2016届中考数学3.4.1相似三角形的判定4学案

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【湘教版】九年级数学上册：3.4.1 相似三角形的判定定理1(含答案)

第2课时相似三角形的判定定理101 基础题知识点两角分别相等的两个三角形相似1.如图,D 是BC 上的点,∠ADB ＝∠BAC,则下列结论正确的是(B) A.△ABC ∽△DAC B.△ABC ∽△DBA C.△ABD ∽△ACD D.以上都不对2.如图,在矩形ABCD 中,E 在AD 上,EF ⊥BE,交CD 于F,连接BF,则图中与△ABE 一定相似的三角形是(B)A.△EFBB.△DEFC.△CFBD.△EFB 和△DEF3.∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件,则四个图中不一定有相似三角形的是(D)4.(长春中考)如图,∠ABD ＝∠BDC ＝90°,∠A ＝∠CBD,AB ＝3,BD ＝2,则CD 的长为(B)A.34B.43C.2D.35.如图,锐角△ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D.请写出图中的一对相似三角形：答案不唯一,如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等.6.如图,∠C＝∠E＝90°,AD＝10,DE＝8,AB＝5,则AC＝3.7.(怀化中考)如图,已知在△ABC与△DEF中,∠C＝54°,∠A＝47°,∠F＝54°,∠E＝79°,求证：△ABC∽△DEF.证明：在△ABC中,∠B＝180°－∠A－∠C＝79°,∴∠B＝∠E.又∵∠C＝∠F,∴△ABC∽△DEF.8.如图,点B.D.C.F在一条直线上,且AB∥EF,AC∥DE,求证：△ABC∽△EFD.证明：∵AB∥EF,AC∥DE,∴∠B＝∠F,∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.02 中档题9.(江阴模拟)下列条件中,能判定两个等腰三角形相似的是(C)A.都含有一个30°的内角B.都含有一个45°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个80°的内角10.(安徽中考)如图,△ABC中,AD是中线,BC＝8,∠B＝∠DAC,则线段AC的长为(B)A.4B.4 2C.6D.4 311.如图,∠1＝∠2,请补充一个条件：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一),使△ABC∽△ADE.12.如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP＝1,点D为AC边上一点,若∠APD＝60°,则CD的长为23 .13.如图,AD.BE 是钝角△ABC 的边BC.AC 上的高,求证：AD BE ＝ACBC.证明：∵AD.BE 是钝角△ABC 的高,∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠DCA ＝∠ECB, ∴△DAC ∽△EBC. ∴AD BE ＝AC BC. 14.如图,在矩形ABCD 中,E 为BC 上一点,DF ⊥AE 于点F. (1)△ABE 与△DFA 相似吗？请说明理由；(2)若AB ＝6,AD ＝12,AE ＝10,求DF 的长. 解：(1)△ABE ∽△DFA. 理由：∵四边形ABCD 是矩形, DF ⊥AE,∴∠B ＝∠DFA ＝90°.∴∠FAD ＋∠FDA ＝90°,∠BAE ＋∠FAD ＝90°. ∴∠BAE ＝∠FDA. ∴△ABE ∽△DFA. (2)∵△ABE ∽△DFA,∴AB DF ＝AE AD. ∴DF ＝AB·AD AE ＝6×1210＝7.2.03 综合题15.在△ABC 中,P 为边AB 上一点.(1)如图1,若∠ACP ＝∠B,求证：AC 2＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点,AC ＝2.①如图2,若∠PBM ＝∠ACP,AB ＝3,求BP 的长；②如图3,若∠ABC ＝45°,∠A ＝∠BMP ＝60°,直接写出BP 的长. 解：(1)证明：∵∠ACP ＝∠B,∠BAC ＝∠CAP, ∴△ACP ∽△ABC. ∴AC AB ＝APAC . ∴AC 2＝AP·AB .(2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q. ∴∠PBM＝∠AQC . ∵∠PBM＝∠ACP , ∴∠AQC＝∠ACP . 又∵∠PAC＝∠CAQ , ∴△APC∽△ACQ .∴AC AP ＝AQAC .∴AC 2＝AP·AQ .∵M为PC的中点,BM∥CQ,∴PBPQ＝PMPC＝12.设BP＝x,则PQ＝2x,BQ＝x,∴22＝(3－x)(3＋x),解得x1＝5,x2＝－5(不合题意,舍去). ∴BP＝ 5.②BP＝7－1.。

人教版九年级下册数学《相似三角形的判定》精讲精练(含解答)

一、基础知识相似三角形的判定（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

如图，在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D, ∠B=∠E，那么△ABC∽△DEF。

二、重难点分析本节课的重难点是三角形相似的判定判定方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是我们在解题中证明三角形相似最常用的方法之一，要牢固掌握。

三、中考感悟1、（四川巴中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．（2）连结OD．由三角形中位线的性质得出OD∥AC，根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG，2、（襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．（3）利用△ADP∽△BDA，得出==，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则=，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．（3）解：∵△ADP∽△BDA，．四、专项训练（一）基础练习1、下列各组图形中，两个图形不一定相似的是（）A.有一个角是35 º的两个等腰三角形B.两个等腰直角三角形C.有一个角是105 º的两个等腰三角形D.两个等边三角形2、如图，在△ABC中，∠C=90 º,CD⊥AB,垂足为D，则图中相似三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对3、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有( )(A) ΔADE∽ΔAEF (B) ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D) ΔAEF∽ΔABF4、如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是( ) A．PA·AB＝PC·PB B．PA·PB＝PC·PD C．PA·AB＝PC·CD D．PA∶PB＝PC∶PD（二）提升练习5、如图，已知AD、BE是△ABC的两条高，试说明AD·BC=BE·AC6、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=6，AE=8，求DF的长．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质等知识点，难度中等．7、如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．求证：CB2＝CF·CE．8、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,作出辅助线，是解决本题的关键。

中考数学：相似三角形的判定和判定方法

中考数学：相似三角形的判定和判定方法相似三角形的判定1.两个三角形的两个角对应相等2.两边对应成比例，且夹角相等3.三边对应成比例4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定方法依照相似图形的特点来判定。

(对应边成比例，对应边的夹角相等)1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

那个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)2.假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似;3.假如两个三角形的两组对应边的比相等，同时相应的夹角相等，那么这两个三角形相似;4.假如两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(用定义证明)绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。

2.两个等腰直角三角形一定相似。

(两个等腰三角形，假如顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

)3.两个等边三角形一定相似。

直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，同时分成的两个直角三角形也相似。

射影定理三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

湘教版九年级上册说课稿3.4 相似三角形的判定与性质

湘教版九年级上册说课稿3.4相似三角形的判定与性质一. 教材分析湘教版九年级上册数学第三单元“相似三角形的判定与性质”是学生在学习了三角形的性质、角的计算、边的计算等知识的基础上，进一步研究相似三角形的性质和判定。

这一部分内容是几何学习中的重要组成部分，也是中考的热点。

教材从生活实例出发，引出相似三角形的概念，接着介绍了相似三角形的判定和性质，最后通过练习巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于相似三角形的判定与性质，学生可能存在以下问题：1. 对相似三角形的概念理解不深，容易与全等三角形混淆；2. 对于相似三角形的判定定理，不能灵活运用，不知道如何运用到实际问题中；3. 对相似三角形的性质理解不透，不能很好地运用性质解决几何问题。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的概念，理解并掌握相似三角形的判定定理和性质，能运用判定定理和性质解决几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生克服困难、勇于探索的精神，感受数学的美。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握相似三角形的概念，理解并掌握相似三角形的判定定理和性质。

2.教学难点：相似三角形的判定定理和性质的灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等，引导学生主动探究，发现规律。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，直观展示几何图形，提高学生的空间想象能力。

