人教版数学八年级上册第14章《乘法公式》专题复习

合集下载

人教版八年级数学(上册)第十四章整式的乘法与因式分解全章复习(2)

(3)根据方法1,2的表达式即可得出三者的关系式.由(2)可得(m+n)2-4mn=(m-n)2.
答案：(1)m-n
(2)(m-n)2 (m+n)2-4mn
(3)(m+n)2-4mn=(m-n)2
跟踪训练：小明做了四个正方形和长方形纸板,如图(1)所示,a,b为各边的长,小明用这四个纸板拼成图(2)的图形,验证了完全平方公式,小明说他还能用这四个纸板通过拼接,组成别的图形,来验证平方差公式,他说得是否有道理?如果有道理,请你帮他画出拼成的图形,如果没道理,不能验证,请说明理由.
重点知识精讲精练
Hale Waihona Puke 重点三：乘法公式例4：计算: (1)(2x+1)(-2x+1)； (3)(3x+1)2(3x-1)2；
(2)
； 2a - 1 b2 2
2
(4)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1)。
分析：(1)根据平方差公式,找准a,b对应的数(或式),再解答;(2)根据完全平方公式计算;(3)和(4)可根据平方差公式计算.
解:(1)将x+y=5两边平方得(x+y)2=x2+2xy+y2=25,
将xy=2代入得x2+y2=21.
(2)原式=xy+3(x+y)+9=2+15+9=26.
思维点拨：平方差公式中,左边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数,右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方.完全平方公式中,左边是二项式的平方,右边是三项式,左边两项的平方是右边前、后两项,左边两项积的2倍是右边中间一项.
对于平方差公式和完全平方公式,熟练掌握这些公式的结构特点是解题的关键。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022，即2020n =20202022， ∴n =2022．故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ）或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ），故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ）答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）．故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2，即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意；故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______．答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。

人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习

返回
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
返回
数学
(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
返回
数学
17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
返回
数学
9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
返回
数学
18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
返回
谢谢观看
数学
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时，原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运用整体思想代入求值.
返回
数学
解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.

