量子力学第四章
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学第四章-氢原子
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
[( 1 s )( 1 s 1) l ( l 1)]b
0
1
s 1
[ s( s 1) l ( l 1)]b0 s 2 {[( s 1)( s ) l ( l 1)]b 1 ( s )b ]} s 1 0
（三）使用标准条件定解
二 （1）单值； 条 件 （2）连续。 满 足
（3）有限性条件
与谐振子问题类似，为讨论 2 f (ρ) 的收敛性现考察级 e 1 数后项系数与前项系数之比： 1! 2! !
b l 1 1 lim 1 lim b ( l )( 2l 2)
则径向波函数公式：
Rnl ( r ) N nl e
2 Z 2 l 1 2 Z a n r Ln l a n r 0 0
至此只剩 b0 需要 归一化条件确定
l
总波函 数 为：
nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
注意到
系数bν 的递推公式
s = +1
b 1
( s) b ( s 1)( s ) l ( l 1) l 1 b ( l 2)( l 1) l ( l 1) l 1 b ( l )( 2l 2)
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,)
注意到 L2 Ylm =(+1) 2 Ylm
2 2 r 2
令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：
量子力学第四章
( px )mn ih (En Em )xmn
证明 在能量表象中的矩阵元为
dx dt
mn
1 ih
m (xHˆ Hˆx) n
1 ih
(En
Em
)
m
xn
( px )mn ih (En Em )xmn
例题4：
有一量子体系，态矢为空间三维，选择基矢 1 , 2 , 3
(1) 给出它们的本征值与本征态矢 (2) 写出(L2,Lz)表象到(L2,Lx)表象的变换矩阵S，并通过S矩阵
求出在(L2,Lx)表象中Lx，Ly，Lz的矩阵表示
解： (1) Lx的本征方程
Lx lx
即
2
0 1 0
1 0 1
0 a1 a1 1 a2 lx a2 0 a3 a3
1
1 2
1
2
同理可得
1
1
lx 0, 0
2 2
0 ; 1
lx
,
1
2
2 ; 1
（2） 由Lx的三个本征矢量得到从(L2,Lz)到(L2,Lx)的表象变换 矩阵S
S
1
1 2
2 1 0 2
0
1
得本征矢和本征值分别为
E1 0
E2 E3 20
(0)
2
1 2
1
1 2
2
1 2
3
1 2
1 1
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
北京大学量子力学教材第四章
北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。
它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。
它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。
由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。
中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
第四章 量子力学密度矩阵
2
ˆ 的取值 F 的概率为 W ( F ) = ψ Ψ 则力学量 F k k k 1
（混合态下，有两次平均：态平均与概率平均） 二、密度算符与密度矩阵 1、纯态下密度算符的定义 纯态下如何用态密度算符来描写。
2
p1 + ψ k Ψ2
2
p2
设 ψ 是一归一化的态矢， ψ ψ = 1 。通过 ψ 和他的对偶态矢 ψ 的外积可以构造一个
B
= i j }；
将态矢 ψ 在表象 { i j } 中展开；
ρ AB = ψ ψ ；
利用计算表达式计算。 三、约化密度算符（矩阵）的运动方程 1、Lind-blad 主方程 对于开放系统，系统受环境和其他因素影响所以 Lind-blad 主方程可写为：
dρ 1 ˆ 1 + = [H , ρ ] + ∑ Γµ ρ Γ+ µ − {Γ µ Γ µ , ρ } 2 dt i µ >0
3、密度算符的性质
ˆ 满足本征值方程 如果算符力学量 F
ˆψ = F ψ F k k k
当本征值无简并时，则 {ψ k }构成正交归一完备系；当本征值简并时，本征矢未必正交， 但可以要求它是归一和完备的。
ˆ 是厄米算符： ρ ˆ+ = ρ ˆ （1） ρ ˆ 的本征值是非负的。 （2） ρ ˆ （3）对于密度算符 ρ ˆ =1 Tr ρ
Bloch 球心则是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态。
§4.2 密度算符的动力学演化方程 一、密度算符一般动力学方程
ˆ 和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态， 态密度算符 ρ
随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程 1、薛定谔绘景
量子力学-第四章
a 2(t)
a n(t)
q → q + d q之间的几率。
a 1 ( t ) * a 2 ( t ) * a n ( t ) * a q ( t ) *
a q ( t )
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
（三）讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
m
am(t)um(x)