六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引导学生发现相似三角形的特征，引出相似三角形的概念。

2.新课导入：介绍相似三角形的判定定理，通过几何图形演示，使学生理解并掌握定理。

3.知识拓展：介绍相似三角形的性质，通过实例使学生理解并掌握性质。

九年级数学上册3.4相似三角形的判定与性质3.4.1相似三角形的判定第4课时相似三角形的判定定理3测试题新版湘

第4课时相似三角形的判定定理301 基础题知识点三边成比例的两个三角形相似1．将一个三角形的各边都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A) A ．一定相似 B ．一定不相似C ．不一定相似D ．不能判断是否相似2．甲三角形的三边分别为1，2，5，乙三角形的三边分别为5，10，5，则甲乙两个三角形(A)A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断是否相似3．已知△ABC 的三边长分别为6 cm 、7.5 cm 、9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，要使这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可以是(C)A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm4．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是三边成比例的两个三角形相似．5．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC∽△DEF.6．△ABC 和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似．BC ＝2，AC ＝3，AB ＝4；B′C′＝2，A′C′＝3，A′B′＝2.解：在△ABC 中，AB>AC>BC ，在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，BC B′C′＝22＝2，AC A′C′＝33＝3，AB A′B′＝42＝2. ∴BC B′C′≠AB A′B′≠AC A′C′. ∴△ABC 与△A′B′C′不相似．7．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．解：△ABC∽△DBE.理由如下：∵AC DE ＝36＝12，BC BE ＝48＝12，AB DB ＝510＝12， ∴AC DE ＝BC BE ＝AB DB. ∴△ABC∽△DBE.02 中档题8．下列能使△ABC 和△DEF 相似的条件是(C)A ．AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝ cB ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝1C ．AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝6D ．AB ＝2，AC ＝3，BC ＝5，DE ＝6，EF ＝3，DF ＝39．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的(C)A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x ，那么x 的值(B)A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个11．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：△ABC∽△EFD.。

中考数学相似三角形专题复习，知识点总结，解题技巧，中考例题！

中考数学相似三角形专题复习，知识点总结，解题技巧，中考例题！中考全等三角形、相似三角形【知识点】全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

1. 一般三角形全等的判定（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。

（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。

（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。

（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。

2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”)．相似三角形的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有：1.平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。

直角三角形相似判定定理1．斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

【规律方法】证明两三角形全等或相似基本方法步骤：1．.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2．证明三角形全等首先找边，然后再看三角形满足怎样的条件，还需要证明什么条件；3．从题目中分析每个条件能导出什么新的条件，或者能组合成什么有帮助的条件。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结相似三角形的判定复习课教案

《相似三角形的判定》复习课一、复习提问问：证明两个三角形相似的判定方法有哪些？学生口答：A 、预备定理B 、判定定理1、2、3.C 、直角三角形相似的判定定理二、精选习题，整合已学知识例1、如图，∆ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 、AC 分别于D 、E ，DC 、BE 相交于点O ，图中相似的三角形有多少对？为什么？分析：学生易发现：∆ADE ∽∆ABC 和∆DOE ∽∆COB 。

我进一步问：是否还有其他的相似三角形？教学目标：1.掌握相似三角形的判定定理，并能准确运用。

2.认识几种常见的基本图形，提高识图能力。

3.通过题目的分析、推导，提高逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力。

教学重难点：重难点：相似三角形的判定及其应用。

OE E A BD D OE BD（让学生思考）再问：∆DOB与∆EOC是否相似？【设计意图】：此题难度较小，学生基本都能看出相似三角形，通过此题，让学生回顾相似三角形中的最基本图形，即“正A型”和“正X型”。

再次追问的目的是让学生思考在运用“两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似”这个判定时要清楚什么叫对应边成比例，此处是学生的易错点，故我特意强调，并让学生多加思考。

练习1：如图，AC‖DF，∠B=∠F，图中有多少对相似三角形？理由是什么？分析：学生容易发现由AC//DF得到△BDE∽△BAC、△AMC∽△MEF，以及已知∠B=∠F得到△BDE∽△FME。

教师引导学生进一步观察图形，找出图中“斜A”型，初步判断是否相似，然后找满足相似的条件，进而找到△BAC∽△AMC，△BDE∽△AMC。

【设计意图】：此题较基础，重点在于通过题目让学生熟练掌握基本图形，能快速看出“A 型”和“X型”，能快速找到证明相似的条件，准确运用判定定理。

例2、如图1，在∆ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠ACB.(1)证明：△ADE∽△ACB.(2)如图2，连接CD、BE，CD与BE相交于点O.证明：∆ABE∽∆ACD.ABCA BCB(3)问： △DOB 与△EOC 是否相似.理由是什么？ (4)问： △DOE 与△BOC 是否相似. 理由是什么？图1 图2分析：（1）学生容易找到证明∆ADE ∽∆ACB 的条件，由判定定理1即可证明，要求学生自主完成。

