高三数学圆锥曲线与方程章末复习题1
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设， 所以, 得,所以， 所以直线方程为:,联立，得 由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以， 所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:， 当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程组，整理可得：，则有， 由条件可知：直线所在直线方程为：， 因为直线与直线相交于 所以，同理可得：， 则， 若为锐角，则有， 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或， 所以或或， 故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，； 当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：， 联立方程组： ，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有 ，因为：，所以， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令，所以直线 ， 令得 ， 由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离， 所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以 ，得，即令 ，求导得 ，当，单调递增； 当 ，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值） （2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得 代入，有，则， 解得 ，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立， 消元得，，，又，， 化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中； 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程， 所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得： 由韦达定理得则，； 所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由， 解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得 由，得，所以， 设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为： 联立方程组可解得的坐标为， 在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设， 所以， ∴， 同理可得， ∴四边形ADBC 的面积 ， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得， 满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得， 所以，∴，， 又，∴， 同理可得， ∴， 所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足.故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，． 则， 从而， 又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得， 所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.， 又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，， 则，， 直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，， 易得在点处切线为，在点处切线为， 由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得， 所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。
高三数学圆锥曲线与方程试题
高三数学圆锥曲线与方程试题1.已知椭圆的中心在坐标原点O, 焦点在x轴上, 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 两准线间的距离为4.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线过点P(0, 2)且与椭圆相交于A.、B两点,当△AOB面积取得最大值时, 求直线的方程.【答案】（1）（2）所求直线方程为【解析】解： (Ⅰ) 设椭圆方程为（ 1 分）由已知得（ 3 分）∴. 所求椭圆方程为. （ 4 分）(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在, 设直线的方程为, , （ 5 分）由，消去得关于的方程:, （ 7 分）由直线与椭圆相交于A、B两点,∴解得. （ 8 分）又由韦达定理得（ 9 分）∴原点O到直线的距离为（ 10 分）∴（ 11 分）对两边平方整理得:∵,∴整理得:,又, ∴.从而的最大值为, （ 12 分）此时代入方程(*)得∴,所以, 所求直线方程为. （13 分）解法二: 令,则∴, （ 12 分）当且仅当即时, ,此时,所以, 所求直线方程为. （ 13 分）【考点】直线与椭圆的位置关系点评：解决的关键是对于直线与椭圆的位置关系的研究，采用联立方程组的思想，结合韦达定理来得到，属于基础题。
2.以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线中，所以椭圆中焦点为，椭圆方程为【考点】双曲线椭圆的性质点评：双曲线中，椭圆中3.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是．【答案】3【解析】易知：F（-1,0），m>0,，|AF|=,周长g(m)=2|AF|+|AB|=,得m=1.直线过右焦点F’，|AB|=3，|FF’|=2，故的面积=.【考点】本题考查了椭圆的性质的运用点评：本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.4.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．2【答案】B【解析】椭圆离心率，双曲线离心率【考点】椭圆双曲线离心率点评：椭圆中由，双曲线中有5.设椭圆的焦点为F1、F2，以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为P，若|F1F2|=2|PF2|，则椭圆的离心率为_________【答案】【解析】由题意可知,因为|F1F2|=2|PF2|=2c,|PF2|=c,所以.【考点】椭圆的定义，以及圆的性质，椭圆的几何性质.点评：知道直径所对的圆周角为直角，从而可利用|F1F2|=2|PF2|=2c,把此三角形的三条边都用c表示出来，再利用椭圆的定义可求出e.6.已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】m=±6x²/6+y²=1a=√6，b=1，c=√5e="c/a=√30/6"-x²/6+y²=1a=1，b=√6，c=√7e=c/a=√77.已知点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上,且位于轴的上方,.（1）求点的坐标;（2）设椭圆长轴上的一点, 到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值【答案】（1）由已知可得点A（—6，0），F（4，0）, 设点,则,,由已知可得.则解得.由于,只能于是. 所以点P的坐标是.（2）直线的方程是.设点,则到直线的距离是. 于是,又,解得.椭圆上的点到点的距离有,由于,所以当时,取得最小值.【解析】略8.（本小题满分15分）已知直线l的方程为：，直线l与x轴的交点为F，圆O的方程为：，C、 D在圆上， CF⊥DF，设线段CD的中点为M．（1）如果CFDG为平行四边形，求动点G的轨迹；（2）已知椭圆的中心在原点，右焦点为F，直线l交椭圆于A、B两点，又，求椭圆C的方程．【答案】（1）F（1，0），CD中点M（x1，y1）；MF2=R2-OM2：x 12-x1+y12-3/2=0……（4分）相关点求得轨迹（x+1）2-2（x+1）+（y）2-6=0x2 +y2-7=0………（9分）（2）设直线，由；将，整理得…………………(11分)由①2/②知又因此所求椭圆方程为：…（15分）【解析】略9.已知椭圆的中心在原点O，焦点在轴上，过右焦点F的直线与右准线交于点D，与椭圆交于A、B两点，右准线与轴交于C点，若成等差数列，且公差等于短轴长的．（1）求椭圆的离心率；（2）若的面积为，求椭圆的方程．【答案】解：（1）设椭圆方程为：（），，则：又，∴，从而且，故，∴椭圆的离心率为（2）直线AB的斜率，其方程为：由（1），则由消得：设，，则：，有又的面积为，∴，∴该椭圆的方程为：．【解析】略10.（本题满分13分）已知椭圆的离心率，短轴长为（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，经过点且斜率k的直线与椭圆交于不同的两点、，是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。
高三二轮复习 圆锥曲线全章 练习(4套)+典型例题+答案
椭圆考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(A 级要求)；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质(B级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(5)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2，常数小于F1F2时，不存在这样的图形.(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.(2017·浙江卷改编)椭圆x29＋y24＝1的离心率是________.解析由已知，a＝3，b＝2，则c＝9－4＝5，所以e＝ca＝5 3.答案5 33.(教材改编)椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝________.解析 由题意知⎩⎨⎧10－m >m －2>0，（10－m ）－（m －2）＝4或⎩⎨⎧m －2>10－m >0，（m －2）－（10－m ）＝4， 解得m ＝4或m ＝8. 答案 4或84.(选修1－1P30习题3改编)经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32两点的椭圆的标准方程为________.解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A ，B 代入得4a 2＋12b 2＝1， 2a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，a 2＝8， 所以椭圆方程为x 28＋y 2＝1. 答案 x 28＋y 2＝15.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________. 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1知 识 梳 理1.椭圆的概念平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质考点一椭圆的定义及标准方程【例1－1】已知△ABC的三边a，b，c(a>b>c)成等差数列，A，C两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，试确定顶点B所在的曲线的方程.解设点B的坐标为(x，y)，因为a，b，c(a>b>c)成等差数列，所以a＋c＝2b，即BC＋BA＝4>AC＝2.由椭圆定义知点B所在曲线的轨迹方程为x24＋y23＝1.又因为a>b>c，所以BC>AC，所以(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，所以x<0.所以点B 的轨迹是椭圆的一半，其方程为x 24＋y 23＝1(x <0).又当x ＝－2时，点B ，A ，C 在同一直线上，不能构成△ABC ，所以x ≠－2. 所以顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧.【例1－2】 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3，0)，则椭圆的方程为________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________. 解析 (1)若焦点在x 轴上， 设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).∵椭圆过P (3，0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). ∵椭圆过点P (3，0)，∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3. 又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1. ∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. (2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程. 即⎩⎨⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1【例1－3】 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2， 则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又因为S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9， 所以b ＝3. 答案 3规律方法 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.【训练1】 已知动圆M 与圆F ：x 2＋(y －2)2＝1外切，与圆N ：x 2＋y 2＋4y －77＝0内切，求动圆圆心M 所在的曲线C 的方程. 解 因为圆N ：x 2＋y 2＋4y －77＝0，即x 2＋(y ＋2)2＝81，所以N (0，－2)，半径为9. 设动圆半径为R ，则MF ＝R ＋1，MN ＝9－R ，所以MF ＋MN ＝10>FN ＝4，所以动点M 所在的曲线是以F ，N 为焦点、长轴长为10的椭圆，其方程为y 225＋x 221＝1.考点二 椭圆的几何性质【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.解析 设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.答案 13【例2－2】 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF →1＋PF →2|的最小值是________.解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值2. 答案 2规律方法 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.【训练2】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca ＝23＝63.答案 63考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程. 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2 ＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）， 从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.规律方法 与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题.涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单.【训练3】 (2018·南通调研)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2，0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率).(1)求椭圆的标准方程；(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值.解 (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1. ∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ， 代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x C ＝21＋4k2. 则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵x A ＝2，∴x B ＝2（4k 2－1）1＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（4k 2－1）1＋4k2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴2（4k 2－1）1＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k 1＋4k 2＝0. ∴k 2＝12，∵C 在第一象限，∴k ＞0，k ＝22. ∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2， BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2（4k 2－1）1＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC→＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵k ＝22，∴λ＝32.一、必做题1.(2018·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为________.解析 依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 答案 x 24＋y 23＝12.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________. 解析 以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)⇒2a 2＝3c2，即c2a2＝23，e＝ca＝63.答案6 33.(2018·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线P A1，P A2的斜率的乘积为－49，则椭圆C的离心率为________.解析设P(x0，y0)，则y0x0＋a·y0x0－a＝－49，化简得x20a2＋y204a29＝1，则b2a2＝49，e＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2＝1－49＝53.答案5 34.已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________.解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.答案75.若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2，1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________.解析设切点坐标为(m，n)，则n－1m－2·nm＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1. 答案 x 220＋y 216＝16.(2018·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y29＋x 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式，得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即9x ＋y －5＝0. 答案 9x ＋y －5＝07.(2018·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取得最大值的点P 为________. 解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0，1)时，PF 1·PF 2取得最大值. 答案 (0，1)或(0，－1)8.(2018·连云港质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________. 