(x,t)
bm(t)um(x)
m
b m ( t) u m (x ) F ˆ(x , i x ) a m ( t) u m (x )
m
m
两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分
b m ( t )u n * u m ( x ) d x [u n * F ˆ ( x , i x ) u m ( x ) d ] a m ( t x )
Fmn* F~n*m(F)nm
所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。
（2）力学量算符在自身表象中的形式
Qˆ un( x) Qnun( x)
Q的矩阵形式
Qnm un * ( x)Qˆ um ( x)dx Qm un * ( x)um ( x)dx
Qm nm
结论：
算符在自身表象中是一对角 矩阵，对角元素就是算符的 本征值。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量 则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一 个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有 所介绍。
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
量子力学第四章
2
在任意态 ψ (t) = ∑ak (t)ψ k ，测值分布为 ak (t) 其中 ak (t) = (ψ k ,ψ (t))
* k
k
complex conjugation
da d 2 证法一： 证法一： ak (t) = ( )ak + c.c. dt dt Ek ∂ψ (t) 2 =( ,ψ k )(ψ k ,ψ (t)) + c.c. = − (ψ k ,ψ (t)) + c.c. = 0 dt iℏ
z
绕 n方向旋转 δϕ变换算符 ˆ ˆ (δϕ n) = exp( −iδϕ n ⋅ l / ℏ) R
ˆ ˆ [R, H] = 0
ˆ , H] = 0 [l ˆ
§4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性 ψ (⋯, xi , yi , zi ,⋯) 多粒子体系 波函数： 波函数：
ψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN )
全同粒子： 全同粒子： 内禀属性完全相同的粒子 质 电 自 磁 寿 同 量 荷 旋 矩 命 位 旋 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 由于波动性，全同粒子是不可区分的。 ψ (q1,⋯, q j ,⋯qi ,⋯qN ) = Cψ (q1,⋯, qi ,⋯q j ,⋯qN ) 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 交换两粒子编号不改变体系的任一状态。 ……
全同粒子不可分辨；体系具有确定不变的交换对 全同粒子不可分辨； 称性； 费米 玻色子体系具有交换(反 对称性 费米)玻色子体系具有交换 对称性。 称性；(费米 玻色子体系具有交换 反)对称性。 4.5.2 两个全同粒子组成的体系 ˆ ˆ ˆ H = h(q ) + h(q )
量子力学-第四章
厄密共轭 算符亦可 写成：
~ ˆ ˆ O O*
(12)
1. 定义:
厄密算符
满足下列关系 的算符称为 厄密算符. 2. 性质
返回
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 Ô + = Ô, Û+ = Û 则 (Ô+Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô+Û)
ˆ ˆ zp x p x z 0 ˆ ˆ zp y p y z 0 ˆ ˆ ˆ ˆ pz p x p x pz 0
若算符满足 ÔÛ = - ÛÔ， 则称 Ô 和 Û 反对易。
注意： 当Ô 与 Û 对易，Û 与 Ê 对易，不能推知 Ô 与 Ê 对易与否。 例如：
ˆ ˆ ˆ ˆ ( I ) p x 与p y 对易， p y 与x对易，但是 p x 与x不对易； ˆ ˆ ˆ ˆ ( II ) p x 与p y 对易， p y 与z对易，而 p x 与z对易。
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
返回
（7）逆算符
并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.
量子力学第四章三维空间中的量子力学-USTC
BΨq
`
r2
1 sin2
ȷ B2 Ψ
5 / 126
注意到在球坐标系里，
~Lˆ2
“
´ℏ2
„1
sin
Bpsin
Bq
`
1 sin2
ȷ B2
上式等价地写为：
~ˆp2
“
´
ℏ2 r2
Brpr2Brq
`
~Lˆ2
r2
“
ˆ ´ℏ2 Br2
`
2˙ r Br `
~Lˆ2
r2
“
´
ℏ2 r
Br2r
`
~Lˆ2
r2
因此，中心力场中粒子的能量本征值方程可表为：
« ´ℏ22rFra bibliotekBr2r
`
~Lˆ2 2r2
`
ff Vprq
Epr; ; q “ E
Epr; ; q
方程左端第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项可 称为径向动能算符.
6 / 126
在中心力场情形下既然可以将能量本征函数取为 tHˆ ; ~Lˆ2; Lˆ3u 的
4 / 126
考虑到中心力场中 ~Lˆ2 也是守恒量，而且与 ~Lˆ 的各个分量算符都
对易，因此体系的力学量完全集合可以选取为
!Hˆ ;
~Lˆ2;
) Lˆ3
即能量本征态同时也取为 ~Lˆ2 与 Lˆ3 的共同本征函数.