初中数学_相似三角形复习教学设计学情分析教材分析课后反思

九年级下学期中考复习《相似三角形复习》教学设计相似三角形复习课教学设计一、课标解读课标要求：1.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明.2.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.3.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.数学学习是经历数学活动的过程，学生的数学学习活动是生动活泼的、主动的、富有个性的，动手实践、自主探索、合作交流是主要的学习方式.教师的主要任务是激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生成为学习的主人.二、教材分析（一）地位与作用《相似三角形》是继图形的全等之后对图形形状内容的研究，是对图形全等知识的进一步拓广，是从特殊到一般的发展.《相似三角形》又是学习锐角三角函数、投影与视图，圆的知识的基础，例如锐角三角函数的定义、圆的有些性质的证明，都与相似三角形有密切联系.另外,在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识.相似三角形有关知识的考查在中考中占有重要地位.因此学好相似三角形既是进一步学习的需要,也是工作实践的需要.本节课是九年级下学期中考复习课，学生已经在初三时学过相似三角形的有关知识，回顾相似三角形的定义、判定和性质，不仅可以帮助学生系统地构建知识体系，而且也可以进一步明确它们之间的联系与区别. 更重要的是为后面综合运用相似三角形，全等三角形等知识解决问题做好铺垫.学生在综合运用所学知识解决问题的过程中感悟分类，特殊到一般等数学思想方法，归纳总结解题的基本构图，基本方法，积累活动经验，提高应用数学的意识和合作交流的能力.（二）教学目标1．回顾相似三角形的定义、判定和性质，进一步明确它们之间的联系与区别.2．在综合运用相似三角形的判定定理及性质定理解决问题的过程中，感悟分类，特殊到一般等数学思想方法，归纳总结解题的基本构图，基本方法，积累活动经验.（三）教学重点、难点教学重点：熟悉相似三角形的基本构图.综合运用相似三角形的判定定理及性质定理解决问题.教学难点：灵活运用相似三角形、全等三角形、圆等知识解决问题.三、学情分析本节课是一节中考复习课，学生已经在初三时学过相似三角形的有关知识，虽然初步具有用几何语言对命题进行推理证明的能力，但是对于综合运用相似三角形，全等三角形等知识解决问题的能力有待提高.因此本节课通过关注相似图形的变式，帮助学生自主构建知识网络，将相似三角形的定义，判定，性质，应用等知识形成知识网络，还应与全等形等知识联网.另外，注重相似三角形与全等三角形，圆等知识的综合运用，渗透分类，特殊到一般等数学思想方法，引导学生归纳总结解题的基本方法，积累活动经验.教法设计：兴趣引导、启发思考、小组合作探究的教学方法.学法指导：突出学生的“探索发现”和“合作探究”，在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去创造．学生通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，丰富数学活动经验，培养勇于探索、大胆创新的精神．四、评价设计通过基础演练，即时检测达成目标1，通过综合运用达成目标2.五、学习过程：（一）基础演练【教师活动】出示问题1．如图，（1）已知∠A =∠D ,要使△ABC∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是（2）已知AB BC k DE EF ==，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是2.如图，已知△ABC ∽△DEF ，(1)你能得到哪些结论？（2）若AM ,DN 分别是BC ,EF 边上的中线，AB =6，AM =4，DE =5， DN =3.已知两个相似三角形的面积比等于4:9，则它们的周长比是【学生活动】独立思考并完成问题.【设计意图】以有代表性的习题为载体，引导学生在问题解决中查缺补漏，形成知识链，建构知识体系，使学生对所学知识进行整体把握.并且从理性上明晰：数学图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用几个大方面着手，不但弄清了知识脉络，而且积累了数学研究的方法和经验，真正提高了学生的数学能力和数学素养.【问题应对】学生已经在初三时学过相似三角形的定义，性质，判定，但对于它们的联系和区别有些模糊，通过追问：还可以怎样做？你的依据是什么？帮助学生形成完整的知识链.（二）即时检测【教师活动一】出示问题1. 如图，在△ABC 中，AB =9，AC =6，点D 在AB上，且AD =4，点E 在AC 上，连接DE ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE = .2.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，下列条件能使△ACD 和△ABC 相似的有①∠ACD =∠B ②∠ADC =∠ACB③AC 2=AD •AB ④ 3. △ABC 中，若∠ACB =90°，于D ,(1)写出图中与∆ABC 相似的三角形 .(2)若AD =9，BD =4,则CD = .【学生活动】独立思考并完成问题.【设计意图】通过设置问题，既检测学生运用相似三角形的性质定理和判定定理解决问题，又帮助学生把有关相似的基本图形、基本策略、基本经验进行了简明扼要的整理，有效提高了课堂效率，促进了目标达成.【问题应对】第1题学生可能只想到平行相似一种情况，可以追问学生：还有不同的答案吗？若还有学生存在困难，可让学生分析“△ADE 与△ABC 相似”和“△ABC ∽△DEF ”两种表示三角形相似的方法有何不同？帮助学生得出正确答案.问题2中的④学生可能选错，通过问题让学生明确要证两三角形相似，已经具备了公共角相等，如AC CD AB BC =CD AB ⊥果添加两组边成比例的条件，要注意公共角必须成为夹角.第3题在学生回答准确的情况下再提出：图中还有哪些比例中项的数学式子？帮助学生熟悉常用的几种式子，公共边的平方等于共线边的乘积.【教师活动二】相似中的基本构图有哪些联系？插入微视频.【设计意图】微视频的加入，不但提高了学生的听课效果，而且更完整清晰地再现了各个基本图形及之间的联系.三、综合运用【教师活动一】出示问题1.已知点B ,E ,C 在同一条直线上，∠B =∠AED =∠C =90°,AE =ED ,AB =6，BC =8，求CD .变式训练一上题中，若AE 与ED 不相等，BE =3，其它条件不变，求CD .变式训练二等边∆ABC 的边长为3，点P 为AB 上一点，AP =1，点E 为CB 上一点，∠CPE =60°,求BE 长.【学生活动】独立思考，完成问题.【教师活动一】反思：通过上面的问题，有什么想法？一条直线上只要有三个等角，就能得到两个三角形相似.如何验证你的发现？我们把这种基本构图称为一线三等角，由一线三等角可以得到两三角形相似，从而求出线段的长度.变式训练三Array在∆ABC中，AB=6，AC=BC=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPE=∠A,设点P的运动时间为t秒，当以点C为圆心，CE为半径的圆与AB相切时，求t的值.【学生活动】独立思考，小组合作，展示交流，完成问题.【设计意图】设计习题组，让学生亲身经历发现问题、分析问题、解决问题的过程,提炼解决这类问题常用的基本思路，基本构图.通过变式训练，使学生多角度、多层次，灵活的运用所学知识解决问题，让学生体会变化中的不变，弄清条件改变，但解题的思路不变．这也是解决一题多变问题常用的方法．这一环节的题目设计由易到难，循序渐进，最终是为了促进目标2的达成．【问题应对】题目设计由易到难，学生可能没有意识到题目之间的联系，解决后面的问题有困难，可以适时追问，例如：全等和相似有什么联系？这道题和上一道题有什么联系？通过问题引导学生在变式训练中体会变与不变，“优化”解题策略，挖掘知识背后的思想、方法、规律.【教师活动二】出示问题2.链接中考（2015威海中考）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．【学生活动】独立思考，小组合作，展示交流，完成问题.【设计意图】链接中考题目，拉近了教学与中考的距离，让学生明确相似三角形的有关知识在中考中的常见命题思路，该题第一步考查全等，第二步考查相似.学生在综合运用所学知识解决问题的过程中，进一步体会两道题的条件改变，但解题思路不变.【问题应对】解决这样的综合题学生可能有困难，可以在学生独立思考的基础上进行小组合作，展示交流.四、盘点收获【教师活动】回顾本节课的学习，你有哪些新的收获？说说你的体会.【学生活动】小组内畅谈收获【设计意图】通过这个环节的设计让学生及时盘点所学知识，所积累的经验和方法，便于今后更好的学习.【问题应对】学生在总结时如果有遗漏，要及时补充.五、达标检测【教师活动】1. 如图，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．F F EDCBA2. （选作）如图，路灯距地面8m ，身高1.6m 的小明从距离路灯的底部O 点20m 的点A 处，沿AO 所在直线行走14m 到达B 点时，影长如何变化？【学生活动】独立完成检测【设计意图】通过这个环节的设计及时反馈本节课学生的学习情况，便于今后更好的改进教学.第二题供学有余力的学生选作，体现了分层教学.《相似三角形复习》学情分析本节课是一节中考复习课，学生已经在初三时学过相似三角形的有关知识，虽然初步具有用几何语言对命题进行推理证明的能力，但是对于综合运用相似三角形，全等三角形等知识解决问题的能力有待提高.因此本节课通过关注相似图形的变式，帮助学生自主构建知识网络，将相似三角形的定义，判定，性质，应用等知识形成知识网络，还应与全等形等知识联网.另外，注重相似三角形与全等三角形，圆等知识的综合运用，渗透分类，特殊到一般等数学思想方法，引导学生归纳总结解题的基本方法，积累活动经验.教法设计：兴趣引导、启发思考、小组合作探究的教学方法. 学法指导：突出学生的“探索发现”和“合作探究”，在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去创造．学生通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，丰富数学活动经验，培养勇于探索、大MN O B A胆创新的精神．《相似三角形复习》效果分析知识体系，使学生对所学知识进行整体把握。

[新人教版]数学教案中考复习40 相似三角形(1)

中考复习40 相似三角形（1）知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。

掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。

精典例题：【例1】如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，过O 作AO 的垂线交AB 于D 。

求证：△OBD ∽△CBO 。

分析：此题不易得到边的比例关系，但O 点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。

由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO ＝900，再由AO ⊥DO 可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。

例1图54321OD CB A变式1图OE DCBA例2图FEDCBA变式1：已知如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，AO ⊥DE 于O ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，BO 平分∠ABC 。

求证：BC BD BO ⋅=2。

变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点O 作直线交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ＝AE 。

求证：（1）△BDO ∽△OEC ；（2）CE BD DO ⋅=2。

【例2】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 中点，DE 交BA 的延长线于F 。

求证：AB ∶AC ＝BF ∶DF 。

分析：由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。

证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B∴ADBDAC AB =………① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点 ∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE∴∠B ＝∠ADE 又∵∠F ＝∠F∴△FAD ∽△FDB∴DFBFAD BD =………② 由①②得DFBFAC AB =变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？例2变式图1FED CBA例2变式图2FEDCBA例3图GFE DCBA【例3】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ⊥CD 于E ，且BC ＝BD ，对角线AC 、BD 相交于G ，AC 、BE 相交于F 。