人教版八年级数学上第14章整式的乘法的专题

人教版八年级数学上第14章整式乘法的专题一、整式乘法的逆运算1.整式乘（除）法的基本运算：⑴同底数幂的乘法：⑵幂的乘方：⑶积的乘方：（4）同底数幂的除法：（5）平方差公式：（6）完全平方公式：；以上公式我们常常从左到右计算整式的乘法或除法，但有时也要从右到左应用，二、乘法公式的应用1．平方差公式（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．（2）语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（3）注意事项：①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．例如：①（m ＋4）（m －4）②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）③⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x 32-x y 43x 32-x y 43-332．完全平方公式（1）字母表达式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．（3）注意事项：①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式．④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……3．平方差公式的灵活运用有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：（1）调换位置．如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．（2）提取－1或其他公因式．如：（－a －b ）（a －b ）＝又如：（6x ＋2y ）（3x －4y ）（3）分组．如：（a －b ＋c －d ）（a ＋b －c －d ）＝（4）运用积的乘方变形．如：（a －b ）2 （a ＋b ）2＝（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝…又如：（1－m ）（1＋m 2）（1＋m 4）（m ≠－1）＝（6）把一个因式适当变形．如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（7）将因式多项式拆项或添项．如：（a －b ）（a ＋2b ）＝4．完全平方公式的灵活运用a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ，a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ，（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2），（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ．（1）恒等式a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab 和a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab 的应用．在此恒等式中，有三个量a 2＋b 2、（a ＋b ）2或（a －b ）2、ab ，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a ＋b ）2或（a －b ）2，也就求得a ＋b 或a －b ．例如：①若a2＋b2＝3，ab＝1，可求（a＋b）2．②若a－b＝3，ab＝4，则可求a2＋b2．（2）恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）的应用．在恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）中，有三个量a＋b、a－b、a2＋b2，若已知两个量，就可求第三个量．例如：已知a－b＝－1，a2＋b2＝5．求a＋b．解：（3）恒等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab的应用．在此等式中，有三个量a＋b，a－b，ab．若知任两个量，可求第三个量．例如：已知a－b＝1，ab＝2，求a＋b．解：（4）利用完全平方公式，求平方数．如：152＝ 232＝672＝．79.22＝（5）完全平方数是非负数．任何一个完全平方数M都能化为n2的形式，即M＝n2，由偶次幂的性质得n2≥0．当n＝0时，n2的最小值是0，并且n2具有非负数的性质，即若n个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．因此，（a±b）2≥0．当a±b＝0时，（a±b）2的最小值为0．例如：①已知（x＋y－1）2＋（x－2）2＝0，则x＝_______，y＝___________．解：例如：②已知，a、b为自然数，且a＋b＝2，求ab的最大值及a、b的值．解：5．完全平方公式的逆运算，即a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一个形如a2±2ab＋b2的二次三项式化为（a±b）2的形式，然后运用（a ±b）2的性质求解问题．例如：已知x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，求x、y的值．解：再如：已知a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则a 、b 、c 的关系为_______．解：也可以运用公式a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2把一类二次三项式直接化为（a ±b ）2的形式．如4x 2－4xy ＋y 2＝（2x ）2－2×2x ×y ＋y 2＝（2x －y ）2．6．完全平方式因为a 2±2ab ＋b 2能化成（a ±b ）2的形式，所以，形如a 2±2ab ＋b 2的式子叫做完全平方式，其中a 、b 表示代数式．例如：①已知x 2＋4x ＋k 是完全平方式，求常数k 的值．解：②已知x 2＋2kx ＋4是完全平方式，求常数k 的值．解：思考题；已知x 2＋M ＋4是一个完全平方式，求代数式M （提示：①当M 为常数项时；②当M 为乘积项，即“一次项式”时；③当M 为“二次项式”时．并分析在三种情况下，M 的值有多少个．）注意：完全平方数是完全平方式的特例．总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧．7．平方差公式可变形后运用（1）可变形为a 2＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2，可快速求两位数的平方．如：352＝（35＋5）（35－5）＋52＝1 225．972＝（97＋3）（97－3）＋32＝100×94＋9＝9 409．（2）在（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2中，有三个多项式，若已知任意两个的值，即可求第三个的值．如：已知a ＋b ＝3，a 2－b 2＝4，则a －b ＝--------．（3）对公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2的逆运用，即利用公式a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）求解问题．（其实（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2和a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）都是平方差公式）如：①x 2－4＝②1－4a 2b 2＝③（a ＋b ）2－（a －b ）2＝④（1－）（1－）（1－）…（1－）＝2212312412101。

人教版数学八年级上册第十四章小结与复习

考点讲练
考点一幂的运算
例1 下列计算正确的是 ( D )
A．(a2)3＝a5
B．a ·a3＝a3
C．(2a)2＝2a2
D．a2 ·a3＝a5
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4. 解：原式 = 8a3b6÷4a3b4
= 2a3-3b6-4 = 2b2.
练一练
1. 下列计算不正确的是（ D ）
解：(1) 原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2) ＝(x2－4y2)2 ＝ x4－8x2y2＋16y4.
(2) 原式＝[a＋(b－3)][(a－(b－3)] ＝a2－(b－3)2 ＝a2－b2＋6b－9.
8.(惠山区期中)已知 x＋y＝6，x2＋y2＝22 ，求： (1) xy 的值；
(2) (x－y)2－4 的值.
解析：题 (1) 运用完全平方公式 (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2 ，变形得到：2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)；
题 (2) 运用完全平方公式 (x－y)2＝x2－2xy＋y2，已知 x2＋y2 和 xy 的值，整体带入求解.
(1) xy 的值；解：(1) 根据完全平方公式： (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，
A = (2x3 - 4x2 - x)÷2x
A = x2 - 2x -
5. (庐阳区校级期中)一个长方形把它的宽增加 2 cm，长减少 3 cm ，这个长方形恰好变成一个与它等面积的正方形，求这个长方形的周长.
解：设正方形边长为 x cm，则长方形的宽为 (x - 2) cm，长为 (x + 3) cm，由题意得：x2 = (x - 2)(x + 3)，解得 x = 6，则长方形宽为 4 cm、长为 9 cm，长方形周长为 26 cm.