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 9.2018·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且AB ＝52BF .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0，2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程. 解 (1)由已知AB ＝52BF ，即a 2＋b 2＝52a ，4a 2＋4b 2＝5a 2，4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0， 即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP→·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5（16－4b 2）17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10.(南通、泰州市2018届高三第一次调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ 2的值.解 (1)由题意得c a ＝22，a 2c －c ＝1, 解得a ＝2，c ＝1，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP 2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得()2k 2＋1x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝x 2＋y 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1k x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP 2＋1OQ 2＝1. 二、选做题11.(2018·苏州质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A →2＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.解析 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A →2＝(a －x ，－y )， ∵PO →·P A →2＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0， ∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a . 将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解， 令f (x )＝(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2， ∵f (0)＝－a 2b 2<0，f (a )＝0， 如图，Δ＝(a 3)2－4(b 2－a 2)·(－a 2b 2) ＝a 2(a 4－4a 2b 2＋4b 4) ＝a 2(a 2－2b 2)2≥0，∴对称轴满足0<－a 32（b 2－a 2）<a ，即0<a 32（a 2－b 2）<a ，∴a 22c 2<1，∴c 2a 2>12.又0<c a <1，∴22<c a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，112.(南京市、盐城市2018届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的焦点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)(一题多解)设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1，0)，N (1，0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值.解 (1)因0<b <2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ， 所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m ，则k 1·k 2＝12m －k m ＋1·12m －k m －1＝14k 2－4m 2＝1－2（2m 2－2k 2）＝－12. 法二 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0), 则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1， 两式作差得()x 1＋x 2()x 1－x 24＋()y 1＋y 2()y 1－y 22＝0，又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴x 0()x 1－x 22＋y 0()y 1－y 2＝0，∴x 02＋y 0()y 1－y 2x 1－x 2＝0，又P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 1－y 2x 1－x 2＝k ，∴x 0＋2ky 0＝0，①又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ，② 由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m1＋2k 2.以下同法一.双曲线、抛物线考试要求 1.双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(A 级要求)；2.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质(A 级要求).诊 断 自 测1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________. 解析 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2102.(2016·四川卷改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________. 解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，∴y 2＝4x ，则为(1，0). 答案 (1，0)3.(2018·无锡一模)已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，那么双曲线的离心率为________.解析 根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝13，所以ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝103，即双曲线的离心率为103. 答案1034.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，AB ＝43，则C 的实轴长为________. 解析 由题设C ：x 2a 2－y 2a 2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y2a 2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B(－4，－16－a2)，∴AB＝216－a2＝43，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.答案 45.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]知识梳理1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>F1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.4.抛物线的标准方程与几何性质考点一 双曲线、抛物线的定义及标准方程【例1－1】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________. 解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ， MC 2－BC 2＝MB ， 因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1).【例1－2】 根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0，12)； (3)经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知2b ＝12，e ＝c a ＝54. ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0). ∴⎩⎨⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.规律方法 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.(4)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________.(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则P A ＋PF 取最小值时点P 的坐标为________.解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. (2)将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知P A ＋PF ＝P A ＋d ，当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2). 答案 (1)9 (2)(2，2)考点二 双曲线、抛物线的几何性质【例2】 (1)(2017·盐城三模)若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________. 解析 (1)若四边形OAFB 为菱形，且点A 在圆x 2＋y 2＝r 2上，则点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，此时r ＝c .又点A 在渐近线上，所以32c ＝b a ·c 2，即b a ＝3，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. (2)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵AB ＝42，DE ＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4(负值舍去)，∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)2 (2)4规律方法 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a 满足关系式e 2＝1＋k 2.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________. (2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若AF ＋BF ＝4OF ，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析 (1)离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线的定义：AF ＝y 1＋p 2，BF ＝y 2＋p 2，OF ＝p2，所以AF ＋BF ＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4OF ＝2p ， 可得y 1＋y 2＝p ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py⇒2py a 2－y 2b 2＝1⇒y 2b 2－2pya 2＋1＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－－2p a 21b 2＝2p a 2×b 2＝2b 2a 2p ， ∴2b 2a 2p ＝p ⇒b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 答案 (1)2 (2)y ＝±22x 考点三 直线与抛物线的位置关系【例3】 (2018·苏北四市联考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)(一题多解)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切. 法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p 2. 因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x 得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 法二 (1)同法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x 得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12， 从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离 d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围.(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，∴p2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 则⎩⎨⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2，又∵P ，Q 关于l 对称.∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p ). ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ， 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43， 故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.一、必做题1.(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________.解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3. 答案 (－1，3)2.(2018·盐城模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若AB ＝5，则△ABF 1的周长为________. 解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义AF 1－AF 2＝BF 1－BF 2＝2a ＝8， ∴AF 1＋BF 1＝AF 2＋BF 2＋16＝21，∴△ABF 1的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝21＋5＝26. 答案 263.设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3，2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4. 即PB ＋PF 的最小值为4. 答案 44.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________.解析 由题意易知点F 的坐标为(－c ，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，E (a ，0)， ∵△ABE 是锐角三角形，∴EA→·EB →>0， 即EA →·EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，－b 2a >0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0，2)，又e >1，∴e ∈(1，2). 答案 (1，2)5.(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y23＝1的左、焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________.解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎨⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)6.(2017·全国Ⅱ卷改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为________.解析 取渐近线y ＝b a x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案 27.(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.解析 设左焦点为F 1，PF －PF 1＝2a ＝2，∴PF ＝2＋PF 1，△APF 的周长为AF ＋AP ＋PF ＝AF ＋AP ＋2＋PF 1，△APF 周长最小即为AP ＋PF 1最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6. 答案 12 68.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________. 解析 由定义知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53. 答案 539.(2018·南京师大附中模拟)已知双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上. (1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1，0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程. 解 (1)双曲线的离心率e ＝1＋4a 2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0，1)，又p >0，∴抛物线的焦点为(0，1)， ∴抛物线方程为x 2＝4y .(2)由已知可知，直线l 的斜率存在且不为零， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22， 当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，∴x 1x 2＝－4， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0， ∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.①解x 2－4kx －4k ＝0得x 1，2＝2k ±2k 2＋k . x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①， 即直线的方程为x －y ＋1＝0.10.(2018·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F .(1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 解 (1)由题意得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离等于PO ，由抛物线的定义得点P 到准线的距离为PF ， 所以PO ＝PF ，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 在线段OF 的中垂线上，所以p 4＝34，p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x .(2)四边形AEBF 为菱形，理由如下：由抛物线的对称性，设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0， 所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16y 20， 令上式中y ＝0，得x ＝－16y 20， 所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16y 20，0，又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0， 所以F A →＝BE→，所以F A ∥BE ， 又AE ∥FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF ＝AE ，所以四边形AEBF 为菱形. 二、选做题11.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF →2)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF →2|，则双曲线的离心率为________.