤≤时，27y -≤≤（2）222y x x =-++【解析】【分析】（1）①将4,3b c ==代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点()2,7，根据二次函数的增减性，得出当2x =时，y 有最大值7，当=1x -时取得最小值，即可求解；（2）根据题意0x ≤时，y 的最大值为2；0x >时，y 的最大值为3，得出抛物线的对称轴2b x =在y 轴的右侧，即0b >，由抛物线开口向下，0x ≤时，y 的最大值为2，可知2c =，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出2b =，即可得解．【小问1详解】解：①当4,3b c ==时，2243(2)7y x x x =-++=--+，∴顶点坐标为()2,7．②∵顶点坐标为()2,7．抛物线开口向下，当12x -≤≤时，y 随x 增大而增大，当23x ≤≤时，y 随x 增大而减小，∴当2x =时，y 有最大值7．又()2132-->-∴当=1x -时取得最小值，最小值=2y -；∴当13x -≤≤时，27y -≤≤．【小问2详解】∵0x ≤时，y 的最大值为2；0x >时，y 的最大值为3，∴抛物线的对称轴2b x =在y 轴的右侧，∴0b >，∵抛物线开口向下，0x ≤时，y 的最大值为2，∴2c =，又∵()()241341c b ⨯-⨯-=⨯-，∴2b =±，∵0b >，∴2b =，∴二次函数的表达式为222y x x =-++．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.在平行四边形ABCD 中（顶点,,,A B C D 按逆时针方向排列），12,10,AB AD B ==∠为锐角，且4sin 5B =．（1）如图1，求AB 边上的高CH 的长．（2）P 是边AB 上的一动点，点,C D 同时绕点P 按逆时针方向旋转90︒得点,C D ''．①如图2，当点C '落在射线CA 上时，求BP 的长．②当AC D ''△是直角三角形时，求BP 的长．【答案】（1）8（2）①347BP =；②6BP =或8±【解析】【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明PQC CHP '△≌△，再证明AQC AHC '△∽△，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：C '为直角顶点；第二种：A 为直角顶点；第三种，D ¢为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【小问1详解】在ABCD Y 中，10BC AD ==，在Rt BCH 中，4sin 1085CH BC B ==⨯=．【小问2详解】①如图1，作CH BA ⊥于点H ，由（1）得，6BH ==，则1266AH =-=，作C Q BA '⊥交BA 延长线于点Q ，则90CHP PQC ∠'=∠=︒，∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒．∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，∴PQC CHP '△≌△．设BP x =，则8,6,4PQ CH C Q PH x QA PQ PA x ====-=-=-'．∵,C Q AB CH AB '⊥⊥，∴C Q CH '∥，∴AQC AHC '△∽△，∴C Q QA CH HA ='，即6486x x --=，∴347x =，∴347BP =．②由旋转得,PCD PC D CD C D '''='△≌△，CD C D ⊥''，又因为AB CD ，所以C D AB ''⊥．情况一：当以C '为直角顶点时，如图2．∵C D AB ''⊥，∴C '落在线段BA 延长线上．∵PC PC ⊥'，∴PC AB ⊥，由（1）知，8PC =，∴6BP =．情况二：当以A 为直角顶点时，如图3．设C D ''与射线BA 的交点为T ，作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，∴CPH PC T ∠=∠'．又∵90,CHP PTC PC C P ∠=∠=='︒'，∴CPH PC T '△≌△，∴,8C T PH PT CH '===．设C T PH t '==，则6AP t =-，∴2AT PT PA t=-=+∵90,C AD C D AB ∠=︒''⊥''，∴ATD C TA '' ∽，∴AT C T TD TA=''，∴2AT C T TD '=⋅'，∴()2(2)12t t ι+=-，化简得2420t t -+=，解得2t =±∴8BP BH HP =+=±情况三：当以D ¢为直角顶点时，点P 落在BA 的延长线上，不符合题意．综上所述，6BP =或8±【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．。

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题06 函数的图像与性质

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题06函数的图像与性质】选择题1. （2001年浙江绍兴3分）直线y 3x =与双曲线()ky k 0,x 0x =≠>的一个分支相交，则该分支位于【】（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2. （2002年浙江绍兴3分）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，Q （2，k ）是该抛物线上一点，且AQ ⊥BQ ，则ak 的值等于【】（A ）－1 （B ）－2 （C ）2 （D ）3∵Q （2，k ）在抛物线2y ax bx c =++上，∴k 4a 2b c =++②。

①②联立，得：2ak k ak 1=-⇒=-。

故选A 。

3. （2003年浙江绍兴4分）若点(－1,2)是反比例函数ky x =图象上一点，则k 的值是【】A ．－21B ．21C ．－2D ．2【答案】C 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵点(－1，2)是反比例函数k y x =图象上一点，∴k21=-，解得：k 2=-。

故选C 。

4. （2004年浙江绍兴4分）已知正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），则k 的值为【】A ．21B ．1C ．2D ．45. （2005年浙江绍兴4分）反比例函数2y x =的图象在【】（A ）第一、三象限（B ）第二、四象限（C ）第一、二象限（D ）第三、四象限6. （2005年浙江绍兴4分）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数2h 3.5t 4.9t=-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是【】（A）0.71s（B）0.70s（C）0.63s（D）0.36s7. （2006年浙江绍兴4分）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21x35y.5-=+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是【】A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m8. （2006年浙江绍兴4分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB 上，点B ，E 在函数1y (x 0)x =>的图象上，则点E 的坐标是【】A．⎝⎭; B．⎝⎭ C．⎝⎭; D．⎝⎭9. （2008年浙江绍兴4分）已知点11(x y )，，22(x y )，均在抛物线2y x 1=-上，下列说法中正确的是【】A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若12x x 0<<，则12y y >【答案】D 。

2020年浙江省绍兴市中考数学试卷解析版

2020年浙江省绍兴市中考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.实数2，0，-2，中，为负数的是（）A. 2B. 0C. -2D.2.某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（）A. 0.202×1010B. 2.02×109C. 20.2×108D. 2.02×1083.将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）A. B.C. D.4.如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A. 20cmB. 10cmC. 8cmD. 3.2cm6.如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（）A.B.C.D.7.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A. 4B. 5C. 6D. 78.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形9.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小10.同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A. 120kmB. 140kmC. 160kmD. 180km二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.分解因式：1-x2=______．12.若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是______（写出一个即可）．13.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为______．14.如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为______．15.有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是______元．16.将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的______（填序号）．①，②1，③-1，④，⑤．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）17.（1）计算：-4cos45°+（-1）2020．（2）化简：（x+y）2-x（x+2y）．18.如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2．求CF的长．（2）若∠BAF=90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．19.一只羽毛球的重量合格标准是5.0克～5.2克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验．并将所得数据绘制成如图统计图表．组别重量x（克）数量（只）A x＜5.0mB 5.0≤x＜5.1400C 5.1≤x＜5.2550D x≥5.230（1）求表中m的值及图中B组扇形的圆心角的度数．（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？20.我国传统的计重工具--秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12471112y（斤）0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50（）在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？21.如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC 上下移动，AF=EF=FG=1m．（1）若移动滑块使AE=EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22.问题：如图，在△ABD中，BA=BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC，若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC=45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．23.如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA=2.88m．这时水平距离OB=7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）24.如图1，矩形DEFG中，DG=2，DE=3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG=2，OC=4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α=30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：实数2，0，-2，中，为负数的是-2，故选：C．根据负数定义可得答案．此题主要考查了实数，关键是掌握负数定义．2.【答案】B【解析】解：2020000000=2.02×109，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．4.【答案】D【解析】解：连接BE，∵∠BEC=∠BAC=15°，∠CED=30°，∴∠BED=∠BEC+∠CED=45°，∴∠BOD=2∠BED=90°．故选：D．首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．5.【答案】A【解析】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x=2：5，解得x=20．故选：A．根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．本题主要考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6.【答案】C【解析】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：；故选：C．根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】B【解析】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．8.【答案】B【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC 的位置关系即可求解．9.【答案】C【解析】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC=BP=BA，∴∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA=180°，∠ABP+∠CBP=90°，∴∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，∵∠CPA=∠AHC+∠PAH=135°，∴∠PAH=135°-90°=45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．由旋转的性质可得BC=BP=BA，由等腰三角形的性质和三角形内接和定理可求∠BPC+∠BPA=135°=∠CPA，由外角的性质可求∠PAH=135°-90°=45°，即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10.【答案】B【解析】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB=xkm，AC=ykm，根据题意得：，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．故选：B．设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．11.【答案】（1+x）（1-x）【解析】解：1-x2=（1+x）（1-x）．故答案为：（1+x）（1-x）．分解因式1-x2中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可．本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12.【答案】答案不唯一，如x-y【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，而1-1=0，∴多项式A可以是答案不唯一，如x-y．故答案为：答案不唯一，如x-y．根据方程组的解的定义，为应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为列一组算式，然后用x，y代换即可．考查了二元一次方程组的解，本题是开放题，注意方程组的解的定义．13.【答案】4【解析】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：=，故阴影部分的面积是：=4，故答案为：4．根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14.【答案】2或2【解析】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC=AB=2，∴BE=，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD=2，∴BE=DE，∴AD=AB=2，∴m=2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′=2，∴D′E=3，∴AD′==2，∴m=2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B 在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质．正确的作出图形是解题的关键．15.【答案】100或85【解析】解：设所购商品的标价是x元，则①所购商品的标价小于90元，x-20+x=150，解得x=85；②所购商品的标价大于90元，x-20+x-30=150，解得x=100．故所购商品的标价是100或85元．故答案为：100或85．可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．考查了一元一次方程的应用，属于商品销售问题，注意分两种情况进行讨论求解．16.【答案】①②③④【解析】解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③-1，④，不可以是．故答案为：①②③④．首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出图形是解题的关键．17.【答案】解：（1）原式=2-4×+1=2-2+1=1；（2）（x+y）2-x（x+2y）=x2+2xy+y2-x2-2xy=y2．【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．此题主要考查了实数运算以及完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF=AD=2；（2）∵∠BAF=90°，添加一个条件：当∠B=60°时，∠F=90°-60°=30°（答案不唯一）．【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE=CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B=60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：（1）550÷55%=1000（只），1000-400-550-30=20（只）即：m=20，360°×=144°，答：表中m的值为20，图中B组扇形的圆心角的度数为144°；（2）+==95%，12×10×（1-95%）=120×5%=6（只），答：这次抽样检验的合格率是95%，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有6只．【解析】（1）图表中“C组”的频数为550只，占抽查总数的55%，可求出抽查总数，进而求出“A组”的频数，即m的值；求出“B组”所占总数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（2）计算“B组”“C组”的频率的和即为合格率，求出“不合格”所占的百分比，即可求出不合格的数量．考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解图表中的数量和数量之间的关系，是正确计算的前提．20.【答案】解：（1）观察图象可知：x=7，y=2.75这组数据错误．（2）设y=kx+b，把x=1，y=0.75，x=2，y=1代入可得，解得，∴y=x+，当x=16时，y=4.5，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．【解析】（1）利用描点法画出图形即可判断．（2）设函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法解决问题即可．本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.【答案】解：（1）∵AE=EF=AF=1，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，连接MF并延长交AE于K，则FM=2FK，∵△AEF是等边三角形，∴AK=，∴FK==，∴FM=2FK=，∴BC=4FM=4≈6.92≈6.9（m）；（2）∵∠AFE=74°，∴∠AFK=37°，∴KF=AF•cos37°≈0.80，∴FM=2FK=1.60，∴BC=4FM=6.40＜6.92，6.92-6.40=0.5，答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．【解析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE=60°，连接MF并延长交AE于K，则FM=2FK，求得FK==，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．22.【答案】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA=EC，∴∠AED=2∠C，①∵∠BAE=90°，∴∠BAD=[180°-（90°-2∠C）]=45°+∠C，∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-（45°+∠C）=45°-∠C，②由①，②得，∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°；（2）设∠ABC=m°，则∠BAD=（180°-m°）=90°-m°，∠AEB=180°-n°-m°，∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+m°，∵EA=EC，∴∠CAE=AEB=90°-n°-m°，∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+m°+90°-n°-m°=n°．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED=2∠C，①求得∠DAE=90°-∠BAD=90°-（45°+∠C）=45°-∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC=m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．23.【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x-7）2+2.88，将x=0，y=1.9代入上式并解得：a=-，故抛物线的表达式为：y=-（x-7）2+2.88；当x=9时，y=-（x-7）2+2.88=2.8＞2.24，当x=18时，y=-（x-7）2+2.88=0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ=18-1=17，当y=0时，y=-（x-7）2+2.88=0，解得：x=19或-5（舍去-5），∴OP=19，而OQ=17，故PQ=6=8.4，∵9-8.4-0.5=0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【解析】（1）求出抛物线表达式；再确定x=9和x=18时，对应函数的值即可求解；（2）当y=0时，y=-（x-7）2+2.88=0，解得：x=19或-5（舍去-5），求出PQ=6=8.4，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义．24.【答案】解：（1）如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O=α=30°，∴C′H=C′O•cos30°=2，∴点C′到直线OF的距离为2．（2）①如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．∵C′P∥OF，∴∠O=180°-∠OC′P=45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′=4，∴C′M=2，∴点C′到直线DE的距离为2．如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴′N=2，∴点C′到直线DE的距离为2+2．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．∵OA′=2，OM=2，∠OMA′=90°，∴A′M===4，∴A′D=2，即d=2，如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．∵PQ=1，OQ=5，∴OP==，∴PM==，∴PD=-2，∴d=-2，∴2≤d≤-2．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G=2-2，即d=2-2，如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．∵OP=，OF=5，∴FP===1，∵OF=OT，PF=PT，∠F=∠PTO=90°，∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），∴∠FOP=∠TOP，∵PQ∥OQ，∴∠OPR=∠POF，∴∠OPR=∠POR，∴OR=PR，∵PT2+TR2=PR2，∴12+（5-PR）2=PR2，∴PR=2.6，RT=2.4，∵△B′PR∽△B′QO，∴=，∴=，∴OQ=，∴QG=OQ-OG=，即d=∴2-2≤d＜，第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d=3．综上所述，2≤d≤-2或d=3．【解析】（1）如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．解直角三角形求出CH即可．（2）①分两种情形：如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．分别求出C′M，C′N即可．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．结合图象可得结论．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G=2-2，即d=2-2，如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．求出QG可得结论．第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d=3．综上所述可得结论．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

