图论2

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哈尔滨工业大学运筹学教案教案_图论2

的一个不含圈的支撑子图Gk，于是Gk是G的一个支撑
树。
（一）破圈法
（二）避圈法在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2，再找一条与{e1，e2}不构成圈的边e3。一般设已有{e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为止。
证明：必要性因T是连通的，故任两个点之
间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链
的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾，从而任两个点之间恰有一条链。
充分性设图T中任两个点之间恰有一条链，那么易见T是连通的，如果T中含有圈，那么这个圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设矛盾，
故T不含圈，于是T是树。
证明：（1）→（2）由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。归纳法：当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且仅有一条边，满足m=n-1。假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时，T有 k-2条边。当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以 T’有k-2条边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T 有k个顶点时有k-1条边。
现证v1是悬挂点，即d（v1）=1。
反证法：如d（v1）≥2，则存在边[v1，vm]，使m≠2，
v1
若vm不在µ 上，
v2
vk
vm
那么（vm，v1，v2，…，vk）比µ链边数多一条，与µ 是边数最多的链矛盾。若vm在µ 上
v1
v2
vm

图论第二章树(tree)

定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树（2）G的任意两个顶点由唯一道路联结（3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一个重要性质，即图的连绘性。一个连绘的图是指这个图可以用一笔画成而没有重复的笔划。换句话说就是在这个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十二面体，有20个顶点，三十条边，十二个面

第6-8章图论2

5.设D是有向图，当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时，D为（）连通的。答案：单向 6.设有向图D=<V，E>，V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是（）连通的，c的可达集为()，d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>，V={a,b,c,d,}， E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是（）连通的，c的可达集为（），d(a,b)=（）答案：单向｛c,d｝ 7.图６－１的点连通度为（），边连通度为（）答案：１１ 8.k5的点连通度为（），边连通度为（）。答案：４４
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点，则这两个结点必连通。（）答案：T 8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。（）答案：F 9. 若有向图中有两个奇度结点，则它们中一个可达另一个或互相可达。（）答案：F
10.若图G不连通，则 G 必连通。（）答案：T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。（）答案：F 12.图6-3为无强分图（）答案：F 13.若图G的边e不包含在G的某简图6-3 单回路中，则e是G的割边。（）答案：T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图，若|V|>=3，则所有结点v，有deg(v)<=5.（）答案：F
第7章树章
树是图论中最重要的概念之一，它是基尔霍夫在解决电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论中结构最简单，用途最广泛的一种平面图，在计算机科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用，本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。

第五章_图论2

6
通路定理
[定理]通路定理在n阶图G中，如果有顶点u到v （u v）的通路，那么u到v必有一条长度小于等
于n1的基本通路。
7
通路定理证明
定理：在有n个顶点的图G中，如果有顶点u到v的通路，必有长度不大于n-1的基本通路。
证明：(1)先证明u和v之间存在基本通路若uv之间的通路P中有相同的顶点，则从P中删除相同顶点之间
路径，直到P中没有相同顶点，这样得到的路径为u和v之间的基本通路。
(2) 再证基本通路长度不大于n-1 （反证法）设u和v之间的基本通路的长度≥ｎ。 ∵ 一条边关联两个顶点， ∴长度≥ｎ的基本通路上至少有ｎ＋１个顶点。 ∴至少有两个相同顶点在u和v之间的基本通路上，这与基本通路的性质“任意两个顶点不同”相矛盾。
图G从vi点到vj点有通路当且仅当？
bij = 1
21
图的连通性与可达矩阵
有向图的连通性（n1）：设有向图G的可达矩阵为B
(1) Ｇ强连通 B中元素全为１ (2) Ｇ是单向连通的 B中所有关于主对角线对称
的两个元素中至少一个值为１
无向图的连通性（n1）：设无向图G的可达矩阵为B
Ｇ连通 B中元素全为１
[定义]基本通(回)路
结点各不相同的通路称为基本通路。中间结点各不相同的回路称为基本回路。
A
基本通路：ACEBD
B
E
基本回路：ABCDEA
C
D
5
有向通(回)路
[定义]有向通(回)路若通路v0v1 … vn各边是有向边，且vi-1和vi 分别是有向边的始点与终点，则称该通路为有向通(回)路。
通路uxv相连。
由u和v的任意性，可知~G是连通的。
27