中考数学复习《相似形》教案新人教版

中考数学复习《相似形》教案新人教版相似形中考要求1、理解相似图形的性质.2、掌握相似三角形的判定及性质，并能利用他们解决一些简单的几何问题和实际应用题. 3、了解位似图形，能利用位似变换将一个图形放大或缩小. 知识概要一相关概念1、成比例线段如果四条线段a、b、c、d满足ac?（即ad?bc），那么这四条线段是成比例线段，bd简称比例线段. 2、相似比相似多边形对应边的比叫相似比.相似比为1的两个图形全等. 3、位似图形如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 二相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 5、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边的对应比相等，那么这两个直角三角形相似. 三相似三角形的性质1、相似三角形（多边形）对应角相等，对应边的比相等.2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.3、相似三角形（多边形）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 四位似变换的坐标规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.. 范例解析例1 （2021深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 _．分析要求矩形周长，可矩形的边长都是未知的.由题意，每个小正方形的边长为1，可得AE=EF=4，GF=2，而∠AEF=∠EFG=90，不难发现△ABE≌△ECF∽△FDG，继而可得到这些三角形边长之间的内在联系，求出矩形的边长.00解∵∠GFD+∠EFC=90 ∠EFC+∠FEC=901∴∠GFD=∠FEC又∵∠D=∠C=90 ∴△ECF∽△FDG ∴ECEF4???2 DFGF2∵AE=EF=4 ∠BAE=∠FEC ∠B=∠C ∴△ABE≌△ECF ∴AB=ECBE=CF ∵AB=CD EC=2DF ∴AB=2DF=2CF=2BE 设BE=x 则AB=2x 222∵x+(2x)=4?854585?4?=85 5 ∴矩形ABCD的周长=2(AB+BE+EC)=2???∴x=?555??5?点评本题综合运用了全等与相似三角形的判定和性质，找到线段之间的关系，是解题的关键所在.当然还要用到矩形的性质，并借助勾股定理列方程，因此有一定综合性.例2 （2021衢州）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′ 的横坐标是a，则点B的横坐标是（）1A．?a21B．?(a?1)21C．?(a?1)21D．?(a?3)2分析本题是求位似变换下点的坐标，但位似中心不是原点，不能直接利用课本相关结论，为此可将图形向右平移，使位似中心C与原点重合，求出平移后B点坐标，再将图形向左平移到原先的位置，问题便迎刃而解.解将△ABC与△A'B'C向右平移一个单位，则B'的横坐标变为a?1，∵点C的坐标是(-1，0) ∴平移后C点位于原点O∵△ABC与△A'B'C的相似比为1：2，点B与点B'在原点异侧1?a?1? 211∴平移前B点的横坐标为??a?1??1，即??a?3?22∴B点平移后的横坐标为?故选D点评课本位似变换下点的坐标变化规律是以原点为位似中心，本题通过平移，使这一条件得到满足，这种转化思想在解题时经常用到，要注意仔细体会.当然本题还可分别过B、B'点作x轴的垂线，利用相似三角形列比例式，也可求出B点坐标.例3 （2021黄冈）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD2交于点G．求证：BC?BG?BF2分析将等积式BC?BG?BF化成比例式2BCBF?，发现只要证明△BCG∽△BFC即可. BGBC证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F，∴∠F=∠BCD=∠BCG，??BCG??F??GBC??CBF BCBG?∴△BCG∽△BFC ∴ BFBC在△BCG和△BFC中，?即BC?BG?BF点评在圆中找角相等比较方便，圆中的相似三角形往往通过“两角对应相等，两三角形相似”这一判定来证.例4 （2021奉化）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M， EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论．FDDAMBE图12MANNCBE图20FC分析（1）对于△BEM与△CNE，有∠B=∠C=45，又∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME=135，从而∠BME=∠CEN，△BEM∽△CNE.（2）图2在（1）的基础上多出了两个三角形（可用字母表示），3即△EMN与Rt△AMN，Rt△AMN不与原两个等腰直角三角形相似，可考虑△EMN与△BME和△CEN是否相似.证：（1）??ABC是等腰直角三角形，∴?B?45，∴?BME??MEB?135 又??DEF是等腰直角三角形，∴?DEF?45∴?NEC??MEB?1350∴?BME??NEC，而?B??C?45，0000∴?BEM∽?CNE（2）与（1）同理?BEM∽?CNE，∴ 又?BE?EC ?BEEM? CNNEECEM?， CNNEECME0?则?ECN与?MEN中有，又?ECN??MEN?45，CNEN∴?ECN∽?MEN点评在△DEF绕点E旋转过程中，图1、图2中始终有∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME，从而得到∠BME=∠CEN，在解题中善于抓住图形变化过程中的不变量，至关重要.另外（2）问有一定的开放性，哪些三角形可能相似要能快速判断出，而在证明时要用到（1）的结论，得到比例式，再进行等线段替换，作为判定三角形相似的一个条件，这些是证明相似三角形时常用到的方法，有一定的难度.例5(2021武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOE（2）当O为AC边中点，BD F AO 图1E C AO 图2B F D E C分析在(1)中通过找两三角形角之间的关系，易证这两个三角形相似.而（2）在原题条件下又加了两个条件，结合（1）的结论，不难得到OE=BF，将求OFOF转化为求，再通过作OEBF4辅助线，使OF与BF所在的三角形相似，从而将OF进一步转化，直到转化为可求出比的BF两线段之比.（3）问是更一般的情形，沿用（2）的思路不难写出结果. 解（1）?AD⊥BC，??DAC??C?90°．??BAC?90°，??BAF??C．?OE⊥OB，??BOA??COE?90°，??BOA??ABF?90°，??ABF??COE．?△ABF∽△COE；（2） B D F G A O EC如图，作OG⊥AD（或OG∥BC），垂足为G ∵OA=OCAC?2 AB∴AB=OA=OC由（1）知△ABF∽COE ∴BFAB??1 ∴BF=OE OEOCOFOG? BFBDOGAD? BDBD∵AD⊥BC OG⊥AD ∴OG∥BC∴△OGF∽△BDF∵AB=OA ∠ADB=∠OGA ∠ABD =∠OAG ∴△ADB≌△OGA ∴OG=AD ∵△ADB∽CABOFADAC?2 ??2 ∴OEBDABOF?n．（3）OE∴点评将要求的比转化，常用的方法有等线段替换和等比替换，本题这两种替换都用到了.另外，构造相似三角形时，通常是作平行线，构造“A字型”或“X字型”等基本相似图形，从而得到需要的比例式. 巩固训练一、选择题 1．（2021天津）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6A 2．（2021烟台）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP?1，D为AC 上一点，若?APD?60°，则 CD的长为（）D 60° C BP 5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

相似三角形全章学案

27.1 图形的相似（第1课时）总 1 课时一、教学目标：通过对事物的图形的观察、思考与分析，认识理解相似的图形。

二、重点难点：认识图形的相似、形成图形相似的概念。

三、学情分析：在现实世界中广泛存在着图形相似的现象，探究相似图形一些重要性质的过程，使学生更好的认识、描述形状相同的物体，体会相似图形在刻画现实世界中重要作用；在解决实际问题中，发展学生数学应用意识和合作交流能力。

四、自主探究问题一：1、相似图形的定义？2、请举例说明我们生活中相似图形的实例。

问题二：1、两个相似图形之间有什么关系？2、思考（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？（2）人站在平面镜前看到的镜像及哈哈镜里看到的镜像，它们相似吗？为什么？问题三：全等形与相似图形之间有什么关系？五、尝试应用1、下图中的哪组图形是相似图形（）2、观察图27-1-6中图形（a）—(g)，其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的。

1第页第页2 3、如图，在4×4的正方形网格上，有一△ABC 。

现要求再画一△A’B’C’，使这两个三角形相似(非全等)。

六、补偿提高1、（教材P37练习第2题变式题）观察下列各个图形，找出其中相似的图形。

2、如图所示，左侧上海名牌大众汽车的标志图案，与右侧A 、B 、C 、D 四个图形中相似的是（）3、下列是相似图形的有( ) A. 两个三角形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形4、如图，作出与方格纸中的图形相似的图形，使点A 与A ′对应，且所画的图形是原图形的2倍。

七、小结与作业八、教学后记：九、学生出勤：CBA十、安全提示：27.1 图形的相似（第2课时）总 2 课时一、教学目标：理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题。

二、重点：相似多边形的对应边成比例，对应角相等的性质。

难点：应用相似多边形的性质解决实际问题。

三、学情分析：我们已学过相似图形的概念和全等三角形的性质，在此基础上研究相似图形的性质并不是很困难，教学过程中要注意类比全等图形的性质，从特殊到一般，引导学生观察、猜想、归纳、验证推理，从而让学生掌握相似图形的性质。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

新洲区三中九年级数学上册第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3.4.1相似三角形的判定第4课

O , ∠BAD=60° , BD =6 , 求菱形的边长AB和対角线AC的
长.
解 : ∵四边形ABCD是菱形 ,
∴AC⊥BD(菱形的対角线互相垂直)
OB=OD= 1
2
平分)
BD1 =
2
×6=3(菱形的対角线互相 B
在等腰三角形ABC中 ,
O
针对训练
1. 已知 : 如右图,在□ABCD中,対角线AC与BD相交于点O,
解 : ∵四边形ABCD是矩形.
A
D
∴AC = BD(矩形的対角线相等).
O
OA= OC= 1 AC,OB = OD = 1 BD , B
C
2
2
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= 1
A (180°- 120°)=30°.
D
2
又∵∠DAB=90° ,
O
B
C
〔矩形的四个角都是直角〕
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动对身体不好哦~
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE ,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
A
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
针对训练
4.如下图,在□ABCD中,対角线AC与BD相交于点O , △ABO是
等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解 : ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
A
D

相似图形教学设计

相似图形教学设计教学目标：1、知识目标：①理解相似形的概念。

②理解相似三角形的概念及相关性质。

③理解相似多边形的概念。

④会判断简单几何图形是否相似。

2、情感目标：①利用欣赏溪口的红军树及天宫二号的图片激发学生的爱国热情。

②教学过程中，注重调动学生的学习兴趣和积极性，激发学生学好数学的信心，体验获取知识的成功感。

③培养学生的团队合作意识，以及独立完成学习任务的能力。

3、能力目标：①在学习过程中注意培养学生的观察能力，归纳能力，自我动手能力。

②注意学生知识的迁移与运用能力的培养。

教学重点：1、相似图形、相似三角形及相似多边形三个概念的理解。

2、相似三角形的性质及运用。

教学难点：1、突破几种特殊三角形相似的判断。

2、相似形的相关知识的应用。

教学方法：1、合作交流。

2、讲练结合。

教学准备：学生：直尺教师：若干对相似三角形的卡片。

教学过程：一、创设情境：1、欣赏六幅图片（相似图形）①溪口镇的红军树。

②天宫2号。

③④三幅卡通画⑤⑥两组几何图形（矩形、圆）。

2、学生说出所看到的图形的相同点和不同点。

相同点：形状相同。

不同点：大小不一定相同。

二、探索新知：1、三个知识点：①相似图形的定义。

②全等形（特殊的相似）。

③相似形的传递性。

2、学生辨别三组几何图形是否是相似的图形（学生口答）。

3、提出学习的新目标：相似三角形学生动手测量、计算、验证、相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