解析 ∵F 2M →＝OM →－OF →2，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF →2)·(OM →－OF →2)＝0， 即OM →2－OF →22＝0，∴|OF →2|＝|OM →|＝c ， 在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于F 1F 2的一半，可得MF →1⊥MF →2. ∵|MF 1→|＝3|MF 2→|，∴可设|MF →2|＝λ(λ>0)，|MF →1|＝3λ， 得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF →1|＝3c ，|MF →2|＝c ， ∴根据双曲线定义得2a ＝|MF →1|－|MF →2|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a ＝3＋1. 答案3＋112.(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32， 过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求P A ·PQ 的最大值.解 (1)由题意得P (x ，x 2)，－12＜x ＜32. 设直线AP 的斜率为k ，故k ＝x 2－14x ＋12＝x －12∈(－1，1)，故直线AP 斜率的取值范围为(－1，1). (2)由(1)知P ()x ，x 2，－12＜x ＜32， 则直线AP 的方程为：y ＝kx ＋12k ＋14， 直线BQ 的方程为：y ＝－1k x ＋32k ＋94，联立直线AP 与BQ的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k ＋14，y ＝－1k x ＋32k ＋94，解得点Q 的横坐标是x Q ＝3＋4k －k 22k 2＋2，因为P A ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)， PQ ＝1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以P A ·PQ ＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 则f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时，f ′(k )＞0；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(k )＜0，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减.因此当k ＝12时，P A ·PQ 取得最大值2716.直线与圆锥曲线的位置关系考试要求 高考中重点考查直线与椭圆的位置关系，主要涉及弦长问题，最值范围问题，定点定值问题.诊 断 自 测1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是________.解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2a ＝1，2b ＝a ，即⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.答案 x 24＋y 2＝12.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，且AF ＝2，则BF ＝________.解析 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，0)，准线为x ＝ －1，AF ＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1.则AF 与x 轴垂直，故BF ＝AF ＝2. 答案 23.若直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 解析 由⎩⎨⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎨⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.答案 144.已知双曲线x 2－y 2a ＝1的一条渐近线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则a ＝________.解析 由双曲线标准方程特征知a >0，其渐近线方程为ax ±y ＝0，可得渐近线 ax ＋y ＝0与直线x －2y ＋3＝0垂直，可得a －2＝0，所以a ＝4. 答案 45.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e ＝________. 解析 在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，PF 1＝2PF 2，根据椭圆的定义得PF 2＝23a ，PF 1＝43a .又PF 21－PF 22＝F 1F 22，即169a 2－49a 2＝4c 2，则e ＝c a ＝33. 答案 33知 识 梳 理1.直线和圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程)，通过一元二次方程。
高三圆锥曲线复习(基础和大题含答案)
考纲要求（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；④了解圆锥曲线的简单应用；⑤理解数形结合的思想。
（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
基本知识回顾（1）椭圆①椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a ＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。
②椭圆的标准方程和几何性质例题例1：椭圆22192x y+=的焦点为12,F F，点P在椭圆上，若1||4PF=，则2||PF=；12F PF ∠的大小为 。
变式1：已知12F 、F 是椭圆的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。
若12PF F ∆的面积为9，则b = 。
例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．y 2=16-xB ．y 2=32-xC ．y 2=16xD ．y 2=32x 变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ． y x 82-=变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是 。
课后作业1．已知椭圆162x +92y =1, F 1、F 2分别为它的左右焦点，CD 为过F 1的弦，则△F 2CD 的周长是（ ）A ．10B ．12C ．16D ．不能确定2．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．B ．12C ．D ．243．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．115D ．3716答案： 例题例1、2，120°解：∵229,3a b ==，∴c ===12F F =又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2，120°。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（ ）A ．45B C ．23D2．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．63．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ）A BC D4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2239x y -+=相交于A 、B 两点，若2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．45．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．46．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．537．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =±C ．y x =D ．y x =8．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，则213a b +的最小值为（ ）ABC ．2D9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．2y x =±B．y = C．2y x =±D．y =10．已知两定点()0,1M -，()0,1N ，直线l：y x =，在l上满足PM PN +=P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1或211．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．设双曲线2214y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A．B ．(6,8)C．D ．(6,10)二、填空题13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为8，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，且1F AB 的面积为4，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为___________. 14．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 15．已知双曲线M ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________.16．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，()6,0M ，则22MP MQ +的最小值为______．17．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ，过点F 且平行于OA 的直线交另一条渐近线于点B ，若AB OB ⊥，则双曲线C 的离心率为____________.18．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，直线x b =与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，过A 作圆222:(2)M x b y b ++=的切线，D 为其中一个切点若||||AD AB =，则C 的离心率为__________．19．已知椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．20．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围.22．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.23．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为左焦点､长轴长为40万公里､短轴长为4万公里的椭圆轨道T 1绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为左焦点､长轴长为20万公里的椭圆轨道T 2绕月飞行.（1）求椭圆轨道T 2的短轴长；(近似到0.1)（2）若椭圆轨道T 2上有四个卫星观测点A ､B ､C ､D ，且四边形ABCD 是以椭圆T 2中心为对称中心的矩形，将矩形ABCD 的面积称为观测覆盖面，求观测覆盖面的最大值(近似到0.1).24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>332,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB 的面积为617，求直线l 的方程. 25．已知点3(-在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，E 的离心率为32． （1）求E 的方程；（2）设过定点(0,2)A 的直线l 与E 交于不同的两点,B C ，且COB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围．26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点()0,2N -，连接BN 交椭圆C 于点Q ，ABN 为直角三角形，且:3:2NQ QB = （1）求椭圆的方程；（2）过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足154PA PM ⋅=，求点P 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．B解析：B 【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】 解：如图所示：122F A F B =-，12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 即122e e e e+=-， 又1e >，解得：3e = 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.4．C解析：C 【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用勾股定理可求得k 的值，即可求得b a，再由双曲线的离心率公式e =即可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±， 圆()2239x y -+=的圆心为()3,0C ，半径为3r =，圆心C 到直线y kx =的距离为d =，2AB =，由勾股定理可得2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2219+=，解得k =±ba∴=，因此，该双曲线的离心率为3c e a =====. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122FB F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．7．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：b y x x a =±=， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.8．C解析：C 【分析】和222a b c =+，求得3a b =，化简2219113333a b b b b b ++==+，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，即22c a =，即223c a =，又由222a b c =+，可得2219b a =，即3a b = 所以221911132323333a b b b b b b b++==+≥⋅=，当且仅当133b b=，即13b =时，“=”成立.故选：C. 【点睛】 关键点睛：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.9．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-， 即112122,M F F D F DE M =∴=,可知四边形12MF DE 为平行四边形；又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-， 故()()222442c a a =-，故==ce a， 故双曲线C的渐近线方程为y = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.10．B解析：B 【分析】求出P 点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的P 点的个数． 【详解】∵PM PN +=2MN =，∴P 在以,M N为焦点，由于2a =，a =1c =，因此1b ==，椭圆方程为2212x y +=，由2212y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得33x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴P 点只有一个． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点P 的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．11．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.12．D解析：D 【分析】由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值范围． 【详解】12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，当P 在1P 处，11290F PF∠=，又1,2,5a b c ===由222111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PFPF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；当P 在2P 处，12290F F P ∠=，25P x = 易知24P y = 则224P F =此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.二、填空题13．【分析】先根据的面积和短轴长得出abc 的值求得的范围再通分化简为关于的函数利用二次函数求得最值即得取值范围【详解】由已知得故∵的面积为∴∴又故∴∴又而即∴当时最大为；当或时最小为即∴即即的取值范围为解析：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据1F AB 的面积和短轴长得出a ，b ，c 的值，求得 1PF 的范围，再通分化简1211PF PF +为关于1PF 的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围． 【详解】由已知得28b =，故4b =，∵1F AB 的面积为4，∴()142a cb -=，∴2ac -=， 又()()22216a c a c a c b -=-+==，故8a c +=， ∴5a =，3c =，∴12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111210101021010525a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又而1a c PF a c -≤≤+，即128PF ≤≤， ∴当15PF =时，()21525PF --+最大，为25；当12=PF 或8时，()21525PF --+最小，为16，即()211652525PF ≤--+≤，∴121011102516PF PF ≤+≤，即12211558PF PF ≤+≤. 即1211PF PF +的取值范围为25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质1a c PF a c -≤≤+，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.14．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：,12⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：c e a =≥又1e <，∴12e ≤<故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作解析：1e <≤【分析】设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，等价于TF =，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤，解得ba据离心率公式可得结果. 【详解】依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2π=，4PTF π∠=，因为FP PT ⊥，PF a =，所以TF =，所以双曲线M 的渐近线上存在点T ，使得TF =，所以点(c,0)F 到渐近线的距离d =≤，即b a所以离心率c e a =====≤=又1e >，所以1e <≤所以双曲线M 的离心率的取值范围是1e <≤故答案为：1e <≤【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到可得,,a b c 的不等式.16．