【精品解析】2022年浙江省绍兴市中考数学真题(解析版)

A.0，4B.1，5C.1，－5D. －1，5
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
关于x的方程为，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
A. B. C.10D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：当△DFE∽△ECB时，如图，
∴ ，
设DF=x，CE=y，
∴ ，解得：，
∴ ，故B选项不符合题意；
∴ ，故选项D不符合题意；
把特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握以上知识熟练运算．
18.双减政策实施后，学校为了解八年级学生每日完成书面作业所需时长x（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
【详解】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，
设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，
∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，
∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，
在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，

2023中考数学真题汇编13 二次函数解答压轴题(含答案与解析)

2023中考数学真题汇编·13二次函数解答压轴题一、解答题1.（2023·浙江绍兴）已知二次函数2y x bx c ．（1）当4,3b c 时，①求该函数图象的顶点坐标．②当13x 时，求y 的取值范围．（2）当0x 时，y 的最大值为2；当0x 时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2.（2023·浙江）已知点 ,0m 和 3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b 是常数，0)a 的图像上．（1）当1m 时，求a 和b 的值；（2）若二次函数的图像经过点 ,3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m 时，求n 的取值范围；（3）求证：240b a ．3.（2023·上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c 经过点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．4.（2023·浙江嘉兴）在二次函数223(0)y x tx t 中，（1）若它的图象过点(2,1)，则t 的值为多少？（2）当03x 时，y 的最小值为2 ，求出t 的值：（3）如果(2,),(4,),(,)A m a B b C m a 都在这个二次函数的图象上，且3a b ，求m 的取值范围．5.（2023·浙江杭州）设二次函数21y ax bx ，（0a ，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x …1 0123…y …m 1n1p …（1）若4m ，求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．（3）若在m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．6.（2023·湖南常德）如图，二次函数的图象与x 轴交于 1,0A ， 5,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．O 为坐标原点，1tan 5ACO ．（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB 的面积；（3）P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ，求P 点的坐标．7.（2023·天津）已知抛物线2y x bx c (b ，c 为常数，1c )的顶点为P ，与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，抛物线上的点M 的横坐标为m ，且2b c m ，过点M 作MN AC ，垂足为N ．（1）若2,3b c ．①求点P 和点A 的坐标；②当MN M 的坐标；（2）若点A 的坐标为 ,0c ，且MP AC ∥，当3AN MN 时，求点M 的坐标．8.（2023·山东烟台）如图，抛物线25y ax bx 与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB ．抛物线的对称轴3x 与经过点A 的直线1y kx 交于点D ，与x 轴交于点E ．（1）求直线AD 及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为B 上一个动点，请求出12PC PA 的最小值．9.（2023·江苏苏州）如图，二次函数268y x x 的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．（1）求点,A B 的坐标；（2）若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点 3,2，求PM 长的取值范围．10.（2023·山东东营）如图，抛物线过点 0,0O ， 10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设 ,0B t ，当2t 时，4BC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t 时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．11.（2023·四川自贡）如图，抛物线2443y x bx 与x 轴交于(3,0)A ，B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线解析式及B ，C 两点坐标；（2）以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E ，使得45ACE ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2023·山东枣庄）如图，抛物线2y x bx c 经过(1,0),(0,3)A C 两点，并交x 轴于另一点B ，点M是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH 的最小值；（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2023·四川达州）如图，抛物线2y ax bx c 过点 1,0,3,,00,3A B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；（3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．14.（2023·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c 与坐标轴分别相交于点A ，B ， 0,6C 三点，其对称轴为2x ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ．①当CD CE 时，求CD 的长；②若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S ，求点F 的坐标．15.（2023·全国）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c 经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m ，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ 的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m 时，直接写出m 的值．16.（2023·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c 经过点3(4,)P ，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k 与抛物线交于B ，C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；（3）过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE 始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．17.（2023·四川遂宁）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线214y x bx c 经过点(0O ，0)，对称轴过点(2B ，0)，直线l 过点 2,2C ，且垂直于y 轴．过点B 的直线1l 交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当:3:5BM MQ 时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交1l 于点E ，设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．18.（2023·四川眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 3,0,1,0A B 两点，与y 轴交于点 0,3C ，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值；（3）过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．19.（2023·湖南郴州）已知抛物线24y ax bx 与x 轴相交于点()1,0A ， 4,0B ，与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PA PC 的值；（3）如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2023·甘肃武威）如图1，抛物线2y x bx 与x 轴交于点A ，与直线y x 交于点 4,4B ，点 0,4C 在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx 的表达式；（2）当22BP 时，请在图1中过点P 作PD OA 交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ 的最小值．21.（2023·山东聊城）如图①，抛物线29y ax bx 与x 轴交于点 30A ,， 6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标；（3）如图②，当点 ,0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ，垂足为点D ．当m 为何值时，PED V 面积最大，并求出最大值．22.（2023·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x 的顶点为P ．直线l 过点 0,3M m m ，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．（1）当1m 时，求点D 的坐标；（2）连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD ，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．23.（2023·湖南怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx 与x 轴交于(4,0)(2,0)A B 、两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设直线135:4l y kx k 交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y 上总存在一点E ，使得MEN 为直角．24.（2023·吉林长春）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx （b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m ．其中0m ．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m时，求m的值．轴于点C，连结AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC y两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．【参考答案与解析】1.【答案】（1）解：①当4,3b c 时，2243(2)7y x x x ，∴顶点坐标为 2,7．②∵顶点坐标为 2,7．抛物线开口向下，当12x 时，y 随x 增大而增大，当23x 时，y 随x 增大而减小，∴当2x 时，y 有最大值7．又 2132∴当=1x 时取得最小值，最小值=2y ；∴当13x 时，27y ≤≤．（2）∵0x 时，y 的最大值为2；0x 时，y 的最大值为3，∴抛物线的对称轴2bx在y 轴的右侧，∴0b ，∵抛物线开口向下，0x 时，y 的最大值为2，∴2c ，又∵241341c b ，∴2b ，∵0b ，∴2b ，∴二次函数的表达式为222y x x ．【分析】（1）①将4,3b c 代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点 2,7，根据二次函数的增减性，得出当2x 时，y 有最大值7，当=1x 时取得最小值，即可求解；（2）根据题意0x 时，y 的最大值为2；0x 时，y 的最大值为3，得出抛物线的对称轴2bx在y 轴的右侧，即0b ，由抛物线开口向下，0x 时，y 的最大值为2，可知2c ，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出2b ，即可得解．2.【答案】（1）解：当1m 时，图像过点 1,0和 3,0 ，∴030933a b a b，解得12a b ，∴223y x x ，∴1,2a b ．（2）解：∵函数图像过点 ,0m 和 3,0m ，∴函数图像的对称轴为直线x m ．∵图像过点 ,3,0,3n ，∴根据图像的对称性得2n m ．∵21m ，∴42n ．（3）解：∵图像过点 ,0m 和 3,0m ，∴根据图像的对称性得2bm a．∴2b am ，顶点坐标为2,3m am bm ．将点 ,0m 和 3,0m 分别代人表达式可得22030933am bm am bm ①②①3 ②得212120am ，∴21am ．∴222232334am bm am am am ．∴21244a b a．∴21216a b a ．∴240b a ．【分析】（1）由1m 可得图像过点 1,0和 3,0 ，然后代入解析式解方程组即可解答；（2）先确定函数图像的对称轴为直线x m ，则抛物线过点 ,3,0,3n ，即2n m ，然后再结合21m 即可解答；（3）根据图像的对称性得2bm a，即2b am ，顶点坐标为 2,3m am bm ；将点 ,0m 和 3,0m 分别代入表达式并进行运算可得21am ；则222232334am bm am am am ，进而得到21244a b a，然后化简变形即可证明结论．3.【答案】（1）解：∵直线364y x与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，当0x 时，代入得：6y ，故 0,6B ，当0y 时，代入得：8x ，故 8,0A ，（2）设3,64C m m，则可设抛物线的解析式为： 2364y a x m m ，∵抛物线M 经过点B ，将 0,6B 代入得：23664am m ，∵0m ，∴34am ，即34m a，∴将34m a 代入 2364y a x m m ，整理得：2362y ax x ，故32b，6c ；（3）如图：∵CD x ∥轴，点P 在x 轴上，∴设 ,0P p ，3,64C m m，∵点C ，B 分别平移至点P ，D ，∴点B ，点C 向下平移的距离相同，∴3366644m m，解得：4m ，由（2）知34m a，∴316a，∴抛物线N 的函数解析式为： 2316y x p ，将 0,6B 代入可得：p∴抛物线N 的函数解析式为： 2316y x 或 2316y x ．【分析】（1）根据题意，分别将0x ，0y 代入直线364y x即可求得；（2）设3,64C m m，得到抛物线的顶点式为 2364y a x m m ，将 0,6B 代入可求得34m a ，进而可得到抛物线解析式为2362y ax x ，即可求得b ，c ；（3）根据题意，设 ,0P p ，3,64C m m，根据平移的性质可得点B ，点C 向下平移的距离相同，即列式求得4m ，316a ，然后得到抛物线N 解析式为： 2316y x p ，将 0,6B 代入可得p得到答案．4.【答案】（1）将(2,1)代入223y x tx 中，得1443t ，解得，32t ；（2）抛物线对称轴为x t ．若03t ，当x t 时，函数值最小，22232t t ，解得t 0t ∵，t 若3t ，当3x 时，函数值最小，2963t ，解得73t （不合题意，舍去）综上所述t （3）(2,),(,)A m a C m a ∵关于对称轴对称，2,12m mt m t，且A 在对称轴左侧，C 在对称轴右侧∵抛物线与y 轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x t ，此交点关于对称轴的对称点为(23)2,m 3,3a b ∵且0t 422m ，解得3m ．当A ，B 都在对称轴左边时，a b∵42m ，解得6m ，6m 当A ，B 分别在对称轴两侧时a b B ∵到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离4(1)1(2)m m m ，解得4m 34m 综上所述34m 或6m ．【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分03t ，当x t 时，函数值最小，以及3t ，当3x 时，函数值最小，求得相应的t 值即可得；（3）由(2,),(,)A m a C m a 关于对称轴对称得1m t ，且A 在对称轴左侧，C 在对称轴右侧；确定抛物线与y 轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(23)2,m ，结合已知确定出3m ；再分类讨论：A ，B 都在对称轴左边时，A ，B 分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．5.【答案】（1）解：把 1,4 ， 2,1代入21y ax bx ，得144211a b a b ，解得：12a b ，∴221y xx ．（2）解：∵ 0,1， 2,1在21y ax bx 图象上，∴抛物线的对称轴为直线0212x ，∴当0a 时，则1x 时，y 随x 的增大而减小，当a<0时，则1x 时，y 随x 的增大而减小．（3）解：把 2,1代入21y ax bx ，得1421a b ，∴2b a∴22121y ax bx ax ax 把 1,m 代入221y ax ax 得，2131m a a a ，把 1,n 代入221y ax ax 得，211n a a a ，把 3,p 代入221y ax ax 得，96131p a a a ，∴m p ，∵m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，∴10310a a，解得：13a ．【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线1x ；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把 2,1代入21y ax bx ，得2b a ，从而得221y ax ax ，再求出31m a ，1n a ，31p a ，从而得m p ，然后m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，得10310a a，求解即可．6.【答案】（1）∵二次函数的图象与x 轴交于 1,0,5,0A B 两点．∴设二次函数的表达式为 15y a x x ∵11,tan 5AO ACO，∴5OC ，即C 的坐标为 0,5，则 50105a ，得1a ∴二次函数的表达式为 15y x x ；（2） 215(2)9y x x x ，∴顶点的坐标为2,9过D 作DN AB 于N ，作DM OC 于M ，四边形ACDB 的面积AOC CDM DNB OMDN S S S S △△△矩形 111152929552930222；（3）如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当ACO PBC 时，连接PB ，过C 作CE BC 交BP 于E ，过E 作EF OC 于F ，∵5OC OB ，则OCB 为等腰直角三角形，45OCB ．由勾股定理得：52CB ∵ACO PBC ，∴tan tan ACO PBC ，即1552CE CB ∴2CE 由CH BC ，得90BCE ，∴180180904545ECF BCE OCB ．∴EFC 是等腰直角三角形，∴1FC FE ，∴E 的坐标为 1,6所以过B E 、的直线的解析式为31522y x令 3152215y x y x x ，解得50x y ，或12274x y所以BE 直线与抛物线的两个交点为 1275,0,,24B P ，即所求P 的坐标为127,24P【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C 点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a 的值，再将a 代入解析式中即可．（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案．（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P 的坐标．7.【答案】（1）解：①由2,3b c ，得抛物线的解析式为223y x x ．∵2223(1)4y x x x =--+=-++，∴点P 的坐标为 1,4 ．当0y 时，2x 2x 30 ．解得123,1x x ．又点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为 3,0 ．②过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ．∵点 30A ,，点 0,3C ，∴OA OC ．可得Rt AOC 中，45OAC ．∴Rt AEF 中，EF AE ．∵抛物线223y x x 上的点M 的横坐标为m ，其中3<1m ，∴设点 2,23M m m m ，点 ,0E m ．