八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点

八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。

三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。

方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。

五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。

在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。

熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。

掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。

人教版数学八年级上册-14.2--乘法公式

是 10 的整数倍.
方法总结：对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2_； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3－__b_3__； ③ (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
内容
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
平方差公式
a−b b
a−b (a−b)2 b(a−b) a
b
ab
a (a − b)2 = a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 差的完全平方公式： (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问题观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
注意
2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
人教版数学八年级上册

八年级数学人教版(上册)第14章小结与复习

指数相乘
(am )n amn （m，n都是正整数）
底数不变幂的乘方，底数__不__变__，指数___相__乘__.
侵权必究
3. 积的乘方
(ab) n = __a_n_b_n__(n_为正整数) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别_乘__方___，再把所得的幂__相__乘___ .
侵权必究
4. 整式的乘法
解：(1)原式=(3x)2－52 =9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2 =4a2－b2；
(3)原式=(7m)2+2·7m·8n+(8n)2 (4)原式=（100＋2）(100－2)
=49m2+112mn+64n2；
= 1002-22
=10000 – 4
侵权必究
考点5 因式分解例8 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
侵权必究
5. 乘法公式
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－ b2. 完全平方公式： (a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a-b)2 =a2 - 2ab+b2.
侵权必究
6. 因式分解
因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式, 像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
侵权必究
4.先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x =(2x2-2xy) ÷2x =x-y.

人教版初中八年级数学上册14.2乘法公式小结与复习ppt课件

A、互为倒数 B、互为相反数
B
C、a=b=0
D、ab=0
拓展思维更上一层 a b 1 1、5 若,a b 6 ,
求 a2b2,a2a b b2.
拓展思维更上一层
11、观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 …… 根据前面各式的规律可得到： (x-1)(xn+xn-1+xn-2+……+x+1)=________
a2.-b2
4.完全平方公式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(a+b)2= a2 +b2 +2ab (a-b)2= a2 +b2 - 2ab
头平方，尾平方，积的2倍在中间。
5、三个数和的完全平方公式 (a + b +c ) 2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
2.
1 20 2 0 2 2 80 2 00 8 2 0 =_0 _9 2 __0 __9 _;
3.若
x22k是x一9个完全平方公式,
则 k_______;3
4.若 x28x是一k个2完全平方公式,
则 k_______;4
拓展思维更上一层
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
整式乘法及乘法公式小结与复习
知识复习 1.多项式与多项式相乘的法则：

人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结

人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结一、整式的乘法1、同底数塞相乘，底数不变，指数相加。

a m a n=a m+n（rn,八都是正整数）2、当基的指数是和的形式时，可以逆运用同底数零乘法法则，将塞指数和转化为同底数累相乘,然后把塞作为一个整体带入变形后的累的运算式中求解。

都是正整数）0m+n=0m.α,m,n3、塞的乘方，底数不变，指数相乘。

（Qmyl—aτnn（m,n都是正整数）4、与幕的乘方有关的混合运算中，一般先算累的乘方,再算同底数事的乘法，最后算加减，然后合并同类项。

5、比较底数大于1的事的方法有两种：（1）底数相同，指数越大，塞就越大。

（2）指数相同，底数越大，塞就越大。

6、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的塞相乘。

（而广=QRnm为正整数）7、运用积的乘方法则时要注意：公式中a,b代表任何代数式，每一个因式都要"乘方"，注意结果的符号、幕指数及其逆向运用。

8、单项式与单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数事分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

9、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

10、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

11、同底数塞的除法：同底数累相除，底数不变，指数相减。

a rn÷a n=a m n（m,m都是正整数，并且m>n）12、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数基分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

13、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，就是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

二、乘法公式1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。

人教版八年级数学上册第14章：整式的乘法与因式分解全章复习

先化简再求值：
(ab+2)(ab-2)-(a2b2-4ab)÷ab，
其中a=-3，b=
1 21
.
解：(ab+2)(ab-2)-(a2b2-4ab)÷ab =a2b2-4
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
转化
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
∴ x*(x+2y) =2x(x+2y)-(x+2y)2
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
转化
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
例若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？（4）(-2ab2)3=-8a3b6. √
(-2ab2)3=(-2)3a3(b2)3=-8a3b6.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
小结： 1.幂的运算法则：（1）am·an=am+n(m，n都是正整数)；（2）(am)n=amn(m，n都是正整数)；（3）am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，
1.对于运算问题：明确法则，理清顺序；
a=x，b=x+2y .
（1）有括号要先算括号里的；（3）a10÷a2=a5；
2.使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；
=2x2+4xy-x2-4xy-4y2
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 正确：a10÷a2=a10-2=a8. （1）a2·a3=a6；