【分析】设直线与抛物线联立方程得韦达定理与代入直线与抛物线表示出与然后根据利用数量积代入求解出从而表示出圆心的坐标根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和代入列式利用二次函数的性质求解最小值【详解 解析：10【分析】设直线AB ，与抛物线联立方程，得韦达定理12y y +与12y y ⋅，代入直线与抛物线表示出12x x +与12x x ⋅，然后根据OA OB ⊥，利用数量积代入求解出4t =，从而表示出圆心的坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()()22444160m t t m ∆=--=+>， 得124y y m +=，124y y t ，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==，因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，21248x x m +=+，从而圆心为()224,2O m m +'，由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当2m =±时，22MP MQ +的最小值为10． 故答案为：10 【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题．17．【分析】设双曲线半焦距为双曲线的渐近线方程为则设直线的方程为然后直线的方程和另一渐近线方程联立求出点从而可求出直线的斜率再由可得两直线的斜率乘积为从而得进而可求出双曲线的离心率【详解】解：设双曲线半【分析】设双曲线半焦距为c ，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则(,0),(,)bcF c A c a，设直线BF 的方程为()by x c a=-，然后直线BF 的方程和另一渐近线方程联立，求出点,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可求出直线AB 的斜率，再由AB OB ⊥，可得两直线的斜率乘积为1-，从而得2213b a =，进而可求出双曲线的离心率【详解】解：设双曲线半焦距为c ，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则(,0),(,)bc F c A c a， 设直线BF 的方程为()by x c a=-， 由()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率为322AB bc bc b a a k c a c --==-， 因为AB OB ⊥，所以3()1AB OBb bk k a a⋅=⨯-=-， 所以2213b a =，所以双曲线的离心率为3e ==故答案为：3【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查求双曲线的离心率的方法，解题的关键是灵活运用双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中档题18．【分析】将代入C 的渐近线方程可得点坐标利用两点间的距离根式可求导根据勾股定理可得再由可得代入即可【详解】将代入C 的渐近线方程得则不妨假设半径为因为是圆的切线所以即则因为所以即故故答案为：【点睛】本题【分析】将x b =代入C 的渐近线方程可得A 点坐标，利用两点间的距离根式可求导||AM ．根据勾股定理可得||AD ，再由||||AD AB =可得2238b a =，代入e =即可． 【详解】将x b =代入C 的渐近线方程ay x b=±，得y a =±，则||2AB a =． 不妨假设(),A b a ， (2,0)M b -，半径为b DM =， 222||(2)AM b b a =++，因为AD 是圆的切线，所以222||AD DMAM +=，即则||AD =因为||||AD AB =2a =，即2238b a =，故4e ==．故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查直线与圆的位置关系，关键点是用,,b a c 表示||||AD AB =，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.19．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为解析：①③ 【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．【详解】解：椭圆222:1(06)6x y G b b+=<<的两个焦点分别为21(6F b -，0)和22(6F b --0)，短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+， 由椭圆定义可得，12||||262PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且06b <<则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或6)b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，所以226b b -=，即23b =时，取得最小值，此时22:163x y G +=，与22163y x += 两方程相加得22222222x y x y +=⇒+=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．20．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双 2【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得3B y a =-故()2,3B a a -，()2,3C a a --，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则2c a = 故2e =2【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上， 所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+， 11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OB x x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k >，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1A ⎛ ⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=， 联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.23．（1）2.8万公里；（2）28.2万平方公里. 【分析】（1）根据题意，可得椭圆T 1的半长轴a 1，半短轴b 1，根据a 1，b 1，c 1的关系，可求得c 1的值，即可求得1122PF a c a c =-=-，又椭圆T 2的中，2220a =，可求得2c 的值，进而可求得2b 的值，即可得答案.（2）椭圆T 2放入平面直角坐标系中，可得椭圆T 2的标准方程，设A (x ，y )为椭圆上的任意点，根据题意，可得矩形ABCD 的面积为4S xy =，根据椭圆的方程，结合基本不等式，即可求得xy 的最大值，即可得答案. 【详解】（1）设椭圆T 1的长轴长，短轴长，焦距为2a 1，2b 1，2c 1； 设椭圆T 2的长轴长，短轴长，焦距为2a 2，2b 2，2c 2；. 因此2a 1=40，2b 1=4，则c1= 所以112220PF a c a c =--=-=又2220a =，所以210c =，所以2 1.412b ==≈故椭圆轨道T 2的短轴长为2.8万公里（2）将椭圆T 2放入平面直角坐标系中，使得长轴，短轴分别在x 轴，y 轴上，对称中心在原点，则椭圆T 2的标准方程为221100x +=， 设A (x ，y )为椭圆上的任意点，则矩形ABCD 的面积为S =4xy ，221100x =≥，当且仅当22100x =所以7.06xy ≤≈， 所以428.2S xy =≤因此观测覆盖面的最大值为28.2万平方公里. 【点睛】解题的关键是根据题意，求得面积表达式，再根据椭圆的方程，结合基本不等式求解，计算难度大，考查计算求值的能力,属中档题.24．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点32⎛⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程. 【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛=-= ⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.② 联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=即223S k ==+ 因为OAB 的面积为17=，即()2232k =+. 化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k=或k = 所以直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.25．（1）22:14x E y +=；（2）32,,2⎛⎛⎫-⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由点在椭圆上及椭圆离心率的定义列方程可得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即可得解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，转化条件为0OC OB⋅>，运算即可得解. 【详解】 （1）点⎛- ⎝⎭在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上，∴221314a b +=，∴c e a ==。
高三数学一轮复习章节练习 圆锥曲线与方程
高三数学章节训练题34《圆锥曲线与方程》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．若椭圆经过原点,且焦点为12(1,0),(3,0)F F ,则其离心率为 （ ）A ．34B ．23C ．12D ．142．设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．()0,0123322>>=+y x y x B ．()0,0123322>>=-y x y x C ．()0,0132322>>=-y x y x D ．()0,0132322>>=+y x y x 3．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ．2B ．332 C ． 2 D ．4 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ．24(1)(01)y x x =--<≤B ．24(1)(01)y x x =-<≤C ．24(1)(01)y x x =+<≤D ． 22(1)(01)y x x =--<≤ 5．直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46．曲线221(6)106x y m m m+=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的 （ ） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）7．椭圆221123x y +=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆上.如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的______________倍.8．如图把椭圆2212516x y 的长轴AB 分成8等 分,过每个分点 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= .9．已知两点(5,0),(5,0)M N -,给出下列直线方程:①530x y -=;②53520x y --=;③40x y --=.则在直线上存在点P 满足||||6MP PN =+的所有直线方程是_______.(只填序号)10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =+||||，则动点P 的轨迹为椭圆； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③到定直线c a x 2-=和定点)0,(c F -的距离之比为)0(>>a c ca 的点的轨迹是双曲线的左半支；④方程02722=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；其中真命题的序号为 （写出所有真命题的三、解答题：（本大题共2小题，满分30分）11．（本小题满分14分）已知抛物线28y x =,是否存在过点(1,1)Q 的弦AB ,使AB 恰被Q平分.若存在,请求AB 所在直线的方程;若不存在,请说明理由.12．（本小题满分16分）设,x y R ∈,,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++,(2)b xi y j =+-,且||||8a b +=.（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.高三数学章节训练题34《圆锥曲线与方程》答案 一、 选择题1、C2、D3、C4、A5、D6、A2．D ．由PA BP 2=及,A B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上知，3(,0),2A x (0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-，由点Q 与点P 关于y 轴对称知，(,)Q x y -，OQ =(,)x y -，则2233(,3)(,)31(0,0)22OQ AB x y x y x y x y ⋅=-⋅-=+=>> 二、填空题7．7倍.由已知椭圆的方程得123,(3,0),(3,0)a b c F F ===-.由于焦点12F F 和关于y 轴对称,所以2PF 必垂直于x 轴.所以21||222P PF PF ===,所以21||7||PF PF =. 8．35. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P 7(x 7,y 7),所以根据对称关系x 1+x 2+…+x 7=0,于是|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=a+ex 1+a+ex 2+…+a+ex 7=7a+e(x 1+x 2+…+x 7)= 7a=35,所以应填35.9．②③. 由||||6MP PN -=可知点P 在双曲线221916x y -=的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为43y x =±,直线①过原点且斜率5433>,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在y 轴上的截距为523-故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率413<,故与双曲线的右支有一个交点. 10.④三、解答题11．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为k ,点1122(,),(,)A x y B x y 在抛物线上,所以21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两式作差得,121212()()8()y y y y x x +-=-,即121212()()8y y y y x x -+=-,解得4k =,故直线方程为14(1)y x -=-,即43y x =-.经验证,直线符合条件.12．（1）由||||8a b +=,84=>,设12(0,2),(0,2)F F -则动点M 满足1212||||84||MF MF F F +=>=,所以点M 在椭圆上,且椭圆的4,2,a c b ===所以轨迹C 的方程为2211612y x +=.（2）设直线的斜率为k ,则直线方程为3y kx =+,联立方程组22311612y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得:22(43)18210k x kx ++-=,22(18)84(43)0k k ∆=++>恒成立,设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212221821,4343k x x x x k k+=-=++.由AP OB =,所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l ,使四边形OAPB 为矩形,则OA OB ⊥,即212121212(1)3()90OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=,解得4k =±,所以直线l的方程为3y x =+,此时四边形OAPB 为矩形.。
圆锥曲线 题型专练1——2023届高三数学一轮复习
专题复习 圆锥曲线（一）【题模一】 圆锥曲线定义的应用：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 当2a =21F F 时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <21F F 时，无轨迹； 双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数a 2（21212F F a PF PF <=-），的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
抛物线：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹.【讲透例题】1．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在D ．椭圆或线段2、设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于 A ．3B ．210C ．45D ．3153. 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4、 已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．2 B ．22C ．3D ．35． 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．86． 若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）A ．12B C ．1 D ．27． 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68． 已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．49． 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（ ）A ．25B ．252C ．509D ．100910、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线24y x =交于点A ，点B 是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点F 为双曲线的一个焦点，且ABF 为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．2277134x y -=B ．2277143x y -=C ．2234177x y -=D ．227711216x y -=12、已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =±D ．y =±【相似题练习】1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、 已知A(-, 0)，B 是圆F:(x -)2+y 2=4(F 为圆心)上的一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是_______________.3． 已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．634、已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若,则|QF|= .5．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)6． 已知椭圆22:14x C y +=的焦点是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12PF F △的内切圆半径r 为（ ） A 3B ．23C ．23+D ．26、已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．42B ．13C ．313D ．467、（多选）已知ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()5,0,5,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠且斜率之差等于n ，则正确的是（ ）A ．当0m >时，点C 的轨迹是双曲线.B ．当1m =-时，点C 在圆2225x y +=上运动. C ．当1m <-时，点C 所在的椭圆的离心率随着m 的增大而增大.D ．无论n 如何变化，点C 的运动轨迹是轴对称图形.8、（多选）已知焦点在x 轴上的椭圆过点()3,0且离心率为63，则（ ） A ．椭圆的标准方程为22193x y +=B ．椭圆经过点()0,23C ．椭圆与双曲线223x y -=的焦点相同D ．直线()11y k x -=-与椭圆恒有交点9、已知1F ，2F 是双曲线C ：2213xy -=的两个焦点，点M 在直线30x y -+=上，则12MF MF +的最小值为（ ） A ．213B ．6C ．26D ．510、已知()15,0F -，()25,0F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过1F 的直线l 与圆222:O x y a +=切于点T ，且与双曲线右支交于点P ，M 是线段1PF 的中点，若1OM TM -=，则双曲线的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2211213x y -=D ．2211312x y -=11、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过2F 的直线l 与C 的左､右支分别相交于M ､N 两点，若11MF NF =，2MN b =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52B ．5C ．2D ．62【题模2】 圆锥曲线的标准方程1、椭圆：（1）焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），（参数方程，其中为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