4、相似三角形的概念、记法、读法及相似比。

5、相似多边形①相似多边形的概念。

②相似多边形的性质。

三、尝试运用：1、小组讨论：①全等三角形一定相似吗？②两个直角三角形？两个等腰直角三角形？③两个等腰三角形？两个等边三角形？2、结论：①两个全等三角形一定相似。

②两个等腰直角三角形一定相似。

③两个等边三角形一定相似。

④两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

3、解答以下问题：①相似比为k ＝1的两个三角形有什么关系？②已知△ABC ∽△DEF ，有什么结论？③下图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形。

初中数学相似三角形题型归类——利用相似三角形的性质求解4(附答案详解)

初中数学相似三角形题型归类——利用相似三角形的性质求解4（附答案详解）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是( )A ．2：5B ．2：5C ．4：5D ．16：252．有一等腰三角形纸片ABC ，AB ＝AC ，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为( )A ．4：1B ．3：1C ．2：1D ．2：14．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（）A ．4：3B ．3：4C ．16：9D ．9：165．若△ABC ∽△DEF 且面积比为9：25，则△ABC 与△DEF 的周长之比为（） A ．9：25 B ．3：25 C ．3：5 D ．2：56．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和25cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（）A ．75cm ，115cmB ．60cm ，100cmC ．85cm ，125cmD ．45cm ，85cm 7．如图，P 是ABC ∆的边AC 上一点，若ABP ∆∽ACB ∆，45A ∠=︒，110ABC ∠=︒，则ABP ∠的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．110°8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）9．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2∶3 D ．3∶210．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的周长比为2：1，则△DEF 与△ABC 的面积比为（）A ．1：2B ．2：1C ．2：1D ．1：211．如果两个相似三角形的周长比为4:9，那么面积比是_______．12．如图把ABC V 沿AB 边平移到A B C '''V 的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC V 面积的三分之一，若3AB =，则点C 平移的距离CC '是__________13．如果两个相似三角形的对应角平分线之比为2：5，较小三角形面积为8平方米，那么较大三角形的面积为_____________平方米．14．如图，BA 是C e 的切线，A 为切点，1AC =，2AB =，点D 是C e 上的一个动点，连结BD 并延长，交AC 的延长线于E ，则EC 的最大值为_________15．若ABC A B C '''∽△△，50A ∠=︒，100C '∠=︒，则B '∠的度数为__________ 16．如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE BD 、，且AE BD 、交于点F ，若:2:5EF AF =，则:DEF EFBC S S ∆四边形为__________．17．若两个相似三角形对应角平分线的比是2:3，它们的周长之和为15cm ，则较小的三角形的周长为_________．18．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD=_____．19．如图，已知AD ∥BC ，AC 和BD 相交于点O ，若△AOD 的面积为2，△BOC 的面积为18，BC ＝6，则AD 的长为_____．20．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD =3，BD =6，△ADE 的周长为9，则△ABC 的周长为_______．21．如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：△CBE ≌△CPE ；（2）求证：四边形AECF 为平行四边形；（3）若矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝4，求△CPF 的面积．22．如图，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把AOB ∆沿y 轴对折，点A 落到点C 处，过点A 、B 的抛物线2y x bx c =-++与直线BC 交于点B 、D ．（1）求直线BD 和抛物线的解析式；（2）在直线BD 上方的抛物线上求一点E ，使BDE ∆面积最大，求出点E 坐标；（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，相似？若存在，求出点M的坐标：若不使得以M、O、N为项点的三角形与BOC存在，请说明理由．23．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AC＝5；实践与操作：过点A作一条直线，使这条直线将△ABC分成面积相等的两部分，直线与BC交于点D．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标清字母）推理与计算：求点D到AC的距离．24．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC 的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．25．如图，抛物线2y x bx c =++过原点，且与x 轴交于点(2,0)A ．（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；（2）已知(3,)C m 为抛物线上一点，连接OB ，OC ，BC ，求tan OBC ∠的值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，使以O ，P ，M 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似，若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，∠AED =∠C ，DE = 4，BC = 12，CD = 15，AD = 3，求AE 、BE 的长.27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线行2y x bx c =-++经过点() 10A -，和点4(0)C ，，交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上动点(不与点O B ，重合)，以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90°，得到线段FP ，过点P 作//PH y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点()0E a ，．（1）求抛物线的解析式；（2）若AOC ∆与FEB ∆相似求a 的值；（3）当2PH =时，求点P 的坐标．28．如图1，D 是ABC ∆内任意一点，连接AD DB ，，分别以AD DB ，为边作ADE ∆（AE 在AD 的左侧）和DBF ∆（BF 在BD 的右侧），使得ADE ABC ∆∆:，DBF ABC ∆∆:，连接CE CF ，．（1）求证：CBF ABD ∆∆:；（2）如图2，DF BC ，交于点G ，若90CAB ∠=o ，点E D B ，，共线，其他条件不变，①判断四边形CEDF 的形状，并说明理由；②当12AC AB =，4AB =，且四边形CEDF 是正方形时，直接写出FG 的长．29．已知ABC A B C '''V :V ，12AB A B ''=，ABC V 的中线4CD cm =，其周长为20cm ，'''A B C V 的面积为264cm ，求：（1）A B ''边上的中线C D ''的长；（2）A B C '''V 的周长；（3）ABC V 的面积．30．两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm 和12cm ，若他们周长的和是240cm ，求这两个三角形的周长．参考答案1．C【解析】【分析】根据相似三角形对应中线的比的比等于相似比解答．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，∴它们对应中线的比为4：5，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应中线的比的比等于相似比是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据相似三角形的性质求得甲的面积和丙的面积，进一步求得乙和丁的面积，比较即可求得．【详解】解：如图：∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD＝5+2＝7，∵AD＝2+1＝3，∴S△ABD＝S△ACD＝1732⨯⨯＝212∵EF∥AD，∴△EBF∽△ABD，∴ABDSSV甲＝（57）2＝2549，∴S 甲＝7514， ∴S 乙＝2175362147-=，同理ACD S S ∆丙＝（23）2＝49， ∴S 丙＝143， ∴S 丁＝212﹣143＝356， ∵3575361461473>>>， ∴面积最大的是丁，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.3．D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】若两个相似三角形的面积比为2：11，故选D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．D【解析】【分析】利用相似三角形的面积比是相似比的平方直接解题即可【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3：4，∴△ABC与△DEF的面积之比9:16故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键5．C【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．6．B【解析】【分析】由两个相似三角形的对应边分别是15cm和25cm，可求得其周长的比，再由它们的周长相差40cm，即可求得答案．【详解】∵两个相似三角形的对应边分别是15cm和25cm，∴其周长的比为：15：25=3：5，设其周长分别为：3xcm，5xcm，∵它们的周长相差40cm，∴5x-3x=40，解得：x=20，∴这两个三角形的周长分别是：60cm ，100cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．7．A【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得出110ABC APB ∠=∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵ABP ∆∽ACB ∆，110ABC ∠=︒∴110ABC APB ∠=∠=︒∵45A ∠=︒∴1801104525ABP ∠=︒-︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质以及三角形的内角和定理，利用相似三角形的性质得出110ABC APB ∠=∠=︒是解此题的关键．8．B【解析】【分析】可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=3：1，∴DE ：DC=3：4，∴DE ：AB=3：4，∴S △DFE ：S △BFA =9：16．故选B ．9．B【解析】【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ．【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．10．A【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．【详解】∵△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF：1，∴△ABC 与△DEF：1，∴△DEF 与△ABC 的周长比为1，∴△DEF 与△ABC 的面积比1：2．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，要注意两三角形相似，求相似比时要注意两三角形的书写顺序． 