人教版八年级上册数学 14章小结与复习乘法公式_要点全析

乘法公式·要点全析1．平方差公式（formula for the difference of squares ）（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．（2）语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（3）注意事项：①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．例如：①（m ＋4）（m －4）＝m 2－42＝m 2－16．②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）＝（2a 2）2－（3b ）2＝4a 4－9b 2．③（－43xy 3－32x 3）（43xy 3－32x 3）＝（－32x 3－43xy 3）（－32x 3＋43xy 3）＝（－32x 3）2－（43xy 3）2＝94x 6－169x 2y 6．2．完全平方公式（formula for the square of the sum ）（1）字母表达式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．（3）注意事项：①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式．④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……3．平方差公式的灵活运用有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：（1）调换位置．如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．（2）提取－1或其他公因式．如：（－a －b ）（a －b ）＝－（a ＋b ）（a －b ）＝－（a 2－b 2）＝b 2－a 2．又如：（6x ＋2y ）（3x －4y ）＝2（3x ＋4y ）（3x －4y）＝2（9x 2－162y ）＝18x 2－81y 2．（3）分组．如：（a －b ＋c －d ）（a ＋b －c －d ）＝［（a －d ）－（b －c ）］［（a －d ）＋（b －c ）］＝（a －d ）2－（b －c ）2＝a 2－2ad ＋d 2－b 2－c 2＋2bc ．（4）运用积的乘方变形．如：（a －b ）2（a ＋b ）2＝［（a －b ）（a ＋b ）］2＝（a 2－b 2）2＝a 4－2a 2b 2＋b 4．（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…＝216－1．又如：（1－m ）（1＋m 2）（1＋m 4）（m ≠－1）＝m m m m m ＋）＋）（＋）（－）（＋（1111142＝m m m m ＋＋）（＋）（－（1)111422＝m m ＋－118（6）把一个因式适当变形．如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（24－1）（24＋1）（28＋1）＝216－1．（7）将因式多项式拆项或添项．如：（a －b ）（a ＋2b ）＝（a －b ）［（a ＋b ）＋b ］＝a 2－b 2＋b （a －b ）＝a 2－b 2＋ab －b 2＝a 2＋ab －2b 2．4．完全平方公式的灵活运用a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ，a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ，（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2），（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ．（1）恒等式a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab 和a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab 的应用．在此恒等式中，有三个量a 2＋b 2、（a ＋b ）2或（a －b ）2、ab ，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a ＋b ）2或（a －b ）2，也就求得a ＋b 或a －b ．例如：①若a 2＋b 2＝3，ab ＝1，可求（a ＋b ）2．∵ 3＝（a ＋b ）2－2×1，∴ （a ＋b ）2＝5．②若a －b ＝3，ab ＝4，则可求a 2＋b 2．∵ a 2＋b 2＝（a －b ）2＋2ab ，∴ a 2＋b 2＝32＋2×4＝17．（2）恒等式（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2）的应用．在恒等式（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2）中，有三个量a ＋b 、a －b 、a 2＋b 2，若已知两个量，就可求第三个量．例如：已知a －b ＝－1，a 2＋b 2＝5．求a ＋b ．解：∵ （a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2），∴ （a ＋b ）2＋（－1）2＝2×5，（a ＋b ）2＝9．∴ a ＋b ＝±3．（3）恒等式（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab 的应用．在此等式中，有三个量a ＋b ，a －b ，ab ．若知任两个量，可求第三个量．例如：已知a －b ＝1，ab ＝2，求a ＋b ．解：∵ （a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，∴ （a ＋b ）2－1＝8，（a ＋b ）2＝9．∴ a ＋b ＝±3．（4）利用完全平方公式，求平方数．