高三数学圆锥曲线试题
高三数学圆锥曲线试题1.已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为则______.【答案】1【解析】假设椭圆的长半轴为，半焦距为.则双曲线的半实轴，半焦距.所以两曲线的离心率分别为则.【考点】1.圆锥曲线的基本性质.2.对比归纳的思想.2.抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与椭圆相交于，两点．（1）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；（2）设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得，，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）不存在.【解析】（1）分别求出抛物线与椭圆的焦点，利用两点间距离公式求解；（2）设直线与抛物线相交于与椭圆相交于,,所以直线与抛物线方程联立，得到和然后利用,求出切线，的斜率，利用切线垂直，,解出m,然后分别设出过点的切线方程，求出交点的坐标，利用点到直线的距离公式求,直线与曲线相交的弦长公式求,若，，成等比数列，则,化简等式，通过看方程实根情况.试题解析：（I）抛物线的焦点， 1分椭圆的左焦点， 2分则． 3分（II）设直线，，，，，由，得， 4分故，．由，得，故切线，的斜率分别为，，再由，得，即，故，这说明直线过抛物线的焦点． 7分由，得，,即． 8分于是点到直线的距离. 9分由，得， 10分从而， 11分同理，． 12分若，，成等比数列，则， 13分即，化简整理，得，此方程无实根，所以不存在直线，使得，，成等比数列． 15分【考点】1.椭圆与抛物线的性质；2.导数的几何意义；3.直线与曲线的交点问题；4.弦长公式.3.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值等于2．(1)求椭圆的方程；(2)直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】(1) ;(2)存在，.【解析】(1)通过椭圆性质列出的方程，其中离心率,分析图形知道当点P在短轴端点时，面积取得最大值，所以,椭圆中,从而建立关于的方程，解出;即得到椭圆的标准方程；(2)对于存在性的问题，要先假设存在，先设存在这样的点，,结合图形知道要先讨论,当时，明显切线不垂直，当时，先设切线，与椭圆方程联立，利用，得出关于斜率的方程，利用两根之积公式，解出点坐标.即值.此题为较难题型，分类讨论时要全面.试题解析：(1)因为点在椭圆上，所以因此当时，面积最大，且最大值为又离心率为即由于，解得所求椭圆方程为(2)假设直线上存在点满足题意，设，显然当时，从点所引的两条切线不垂直.当时，设过点向椭圆所引的切线的斜率为，则的方程为由消去，整理得：所以， *设两条切线的斜率分别为，显然，是方程的两根，故：解得：，点坐标为或因此，直线上存在两点和满足题意.【考点】1.椭圆的性质与标准方程；2.直线垂直的判断；3.存在性问题的求解.4.已知两点，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为.（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .【解析】（Ⅰ）设点的坐标为则, ,化简可得轨迹方程.（Ⅱ）设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆（）相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线的方程,点到直线的距离公式可求的底边上的高.进而得出面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.试题解析：（Ⅰ）设点， 2分整理得点M所在的曲线C的方程：（） 3分（Ⅱ）由题意可得点P（） 4分因为圆的圆心为（1，0），所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数 5分设直线PE的方程为，与椭圆方程联立消去，得：， 6分由于1是方程的一个解，所以方程的另一解为 7分同理 8分故直线RQ的斜率为= 9分把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去整理得所以 10分原点O到直线RQ的距离为 11分12分【考点】1、动点轨迹方程的求法；2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系；3、基本不等式的应用.5.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由题意可知，即，经化简可得，则.【考点】双曲线中各基本量间的关系.6.已知是椭圆和双曲线的公共顶点。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
数学高三圆锥曲线练习题
数学高三圆锥曲线练习题1. 已知一个圆锥的高为10 cm，底面半径为6 cm。
求解：（1）该圆锥的侧面积。
（2）该圆锥的体积。
解答：（1）圆锥的侧面积可以通过以下公式计算：侧面积= πrl，其中r 为底面半径，l为斜高。
首先计算斜高。
根据勾股定理，斜高可以表示为h = √(r² + h²)，其中h为圆锥的高。
代入已知量，可得h = √(6² + 10²) = √(36 + 100) = √136 ≈ 11.66 cm。
接下来，计算侧面积。
侧面积= πrl = π * 6 * 11.66 ≈ 219.911 cm²。
因此，该圆锥的侧面积约为 219.911 cm²。
（2）圆锥的体积可以通过以下公式计算：体积 = (1/3) * 底面积 * 高。
首先计算底面积。
底面积为圆的面积，可以表示为A = πr²。
代入已知量，可得A = π * 6² = 36π ≈ 113.1 cm²。
接下来，计算体积。
体积 = (1/3) * 113.1 * 10 = 377 cm³。
因此，该圆锥的体积为 377 cm³。
2. 已知一个圆锥的半径为3 cm，侧面积为15π cm²。
求解该圆锥的高和体积。
解答：圆锥的侧面积可以表示为：侧面积= πrl，其中r为底面半径，l为斜高。
已知侧面积为15π cm²，底面半径为 3 cm，代入公式可得15π = 3πl。
解方程，可得斜高 l = 5 cm。
圆锥的高可以通过勾股定理计算：高= √(l² - r²)。
代入已知量，可得高h = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 cm。
因此，该圆锥的高为 4 cm。
圆锥的体积可以通过公式体积 = (1/3) * 底面积 * 高计算。
底面积A = πr² = π * 3² = 9π cm²。
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习 (附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上.1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．()2:20C x py p ->AB OP 22‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点 【3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.()2:20C x py p ->E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +参考答案题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.【答案解析】【要点分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=122F MF π∠=2a 2b M l 00l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B x y l 12y y +12y y MA MB⊥1212(0x x y y +-=m 120MF MF ⋅= 12MF MF ⊥ 122F MF π∠=1212122MF F MF MF S ⋅==△124MF MF ⋅=122MF MF a +=122F F c ==2221212MF MF F F +=()2121228MF MF MF MF +-=⋅24248a -⨯=24a =2222b a c =-=22142x y +=124MF MF ⋅=124MF MF +=122MF MF ==(M l 090AMB ∠≠︒当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，， 因为， 所以，所以，所以，所以， 所以， 解得或，当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为．1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△． 【答案解析】【要点分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线2l 方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B xy 22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩22(2)20m y ++-=1222y y m+=-+12222y y m -=+90AMB ∠=︒MA MB⊥1212(0x x y y +-=21212(1)1)()40m y y m y y ++-++=2222(1)4(1)4022m m m m m -+--+=++2230m m --=1m =-3m =1m =-l Ml 30x y --=解：222224y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：220x -+=，解得：x =，故)M ；【小问2详解】联立222y x y x t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得：,122t N t ⎫-+⎪⎪⎝⎭联立22224y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：2220x t +-=， 由题可得：2Δ820t =->，∴12x x +=，2122x x t =-．12NA t ⎫=-⎪⎪⎭，22NB t ⎫=--⎪⎪⎭，()()212122223222332,2224NA NB x x t x x t t t t t ⎫⎫=--++⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫=--+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2NM t ⎫=--=⎪⎪⎭， 2NM NA NB =，∴AN MNNM NB =，又ANB MNB ∠=∠，∴ANM MNB ∽△△ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设),(),,(2211y x N y x M2222222221422x y x y x y k k -=-⋅+=⋅....................2分 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以所以54451(4222221-=--=⋅x x k k .....................4分（2）设3:+=kx y PM 224520x y +=联立 得到02530)54(22=+++kx x k1223045kx x k -+=+所以2215425k x x +=⋅ 0)1(400)54(100900222>-=+-=∆k k k .....................6分直线:MB 2211-+=x x y y 直线:NA 2222+-=x x y y联立得:1212)2()2(22x y y x y y -+=-+.....................8分2121(2)(2)2524y y y y x x +++=-⋅-法一：525)(5452121212-=+++⋅-=x x x x k x x k..............10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分法二：由韦达定理得k x x x x 562121-=+2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++==-++所以5)(655)(65121221-=++-++-x x x x x x .........10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.解：(1)由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，0> ，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =-(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠=tan 22PAQ ∠=，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x -=-联立1112y x -=-221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2103x +=，253y --=， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =-，2|||2|AQ x =-，由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=，故12121||||sin |2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++= 题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴，设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+2AB =OP1c =1EF 2212x y +=1OP =y kx m=+2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220kx kmx m +++-=2216880k m ∆=-+>122421kmx x k -+=+21222221m x x k -=+∵，化简得．又设M 是弦AB 的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等），又∵（仅当时取等号）． 综上，.2‐3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||.PF PF =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.解：(1)因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=， 又因为12||3||PF PF =，所以2||2a PF =，13||2aPF =， 因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22 1.2x y +=(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2221AB k ==+2222122k m k +=+222,2121kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222224121k OM m k +=⋅+()()()22222222241214122212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++2411k t +=≥()()24443134t OMt t t t==≤=-++++1OM ≤=-t=1OP OM MP OM ≤+=+≤214k -=max OP =联立直线l 与椭圆E 的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)||||2m AB y y m+=-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l的距离为d =，所以||CD ==，所以2222222212)2)3||||41222m m m AB CD m m m m+++⋅=⋅⋅==-++++ 因为233022m <+…，2132222m ∴-<+…，2||||AB CD ∴⋅<，所以2||||AB CD ⋅的取值范围2‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分）（2），∴，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分）题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点【答案解析】（1）由已知得22222()1c e a ba c c a b⎧==⎪⎪⎪⋅-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即22:139x y C -=；（2）由题意设()()1122:2,,,,AB l y kx A x y B x y =+()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+()()2110t x y ---=AB 1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭OAB 2OM ==则()12122222222121222124233341301312913933k y kx y y x x k k k x kx x y kx x y y k k ⎧⎧⎧=++=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⇒---=⇒⇒⎨⎨⎨---=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪--⎩⎩⎩由题意得2120030k x x ∆>⎧⇒<<⎨<⎩①221212222131299128193333k k OA OB x x y y k k k -+-+⋅=+===+<---- ； ②由对称性得直线AD 过定点在y 轴上，设定点(0,)T t ，则有A ，T ，D 三点共线， 即1221122121211212AT DT y t y t x y x yk k x y x t x y x t t x x x x ---+=⇒=⇒+=+⇒=+()()21121212122222x kx x kx kx x t x x x x +++⇒==+++代入韦达定理得92t =-，即直线AD 过定点90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案解析】【要点分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程，求得a,b 的值，即得答案; （2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N 点坐标，从而可证明结论. 【小问1详解】E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y MB NBMC NC=由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知 ，则 ，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，， 则， 所以，又，所以， 解得， 从而 ， 故，即为定值.3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ()222210x y a b a b +=>>2,222c b a==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC=31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值． 