得 33EF AE m m ．即点 ,3F m m ．∴222333FM m m m m m ．Rt FMN 中，可得45MFN ．∴2FM MN ．又2MN 得2FM ．即232m m ．解得122,1m m (舍)．∴点M 的坐标为 2,3 ．（2）∵点 ,0A c 在抛物线2y x bx c 上，其中1c ，∴20c bc c ．得1b c ．∴抛物线的解析式为 21y x c x c ．得点2,1M m m c m c ，其中12cc m．∵ 2221(1)124c c y x c x c x，∴顶点P 的坐标为21(1),24c c，对称轴为直线1:2cl x ．过点M 作MQ l 于点Q ，则90MQP ，点 21,12c Q m c m c．由MP AC ∥，得45PMQ ．于是MQ QP ．∴ 221(1)124c c m m c m c ．即2(2)1c m ．解得1221,21c m c m (舍)．同(Ⅰ)，过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ，则点 ,0E m ，点 ,1F m m ，点 2,1M m m ．∵332292AN MN AF FN MN FM221221192m m m即22100m m ．解得125,22m m (舍)．∴点M 的坐标为521,24．【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得P 的坐标，令0y ，解方程，即可求得A 的坐标；②过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ．得出OA OC ．可得Rt AOC 中，45OAC ．Rt AEF 中，EF AE ．设点 2,23M m m m ，点 ,0E m ．根据MN求解；（2）根据题意得出抛物线的解析式为 21y x c x c ．得点2,1M m m c m c ，其中12cc m ．则顶点P 的坐标为21(1),24c c，对称轴为直线1:2c l x ．过点M 作MQ l 于点Q ，则90MQP ，点 21,12c Q m c m c．由MP AC ∥，得45PMQ ．于是MQ QP ．得出1221,21c m c m (舍)．，同(Ⅰ)，过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ，则点 ,0E m ，点 ,1F m m ，点 2,1M m m ．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．8.【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴3x ，4AB ，∴ 1,0,5,0A B ，将()1,0A 代入直线1y kx ，得10k ，解得1k ，∴直线AD 的解析式为1y x ；将 1,0,5,0A B 代入25y ax bx ，得5025550a b a b ，解得16a b ，∴抛物线的解析式为265y x x ；（2）存在点M ，∵直线AD 的解析式为1y x ，抛物线对称轴3x 与x 轴交于点E ．∴当3x 时，12y x ，∴ 3,2D ，①当90DAM 时，设直线AM 的解析式为y x c ，将点A 坐标代入，得10c ，解得1c ，∴直线AM 的解析式为1y x ，解方程组2165y x y x x，得10x y 或43x y ，∴点M 的坐标为 4,3 ；②当90ADM 时，设直线DM 的解析式为y x d ，将 3,2D 代入，得32d ，解得5d ，∴直线DM 的解析式为5y x ，解方程组2565y x y x x ，解得05x y 或5x y ，∴点M 的坐标为 0,5或5,0综上，点M 的坐标为 4,3 或 0,5或 5,0；（3）如图，在AB 上取点F ，使1BF ，连接CF ，∵2PB ，∴12BF PB ，∵2142PB AB ，∴BF PBPB AB，又∵PBF ABP ，∴PBF ABP ∽，∴12PF BF PA PB ，即12PF PA ，∴12PC PA PC PF CF，∴当点C 、P 、F 三点共线时，12PC PA 的值最小，即为线段CF 的长，∵5,1514OC OF OB ，∴CF ∴12PC PA【分析】（1）根据对称轴3x ，4AB ，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当90DAM 时，求出直线AM 的解析式为1y x ，解方程组2165y x y x x ，即可得到点M 的坐标；②当90ADM 时，求出直线DM 的解析式为5y x ，解方程组2565y x y x x，即可得到点M 的坐标；（3）在AB 上取点F ，使1BF ，连接CF ，证得BF PBPB AB，又PBF ABP ，得到PBF ABP ∽，推出12PF PA ，进而得到当点C 、P 、F 三点共线时，12PC PA 的值最小，即为线段CF 的长，利用勾股定理求出CF 即可．9.【答案】（1）解：令0y ，则有：2680x x ，解得：2x 或4x ，∴ 2,0,4,0A B ．（2）解：∵抛物线过 2,0,4,0A B ∴抛物线的对称轴为3x ，设 2,68P m m m ，∵PM l ，∴ 23,68M m m ,如图：连接MT ，则MT PT ，∴ 222223PT PM MT m r ，∴切线PT 为边长的正方形的面积为 223m r ，过点P 作PH x 轴，垂足为H ，则：21682PAB S AB PH m m ，∴ 222368m r m m ∵0r ，∴1r ，假设M 过点 3,2N ,则有以下两种情况：①如图1：当点M 在点N 的上方，即3,3M ∴2683m m ，解得：5m 或1m ，∵4m ，∴5m ；②如图2：当点M 在点N 的上方，即3,1M ∴2681m m ，解得：32m ∵4m ，∴32m 综上，32PM m 2∴当M 不经过点 3,2时，12PM 22PM 或2PM ．【分析】（1）令0y 求得点,A B 的横坐标即可解答；（2）由题意可得抛物线的对称轴为3x ，设 2,68P m m m ，则 23,68M m m ；如图连接MT ，则MT PT ，进而可得切线长PT 为边长的正方形的面积为 223m r ；过点P 作PH x 轴，垂足为H ，可得21682PAB S AB PH m m；由题意可得 222368m r m m ，解得1r ；然后再分当点M 在点N 的上方和下方两种情况解答即可．10.【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ．∵当2t 时，4BC ，∴点C 的坐标为 2,4 ．将点C 坐标代入表达式，得 22104a ，解得14a ．∴抛物线的函数表达式为21542y x x．（2）解：由抛物线的对称性得：AE OB t ，∴102AB t ．当x t 时，21542BC t t ．∴矩形ABCD 的周长为2152210242AB BC t t t21202t t 2141122t ．∵102，∴当1t 时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．（3）解：连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ．∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积，∴直线GH 过点P ．．由平移的性质可知，四边形OCHG 是平行四边形，∴PQ CH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴P 是AC 的中点．∴12PQ OA ．当2t 时，点A 的坐标为 8,0，∴142CH OA ．∴抛物线平移的距离是4．【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 100y ax x a ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得AE OB t ，则102AB t ，再得出21542BC t t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A C ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ CH ，12PQ OA ．求出2t 时，点A 的坐标为 8,0，则142CH OA，即可得出结论．11.【答案】（1）解：∵抛物线2443y x bx 与x 轴交于(3,0)A ，∴ 2433403b 解得：83b ，∴抛物线解析式为248433y x x ，当0x 时，4y ，∴ 0,4C ，当0y 时，2480433x x ，解得：123,1x x ，∴10B ,（2）∵ 3,0A ， 10B ,， 0,4C ，设 ,D m n ，∵以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形当AB 为对角线时，031400,2222m n ，解得：2,4m n ，∴ 2,4D ；当AC 为对角线时，301400,2222m n，解得：4,4m n ，∴ 4,4D 当BC 为对角线时，301040,2222m n，解得：4,4m n ，∴ 44D ,综上所述，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形， 2,4D 或 4,4D 或 44D ,（3）解：如图所示，作AG CE 交于点G ，F 为AC 的中点，连接,GO GF ，∵45ACE ，∴AGC 是等腰直角三角形，∴,,,A O C G 在F 上，∵ 3,0A ， 0,4C ，∴3,22F，5AC ，1522GF AC∵45AOG ACG ，∴G 在y x 上，设 ,G t t ，则 222235222GF t t，解得：12702t t ，（舍去），∴点7722G ，设直线CG 的解析式为4y kx ，∴77422k ，解得：17k .，∴直线CG 的解析式147y x ∵ 3,0A ， 10B ,，∴抛物线对称轴为直线3112x，当=1x 时， 12714=77 ，∴271,7E．【分析】（1）将点0()3,A ﹣代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令,0x y ，即可求得,B C 两点的坐标；（2）分三种情况讨论，当AB ，,AC BC 为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作AG CE 交于点G ，F 为AC 的中点，连接,GO GF ，则,,,A O C G 在F 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G 在y x 上，进而勾股定理，根据52FG 建立方程，求得点G 的坐标，进而得出CG 的解析式，即可求解．12.【答案】（1）解：∵抛物线2y x bx c 经过(1,0),(0,3)A C 两点，∴103b c c，解得：23b c ，∴223y x x ；（2）∵ 222314y x x x ，∴ 1,4M ，设直线)0:(A y k M x m k ，则：04k m k m ，解得：22k m，∴22:A y M x ，当0x 时，2y ，∴ 0,2D ；作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接D M ，则： 0,2D ，MH DH MH D H D M ，∴当,,M H D 三点共线时，MH DH 有最小值为D M 的长，∵ 0,2D ， 1,4M ，∴ 2214237D M ，即：MH DH 37；（3）解：存在；∵ 222314y x x x ，∴对称轴为直线1x ，设 ,P p t ， 1,Q n ，当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时：①DM 为对角线时：10142p t n，∴06p t n，当0p 时，3t ，∴3n ，∴ 1,3Q ；②当DP 为对角线时：01124p t n，∴224p t n，当2p 时，222233t ，∴1n ，∴ 1,1Q ；③当MP 为对角线时：10142p t n，∴02p n t，当0p 时，3t ，∴3n ，∴ 1,5Q ；综上：当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时， 1,3Q 或 1,1Q 或 1,5Q ．【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点D 关于x 轴的对称点D ¢，连接D M ，D M 与x 轴的交点即为点H ，进而得到MH DH 的最小值为D M 的长，利用两点间距离公式进行求解即可；（3）分DM ，DP ，MP 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．13.【答案】（1）解：将点 1,0,3,,00,3A B C 代入解析式得：09303a b c a b c c ，解得：123a b c，∴抛物线的解析式为223y x x ；（2）设直线BC 的解析式为y kx b ，将点B 、C 代入得：303k b b ，解得：13k b，∴直线BC 的解析式为3y x ，∵ 3,0B ，∴3OB ，设点 2,23(03)P x x x x ，过点P 作PD x 轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴ ,3E x x ，∴ 222333PE x x x x x ，∴22211393327332222228PBC S PE OB x x x x x，∴当32x时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x ，∴315,24P（3）存在， 2,2N 或17或 4,17或 143 ，2,143 ，证明如下：∵ 3,0,0,3B C ，∵抛物线的解析式为223y x x ，∴对称轴为：1x ，设点 1,,M t N x y ，，若BC 为菱形的边长，菱形BCMN ，则22BC CM ，即 221813t ，解得：1173t ，2173t ，∵31003xt y，∴4,3x y t ，∴ 117N ， 24,17N ；若BC 为菱形的边长，菱形BCNM ，则22BC BM ，即 221831t ，解得：114t 214t ，∵30103x y t，∴2,3x y t ，∴ 3143N ，42,143N ；综上可得：17或 4,17 或 143 ，2,143 ．【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线BC 的解析式为3y x ，设点 2,23(03)P x x x x ，过点P 作PD x 轴于点D ，交BC 于点E ，得出23PE x x ，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若BC 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．14.【答案】（1）解：根据抛物线的对称轴为2x ，得222a，解得12a ，将 0,6C 代入抛物线可得6c ，抛物线的解析式为21262y x x ；（2）解：当0y 时，得210262x x ，解得16x ，22x ， 2,0A ， 6,0B ，设CB 的解析式为y kx b ，将 0,6C ， 6,0B 代入y kx b ，得606b k b ，解得16k b，CB 的解析式为6y x ，设CD a ，则 0,6D a ，设AD 的解析式为11y k x b ，将 0,6D a ， 2,0A 代入11y k x b ，得111602a b k b ，解得11626a k b a，AB 的解析式为662a y x a ，联立方程6662y x ay x a ，解得284888a x aa y a，根据CD CE，得a18a28a ，经检验，18a28a 是方程的解，∵点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，D 在y 轴正半轴，6a，8a 即CD的长为8 ；②解：如图，过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I，1322S S S ∵，2AD EF DE ，13DE AF，设21,262F h h h，则2AH h ，,EG AB FH AB ∵，EG FH ∥，DEI AFB ，DI EG ∵，90DIE ，DEI AFB △∽△，112333DI AB h ，即点D 的横坐标为1233h ，21122363EI FH h h ，设AF 的解析式为22y k x b ，将 2,0A ，21,262F h h h，代入得22222021262k b h h k h b，解得221326k h b h ，AF 的解析式为1362y h x h， 0,6D h ，即6DO h ，90DOG ∵，四边形DOGI 是矩形，6IG DO h ，211863EG EI IG h h ，即21211,83363E h h，将21211,83363E h h h代入6y x ，得21112866333h h h ，解得14h ，240h （舍去）， 4,6F ．【分析】（1）根据抛物线对称轴为2x ，可得222a ，求得12a ，再将 0,6C 代入抛物线，根据待定系数法求得c ，即可解答；（2）①求出点B ，点A 的坐标，即可得到直线BC 的解析式为6y x ，设CD a ，则 0,6D a ，求得AD 的解析式，列方程求出点E 的坐标，最后根据CD CE 列方程，即可求出CD 的长；②过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I ，根据1322S S S ，可得2AD EF DE ，即13DE AF ，证明DEI AFB △∽△，设21,262F h h h，得到直线AF 的解析式，求出点D 的坐标，即可得到点E 的坐标，将点E 的坐标代入6y x 解方程，即可解答．15.【答案】（1）解：∵抛物线22y x x c 经过点(0,1)A ．∴1c ∴抛物线解析式为221y x x ；（2）解：∵221y x x 212x ，顶点坐标为 1,2，∵点Q 与此抛物线的顶点重合，点Q 的横坐标为2m ∴21m ，解得：12m ；（3）①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x 对称，22Q x m ，∴1m ，则212112 ，222211 ，∴ 1,2P ，Q2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211 ；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x 对称，∴2P x m ，24Q x m 则242417 ∴ 2,1P ， 4,7Q ；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为 178 ；综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；（4）①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x 的左侧时，则021m ∴102m∵ 2,21P m m m ，22,2221Q m m m 即22,441Q m m m ∴ 21211P A h y y m m 22m m ；222441144Q A h y y m m m m∵21h h m ∴22442m m m m m 解得：13m 或0m （舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ，，即112m ，则2122,211h m m h ，∴212m m m ，解得：m （舍去）或352（舍去）；③当点P 在1x 的右侧且在直线0y 上方时，即12m ，1211h ， 2222441441h m m m m ∴24411m m m 解得：54m或0m （舍去）；④当P 在直线1y 上或下方时，即2m，，22122121h m m m m ， 2222441441h m m m m ，2244121m m m m m 解得：1m （舍去）或0m （舍去）综上所述，13m 或54m．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x 的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x 的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m 建立方程，解方程即可求解．16.【答案】（1）解：∵抛物线2y ax c 经过点3(4,)P ，与y 轴交于点(0,1)A ，∴1631a c c，解得141a c，∴抛物线的函数表达式为2114y x ；（2）解：设21,14B t t，根据题意，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，有两种情况：当AB AP 时，点B 和点P 关于y 轴对称，∵ 4,3P ，∴ 4,3B ；当AB BP 时，则22AB BP ，∴ 2222221101141344t t t，整理，得24160t t ，解得12t 22t ，当2t 时，2114t 212154，则 25B ，当2t 2114t 21215425B ，综上，满足题意的点B 的坐标为(4,3) 或(25 或(25 ；（3）解：存在常数m ，使得OD OE ．根据题意，画出图形如下图，设抛物线2114y x 与直线(0)y kx k 的交点坐标为 ,B a ka ， ,C b kb ，由2114y x kx 得2440x kx ，∴4a b k ，4ab ；设直线AB 的表达式为y px q ，则1ap q ka q ，解得11ka p a q，∴直线AB 的表达式为11ka y x a ，令y m ，由11ka y x m a得 11a m x ka ，∴ 1,1a m D m ka，同理，可得直线AC 的表达式为11kb y x b，则 1,1b m E m kb，过E 作EQ x 轴于Q ，过D 作DN x 轴于N ，则90EQO OND ，EQ ND m ， 11b m QO kb，11a m ON ka，若OD OE ，则90EOD ，∴90QEO QOE DON QOE ，∴QEO DON ，∴EQO OND ∽，∴EQ QOON ND，则1111b m m kb a m mka，整理，得 22111m ka kb ab m ，即 22211m abk k a b ab m ，将4a b k ，4ab 代入，得222244141m k k m ，即 2241m m ，则 21m m 或 21m m ，解得12m ，223m，综上，存在常数m ，使得OD OE ，m 的值为2或23．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设21,14B t t，分AB AP 和AB BP 两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；（3）先根据题意画出图形，设抛物线2114y x 与直线(0)y kx k 的交点坐标为 ,B a ka ， ,C b kb ，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到4a b k ，4ab ，利用待定系数法分别求得直线AB 、AC 的表达式为得到 1,1a m D m ka ， 1,1b m E m kb，过E 作EQ x 轴于Q ，过D 作DN x 轴于N ，证明EQO OND ∽得到1111b m mkb a m mka，整理可得到 2241m m ，进而求解即可．。