如：152＝（10＋5）2＝102＋2×10×5＋52＝100＋100＋25＝225．232＝（20＋3）2＝202＋2×20×3＋32＝400＋120＋9＝529．672＝（70－3）2＝702－2×70×3＋32＝4 900－420＋9＝4 489．79.22＝（80－0.8）2＝6 400－128＋0.64＝6 272.64．（5）完全平方数是非负数．任何一个完全平方数M 都能化为n 2的形式，即M ＝n 2，由偶次幂的性质得n 2≥0．当n ＝0时，n 2的最小值是0，并且n 2具有非负数的性质，即若n 个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．因此，（a ±b ）2≥0．当a ±b ＝0时，（a ±b ）2的最小值为0．例如：①已知（x ＋y －1）2＋（x －2）2＝0，则x ＝_______，y ＝___________．解：∵ （x ＋y －1）2≥0，（x －2）2≥0，由非负数的性质得⎩⎨⎧．＝－，　＝－＋0201x y x ∴ ⎩⎨⎧．＝－，＝12y x例如：②已知，a 、b 为自然数，且a ＋b ＝2，求ab 的最大值及a 、b 的值．解：∵ （a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ，∴ ab ＝41［（a ＋b ）2－（a －b ）2］＝41［4－（a －b ）2］，∵ （a －b ）2≥0，∴ 当（a －b ）2＝0时，ab 的值最大，即a ＝b 时，ab 的值最大，为41×4＝1又∵ a ＋b ＝2，∴ a ＝b ＝1．5．完全平方公式的逆运用，即a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2把一个形如a 2±2ab ＋b 2的二次三项式化为（a ±b ）2的形式，然后运用（a ±b ）2的性质求解问题．例如：已知x 2＋4x ＋y 2－2y ＋5＝0，求x 、y 的值．解：∵ （x 2＋4x ＋4）＋（y 2－2y ＋1）＝0，即（x ＋2）2＋（y －1）2＝0，∴ ⎩⎨⎧．＝－，＝＋0102y x ∴ ⎩⎨⎧12＝，＝－y x再如：已知a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则a 、b 、c 的关系为_______．解：∵ a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，∴ 2a 2＋2ab ＋2c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ．∴ （a 2－2ab ＋b 2）＋（a 2－2ac ＋c 2）＋（b 2－2bc ＋c 2）＝0，即（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）2＝0．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝－＝－，＝－000c b c a b a ∴ a ＝b ＝c ．也可以运用公式a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2把一类二次三项式直接化为（a ±b ）2的形式．如4x 2－4xy ＋y 2＝（2x ）2－2×2x ×y ＋y 2＝（2x －y ）2．6．完全平方式因为a 2±2ab ＋b 2能化成（a ±b ）2的形式，所以，形如a 2±2ab ＋b 2的式子叫做完全平方式，其中a 、b 表示代数式．例如：①已知x 2＋4x ＋k 是完全平方式，求常数k 的值．解：∵ x 2＋4x ＋k 是完全平方式，∴ 设x 2＋4x ＋k ＝（x ＋p ）2，即x 2＋4x ＋k ＝x 2＋2px ＋p 2．∴ ⎩⎨⎧，＝，＝224p k p ∴ ⎩⎨⎧．＝，＝42k p ∴ k 值为4．②已知x 2＋2kx ＋4是完全平方式，求常数k 的值．解：∵ x 2＋2kx ＋4是完全平方式，∴ 设x 2＋2kx ＋4＝（x ±2）2，思考题；已知x 2＋M ＋4是一个完全平方式，求代数式M （提示：①当M 为常数项时；②当M 为乘积项，即“一次项式”时；③当M 为“二次项式”时．并分析在三种情况下，M 的值有多少个．）注意：完全平方数是完全平方式的特例．总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧．7．平方差公式可变形后运用（1）可变形为a 2＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2，可快速求两位数的平方．如：352＝（35＋5）（35－5）＋52＝1 225．972＝（97＋3）（97－3）＋32＝100×94＋9＝9 409．（2）在（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2中，有三个多项式，若已知任意两个的值，即可求第三个的值．如：已知a ＋b ＝3，a 2－b 2＝4，则a －b ＝34．（3）对公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2的逆运用，即利用公式a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）求解问题．（其实（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2和a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）都是平方差公式）如：①x 2－4＝x 2－22＝（x ＋2）（x －2）．②1－4a 2b 2＝（1＋2ab ）（1－2ab ）．③（a ＋b ）2－（a －b ）2＝（a ＋b ＋a －b ）（a ＋b －a ＋b ）＝2a ·2b ＝4ab ．④（1－221）（1－231）（1－241）…（1－2101）＝（1＋21）（1－21）（1＋31）（1－31）…（1＋101）（1－101）＝23×21×34×32×45×43×…×1011×109＝21×1011＝2011．。