为了实现这一设想，现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一波函数 Ψ，我们有：
„1 r
d2 dr2
r
`
2
ℏ2
pE
´
Vprqq
量子力学 第四章
[ C ( p , t )p ( x ) d p ]* [ C ( p , t )p ( x ) d p ] d x
C ( p ,t ) C ( p ,t ) d p d pp ( x )p ( x ) d x
C (p,t)*C (p ,t)dpdp(p p) C(p,t)*C(p,t)dp （归一化条件）
4.5 狄喇克符号
Dirac symbols
4.6 线形谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number
representation
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◆ 一个定义： 表象的定义
重
态在任意表象中的表示；
点 ◆ 二个表示： 算符在任意表象中的表示。
是在(r,t) 所描写的状态中，测量
粒子的动量所得结果为 P 的几率。
不两同者信从息不（同力的学侧量面r 描和写粒P 子的的信状息态）,。给出了粒子的
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§4.1 态的表象（续２）
命题 若(r,t)是归一化波函数，则 C (P,t) 也归一。
证 1*(x,t)(x,t)dx
由上述两式给出了 (r, t与) a n ( t )函 数集之间的 相互变换关系，将 a n ( t )写成矩阵
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量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
量子力学(第四章)
2.
能级简并与守恒量的关系
守恒量的应用极为广泛，在处理能量本 征值问题，量子态随时间变化，量子跃 迁以及散射等问题中都很重要。这里要 害是涉及能量简并，它们包括：(a)能 级是否简并？(b)在能级简并的情况下， 如何标记各简并态。
定理：设体系两个彼此不对易的守恒量 F 和 G ， 0 即 F , H 0, G, H 0 ，但 F , G ，则体系能 级一般是简并的。
讨论，在什么条件下可以做这种近似。
从物理上讲，要用一个波包来描述粒子的运动，
波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当。此
外，还要求势场
波包中心处的势场
在空间变化很缓慢，使得 V (r ) r) V (与粒子感受到的势 V (很 r)
接近。但一般说来，波包会随时间演化而扩散，
如果要求波包能描述经典粒子的运动，必须要
守恒量
与经典力学不同，量子力学中， 处于量子态下的体系，在每一时刻， 并非所有力学量都具有确定值，而只 具有确定的几率分布和平均值。
ˆ 力学量 A的平均值为 ˆ A(t ) (t ), A (t )
(1)
所以
d ˆ ˆ A(t ) , A , A dt t t
证：由于 F , H 0， F H可以有共同本征函 与 数
H E , F F
考虑到 G, H 0 ，故有
HG GH GE EG
即 G 也是H 的本征态，对应于本征值 E 。
但 G 与 是否同一个量子态？考虑到 F , G 0，一般说来，
它们与经典粒子运动满足的正则方程
d p r , dt m dp V dt
相似。
量子力学课件第四章
第4章三维空间中的量子力学4.1 球坐标系中的薛定谔方程向三维情况的推广是直截了当的。
薛定鄂方程为：;i H t∂ψ=ψ∂ [4.1] 由经典能量可以得出哈密顿算符H 1V p p p mV mv z y x +++=+)(21212222 通过标准方法（现在应用于y ，z 以及x ）：,x p i x ∂→∂ ,y p i y∂→∂ ,z p i z ∂→∂ [4.2] 或者简洁地写为[4.3]这样[4.4]其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂≡∇ [4.5]是直角坐标系中的拉普拉斯算符。
势能V 和波函数ψ现在是(,,)x y z =r 和t 的函数。
在无穷小体元3d dxdydz =r 内发现粒子的几率为23(,)t d ψr r ，归一化条件是231,d ⎰ψ=r [4.6]其中积分是对整个空间进行。
如果势不显含时间，将有一组完备的定态/(,)(),n iE t n n t e ψ-ψ=r r [4.7]其中空间波函数n ψ满足定态薛定谔方程： [4.8]1当可能出现混淆时,我将在算符顶部放一个∧来区分它们与对应的经典力学量。
本章中不会有很多场合会出现这种混淆，用∧很麻烦，所以从现在起我不再用它。
（含时）薛定谔方程的一般解是/(,)(),n iE t n n t c e ψ-ψ=∑r r [4.9]其中常数n c 由初始波函数(,0)ψr 用通常的方法确定。
（假如势允许连续态，那么4.9式中的求和变为积分。
）*习题4.1（a ） 求出算符r 和p 的各分量之间的正则对易关系：[,]x y ，[,]y x p ，[,]x x p ，[,]y z p p 等等。
答案：[,][,]i j i j ij r p p r i δ=-= ，[,][,]0i j i j r r p p ==， [4.10]这里指标表示,,x y z , , , x y z r x r y r z ===。
（b ） 证明三维情况下的Ehrenfest 定理：1,d dt m =p 和 .d V dt=-∇p [4.11] (当然，上面每个式子表示三个方程—一个分量一个)。
量子力学第四章：力学量用算符表示
第四章：力学量用算符表示(2)证明以下诸式成立：(1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。
以及看到由于轮换对称性，得到特征的公式。
(2)（证明）证法与（1）类似，但需先证分量与分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。
(3)注意 与x 没有共同坐标。
(4)注意没有共同坐标，因此可以对易即，故)()(2222z y x x z y l l p p l l A +-+=zz x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---=})(){(x x p l l p hi*-*=(3) l为粒子角动量。
F 为另一力学量，证明： )(],[pF p r F r hi F l ∂∂*+∂∂*-=(6)证明是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。
另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式： 前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证(A 等是实数)是厄密算符（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕτψτϕτψd P A d P F n nˆ)ˆ(∑•≡•⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰•∑=>ττϕψd PA n nn n ˆ0⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ()ˆ(1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PP A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd P P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32 τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰•=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
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引入希尔伯特空间的线性算符： Fˆ
Fˆ Fˆ Fˆ
性质： 1 3
4 5
Iˆ
2 0ˆ 0
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
AˆBˆ Aˆ Bˆ
6
Aˆ Aˆ Aˆ
Aˆ * Aˆ (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
lm
表示算符 lˆ 2 , lˆz 的共同本征态。
上述是右矢的表述，相应的左矢表述与此类似。注意：
右矢和左矢为两种性质不同矢量表示，不能相加。它们
在同一表象中的相应分量互为共轭复数 。.