2020年浙江省绍兴市中考数学试卷附详细答案解析

2020年浙江省绍兴市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）﹣5的相反数是（）A．B．5 C．﹣D．﹣52．（4分）研究表明，可燃冰是一种替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰存储量达150000000000立方米，其中数字150000000000用科学记数法可表示为（）A．15×1010B．0.15×1012C．1.5×1011 D．1.5×10123．（4分）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙丁9.14 9.15 9.14 9.15平均数（环）方差 6.6 6.8 6.7 6.6根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（4分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米7．（4分）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A．B．C．D．8．（4分）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F 是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD 的度数是（）A．7°B．21°C．23°D．24°9．（4分）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3 10．（4分）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2y﹣y= ．12．（5分）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为．13．（5分）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为．14．（5分）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为m．15．（5分）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D．若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为．16．（5分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．三、解答题（本大题共8小题，第17-20小题每小题8分，第21题10分，第22,23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）（1）计算：（2﹣π）0+|4﹣3|﹣．（2）解不等式：4x+5≤2（x+1）18．（8分）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示．（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？（2）求当x＞18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？19．（8分）为了解本校七年级同学在双休日参加体育锻炼的时间，课题小组进行了问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1，图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：（1）本次接受问卷调查的同学有多少人？补全条形统计图．（2）本校有七年级同学800人，估计双休日参加体育锻炼时间在3小时以内（不含3小时）的人数．20．（8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）21．（10分）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．22．（12分）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．23．（12分）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°，②求α，β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．24．（14分）如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD 边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）2020年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

几何图形初步-三年中考数学真题分项汇编(解析版)