人教版八年级数学上册第十四章专题训练乘法公式的灵活应用

专题训练乘法公式的灵活应用► 类型一变形乘法公式巧求式子的值1．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.已知a ＋b ＝6，ab ＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)(a －b )2；(3)a 2－ab ＋b 2.2．我们知道完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.两式相加得(a ＋b )2＋(a －b )2＝2a 2＋2b 2，即a 2＋b 2＝12[(a ＋b )2＋(a －b )2]；两式相减得(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，即ab ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．请利用以上性质完成下列问题：已知(x ＋y )2＝6，(x －y )2＝2，试求：(1)x 2＋y 2的值；(2)xy 的值．3．阅读下列解题过程：已知x ≠0，且满足x 2－3x ＝1，求x 2＋1x 2的值．解：∵x 2－3x ＝1，∴x 2－3x －1＝0.又∵x ≠0，∴x －3－1x ＝0，即x －1x＝3. ∴x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＝32＋2＝11. 请根据上述解题思路解答下列问题：若a 2－5a －1＝0，且a ≠0，求a 2＋1a 2的值．► 类型二巧用乘法公式简便计算4．利用乘法公式简便计算：(1)－992；(2)20192－2018×2020；(3)20817×19917.► 类型三巧用乘法公式化简求值5．数学课上老师出了一道题：计算2962的值．喜欢数学的小亮举手回答这道题，他的解题过程如下：2962＝(300－4)2(第一步)＝3002－2×300×(－4)＋42(第二步)＝90000＋2400＋16(第三步)＝92416.(第四步)老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了他解题过程中的错误．(1)你认为小亮的解题过程中，从第几步开始出错？(2)请你写出正确的解题过程．6．2018·江西计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2.7．先化简，再求值：(2a ＋b )(2a －b )－(3a －b )2＋6a (a －b )，其中a ＝37，b ＝1.►类型四逆用乘法公式8．观察下列等式：1×32×5＋4＝72＝(12＋4×1＋2)22×42×6＋4＝142＝(22＋4×2＋2)23×52×7＋4＝232＝(32＋4×3＋2)24×62×8＋4＝342＝(42＋4×4＋2)2…(1)根据你发现的规律，求12×142×16＋4是哪一个正整数的平方；(2)请把n(n＋2)2(n＋4)＋4(n是正整数)写成一个正整数的平方的形式．9．2018·武汉市江汉区校级月考阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0.∴(m－n)2＋(n－4)2＝0.∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0.∴n＝4，m＝4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2＋2xy＋2y2＋2y＋1＝0，求2x＋y的值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，求△ABC的最大边长c的值．►类型五乘法公式与图形面积10．解放街幼儿园有一个游戏场和一个葡萄园，其所占地的形状都是正方形，面积也相同．后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大后的游戏场地仍为正方形，边长比原来增加了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长为x米，请求出扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当x＝12时式子的值．11．如图1①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1.图1详解详析1．解：(1)∵a ＋b ＝6，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝62－2×2＝32.(2)∵a 2＋b 2＝32，ab ＝2，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝32－4＝28.(3)∵a 2＋b 2＝32，ab ＝2，∴a 2－ab ＋b 2＝a 2＋b 2－ab ＝32－2＝30.2．解：(1)x 2＋y 2＝12[(x ＋y )2＋(x －y )2]＝12×(6＋2)＝4. (2)xy ＝14[(x ＋y )2－(x －y )2]＝14×(6－2)＝1. 3．解：∵a 2－5a －1＝0且a ≠0，∴a －5－1a ＝0，即a －1a＝5. ∴a 2＋1a 2＝(a －1a)2＋2＝52＋2＝27. 4．解：(1)原式＝－(100－1)2＝－(10000－200＋1)＝－10000＋199＝－9801.(2)原式＝20192－(2019－1)(2019＋1)＝20192－(20192－12)＝20192－20192＋1＝1.(3)20817×19917＝(20＋817)×(20－817)＝202－(817)2＝400－64289＝399225289. 5．解：(1)从第二步开始出错．(2)正确的解题过程如下：2962＝(300－4)2＝3002－2×300×4＋42＝90000－2400＋16＝87616.6．解：原式＝a 2－12－(a －2)2＝a 2－1－(a 2－4a ＋4)＝a 2－1－a 2＋4a －4＝4a －5.7．解：原式＝4a 2－b 2－9a 2＋6ab －b 2＋6a 2－6ab ＝a 2－2b 2.当a ＝37，b ＝1时，原式＝949－2＝－14049. 8．解：(1)由题意，可得12×142×16＋4＝(122＋4×12＋2)2＝1942，所以12×142×16＋4是194的平方．(2)n (n ＋2)2(n ＋4)＋4＝(n 2＋4n ＋2)2(n 是正整数)．9．解：(1)∵x 2＋2xy ＋2y 2＋2y ＋1＝0，∴(x 2＋2xy ＋y 2)＋(y 2＋2y ＋1)＝0.∴(x ＋y )2＋(y ＋1)2＝0.∵(x ＋y )2≥0，(y ＋1)2≥0，∴(x ＋y )2＝0，(y ＋1)2＝0.∴y ＝－1，x ＝1.∴2x ＋y ＝2－1＝1.(2)∵a 2＋b 2－12a －16b ＋100＝0，∴(a 2－12a ＋36)＋(b 2－16b ＋64)＝0.∴(a －6)2＋(b －8)2＝0.∵(a －6)2≥0，(b －8)2≥0，∴(a －6)2＝0，(b －8)2＝0.∴a ＝6，b ＝8.∴8－6＜c ＜8＋6，即2＜c ＜14.又∵c ≥8，c 为正整数，∴8≤c ＜14，且c 为整数．∴△ABC 的最大边长 c 的值可能是8，9，10，11，12，13.10．解：(x ＋3)2－(x －2)2＝(x 2＋6x ＋9)－(x 2－4x ＋4)＝x 2＋6x ＋9－x 2＋4x －4＝(10x ＋5)米2.即扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多(10x ＋5)平方米．当x ＝12时，原式＝10×12＋5＝125.11．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(3)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝(216－1)＋1＝216.。