➢标积 对于两个态 和 ，定义 代
表一个复数，称为二者的标积或内积，
性质： 标积复共轭性
,
§2
▪ §3 量子力学公式的矩阵表述
§3
▪ §4 Dirac 符号
§4
▪ §5 占有数表象
§5
▪ §6 幺正变换矩阵
§6
解析几何
向量
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段
标
代数形象：向 量 的 坐标表示式
系
aT a1 a2
an
态的归一性
1,
态的正交性
0.
设力学量完全集 Fˆ ，其本征值为Fi ，则其对应本征态为 Fi
Fi Fj ij Fi 分立谱
例如：
F F' ( ')
x
x
x x
p
p
p p
F 连续谱
lm lm ll mm
线性空间
定义1. 设V 是一个非空集合，R 为实数域．如 果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元 素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作： γ=α+β
个Hillbert空间，因为：
➢完备性 量子体系的任一态矢
ai Fi
i
a() F d
ai Fi a() F
➢封闭性 由态叠加原理，可知线性叠加的态
C1 1 C2 2 仍然属于该空间。 ➢内积
态矢满足希尔伯特空间的要求,而力学量完全集算 符的共同本征态所具有的正交归一完全性正好使 之构成该空间的基矢。
在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指 明坐标系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不 用具体表象。这种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样 的一套符号就称为狄拉克符号。
➢ 右矢（ket）与 左矢(bra) 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是
| ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 矢量来表示，这种矢量符号是 | ，称为刁矢（左矢），
简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 B | 。
上述表示只是一个抽象的描述,不涉及具体的表象。
例如： | 表示波函数 描述的状态；
上式是任意态的表述，对应本征态则常用本征 值或相应量子数来标记：
x 表示坐标算符的本征值为x的本征态；
p
表示动量算符的本征值为 p的本征态；
En or n 表示哈密顿算符的本征值为En的本征态；
第四章 态和力学量表象
本章要求
1 掌握表象的概念和量子态在不同表象下的表示。 2 掌握算符用矩阵表示的概念和量子力学公式的矩阵 表述。
3 掌握不同表象之间通过幺正变换联系起来的概念。 4 掌握狄喇克符号。 5 了解一维线性谐振子问题的代数解法。
教学内容
▪ §1 态的表象
§1
▪ §2 算符的矩阵表示
若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有唯一的 一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作 δ=λα
(设 , , V;, R) :
如果上述的两种运算封闭且满足以下八条运算规 律, 那么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: = ; (2) 加法结合律: = ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 =O, 记 = – ;
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运 算． 2.向量空间中的向量不一定是有序数组． 3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和 数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条， 则此集合就不能构成线性空间.
(Aˆ Bˆ) Bˆ Aˆ Aˆ Aˆ
7 Aˆ Aˆ : Aˆ Aˆ Aˆ
Aˆ Aˆ Aˆ
§1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的 函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的 函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。 但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的， 这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐 标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但 它们对空间的描写是完全等价的。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相 应的表示为作用于这种函数上的算符。
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表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。 以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
（一）动量表象 （二）力学量表象 （三）讨论
向量空间是集合与运算二者的结合，同一个集合，定 义不同的线性运算，构成不同的向量空间；若定义的 运算不是线性运算，就不能构成线性空间，所以定义 的线性重要，所以向量空间称为线性空间更准确。
希尔伯特空间
定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的完备的线性内积 空间。力学量完全集的共同本征态矢构成的空间，即是一
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代 数 形 象：
系
向量空间中的平面
( x, y,z) axbyczd r ( x, y,z)T axbyczd
P(x, y, z) 一 一 对 应
r x y zT
Dirac符号与希尔伯特空间