【答案解析】【要点分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值. 【小问1详解】将点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>， 得222233141914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0， 设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410k k k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-， 则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k-+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）． 题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．【答案解析】(1)由题意知，点M 在第一象限．M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当c x =时，a b y 2=，即.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M …………………（2分） 又直线MN 的斜率为42，所以4222tan 2221===∠acb c a b F MF ， 即22222c a ac b -==，即02222=-+a ac c ，………………………………（4分）则01222=-+e e ，解得22=e 或2-=e （舍去）， 即.22=e …………………………………（5分）(2)已知)1,0(D 是椭圆的上顶点，则1=b ，椭圆的方程为1222=+y x ，………（6分）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 可得)*(0)1(24)21(222=-+++m kmx x k ， 所以221214kkm x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=， 又)1,(11-=y x DA )1,(.22-=y x DB ， ………………………………（8分）)1)(1()1)(1(21212121-+-++=--+=⋅m kx m kx x x y y x x DB DA221212)1())(1()1(-++-++=m x x m k x x k021)1)(21()(4)1)(1(2)1(214).1(21)1(2).1(222222222222=+-++--+-=-++--++-+=k m k m m k k m m k km m k k m k ， 化简整理有01232=--m m ，得31-=m 或.1=m 当1=m 时，直线AB 经过点D ，不满足题意； ………………………………（10分） 当31-=m 时满足方程(*)中0>∆，故直线AB 经过y 轴上定点.31,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-G 又Q 为过点D 作线段AB 的垂线的垂足，故Q 在以DG 为直径的圆上，取DG 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0R ，则||RQ 为定值，且=||RQ .32||21=DG …………………………（12分）4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．【答案解析】【要点分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A 的坐标带入抛物线的方程即可求出结果； （2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到TA TB ⋅的表达式，从而可得4040m ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】 因为(),0,0,22p F P ⎛⎫⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124p p =⋅，即22p =，解得P =【小问2详解】设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212,y y y y k k+==， 又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k+-+++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即)4T ，此时2218TA TB m n ⋅=+=4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +答案解析：（1）设点P 为，动点M 为，则Q 点为求得：又即点M 的轨迹方程为：4分（2）设直线AB 方程为：则消x 得 或设A 点，B 点则求得： 8分()00,x y (,)x y ()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩2222004443x y x y +=∴+= 221(0)43x y y +=≠4x my =+224143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>2m <-()11,x y ()22,x y 1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-。
高三数学圆锥曲线专题训练与答案
高三数学圆锥曲线专题训练与答案一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（ ）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-=2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）（资料由“广东考神”上传，更多高考复习资料，请上 tb 网搜“广东考神”）A.x y =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴， 且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A.12 4．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(B.C.[D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B. 22x y 1(y 0)43+=≠C. 22x y 1(x 0)34-=≠D. 22x y 1(x 0)43-=≠二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ .8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m k 的值及此时点C 的坐标.FQoyx12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点， （1）求双曲线C 的方程； （2）求证：12FM F N ⋅是定值.13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2=，|OF|2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF|c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 0E(x ,0)，使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n-=+得|m|n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |====+4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算.5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()9,cc e a a === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=12 34021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=．∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=-，PB (x,y)=-，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x k 1)=<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k=b =此时，由方程组22y y x 2⎧=⎪⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=， 所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--， 则1113F M (,y )3=，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- .13．解：（1）因为|OF|2=，则F (2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=， 由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+， 又013S c |y |c 24==，则03y 2=±，13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=得：y3y(3,)(x,)022-=，即2y 4x =， 由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m:y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k -+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k-， 线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )k k k--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+，因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB|AB |，又|AB |k =011x 3= .15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 所以 )1(2x +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x -=⋅ .于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。
高三数学圆锥曲线方程复习题
第八章 圆锥曲线方程综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14答案：A命题意图：主要考查双曲线的标准形式及相关的概念，考查学生转化及计算的能力．解析：双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1则有：a 2＝1，b 2＝－1m ，∴2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴2×2＝2－1m ，∴m ＝－14. 总结评述：双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题，但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和准线、渐近线方程是解决双曲线问题的突破口．2．下列双曲线中，以y ＝±12x 为渐近线的是( ) A.x 216－y 24＝1 B.x 24－y 216＝1 C.x 22－y 2＝1 D ．x 2－y 22＝1答案：A解析：由y ＝±12x 得x 2±y 1＝0，因此以x 2±y 1＝0为渐近线的双曲线为x 24－y 21＝m (m ≠0)当m ＝4时，方程为x 216－y 24＝1，故选A.3．抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( )A.94 B ．4 C.134 D ．3答案：B解析：y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，则点P 到它的距离为3＋1＝4，故选B.4．(2009·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为 ( )A ．5 6 B.2534 C ．20 D ．10答案：D解析：由题意，设P (y 204，y 0)，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，S △MPF ＝12|PM ||y 0|＝10.5．(2009·郑州二模)设向量i 、j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋yj ，b ＝(x －1)i ＋yj ，且|a |－|b |＝1，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是( ) A.x 214－y 234＝1(y ≥0) B.x 214－y 234＝1(x ≥0) C.y 214－x 234＝1(y ≥0) D.y 214－x 234＝1(x ≥0)答案：B解析：a ＝(x ＋1)i ＋yj ，b ＝(x －1)i ＋yj ，|a |－|b |＝(x ＋1)2＋y 2－(x －1)2＋y 2＝1，满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹是以(－1,0)和(1,0)为焦点的双曲线的右支，方程是x 214－y 234＝1(x ≥0)，故选B.6．(2009·全国Ⅱ，8)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝() A. 3B ．2C ．3D ．6答案：A 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝3，∴r ＝ 3.故选A. 7．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB→等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－13或－3 D ．±13 答案：B解析：由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)．直线l 不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0，即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13.8．(2009·浙江，9)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.10答案：C解析：直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B (a 2a ＋b，ab a ＋b )，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C (a 2a －b ，－ab a －b)，A (a,0)，AB →＝(－ab a ＋b ，ab a ＋b )，BC →＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2)，∵AB →＝12BC →， ∴－ab a ＋b ＝a 2b a 2－b 2，b ＝2a ， ∴c 2－a 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5，故选C.9．(2009·广州调研)已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案：D 解析：如图，设过A 的直线方程为y ＝kx －1，与抛物线方程联立得x 2－12kx ＋12＝0，Δ＝14k 2－2＝0，k＝±22，求得过A 的抛物线的切线与y ＝3的交点为(±2，3)，则当过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，实数t 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选D.10．(2010·辽宁育才中学模拟)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2答案：C解析：设椭圆长轴长为2a (且a >2)，则椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，x ＋3y ＋4＝0，得(4a 2－12)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0.∵直线与椭圆只有一个交点，∴Δ＝0，即192(a 2－4)2－16(a 2－3)×(16－a 2)×(a 2－4)＝0.解得a ＝0(舍去)，a ＝2(舍去)，a ＝7.∴长轴长2a ＝27.11．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C. 3 D ．2答案：A解析：由已知得a ＝1，c ＝2，b ＝1，点P 的轨迹为双曲线x 2－y 2＝1，将y ＝12代入，得x 2＝54，∴|OP |＝x 2＋y 2＝54＋14＝62.故选A.12．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( )A ．5B ．4 C.1155 D.115答案：C解析：如下图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋2y ＋10＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (1,0)，则d 1＋d 2＝|1＋10|12＋22＝1155，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5 C ．3 D ．6 2．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．193．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．312C ．512D ．325．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为2的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．12C ．22D ．326．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若3OA b =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．23C ．2D ．5 7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．728．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．129．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线左支于P ，交渐近线by x a=于点Q ，点Q 在第一象限，且12FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．1102+ B 122+C 51 D 3110．P 为椭圆22:11713x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．()22234x y ++= B ．()22268x y ++= C ．()22234x y -+=D ．()22268x y -+=11．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．5(1,]3C ．[2,)+∞D ．4[,)3+∞12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是x 轴正半轴上的一点，线段FM 交抛物线于点A ，过A 作l 的垂线，垂足为B .若BF BM ⊥，则FM =（ ） A ．52B ．3C ．72D ．4二、填空题13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)14．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 2为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，()6,0M ，则22MP MQ +的最小值为______．15．已知ABC 中，()1,0B -、()1,0C ，1k 、2k 分别是直线AB 和AC 的斜率.关于点A 有如下四个命题：①若A 是双曲线2212y x -=上的点，则122k k ⋅=；②若122k k ⋅=-，则A 是椭圆2212x y +=上的点；③若121k k ，则A 是圆221x y +=上的点；④若2AB AC =，则A 点的轨迹是圆. 