几何图形初步共27道题一、单选题1．（2022·浙江绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2021·浙江台州）小光准备从A 地去往B 地，打开导航、显示两地距离为37.7km ，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km ，50km ，51km （如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A ．两点之间，线段最短B ．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【答案】A【解析】【分析】根据线段的性质即可求解．【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．3．（2021·浙江金华）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能．．．是它的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；故选D．【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．4．（2020·浙江台州）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三视图的相关知识直接找出主视图即可．【详解】主视图即从图中箭头方向看，得出答案为A，故答案选：A．【点睛】此题考查立体图形的三视图，理解定义是关键．5．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；【详解】解：∵AB为底面直径，∵将圆柱侧面沿AC“剪开”后，B点在长方形上面那条边的中间，∵两点之间线段最短，故选：C．【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．6．（2021·浙江湖州）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．7．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分EAD∠交CD于点F，FG AD∥交AE于点G，若1cos4B=，则FG的长是（）A．3B．83C215D．52【答案】B【解析】【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∵AGP=∵B可得到cos∵AGP=14，即可得到FG的长；【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点，∵BE =2，又∵1cos 4B =， ∵BH =1，即H 是BE 的中点，∵AB =AE =4，又∵AF 是∵DAE 的角平分线，AD ∵FG ，∵∵F AG =∵AFG ，即AG =FG ，又∵PF ∵AD ，AP ∵DF ，∵PF =AD =4，设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ，∵PF ∵BC ，∵∵AGP =∵AEB =∵B ， ∵cos∵AGP =12PG AG =22x x-=14，解得x =83；故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．8．（2021·浙江丽水）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD的长为（）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据折叠性质得出∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，然后根据角平分线的定义证得∵BFD=∵DFE =∵DAE ，进而证得∵BDF=90°，证明Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ，可求得AD 的长．【详解】解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==， ∵222243AB AC BC +=+，由折叠性质得：∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∵∵BFD =∵DFE=∵DAE ，∵∵DAE +∵B =90°，∵∵BDF +∵B =90°，即∵BDF =90°，∵Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ，∵BD BC DF AC =即534AD AD -=，解得：AD =207，故选：D ．【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．9．（2020·浙江湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2【答案】D【解析】【分析】解答此题要熟悉中国和日本七巧板的结构，中国七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形；日本七巧板的结构：三个等腰直角三角形，一个直角梯形，一个等腰梯形，一个平行四边形，一个正方形，根据这些图形的性质便可解答．【详解】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．【点睛】此题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力．10．（2020·浙江金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到//a b，理由是（）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B ．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线C ．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】A【解析】【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．【详解】解：由题意得：,,a AB b ab ⊥⊥∵a ∵b （在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），故选：A ．【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题．11．（2021·浙江金华）某同学的作业如下框，其中∵处填的依据是（）如图，已知直线1234,,,l l l l ．若12∠=∠，则34∠=∠．请完成下面的说理过程．解：已知12∠=∠，根据（内错角相等，两直线平行），得12//l l ．再根据（ ∵ ），得34∠=∠．A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补【答案】C【解析】【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∵3和∵4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：∵12//l l ，∵34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．12．（2022·浙江台州）如图，已知190∠=︒，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A ．290∠=︒B ．390∠=︒C ．490∠=︒D ．590∠=︒【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．【详解】解：A.∵1与∵2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；B. ∵1与∵3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；C. ∵1与∵4是同位角，且∵1=∵4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；D. ∵1与∵5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．13．（2022·浙江杭州）如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∵C ＝20°，∵AEC ＝50°，则∵A ＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∵C+∵D＝∵AEC，∵∵D=∵AEC-∵C＝50°-20°=30°，∥，∵AB CD∵∵A＝∵D=30°，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．14．（2021·浙江台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∵1＝47°，则∵2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°【答案】B【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∵3147∠=∠=︒，∵490343∠=︒-∠=︒，∵2443∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2021·浙江杭州）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ ≤【答案】C【解析】【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ， PQ ∴是垂线段，即连接直线外的点P 与直线上各点的所有线段中距离最短，当点T 与点Q 重合时有PQ PT =，综上所述：PT PQ ≥，故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．16．（2020·浙江衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，D、无法判断两直线平行，故选：D．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．二、填空题17．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC中，∵ABC＝90°，∵A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．23 【解析】【分析】先求解33,,3ABAD 再利用线段的和差可得答案．【详解】解：由题意可得：1,15123,DE DC60,90,A ABC ∠=︒∠=︒ 33,tan 603BC AB 同理：13,tan 6033DE AD 3233,33BD AB AD23【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．18．（2021·浙江湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是______．21【解析】【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知3CD =1BD CE ==，在Rt ACD △中应用勾股定理即可求解．【详解】解：∵地毯平均分成了3份，∵133=∵3CD =在Rt ACD △中，根据勾股定理可得222AD CD AC =-=根据裁剪可知1BD CE ==， ∵21AB AD BD =-， 21．【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．19．（2022·浙江金华）如图，木工用角尺的短边紧靠∵O 于点A ，长边与∵O 相切于点B ，角尺的直角顶点为C ，已知6cm,8cm AC CB ==，则∵O 的半径为_____cm ．【答案】253##183【解析】【分析】设圆的半径为r cm ，连接OB 、OA ，过点A 作AD ∵OB ，垂足为D ，利用勾股定理，在Rt∵AOD 中，得到r 2＝（r −6）2＋82，求出r 即可．【详解】解：连接OB 、OA ，过点A 作AD ∵OB ，垂足为D ，如图所示：∵CB 与O 相切于点B ，∵OB CB ⊥，∵90CBD BDA ACB ∠=∠=∠=︒，∵四边形ACBD 为矩形，∵8AD CB ==，6BD AC ==，设圆的半径为r cm ，在Rt∵AOD 中，根据勾股定理可得：222OA OD AD =+，即r 2＝（r −6）2＋82，解得：253r =，即O 的半径为253cm ．故答案为：253．【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．20．（2020·浙江杭州）如图，AB∵CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∵E＝30°，∵EFC＝130°，则∵A ＝_____．【答案】20°【解析】【分析】直接利用平行线的性质得出∵ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【详解】∵AB∵CD，∵∵ABF+∵EFC＝180°，∵∵EFC＝130°，∵∵ABF＝50°，∵∵A+∵E＝∵ABF＝50°，∵E＝30°，∵∵A＝20°．故答案为：20°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∵ABF＝50°是解答此题的关键．三、解答题21．（2022·浙江温州）如图，BD是ABC的角平分线，DE BC∥，交AB于点E．(1)求证：EBD EDB ∠=∠．(2)当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)相等，见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得ADE AED ∠=∠，则AD= AE ，从而有CD = BE ，由(1) 得，EBD EDB ∠=∠，可知BE = DE ，等量代换即可．(1)证明：∵BD 是ABC 的角平分线，∵CBD EBD ∠=∠．∵DE BC ∥，∵CBD EDB ∠=∠，∵EBD EDB ∠=∠．(2)CD ED =．理由如下：∵AB AC =，∵C ABC ∠=∠．∵DE BC ∥，∵,ADE C AED ABC ∠=∠∠=∠，∵ADE AED ∠=∠，∵AD AE =，∵AC AD AB AE -=-，即CD BE =．由（1）得EBD EDB ∠=∠，∵BE ED =，∵CD ED =．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．22．（2021·浙江绍兴）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．∵当点E 与点F 重合时，求AB 的长；∵当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．【答案】（1）∵10；∵5；（2）13，23，2 【解析】【分析】（1）∵利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出5DE AD ==，5BC CF ==，即可完成求解； ∵证明出EF CD =即可完成求解；（2）本小题由于E 、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE AD =，CF CB =以及点 C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）∵如图1，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，DEA EAB ∴∠=∠．AE ∵平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠．DAE DEA ∴∠=∠．5DE AD ∴==．同理可得：5BC CF ==．点E 与点F 重合，10AB CD ∴==．∵如图2，点E 与点C 重合，同理可证5DE DC AD ===， ∵∵ABCD 是菱形，5CF BC ==，∴点F 与点D 重合，5EF DC ∴==．（2）情况1，如图3，可得AD DE EF CF ===， 13ADAB ∴=．情况2，如图4，同理可得，AD DE BC CF ==，，又DF FE CE ==，23AD DE AB AB ∴==．情况3，如图5，由上，同理可以得到AD DE CB CF ==，，又FD DC CE ==，2AD DE AB CD∴==．综上：AD AB 的值可以是13，23，2．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．23．（2020·浙江）如图，已知△ABC 是∵O 的内接三角形，AD 是∵O 的直径，连结BD ，BC 平分∵ABD ．（1）求证：∵CAD =∵ABC ；（2）若AD =6，求CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；（2）可证得CD =AC ，则CD 的长为圆周长的14．【详解】（1）证明：∵BC 平分∵ABD ，∵∵DBC =∵ABC ，∵∵CAD =∵DBC ，∵∵CAD =∵ABC ；（2）解：∵∵CAD =∵ABC ，∵CD =AC ，∵AD 是∵O 的直径，且AD =6， ∵CD 的长=14×π×6=32π．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得CD =AC 是解(2)题的关键．24．（2022·浙江金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF 为吸热塔，在地平线EG 上的点B ，B '处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点(),A A '旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F 处．已知1m,8m,83m AB A B EB EB ='==''=，在点A 观测点F 的仰角为45︒．（1）点F 的高度EF 为______m ．（2）设,DAB D A B αβ''∠'=∠=，则α与β的数量关系是_______．【答案】 9 7.5αβ-=︒ 【解析】【分析】（1）过点A 作AG ∵EF ，垂足为G ，证明四边形ABEG 是矩形，解直角三角形AFG ，确定FG ，EG 的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．【详解】（1）过点A 作AG ∵EF ，垂足为G ．∵∵ABE =∵BEG =∵EGA =90°，∵四边形ABEG 是矩形，∵EG =AB =1m ，AG =EB =8m ，∵∵AFG =45°，∵FG =AG =EB =8m ，∵EF =FG +EG =9(m )．故答案为：9；（2）7.5αβ-=︒．理由如下：∵∵A 'B 'E =∵B 'EG =∵EG A '=90°，∵四边形A 'B 'EG 是矩形，∵EG =A 'B '=1m ，A 'G =E B '=83m ，∵tan ∵A 'FG =833A G FG '= ∵∵A 'FG =60°，∵F A 'G =30°，根据光的反射原理，不妨设∵F AN =2m ，∵F A 'M =2n ，∵ 光线是平行的，∵AN∥A 'M ，∵∵GAN =∵G A 'M ，∵45°+2m =30°+2n ，解得n -m =7.5°，根据光路图，得90,90DAB m D A B n αβ'∠==-∠==-''，∵9090m n n m αβ-=--+=-，故7.5αβ-=︒，故答案为：7.5αβ-=︒ ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．25．（2021·浙江温州）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出∵ADE ，再利用平行线的性质求出∵ ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．26．（2020·浙江绍兴）如图1，矩形DEFG 中，DG ＝2，DE ＝3，Rt∵ABC 中，∵ACB ＝90°，CA ＝CB ＝2，FG ，BC 的延长线相交于点O ，且FG ∵BC ，OG ＝2，OC ＝4．将∵ABC 绕点O 逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到∵A ′B ′C ′．（1）当α＝30°时，求点C ′到直线OF 的距离．（2）在图1中，取A ′B ′的中点P ，连结C ′P ，如图2．∵当C ′P 与矩形DEFG 的一条边平行时，求点C ′到直线DE 的距离．∵当线段A ′P 与矩形DEFG 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG 的距离的取值范围．【答案】（1）点C ′到直线OF 的距离为3（2）∵点C ′到直线DE 的距离为2±2；∵2≤d ＜4417或d ＝3．【解析】【分析】（1）过点C′作C′H∵OF 于H ．根据直角三角形的边角关系，解直角三角形求出CH 即可．（2）∵分两种情形：当C′P∵OF 时，过点C′作C′M∵OF 于M ；当C′P∵DG 时，过点C′作C′N∵FG 于N ．通过解直角三角形，分别求出C′M，C′N即可．∵设d为所求的距离．第一种情形：当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ∵C′B′于Q．结合图象可得结论．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝52，即d＝52；当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT∵B′C′于T，过点P作PR∵OQ交OB′于R，连接OP．求出QG可得结论．第三种情形：当A′P经过点F时，此时显然d＝3．综上所述即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点C′作C′H∵OF于H．∵∵A′B′C′是由∵ABC绕点O逆时针旋转得到，∵C′O=CO=4，在Rt∵HC′中，∵∵HC′O＝α＝30°，∵C′H＝C′O•cos30°＝3∵点C′到直线OF的距离为3（2）∵如图，当C′P∵OF时，过点C′作C′M∵OF于M．∵∵A′B′C′为等腰直角三角形，P为A′B′的中点，∵∵A′C′P=45°，∵∵A′C′O=90°，∵∵OC′P=135°.∵C′P∵OF，∵∵O＝180°﹣∵OC′P＝45°，∵∵OC′M是等腰直角三角形，∵OC′＝4，∵C′M＝2=22∵点C′到直线DE的距离为222．如图，当C′P∵DG时，过点C′作C′N∵FG于N．同法可证∵OC′N是等腰直角三角形，∵C′N＝22∵GD=2，∵点C′到直线DE的距离为222．∵设d 为所求的距离．第一种情形：如图，当点A′落在DE 上时，连接OA′，延长ED 交OC 于M ．∵OC=4，AC=2，∵ACO=90°，2216425OA CO AC +∴+∵OM ＝2，∵OMA′＝90°，∵A′M 22A O OM '-()22252-4，又∵OG=2，∵DM=2，∵A′D ＝A′M -DM=4-2=2，即d ＝2，如图，当点P 落在DE 上时，连接OP ，过点P 作PQ∵C′B′于Q ．∵P 为A′B′的中点，∵A′C′B′=90°， ∵PQ∵A′C′，∵'12B PC Q PQ B A B C A C '''''''===∵B′C′=2∵PQ＝1，C'Q=1，∵Q点为B′C′的中点，也是旋转前BC的中点，∵OQ=OC'+C'Q=5∵OP22+2651∵PM2226422--=OP OM∵PD＝222-=，PM DM∵d222，222．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝52，即d＝52，如图，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT∵B′C′于T，过点P作PR∵OQ交OB′于R，连接OP．由上可知OP26OF＝5，∵FP22-1，-2625OP OF∵OF＝OT，PF＝PT，∵F＝∵PTO＝90°，∵Rt∵OPF∵Rt∵OPT（HL），∵∵FOP＝∵TOP，∵PR∵OQ，∵∵OPR＝∵POF，∵∵OPR＝∵POR，∵OR＝PR，∵PT2+TR2＝PR2，222 15PR PR∴+（﹣）＝∵PR＝2.6，RT＝2.4，∵∵B′PR∵∵B′QO，∵B ROB''＝PRQO，∵3.46＝2.6OQ，∵OQ＝78 17，∵QG＝OQ﹣OG＝4417，即d＝441752≤d＜44 17，第三种情形：当A′P经过点F时，如图，此时FG=3，即d＝3．综上所述，2≤d＜4417或d＝3．【点睛】（1）本题考查了通过解直角三角形求线段长，解决本题的关键是构建直角三角形，熟练掌握直角三角形中边角关系.（2）∵本题综合性较强，考查了平行线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据题目条件进行分类讨论，然后通过解直角三角形求出相应的线段长即可.∵本题综合性较强，考查了辅助线的作法，平行线的性质以及解直角三角形，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据情况对题目进行分类讨论，通过不同情形，能够作出辅助线，在解决本题的过程中要求熟练掌握直角三角形中的边角关系. 27．（2020·浙江绍兴）如图，点E是∵ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2．求CF的长．（2）若∵BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∵F的度数．【答案】（1）2；（2）当∵B＝60°时，∵F＝30°（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∵CF，则∵DAE＝∵CFE，∵ADE＝∵FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得∵ADE∵∵FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∵B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD∵CF，∵∵DAE＝∵CFE，∵ADE＝∵FCE，∵点E是CD的中点，∵DE＝CE，在∵ADE和∵FCE中，DAE CFEADE FCEDE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ADE∵∵FCE（AAS），∵CF＝AD＝2；（2）∵∵BAF＝90°，添加一个条件：当∵B＝60°时，∵F＝90°-60°＝30°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3132。