图论--第2讲顶点的度

离散数学顶点的度第2讲定义2.1设G=<V,E>为一无向图，∀v∈V称所有的边与v 的关联次数之和为v 的度数，简称为度，记作d G (v), 简记作d(v)。

记i v (e)为e 与v 的关联次数，则v e ∈Ed(v)=i (e)∑。

定义2.2设D=<V,E>为一有向图， v∈V,(1)称v作始点的边的条数为v的出度，记作d D+(v)，简记作d+(v)；(2)称v作为终点的边的条数为v的入度，记作d D-(v)，简记作d-(v)。

称d D+(v)+ d D-(v)为v的度数，记作d(v)。

在无向图G中，令⊿(G) = max{d(v)| v∈V(G) }δ(G) = min{d(v)| v∈V(G) }称⊿(G) ，δ(G)分别为G的最大度和最小度。

简记做⊿，δ。

在有向图D中，可类似定义⊿(D)、δ(D)。

另外，令⊿+(D) = max{d+(v)| v∈V(D) }δ+(D) = min{d+(v)| v∈V(D) }⊿-(D) = max{d-(v)| v∈V(D) }δ-(D) = min{d-(v)| v∈V(D) }分别称为D的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度。

简记作⊿、δ、⊿+、δ+、⊿-、δ-。

注意称度为0的顶点为孤立点；称度为1的顶点为悬挂点，与其关联的边称为悬挂边。

称度为偶数的顶点称为偶点；称度为奇数的顶点称为奇点。

注意若图G的所有顶点的度相等, 则G称作正则图;若进一步所有顶点的度都等于k,则称G是k-正则图。

定理2.1设G=<V,E> 为任意无向图，, ,则即顶点度数之和等于边数的2倍。

，12n V={v ，v ，...，v }|E|=m nii=1d(v )=2m定理2.2推论2.3任意图中，奇点的个数一定是偶数。

设D=<V,E>为任意有向图，，，则。

12n V={v ，v ，...，v }|E|=m n n-i i i=1i=1d (v )=d (v )=m +∑∑设G=<V,E>为一n阶无向图，V={v1,v2,…,v n}, 称d(v1), d(v2), …, d(v n)为G的度序列。

图论 2

连接问题
克罗斯科尔（Kruskal）算法（俗称“避圈法”），求解步骤如下：设G为由m个节点组成的连通赋权图。（1）先把G中所有边按权数大小由小到大重新排列，并取权数最小的一边取为T中的边。（2）从剩下的边中按（1）中排列取下一条边，若该边与以前已取进T中的边形成某个回路，则舍去该边：否则把该边也取进T中。重复步骤（2），直到有m-1条边取进T中为止，则m-1条边就组成G的最小生成树。
令
f 3 如图
f ( x, y) 1, ( x, y) R2 f 3 ( x, y) 2 f 2 ( x, y),其它
' ，类似的，得 C3 {s, a, b, s'} ，但从s到 s 的非饱和路只有一条 R3 {s, b, s ' }
3 min{ 1,2} 1
图4
图5
第一次调整：删去多余一条的重复边。即 A4 与B4 中的 ( A4 , B3 ) 。调整后，他 A3 与 B3 ，们之间的最短路径如图6。图6 第二次调整：发现在回路 {A1, A2 , B2 , B3, B4 , B1, A1} 中重复边的权数和为11，大于该回路权数 20的1/2。因而调整时，把该回路的重复边删去，代之以重复其余部分，得图7。图7
中国邮递员问题
例5. 已知邮递员要投递的街道如图4所示，试求最优邮路。解：先找出奇节点： A1, A2 , A3 , A4 , B1, B2 , B3 , B4 , 把奇节点进行配对，不妨把 A1 与 B1 , A2 与 B4 A3 ， B ， B与与 2 3 A4 进行配对，求其最短路，如图5。显然它不是最优解。下面根据定理1进行调整。
最短路问题