其中所有真命题的序号是__________．16．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆C 相交于A ，B两点.当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为2b ，则椭圆C 的离心率e =________．17．已知抛物线218y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AMAF最大时，弦AB 长度是___________. 18．如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 为椭圆C 的上顶点，若12BF F △的外接圆的半径为23b，则椭圆C 的离心率为________.19．已知点A ，B 为抛物线C ：24y x =上不同于原点O 的两点，且OA OB ⊥，则OAB 的面积的最小值为__________.20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为2,2A B ，为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程；（2）求NAB △面积的取值范围.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A B 、两点，设两直线MA 、MB 的斜率分别为12k k 、，且128k k +=，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB 的面积为17，求直线l 的方程.24．已知点(-在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，E 的离心率为2． （1）求E 的方程；（2）设过定点(0,2)A 的直线l 与E 交于不同的两点,B C ，且COB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围．25．已知两条动直线14:xl y λ=与2:l y λ=（0λ≠，λ为参数）的交点为P .（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）()2,0E 、()1,0F 是x 轴上的两点，过点E 作直线m 与曲线C 交于A 、B ，当10AF BF +=时，求直线AB 的方程.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点在圆223x y +=（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，F 为右焦点，若FA 垂直于AB ，求直线l 的斜率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得6ce a . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．B解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．3．A解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=，所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.4．C解析：C 【分析】作出图形，可知FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，可得出0AF AB ⋅=，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】如下图所示，可知AFB ∠、ABF ∠均为锐角， 所以，FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，由题意可知，点(),0F c -、()0,A b 、(),0B a ，则(),AF c b =--，(),AB a b =-，20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=，在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a 可得210e e +-=，01e <<，解得51e -=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】首先设直线2x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率. 【详解】设直线方程为2x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立得22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，2122212cy y a b+=-+，4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-， 得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率2c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.6．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q，可得12QF OA ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率． 【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =， 又O 是12F F 中点，所以1//QF AO，且12QF OA ==，又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴233c e a ==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．7．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -=所以点P 到点D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +>所以点P 到点D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为：1115||||||||||222PD PP PD PF DF +=+-≥-== 当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解. 【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=，由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-，2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =，所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△10===.故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.9．A解析：A 【分析】由12FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ． 【详解】∵12FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =， 设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y bx a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得233P P a c x b y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又P 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，解得e=舍去）． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用P 在双曲线上列式，由12FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．10．B解析：B 【分析】由椭圆的122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心，径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程. 【详解】由2211713x y +=可得：a =，因为122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===所以动点Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心， 故动点Q 的轨迹方程为()22268x y ++=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.11．A解析：A 【分析】根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果. 【详解】因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ，即42a c ≥，则2ca≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.12． B解析：B 【分析】先利用方程得求得焦点坐标和准线方程，设点(,0)M m ，()00,A x y ，再利用点()00,A x y 在抛物线与直线上列方程，解出0,x m ，最后利用距离公式计算FM 即可. 【详解】如图所示，抛物线24x y =中，()0,1F ，:1l y =-，依题意设(,0)M m ，()00,A x y ，00x >，则2004x y =，故200,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1B x -，因为BF BM ⊥，即BF BM ⊥，而()()00,2,,1BF x BM m x =-=-， 所以()0020BF BM x m x ⋅=-+=，直线:11x y FM m +=，A 在直线上，故200:14x x FM m +=，即02044x m x =-，代入上式即得000024420x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝-⎭，化简整理得4200280x x +-=，即()()2200240x x -+=， 故202x =，而00x >，故02x =()2422242m ==-(22,0)M ，所以FM =3=.故选：B. 【点睛】本题解题关键在于利用点()00,A x y 既在抛物线上，又在直线上，构建关系式，求解出点M 即突破难点. 二、填空题13．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =求得离心率范围即可. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a， 若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.14．【分析】设直线与抛物线联立方程得韦达定理与代入直线与抛物线表示出与然后根据利用数量积代入求解出从而表示出圆心的坐标根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和代入列式利用二次函数的性质求解最小值【详解 解析：10【分析】设直线AB ，与抛物线联立方程，得韦达定理12y y +与12y y ⋅，代入直线与抛物线表示出12x x +与12x x ⋅，然后根据OA OB ⊥，利用数量积代入求解出4t =，从而表示出圆心的坐标，根据平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，代入列式，利用二次函数的性质求解最小值. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()()22444160m t t m ∆=--=+>， 得124y y m +=，124y y t ，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==，因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，21248x x m +=+，从而圆心为()224,2O m m +'，由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和（用向量法易证），得()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当2m =±时，22MP MQ +的最小值为10． 故答案为：10 【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、向量的数量积、三角形的面积等问题．15．①③【分析】设点可得出结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点的轨迹方程可判断②的正误；根据求出点的轨迹方程可判断③的正误；由求出点的轨迹方程可判断④的正误【详解】设动点的坐标为对于①由于点是双曲线解析：①③【分析】设点(),A x y ，可得出2212y x =+，结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点A 的轨迹方程，可判断②的正误；根据121k k ，求出点A 的轨迹方程，可判断③的正误；由2AB AC =求出点A 的轨迹方程，可判断④的正误. 【详解】设动点A 的坐标为(),A x y .对于①，由于点A 是双曲线2212y x -=上的点，则2212y x =+，所以，22122221112y y y y k k y x x x =⋅===+--，①正确；对于②，21222111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得2212y x +=，②错误；对于③，21221111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得221x y +=，③正确；对于④，由2AB AC ==化简可得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 当点A 为圆2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴的交点时，A 、B 、C 三点无法构成三角形，④错误.故答案为：①③. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.16．【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内 解析：12【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当ABF 的周长最大时，直线AB 的位置，再求ABF 的面积，得到椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为F '，AF BF AB ''+≥，当直线AB 过右焦点F '时，等号成立，∴ABF 的周长4l AF BF AB AF BF AF BF a ''=++≤+++=，此时直线AB 过右焦点，22b AB a =，221222ABFb Sc b a=⨯⨯=，得12c e a ==.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.17．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一 解析：8【分析】作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，可得出1sin AM AF AME=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，如下图所示：由抛物线的定义可得AE AF =，则1sin AM AM AF AE AME==∠， 可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AMAF最大，抛物线218y x =的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线218y x =相切时，直线AM 的斜率存在， 设直线AM 的方程为2y kx =-，联立228y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=， 264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，方程为28160x x -+=，解得4x =，此时，228xy ==，即点()4,2A ，此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -， 因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．18．【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上可得在中由勾股定理可得：即结合即可求解【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上设圆心为则在中由勾股定理可得：即所以即所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：求椭 解析：12【分析】由题意可得12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，123bMF BM ==，可得13OM b =，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合222b a c =-即可求解. 【详解】由题意可得：12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =， 设圆心为M ，则2133OM OB BM b b b =-=-=， 在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以223b c =，即2223a c c -=，所以2a c =，所以12c e a ==， 故答案为：12. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=； （2）利用变形公式221b e a=-； （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.19．【分析】设利用可得即可求得利用两点间距离公式求出面积利用基本不等式即可求最值【详解】设由可得解得：所以当且仅当时等号成立所以的面积的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设坐标采用 解析：16【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=即可求得1216y y =-，利用两点间距离公式求出OA 、OB ，面积12OABSOA OB =，利用基本不等式即可求最值. 【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由OA OB ⊥可得2212121212104416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⋅=⨯+=+= ⎪⎝⎭， 解得：1216y y =-，1OA y ==OB y ==11122OABSO y O y A B ==12⨯=≥=，22221212216161616y y y y +=+≥=，所以16OABS≥==，当且仅当12y y =时等号成立， 所以OAB 的面积的最小值为16， 故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设A ，B 坐标，采用设而不求的方法，将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求12OABSOA OB =的最值. 20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-． 设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =.法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.三、解答题21．（1）24y x =；（2）(0,4]. 【分析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l的距离为2，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y xx my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-= 所以222t m m =- 点N 到AB的距离h =||AB ==所以1||2|2|2NABSAB h m t =⋅⋅=+42m m =-令u=u =由24y x y x=⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)， 因点M 在l 上可得(0,2)m ∈所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB △的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题．