2020年浙江省绍兴市中考数学试题 (教师版含解析)

参考答案一、选择题(有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分)1．实数2，0，2-，2中，为负数的是()A．2B．0C．2-D．2解：实数2，0，2-，2中，为负数的是2-，故选：C．2．某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为()A．10⨯D．82.0210⨯20.210⨯C．80.20210⨯B．92.0210解：92020000000 2.0210=⨯，故选：B．3．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是()A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．4．如图．点A，B，C，D，E均在O上．15∠=︒，则BOD∠的度∠=︒，30CEDBAC数为()A．45︒B．60︒C．75︒D．90︒解：连接BE，∠=︒，CED∠=∠=︒，3015BEC BAC∴∠=∠+∠=︒，45BED BEC CEDBOD BED∴∠=∠=︒．290故选：D．5．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2:5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为()A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm解：设投影三角尺的对应边长为xcm，三角尺与投影三角尺相似，8:2:5∴=，xx=．解得20故选：A．6．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是()A．12B．13C．14D．16解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：14；故选：C．7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为()A．4B．5C．6D．7解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B 停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．9．如图，等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，BA BC =，将BC 绕点B 顺时针旋转(090)θθ︒<<︒，得到BP ，连结CP ，过点A 作AH CP ⊥交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则PAH ∠的度数( )A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小解：将BC 绕点B 顺时针旋转(090)θθ︒<<︒，得到BP ， BC BP BA ∴==，BCP BPC ∴∠=∠，BPA BAP ∠=∠，180CBP BCP BPC ∠+∠+∠=︒，180ABP BAP BPA ∠+∠+∠=︒，90ABP CBP ∠+∠=︒， 135BPC BPA CPA ∴∠+∠=︒=∠， 135CPA AHC PAH ∠=∠+∠=︒， 1359045PAH ∴∠=︒-︒=︒，PAH ∴∠的度数是定值，故选：C ．10．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地( ) A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km解：设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB xkm =，AC ykm =，根据题意得： 222102210x y x y x +=⨯⎧⎨-+=⎩，解得：14070x y =⎧⎨=⎩．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ．故选：B ．二、填空题(有6小题，每小题5分，共30分) 11．分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．12．若关于x ，y 的二元一次方程组20x y A +=⎧⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，则多项式A 可以是答案不唯一，如x y - (写出一个即可)．解：关于x ，y 的二元一次方程组20x y A +=⎧⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，而110-=，∴多项式A 可以是答案不唯一，如x y -．故答案为：答案不唯一，如x y -．13．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 45 ．解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2， 22325-， 25445⨯=，故答案为：45．14．如图，已知边长为2的等边三角形ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点D ，连结BD ．若BD 的长为23，则m 的值为 2或27 ．解：由作图知，点D 在AC 的垂直平分线上， ABC ∆是等边三角形， ∴点B 在AC 的垂直平分线上，BD ∴垂直平分AC ，设垂足为E ， 2AC AB ==，3BE ∴，当点D 、B 在AC 的两侧时，如图， 23BD =，BE DE ∴=， 2AD AB ∴==， 2m ∴=；当点D 、B 在AC 的同侧时，如图， 23BD '= 33D E ∴'=，22(33)17AD ∴'=+=， 7m ∴=，综上所述，m 的值为2或27 故答案为：2或2715．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是100或85元．解：设所购商品的标价是x元，则①所购商品的标价小于90元，20150x x-+=，解得85x=；②所购商品的标价大于90元，2030150x x-+-=，解得100x=．故所购商品的标价是100或85元．故答案为：100或85．162，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的①②③④(填序号)．2②1，21-，3，3解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是2②1，21-，33 故答案为：①②③④．三、解答题(有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 17．(1)202084cos 45(1)︒+-． (2)化简：2()(2)x y x x y +-+．解：(1)原式2241=- 2221=-+1=；(2)2()(2)x y x x y +-+22222x xy y x xy =++-- 2y =．18．如图，点E 是ABCD 的边CD 的中点，连结AE 并延长，交BC 的延长线于点F ． (1)若AD 的长为2．求CF 的长．(2)若90BAF ∠=︒，试添加一个条件，并写出F ∠的度数．解：(1)四边形ABCD 是平行四边形， //AD CF ∴，DAE CFE ∴∠=∠，ADE FCE ∠=∠，点E 是CD 的中点， DE CE ∴=，在ADE ∆和FCE ∆中，DAE CFE ADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE FCE AAS ∴∆≅∆， 2CF AD ∴==；(2)90BAF ∠=︒，添加一个条件：当60B ∠=︒时，906030F ∠=︒-︒=︒(答案不唯一)．19．一只羽毛球的重量合格标准是5.0克~5.2克(含5.0克，不含5.2克)，某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验．并将所得数据绘制成如图统计图表． 4月份生产的羽毛球重量统计表组别重量x (克) 数量(只)A 5.0x <mB 5.0 5.1x < 400 C5.1 5.2x <550 D 5.2x30(1)求表中m 的值及图中B 组扇形的圆心角的度数．(2)问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒(每筒12只)，估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？解：(1)55055%1000÷=(只)，10004005503020---=(只) 即：20m =， 4003601441000︒⨯=︒，答：表中m 的值为20，图中B 组扇形的圆心角的度数为144︒； (2)40055095095%100010001000+==， 1210(195%)1205%6⨯⨯-=⨯=(只)，答：这次抽样检验的合格率是95%，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有6只． 20．我国传统的计重工具--秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x (厘米)时，秤钩所挂物重为y (斤)，则y 是x 的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x (厘米)1 2 4 7 11 12 y (斤)0.751.001.502.753.253.50(1)在上表x ，y 的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？(2)根据(1)的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？解：(1)观察图象可知：7x =， 2.75y =这组数据错误．(2)设y kx b=+，把1x=，0.75y=，2x=，1y=代入可得0.7521k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1412kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1142y x∴=+，当16x=时， 4.5y=，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．21．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，1AF EF FG m===．(1)若移动滑块使AE EF=，求AFE∠的度数和棚宽BC的长．(2)当AFE∠由60︒变为74︒时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？(结果精确到0.1m．参考数据：3 1.73≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈解：(1)1AE EF AF===，AEF∴∆是等边三角形，60AFE∴∠=︒，连接MF并延长交AE于K，则2FM FK=，AEF ∆是等边三角形，12AK ∴=， 2232FK AF AK ∴=-=， 23FM FK ∴==， 443 6.92 6.9()BC FM m ∴==≈≈；(2)74AFE ∠=︒，37AFK ∴∠=︒，cos370.80KF AF ∴=︒≈，2 1.60FM FK ∴==，4 6.40 6.92BC FM ∴==<，6.92 6.400.5-=，答：当AFE ∠由60︒变为74︒时，棚宽BC 是减少了，减少了0.5m ．22．问题：如图，在ABD ∆中，BA BD =．在BD 的延长线上取点E ，C ，作AEC ∆，使EA EC =，若90BAE ∠=︒，45B ∠=︒，求DAC ∠的度数．答案：45DAC ∠=︒．思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“45B ∠=︒”去掉，其余条件不变，那么DAC ∠的度数会改变吗？说明理由；(2)如果把以上“问题”中的条件“45B ∠=︒”去掉，再将“90BAE ∠=︒”改为“BAE n ∠=︒”，其余条件不变，求DAC ∠的度数．解：(1)DAC ∠的度数不会改变；EA EC =， 2AED C ∴∠=∠，①90BAE ∠=︒，1[180(902)]452BAD C C ∴∠=︒-︒-∠=︒+∠， 9090(45)45DAE BAD C C ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠，②由①，②得，45DAC DAE CAE ∠=∠+∠=︒；(2)设ABC m ∠=︒，则11(180)9022BAD m m ∠=︒-︒=︒-︒，180AEB n m ∠=︒-︒-︒， 1902DAE n BAD n m ∴∠=︒-∠=︒-︒+︒， EA EC =， 11190222CAE AEB n m ∴∠=∠=︒-︒-︒， 111190902222DAC DAE CAE n m n m n ∴∠=∠+∠=︒-︒+︒+︒-︒-︒=︒． 23．如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即 2.88BA m =．这时水平距离7OB m =，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．(1)若球向正前方运动(即x 轴垂直于底线)，求球运动的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式(不必写出x 取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P (如图1，点P 距底线1m ，边线0.5)m ，问发球点O 在底线上的哪个位置？(参考数据：2取1.4)解：(1)设抛物线的表达式为：2(7) 2.88y a x =-+，将0x =， 1.9y =代入上式并解得：150a =-，故抛物线的表达式为：21(7) 2.8850y x =--+；当9x =时，21(7) 2.88 2.8 2.2450y x =--+=>，当18x =时，21(7) 2.880.64050y x =--+=>，故这次发球过网，但是出界了；(2)如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ 、OQ 交于点Q ，在Rt OPQ ∆中，18117OQ =-=，当0y =时，21(7) 2.88050y x =--+=，解得：19x =或5-(舍去5)-， 19OP ∴=，而17OQ =，故628.4PQ ==，98.40.50.1--=，∴发球点O 在底线上且距右边线0.1米处．24．如图1，矩形DEFG 中，2DG =，3DE =，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，FG ，BC 的延长线相交于点O ，且FG BC ⊥，2OG =，4OC =．将ABC ∆绕点O 逆时针旋转(0180)αα︒<︒得到△A B C '''．(1)当30α=︒时，求点C '到直线OF 的距离．(2)在图1中，取A B ''的中点P ，连结C P '，如图2．①当C P '与矩形DEFG 的一条边平行时，求点C '到直线DE 的距离．②当线段A P '与矩形DEFG 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG 的距离的取值范围．解：(1)如图1中，'⊥于H．过点C'作C H OF∠'==︒，HC Oα30∴'='︒=，cos3023C H C O∴点C'到直线OF的距离为23．(2)①如图2中，当//'⊥于M．C P OF'时，过点C'作C M OF//C P OF '，18045O OC P ∴∠=︒-∠'=︒，∴△OC M '是等腰直角三角形，4OC '=，22C M ∴'=，∴点C '到直线DE 的距离为222-．如图3中，当//C P DG '时，过点C '作C N FG '⊥于N ．同法可证△OC N '是等腰直角三角形，2C N ∴'=，∴点C '到直线DE 的距离为22+．②设d 为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A '落在DE 上时，连接OA '，延长ED 交OC 于M ．25OA '=，2OM =，90OMA ∠'=︒，2222(25)24A M A O OM ∴'='-=-=，2A D ∴'=，即2d =，如图5中，当点P 落在DE 上时，连接OP ，过点P 作PQ C B ⊥''于Q ．1PQ =，5OQ =，225126OP ∴=+=26422PM ∴=-=，222PD ∴=-，222d ∴=-，2222d∴-．第二种情形：当A P '与FG 相交，不与EF 相交时，当点A '在FG 上时，252A G '=-，即252d =-，如图6中，当点P 落在EF 上时，设OF 交A B ''于Q ，过点P 作PT B C ⊥''于T ，过点P 作//PR OQ 交OB '于R ，连接OP ．26OP =，5OF =，2226251FP OP OF ∴=-=-=，OF OT =，PF PT =，90F PTO ∠=∠=︒，Rt OPF Rt OPT(HL)∴∆≅∆，FOP TOP ∴∠=∠，//PQ OQ ，OPR POF ∴∠=∠，OPR POR ∴∠=∠，OR PR ∴=，222PT TR PR +=，2221(5)PR PR ∴+-=，2.6PR ∴=， 2.4RT =，△B PR '∽△B QO '，∴B R PR B O QO'='，∴3.4 2.66OQ=， 7817OQ ∴=， 4417QG OQ OG ∴=-=，即4417d = 4425217d ∴-<，第三种情形：当A P '经过点F 时，如图7中，显然3d =．综上所述，2222d -或3d =．。

2020年浙江省绍兴市中考数学试题(解析版)