例2.求图2中从v1到v7的最短路，边旁数字表示边的权。（Dijkstra算法）

图论习题答案2

i 1 i i i
w
而 (G ) (Gi ) （最外面的平面被重复 1 计算 1次）
i 1
w
(G ) (G ) (G ) 2 1 1
第四次作业
• 四(1).求K2n和Kn,n中不同的完备匹配的个数 • 解：K2n：(2n-1)!! • Kn,n:n!
第五次作业
第五次作业
在C '中，在点vh 1处，缺ih色，但ih 1色重复出现，由引理5.2可知， E ih E ih1 所导出的子图中含vh 1的连通片为一个奇圈C1，又因为边 vh 1vh 2为ih 1色，所以vh 2 C1。第三步：着色调整 : 在奇圈C1上保持vh 1vh 2边着色不变，对其他的边ih和ih 1交换，得到边着色C' '。则在C' '中，vh 1处增加了一个ih色，而vh 2处减少了一个ih色，C1上其他顶关联边的颜色数不变，则C' ' 也是个最佳边着色。在C' '中，在点 vh 2处，缺ih色，但ih 2色重复出现，，由引理5.2可知，E ih E ih2 所导出的子图中含vh 2的连通片为一个奇圈C 2，又因为边vh 2 vh 3为ih 2色，所以vh 3 C 2。
第四次作业
四(20).设A1 , A 2 ,..., A m 是集合S的子集， (A1 , A 2 ,..., A m )的不同代表系是指S的一个子集{a1 , a2 ,..., am }, 其中ai A i , i 1,2,..., m, 且i j 时，ai a j , 求证： (A1 , A 2 ,..., A m )有不同代表系的充要条件是对 {1,2,..., m}的任意子集J， | A i || J | 。

离散数学课件图论2

❖结点(Vertices)：用表示, 旁边标上该结点的名称。 ❖ 边(Edges)
有向边: 带箭头的弧线。从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例：给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }

算法学习：图论之2-SAT

初步构图
如果Ai与Aj不相容，那么如果选择了Ai，必须选择 Aj‘ ；同样，如果选择了Aj，就必须选择Ai’ 。 Ai Aj' Aj Ai‘ 这样的两条边对称对称我们从一个例子来看：
假设4个组，不和的代表为：1和4，2和3，7和3，那么构图：
1 3 5 7
2
4
6
8
假设：首先选1 3必须选，2不可选 8必须选，4、7不可选
”代表这样一种传递关系
猜测1 图中的环分别对称猜测1：图中的环分别对称
如果存在Ai,Aj，Ai,Aj属于同一个环（记作Si），那么 Ai' , Aj' 也必定属于一个环（记作Si' ）。 Ai
1 3 5 7
2
4
6
8
Ai'
Aj
Aj' 再根据前面的引理，不难推断出每个环分别对称。
推广1 新图中，同样具有对称传递性。推广1：新图中，同样具有对称传递性。对称传递性
求和平委员会是否能创立。若能，求一种构成方式。
分析：
原题可描述为：有n个组，第i个组里有两个节点Ai, Ai' 。需要从每个组中选出一个。而某些点不可以同时选出（称之为不相容）。任务是保证选出的n个点都能两两相容。（在这里把Ai, Ai' 的定义稍稍放宽一些，它们同时表示属于同一个组的两个节点。也就是说，如果我们描述Ai，那么描述这个组的另一个节点就可以用Ai'）
全文总结：
充分挖掘图的性质，能够更好的解决问题。不仅仅是对于图论，这种思想可以在很多问题中得到很好的应用。希望我们能掌握此种解题的思想，在熟练基础算法的同时深入分析、灵活运用、大胆创新，从而解决更多更新的难题。