11．1681【解析】【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答.【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方∵两个相似三角形周长比=49∴它们的面积比=2416()981=．故答案为: 1681 【点睛】本题考查相似三角形的性质．12．31-【解析】【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为三分之一，所以可以求出1A B '=，进而可求答案.【详解】∵把ABC V 沿AB 边平移到A B C '''V∴AC A C ''P∴A BD ABC 'V V ∽∴2=A BD ABC S A B S AB ''⎛⎫ ⎪⎝⎭V V∵1=3A BD ABCS S'V V，AB=∴21=3 '∴1A B'=∴1 AA'即点C平移的距离CC'11.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质与判定，能够知道相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.13．50【解析】【分析】设较大三角形的面积为x平方米．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出方程，然后求解即可．【详解】设较大三角形的面积为x平方米．∵两个相似三角形的对应角平分线之比为2：5，∴两个相似三角形的相似比是2：5，∴两个相似三角形的面积比是4：25，∴8：x=4：25，解得：x=50．故答案为：50．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．14．5 3【解析】【分析】根据题意可知当ED 与C e 相切时，EC 最大，再利用△ECD ∽△EBA ，找到对应边的关系即可求解.【详解】解：如图，当CD ⊥DE 于点D 时EC 最大．∵CD ⊥DE ，BA 是C e 的切线∴∠EDC=∠EAB=90°又∵∠E=∠E∴△ECD ∽△EBA ∴EC CD EB AB= ∴22EC CD EB AB ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222EC CD EB AB = ∵1AC =，2AB =，∠EAB=90°∴CD=AC=1在Rt △ABE 中利用勾股定理得222EB AE AB =+即()222EB EC AC AB =++则()22212EB EC =++ ∴2222EC CD EB AB=可化为()2221412EC EC =++，解得53EC =或1EC =-（舍去）综上所述，EC 的最大值为53．【点睛】本题考查了切线和相似的性质,能通过切线的性质找到符合要求的点,再能想到相似得到对应边的关系是解答此题的关键.15．30o【解析】【分析】先根据三角形相似求A'∠，再根据三角形内角和计算出B'∠的度数．【详解】解：如图：∵∠A=50°，ABC A B C'''∽△△，∴50A A'∠=∠=︒∵100C'∠=︒，∴1801805010030B A C'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为30o．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等．16．4:31【解析】【分析】由平行四边形的性质，得到DC∥AB，则DEF BAF∆∆:，由:2:5EF AF=，即可得到△ADF，△DEF，△ABF的面积之间的关系，从而得到:DEF EFBCS S∆四边形的值.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴DEF BAF∆∆:，∴25DF EFBF AF==，∴224()525DEFBAFSS∆∆==，25DEFADFS EFS AF∆∆==，设DEF S S ∆=， ∴254ABF S S ∆=，52ADF S S ∆=， ∴25535=424ABD S S S S ∆=+， ∵BD 是平行四边形的对角线， ∴354BDC ABD S S S ∆∆==， ∴353144S S S S =-=四边形EFBC ， ∴431314DEF EFBC S S S S ∆==四边形；故答案为：431. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方.17．6cm【解析】【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，根据它们的周长之和为15，即可得到结论．【详解】解：∵两个相似三角形的对应角平分线的比为2：3，∴它们的周长比为2：3，∵它们的周长之和为15cm ，∴较小的三角形周长为15×223+=6（cm ）．故答案为：6cm ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．18．4【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．【详解】∵△ADE∽△ACB，∴AEAB=ADAC，即32BD+=231+，解得：BD=4．故答案为4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．19．2【解析】【分析】根据AD∥BC得出△AOD∽△BOC，然后利用相似三角形的面积之比可求出相似比，再根据相似比即可求出AD的长度．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∵△AOD的面积为2，△BOC的面积为18，∴△AOD与△BOC的面积之比为1：9，∴13 ADBC=，∵BC＝6，∴AD＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．20．27．【解析】【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴3193 ADE AD ADABC AB AD BD====+VV的周长的周长，∵△ADE的周长为9，∴△ABC的周长为27．故答案为：27．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（1）见解析；（2）见解析；（3）42 25【解析】【分析】（1）由折叠的性质可知：EP＝EB，CP＝CE，根据SSS证明三角形全等即可；（2）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB＝PE，利用一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（3）过P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，根据BP＝2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP 的长，根据AF﹣AP求出PF的长，由PM与AD平行，得到三角形PMF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的长，再由FC＝AE＝3，求出三角形CPF面积即可．【详解】（1）解：由折叠可知，EP＝EB，CP＝CB，∵EC＝EC，∴△ECP≌△ECB（SSS）．（2）证明：由折叠得到BE＝PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE＝EB＝PE，∴AP⊥BP，∴AF ∥EC ， ∵AE ∥FC ， ∴四边形AECF 为平行四边形；（3）过P 作PM ⊥DC ，交DC 于点M ，在Rt △EBC 中，EB ＝3，BC ＝4，根据勾股定理得：2222345EC EB BC =+=+=1122EBC S EB BQ EC BQ =⋅=⋅V Q ， 341255EB BC BQ EC ⋅⨯∴===，由折叠得：BP ＝2BQ ＝245，在Rt △ABP 中，AB ＝6，BP ＝245，根据勾股定理得： 22222418655AP AB BP ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, ∵四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝EC ＝5，FC ＝AE ＝3，∴PF ＝5﹣185＝75， ∵PM ∥AD ，∴△FPM ∽△FADPF PM AF AD ∴=，即7554PM = 解得：PM ＝2825，则S △PFC ＝12FC•PM ＝12×3×2825＝4225．【点睛】本题考查的是利用折叠性质来证明三角形全等和平行四边形四边形，还考查了利用勾股定理、面积公式来求三角形的边长，利用相似三角形的性质对应边成比例来求出三角形的高，进而求出三角形的面积．本题第（3）中求也可利用△APB ∽△EBC ，对应边成比例AP BA BE EC =,求AP ，这样比较简便．22．（1）2-2y x x =++；（2）35(,)24E ；（3）存在，(1,2)M 或．【解析】【分析】(1)由直线22y x =+可以求出A ，B 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD 的解析式；(2)先求得点D 的坐标，作EF ∥y 轴交直线BD 于F ，设()()2222E x x x F x x -++-+，，，，利用三角形面积公式求得23327228BDE S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭V ，再利用二次函数性质即可求得答案； (3)如图1，2，分类讨论，当△BOC ∽△MON 或△BOC ∽△ONM 时，由相似三角形的性质就可以求出结论；【详解】(1)∵直线AB 为22y x =+，令y=0，则1x =-，令0x =，则y=2，∴点A 、B 的坐标分别是：A (-1，0)，B(0，2)，根据对折的性质：点C 的坐标是：(1，0) ，设直线BD 解析式为y kx b =+，把B(0，2)，C(1，0)代入y kx b =+，得20b k b =⎧⎨+=⎩，解得：2k =-，2b =，∴直线BD 解析式为-22y x =+，把A(-1，0)，B(0，2)代入2y x bx c =-++得102b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：1b =，2c =，∴抛物线的解析式为2-2y x x =++；(2)解方程组2222y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩得：1102x y =⎧⎨=⎩和2234x y =⎧⎨=-⎩， ∴点D 坐标为(3，-4) ，作EF ∥y 轴交直线BD 于F设()()2222E x x x F x x -++-+，，， ∴()()222223EF x x x x x =-++--+=-+ ()22113327 3322228BDE D S EF x x x x ⎛⎫=⨯=-+⨯=--+ ⎪⎝⎭V (0＜x ＜3) ∴当32x =时，三角形面积最大，此时，点E 的坐标为：35(,)24E ； (3)存在．∵点B 、C 的坐标分别是B (0，2)、C (1，0)，∴2BO =，1CO =，①如图1所示，当△MON ∽△BCO 时，∴ON MN CO BO =，即12ON MN =， ∴2MN ON =，设ON a =，则()2M a a ，，将()2M a a ，代入抛物线的解析式2-2y x x =++得： 222,a a a -++=解得：12a =-(不合题意，舍去)，21a =，∴点M 的坐标为(1，2)；②如图2所示，当△MON ∽△CBO 时，∴ON MN BO CO =，即21ON MN =， ∴MN=12ON ，设ON b =，则M(b ，12b)，将M(b ，12b)代入抛物线的解析式2-2y x x =++得： ∴212,2b b b -++= 解得：1133b -=(不合题意，舍去)，2133b +=∴点M 的坐标为(133+，133+)， ∴存在这样的点(1,2)M 或133133(,)48++．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．23．作图见解析，点D 到AC 的距离为：65【解析】【分析】根据三角形的面积公式，只需过点A 和BC 的中点D 画直线即可；作DH ⊥AC ，证得△CHD ∽△CBA ，利用对应边成比例求得答案.【详解】作线段BC 的垂直平分线EF 交BC 于D ，过A 、D 画直线，则直线AD 为所求作DH ⊥AC 于H ．∵∠C ＝∠C ，∠CHD ＝∠B ＝90°，∴△CHD ∽△CBA ，∴DH CD AB AC=， ∵BD ＝DC ＝2，AB ＝3，AC ＝5， ∴235DH =，∴65 DH∴点D到AC的距离为：6 5【点睛】本题考查了作图—复杂作图以及相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.24．（1）①证明见解析；②BD＝2CE+AE，理由见解析；（2）补图见解析，2CE﹣AE＝BD，证明见解析.