2020年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）（2020•绍兴）实数2，0，﹣2，√2中，为负数的是（）A．2B．0C．﹣2D．√2【分析】根据负数定义可得答案．【解答】解：实数2，0，﹣2，√2中，为负数的是﹣2，故选：C．【点评】此题主要考查了实数，关键是掌握负数定义．2．（4分）（2020•绍兴）某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（）A．0.202×1010B．2.02×109C．20.2×108D．2.02×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：2020000000＝2.02×109，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2020•绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．4．（4分）（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．【解答】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．5．（4分）（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x ＝2：5，解得x ＝20．故选：A ．【点评】本题主要考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6．（4分）（2020•绍兴）如图，小球从A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E 出口落出的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．16 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B 、C 、D 处都是等可能情况，从而得到在四个出口E 、F 、G 、H 也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E 、F 、G 、H 四个，所以小球从E 出口落出的概率是：14；故选：C ．【点评】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（4分）（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．8．（4分）（2020•绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．【点评】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．9．（4分）（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内接和定理可求∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，由外角的性质可求∠P AH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BP A＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BP A＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，∵∠CP A＝∠AHC+∠P AH＝135°，∴∠P AH＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH的度数是定值，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．（4分）（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得：{2x +2y =210×2x −y +x =210，解得：{x =140y =70． ∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ．故选：B ．【点评】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2020•绍兴）分解因式：1﹣x 2＝（1+x ）（1﹣x ）．【分析】分解因式1﹣x 2中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可．【解答】解：1﹣x 2＝（1+x ）（1﹣x ）．故答案为：（1+x ）（1﹣x ）．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．（5分）（2020•绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2，A =0的解为{x =1，y =1，则多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y （写出一个即可）．【分析】根据方程组的解的定义，为{x =1y =1应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为{x =1y =1列一组算式，然后用x ，y 代换即可．【解答】解：∵关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2A =0的解为{x =1y =1，而1﹣1＝0，∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ．故答案为：答案不唯一，如x ﹣y ．【点评】考查了二元一次方程组的解，本题是开放题，注意方程组的解的定义．13．（5分）（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 4√5 ．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：√32−22=√5，故阴影部分的面积是：2×√52×4=4√5，故答案为：4√5．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（5分）（2020•绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点D ，连结BD ．若BD 的长为2√3，则m 的值为 2或2√7 ．【分析】由作图知，点D 在AC 的垂直平分线上，得到点B 在AC 的垂直平分线上，求得BD 垂直平分AC ，设垂足为E ，得到BE =√3，当点D 、B 在AC 的两侧时，如图，当点D 、B 在AC 的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由作图知，点D 在AC 的垂直平分线上，∵△ABC 是等边三角形，∴点B 在AC 的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2√3，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2√3，∴D′E＝3√3，∴AD′=√(3√3)2+12=2√7，∴m＝2√7，综上所述，m的值为2或2√7，故答案为：2或2√7．【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质．正确的作出图形是解题的关键．15．（5分）（2020•绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是100或85元．【分析】可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．【解答】解：设所购商品的标价是x 元，则①所购商品的标价小于90元，x ﹣20+x ＝150，解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元，x ﹣20+x ﹣30＝150，解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元．故答案为：100或85．【点评】考查了一元一次方程的应用，属于商品销售问题，注意分两种情况进行讨论求解．16．（5分）（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 ①②③④ （填序号）．①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3．【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．【解答】解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2−1，④√32，不可以是√3．故答案为：①②③④．【点评】考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出图形是解题的关键．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）（2020•绍兴）（1）计算：√8−4cos45°+（﹣1）2020．（2）化简：（x +y ）2﹣x （x +2y ）．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2√2−4×√22+1＝2√2−2√2+1＝1；（2）（x +y ）2﹣x （x +2y ）＝x 2+2xy +y 2﹣x 2﹣2xy＝y 2．【点评】此题主要考查了实数运算以及完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（8分）（2020•绍兴）如图，点E 是▱ABCD 的边CD 的中点，连结AE 并延长，交BC的延长线于点F ．（1）若AD 的长为2，求CF 的长．（2）若∠BAF ＝90°，试添加一个条件，并写出∠F 的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥CF ，则∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，由点E 是CD 的中点，得出DE ＝CE ，由AAS 证得△ADE ≌△FCE ，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，{∠DAE=∠CFE ∠ADE=∠FCE DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2；（2）∵∠BAF＝90°，添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．（8分）（2020•绍兴）一只羽毛球的重量合格标准是5.0克～5.2克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表．4月份生产的羽毛球重量统计表组别重量x（克）数量（只）A x＜5.0mB 5.0≤x＜5.1400C 5.1≤x＜5.2550D x≥5.230（1）求表中m的值及图中B组扇形的圆心角的度数．（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？【分析】（1）图表中“C组”的频数为550只，占抽查总数的55%，可求出抽查总数，进而求出“A组”的频数，即m的值；求出“B组”所占总数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（2）计算“B组”“C组”的频率的和即为合格率，求出“不合格”所占的百分比，即可求出不合格的数量．【解答】解：（1）550÷55%＝1000（只），1000﹣400﹣550﹣30＝20（只）即：m＝20，360°×4001000=144°，答：表中m的值为20，图中B组扇形的圆心角的度数为144°；（2）4001000+5501000=9501000=95%，12×10×（1﹣95%）＝120×5%＝6（只），答：这次抽样检验的合格率是95%，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有6只．【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解图表中的数量和数量之间的关系，是正确计算的前提．20．（8分）（2020•绍兴）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12471112y（斤）0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断．（2）设函数关系式为y ＝kx +b ，利用待定系数法解决问题即可．【解答】解：（1）观察图象可知：x ＝7，y ＝2.75这组数据错误．（2）设y ＝kx +b ，把x ＝1，y ＝0.75，x ＝2，y ＝1代入可得{k +b =0.752k +b =1，解得{k =14b =12，∴y =14x +12，当x ＝16时，y ＝4.5，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．【点评】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（10分）（2020•绍兴）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E ，H 可分别沿等长的立柱AB ，DC 上下移动，AF ＝EF ＝FG ＝1m ．（1）若移动滑块使AE ＝EF ，求∠AFE 的度数和棚宽BC 的长．（2）当∠AFE 由60°变为74°时，问棚宽BC 是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得FK=2−AK2=√32，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，∵△AEF是等边三角形，∴AK=1 2，∴FK=√AF2−AK2=√32，∴FM＝2FK=√3，∴BC＝4FM＝4√3≈6.92≈6.9（m）；（2）∵∠AFE＝74°，∴∠AFK＝37°，∴KF＝AF•cos37°≈0.80，∴FM＝2FK＝1.60，∴BC＝4FM＝6.40＜6.92，6.92﹣6.40＝0.52≈0.5，答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（12分）（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，①∵∠BAE＝90°，∴∠BAD=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°−12m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12m°，∵EA＝EC，∴∠CAE=12∠AEB＝90°−12n°−12m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°−12n°−12m°=12n°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．23．（12分）（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【分析】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2=8.4，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=−1 50，故抛物线的表达式为：y=−150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6√2=8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义．24．（14分）（2020•绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．【分析】（1）如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．解直角三角形求出CH即可．（2）①分两种情形：如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．分别求出C′M，C′N即可．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．结合图象可得结论．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2√5−2，即d＝2√5−2，如图6中，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT ⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．求出QG可得结论．第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d＝3．综上所述可得结论．【解答】解：（1）如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O＝α＝30°，∴C′H＝C′O•cos30°＝2√3，∴点C′到直线OF的距离为2√3．（2）①如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．∵C′P∥OF，∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′＝4，∴C′M＝2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2−2．如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N＝2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2+2．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．∵OA′＝2√5，OM＝2，∠OMA′＝90°，∴A′M=√A′O2−OM2=√(2√5)2−22=4，∴A′D＝2，即d＝2，如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．∵PQ＝1，OQ＝5，∴OP=√52+12=√26，∴PM=√26−4=√22，∴PD=√22−2，∴d=√22−2，∴2≤d≤√22−2．第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2√5−2，即d ＝2√5−2，如图6中，当点P 落在EF 上时，设OF 交A ′B ′于Q ，过点P 作PT ⊥B ′C ′于T ，过点P 作PR ∥OQ 交OB ′于R ，连接OP ．∵OP =√26，OF ＝5，∴FP =√OP 2−OF 2=√26−25=1，∵OF ＝OT ，PF ＝PT ，∠F ＝∠PTO ＝90°，∴Rt △OPF ≌Rt △OPT （HL ），∴∠FOP ＝∠TOP ，∵PQ ∥OQ ，∴∠OPR ＝∠POF ，∴∠OPR ＝∠POR ，∴OR ＝PR ，∵PT 2+TR 2＝PR 2，∴12+（5﹣PR ）2＝PR 2，∴PR ＝2.6，RT ＝2.4，∵△B ′PR ∽△B ′QO ，∴B′R B′O =PR QO ，∴3.46=2.6OQ， ∴OQ =7817，∴QG ＝OQ ﹣OG =4417，即d =4417∴2√5−2≤d＜44 17，第三种情形：当A′P经过点F时，如图7中，显然d＝3．综上所述，2≤d≤√22−2或d＝3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

【中考12年】浙江省绍兴市2001-中考数学试题分类解析专题04 图形的变换

【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析专题04图形的变换一、选择题1. （2001年浙江绍兴3分）圆锥的侧面展开图是半径为3cm 的半圆，则此圆锥的底面半径是【】（A ）1.5cm （B ）2cm （C ）2.5cm （D ）3cm2. （2001年浙江绍兴3分）如图，∆ABC 中，∠C=900，AC=8cm ，AB=10cm ，点P 由点C 出发以每秒2cm 的速度沿线段CA 向点A 运动（不运动至A 点），⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2秒钟时，⊙O 的半径是【】（A ）712cm （B ）512cm （C ）35cm （D ）2cm【答案】A 。

【考点】动点问题，切线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理。

【分析】连接OR 、OM ，则OR⊥AC，OM⊥AB；过O 作OK⊥BC 于K ，3. （2002年浙江绍兴3分）如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为【】（A ）30π （B ）76π （C ）20π （D ）74π4. （2003年浙江绍兴4分）圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线长为【】A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm【答案】D。

【考点】圆锥的计算，勾股定理。

【分析】∵圆锥的母线长，高线长和底面半径构成直角三角形，且圆锥的母线长为13cm，，底面半径为5cm，()cm。

故选D。

5. （2003年浙江绍兴4分）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为【】A．4 B．6 C．8 D．106. （2004年浙江绍兴4分）一个圆锥的底面半径为52，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是【】A．180° B．150° C．120°D．90°【答案】B。

2023年浙江省绍兴市中考数学真题(答案解析)