离散数学--第7章图论-2(路与连通)

u1 v4 v1 v4 v3 u4 v2 u4 u3 G2 v3 u u13 v1 u2 v2 u2
15
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G ) 1 。
返回结束
7.2.2 图的连通性
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向) 连通单向连通—— G 中任一对顶点至少一向可达
路
10
(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的路。
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会超过n-1条边。
v n 在一个阶图中，若从顶点 i 到 v j 存在推论：
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
返回结束
7.2.2 图的连通性
7.2.2 图的j 存在路，称有向图中，从 vi 到 v j 存在路，称 (注意方向) 2、短程线，距离。短程线——连通或可达的两点间长度最短的路。距离——短程线的长度，
12
vi 到 v j 是连通的(双向)。 vi 可达 v j 。
1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路
简单通路
复杂通路
返回结束
7.2.1 路
例1、(2)
7
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
7.2 路与连通
内容：图的通路，回路，连通性。重点：

第六章图论(1,2,3,4)

图的几种特殊情况：图的几种特殊情况： • 若在图G中，|V| = n，|E| = m，则称G为 ( n, m ) 图。 • 若在图G中， V = ∅ ，则称G为空图。Empty graph • 若在图G中，|V| = 1，则称G为平凡图。Trivial graph • 若在图G中， E = ∅ ，则称G为零图。 Null graph • 若在图G中，既有有向边又有无向边，则称G为混合图。 G G Mixed graph
i =1 n
∑ deg ( v ) = m 。
i =1
n
其中 ∣V∣= n，∣E∣= m。证：由于每条有向边都对应一个入度和一个出度，如一个结点具有一个出度（或入度），则它必关联一条有向边，并通过此有向边与另一结点相邻，且为此结点提供一入度（或出度）。所以在有向图中，入度之和等于出度之和，并等于边数。即有
第2节图的基本概念节
2.1 无序积和有序积 2.2 图的定义 2.3 图中的基本术语 2.4 图中节点的度数 2.5 子图与补图 2.6 图的同构
2.1 无序积和有序积定义1 设A，B是两个集合，称集合{{a,b}| a∈A∧b∈B}为A，定义 B的无序积，记为A&B。无序积A&B的子集称为A和B上的二元关系。当B＝A时，称无序积A&B的子集为A上的二元关系。例：在哥尼斯堡七桥问题中，可用Χ上的无序积的子集来表示。设X={A,B,C,D}表示四块陆地，x和y有关系当且仅当x和y有桥相连。于是有{{A,B},{B,C},{A,C},{A,C},{A,D},{A,D},{B,D}}. 集合中的每个元素表示一座桥。定义2 定义设A，B是两个集合，称集合{(a,b) | a∈A∧b∈B}为A，B 的有序积，记为A×B，有序积A × B的子集称为A到B的二元关系。当B＝A时，称有序积A×B的子集为A上的二元关系。例：在家族关系图中，均用Χ上的有序积的子集来表示“半序关系”。

图论第2章

由N中的元素组成的长为n-2的序列的个数为nn-2。接下来，我们将在Kn的生成树的集合与这种序列的集合之间建立一一对应。假定T是Kn的一棵生成树，设s1是T中标号最小的叶子点，把与s1相邻的顶点的标号记为t1。现在从T中删去s1，用s2表示T-s1中标号最小的叶子点，把与s2相邻的顶点的标号记为t2。重复这一过程，直到得到tn-2。很容易看出，最后剩下一条边。
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。注：以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章树

树的概念与性质
树的中心与形心生成树最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树常用符号T 表示。
例下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。证明设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。因此

图论 (2)

2013-7-10 143-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度和入度，指出悬挂结点和为悬挂边。解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
2013-7-10
143-22
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.3.1
判断下图 G1 中的回路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是同构的。
2013-7-10 143-15
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
143-20
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《图论》第2章基本概念