【解析】【分析】(1)①由旋转的性质可得AC=AD,∠DAC=60°,由”SAS”可证△ABE≌ACE,可得∠3=∠4=15°,由三角形外角的性质可得结论;②过点A作AH⊥BD于点H,由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;(2)以A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AF交DB延长线于点F,通过证明△CAE≌△DAF和△BAE≌△CAE,可得CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.【详解】证明：（1）①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD∴∠3＝∠5＝15°∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4＝15°∴∠6＝∠7＝30°∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°∵∠AED＝∠3+∠1＝60°∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE（2）补全图形如图，2CE﹣AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 平分∠BAC∴∠BAE ＝∠CAE ＝45°，∠ABC ＝∠ACB ＝45°．∵将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到AD ，∴AC ＝AD ，∠DAC ＝60°∴∠DAE ＝∠DAC ﹣∠CAE ＝15°，AB ＝AD∴∠ABD ＝∠ADB ，∠BAD ＝30°∴∠ABD ＝∠ADB ＝75°∴∠AED ＝∠ADB ﹣∠DAE ＝60°∵∠EAF ＝60°又∵∠EAF ＝60°，∴∠F ＝60°∴△AEF 是等边三角形．∴AE ＝AF ＝EF ．∵AC ＝AD ，∠CAE ＝∠DAF ＝45°，AE ＝AF ，∴△CAE ≌△DAF （SAS ）．∴CE ＝DF ．∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ＝45°，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△CAE （SAS ）．∴BE ＝CE ．∴BE ＝CE ．∵DF +BE ﹣EF ＝BD ，∴2CE ﹣AE ＝BD【点睛】本题考查旋转中三角形的性质,主要在于掌握三角形的全等与相似.25．（1）抛物线的解析式为22y x x =-；顶点B 的坐标为(1,1)-；（2）3；（3）P 点的坐标为77(,)39或(5,15)．【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；（2）先将点C 的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C 的坐标得出45BOD ∠=︒，45COE ∠=︒，从而有90BOC ∠=°，最后利用tan OC OBC OB∠=求解即可；（3）设P 为2(,2)n n n -．由于90BOC OMP ∠=∠=︒，所以当以O ，P ，M 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似时，分两种情况：OM OC PM OB =或PM OC OM OB=，分别建立方程计算即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++过原点，且与x 轴交于点(2,0)A ， ∴0420c b c =⎧⎨++=⎩，解得20b c =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线的解析式为22y x x =-．∵222(1)1y x x x =-=--，∴顶点B 的坐标为(1,1)-．（2）∵(3,)C m 在抛物线上，∴963m =-=．作BD x ⊥轴于D ，作CE x ⊥轴于E ，则1OD BD ==，3OE CE ==，∴45BOD ∠=︒，45COE ∠=︒．∴90BOC ∠=°．∵OB OC = ∴tan 3OC OBC OB∠==．（3）假设存在．设P 点的横坐标为n ，则P 为2(,2)n n n -．由于90BOC OMP ∠=∠=︒，所以当以O ，P ，M 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似时，有OM OC PM OB =或PM OC OM OB= ∴ 232n n n =-或223n n n-=．解得73n =或5n =． ∴存在点P ，使以O ，P ，M 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似．∴P 点的坐标为77(,)39或(5,15)．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．26．AE=6,BE=3.【解析】【分析】先根据已知条件求证△ABC ∽△ADE ，然后根据相似三角形对应边成比例，代入数值即可求解．【详解】∵∠AED =∠C ，∠A 为公共角∴△ABC ∽△ADE ∴DE AE AD BC AC AB ==又∵DE=4，BC=12，CD=15，AD=3，∴AC=15+3=18 ∴431218AE AB== ∴AE=6，AB=9∴BE=9-6=3【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，利用相似三角形对应边成比例即可解题.27．（1）y ＝－x 2+3x +4；（2）a ＝165或45；（3）点P 的坐标为(1，4)或(2，4)或(32，4)【解析】【分析】（1）点C （0，4），则c=4，二次函数表达式为：y=-x 2+bx+4，将点A 的坐标代入上式，即可求解；（2）△AOC 与△FEB 相似，则∠FBE=∠ACO 或∠CAO ，即：tan ∠FEB=14或4，即可求解；（3）证明△PNF ≌△BEF （AAS ），PH=2，则-4a 2+6a+4-4=|2|，即可求解．【详解】解：(1)将点A 和点C 的坐标代入上式得：0＝－1－b +4，解得：b ＝3，故抛物线的表达式为：y ＝－x 2+3x +4；(2)∵tan ∠ACO ＝AO CO ＝14， △AOC 与△FEB 相似，则∠FBE ＝∠ACO 或∠CAO ，∴tan ∠FBE ＝14或4， ∵四边形OEFG 为正方形，则FE ＝OE ＝a ，EB ＝4－a ，则144a a =-或44a a=-，解得：a ＝165或45； (3)令y ＝－x 2+3x +4＝0，解得：x ＝4或－1，故点B (4，0)；分别延长GF 、HP 交于点N ，∵∠PFN +∠BFN ＝90°，∠FPN +∠PFN ＝90°，∴∠FPN ＝∠NFB ，∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ，∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ，∴△PNF ≌△BEF (AAS )，∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4－a ，∴点P (2a ，4)，点H (2a ，－4a 2+6a +4)，∵PH ＝2，即：－4a 2+6a +4－4＝±2，解得：a ＝1或12或317+或317-(舍去)，故：点P 的坐标为(1，4)或(2，4)或(3172+，4)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、正方形的性质、三角形相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．28．（1）证明见解析；（2）①四边形CEDF 是矩形．理由见解析；②23．【解析】【分析】（1）根据DBF ABC ∆∆:,得到BD BF BA BC=,ABC DBF ∠=∠,再证ABD CBF ∠=∠,CBF ABD ∆∆:方法一:通过证明ED CF =,DF CE =,从而四边形CEDF 是平行四边形,90BDF CAB ∠=∠=o ,所以为矩形.方法二:证明90CEB EDF CFD ∠=∠=∠=o方法三:证90DFC ∠=o ,90EDF =o ∠,//ED CF ．【详解】（1）∵DBF ABC ∆∆:， ∴BD BF BA BC=，ABC DBF ∠=∠． ∴BD AB BF BC =，ABC DBC DBF DBC ∠-∠=∠-∠，即．ABD CBF ∠=∠． ∴CBF ABD ∆∆:．（2）①四边形CEDF 是矩形．理由如下：方法一：由（1）知，CBF ABD ∆∆:． ∴CF BC AD AB=． ∵ADE ABC ∆∆:， ∴E BAD D BC A =． ∴DE CF AD AD =． ∴ED CF =．∵ADE ABC ∆∆:，∴AD AE AB AC =，DAE BAC ∠=∠． ∴AC AE AB AD=，BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠． ∴AEC ADB ∆∆:． ∴CE AC BD AB =． ∵DBF ABC ∆∆:． ∴DF BD AC AB=． ∴DF AC BD AB =．∴DF CE BD BD=．∴DF CE =． ∴四边形CEDF 是平行四边形．∵DBF ABC ∆∆:，90CAB ∠=o ，点E D B ，，共线，∴90BDF CAB ∠=∠=o ． ∴四边形CEDF 是矩形．方法二：如图由（1）知CBF ABD ∆∆:，∴ADB BFC ∠=∠．∵DBF ABC ∆∆:，90CAB ∠=o ，点E D B ，，共线，∴90BDF CAB ∠=∠=o ． ∴190DBF ∠+∠=o ，90EDF =o ∠．又∵ADE ABC ∆∆:，∴ADE DBF ∆∆:．∴2DBF ∠=∠．∴1290∠+∠=o ．∵2180ADB ∠+∠=o ,∴2180BFC ∠+∠=o ，即12180DFC ∠+∠+∠=o ．∴90DFC ∠=o ．∵ADE ABC ∆∆:，∴AD AE AB AC =，DAE BAC ∠=∠ ∴AC AE AB AD=，BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠． ∴AEC ADB ∆∆:，∴ADB AEC ∠=∠．∵ADE ABC ∆∆:，90CAB ∠=o ，点E D B ，，共线，∴90DAE CAB ∠=∠=o ．∴290AED ∠+∠=o ，2180ADB ∠+∠=o ．∴2180AEC ∠+∠=o ，即2180CEB AED ∠+∠+∠=o ．∴90CEB ∠=o ．∵90EDF =o ∠，90DFC ∠=o ，∴四边形CEDF 是矩形．方法三：由（1）知，CBF ABD ∆∆:． ∴CF BC AD AB=． ∵ADE ABC ∆∆:， ∴E BAD D BC A =． ∴DE CF AD AD =． ∴ED CF =．由（1）知CBF ABD ∆∆:，∴ADB BFC ∠=∠．∵DBF ABC ∆∆:，90CAB ∠=o ，点E D B ，，共线，∴90BDF CAB ∠=∠=o ． ∴190DBF ∠+∠=o ，90EDF =o ∠．又∵ADE ABC ∆∆:，∴ADE DBF ∆∆:，∴2DBF ∠=∠．∴1290∠+∠=o ．∵2180ADB ∠+∠=o ，∴2180BFC ∠+∠=o ，即12180DFC ∠+∠+∠=o ． ∴90DFC ∠=o ． ∵90EDF =o ∠，∴//ED CF ．∴四边形CEDF 是矩形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质以及矩形的性质.29．（1）8cm ；（2）40cm ；（3）216cm【解析】【分析】（1）根据ABC A B C '''V :V 求出两个相似三角形的相似比，再根据CD 来求C D ''的长（2）根据ABC A B C '''V :V 求出两个相似三角形的相似比，相似三角形的周长比等于相似比，求出A B C '''V 的周长（3）根据ABC A B C '''V :V 求出两个相似三角形的相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出ABC V 的面积【详解】（1）∵ABC A B C '''V :V ，12AB A B ''=， ∴12CD AB C D A B ==''''，∵4cm CD =， ∴()428C D cm ''=⨯=．（2）∵ABC A B C '''V :V ，12AB A B ''=，12ABC A B C C C '''=V V . 又∵ABC V 的周长为20cm ，()20240cm A B C C '''=⨯=V ，∴A B C '''V 的周长为40cm ．（3）∵ABC A B C '''V :V ，12AB A B ''=，∴14ABC A B C S S '''=V V ，又∵A B C '''V 的面积为264cm ，∴()264416cm ABC S =÷=V ，∴ABC V 的面积为216cm ．【点睛】本题考查了相似三角形的基本定理，掌握相似三角形相似比，周长比以及面积比之间的关系是解题的关键30．80cm 和160cm ．【解析】【分析】设两个三角形的周长分别为x 、y ，根据相似三角形周长的比等于对应边的比列出方程，然后求解即可．【详解】解：设两个三角形的周长分别为x 、y ．根据题意得，24212x y ==， ∴2x y =．∵他们周长的和是240cm ，∴2240x y y y +=+=，解得y =80，x =2×80=160， ∴这两个三角形的周长分别为80cm 和160cm ．。