22．（1）22184x y +=；（2）直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）通过点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形，可求得,a b ，从而可求椭圆方程；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及128k k +=，可得直线AB 的方程，从而可得直线AB 过定点；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，求出直线AB 的方程，即可得到结论.【详解】（1）由点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，可知2b =， 又12F MF △是等腰直角三角形，可得a =，即a =28a =，24b =所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±，联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=由已知0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：2121222428,1212km m x x x x k k --+==++， 128k k +=12221211212222y y kx m k k k x m x x x x -+-+-=+=+-∴+ 12212121142(2)()2(2)2(2)828x x km k m k m k m x x x x m +-=+-+=+-=+-=- 42kmk m ∴-=+，整理得122m k =- 故直线AB 方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(,),(,)A x y B x y -，由已知得0000228y y x x ---+=，解得012x =-， 此时直线AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法及易错点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和椭圆方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系对题目条件进行化简计算，从而可得出结论，另外设直线方程时常常不要忽略斜率是否存在的问题．23．（1）22132x y +=；（2）2y x =+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出S ==，求出k 的值得出直线l 的方程. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为3，所以222213b a =-=⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=即S == 因为OAB的面积为17=，即()2232k =+. 化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.24．（1）22:14x E y +=；（2）32,,2⎛⎛⎫-⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由点在椭圆上及椭圆离心率的定义列方程可得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即可得解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，转化条件为0OCOB ⋅>，运算即可得解. 【详解】 （1）点⎛- ⎝⎭在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上，∴221314a b +=，∴ce a ==由222a b c =+解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴轨迹22:14x E y +=；（2）依题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，∴设:2l y kx =+，1122(,),(,)B x y C x y ，。
2021高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训圆锥曲线与方程含解析
高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训：圆锥曲线与方程一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.] 2．椭圆9x 2＋y 2＝36的短轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12B [原方程可化为x 24＋y 236＝1，所以b 2＝4，b ＝2，从而短轴长为2b ＝4.]3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1C [∵所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为 e ＝c a ＝54，∴c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]4．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18B [△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.]5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别是A ，B ，左，右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A ．14B ．55C ．12D ．5－2B [由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，∴e 2＝15，∴e ＝55.]6．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 210－y 26＝1D ．x 26－y 210＝1A [依题意知，焦点在x 轴上，c ＝4，ca ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.] 7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]8．已知椭圆x 24＋y 24＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C [当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．]9．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝1A [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3.∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.]10．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [当方程x 2m －1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．]11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．6B ．8C ．9D ．10B [因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]12．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3C [焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0， 法一 直线AB 的斜率为33，∴直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.] 13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32C ．34D ．64A [不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12.]14．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－116C [因为动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l 为抛物线的准线，所以l ：y ＝－1.]15．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定C [当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 为抛物线的通径，长度等于2p .] 二、填空题16．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为 ．43 [把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.]17．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为 .y ＝±33x [由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43.故b 2a 2＝13.所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .] 18．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是 ．y 225－x 275＝1 [设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.]19．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF→1·PF →2＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是.⎣⎡⎦⎤33，22 [设P (x ，y )，则PF→1·PF →2 ＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.]三、解答题20．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，P (－2,1)是C 1上一点．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设A ，B ，Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与C 1相交于不同于P ，Q 的两点C ，D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形．[解](1)由题意，得⎩⎨⎧1－b 2a 2＝34，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明：由题意，得A (－2，－1)，B (2,1)， ∴直线l 的斜率为12，设直线l 的方程为y ＝12x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ，x 28＋y22＝1，消去y ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0，Δ＝－4t 2＋16＞0，解得－2＜t ＜2.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4， ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1－x 1＋2＝(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)(x 2＋2)(－x 1＋2)，而(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)＝－x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4＝0， ∴k PD ＋k PE ＝0，∴直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形． 21.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B (如图)，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．[解] (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.∵|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一 证明：∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，∴k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.∴k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二 证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .∵点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上．∴m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)， 故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. ∴点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。
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知识改变命运
第2章 圆锥曲线与方程
§2.1 圆锥曲线 课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．
1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周
所形成的曲面．其中直线l 叫做圆锥面的轴．
2．圆锥面的截线的形状
在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴
所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2
时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．
3．椭圆的定义
平面内到______________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．
4．双曲线的定义
平面内到____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
5．抛物线的定义
平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线．
6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．
一、填空题
1．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭
⎫x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________．
2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________．
3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)．
①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．
4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹是____________．
5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是________．
6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．
7．已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是__________．
8．一动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________．
二、解答题
知识改变命运
9．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心P 的轨迹是椭圆．
10.已知△ABC 中，BC ＝2，且sin B －sin C ＝12
sin A ，求△ABC 的顶点A 的轨迹．
能力提升
11．如图所示，
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线
C 1
D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号)． ①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．
12.
如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．
1．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.
2．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．
3．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线．
第2章圆锥曲线与方程
知识改变命运
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§2.1 圆锥曲线
知识梳理
3．两个定点F 1，F 2的距离的和 焦点 焦距
4．两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值 焦点 焦距
5．到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点 定点F 定直线l
6．圆锥曲线
作业设计
1．椭圆
解析 由已知，得PA ＝PB ，PF ＋BP ＝2，
∴PA ＋PF ＝2，且PA ＋PF>AF ，
即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆．
2．抛物线
解析 由题意知
(x ＋2)2＋(y －1)2
＝|3x ＋4y －12|5. 左侧表示(x ，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x ，y)到定直线3x ＋4y －12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．
3．①
解析
∵∠F 2MP ＝∠GMP ，
且F 2P ⊥MP ，
∴F 2P ＝GP ，MG ＝MF 2.
取F 1F 2中点O ，连结OP ，
则OP 为△GF 1F 2的中位线．
∴OP ＝12F 1G ＝12
(F 1M ＋MG) ＝12
(F 1M ＋MF 2)． 又M 在椭圆上，
∴MF 1＋MF 2＝常数，
设常数为2a ，则OP ＝a ，
即P 在以F 1F 2的中点为圆心，a 为半径的圆上．
4．椭圆
5．椭圆
6．抛物线 解析 由题意知P 到F 的距离与到直线x ＝－4的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线．
7．双曲线
8．双曲线的一支
9．证明 设PB ＝r.
知识改变命运
∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，
∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，
即PA ＋PB ＝10(大于AB)．
∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．
10．解 由正弦定理得：
sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R
. 代入sin B －sin C ＝12
sin A 得：b －c ＝12
a ，即
b －
c ＝1， 即AC －AB ＝1 (<BC)
∴A 的轨迹是以B 、C 为焦点且靠近B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．
11．④
解析 ∵D 1C 1⊥面BCC 1B 1，C 1P ⊂平面BCC 1B 1，
∴D 1C 1⊥C 1P ，∴点P 到直线C 1D 1的距离即为C 1P 的长度，由题意知，点P 到点C 1的距离与点P 到直线BC 的距离相等，这恰符合抛物线的定义．
12．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a.
MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a<RQ ＝2c.
∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
知识改变命运。