7
2.2 点和边的关联关系
无向图 G=(V, E) , vi ∈V 的关联集、邻接集分别定义为： Inc(vi)={ek |(∃vj)(vj∈V ∧ ek=(vi, vj)∈E)} Adj(vi)={vj | vj∈V∧(∃ek)(ek=(vi, vj)∈E)}
8
2.2 点和边的关联关系
[正负度] 有向图 G=(V, A) ，vi ∈ V 的正度、负度、正负度] 度分别定义为：Deg+(vi) = |Inc+(vi)| Deg−(vi) = |Inc−(vi)| Deg(vi) = Deg+(vi) + Deg−(vi) 无向图 G=(V, E)，vi∈V 的度定义为： Deg(vi) =|Inc(vi)| 对有向图 G=(V, A)，有
25
2.5 Euler 回路
[有向图的 Euler 回路] 若有向连通图 G=(V, A) 中存在有向图的回路一条有向闭迹经过 G 的所有弧，则称该闭迹为 G 中的一条 Euler 回路，称该图为 Euler 有向图。 [定理定理2-6-2] 设连通有向图 G=(V, A), 则下述命题等价: 定理 (1) G 是一个 Euler 有向图； (2) G 的每一个顶点的入度等于出度； (3) G 的弧集能被划分成若干有向回路。 [证明证明]（略）证明
22
2.4 道路与回路
[讨论图 G=(V, E)，~G 是 G 的补图。则若 G 不连通，讨论1] 讨论则必 ~G 连通。 [讨论讨论2]自补图是连通的。讨论
23
2.5 Euler 回路
[Euler 回路若连通图 G=(V, E) 中存在一条闭迹（封回路] 闭的简单道路）经过 G 的所有边，则称该闭迹为 G中的一条 Euler 回路。存在 Euler 回路的图称为 Euler 图。 [定理定理2-6-1] 设有连通图 G=(V, E)，则下述命题等价：定理 (1) G 是一个 Euler 图； (2) G 的每一个顶点的度是偶数； (3) G 的边集能被划分成若干回路。 [证明证明]（循环证明）证明

图论第2讲

作业
P31 第11题。
E1的诱导子图。
6) 主子图：任去掉一点后所得到的图。
实例
如图是含有4个顶点，6条边的图，求其
2 3
子图真子图生成子图点导出子图主子图
边导出子图
1
4
分别有多少个？并给出详细说明。
思考
（1）在例题中含有顶点1，2，3的子图有几个？（2）四阶完全图的所有互不同构的子图有几个？（1）8个
（2） 18个

2. 按图G的分类
(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图；无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；
混合图：既有无向边，又有有向边的图
本书主要研究无向图和有向图。
(4)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn 和不完全图。
完全图：每一对点之间均有一条边相连的图。二部图：若一个图G的结点集V能划分为两个子集V1和V2，使得G的每一条边{vi,vj}满足vi∈V1, vj∈V2 , 则称G是一个二部图。完全二部图：若V1中任一结点与V2中每一结点均有边相连接, 则称二部图为完全二部图。若|V1|=n, |V2 |=m，则记完全二部图G为Kn, m。
简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图，且中的两个点相邻当且仅当它们在G中不相邻。
图的同构
从图的定义可以看出，图的最本质的内容是结点与结点的邻接关系。（1）顶点一一对应；（2）顶点间的边也一一对应。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，这个图可以变形为另一个图，那么这两个图是同构的。故同构的两个图从外形上看可能不一样，但它们的拓扑结构是一样的。