专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)解析版-初中数学北师大版9年级上册

【分析】在△ABC 的边 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可．【详解】证明：在△ABC 的边 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′
【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有 3 对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM．【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠ BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似．【变式】（2022 秋·九年级课时练习）如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键．
【例 3】（2022 秋·九年级课时练习）已知：在△ABC 和△A′B′C′中，
AB AB
BC BC
AC AC

中考数学压轴题解题策略五：相似三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．例题解析例❶ 如图1-1，抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边．△ABC 是确定的．由213482y x x =-+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF =．因此)BF t ==-．于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BPBC BF ==43t =（如图1-2）．②当BA BFBC BP ==207t =（如图1-3）．图1-2 图1-3 例❷ 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结O M ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图2-1【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（2）题求∠AOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小，第（3）题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角．（1）如图2-2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．容易得到A (-．再由A (-、B (2,0)两点，可求得抛物线的解析式为2y x =．（2）由221)3333y x x x =-=--，得顶点M (1,3-．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．图2-2（3）由A (-、B (2,0)，可得∠ABO ＝30°．因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．所以△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①当BA OABC OM ==时，2BC ==．此时C (4,0)（如图2-3）．②当BC OA BA OM ==时，6BC ===．此时C (8,0)（如图2-4）．图2-3 图2-4例❸ 如图3-1，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点D ，顶点为C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1【解析】△AMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －3．（2）由y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，得D (0,－3)，C (2, 1)．如图3-2，由B (3, 0)、D (0,－3)、C (2, 1)，可知∠CBO ＝45°，∠DBO ＝45°．所以∠CBD ＝90°，且13BC BD ==．图3-2 图3-3 图3-4设点M 、N 的横坐标为x ，那么NM ＝－y M ，而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N 在A 右侧时，NA ＝x －1，分两种情况列方程： ①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得103x =．此时M 107(,)39-（如图3-3）． ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝6．此时M (6,－15)（如图3-5）．当N 在A 左侧时，NA ＝1－x ，也要分两种情况列方程： ①当3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得83x =＞1，不符合题意（如图3-4）． ②当13NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝0，此时M (0,－3)（如图3-6）．图3-5 图3-6例❹ 如图4-1，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式．图4-1【解析】首先求得点C (3,0)．△ACP 与△BPF 中，相等的角在哪里啊？①如图4-2，当点P 在线段AB 上时，△ACP 与△BPF 中，∠APC 与∠BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP 与AB 是垂直的．可以求得F (0,－4)，于是直线CF (CP )为443y x =-． ②如图4-3，当点P 在AB 的延长线上时，△ACP 与△BPF 有公共角∠P ．于是∠OFC＝∠PFB ＝∠A ，可以求得F (0, 4)，因此直线CF (CP )为443y x =-+． ③如图4-4，当点P 在BA 的延长线上时，∠B 与∠PCA 不可能相等．在△AOB 中，根据大边对大角，∠B ＞∠BAO ；∠BAO 又是△PCA 的一个外角，∠BAO ＞∠PCA ．图4-2 图4-3 图4-4例❺ 如图5-1，二次函数y ＝x 2＋3x 的图象经过点A (1,a )，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C (0, 2)，直线AC 交抛物线于点B ，连结OA 、OB 、OD 、BD ．求坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；图5-1【解法一】点A 、D 、B 都是确定的，可以求得A (1, 4)，D (－4, 4)，B (－2,－2)．所以AO =BO =，AB =DO =．△EOD ∽△AOB ，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．由EO OD DE AO OB BA ====EO =DE = 设点E 的坐标为(x , y )，根据EO 2＝68，DE 2＝180，列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩解得118,2,x y =⎧⎨=-⎩ 222,8,x y =⎧⎨=-⎩ 所以点E 的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．【解法二】如图5-2，△AOB 是确定的，△AOB 与△EOD 有公共点O ，OB ∶OD ＝1∶2，∠BOD ＝90°．如果△EOD ∽△AOB ，我们可以把△AOB 绕着点O 顺时针旋转，使得点B ′落在OD 上，此时旋转角为90°，点B ′恰好落在OD 的中点．按照这个运动规则，点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°，得到点A ′(4,－1)，点A ′是线段OE 的中点，因此点E 的坐标为(8,－2)．如图5-3，点E (8,－2)关于直线OD （即直线y ＝－x ）对称的点为E ′(2,－8)．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝，BC ＝8．⊙A 的半径为2，动点P 从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动．延长BA 交⊙A 于点D ，连结AP 交⊙A 于点E ，连结DE 并延长交BC 于点F ．设点P 运动的时间为t 秒，当△ABP 与△FBD 相似时，求t 的值．图6-1【解析】△ABC 是等腰直角三角形，⊙A 是确定的，先按照题意把图形补充完整．如图6-2，容易发现△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，如果根据对应边成比例列方程BA BDBP BF =或BA BF BP BD=，其中BA ＝，BP ＝t ，BD ＝＋2，但是用含t 的式子表示BF 困难重重啊！图6-2 图6-3 图6-4我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，我们以∠D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，∠BAP ＝∠D 是不可能的，这是因为∠BAP 是等腰三角形ADE 的外角，∠BAP ＝2∠D ．第二种情况，如图6-4，当∠BP A ＝∠D 时，在△ABP 中，由于∠BAP ＝2∠D ＝2∠BP A ，因此45°＋3∠BP A ＝180°．解得∠BP A ＝45°．此时△ABP 是等腰直角三角形，P 与C 重合，所以t ＝8．解答这道题目，如果选取点P 的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BP A ＝∠D 时，我们容易被已知图6-1给定的点P 的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D ”与“钝角∠BP A ”不可能相等．。