数学卷Ⅰ（选择题）一、选择题1.【答案】A【解析】解：231-=-，故选：A ．2.【答案】B【解析】解：8274000000 2.7410=⨯，故选B ．3.【答案】D【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，中间没有，右边1个小正方形，故选：D ．4.【答案】C【解析】解：A 选项，6243a a a a ÷=≠，原计算错误，不符合题意；B 选项，()5210a a a -=-≠-，原计算错误，不符合题意；C 选项，()()2111a a a +-=-，原计算正确，符合题意；D 选项，222(1)211a a a a +=++≠+，原计算错误，不符合题意；故选：C ．5.【答案】C【解析】解：在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，共有7种可能，摸到红球的可能为2种，则摸出红球的概率是27，故选：C ．6.【答案】B【解析】解：设大容器的容积为x 斛，小容器的容积为y 斛，根据题意得：5352x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选：B ．7.【答案】D【解析】解：将点(),m n 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是()2,1m n ++．故选：D ．8.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，90BAD ABC ∠=∠=︒，∴60BDC ABD ∠=∠=︒，906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒，∵OE OF =、OB OD =，∴DF EB=∵对称，∴21DF DF BF BF ==，，21,BE BE DE DE ==∴1221E F E F =∵对称，∴260F DC CDF ∠=∠=︒，130EDA E DA ∠=∠=︒∴160E DB ∠=︒，同理160F BD ∠=︒，∴11DE BF ∥∴1221E F E F ∥∴四边形1212E E F F 是平行四边形，如图所示，当,,E F O 三点重合时，DO BO =，∴1212DE DF AE AE ===即1212E E EF =∴四边形1212E E F F 是菱形，如图所示，当,E F 分别为,OD OB 的中点时，设4DB =，则21DF DF ==，13DE DE ==，在Rt △ABD 中，2,AB AD ==，连接AE ，AO ，∵602ABO BO AB ∠=︒==，，∴ABO 是等边三角形，∵E 为OB 中点，∴AE OB ⊥，1BE =，∴AE ==，根据对称性可得1AE AE ==∴2221112,9,3AD DE AE ===，∴22211AD AE DE =+，∴1DE A 是直角三角形，且190E ∠=︒，∴四边形1212E E F F 是矩形，当,F E 分别与,D B 重合时，11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形∴在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A ．9.【答案】B【解析】解：∵()()2,,2,N a P a -，∴得N 、P 关于y 轴对称，∴选项A 、C 错误，∵()()4,2,2,M a N a ---在同一个函数图象上，∴当0x <时，y 随x 的增大而增大，∴选项D 错误，选项B 正确．故选：B ．10.【答案】D【解析】解：如图所示，连接ND ，∵DE AB ∥，DF AC ∥，∴,ECD FDB FBD EDC ∠=∠∠=∠，,BFD A A DEC ∠=∠∠=．∴FBD EDC ∽,NFD MEC ∠=∠．∴FB FD ED EC=．∵2DM ME =，2BN NF =，∴11,33NF BF ME DE ==，∴NF BF ME DE =．∴FD NF EC ME =．又∵NFD MEC ∠=∠，∴NFD MEC ∽．∴ECM FDN ∠=∠．∵FDB ECD∠=∠∴MCD NDB ∠=∠．∴MC ND ∥．∴MNC MDC S S = ．∵2DM ME =，∴1122EMC DMC MNC S S S == ．故选：D ．卷Ⅱ（非选择题）二、填空题11.【答案】()3m m -【解析】解：()233m m m m -=-，故答案为：()3m m -．12.【答案】80︒##80度【解析】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D �邪＝，∵100D ∠=︒，∴18080B D ∠︒∠︒＝﹣＝．故答案为：80︒．13.【答案】3x =【解析】解：去分母，得：39x =，化系数为1，得：3x =．检验：当3x =时，10x +≠，∴3x =是原分式方程的解．故答案为：3x =．14.【答案】10︒或80︒【解析】解：∵四边形ABCD 为菱形，40DAB ∠=︒，∴1202CAD DAB ∠=∠=︒，连接CE ，①当点E 在点A 上方时，如图1E ，∵1AC AE =，120CAE ∠=︒，∴()1118020802AE C ∠=︒-︒=︒，②当点E 在点A 下方时，如图2E ，∵1AC AE =，120CAE ∠=︒，∴211102AE C CAE ∠=∠=︒，故答案为：10︒或80︒．15.【答案】2【解析】解：如图，过点A B 、作AF y ⊥轴于点F ，AD x ⊥轴于点D ，BE x ⊥于点E ，6AFO ABO BOE FABEO S S S S k =++=+ 五边形AFOD FABEO ADEB ADEBS S S k S =+=+矩形五边形梯形梯形6ADEB S ∴=梯形2121()()62y y x x +-∴= 212x x =2112y y ∴=11112121111()(2)()()32==6224y y x x y y x x y x +-+-∴=11=8x y ∴8k ∴=21121111111111()()82222244ABC S AC BC x x y y y y =×=-×-=×==´=故答案为：2．16.【答案】712或2512-【解析】由()2(2)03y x x =-≤≤，当0x =时，4y =，∴()0,4C ，∵()3,0A ，四边形ABCO 是矩形，∴()3,4B ，①当抛物线经过O B ，时，将点()0,0，()3,4B 代入()21034y x bx c x =++≤≤，∴019344c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得：712b =②当抛物线经过点,A C 时，将点()3,0A ,()0,4C 代入()21034y x bx c x =++≤≤，∴419304c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得：2512b =-综上所述，712b =或2512b =-，故答案为：712或2512-．三、解答题17.【答案】（1）1；（2）3x >【解析】解：（1）原式1=-1=．（2）移项得36x x ->，即26x >，∴3x >．∴原不等式的解是3x >．18.【答案】（1）100（2）360（3）答案不唯一，见解析【解析】（1）被抽查学生数：3030%100÷=，答：本次调查共抽查了100名学生．（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：1005%5⨯=，∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100301015540----=，∴40900360100⨯=（人）．答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360．（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．19.【答案】（1）58︒（2）该运动员能挂上篮网，理由见解析【解析】（1）解：∵CG CD ⊥，∴90ACG ∠=︒，∵32AGC ∠=︒，∴903258GAC ∠=︒-︒=︒．（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长,OA ED 交于点M ，∵,OA OB DE OB ⊥∥，∴90DMA ∠=︒，又∵58DAM GAC ∠=∠=︒，∴32ADM ∠=︒，在Rt ADM △中，sin 320.80.530.424AM AD =︒≈⨯=，∴ 2.50.424 2.9243OM OA AM =+=+=<，∴该运动员能挂上篮网．20.【答案】（1）200y x =（2）出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇（3）,P M 两地间的距离为600米【解析】（1）∵()()0,0,5,1000O A ，∴OA 所在直线的表达式为200y x =．（2）设BC 所在直线的表达式为y kx b =+，∵()()0,1000,10,0B C ，∴10000,010,b k b =+⎧⎨=+⎩解得100,1000k b =-⎧⎨=⎩．∴1001000y x =-+．甲、乙机器人相遇时，即2001001000x x =-+，解得103x =，∴出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇．（3）设甲机器人行走t 分钟时到P 地，P 地与M 地距离200y t =，则乙机器人()1t +分钟后到P 地，P 地与M 地距离()10011000y t =-++，由()20010011000t t =-++，得3t =．∴600y =．答：,P M 两地间的距离为600米．21.【答案】（1）115︒（2）CE =【解析】（1）解：∵AE CD ⊥于点E ，∴90AEC ∠=︒，∴9025115ACD AEC EAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）∵CD 是O 的切线，OC 是O 的半径，∴90OCD ∠=︒．在Rt OCD △中，∵2,3OC OB OD OB BD ===+=，∴CD ==．∵90OCD AEC ∠=∠=︒，∴OC AE∥∴CD OD CE OA =，即32CE =，∴CE =．22.【答案】（1）见解析（2）AH 与EF 垂直，理由见解析【解析】（1）解：在正方形ABCD 中，AD CD ⊥GE CD ⊥∴AD GE ∥，∴DAG EGH ∠=∠．（2）AH 与EF 垂直，理由如下．连接GC 交EF 于点O ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴45ADG CDG ∠=∠=︒，又∵,DG DG AD CD ==，∴ADG CDG ≌，∴DAG DCG ∠=∠．在正方形ABCD 中，90ECF ∠=︒，又∵,GE CD GF BC ⊥⊥，∴四边形FCEG 为矩形，∴OE OC =，∴OEC OCE ∠=∠，∴DAG OEC ∠=∠．又∵DAG EGH ∠=∠，∴90EGH GEH OEC GEH GEC ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90GHE ∠=°，∴AH EF ⊥．23.【答案】（1）①()2,7；②当13x -≤≤时，27y -≤≤（2）222y x x =-++【解析】（1）解：①当4,3b c ==时，2243(2)7y x x x =-++=--+，∴顶点坐标为()2,7．②∵顶点坐标为()2,7．抛物线开口向下，当12x -≤≤时，y 随x 增大而增大，当23x ≤≤时，y 随x 增大而减小，∴当2x =时，y 有最大值7．又()2132-->-∴当=1x -时取得最小值，最小值=2y -；∴当13x -≤≤时，27y -≤≤．（2）∵0x ≤时，y 的最大值为2；0x >时，y 的最大值为3，∴抛物线的对称轴2b x =在y 轴的右侧，∴0b >，∵抛物线开口向下，0x ≤时，y 的最大值为2，∴2c =，又∵()()241341c b ⨯-⨯-=⨯-，∴2b =±，∵0b >，∴2b =，∴二次函数的表达式为222y x x =-++．24.【答案】（1）8（2）①347BP =；②6BP =或8±【解析】（1）在ABCD Y 中，10BC AD ==，在Rt BCH 中，4sin 1085CH BC B ==⨯=．（2）①如图1，作CH BA ⊥于点H ，由（1）得，6BH ==，则1266AH =-=，作C Q BA '⊥交BA 延长线于点Q ，则90CHP PQC ∠'=∠=︒，∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒．∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，∴PQC CHP '△≌△．设BP x =，则8,6,4PQ CHC Q PH x QA PQ PA x ====-=-=-'．∵,C Q AB CH AB '⊥⊥，∴C Q CH '∥，∴AQC AHC '△∽△，∴C Q QA CH HA ='，即6486x x --=，∴347x =，∴347BP =．②由旋转得,PCD PC D CD C D '''='△≌△，CD C D ⊥''，又因为AB CD ，所以C D AB ''⊥．情况一：当以C '为直角顶点时，如图2．∵C D AB ''⊥，∴C '落在线段BA 延长线上．∵PC PC ⊥'，∴PC AB ⊥，由（1）知，8PC =，∴6BP =．情况二：当以A 为直角顶点时，如图3．设C D ''与射线BA 的交点为T ，作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，∴CPH PC T ∠=∠'．又∵90,CHP PTC PC C P ∠=∠=='︒'，∴CPH PC T '△≌△，∴,8C T PH PT CH '===．设C T PH t '==，则6AP t =-，∴2AT PT PA t=-=+∵90,C AD C D AB ∠=︒''⊥''，∴ATD C TA '' ∽，∴AT C T TD TA=''，∴2AT C T TD '=⋅'，∴()2(2)12t t ι+=-，化简得2420t t -+=，解得2t =±∴8BP BH HP =+=±情况三：当以D ¢为直角顶点时，点P 落在BA 的延长线上，不符合题意．综上所述，6BP =或8±。

2023年浙江省绍兴市数学中考真题(含答案)

数学卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分1．计算的结果是（）A．B．C．1 D．32．据报道，2023年“五一”假期全国国内旅游出游合计274000000人次．数字274000000用科学记数法表示是（）A．B．C．D．3．由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（）A．B．C．D．6．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（）A．B．C．D．7．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A．B．C．D．8．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（）A．菱形→平行四边形→矩形·平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形9．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在中，是边上的点（不与点重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（）A．的面积B．的面积C．的面积D．的面积卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．因式分解：________．12．如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________．13．方程的解是________．14．如图，在菱形中，，连结，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是________．15．如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是________．16．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．三、解答题（本大题有8小题，第17~20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（1）计算：．（2）解不等式：．18．某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．调查目的1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议调查方式随机抽样调查调查对象部分初中生调查内容你最喜爱的一个球类运动项目（必选）A．篮球B．乒乓球C．足球D．排球E．羽毛球调查结果建议……结合调查信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了多少名学生？（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．（3）假如你是小组成员，垱向该校提一条合理建议．19．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．（1）求的度数．（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网阬？请通过计算说明理由．（参考数据：）20．一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．（1）求所在直线的表达式．（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？（3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．21．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．（1）若，求的度数．（2）若，求的长．22．如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连结，并延长交于点．（1）求证：．（2）判断与是否垂直，并说明理由．23．已知二次函数．（1）当时，①求该函数图像的顶点坐标．②当时，求的取值范围．（2）当时，的䀝大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．24．在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．（1）如图1，求边上的高的长．（2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，当点落在射线上时，求的长．②当是直角三角形时，求的长．数学试卷参考答案一、选择题（本大题有10小题，共40分）1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题有6小题，共30分）11．12．13．14．或15．2 16．或三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（本题满分8分）解：（1）原式．（2）移项得，即，∴．∴原不等式的解是．18．（本题满分8分）解：（1）被抽查学生数：，答：本次调查共抽查了100名学生．（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：，∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：，∴（人）．答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360．（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．19．（本题满分8分）解：（1）∵，∴，∵，∴．（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴该运动员能挂上篮网．20．（本题满分8分）解：（1）∵，∴所在直线的表达式为．（2）设所在直线的表达式为，∵，∴解得∴．甲、乙机器人相遇时，即，解得，∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，则乙机器人分钟后到地，地与地距离，由，得．∴．答：两地间的距离为600米．21．（本题满分10分）解：（1）∵于点，∴，∴．（2）∵是的切线，是的半径，∴．．在中，∵，∴．∵，∴∴，即，∴．22．（本题满分12分）（1）证明：在正方形中，，∴，∴．（2）解：与垂直，理由如下．连结交于点．∵为正方形的对角线，∴，又∵，∴，∴．在正方形中，，又∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∴．∴，∴，∴．23．（本题满分12分）解：（1）①当时，，∴顶点坐标为．②∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，∴当时，有最大值7．又当时，；当时，，∴当时，．（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，∴抛物线的对称轴在轴的右侧，∴，∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，∴，又∵，∴，∵，∴．∴二次函数的表达式为．24．（本题满分14分）解：（1）在中，，在中，．（2）①如图1，作于点，由（1）得，．作交延长线于点，则，∴．∵∴．由旋转知，∴．设，则．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．（2）由旋转得，，又因为，所以．情况一：当以为直角顶点时，如图2．∵，∴落在线段延长线上．∵，∴，由（1）知，，∴．情况二：当以为直角顶点时，如图3．设与射线的交点为，作于点．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．设，则，∴∵，∴，∴，∴，∴，化简得，解得，∴．情况三：当以为直角顶点时，点落在的延长线上，不符合题意．综上所述，或．。