人教版数学八年级上册第14章《乘法公式》专题复习

人教版八年级数学(上册)第十四章整式的乘法与因式分解全章复习(2)

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)

人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习

人教版八年级数学上第14章整式的乘法的专题

人教版数学八年级上册第十四章小结与复习

八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点

人教版数学八年级上册-14.2--乘法公式

八年级数学人教版(上册)第14章小结与复习

人教版初中八年级数学上册14.2乘法公式小结与复习ppt课件

人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结

最新人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)

最新人教版八年级数学上册第十四章《乘法公式》教材梳理

人教版八年级数学上册第14章：整式的乘法与因式分解全章复习

人教版八年级上册数学 14章小结与复习乘法公式_要点全析

人教版八年级数学上册第十四章专题训练乘法公式的灵活应用

人教版数学八年级上册第14章《乘法公式》专题复习

人教版八年级数学(上册)第十四章整式的乘法与因式分解全章复习(2)

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)

人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习

人教版八年级数学上第14章整式的乘法的专题

人教版数学八年级上册 第十四章 小结与复习

八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点

人教版数学八年级上册-14.2--乘法公式

八年级数学人教版(上册)第14章小结与复习

人教版初中八年级数学上册14.2乘法公式小结与复习ppt课件

人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结

最新人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)

最新人教版八年级数学上册第十四章《乘法公式》教材梳理

人教版八年级数学上册第14章：整式的乘法与因式分解全章复习

人教版八年级上册数学 14章小结与复习乘法公式_要点全析

人教版八年级数学上册第十四章 专题训练 乘法公式的灵活应用

人教版数学八年级上册第十四章小结与复习

人教版八年级数学上册第十四章专题训练乘法公式的灵活应用