图论第2章

当k=1时，结论显然成立。假设对l-1(l≥3)的每棵树T1，以及最小度至少为l-2的每个图 H，T1同构于H的某个子图。现在设T是l 阶树，且G是满足δ(G)≥l-1的图。设u是T的树叶，v是u的邻接顶点，则T-u是l-1阶树。由于δ(G)≥l-1>l-2，由归纳假设知，T-u同构于G的某个子图 F。设v1是在T-u中与v相对应的F中的点，由于dG(v1)≥l-1，所以v1在G中一定有相异于F 中的邻点u1，作F∪{v1u1}，则该子图和T 同构。
二、树的形心
定义设T是树，u是树T的任意一个顶点，树T在点u处的一个分枝是指包含u作为一个叶子点的极大子树，其分枝数为该顶点的度数；树T在点u的分枝中边的最大数目称为点u的权；树T中权值最小的点称为它的一个形心点，全体形心点的集合称为树T的形心。
例在右图树中，每个顶点处的数字表示该顶点的权值，权值为4的顶点为该树的形心。
例设G是森林且恰有2k个奇度顶点，则在G中有k条边不重合的路P1, P2 ,…, Pk，使得：
E(G) E( P 。 1 ) E( P 2 ) E ( P k)
证明对k作数学归纳。当k=1时，G只有两个奇度顶点，容易证明G是一条路；假设当k=t时，结论成立。接下来考虑k=t + 1时的情况。在G中一个分支中取两个叶子点u与v，令P是连接该两个顶点的唯一路，则G–P是有2t个奇度顶点的森林。由归纳假设知，它可以分解为t条边不重合的路之并，所以G 可以分解为t+1条边不重合的路之并。
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。注：以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。

图论2

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什么是算法例：求两个正整数m和n的最大公因子的Euclid算法输入：正整数m, 输入：正整数m, n。输出：m 输出：m和n的最大公因子。公因子。 1）求余数 m 除以n ，令 r 为所除以 n 得的余数 (0≤r<n)。 r<n)。 2) 判断 r 是否为 0 。判断r 是否为0 若 r=0 ，则算法终止； r=0 否则，否则，转3)。 3) 互换。互换。置 m←n,n←r, 返回 n,n←r,返回第一步
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 1 0 0 0
2 1 0 1 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0 1 0
4 1 0 1 0 0 1 1
5 0 1 0 0 0 1 0
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6 0 1 1 1 1 0 1
7 0 0 0 1 0 1 0
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邻接矩阵无向图的邻接矩阵：A=(aij)n×n，其中
加权图 1
4
8
1
5
5
2
7 10
3
6
3
9 这些数字可以代表距离费用可距离，费用距离费用，可靠性或其他的相关参数。靠性
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一个时间安排问题
学校要为一年级的研究生开设六门基础数学课：数理统计(S)，数值分析 (N)，图论(G)，矩阵论(M)，随机过程(R) 和数理方程(P)。按培养计划，注册的学生必须选修其中的一门以上，你作为教务管理人员，要设法安排一个课表，使每个学生所选的课程，在时间上不会发生冲突。
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e 0 0 1 0 0 1 0
f 0 0 0 1 0 1 0
g 0 0 0 1 0 0 1

图论第二版答案

图论第二版答案【篇一：图论与代数结构第一二三章习题解答】厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个） 2. 若存在孤立点，则m不超过kn-1的边数, 故m = (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。

?－3. 记ai为结点vi的正度数，ai为结点vi的负度数，则nnnn? 2? 22－ai?[(n?1)?ai]?n(n?1)?2(n?1)ai＋ai－2， i?1i?1i?1i?1 nnn－2? 2 因为ai?cn?n(n?1)/2，所以ai?ai－ 2。

i?1i?1i?14. 用向量(a1,a2,a3)表示三个量杯中水的量, 其中ai为第i杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a1,a2,a3)中某杯的水倒满另一杯得到( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条： ( 8, 0, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 5, 3, 0 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5,1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 1, 3 ) ( 4, 4, 0 )5. 可以。

???????6 若9个人中没有4个人相互认识，构造图g，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。

1）若可以找到点v，d(v)5，则与v相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个相互不认识（作k6并给边涂色:红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。

图论2

哈尔滨工业大学运筹学教案教案_图论2

图论 第二章 树(tree)

第6-8章 图论2

第五章_图论2

图论--第2讲顶点的度

图论 2

图论习题答案2

离散数学课件图论2

算法学习：图论之2-SAT

离散数学--第7章 图论-2(路与连通)

第六章图论(1,2,3,4)

图论第2章

图论 (2)

《图论》第2章 基本概念

图论第2讲

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